Modelling and computer simulation of the turbulent two-phase jets of nano fluids
The present paper is devoted to development of the mathematical models and numerical procedures for simulation of the mixing and heat transfer features of mutually immiscible liquids in the two-fluid turbulent heterogeneous jet flow, as well as in more general case – turbulent multiphase jets. Many...
Збережено в:
| Дата: | 2026 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Kyiv National University of Construction and Architecture
2026
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://es-journal.in.ua/article/view/365028 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Environmental safety and natural resources |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Environmental safety and natural resources| _version_ | 1868385040325410816 |
|---|---|
| author | Kazachkov, Ivan Nesterenko, Oleksandr |
| author_facet | Kazachkov, Ivan Nesterenko, Oleksandr |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ivan Kazachkov",
"institution": "Д-р техн. наук, професор, завідувач кафедри, Ніжинський державний університет імені Миколи Гоголя, Ніжин"
},
{
"author": "Oleksandr Nesterenko",
"institution": "Доктор технічних наук, професор, провідний науковий співробітник, Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору Національної академії наук України, Київ"
}
] |
| author_sort | Kazachkov, Ivan |
| baseUrl_str | http://es-journal.in.ua/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2026-06-18T11:17:53Z |
| description | The present paper is devoted to development of the mathematical models and numerical procedures for simulation of the mixing and heat transfer features of mutually immiscible liquids in the two-fluid turbulent heterogeneous jet flow, as well as in more general case – turbulent multiphase jets. Many natural and technical processes deal with the turbulent jets of mutually immiscible liquids, which represent an important class of the modern multiphase system dynamics. Differential equations for the axially symmetrical two-dimensional stationary flow and the integral correlations in a cylindrical coordinate system by Professor Alfred Nakorchevskii are considered for the jet of fluid flowing from a nozzle into a space filled with another fluid that is not miscible with the first one. Parameters of the turbulent mixing in the two-phase jet flow are modeled and analyzed. Previously the experimental data with water and oil, as well as with liquid metals, confirmed the results of numerical computer simulation when one example was performed for simulation of the high-temperature melts’ flow cooled by water in the hypothetic severe accidents at the nuclear power plant. The results obtained may be of interest for some research and industrial tasks, where the calculation of parameters of the multiphase turbulent mixing and heat transfer are important. Here the mathematical modelling and computer simulation of the mixing and heat transfer processes in the two-fluid turbulent heterogeneous jet flow of Nano fluids is considered. Many natural and technical processes deal with the turbulent jets of mutually immiscible liquids, which represent an important class of the modern multiphase system dynamics including the ones for the features of Nano fluids. Differential equations for the axially symmetrical two-dimensional stationary flow and the integral correlations in a cylindrical coordinate system were considered for the jet of fluid from a nozzle into a space filled with another fluid that is not miscible with the first one. Parameters of the turbulent mixing during the spreading of such jets are modeled and analyzed. The method was proved successfully during the half of the century in many different physical tasks including experimental studies with using the invented two-phase micro-sensor of Prof. A.I. Nakorchevskii and Dr. V.O. Chernov. The results obtained for the flow of a few Nano fluids may be of interest for the research and industrial tasks, where the calculation of multiphase turbulent mixing and heat transfer are important. |
| doi_str_mv | 10.32347/2411-4049.2026.2.189-205 |
| first_indexed | 2026-06-18T01:02:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
~ 189 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
УДК 532.529.522.574.695+621.039.588
Ivan Kazachkov1, Doctor of Engineering Sciences, Professor, Head of Department
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0001-9645-563X e-mail: kazachkov.iv@ndu.edu.ua
Oleksandr Nesterenko2, Doctor of Engineering Sciences, Professor, Leading Researcher
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0001-5329-889X
e-mail: aleksandrnesterenkoua@gmail.com
1Nizhyn Mykola Gogol State University, Nizhyn, Ukraine
2Institute of Telecommunications and Global Information Space of the National Academy of
Sciences of Ukraine, Kyiv, Ukraine
MODELLING AND COMPUTER SIMULATION OF THE TURBULENT
TWO-PHASE JETS OF NANO FLUIDS
Abstract. The present paper is devoted to development of the mathematical models
and numerical procedures for simulation of the mixing and heat transfer features of
mutually immiscible liquids in the two-fluid turbulent heterogeneous jet flow, as well
as in more general case – turbulent multiphase jets. Many natural and technical
processes deal with the turbulent jets of mutually immiscible liquids, which
represent an important class of the modern multiphase system dynamics.
Differential equations for the axially symmetrical two-dimensional stationary flow
and the integral correlations in a cylindrical coordinate system by Professor Alfred
Nakorchevskii are considered for the jet of fluid flowing from a nozzle into a space
filled with another fluid that is not miscible with the first one. Parameters of the
turbulent mixing in the two-phase jet flow are modeled and analyzed. Previously the
experimental data with water and oil, as well as with liquid metals, confirmed the
results of numerical computer simulation when one example was performed for
simulation of the high-temperature melts’ flow cooled by water in the hypothetic
severe accidents at the nuclear power plant. The results obtained may be of interest
for some research and industrial tasks, where the calculation of parameters of the
multiphase turbulent mixing and heat transfer are important. Here the mathematical
modelling and computer simulation of the mixing and heat transfer processes in the
two-fluid turbulent heterogeneous jet flow of Nano fluids is considered. Many
natural and technical processes deal with the turbulent jets of mutually immiscible
liquids, which represent an important class of the modern multiphase system
dynamics including the ones for the features of Nano fluids. Differential equations
for the axially symmetrical two-dimensional stationary flow and the integral
correlations in a cylindrical coordinate system were considered for the jet of fluid
from a nozzle into a space filled with another fluid that is not miscible with the first
one. Parameters of the turbulent mixing during the spreading of such jets are
modeled and analyzed. The method was proved successfully during the half of the
century in many different physical tasks including experimental studies with using
the invented two-phase micro-sensor of Prof. A.I. Nakorchevskii and
Dr. V.O. Chernov. The results obtained for the flow of a few Nano fluids may be of
interest for the research and industrial tasks, where the calculation of multiphase
turbulent mixing and heat transfer are important.
Keywords: mathematical modeling, computational experiment, turbulent, two-
phase, jets, immiscible liquids, nanofluids.
© І.В. Казачков, О.В. Нестеренко, 2026
https://orcid.org/0000-0001-9645-563X
https://orcid.org/0000-0001-5329-889X
~ 190 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
І.В. Казачков1, О.В. Нестеренко2
1Ніжинський державний університет імені Миколи Гоголя, м. Ніжин, Україна
2Інститут телекомунікацій і глобального інформаційного простору Національної
академії наук України, м. Київ, Україна
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ОБЧИСЛЮВАЛЬНИЙ
ЕКСПЕРИМЕНТ ТУРБУЛЕНТНИХ ДВОФАЗНИХ СТРУМЕНІВ
НЕЗМІШУВАНИХ РІДИН ТА НАНОРІДИН
Анотація. Ця стаття присвячена розробці математичних моделей та
числових процедур для моделювання особливостей змішування та
теплопередачі взаємно незмішуваних рідин у двофазному турбулентному
гетерогенному струменевому потоці, а також у більш загальному випадку –
турбулентних багатофазних струменів. Багато природних та технічних
процесів пов'язані з турбулентними струменями взаємно незмішуваних рідин,
які представляють важливий клас сучасної динаміки багатофазних систем.
Диференціальні рівняння для аксіально-симетричного двовимірного
стаціонарного потоку та інтегральні кореляції в циліндричній системі
координат професора Альфреда Накорчевського розглянуті для струменя
рідини, що витікає з сопла в простір, заповнений іншою рідиною, яка не
змішується з першою. Моделюються та аналізуються параметри
турбулентного змішування в двофазному струменевому потоці. Раніше
експериментальні дані з водою та нафтою, а також з рідкими металами,
підтвердили результати числового комп'ютерного моделювання, коли один
приклад був виконаний для моделювання потоку високотемпературних
розплавів, охолоджених водою, в гіпотетичних важких аваріях на атомній
електростанції. Отримані результати можуть бути цікавими для деяких
дослідницьких та промислових завдань, де важливим є розрахунок параметрів
багатофазного турбулентного перемішування та теплопередачі. Тут
розглядається математичне моделювання та комп'ютерне моделювання
процесів перемішування та теплопередачі в дворідинному турбулентному
гетерогенному струменевому потоці нанорідин. Багато природних та
технічних процесів мають справу з турбулентними струменями взаємно
незмішуваних рідин, які представляють важливий клас сучасної динаміки
багатофазних систем, включаючи ті, що стосуються особливостей
нанорідин. Диференціальні рівняння для аксіально-симетричного
двовимірного стаціонарного потоку та інтегральні кореляції в циліндричній
системі координат були розглянуті для струменя рідини з сопла в простір,
заповнений іншою рідиною, яка не змішується з першою. Моделюються та
аналізуються параметри турбулентного перемішування під час розтікання
таких струменів. Метод був успішно випробуваний протягом півстоліття в
багатьох різних фізичних завданнях, включаючи експериментальні
дослідження з використанням винайденого двофазного мікросенсора
професора А.І. Накорчевського та к.т.н. В.О. Чернова. Результати, отримані
для потоку кількох нанорідин, можуть бути цікавими для дослідницьких та
промислових завдань, де важливим є розрахунок багатофазного
турбулентного перемішування та теплопередачі.
Ключові слова: математичне моделювання, обчислювальний експеримент,
турбулентний, двофазний, струмені, незмішувані рідини, нанорідини.
https:// doi.org/10.32347/2411-4049.2026.2.189-205
~ 191 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
Вступ
Постановка завдання. Тривимірний друк (3D-друк), також відомий як
Адитивне виробництво (АД), має багато переваг, включаючи відмову від
спеціального оснащення, гнучкий та настроюваний дизайн, а також ефективне
використання сировини. Струменеве нанесення сполучного матеріалу є однією
з семи технологій АД, визначених ASTM та ISO [1]. Коли для виготовлення
деталі використовується струменеве нанесення сполучного матеріалу,
спочатку формується порошковий шар, потім створюється зелена деталь
шляхом вибіркового нанесення рідкого сполучного матеріалу на порошковий
шар, і, нарешті, зелена деталь ущільняється спіканням [1]. Переваги
струменевого нанесення сполучного матеріалу включають безкоштовну
підтримку та легкість видалення сполучного матеріалу [2, 3]. Порошки
сировини, що використовуються для струменевого нанесення сполучного
матеріалу, включають нанопорошок (або субмікронний порошок) [4–7],
мікропорошок [8–14] та гранульований порошок [7, 15–23]. Гранульований
порошок часто готують з нанопорошку, а розмір гранул зазвичай знаходиться
в мікрометровому діапазоні [21–23]. Нанопорошок оксиду алюмінію
(90-187085) був придбаний у Allied High Tech, США. Мікропорошок оксиду
алюмінію (26R-8S70) був придбаний у компанії Inframat, США.
Мета дослідження – показати підходи до математичного моделювання та
обчислювальних експериментів турбулентних двофазних струменів
незмішуваних рідин та нанорідин та виявити особливості турбулентного
змішування нанопорошку оксиду алюмінію та мікропорошку при витіканні
струменя з сопла в простір з водою.
Цільова спрямованість обумовлює логіку дослідження, яка направлена на
постановку та вирішення наступних завдань:
а) встановити закономірності просторового розподілу фаз двофазного
потоку в просторі;
б) визначити вплив відношення щільностей фаз та інших параметрів на
характеристики змішування;
в) з аналізу отриманих результатів знайти оптимальні режими змішування
взаємно незмішуваних розглянутих рідин.
Аналіз останніх досліджень і публікацій. Аналіз відомих публікацій
показав, що турбулентні струмені нанорідин за методами багатофазних
потоків не розглядались. Таким чином, застосований в роботі оригінальний
метод динаміки багатофазних течій Накорчевського дозволив отримати нові
цікаві результати. Тому актуальність завдання полягає у тому, щоб описати
особливості змішування нанорідин для подальшого використання в наукових
і прикладних роботах.
Результати дослідження
У цьому дослідженні як метод грануляції було обрано розпилювальне
ліофілізаційне сушіння [7, 22]. З описаного вище нанопорошку було
приготовано суспензію із вмістом твердих речовин 20 об.%. Приготування
розпочалося з додавання води та кульок для розмелювання оксиду алюмінію в
пляшку з поліетилену високої щільності місткістю 1000 мл. Деякі параметри
матеріалів наведено в табл. 1 за даними [24].
~ 192 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
Таблиця 1. Видима густина та густина після усипання трьох порошків
Матеріали Абсолютна видима
густина (г/см3)
Абсолютна густина після
усипання (г/см3)
Нанопорошок 0,29±0,001 0,55±0,012
Мікропорошок 2,09±0,004 2,38±0,019
Гранульований порошок 0,46±0,006 0,56±0,007
Вода, оксид алюмінію, нанопорошок та мікропорошок, що розглядаються в
статті, є наступними:
1. Нанопорошок оксиду алюмінію витікає з сопла в простір з водою,
відношення щільностей ρ21=0,55/1=0,55.
2. Мікропорошок тече з сопла в простір з водою ρ21=2,38/1=2,38.
3. Навпаки, вода подається з сопла в нанопорошок та мікропорошок:
ρ21=1/0,55=1,82, ρ21=1/2,38=0,42.
Істинна щільність – це співвідношення маси та об'єму (істинного об'єму)
зразка, за винятком об'єму відкритих пор, закритих пор та міжчастинкових
порожнин. Скелетна щільність: це відношення маси до об'єму (скелетного
об'єму) частинок, за винятком як міжчастинкових порожнин, так і відкритих
пор. Щільність після постукування: це щільність, виміряна механічним
постукуванням по контейнеру з частинками для створення регулярної вібрації,
яка переставляє частинки порошку. Вимірювання щільності після
постукування зазвичай проводиться за допомогою вимірювача щільності після
постукування. Насипна щільність: це щільність, виміряна після того, як
частинки вільно заповнили стандартний контейнер за певних умов, тобто маса
частинок на одиницю об'єму, коли вони нещільно упаковані [25].
Метод моделювання багатофазних турбулентних потоків
Параметри (щільність рідини, швидкість потоку, температура тощо) суміші в
турбулентному багатофазному потоці розглядаються відповідно до методу,
запропонованого професором Накорчевським [26], розробленого та описаного
в багатьох публікаціях, наприклад, [26-31]. Аналог рівнянь Нав'є-Стокса в
пограничному шарі було отримано в такому вигляді [26]:
(1)
де
1
( ) ( ) ( )
m
l l
i i
i
a t B t a t
=
= , . Функція-індикатор введена для фаз
багатофазного потоку наступним чином: В1=1, якщо в даній точці течії
присутня тільки перша фаза, В2=0. І навпаки, В1=0, В2=1 – якщо тільки друга
фаза.
У стаціонарних рівняннях (1) для потоку нестисливих рідин, записаних у
циліндричній системі координат, знаходяться: p – тиск, ρ – щільність, u,v –
поздовжня та поперечна складові швидкості, τ – турбулентне напруження для
i-ї фази. Всі параметри потоку усереднюються на характерному інтервалі за
1
( ) ( ) 0,
m
i i i i i i
i
y Bu y B v
x y
=
+ =
1 1
1
( ) ,
m m
i i
i i i i i i
i i m
u u dp
B u v y B
x y dx y y
= =
+ = − +
1
1
m
i
iB
=
= ( )iB t
~ 193 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
вибраним часом. Індекс m належить значенням на осі потоку (осі симетрії).
Функцію-індикатор фази в багатофазному потоці можна розглядати як
математичне очікування, на відміну від інших багатофазних підходів [8–10],
які базуються на введенні об'ємного питомого вмісту фази в багатофазному
потоці. Тим не менш, використання функції-індикатора дозволяє обчислити
об'ємний питомий вміст фаз, який був введений іншими багатофазними
підходами. Розробка моделі двофазного струменя незмішуваних рідин
виконана згідно з рис. 1. Схематичне зображення показано на рис. 2, де r0 –
радіус сопла, u01 – швидкість на зрізі сопла. Конічна поверхня 1 на рис. 1 є
межею однорідного потенційного ядра a, внутрішній підшар b1 містить рідину,
що вводиться з оточуючого середовища, як дисперсну фазу, тоді як зовнішній
підшар b2 містить рідину, що виходить з сопла, як дисперсну фазу. Внутрішній
та зовнішній підшари розділені поверхнею фазової інверсії 2; а поверхня 3
розділяє турбулентну та ламінарну зони потоку 3, яка є найбільш
невизначеною; 4 – зовнішня конічна поверхня осесиметричної зони
змішування (умовно гладка).
Рис. 1. Загальний вигляд багатофазного турбулентного струменя
Рис. 2. Схема двофазного турбулентного струменя, обмеженого каналом при xg
Структурна схема процесу змішування на рис. 2 спрощена: початкова
частина довжини xi з приблизно лінійними межами для конічної поверхні
(у циліндричній системі координат) внутрішнього ядра першої фази та зони
змішування між внутрішньою та зовнішньою межами струменя. Турбулентна
зона містить фрагменти фаз, оскільки незмішувані рідини мають поведінку,
~ 194 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
подібну до окремих фаз, з їх міжфазними множинними поверхнями. Перша
фаза в потенційному ядрі повністю витрачається в початковій частині зони
змішування. Потім слідує коротка транзитна область. Після цього починається
основна частина двофазного струменя, при цьому дві фази добре перемішані
по всьому шару струменя. Зовнішня межа зони змішування визначається
нульовою поздовжньою швидкістю другої фази та нульовою поперечною
швидкістю першої фази (друга фаза всмоктується з нерухомого оточення в
зону змішування). Індикатор функції першої фази B1(t) дорівнює нулю на
зовнішній межі розділу, оскільки вона відсутня в навколишньому середовищі.
Аналогічно, індикатор функції B2(t) дорівнює нулю на межі потенційного ядра,
поверхні розділу першої фази, що витікає з сопла. У першому підході впливом
маси, в'язких та капілярних сил нехтується.
З урахуванням вищезазначеного, граничні умови такі [1]:
y=y0, ui= u0i, vi=0, τi=0, B1=1, 1 / 0B = ;
y=y0+δ, ui= 0, vi=0, τi=0, B1=0. (2)
Залежність функції-індикатора B1 від поздовжньої координати x вводиться
через її другу похідну на межі струменя y=y0:
2 2
1 / ( )B h x = .
Апроксимація профілів швидкості та функції-індикатора
Турбулентне напруження у фазі визначається «новою» формулою Прандтля
τi=ρiκiδumi
/iu y , де κi – коефіцієнт турбулентного перемішування для i-ї фази,
δ – ширина шару перемішування. Поліноміальні наближення для профілів
швидкості та інших функцій були отримані на основі граничних умов (2) [26–
28], наприклад:
(3), (4)
, (5)
,
,
де . Функція h(x)= відповідає за залежність
функції-індикатора фаз B1 від координати x, вона може змінюватися в діапазоні
через вимоги своєї природи. Перше наближення в (5) показує обмежене
застосування в діапазоні , тоді як поза цією областю воно не задовольняє
граничні умови (2) та умову , . Отже, всі наступні
наближення у (5) були отримані як перехід кусково-неперервної
функції-індикатора до її наступного наближення за умови, що похідна по
η відносно точки η=1 дорівнює нулю до (n+1)-го порядку. Ці функції мають
розриви в точках переходу постійної характеристичної функції від
одного інтервалу наближення до іншого (перша похідна має розрив у цих
точках). Перше наближення у (5) обмежене застосуванням в діапазоні
, тоді як поза цією областю воно не задовольняє граничні умови (2)
та умову , . Тому всі наступні наближення у (5) були
3 4
1 01/ 1 4 3 ,u u = − + 2 3 4
2 02/ 1 6 8 3 ,u u = − + −
(0) 3 2
1 1 1 0.5 (1 ) ( ), 6,0B B h x h = = − + − −
(1) 3 4 2 2
1 1 1 4 3 0.5 (1 ) ( ), 12, 6B B h x h = = − + + − − −
(2) 3 4 5 2 3
1 1 1 10 15 6 0.5 (1 ) ( ), 20, 12B B h x h = = − + − + − − −
( )0 /y y = − ( )2 2
1 0
/B
=
0h
0h
10 ( ) 1B 0,1
1( )B
( )
1
n
B
1( )B
6,0h −
10 ( ) 1B 0,1 1( )B
~ 195 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
отримані як перехід кусково-неперервної функції-індикатора до її
наступного наближення за умови, що похідна відносно точки дорівнює
нулю до (n+1)-го порядку. Ці функції мають розриви в точках переходу
постійної характеристичної функції від одного регіонального
наближення до іншого (перша похідна має розрив у цих точках). Перевагою
таких наближень є те, що всі функції плавно переходять з однієї області
h(x) до наступної. Кожна функція точно збігається з попередньою
( 1)
1
n
B
−
на межі спряження, де закінчується
( 1)
1
n
B
−
і починається . Фізичний зміст
варіативних наближень визначається залежністю розподілу фаз у шарі
змішування від співвідношення густин фаз змішування: чим густіша
навколишня рідина, тим коротше проникнення першої, легшої фази, у шар
змішування.
Недоліком вищезазначених наближень є зростаюча складність функцій
в аналітичних розрахунках, з якою, тим не менш, легко боротися за
допомогою сучасних комп'ютерних аналітичних розрахунків. Неможливо
отримати загальне наближення для B1(η,h), що задовольняє граничні умови (2)
у всьому діапазоні за параметром i0 (через вимогу варіації B1 від 0 до 1).
Поліноміальні наближення для u2, B1 залишаються однаковими на
початковій частині струменя, але для функції u1 наближення таке:
2 3
1 1/ 1 3 2mu u = − + . (6)
Усі поліноміальні апроксимації (3)-(6) показано на рис. 3. Реальні профілі
для багатофазного потоку представлені як добуток відповідного профілю,
помножений на його функцію-індикатор.
Інтегральні рівняння для початкової ділянки струменя
На основі (3)-(5) було отримано інтегральні кореляції для двофазного
турбулентного струменя [26, 27] шляхом інтегрування рівнянь збереження
маси та імпульсу (1) з граничними умовами (2) для повного поперечного
перерізу потоку y=y0+δ, а також збереження імпульсу для y=y* відповідно.
Математична модель в безрозмірній формі
Система рівнянь для початкової частини струменя перетворюється до
наступної безрозмірної форми з масштабами r0, δ, u0i для поздовжніх та
поперечних координат і швидкості відповідно:
2
2 2 1
0 0
1
2 1
j j
j
j
y y a
− −
=
+ = , ( )
2
2 2 1
0 0 2 0 2
1
2 1
j j
j j
j
y y a bi
− −
+ +
=
+ =+ , (7)
( ) ( )
2
* 2 1 * *0
1 0 0 2 0 2
1
1 j j
j j
j
d d
u y
d d
y
y a i b
− −
+ +
=
−− + + (8)
( )
2
2 1 * * * *
0 1 0 2
1
j j
j j
j
d
y u u
d
a i b
− −
=
=+ ( ) ( )
*
2 1* *
0 0 21
1
jj
j
j
u
y B i
−
=
+
.
( )
1
n
B
1 =
( )
1
n
B
( )
1
n
B
( )
1
n
B
( )
1
n
B
~ 196 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
Тут: 0 0 0/y y r= , 0/ r = , ( )0 /y y = − , 0/x x r= , 1x = ,
0 02 01/s u u= ,
2
0 0i ns= , 2 1/n = , 21 2 1/ = , 1 2i i ia a a h= + ,
1 2i i ib b b h= + ,
1
1
1 1
0
j
ia B u d
−
= ,
1
1
2 2
0
j
i B u db
−
= (i=1, 2);
1
2 1
1 1
0
j
ia B u d
−
= ,
1
2 1
2 2
0
j
i B u db
−
= (i=3, 4); j=1, 2.
Розраховані значення інтегральних параметрів у (7), (8) були виконані в
діапазоні зміни функції h(x) відповідно до апроксимації профілів швидкості
(3), (4) та функції-індикатора фази B1 (5). Як показано нижче, область
параметра h(x) переважно покривається у (5) для достатньо широкого
співвідношення густин змішуваних рідких фаз. Коефіцієнти
ija ,
ijb , згідно з
(11), (3)-(5), представлені в табл. 2 та табл. 3.
Таблиця 2. Інтегральні параметри
ija моделі для різних областей функції-
індикатора B1
ij
a
для h:
a11 a12 a21 a22 a31 a32 a41 a42
0, 6h − 0.5464 0.0208 0.1667 0.0101 0.4604 0.0139 0.1198 0.0059
6, 12− − 0.4857 0.0107 0.1333 0.0046 0.4250 0.0080 0.1027 0.0030
12, 20− − 0.4310 0.0062 0.1065 0.0023 0.3884 0.0049 0.0866 0.0017
20, 30− − 0.3844 0.0038 0.0859 0.00013 0.3542 0.0032 0.0728 0.0010
Таблиця 3. Інтегральні параметри
ijb моделі для різних областей функції-
індикатора B1
ij
b
для h
b11 b12 b21 b22 b31 b32 b41 b42
0, 6h − 0.0179 -0.0101 0.0095 -0.0042 0.0054 -0.0048 0.0023 -0.0016
6, 12− − 0.0429 -0.0060 0.0214 -0.0022 0.0149 -0.0032 0.0059 -
0.00097
12, 20− − 0.0690 -0.0038 0.0327 -0.0012 0.0625 -0.0023 0.0098 -
0.00062
20, 30− − 0.0939 -0.0025 0.0424 -
0.00076
0.0390 -0.0016 0.0141 -
0.00042
Інтегральну кореляцію для частини шару змішування в системі (10)
розглядали при 0.5 = . Відповідні коефіцієнти
*
ija ,
*
ijb для цієї середньої
ділянки шару змішування наведено в табл. 4 та 5.
~ 197 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
Таблиця 4. Інтегральні параметри
*
ija моделі для різних областей функції-
індикатора B1
*
ija
для h:
a11
* a12
* a21
* a22
* a31
* a32
* a41
* a42
*
0, 6h − 0.4436 0.0110 0.1029 0.0038 0.4103 0.0094 0.0902 0.0032
6, 12− − 0.4206 0.0071 0.0941 0.0024 0.3912 0.0062 0.0831 0.0020
12, 20− − 0.3920 0.0062 0.0836 0.0015 0.3673 0.0042 0.0745 0.0012
20, 30− − 0.3619 0.0033 0.0730 0.00097 0.3416 0.0029 0.0657 0.00084
Таблиця 5. Інтегральні параметри
*
ijb моделі для різних областей функції-
індикатора B1
*
ijb
для h:
b11
* b12
* b21
* b22
* b31
* b32
* b41
* b42
*
0, 6h − 0.0075 -0.0142 0.0028 -0.0047 0.0039 -0.0085 0.0014 -0.0025
6, 12− − 0.0214 -0.0048 0.0079 -0.0015 0.0114 -0.0030 0.0039 -
0.00083
12, 20− − 0.0392 -0.0033 0.0141 -
0.00096
0.0214 -0.0022 0.0071 -
0.00057
20, 30− − 0.0585 -0.0023 0.0206 -
0.00064
0.0328 -0.0016 0.0106 -
0.00039
Окрім вищезазначеного, для безрозмірних параметрів ми зберігаємо ті ж
позначення, що й для розмірних. Тільки в (11) це зазначено для уточнення
безрозмірних позначень. Коефіцієнт ковзання s0 вважається постійним.
Граничні умови (2) для (11) перетворюються як
ζ=0, y0=1, δ=0; ζ= ζi, y0=0, δ = δi; (9)
де ζi, δi – безрозмірна довжина струменя та його максимальний радіус (в кінці
початкової ділянки). Характеристики y0(ζ), δ(ζ), h(ζ) обчислюються з (8), (9).
Потім усі інші отримуються для заданих значень основних параметрів: i0, κ1, κ2.
Перший параметр є дещо невизначеним через труднощі з оцінкою ковзання
фаз, тоді як два інші відомі з експериментальних досліджень для конкретних
умов. Основною проблемою перевірки математичної моделі на відповідність
експериментальним даним є правильна оцінка коефіцієнтів турбулентного
перемішування κ1, κ2 у кожному конкретному випадку. Але перевагою моделі
є можливість мати всі характеристики потоку разом з їх належністю до певної
фази через функції B1, B2. Так, обчислюються розподіл поперечних
швидкостей, взаємодії на межі розділу, коефіцієнтів об'ємного q та масового
розходу g, а також кінетичної енергії ei для фаз у потоці [26].
Для короткої перехідної частини струменя немає розробленої
обґрунтованої схеми, тому вона тут не розглядається. Основна частина
струменя розглядається після короткої перехідної частини. Метод добре
розроблений та підтверджений експериментальними даними [26]. Безрозмірна
система рівнянь (8), (9) для основної частини також представлена в [26].
~ 198 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
Розв'язання крайової задачі для початкової ділянки струменевої течії
Розв'язок крайової задачі (8), (9) дозволяє отримати параметри для початкової
частини струменя за заданими значеннями параметрів i0, κ21. Причому, якщо
перший параметр задається відповідно до відношення густини змішуваних
рідин (може тільки ще залежати від невідомого ковзання фаз s0), то варіювання
в обчисленнях відношення коефіцієнтів турбулентного змішування κ21 означає
різні можливі рідини. Обчислювальні експерименти виявили основні
особливості потоку. Зазначено розподіли швидкостей для фаз (u1, u2) та
функцій-індикаторів фаз (B1, B2), а також значення параметрів у поперечному
перерізі сопла. Система (8) містить два алгебраїчних та одне диференціальне
рівняння. З алгебраїчних рівнянь отримують функції y0(h), δ(h), а потім
диференціальне рівняння виражається у стандартній формі
dh/dζ =F(h(ζ), i0, κ21),
для чисельного розв'язку.
Систему рівнянь можна розв'язати чисельно в загальному випадку, але ми
застосовували декілька різних методів для отримання більш детальної картини
фізичних явищ, для більш повного розуміння основних характеристик
системи, з максимально можливою кількістю аналітичних виразів, що
показують явні функції. Діапазон зміни функції h(ζ) визначається
підстановкою граничних умов у функції y0(h), δ(h), таким чином ми отримуємо
наступне:
( ) 11 31 0 31
0
32 12 0 32
0
a a i b
h h
a a i b
− −
= =
− +
, ( ) 21 41 0 41
42 22 0 42
i i
a a i b
h h
a a i b
− −
= =
− +
. (10)
Функції h0(i0), hi(i0) у (10) мають розриви в точках переходу постійної
функції B1(η,h) від одного діапазону наближення до іншого (перша похідна має
розрив у цих точках). Результати комп'ютерного моделювання представлені
нижче.
Розповсюдження струменя мікропорошку алюмінію у басейні з водою
Для цього випадку відношення густини дорівнює 2,38. Розрахунки велись для
співвідношення змінних коефіцієнтів турбулентного перемішування в
діапазоні від 0,1 до 10. Деякі результати розрахунків представлені на рис. 4, 5.
Рис. 4. Струмінь мікропорошку алюмінію у басейні з водою. Функції h(ζ), δ(ζ), y0(ζ)
by i0=2.38, 21 =0.5; 1x =
~ 199 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
Рис. 5. Струмінь мікропорошку алюмінію у басейні з водою. Функції h(ζ), δ(ζ), y0(ζ)
by i0=2.38, 21 =5.0; 1x =
Струмінь води в басейні алюмінієвого нанопорошку
Мікро- і нанопорошки поводяться як рідини в русі. Турбулентний струмінь
води, що поширюється в просторі нанопорошку, досліджувався з коефіцієнтом
густини, зазначеним вище, 1,82. Деякі результати розрахунків для варійованих
значень коефіцієнтів турбулентного змішування зі співвідношенням від 0,1 до
5,0 можна побачити на рис. 6, 7.
Рис. 6. Струмінь води у басейні алюмінієвого нанопорошку. Functions h(ζ), δ(ζ), y0(ζ)
by i0=1.82, 21 =0.5; 1x =
Рис. 7. Струмінь води у басейні алюмінієвого нанопорошку. Functions h(ζ), δ(ζ), y0(ζ)
by i0=1.82, 21 =5.0; 1x =
~ 200 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
Струмінь води в мікропорошку алюмінію
Турбулентний струмінь води, що поширюється в середовищі мікропорошку
Al, досліджувався з коефіцієнтом щільності, зазначеним вище, 0,42.
Результати для різних значень коефіцієнтів турбулентного змішування зі
співвідношенням від 0,1 до 5,0 можна побачити на рис. 8, 9.
Рис. 8. Струмінь води у басейні алюмінієвого мікропорошку. Functions h(ζ), δ(ζ), y0(ζ)
by i0=0.42, 21 =5.0
Рис. 9. Струмінь води у басейні алюмінієвого мікропорошку. Functions h(ζ), δ(ζ), y0(ζ)
by i0=0.42, 21 =5.0
Струмінь нанопорошку алюмінію у воді
Турбулентний струмінь нанопорошку алюмінію, що поширюється у воді,
досліджувався з коефіцієнтом щільності 0,55, як зазначено вище. Два
результати для різних значень коефіцієнтів турбулентного змішування зі
співвідношенням від 0,1 до 5,0 можна побачити на рис. 10, 11.
Рис. 10. Струмінь нанопорошку алюмінію у воді. Functions h(ζ), δ(ζ), y0(ζ) by i0=0.55,
21 =0.5
~ 201 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
Рис. 11. Струмінь води у басейні алюмінієвого мікропорошку. Functions h(ζ), δ(ζ), y0(ζ)
by i0=0.55, 21 =5.0
Висновки та перспективи подальших досліджень
Сформульовано інтегральну модель на основі фазових індикаторів для
осесиметричних турбулентних струменів двох незмішуваних рідин з
контрастом їх щільностей. Ця модель розширює класичну теорію гетерогенних
струменів, включаючи фазово-роздільний перенос імпульсу, зберігаючи при
цьому аналітичну простежуваність. Класична поведінка турбулентних
струменів відновлюється в межі однієї щільності, тоді як контраст щільностей
призводить до систематичних відхилень, зумовлених інерційним дисбалансом.
На основі результатів моделювання для представлених нано- та мікропорошків
алюмінію та їх струменевого потоку з водою можна розглянути оптимальний
режим змішування порошків з водою. Це корисно для розуміння особливостей
змішування та теплопередачі, розрахунку необхідної концентрації порошку у
воді та характеристик масо- та теплопередачі. Метод моделювання
гетерогенних струменів взаємно незмішуваних рідин вперше застосовано для
опису турбулентного струминного змішування нанорідин, що в майбутньому
буде розповсюджено також на інші раніше невідомі випадки для встановлення
важливих особливостей.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. ASTM International. (2015). ISO/ASTM 52900:2015 additive manufacturing—General
principles—Terminology. ASTM International.
2. Du, W., Ren, X., Pei, Z., & Ma, C. (2020). Ceramic binder jetting additive manufacturing:
A literature review on density. Journal of Manufacturing Science and Engineering, 142(4),
1–66. https://doi.org/10.1016/j.ceramint.2020.03.280
3. Li, M., Du, W., Elwany, A., Pei, Z., & Ma, C. (2020). Metal binder jetting additive
manufacturing: A literature review. Journal of Manufacturing Science and Engineering,
142(9), 1–45. https://doi.org/10.1115/1.4047430
4. Qian, C., & Sun, J. (2013). Fabrication of the porous hydroxyapatite implant by 3D
printing. Journal of Ceramic Processing Research, 14(4), 513–516.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-49514-8
5. Tarafder, S., Davies, N. M., Bandyopadhyay, A., & Bose, S. (2013). 3D printed tricalcium
phosphate bone tissue engineering scaffolds: Effect of SrO and MgO doping on in vivo
osteogenesis in a rat distal femoral defect model. Biomaterials Science, 1(12), 1250–1259.
https://doi.org/10.1039/C3BM60132C
https://doi.org/10.1016/j.ceramint.2020.03.280
https://doi.org/10.1115/1.4047430
https://doi.org/10.1007/978-3-662-49514-8
~ 202 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
6. Tarafder, S., Dernell, W. S., Bandyopadhyay, A., & Bose, S. (2015). SrO- and MgO-
doped microwave sintered 3D printed tricalcium phosphate scaffolds: Mechanical properties
and in vivo osteogenesis in a rabbit model. Journal of Biomedical Materials Research Part B:
Applied Biomaterials, 103(3), 679–690. https://doi.org/10.1002/jbm.b.33239
7. Miao, G., Du, W., Moghadasi, M., Pei, Z., & Ma, C. (2020). Ceramic binder jetting
additive manufacturing: Effects of granulation on properties of feedstock powder and printed
and sintered parts. Additive Manufacturing, 36, Article 101542.
https://doi.org/10.1016/j.addma.2020.101542
8. Bai, Y., Wagner, G., & Williams, C. B. (2015). Effect of bimodal powder mixture on
powder packing density and sintered density in binder jetting of metals. In Proceedings of
the International Solid Freeform Fabrication Symposium (pp. 758–771). Austin, TX.
9. Butscher, A., Bohner, M., Roth, C., Ernstberger, A., Heuberger, R., Doebelin, N., Rudolf
Von Rohr, P., & Müller, R. (2012). Printability of calcium phosphate powders for three-
dimensional printing of tissue engineering scaffolds. Acta Biomaterialia, 8(1), 373–385.
https://doi.org/10.1016/j.actbio.2011.08.027
10. Zocca, A., Gomes, C. M., Bernardo, E., Muller, R., Gunster, J., & Colombo, P. (2013).
LAS glass-ceramic scaffolds by three-dimensional printing. Journal of the European
Ceramic Society, 33(9), 1525–1533. https://doi.org/10.1016/j.jeurceramsoc.2012.12.012
11. Lanzetta, M., & Sachs, E. (2001). The line formation with alumina powders in drop on
demand three-dimensional printing. In Proceedings of the First International Seminar on
Progress in Innovative Manufacturing Engineering (pp. 197–204). Sestri Levante.
12. Sun, C., Tian, X., Wang, L., Liu, Y., Wirth, C. M., Günster, J., Li, D., & Jin, Z. (2017).
Effect of particle size gradation on the performance of glass-ceramic 3D printing process.
Ceramics International, 43(1), 578–584. https://doi.org/10.1016/j.ceramint.2016.09.197
13. Du, W., Ren, X., Chen, Y., Ma, C., Radovic, M., & Pei, Z. (2018). Model guided mixing
of ceramic powders with graded particle sizes in binder jetting additive manufacturing. In
ASME 2018 13th International Manufacturing Science and Engineering Conference
(pp. 1–9). College Station, TX. https://doi.org/10.1115/MSEC2018-6651
14. Du, W., Roa, J., Hong, J., Liu, Y., Pei, Z., & Ma, C. (2021). Binder jetting additive
manufacturing: Effect of particle size distribution on density. Journal of Manufacturing
Science and Engineering, 143(9), 091002_1–091002_26. https://doi.org/10.1115/1.4050306
15. Suwanprateeb, J., Sanngam, R., & Panyathanmaporn, T. (2010). Influence of raw powder
preparation routes on properties of hydroxyapatite fabricated by 3D printing technique.
Materials Science and Engineering C, 30(4), 610–617.
https://doi.org/10.1016/j.msec.2010.02.014
16. Irsen, S. H., Leukers, B., Höckling, C., Tille, C., & Seitz, H. (2006). Bioceramic
granulates for use in 3D printing: Process engineering aspects. Materialwissenschaft und
Werkstofftechnik, 37(6), 533–537. https://doi.org/10.1002/mawe.200600033
17. Gildenhaar, R., Knabe, C., Gomes, C., Linow, U., Houshmand, A., & Berger, G. (2011).
Calcium alkaline phosphate scaffolds for bone regeneration 3D-fabricated by additive
manufacturing. Key Engineering Materials, 493–494, 849–854.
https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/KEM.493-494.849
18. Ben, Y., Zhang, L., Wei, S., Zhou, T., Li, Z., Yang, H., Wang, Y., Selim, F. A., Wong,
C., & Chen, H. (2017). PVB modified spherical granules of β-TCP by spray drying for 3D
ceramic printing. Journal of Alloys and Compounds, 721, 312–319.
https://doi.org/10.1016/j.jallcom.2017.05.008
19. Seitz, H., Deisinger, U., Leukers, B., Detsch, R., & Ziegler, G. (2009). Different calcium
phosphate granules for 3-D printing of bone tissue engineering scaffolds. Advanced
Engineering Materials, 11(5), 41–46. https://doi.org/10.1002/adem.200800334
20. Cox, S. C., Thornby, J. A., Gibbons, G. J., Williams, M. A., & Mallick, K. K. (2015). 3D
printing of porous hydroxyapatite scaffolds intended for use in bone tissue engineering
applications. Materials Science and Engineering C, 47, 237–247.
https://doi.org/10.1016/j.msec.2014.11.024
https://doi.org/10.1115/1.4050306
https://doi.org/10.1002/adem.200800334
~ 203 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
21. Chumnanklang, R., Panyathanmaporn, T., Sitthiseripratip, K., & Suwanprateeb, J.
(2007). 3D printing of hydroxyapatite: Effect of binder concentration in pre-coated particle
on part strength. Materials Science and Engineering C, 27(4), 914–921.
https://doi.org/10.1016/j.msec.2006.11.004
22. Du, W., Miao, G., Liu, L., Pei, Z., & Ma, C. (2019). Binder jetting additive manufacturing
of ceramics: Feedstock powder preparation by spray freeze granulation. In ASME 2019 14th
International Manufacturing Science and Engineering Conference (pp. 1–6). Erie, PA.
https://doi.org/10.1115/MSEC2019-3001
23. Du, W., Miao, G., Liu, L., Pei, Z., & Ma, C. (2019). Binder jetting additive manufacturing
of ceramics: Comparison of flowability and sinterability between raw and granulated
powders. In ASME 2019 14th International Manufacturing Science and Engineering
Conference (pp. 1–8). Erie, PA. https://doi.org/10.1115/MSEC2019-2983
24. Domiri Ganji, D., Mahboobtosi, M., & Nadalinia Chari, F. (2025). Nonlinear radiation in
entropy generation MHD flow of penta-hybrid nanofluids: Effects of variable thermal
conductivity, viscous dissipation and nonlinear convection. Journal of Radiation Research
and Applied Sciences, 18(2), Article 101524. https://doi.org/10.1016/j.jrras.2025.101524
25. Jalili, B., Majidi Zar, P., Liu, D., Ji, C.-H., Jalili, P., Abdelmohimen, M. A. H., & Domiri
Ganji, D. (2024). Thermal study of MHD hybrid nanofluids confined between two parallel
sheets: Shape factors analysis. Case Studies in Thermal Engineering, 63, Article 105229.
https://doi.org/10.1016/j.csite.2024.105229
26. Накорчевский, А.И. (1980). Гетерогенные турбулентные струи. Киев: Наукова
думка.
27. Накорчевский, А.И., & Казачков, И.В. (1979). Расчет неоднородной турбулентной
струи. В кн.: Системы автоматизации непрерывных технологических процессов
(pp. 68-79). Институт кибернетики НАНУ.
28. Kazachkov, I. (2025). Turbulent two-phase jets of mutually immiscible liquids: Mixing
and heat transfer. Cambridge Scholars Publishing.
29. Kazachkov, I. V. (2018). Approaches for mathematical modeling and experimental study
of the turbulent flows of mutually immiscible liquids (oil-water). International Journal of
Petroleum and Petrochemical Engineering, 4(1), 70–81. https://doi.org/10.20431/2454-
7980.0401008
30. Казачков, И.В. (1980). Математическое моделирование неоднородных
турбулентных струй в цилиндрической камере. Автоматика, 13, 1-6.
31. Накорчевский, А.И., & Басок, Б.И. (2001). Гидродинамика и теплопередача в
гетерогенных системах и устройствах пульсирующего типа. Киев: Наукова Думка.
Стаття надійшла до редакції 17.02.2026, надійшла після рецензування 23.03.2026,
прийнята 22.04.2026
REFERENCES
1. ASTM International. (2015). ISO/ASTM 52900:2015 additive manufacturing—General
principles—Terminology. ASTM International.
2. Du, W., Ren, X., Pei, Z., & Ma, C. (2020). Ceramic binder jetting additive manufacturing:
A literature review on density. Journal of Manufacturing Science and Engineering, 142(4),
1–66. https://doi.org/10.1016/j.ceramint.2020.03.280
3. Li, M., Du, W., Elwany, A., Pei, Z., & Ma, C. (2020). Metal binder jetting additive
manufacturing: A literature review. Journal of Manufacturing Science and Engineering,
142(9), 1–45. https://doi.org/10.1115/1.4047430
4. Qian, C., & Sun, J. (2013). Fabrication of the porous hydroxyapatite implant by 3D
printing. Journal of Ceramic Processing Research, 14(4), 513–516.
https://doi.org/10.1007/978-3-662-49514-8
https://doi.org/10.1016/j.jrras.2025.101524
https://doi.org/10.1016/j.ceramint.2020.03.280
https://doi.org/10.1115/1.4047430
https://doi.org/10.1007/978-3-662-49514-8
~ 204 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
5. Tarafder, S., Davies, N. M., Bandyopadhyay, A., & Bose, S. (2013). 3D printed tricalcium
phosphate bone tissue engineering scaffolds: Effect of SrO and MgO doping on in vivo
osteogenesis in a rat distal femoral defect model. Biomaterials Science, 1(12), 1250–1259.
https://doi.org/10.1039/C3BM60132C
6. Tarafder, S., Dernell, W. S., Bandyopadhyay, A., & Bose, S. (2015). SrO- and MgO-
doped microwave sintered 3D printed tricalcium phosphate scaffolds: Mechanical properties
and in vivo osteogenesis in a rabbit model. Journal of Biomedical Materials Research Part B:
Applied Biomaterials, 103(3), 679–690. https://doi.org/10.1002/jbm.b.33239
7. Miao, G., Du, W., Moghadasi, M., Pei, Z., & Ma, C. (2020). Ceramic binder jetting
additive manufacturing: Effects of granulation on properties of feedstock powder and printed
and sintered parts. Additive Manufacturing, 36, Article 101542.
https://doi.org/10.1016/j.addma.2020.101542
8. Bai, Y., Wagner, G., & Williams, C. B. (2015). Effect of bimodal powder mixture on
powder packing density and sintered density in binder jetting of metals. In Proceedings of
the International Solid Freeform Fabrication Symposium (pp. 758–771). Austin, TX.
9. Butscher, A., Bohner, M., Roth, C., Ernstberger, A., Heuberger, R., Doebelin, N., Rudolf
Von Rohr, P., & Müller, R. (2012). Printability of calcium phosphate powders for three-
dimensional printing of tissue engineering scaffolds. Acta Biomaterialia, 8(1), 373–385.
https://doi.org/10.1016/j.actbio.2011.08.027
10. Zocca, A., Gomes, C. M., Bernardo, E., Muller, R., Gunster, J., & Colombo, P. (2013).
LAS glass-ceramic scaffolds by three-dimensional printing. Journal of the European
Ceramic Society, 33(9), 1525–1533. https://doi.org/10.1016/j.jeurceramsoc.2012.12.012
11. Lanzetta, M., & Sachs, E. (2001). The line formation with alumina powders in drop on
demand three-dimensional printing. In Proceedings of the First International Seminar on
Progress in Innovative Manufacturing Engineering (pp. 197–204). Sestri Levante.
12. Sun, C., Tian, X., Wang, L., Liu, Y., Wirth, C. M., Günster, J., Li, D., & Jin, Z. (2017).
Effect of particle size gradation on the performance of glass-ceramic 3D printing process.
Ceramics International, 43(1), 578–584. https://doi.org/10.1016/j.ceramint.2016.09.197
13. Du, W., Ren, X., Chen, Y., Ma, C., Radovic, M., & Pei, Z. (2018). Model guided mixing
of ceramic powders with graded particle sizes in binder jetting additive manufacturing. In
ASME 2018 13th International Manufacturing Science and Engineering Conference
(pp. 1–9). College Station, TX. https://doi.org/10.1115/MSEC2018-6651
14. Du, W., Roa, J., Hong, J., Liu, Y., Pei, Z., & Ma, C. (2021). Binder jetting additive
manufacturing: Effect of particle size distribution on density. Journal of Manufacturing
Science and Engineering, 143(9), 091002_1–091002_26. https://doi.org/10.1115/1.4050306
15. Suwanprateeb, J., Sanngam, R., & Panyathanmaporn, T. (2010). Influence of raw powder
preparation routes on properties of hydroxyapatite fabricated by 3D printing technique.
Materials Science and Engineering C, 30(4), 610–617.
https://doi.org/10.1016/j.msec.2010.02.014
16. Irsen, S. H., Leukers, B., Höckling, C., Tille, C., & Seitz, H. (2006). Bioceramic
granulates for use in 3D printing: Process engineering aspects. Materialwissenschaft und
Werkstofftechnik, 37(6), 533–537. https://doi.org/10.1002/mawe.200600033
17. Gildenhaar, R., Knabe, C., Gomes, C., Linow, U., Houshmand, A., & Berger, G. (2011).
Calcium alkaline phosphate scaffolds for bone regeneration 3D-fabricated by additive
manufacturing. Key Engineering Materials, 493–494, 849–854.
https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/KEM.493-494.849
18. Ben, Y., Zhang, L., Wei, S., Zhou, T., Li, Z., Yang, H., Wang, Y., Selim, F. A., Wong,
C., & Chen, H. (2017). PVB modified spherical granules of β-TCP by spray drying for 3D
ceramic printing. Journal of Alloys and Compounds, 721, 312–319.
https://doi.org/10.1016/j.jallcom.2017.05.008
19. Seitz, H., Deisinger, U., Leukers, B., Detsch, R., & Ziegler, G. (2009). Different calcium
phosphate granules for 3-D printing of bone tissue engineering scaffolds. Advanced
Engineering Materials, 11(5), 41–46. https://doi.org/10.1002/adem.200800334
https://doi.org/10.1115/1.4050306
https://doi.org/10.1002/adem.200800334
~ 205 ~
ISSN: 2411-4049. Екологічна безпека та природокористування, вип. 2 (58), 2026
20. Cox, S. C., Thornby, J. A., Gibbons, G. J., Williams, M. A., & Mallick, K. K. (2015). 3D
printing of porous hydroxyapatite scaffolds intended for use in bone tissue engineering
applications. Materials Science and Engineering C, 47, 237–247.
https://doi.org/10.1016/j.msec.2014.11.024
21. Chumnanklang, R., Panyathanmaporn, T., Sitthiseripratip, K., & Suwanprateeb, J.
(2007). 3D printing of hydroxyapatite: Effect of binder concentration in pre-coated particle
on part strength. Materials Science and Engineering C, 27(4), 914–921.
https://doi.org/10.1016/j.msec.2006.11.004
22. Du, W., Miao, G., Liu, L., Pei, Z., & Ma, C. (2019). Binder jetting additive manufacturing
of ceramics: Feedstock powder preparation by spray freeze granulation. In ASME 2019 14th
International Manufacturing Science and Engineering Conference (pp. 1–6). Erie, PA.
https://doi.org/10.1115/MSEC2019-3001
23. Du, W., Miao, G., Liu, L., Pei, Z., & Ma, C. (2019). Binder jetting additive manufacturing
of ceramics: Comparison of flowability and sinterability between raw and granulated
powders. In ASME 2019 14th International Manufacturing Science and Engineering
Conference (pp. 1–8). Erie, PA. https://doi.org/10.1115/MSEC2019-2983
24. Domiri Ganji, D., Mahboobtosi, M., & Nadalinia Chari, F. (2025). Nonlinear radiation in
entropy generation MHD flow of penta-hybrid nanofluids: Effects of variable thermal
conductivity, viscous dissipation and nonlinear convection. Journal of Radiation Research
and Applied Sciences, 18(2), Article 101524. https://doi.org/10.1016/j.jrras.2025.101524
25. Jalili, B., Majidi Zar, P., Liu, D., Ji, C.-H., Jalili, P., Abdelmohimen, M. A. H., & Domiri
Ganji, D. (2024). Thermal study of MHD hybrid nanofluids confined between two parallel
sheets: Shape factors analysis. Case Studies in Thermal Engineering, 63, Article 105229.
https://doi.org/10.1016/j.csite.2024.105229
26. Nakorchevski, A. I. (1980). Heterogeneous turbulent jets. Naukova Dumka.
[in Ukrainian]
27. Nakorchevski, A. I., & Kazachkov, I. V. (1979). Calculation of the heterogeneous
turbulent jet. In Systems of automation of continuous technological processes (pp. 68–79).
Institute of Cybernetics of NASU. [in Ukrainian]
28. Kazachkov, I. (2025). Turbulent two-phase jets of mutually immiscible liquids: Mixing
and heat transfer. Cambridge Scholars Publishing.
29. Kazachkov, I. V. (2018). Approaches for mathematical modeling and experimental study
of the turbulent flows of mutually immiscible liquids (oil-water). International Journal of
Petroleum and Petrochemical Engineering, 4(1), 70–81. https://doi.org/10.20431/2454-
7980.0401008
30. Kazachkov, I. V. (1980). Mathematical modelling of heterogeneous turbulent jets in
cylindrical chamber. Soviet Automatic Control, 13, 1–6. [in Ukrainian]
31. Nakorchevski, A. I., & Basok, B. I. (2001). Hydrodynamics and heat transfer in
heterogeneous systems and devices of pulsating type. Naukova Dumka. [in Ukrainian]
The article was received 17.02.2026, received after revision 23.03.2026, accepted 22.04.2026
Казачков Іван Васильович
д-р техн. наук, професор, завідувач кафедри, Ніжинський державний університет імені
Миколи Гоголя
Адреса робоча: 16602, Україна, м. Ніжин, вул. Графська, 2
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0001-9645-563X e-mail: kazachkov.iv@ndu.edu.ua
Нестеренко Олександр Васильович
доктор технічних наук, професор, провідний науковий співробітник, Інститут
телекомунікацій і глобального інформаційного простору Національної академії наук
України
Адреса робоча: 03186, Україна, м. Київ, Чоколівський бульвар, 13
ORCID ID: https://orcid.org/0000-0001-5329-889X e-mail: aleksandrnesterenkoua@gmail.com
https://doi.org/10.1016/j.jrras.2025.101524
|
| id | es-journalinua-article-365028 |
| institution | Environmental safety and natural resources |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-06-19T01:00:26Z |
| publishDate | 2026 |
| publisher | Kyiv National University of Construction and Architecture |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | es-journalinua/e7/b1985e534d3659668d9440a91c7b90e7.pdf |
| spelling | es-journalinua-article-3650282026-06-18T11:17:53Z Modelling and computer simulation of the turbulent two-phase jets of nano fluids Математичне моделювання та обчислювальний експеримент турбулентних двофазних струменів незмішуваних рідин та нанорідин Kazachkov, Ivan Nesterenko, Oleksandr mathematical modeling computational experiment turbulent two-phase jets immiscible liquids nanofluids математичне моделювання обчислювальний експеримент турбулентний двофазний струмені незмішувані рідини нанорідини The present paper is devoted to development of the mathematical models and numerical procedures for simulation of the mixing and heat transfer features of mutually immiscible liquids in the two-fluid turbulent heterogeneous jet flow, as well as in more general case – turbulent multiphase jets. Many natural and technical processes deal with the turbulent jets of mutually immiscible liquids, which represent an important class of the modern multiphase system dynamics. Differential equations for the axially symmetrical two-dimensional stationary flow and the integral correlations in a cylindrical coordinate system by Professor Alfred Nakorchevskii are considered for the jet of fluid flowing from a nozzle into a space filled with another fluid that is not miscible with the first one. Parameters of the turbulent mixing in the two-phase jet flow are modeled and analyzed. Previously the experimental data with water and oil, as well as with liquid metals, confirmed the results of numerical computer simulation when one example was performed for simulation of the high-temperature melts’ flow cooled by water in the hypothetic severe accidents at the nuclear power plant. The results obtained may be of interest for some research and industrial tasks, where the calculation of parameters of the multiphase turbulent mixing and heat transfer are important. Here the mathematical modelling and computer simulation of the mixing and heat transfer processes in the two-fluid turbulent heterogeneous jet flow of Nano fluids is considered. Many natural and technical processes deal with the turbulent jets of mutually immiscible liquids, which represent an important class of the modern multiphase system dynamics including the ones for the features of Nano fluids. Differential equations for the axially symmetrical two-dimensional stationary flow and the integral correlations in a cylindrical coordinate system were considered for the jet of fluid from a nozzle into a space filled with another fluid that is not miscible with the first one. Parameters of the turbulent mixing during the spreading of such jets are modeled and analyzed. The method was proved successfully during the half of the century in many different physical tasks including experimental studies with using the invented two-phase micro-sensor of Prof. A.I. Nakorchevskii and Dr. V.O. Chernov. The results obtained for the flow of a few Nano fluids may be of interest for the research and industrial tasks, where the calculation of multiphase turbulent mixing and heat transfer are important. Ця стаття присвячена розробці математичних моделей та числових процедур для моделювання особливостей змішування та теплопередачі взаємно незмішуваних рідин у двофазному турбулентному гетерогенному струменевому потоці, а також у більш загальному випадку – турбулентних багатофазних струменів. Багато природних та технічних процесів пов'язані з турбулентними струменями взаємно незмішуваних рідин, які представляють важливий клас сучасної динаміки багатофазних систем. Диференціальні рівняння для аксіально-симетричного двовимірного стаціонарного потоку та інтегральні кореляції в циліндричній системі координат професора Альфреда Накорчевського розглянуті для струменя рідини, що витікає з сопла в простір, заповнений іншою рідиною, яка не змішується з першою. Моделюються та аналізуються параметри турбулентного змішування в двофазному струменевому потоці. Раніше експериментальні дані з водою та нафтою, а також з рідкими металами, підтвердили результати числового комп'ютерного моделювання, коли один приклад був виконаний для моделювання потоку високотемпературних розплавів, охолоджених водою, в гіпотетичних важких аваріях на атомній електростанції. Отримані результати можуть бути цікавими для деяких дослідницьких та промислових завдань, де важливим є розрахунок параметрів багатофазного турбулентного перемішування та теплопередачі. Тут розглядається математичне моделювання та комп'ютерне моделювання процесів перемішування та теплопередачі в дворідинному турбулентному гетерогенному струменевому потоці нанорідин. Багато природних та технічних процесів мають справу з турбулентними струменями взаємно незмішуваних рідин, які представляють важливий клас сучасної динаміки багатофазних систем, включаючи ті, що стосуються особливостей нанорідин. Диференціальні рівняння для аксіально-симетричного двовимірного стаціонарного потоку та інтегральні кореляції в циліндричній системі координат були розглянуті для струменя рідини з сопла в простір, заповнений іншою рідиною, яка не змішується з першою. Моделюються та аналізуються параметри турбулентного перемішування під час розтікання таких струменів. Метод був успішно випробуваний протягом півстоліття в багатьох різних фізичних завданнях, включаючи експериментальні дослідження з використанням винайденого двофазного мікросенсора професора А.І. Накорчевського та к.т.н. В.О. Чернова. Результати, отримані для потоку кількох нанорідин, можуть бути цікавими для дослідницьких та промислових завдань, де важливим є розрахунок багатофазного турбулентного перемішування та теплопередачі. Kyiv National University of Construction and Architecture 2026-06-18 Article Article application/pdf https://es-journal.in.ua/article/view/365028 10.32347/2411-4049.2026.2.189-205 Environmental safety and natural resources; Vol. 58 No. 2 (2026): Environmental safety and natural resources; 189-205 Екологічна безпека та природокористування; Том 58 № 2 (2026): Екологічна безпека та природокористування; 189-205 2616-2121 2411-4049 10.32347/2411-4049.2026.2 uk https://es-journal.in.ua/article/view/365028/350518 Copyright (c) 2026 І.В. Казачков, О.В. Нестеренко http://creativecommons.org/licenses/by/4.0 |
| spellingShingle | mathematical modeling computational experiment turbulent two-phase jets immiscible liquids nanofluids Kazachkov, Ivan Nesterenko, Oleksandr Modelling and computer simulation of the turbulent two-phase jets of nano fluids |
| title | Modelling and computer simulation of the turbulent two-phase jets of nano fluids |
| title_alt | Математичне моделювання та обчислювальний експеримент турбулентних двофазних струменів незмішуваних рідин та нанорідин |
| title_full | Modelling and computer simulation of the turbulent two-phase jets of nano fluids |
| title_fullStr | Modelling and computer simulation of the turbulent two-phase jets of nano fluids |
| title_full_unstemmed | Modelling and computer simulation of the turbulent two-phase jets of nano fluids |
| title_short | Modelling and computer simulation of the turbulent two-phase jets of nano fluids |
| title_sort | modelling and computer simulation of the turbulent two-phase jets of nano fluids |
| topic | mathematical modeling computational experiment turbulent two-phase jets immiscible liquids nanofluids |
| topic_facet | mathematical modeling computational experiment turbulent two-phase jets immiscible liquids nanofluids математичне моделювання обчислювальний експеримент турбулентний двофазний струмені незмішувані рідини нанорідини |
| url | https://es-journal.in.ua/article/view/365028 |
| work_keys_str_mv | AT kazachkovivan modellingandcomputersimulationoftheturbulenttwophasejetsofnanofluids AT nesterenkooleksandr modellingandcomputersimulationoftheturbulenttwophasejetsofnanofluids AT kazachkovivan matematičnemodelûvannâtaobčislûvalʹnijeksperimentturbulentnihdvofaznihstrumenívnezmíšuvanihrídintananorídin AT nesterenkooleksandr matematičnemodelûvannâtaobčislûvalʹnijeksperimentturbulentnihdvofaznihstrumenívnezmíšuvanihrídintananorídin |