Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами

В настоящей работе рассматриваются брэгговские структуры с сосредоточенными нелинейными элементами и слоями, электрофизические свойства материалов которых описываются моделью керровской нелинейности. Для расчета распределения полей на границах структур предложен псевдообратный метод, представляющий...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автори:	Борулько, В.Ф., Сидоров, Д.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2013
Назва видання:	Радиофизика и радиоастрономия
Теми:	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100092
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами / В.Ф. Борулько, Д.В. Сидоров // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 1. — С. 75-86. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-100092
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1000922016-05-16T03:03:11Z Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами Борулько, В.Ф. Сидоров, Д.В. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн В настоящей работе рассматриваются брэгговские структуры с сосредоточенными нелинейными элементами и слоями, электрофизические свойства материалов которых описываются моделью керровской нелинейности. Для расчета распределения полей на границах структур предложен псевдообратный метод, представляющий собой комбинацию метода матриц передачи и итерационной процедуры Якоби. Такой приближенный численный метод учитывает изменение поля на толщине нелинейного слоя и, обеспечивая достаточно высокую точность, может применяться для структур с произвольным количеством нелинейных слоев. Рассчитаны значения амплитуды прошедшей волны для брэгговских структур с сосредоточенными нелинейными элементами в зависимости от частоты при различных значениях амплитуды падающей волны. Исследована зависимость смещения резонансной частоты и ширины гистерезисных петель от выбора точки параллельного включения нелинейной реактивной сосредоточенной проводимости. У даній роботі розглядаються брегівські структури із зосередженими нелінійними елементами і нелінійними шарами, електрофізичні властивості матеріалів яких описуються моделлю керрівської нелінійності. Для розрахунку розподілу полів на межах структур пропонується псевдообернений метод, що є комбінацією методу матриць передачі та ітераційної процедури Якобі. Такий наближений числовий метод враховує зміну поля на товщині нелінійного шару і, забезпечуючи досить високу точність, може застосовуватися для структур з довільною кількістю нелінійних шарів. Розраховано значення амплітуди хвилі, що пройшла, для брегівських структур із зосередженими нелінійними елементами залежно від частоти для різних значень амплітуди падаючої хвилі. Досліджено залежність зсуву резонансної частоти і ширини гістерезисних петель від вибору точки паралельного включення нелінійної реактивної зосередженої провідності. The Bragg structures with nonlinear lumped elements and layers with Kerr nonlinearity are considered. The pseudoinverse method for calculation the field at boundaries of the structures has been proposed. This method is the combination of the transmission matrix method and the Jacobi iterative procedure. This approximate numerical method takes into account changing the field amplitude on the thickness of the nonlinear layer. The sufficient accuracy of proposed method can be achieved by increasing the number of sublayers decomposition of the nonlinear resonance layers. The values of the amplitude of the transmitted wave for Bragg structures with lumped elements have been calculated as a function of frequency for different values of the incident wave amplitude. The resonance frequency shift and width of the hysteresis loops against the position of parallel connection of lumped susceptance have been investigated. 2013 Article Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами / В.Ф. Борулько, Д.В. Сидоров // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 1. — С. 75-86. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. 1027-9636 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100092 537.868; 530.182 ru Радиофизика и радиоастрономия Радіоастрономічний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн
spellingShingle	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Борулько, В.Ф. Сидоров, Д.В. Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами Радиофизика и радиоастрономия
description	В настоящей работе рассматриваются брэгговские структуры с сосредоточенными нелинейными элементами и слоями, электрофизические свойства материалов которых описываются моделью керровской нелинейности. Для расчета распределения полей на границах структур предложен псевдообратный метод, представляющий собой комбинацию метода матриц передачи и итерационной процедуры Якоби. Такой приближенный численный метод учитывает изменение поля на толщине нелинейного слоя и, обеспечивая достаточно высокую точность, может применяться для структур с произвольным количеством нелинейных слоев. Рассчитаны значения амплитуды прошедшей волны для брэгговских структур с сосредоточенными нелинейными элементами в зависимости от частоты при различных значениях амплитуды падающей волны. Исследована зависимость смещения резонансной частоты и ширины гистерезисных петель от выбора точки параллельного включения нелинейной реактивной сосредоточенной проводимости.
format	Article
author	Борулько, В.Ф. Сидоров, Д.В.
author_facet	Борулько, В.Ф. Сидоров, Д.В.
author_sort	Борулько, В.Ф.
title	Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами
title_short	Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами
title_full	Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами
title_fullStr	Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами
title_full_unstemmed	Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами
title_sort	резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100092
citation_txt	Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами / В.Ф. Борулько, Д.В. Сидоров // Радиофизика и радиоастрономия. — 2013. — Т. 18, № 1. — С. 75-86. — Бібліогр.: 23 назв. — рос.
series	Радиофизика и радиоастрономия
work_keys_str_mv	AT borulʹkovf rezonansvsloistyhbréggovskihstrukturahsnelinejnymiélementami AT sidorovdv rezonansvsloistyhbréggovskihstrukturahsnelinejnymiélementami
first_indexed	2025-07-07T08:19:30Z
last_indexed	2025-07-07T08:19:30Z
_version_	1836975517632299008
fulltext	ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 75 Радиофизика и радиоастрономия. 2013, Т. 18, № 1, c. 75–86 © В. Ф. Борулько, Д. В. Сидоров, 2013 В. Ф. БОРУЛЬКО, Д. В. СИДОРОВ Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара, пр. Гагарина, 72, г. Днепропетровск, 49010, Украина E-mail: borulko@inbox.ru, sidorov@email.ua ÐÅÇÎÍÀÍÑ Â ÑËÎÈÑÒÛÕ ÁÐÝÃÃÎÂÑÊÈÕ ÑÒÐÓÊÒÓÐÀÕ Ñ ÍÅËÈÍÅÉÍÛÌÈ ÝËÅÌÅÍÒÀÌÈ В настоящей работе рассматриваются брэгговские структуры с сосредоточенными нелинейными элементами и слоя- ми, электрофизические свойства материалов которых описываются моделью керровской нелинейности. Для расчета распределения полей на границах структур предложен псевдообратный метод, представляющий собой комбинацию метода матриц передачи и итерационной процедуры Якоби. Такой приближенный численный метод учитывает изме- нение поля на толщине нелинейного слоя и, обеспечивая достаточно высокую точность, может применяться для структур с произвольным количеством нелинейных слоев. Рассчитаны значения амплитуды прошедшей волны для брэгговских структур с сосредоточенными нелинейными элементами в зависимости от частоты при различных значениях амплитуды падающей волны. Исследована зависи- мость смещения резонансной частоты и ширины гистерезисных петель от выбора точки параллельного включения нелинейной реактивной сосредоточенной проводимости. Ключевые слова: брэгговский резонатор, метод матриц передачи, керровская нелинейность, сосредоточенная неоднород- ность, итерационный метод Якоби, мультистабильность, гистерезис УДК 537.868; 530.182 1. Ââåäåíèå Появление источников мощного излучения мик- роволнового, субмиллиметрового и оптического диапазонов стимулировало интенсивное развитие теоретических исследований и дало возможность экспериментального изучения нелинейных яв- лений. Разнообразие эффектов, обусловленных нелинейностью, весьма велико: фокусировка, дефокусировка, взаимодействие волн, биста- бильность и мультистабильность, генерация пространственных структур, оптическая турбу- лентность и т. д. Одним из наиболее важных тех- нических приложений нелинейных свойств ве- щества является создание логических устройств, устройств хранения и обработки информации, основанных на явлении гистерезиса [1, 2]. Как известно, бистабильность (мультистабиль- ность) свойственна нелинейным системам, ох- ваченным обратной связью, при этом система может принимать два (или более) устойчивых состояний при одном и том же входном воз- действии [1–3]. Для того чтобы существовала многозначность выходной величины при измене- нии входной величины в некотором заданном интервале, обратная связь и коэффициент нели- нейности должны находиться в определенном соотношении [3]. Наиболее простой моделью нелинейности, до- статочно хорошо согласующейся с множеством экспериментальных результатов, является кер- ровская нелинейность [1, 3]. Эта модель не учи- тывает генерацию высших гармоник и предпо- лагает зависимость диэлектрической проницае- мости от квадрата модуля электрического поля с коэффициентом пропорциональности .α Преде- лы, в которых может изменяться коэффициент нелинейности, достаточно широк, например, для паров натрия 8 2~10 см /кВт,−α для полупро- водников 5 2 2~10 10 см / кВт,− −α ÷ жидким крис- таллам свойственны “гигантские” нелинейнос- ти 20.1 см / кВтα > [4], причем во всех случаях физические механизмы нелинейности различны, а возрастание коэффициента α сопровождается увеличением инерционности отклика нелинейной системы [2, 5]. В силу этой зависимости сверх- быстродействующие комплексы на основе нели- нейных элементов, функционирующих в качестве бистабильных (мультистабильных) цифровых устройств, которые работают при комнатных температурах и имеют высокую степень интегри- руемости в электронные схемы вычислительных систем, достаточно сложно реализовать при ма- лых энергиях переключения [1, 2]. Несмотря на ряд существующих принци- пиальных физических ограничений [5–7], требуе- мые дисперсионные характеристики, гистерезис- ные свойства нелинейных систем можно синте- 76 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 В. Ф. Борулько, Д. В. Сидоров зировать в заданном диапазоне частот путем кон- струирования различных структур (резонансных систем). Такие структуры могут быть реализо- ваны в виде планарных конструкций различной формы на нелинейной подложке [8] либо в виде конструкций, содержащих массивы сосредоточен- ных нелинейных элементов [9]. Более распрост- раненными являются периодические и квази- периодические [10, 11] слоистые структуры. Использование брэгговских отражателей для обеспечения сильной частотно-селективной об- ратной связи в кольцевых резонаторах и резона- торах типа Фабри–Перо (РФП) позволяет наблю- дать мультистабильность при меньшей толщине слоя нелинейной среды. Для брэгговских структур, сочетающих сла- бую периодическую вариацию линейной части показателя преломления с нелинейной частью, зависящей от интенсивности излучения (керров- ская нелинейность), были получены точные вы- ражения, описывающие бистабильное поведение амплитуды поля прошедшей волны [12]. Однако в большинстве случаев при решении задач о рас- пределении электромагнитного поля на гра- ницах керровского нелинейного слоя точные решения не могут быть найдены и приходится использовать численные (итерационные) ме- тоды [13, 14]. В настоящей работе рассматриваются брэг- говские структуры с сосредоточенными нели- нейными элементами и слоями, электрофизичес- кие свойства материалов которых описываются моделью керровской нелинейности. Для расче- та распределения полей на границах структур предложен псевдообратный метод, представ- ляющий собой комбинацию метода матриц пе- редачи и итерационной процедуры Якоби. Такой приближенный численный метод учитывает изменение поля на толщине нелинейного слоя и, обеспечивая достаточно высокую точность, может применяться для структур с произволь- ным количеством нелинейных слоев. Рассчита- ны значения амплитуды прошедшей волны для брэгговских структур с сосредоточенными нелинейными элементами в зависимости от час- тоты при различных значениях амплитуды падающей волны. Исследована зависимость смещения резонансной частоты и ширины гис- терезисных петель от выбора точки параллель- ного включения нелинейной реактивной сосре- доточенной проводимости. 2. Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ Для анализа нелинейных брэгговских структур могут использоваться как приближенные аналити- ческие [12, 15], так и численные методы [13, 14]. Несмотря на удобство и общность аналитичес- ких методов, их применение ограничено значе- ниями нелинейности и контраста диэлектрической проницаемости. В свою очередь, численные ме- тоды более универсальны, однако они требуют больших затрат машинного времени и являются более трудоемкими. В формализме метода матриц передачи при распространении электромагнитной волны в мно- гослойных структурах любой изотропный одно- родный слой может быть охарактеризован квад- ратной матрицей второго порядка, которая свя- зывает электрические и магнитные компоненты полей на границах одного слоя [16]. Наиболее общее выражение для матрицы передачи в слу- чае нормального падения волны на плоскопарал- лельный слой с границами раздела, перпендику- лярными оси z, имеет вид: cos( ) sin( ) , sin( ) cos( ) zj j zj j jj j zj j zj j ik d k d p ip k d k d ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ M (1) где jd – геометрическая толщина слоя; параметр jp дается выражением 0( ),j j j jp Z= ε μ μ jε и jμ – диэлектрическая и магнитная проницаемос- ти j-го слоя, 0Z – волновое сопротивление сво- бодного пространства; продольное волновое чис- ло zjk определяется как 0 ,zj j jk k= ε μ 0k – вол- новое число свободного пространства. Результирующая характеристическая матри- ца M слоистой структуры рассчитывается как произведение характеристических матриц отдель- ных слоев структуры [14, 16]: .j j = ∏M M (2) В случае когда диэлектрическая проницаемость одного или нескольких слоев брэгговской струк- туры зависит от квадрата модуля электрическо- го поля, ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 77 Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами ( )2 ,f Eε = (3) непосредственное применение прямого расчета (2) с помощью метода матриц передачи невозможно. В этом случае мы предлагаем использовать ме- тод матриц передачи в совокупности с итерацион- ной схемой Якоби [17]. Более детальное изложе- ние предлагаемого метода расчета полей на гра- ницах брэгговской структуры с нелинейными слоями рассматривается в пункте 3.1. Когда высококонтрастный диэлектрический слой с относительной магнитной проницаемостью 1μ = и абсолютной диэлектрической проницае- мостью 128.85 10 Ф/мa −ε = ⋅ ε достаточно тонкий, его можно описать с помощью предельного вы- ражения для матрицы передачи: 1 0 1 0 . 1 1Y ai d Y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≈ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ωε ⎝ ⎠⎝ ⎠ M (4) Таким образом, тонкий диэлектрический слой при отсутствии потерь можно рассматривать как сосредоточенную реактивную проводимость, включенную параллельно в брэгговскую струк- туру. Причем, если диэлектрическая проницае- мость тонкого слоя нелинейная и задана в виде (3), можно получить точные значения распреде- ления амплитуд поля на границах слоистой струк- туры с сосредоточенным реактивным нелиней- ным элементом в виде тонкого слоя. Далее будем использовать зависимость от нор- мированной частоты 0 ,f f где 0f имеет смысл частоты первого брэгговского резонанса (при от- сутствии нелинейности) и, ввиду того, что рассмот- рение будет вестись для диэлектрических матери- алов 1 2( 1),μ = μ = вводится следующим образом: ( )( )0 1 1 2 22 ,f c d d= ε + ε 1 1d ε и 2 2d ε явля- ются электрическими толщинами слоев периода структуры, c – скорость света в вакууме. 3. Ðåçîíàíñ â ñëîèñòûõ ñòðóêòóðàõ ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè 3.1. Íåëèíåéíûé ðåçîíàíñ â ñëîèñòîé ñòðóêòóðå, ñîäåðæàùåé ñëîé ñ êåððîâñêîé íåëèíåéíîñòüþ Вначале рассмотрим произвольную слоистую структуру, содержащую один или несколько слоев с керровской нелинейностью, диэлектрическая про- ницаемость которых представима в виде 2 0.c c Eε = α + ε (5) Если в такой структуре возможно выделить час- ти, не содержащие нелинейных слоев, связь амплитуд поля на границах этих частей удается установить с помощью метода матриц передачи. Распределение же амплитуд поля на границах не- линейного слоя приходится рассчитывать при по- мощи комбинации итерационных процедур и ме- тода матриц передачи. Наиболее простой бистабильной ячейкой яв- ляется РФП с нелинейным заполнением. По ана- логии с нею рассмотрим нелинейный РФП с про- стыми периодическими брэгговскими зерка- лами (брэгговский резонатор) в свободном про- странстве. Поскольку структура содержит не- линейный слой (слой резонансной толщины), для расчета применим псевдообратный метод. Будем полагать, что амплитуда прошедшей вол- ны tA нам известна, а падающая волна рас- пространяется слева направо вдоль оси z, совпадающей с направлением стратификации (рис. 1, а и б). Далее определим амплитуды элек- трического rE и магнитного rH полей прошед- шей волны на правой границе структуры: 0, ,r t r tE A H A Z= = (6) где 0Z – волновое сопротивление свободного пространства. Амплитуды электрического nrE и магнитного nrH полей на правой границе нелинейного слоя при известных значениях амплитуд электричес- кого rE и магнитного rH полей (6) на правой границе правого брэгговского отражателя (и всей структуры) находятся при помощи матрицы пе- редачи rM этого отражателя: .nr r r nr r E E H H ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ M (7) В рамках предложенного метода нелинейный слой разбивается на N подслоев. При этом раз- биение предполагается таким, что диэлектричес- кая проницаемость каждого из подслоев не изме- няется на его толщине и зависит от среднего значения квадрата модуля электрического поля на левой и правой границах подслоя. Будем нуме- ровать подслои начиная с правой границы резо- 78 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 В. Ф. Борулько, Д. В. Сидоров нансного нелинейного слоя. Поскольку мы поло- жили, что амплитуды электрического и магнит- ного полей, jE и ,jH справа от подслоя нам известны, амплитуды полей 1jE + и 1jH + на левой границе подслоя должны быть определены из нелинейного уравнения 1 1 ( ) ,j j j j j E E H H + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ε⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ M (8) где ( )2 2 0 1 2j j jE E +ε = ε + α + и ( )jεM – диэ- лектрическая проницаемость и матрица пере- дачи нелинейного j-го подслоя соответственно. Из уравнения (7) амплитуды поля справа от пер- вого подслоя известны сразу, и, так как разбие- ние резонансного слоя проводится справа на- лево (рис. 1, б), для 1j = справедливо 1 ,nrE E= 1 .nrH H= Решение уравнения (8) мы проводили при по- мощи итерационного метода Якоби. В качестве начального приближения значение диэлектричес- кой проницаемости подслоя рассчитывалось в предположении, что поле справа и слева от под- слоя неизменно. Для увеличения скорости сходи- мости более точное начальное значение диэлек- трической проницаемости можно рассчитать при помощи линейной либо квадратичной экстра- поляции (на интервалах плавного возрастания и убывания), используя значения диэлектричес- кой проницаемости предыдущих подслоев. Используя матрицу передачи левого отража- теля брэгговского резонатора lM и рассчитан- ные поля слева от нелинейного резонансного слоя 1nl NE E += и 1,nl NH H += мы вычисляем ампли- туды электрического lE и магнитного lH полей слева от структуры аналогично (7): .l nl l l nl E E H H ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ M Комплексные амплитуды электрического поля падающей iA и отраженной rfA волн опреде- ляются следующим образом: 0 0( ) 2, ( ) 2.i l l rf l lA E H Z A E H Z= + = − Зависимость амплитуды прошедшей волны от амплитуды падающей волны может быть получена путем численного обращения [18]. Поскольку прямая функция может иметь немо- нотонный характер, обратная функция может иметь области многозначности. Предлагаемый метод расчета без каких-либо изменений можно обобщить на произвольное количество нелиней- ных слоев, размещенных в периодических, ква- зипериодических и непериодических слоистых структурах. Введем в рассмотрение брэгговский резонатор с резонансным слоем, состоящим из двух частей, причем одна из частей имеет нелинейную кер- ровскую диэлектрическую проницаемость с коэф- фициентом нелинейности 4 210 см /кВт,с −α = ли- нейная часть диэлектрической проницаемости равна 0 2,ε = вторая часть нелинейного состав- ного слоя является линейной с 2.ε = Левый и правый отражатели, формирующие резонатор, строго периодические и имеют диэлектрические проницаемости 2 1 4,j−ε = 2 2jε = и магнитные Рис. 1. Конструкция слоистого брэгговского резонатора: а – разбиение центрального резонансного нелинейного слоя с оптической толщиной 0 2h = λ на N подслоев (направление стратификации совпадает с осью z); б – конст- рукция брэгговского резонатора с резонансным слоем, состоящим из двух слоев с электрическими толщинами 1h и 2h и различными диэлектрическими проницаемостями (электрическая толщина периода 0 2)h = λ ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 79 Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами проницаемости 2 1 2 1.j j−μ = μ = Электрические толщины слоев периода равны 2 1jh − = 2 0 4,jh = λ общее количество слоев структуры 27.M = Такая конструкция, с одной стороны, позволяет использовать нелинейный слой фиксированной толщины для различных частот путем вариации толщины слоя с линейными свойствами и, с дру- гой – непрерывно изменять нелинейные свойства резонатора при фиксированном коэффициенте не- линейности. Рассмотрим, как изменяются частотные и ам- плитудные характеристики при прохождении вол- ны через такой составной брэгговский резонатор в зависимости от соотношения толщин частей ре- зонансного составного слоя с линейной и нелиней- ной диэлектрической проницаемостями в полосе брэгговского отражения. Соотношение толщин будем изменять таким образом, чтобы результи- рующая электрическая толщина резонансного слоя в отсутствие электромагнитного поля оставалась постоянной и равной половине длины волны. На рис. 2, а линией 1 представлена частотная характеристика коэффициента прохождения для брэгговского резонатора. Данные получены для случая, когда диэлектрическая проницаемость материала, формирующего слой с резонансными свойствами, не зависит от интенсивности поля. Амплитуда падающей волны составляла 20 В/см.iA = Видно, что коэффициент прохожде- ния практически равен единице строго на часто- те брэгговского резонанса. В результате линей- ности системы такое поведение сохраняется при любой амплитуде падающей волны. При увеличении доли нелинейного подслоя с коэффициентом сα в резонансном составном слое путем изменения соотношения электричес- ких толщин нелинейного и линейного подслоев до 1 0.45 ,h h= 2 0.55h h= (рис. 2, а, линия 2) про- является гистерезисный характер частотной за- висимости. Резонансная частота смещается в об- ласть нижних частот и, соответственно, гистере- зисная петля замкнута против часовой стрелки. Дальнейшее изменение соотношения до 1h = 0.95 ,h 2 0.05h h= (рис. 2, а, линия 3) приводит к тому, что резонансная частота (максимум про- хождения) смещается дальше в область нижних частот, при этом гистерезисная петля расши- ряется за счет большего смещения точки пере- хода с верхней ветки частотной характеристики на нижнюю при удалении от частоты брэгговско- го резонанса 0 1.f f = Точка перехода с нижней ветви на верхнюю также смещается, однако не- значительно. Рассмотрим зависимость амплитуды прошедшей волны от амплитуды падающей волны при различ- ных значениях частоты (рис. 2, б, линии 1–3). Для частоты 0 1.09f f = (рис. 2, б, линия 1) пет- ля гистерезиса амплитудной зависимости имеет Рис. 2. Явление гистерезиса в брэгговском резонаторе с не- линейным слоем: а – зависимость амплитуды прошедшей вол- ны от частоты при амплитуде падающей волны 20 В / смiA = для различных соотношений толщин линейной и нелинейной частей резонансного слоя (линия 1 – линейный случай, линия 2 – электрическая толщина нелинейного слоя 1 0.45 ,h h= элек- трическая толщина линейного слоя 2 0.55 ,h h= линия 3 – электрическая толщина нелинейного слоя 1 0.95 ,h h= элект- рическая толщина линейного слоя 2 0.05 );h h= б – зависи- мость амплитуды прошедшей волны от амплитуды падаю- щей волны при различных значениях частот (линия 1 – 0 1.09,f f = линия 2 – 0 1.08,f f = линия 3 – 0 1.07)f f = 80 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 В. Ф. Борулько, Д. В. Сидоров наибольшую ширину, для меньших значений час- тоты 0 1.08f f = и 0 1.07f f = (рис. 2, б, линии 2 и 3 соответственно) петля гистерезиса сме- щается в область меньших амплитуд и, кроме того, сужается. Следует отметить, что участки характеристики, где происходит возрастание ам- плитуды прошедшей волны при уменьшении амплитуды падающей волны являются неустой- чивыми и не реализуются, а переходы происхо- дят в точках перегиба кривых таким образом, что гистерезисные петли замкнуты против часо- вой стрелки. Расчеты проводились при помощи описанной выше процедуры, максимальная по- грешность вычисления диэлектрической прони- цаемости нелинейного слоя не превышала 610 .−δε = Разбиение каждой из частей резонанс- ного слоя с линейной и нелинейной диэлектричес- кими проницаемостями проводилось на 100N = подслоев равной электрической толщины. В работах [19, 20] исследовались бистабиль- ные поляризационные свойства слоистых струк- тур с симметричным и асимметричным рас- положением дефекта в виде нелинейного слоя, причем диэлектрическая проницаемость на тол- щине нелинейного слоя предполагалась неиз- менной. При больших толщинах нелинейного слоя необходимо учитывать изменение диэлек- трической проницаемости. Распределения диэ- лектрической проницаемости на толщине ре- зонансного слоя на частоте брэгговского резо- нанса для различных соотношений электричес- ких толщин линейного и нелинейного слоев при- ведены на рис. 3, а (линии 1–3). Прежде всего отметим, что, поскольку диэлектрическая про- ницаемость одной из частей резонансного слоя нелинейная, внутри резонансного слоя форми- руется граница раздела, однако из-за сравнитель- но небольшого контраста ее влияние практичес- ки не сказывается. Поскольку центральный резонансный слой имеет низкое значение диэлектрической прони- цаемости (по сравнению с диэлектрической про- ницаемостью нечетных слоев брэгговских отра- жателей), на частоте брэгговского резонанса в центре слоя образуется максимум электрическо- го поля, соответственно, наибольшее отклонение диэлектрической проницаемости от невозмущенно- го значения происходит в центре слоя (рис. 3, а, линия 2) для случая, когда части резонансного слоя с линейной и нелинейной проницаемостями имеют одинаковую толщину. Амплитуда прошед- шей волны 5 В/см.tA = Когда электрическая тол- щина нелинейного подслоя в резонаторе отлична от 0 2λ (например, рис. 3, а, линии 1 и 3), макси- мальное отклонение диэлектрической проницае- мости не превосходит 2.62сε = на частоте брэг- говского резонанса. Рассмотрим, как зависит количество итераций n от толщины нелинейного слоя на частоте 0 1f f = при различных значениях амплитуды падающей Рис. 3. Расчет диэлектрической проницаемости слоя с кер- ровской нелинейностью: а – распределение диэлектричес- кой проницаемости составного нелинейного слоя при раз- личных соотношениях электрических толщин линейного и не- линейного слоев (линия 1 – 1 ,h h= линия 2 – 1 0.5 ,h h= линия 3 – 1 0.35 );h h= б –зависимость количества итераций от толщины нелинейного слоя при различных значениях амплитуды падающей волны (линия 1 – 310 В / см,iA = ли- ния 2 – 31.5 10 В /см,iA = ⋅ линия 3 – 32 10 В / см)iA = ⋅ ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 81 Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами волны (рис. 3, б, линии 1–3). Пусть слой размещен в вакууме и имеет диэлектрическую проницае- мость 264 10 ,E−ε = + где величина Е измеряет- ся в вольтах на сантиметр, а предельная точность вычислений задана значением 1210 .−δε = Можно видеть, что количество итераций немонотон- но зависит от толщины слоя, причем, если элек- трическая толщина слоя меньше 0 10,λ коли- чество итераций не превышает значения 20n = при амплитуде падающей волны 32 10 В/смiA = ⋅ (рис. 3, б, линия 3). Для меньших амплитуд ите- рационная процедура сходится быстрее (см. рис. 3, б, линии 1 и 2). 3.2. Íåëèíåéíûé ðåçîíàíñ â ñëîèñòîé ñòðóêòóðå, ñîäåðæàùåé ñëîé ñ ðàöèîíàëüíîé êåððîâñêîé íåëèíåéíîñòüþ Как уже отмечалось, разнообразие физических механизмов нелинейности достаточно велико, тем не менее большую их часть (наиболее интересную для технических приложений) можно описать с высокой степенью точности при помощи модели керровской нелинейности в виде (5). Однако неограниченное возрастание либо снижение диэлектрической проницаемости является проти- воестественным (в подавляющем большинстве случаев не происходит), диэлектрическая прони- цаемость при увеличении амплитуды электро- магнитного поля, возрастая либо убывая, плавно выходит на некоторое постоянное значение, как, например, при просветлении среды в результате процессов насыщения. В этом случае удобно ис- пользовать дробно-рациональную модель для представления нелинейной зависимости диэлек- трической проницаемости [14]: ( ) ( )2 2 0 1 1 .M E Eε = ε + ξ + η (9) Выражение (9) содержит два параметра нели- нейности, ξ и ,η что позволяет более точно ап- проксимировать зависимость диэлектрической проницаемости, причем она будет либо убываю- щей, либо возрастающей функцией 2E при раз- личных значениях 0 1.< ξ η < Как и ранее, рассмотрим брэгговский резо- натор с центральным слоем толщиной 0 2,λ состоящим из двух частей с различными типа- ми нелинейности (убывающая и возрастающая нелинейности), однако теперь будем полагать, что нелинейность является керровской рациональ- ной (9). На рис. 4, а представлены частотные зависи- мости амплитуды прошедшей волны при различ- ном соотношении толщин частей центрального слоя с параметрами нелинейности 1 0,ξ > 1 0η = – для первой части, 2 20 1< ξ η < – для второй; ам- плитуда падающей волны 32 10 В/см.iA = ⋅ Рис. 4. Явление гистерезиса в брэгговском резонаторе с составным нелинейным слоем: а – зависимость амплитуды прошедшей волны от частоты при амплитуде падающей вол- ны 32 10 В / смiA = ⋅ для различных соотношений толщин подслоев с нелинейной диэлектрической проницаемостью, из- меняющейся по возрастающему и убывающему законам (ли- ния 1 – электрическая толщина первой части слоя 1 0.5 ,nh h= линия 2 – 1 0.4 ,nh h= линия 3 – 1 0.25 );nh h= б – зависимость амплитуды прошедшей волны от амплитуды падающей вол- ны при различных значениях частот (линия 1 – 0 1.07,f f = линия 2 – 0 1.08,f f = линия 3 – 0 1.09)f f = 82 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 В. Ф. Борулько, Д. В. Сидоров Параметры левого и правого отражателей, фор- мирующих резонатор, выбирались следующие: диэлектрические проницаемости 2 1 4,j−ε = 2 2;jε = магнитные проницаемости 2 1 2 1;j j−μ = μ = элект- рические толщины слоев периода резонатора 2 1 2 0 4.j jh h− = = λ Общее количество слоев струк- туры 31.M = Коэффициенты нелинейности слоев имеют следующие значения: 6 2 2 1 10 см /В ,−ξ = 1 0η = – для первой части нелинейного ре- зонансного слоя; 6 2 2 2 10 см /В ,−ξ = 2 1.25η = × 6 2 210 см /В− – для второй части. При соотно- шении электрических (линейных) толщин час- тей резонансного слоя 1 0.25 ,nh h= 2 0.75nh h= (рис. 4, а, линия 3) наблюдается два гистерезис- ных участка: большим значениям коэффициента прохождения соответствует смещение резо- нансной частоты в область нижних частот, а малым – в область верхних частот. Такая за- кономерность не зависит от порядка расположе- ния нелинейных подслоев. Для малых значений амплитуды прошедшей волны преобладает нелинейность подслоя с 2 2 1,ξ η < и результирующая электрическая тол- щина резонансного слоя уменьшается, что при- водит к смещению резонансной частоты в об- ласть верхних частот. Вмести с тем увеличение диэлектрической проницаемости и, соответст- венно, электрической толщины подслоя с пара- метром 1,ξ приводит к “вытеснению” в него электрического поля, и, как следствие, к преоб- ладанию нелинейности первого подслоя при практически эквивалентных электрических тол- щинах частей резонансного слоя: 1 0.4 ,nh h= 2 0.6nh h= (рис. 4, а, линии 2) и 1 0.5 ,nh h= 2 0.5nh h= (рис. 4, а, линии 1). На рис. 4, б представлены зависимости ампли- туды прошедшей волны от амплитуды падающей волны для различных значений частоты. Чем ближе частота падающей волны к частоте ли- нейного брэгговского резонанса, тем больше ши- рина гистерезисной петли (рис. 4, б, линия 1 для 0 1.07).f f = При увеличении частоты (рис. 4, б, линия 2 для 0 1.08,f f = и линия 3 для 0 1.09)f f = гистерезисная петля смещает- ся в область больших амплитуд, при этом она сужается и уменьшает свой размах. При заданных параметрах отражателей доб- ротность резонатора достаточно велика, и при небольшом изменении частоты амплитуда по- ля сильно варьируется, соответственно, диэлект- рическая проницаемость также варьируется (рис. 5, а). При 0 1.1f f = (рис. 5, а, линия 1) электрические толщины частей резонансного слоя практически равны, с приближением к час- тоте брэгговского резонанса при 0 1.05f f = и 0 1.0f f = (см. рис. 5, а, линия 2 и линия 3 соот- ветственно) электрическая толщина резонансного слоя удовлетворяет условию 1 2 0 2,n nh h+ > λ сле- довательно, максимум прохождения на час- тоте брэгговского резонанса не наблюдается (рис. 4, а, линия 1), а смещается в область ниж- Рис. 5. Расчет диэлектрической проницаемости нелинейного составного резонансного слоя: а – распределение диэлект- рической проницаемости при различных значениях частоты падающей электромагнитной волны (линия 1 – 0 1.1,f f = линия 2 – 0 1.05,f f = линия 3 – 0 1.0);f f = б – зави- симость количества итераций от толщины слоя при различ- ных значениях амплитуды падающей волны (линия 1 – 310 В / см,iA = линия 2 – 31.5 10 В /см,iA = ⋅ линия 3 – 32 10 В / см)iA = ⋅ ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 83 Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами них частот, не выходя за пределы полосы брэг- говского отражения, где добротность резонатора резко падает. Проанализируем, как зависит количество ите- раций от толщины нелинейного слоя с рациональ- ной керровской зависимостью (9) диэлектри- ческой проницаемости (рис. 5, б). Аналогично случаю с простой керровской нелинейностью (рис. 3, б) параметры выбираем следующим об- разом: 0 1,f f = слой находится в свободном пространстве, ( ) ( )2 26 74 1 10 1 5 10 ,E E− −ε = + + ⋅ где величина Е измеряется в вольтах на санти- метр, а предельная точность вычислений, как и ранее, 1210 .−δε = Количество итераций немо- нотонно зависит от толщины нелинейного слоя и для значений 0 0.1h λ < не превышает 15.n = Следует также отметить, что при изменении амплитуды падающей волны (рис. 5, б, линия 1 – 310 В/см,iA = линия 2 – 31.5 10 В/см,iA = ⋅ линия 3 – 32 10 В/см)iA = ⋅ количество итераций прак- тически не изменяется и возрастает линейно с ростом толщины нелинейного слоя в интервале 00 0.075.h< λ < 3.3. Íåëèíåéíûé ðåçîíàíñ â áðýããîâñêîé ñòðóêòóðå ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ýëåìåíòàìè Мы рассмотрели брэгговские структуры с нели- нейными слоями, перейдем теперь к рассмотре- нию структур с сосредоточенными неоднород- ностями. Известно, что тонкий диэлектрический слой может быть представлен как параллельно включенная емкость (4), однако мы не ограничи- ваемся данным конкретным представлением. Сосредоточенные нелинейные неоднородности могут быть реализованы в виде печатных рисун- ков, массивов дискретных нелинейных элементов (варакторные диоды) [9] и т. д. В работе [21] были изучены свойства брэгговских структур с нели- нейными дефектными слоями в зависимости от их расположения, однако включение сосредо- точенной нелинейности позволяет провести более тонкую настройку брэгговского резонатора для по- лучения желаемых частотных и амплитудных ха- рактеристик. Мы выбрали сосредоточенную неоднородность в виде реактивной керровской проводимости, за- висящей от квадрата модуля электрического поля: ( )2 0 ,YrY i C E= ω + α (10) где 0C – линейная часть емкости. Как было показано в [22] собственные па- раметры структуры существенно зависят от ме- стоположения включения сосредоточенной неоднородности. Даже при небольших значениях неоднородности существуют точки включения, в которых неоднородность значительно изменяет свойства всей структуры. Введение реактив- ной линейной неоднородности в брэгговский отражатель [23] позволяет получить колебание с высокой добротностью в полосе брэгговского отражения. Используя выражение (4), поля слева и справа от неоднородности с нелинейными характерис- тиками можно записать следующим образом: , ,Yl Yr Yl Yr YrE E H H E Y= = + где Y – нелинейная проводимость, описываемая выражением (10). Как можно видеть, в отличие от (8) это уравнение является линейным, что по- зволяет точно рассчитать распределения полей на левой и правой границах структуры. Будем рассматривать включение нелинейного сосредоточенного элемента внутри центрально- го резонансного слоя брэгговского резонатора. Полное число слоев структуры 23,M = период состоит из двух слоев с высоким и низким значе- ниями диэлектрической проницаемости 2 1 2,j−ε = 2 1,jε = электрические толщины слоев 2 1jh − = 2 0 4,jh = λ за исключением 12 0 2.h = λ Сосре- доточенная нелинейная проводимость имела следующие параметры: 12 0 5 10 Ф,C −= ⋅ α = 6 2 210 Ф см /В .− ⋅ Частотные характеристики такой структу- ры при различных точках включения нелиней- ного сосредоточенного элемента представлены на риc. 6. При симметричном включении в заданную структуру (рис. 6, а) (резонансный слой с низким значением диэлектрической проницаемости) нелинейная неоднородность располагается в мак- симуме электрического поля, смещение резонан- сной частоты в этом случае наибольшее, а гис- терезисные петли тем шире, чем больше ампли- туда падающей волны (рис. 6, а, линии 1–3). Следует также отметить, что значение коэф- фициента прохождения на резонансной частоте достигает единицы при любых амплитудах па- дающей волны. 84 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 В. Ф. Борулько, Д. В. Сидоров Если нелинейная неоднородность включена несимметрично и расположена между частями центрального резонансного слоя 0 10λ и 04 10,λ положения максимума электрического поля и точки включения неоднородности не совпадают, и в этом случае резонансная частота смещается меньше (рис. 6, б, линии 1–3), причем максималь- ное значение коэффициента прохождения тем мень- ше, чем больше амплитуда падающей волны. Например, для 10 В/смiA = коэффициент прохож- дения составляет 0.99 при 0 1f f = (рис. 6, б, линия 3), для 50 В/смiA = коэффициент прохожде- ния равен 0.97 при 0 0.98f f = (рис. 6, б, линия 2), для 100 В/смiA = коэффициент прохождения ра- вен 0.83 при 0 0.96f f = (рис. 6, б, линия 1). Здесь под резонансной частотой мы понимали частоту, при которой коэффициент прохождения принимает максимальное значение при заданной амплитуде падающей волны. 4. Âûâîäû Использование брэгговских отражателей для орга- низации сильной обратной связи позволяет полу- чать и наблюдать гистерезис частоты и ампли- туды при небольших толщинах нелинейного слоя и относительно малых амплитудах падающей волны. Предложенный псевдообратный метод расчета распределения амплитуд поля на границах струк- туры с нелинейными слоями представляет собой комбинацию метода матриц передачи и итера- ционной схемы Якоби в предположении об извес- тном поле прошедшей волны. Такой метод яв- ляется достаточно гибким и не накладывает ог- раничений на толщину нелинейных слоев, а также на количество нелинейных слоев и порядок их рас- положения в брэгговской структуре. Точность вычислений удается повысить за счет увеличе- ния количества итераций, а область сходимости расширяется при уменьшении толщины подслоев нелинейного слоя. В зависимости от того, какая часть резонанс- ного слоя является нелинейной, эффект гистере- зиса проявляется либо сильнее, либо слабее, при этом изменяется распределение диэлектричес- кой проницаемости на толщине резонансного слоя. Наличие нескольких нелинейностей в резонанс- ном слое приводит к сложному гистерезисному поведению частотных характеристик из-за пере- распределения поля между частями резонансно- го слоя с различной (убывающей и возрастаю- щей) нелинейностью. Результирующая электри- ческая толщина резонансного слоя с ростом час- тоты вначале превышает 0 2,λ а затем стано- вится меньше 0 2.λ Распределение амплитуд поля на границах структуры с нелинейными сосредоточенными элементами в виде параллельной проводимости могут быть вычислены без применения итерацион- ных процедур (приближенных методов). Харак- теристики структуры существенно зависят от Рис. 6. Зависимость амплитуды прошедшей волны от час- тоты для брэгговского резонатора при различных амплиту- дах падающей волны: а – положение сосредоточенного эле- мента симметрично (линия 1 – 100 В / см,iA = линия 2 – 50 В /см,iA = линия 3 – 10 В / см);iA = б – точка включе- ния сосредоточенного элемента делит центральный резонан- сный слой на подслои с электрическими толщинами 0 10λ и 04 10λ (линия 1 – 100 В / см,iA = линия 2 – 50 В / см,iA = линия 3 – 10 В /см)iA = ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 85 Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами местоположения включения сосредоточенного элемента. Ширину гистерезисной петли, смеще- ние резонансной частоты можно варьировать посредством перемещения сосредоточенного нелинейного элемента относительно пучности электрического поля. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 01. Gibbs H. M. Optical Bistability: Controlling Light with Light. – N.Y.: Academic Press, 1985. – 447 p. 02. Ахманов С. А. Новые физические принципы оптической обработки информации: Сборник статей / Под ред. С. А. Ахманова и М. А. Воронцова. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 400 с. 03. Lugiato L. A. Theory of optical bistability. In: Progress in Optics / Ed. by E. Wolf. – Amsterdam: Elsevier. – 1984. – Vol. 21. – p. 69–216. 04. Аракелян С. М. Оптическая бистабильность, мультиста- бильность и неустойчивости в жидких кристаллах // УФН. – 1987. – Т. 153, № 4. – C. 579–618. 05. Smith P. W. On the physical limits of digital optical swit- ching and logical elements // Bell Syst. Tech. J. – 1982. – Vol. 61, No. 8. – P. 1975–1993. 06. Miller D. A. B., Smith S. D., and Seaton C. T. Optical bistability in semiconductors // IEEE J. Quantum Electron. 1981. – Vol. 17, No. 3. – P. 312–317. 07. Miller D. A. B., Seaton C. T., Prise M. E., and Smith S. D. Band-gap resonant nonlinear refraction in III-V semicon- ductors // Phys. Rev. Letters. – 1981. – Vol. 47, No. 3. – P. 197–200. 08. Tuz V. R. and Prosvirnin S. L. All-optical switching in metamaterial with high structural symmetry // Eur. Phys. J. – Appl. Phys. – 2011. – Vol. 56, No. 3. – P. 30401 (5). 09. Powell D. A., Shadrivov I. V., and Kivshar Yu. S. Nonlinear electric metamaterials // Appl. Phys. Lett. – 2009. – Vol. 95, No. 8. – P. 084102 (3). 10. Shramkova O. V. and Schuchinsky A. G. Gaussian pulse scattering by nonlinear Thue-Morse quasiperiodic multi- layers // Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromag- netic Theory (MMET). – Kharkov (Ukraine) – 2012. – P. 371–373. 11. Борулько В. Ф., Дробахин О. О., Сидоров Д. В. Преоб- разование формы импульсов при падении на брэгговс- кие структуры // Радиофизика и радиоастрономия. – 2012.– Т. 17, №3.– C. 253–263. 12. Winful H. G., Marburger J. H., and Garmire E. Theory of bistability in nonlinear distributed feedback structures // Appl. Phys. Lett. – 1979. – Vol. 35, No. 5. – P. 379–381. 13. Shestopalov Yu. V. and Yatsyk V. V. Diffraction by a Kerr- type nonlinear dielectric layer // PIERS online. – 2007. – Vol. 3, No. 6. – P. 759–763. 14. Borulko V. and Sidorov D. Nonlinear resonances in the Bragg layer structures with lumped reactive elements // Proc. of Int. Seminar/Workshop on Direct and Inverse Prob- lems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED). – Tbilisi (Georgia). – 2010. – P. 123–126. 15. Bogoliubov N. N. and Mitropolsky J. A. Asymptotic me- thods in the theory of nonlinear oscillations. – N.Y.: Gor- don and Breach Sceince Publ., 1961. – 410 p. 16. Born M. and Wolf E. Principles of Optics. – Oxford: Per- gamon Press, 1975. – 808 p. 17. Korn G. A. and Korn T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and For- mulas for Reference and Review. – Mineola, N. Y.: Dover Publ., 2000. – 1151 p. 18. Borulko V. and Sidorov D. Nonlinear Resonances in Bragg layered structures with Kerr nonlinear layers // Int. Conf. on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling (LFNM). – Kharkov (Ukraine). – 2011. – P. 1–3. 19. Tuz V. R. and Prosvirnin S. L. Bistability, multistability, and nonreciprocity in a chiral photonic bandgap structure with nonlinear defect // J. Opt. Soc. Am. B. – 2011. – Vol. 28, No. 5. – P. 1002–1008. 20. Tuz V. R., Prosvirnin S. L., and Zhukovsky S. V. Polariza- tion switching and nonreciprocity in symmetric and asym- metric magnetophotonic multilayers with nonlinear de- fect // Phys. Rev. A. – 2012. – Vol. 85, No. 4. – P. 043822 (8). 21. Feise M. W., Shadrivov I. V., and Kivshar Yu. S. Tunable transmission and bistability in left-handed bandgap struc- tures // Phys. Lett. – 2004. – Vol. 85, No. 9. – P. 1451–1453. 22. Borulko V. F. and Sidorov D. V. Eigen modes of quasipe- riodic layered resonators // Proc. of Int. Kharkov Symp. on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimeter Waves (MSMW). – Kharkov (Ukraine) – 2010. – P. 1–3. 23. Borulko V. and Sidorov D. Linear and nonlinear resonances in layered Bragg structures with lumped parallel reactive inhomogeneities // Proc. of Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET). – Kyiv (Ukraine) – 2010. – P. 1–4. В. Ф. Борулько, Д. В. Сидоров Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, пр. Гагаріна, 72, м. Дніпропетровськ, 49010, Україна РЕЗОНАНС У ШАРУВАТИХ БРЕГІВСЬКИХ СТРУКТУРАХ З НЕЛІНІЙНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ У даній роботі розглядаються брегівські структури із зосе- редженими нелінійними елементами і нелінійними шарами, електрофізичні властивості матеріалів яких описуються моделлю керрівської нелінійності. Для розрахунку роз- поділу полів на межах структур пропонується псевдообер- нений метод, що є комбінацією методу матриць передачі та ітераційної процедури Якобі. Такий наближений число- вий метод враховує зміну поля на товщині нелінійного шару і, забезпечуючи досить високу точність, може застосовува- тися для структур з довільною кількістю нелінійних шарів. Розраховано значення амплітуди хвилі, що пройшла, для брегівських структур із зосередженими нелінійними еле- ментами залежно від частоти для різних значень амплітуди падаючої хвилі. Досліджено залежність зсуву резонансної частоти і ширини гістерезисних петель від вибору точки па- ралельного включення нелінійної реактивної зосередженої провідності. 86 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 18, № 1, 2013 В. Ф. Борулько, Д. В. Сидоров V. F. Borulko and D. V. Sidorov Oles Honchar National University of Dnipropetrovsk, 72, Gagarin Ave., Dnipropetrovsk, 49010, Ukraine RESONANCE IN LAYERED BRAGG STRUCTURES WITH NONLINEAR ELEMENTS The Bragg structures with nonlinear lumped elements and layers with Kerr nonlinearity are considered. The pseudoinverse me- thod for calculation the field at boundaries of the structures has been proposed. This method is the combination of the transmission matrix method and the Jacobi iterative procedure. This approximate numerical method takes into account changing the field amplitude on the thickness of the nonlinear layer. The sufficient accuracy of proposed method can be achieved by increasing the number of sublayers decomposition of the nonlinear resonance layers. The values of the amplitude of the transmitted wave for Bragg structures with lumped elements have been calculated as a func- tion of frequency for different values of the incident wave am- plitude. The resonance frequency shift and width of the hyste- resis loops against the position of parallel connection of lumped susceptance have been investigated. Статья поступила в редакцию 15.11.2012

Резонанс в слоистых брэгговских структурах с нелинейными элементами

Репозитарії

Схожі ресурси