Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением
На основі підходу, що базується на застосуванні рядів Фур'є для функцій, заданих на дискретній множині точок, розв'язано задачі про напружений стан некругових порожнистих циліндрів в залежності від форми поперечного перерізу та механічних властивостей матеріалу. Наведено результати дослідж...
Saved in:
| Date: | 2014 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Series: | Прикладная механика |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100601 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением / Я.М. Григоренко, Л.С. Рожок // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 3-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100601 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1006012016-05-25T03:02:28Z Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. На основі підходу, що базується на застосуванні рядів Фур'є для функцій, заданих на дискретній множині точок, розв'язано задачі про напружений стан некругових порожнистих циліндрів в залежності від форми поперечного перерізу та механічних властивостей матеріалу. Наведено результати дослідження напруженого стану у вигляді графіків та таблиць і дано їх аналіз. In the framework of approach based on using the Fourier series for functions given over the discrete set of points, the problem is solved on the stress state of noncircular hollow cylinder in dependence on the form of cross-section and mechanical properties of material. The results of analysis of the stress state are presented in the form of plots and tables. 2014 Article Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением / Я.М. Григоренко, Л.С. Рожок // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 3-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100601 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
На основі підходу, що базується на застосуванні рядів Фур'є для функцій, заданих на дискретній множині точок, розв'язано задачі про напружений стан некругових порожнистих циліндрів в залежності від форми поперечного перерізу та механічних властивостей матеріалу. Наведено результати дослідження напруженого стану у вигляді графіків та таблиць і дано їх аналіз. |
| format |
Article |
| author |
Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. |
| spellingShingle |
Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением Прикладная механика |
| author_facet |
Григоренко, Я.М. Рожок, Л.С. |
| author_sort |
Григоренко, Я.М. |
| title |
Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением |
| title_short |
Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением |
| title_full |
Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением |
| title_fullStr |
Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением |
| title_full_unstemmed |
Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением |
| title_sort |
применение дискретных рядов фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100601 |
| citation_txt |
Применение дискретных рядов Фурье к решению задач о напряженном состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением / Я.М. Григоренко, Л.С. Рожок // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 3-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT grigorenkoâm primeneniediskretnyhrâdovfurʹekrešeniûzadačonaprâžennomsostoâniipolyhcilindrovsnekrugovympoperečnymsečeniem AT rožokls primeneniediskretnyhrâdovfurʹekrešeniûzadačonaprâžennomsostoâniipolyhcilindrovsnekrugovympoperečnymsečeniem |
| first_indexed |
2025-07-07T09:03:47Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:03:47Z |
| _version_ |
1836978304808124416 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 2
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 2 3
Я .М . Г р и г о р е н к о , Л .С . Р о ж о к
ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ПОЛЫХ ЦИЛИНДРОВ
С НЕКРУГОВЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина;
e-mail: ayagrigorenko@yandex.ru, r.l.s@mail.ru
Abstract. In the framework of approach based on using the Fourier series for functions
given over the discrete set of points, the problem is solved on the stress state of noncircular
hollow cylinder in dependence on the form of cross-section and mechanical properties of
material. The results of analysis of the stress state are presented in the form of plots and ta-
bles.
Key words: noncircular hollow cylinder, stress state, discrete Fourier series, method of
discrete orthogonalization.
Введение.
Некоторые подходы к решению задач рассматриваемого класса изложены в рабо-
тах [1, 3, 4, 7, 10 – 12, 14, 16]. Подход к решению задач о напряженном состоянии уп-
ругих тел, основанный на применении дискретных рядов Фурье, позволяет получать
решение с достаточной степенью точности для тел сложной геометрии и структуры
[5, 6]. В настоящей статье этот подход применен к решению задач о напряженном
состоянии полых цилиндров с некруговым поперечным сечением, изготовленных из
изотропного и ортотропного материала, однослойных и слоистых, при определенных
граничных условиях на торцах, в пространственной постановке.
§1. Постановка задачи и метод решения.
В качестве исходных принимаем уравнения пространственной теории упругости
для ортотропного тела [2, 13, 15]. Первую квадратичную форму в ортогональной кри-
волинейной системе координат , ,s t для некруговых цилиндров запишем в виде
2 2 2 2 2
2 ( , )dS ds H t dt d , (1.1)
где ,s t – длины дуг по образующей и направляющей цилиндрической поверхности
приведения; – координата, отсчитываемая по нормали к этой поверхности;
2 ( , ) 1 / tH t R – параметр Ламе; t tR R t – радиус кривизны поверхности при-
ведения в поперечном сечении.
В общем случае рассмотрим полые многослойные эллиптические цилиндры, со-
ставленные из жестко скрепленных слоев, взаимодействующих без скольжения и от-
рыва. Примем, что в каждом слое материал является неоднородным по толщине и
однородным по образующей и направляющей. Условия совместной работы слоев
формулируются следующим образом: на поверхности контакта і -го и і+1 -го слоев
должны быть непрерывны напряжения , ,s t и перемещения ,, s tu u u , т.е. при
i имеем
4
1 1 1 1 1 1; ; ; ; ; .i i i i i i i i i i i i
s s t t s s t tu u u u u u (1.2)
Принимая во внимание выражение (1.1), приведем основные уравнения, описы-
вающие рассматриваемый класс задач для і -го слоя (i = 0, 1, …, Р):
выражения для деформаций
i
i s
s
u
e
s
; 2
2 2
1 1i i
i it
t i i
u H
e u
tH H
;
i
i
u
e
;
2
1 i i
i s t
st i
u u
e
t sH
;
i i
i s
s
u u
e
s
; 2
2 2
1
ii
i i t
t i i
uu
e H
tH H
; (1.3)
уравнения равновесия
2 2 0
i i
i i is st
sH H
s t
; 2
2 2 0
i i i
i i i it st
t t
H
H H
t s
; (1.4)
2
2 2 0
i i i
s ti i i i
t
H
H H
s t
;
обобщенный закон Гука для ортотропного тела
11 12 13
i i i i i i i
s s te a a a ; 12 22 23
i i i i i i i
t s te a a ;
13 23 33
i i i i i i i
s te a a a ; 44
i i i
t te a ; 55
i i i
s se a ; 66
i i i
st ste a (1.5)
11 12 13
1
; ; ;
i ii i
s si i ist ts
i i i i i
s t s s
a a a
E E E E E
22 23
1
; ;
i i
t ti i
i i i
t t
a a
E E E
33
1
;i
i
a
E
44 55 66
1 1 1
; ;i i i
i i i
t s st
a a a
G G G
, (1.6)
где , ,i i i
s tE E E – модули упругости в направлении осей координат; , ,i i i
s t stG G G – мо-
дули сдвига; , ,i i i
t s st , ,i i i
t s ts – соответствующие коэффициенты Пуассона.
Для трансверсально-изотропного материала имеем
11 22 13
1
; ; ;
i i
i i i
i i i
a a a
E E E
33
1
;i
i
a
E
44
1i
i
a
G
;
22 11 23 13 55 44 66
1 2(1 )
; ; ;
i
i i i i i i i
i i
a a a a a a a
G E
. (1.7)
Здесь ; ; ;i i i i i i i
s t s tE E E E E G G G ;i i i i i
st s t ; ,i iE E – модули
упругости в направлении осей координат; iG – модуль сдвига; ,i i – соответст-
вующие коэффициенты Пуассона.
Для изотропного материала
11 22 33 12 13 23 44 55 66
1 2(1 )
; ; ,
i i
i i i i i i i i i
i i i
a a a a a a a a a
E E E
(1.8)
где Е і – модуль упругости; ν і – коэффициент Пуассона.
Соотношения (1.3) – (1.5) представляют собой замкнутую систему дифференци-
альных уравнений в частных производных, описывающих напряженное состояние слоистых
5
некруговых ортотропных полых цилиндров в области 1 2 00 ; ; Ps l t t t .
Для определения произволов, содержащихся в общем интеграле этой системы, необ-
ходимо задать граничные условия. На внешней и внутренней поверхностях цилиндра
могут быть заданы следующие граничные условия:
; ;P P P
s s t tq q q при P
; (1.9)
0 0 0; ;s s t tq q q при 0 .
Кроме условий на ограничивающих поверхностях, необходимо удовлетворять
граничным условиям на торцах цилиндра при 0;s s l .
Выбирая в качестве разрешающих функций компоненты напряжений , ,i i i
s t
и перемещений , ,i i i
s tu u u , после некоторых преобразований из (1.3) – (1.5) получаем
систему разрешающих дифференциальных уравнений в частных производных в сле-
дующем виде:
2
2 2
2 22
2 2 2
1 1 1
1
i i ii i
s ti i i i
i i i
H H
c b u
s tH H H
2 2
12 22 2
2 2
1 1
;
i ii i
i is t
i i
u uH H
b b
s tH H
2
2 2
1 12 11 2
2 2
1 1
i i i ii i
s i i i i s
si i
u uH H
c b b
s sH H s
2
66 12 66
2 2 2
1 1 1
;
i i
i i is t
i i i
u u
b b b
t t s tH H H
2 2
2 22
2 2 2 2
1 2 1 1
i i i i
t i i i i
ti i i i
H H
c b u
t tH H H H
2 2
12 66 22 66 2
2 2 2
1 1 1
;
i i i
i i i is t t
i i i
u u u
b b b b
s t t tH H H s
(1.10)
2
4 2 1 2
2 2
1 1
;
i i ii
i i i i i is t
i i
u u uH
c c u c c
s tH H
2
55 44
2 2
1 1
;
i ii i i
i i i i is t
s t ti i
u uu u H
a a u
s tH H
11 22 66 12 12 66 22 11 66/ ; / ; / ;i i i i i i i i i i i ib a a b a a b a a
2 2
66 11 22 12 11 22 12 66/ ; ;i i i i i i i i i ib a a a a a a a
1 11 13 12 23 2 12 13 22 23 4 33 1 13 2 23; ;i i i i i i i i i i i i i i i ic b a b a c b a b a c a c a c a .
6
На торцах цилиндра предполагаем наличие таких граничных условий, которые
допускают сведение трехмерной краевой задачи для системы уравнений (1.10) к дву-
мерной путем разложения искомых факторов в тригонометрические ряды по обра-
зующей цилиндра. Рассматриваем цилиндры, на торцах которых имеет место диа-
фрагма, абсолютно жесткая в своей плоскости и гибкая из нее, т. е. выполняются сле-
дующие граничные условия:
0i i i
s tu u при 0;s s l . (1.11)
Цилиндры замкнуты по направляющей, поэтому разрешающие функции будут
удовлетворять условиям периодичности
, , , , Пs t s t , (1.12)
где , , , , ,i i i i i i
s t s tu u u ; П – периметр поперечного сечения поверхности при-
ведения.
Запишем разрешающие функции и компоненты нагрузки в виде разложений в ря-
ды Фурье по образующей цилиндра (в дальнейшем индекс і опустим)
1
, , , sin
N
n n
n
X s t X t s
;
1
, , , cos
N
n n
n
Y s t Y t s
, (1.13)
где , , , , ,t t tX u u q q , , ,s s sY u q , 0n n l s l .
Подставляя (1.13) в систему уравнений (1.10) и граничные условия (1.9), после
разделения переменных получаем двумерную краевую задачу
2
, ,2 2
2 , , 22 ,
2 2 2
1 1 1
1n t n
n n s n n
H H
c b u
H H t H
,2 2
12 , 22 2
2 2
1 1
;t n
n s n
uH H
b u b
H tH
, 22 2
1 , , 12 , 11 ,
2 2
1 1s n
n n s n n n n s n
H H
c b u b u
H H
, ,
66 12 66
2 2 2
1 1 1
;s n t n
n
u u
b b b
H t H t H t
, , 2 2
2 , 22 ,
2 2 2 2
1 2 1 1t n n
t n n
H H
c b u
H t H H t H
, , 2
12 66 22 66 ,
2 2 2
1 1 1
;s n t n
n n t n
u u
b b b b u
H t H t H t
(1.14)
, ,2
4 , 2 , 1 , 2
2 2
1 1
;n t n
n n n s n
u uH
c c u c u c
H H t
,, , 2
55 , , 44 , ,
2 2
1 1
; ns n t n
s n n n t n t n
uu u H
a u a u
H t H
1,n N
7
с граничными условиями
, , , , , ,; ;n n s n s n t n t nq q q при 0 ;
(1.15)
, , , , , ,; ;n n s n s n t n t nq q q при P .
Для сведения полученной двумерной краевой задачи к одномерной, используем
подход, основанный на замене членов разрешающей системы уравнений (1.14), кото-
рые препятствуют разделению переменных вдоль направляющей цилиндра, новыми
дополнительными функциями, которые выражаются через разрешающие функции и
включают в себя геометрические параметры цилиндра, т.е.
2 2
1
2 2
1 1
; ; ; ;j
s s
H H
u u u
H H
1,5j ;
2
2
2
1
; 1,2j
t t
H
u j
H
; 3
2
1
; ; 1,3j s
u u
j
H t t t
;
2
4
2 2
1 1
; ; 1,3tj t tu uH
j
H t t H t
; (1.16)
3
5 1
2
1
H t
; 3
6 3
2
1
H t
; 2
7 4
2
1
H t
.
Таким образом, получаем следующую систему уравнений (номер п в обозначени-
ях разрешающих функций опускаем для простоты):
1 1 5 4 3
2 1 4 22 1 12 1 22 41 ;n t nc b b b
2 3 2 2
1 1 12 1 11 66 6 12 66 4 ;s
n n n s nc b b u b b b
1 1 3 2
2 3 2 22 5 12 66 3 22 7 662 ;t
n n tc b b b b b u
(1.17)
2 3
4 2 4 1 21 ;n s
u
c c c u c
2 2
55 44 3 2;s t
s n t
u u
a u a
с граничными условиями (1.15).
Представим все функции, входящие в систему уравнений (1.17), в виде разложе-
ний в ряды Фурье по координате t
0 1
, cos ; , sin
K K
k k k k
k k
X t X t Y t Y t
(1.18)
1 4 6 2 3 5 7, , , , , , , , , , , , , , , , 2j j j j
s s s t t t kX u u q q Y u q k P .
После подстановки разложений (1.18) в уравнения (1.16) и граничные условия
(1.15), разделив переменные, приходим к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений, относительно амплитудных значений функций, входящих в систему урав-
нений (1.17), т.е.
8
, 1 1 5 4 3
2 1, , 4, 22 1, 12 1, 22 4,1 ;k
k n s k k k n k k
d
c b b b
d
, 2 3 2 2
1 , 1, 12 1, 11 , 66 6, 12 66 4, ;s k
n k k n k n s k k n k
d
c b b u b b b
d
, 1 1 3 2
2 3, 2, 22 5, 12 66 3, 22 7, 66 ,2 ;t k
k k k n k k n t k
d
c b b b b b u
d
, 2 3
4 , 2 4, 1 , 2 1, ;k
k k n s k k
du
c c c u c
d
(1.19)
, , 2 2
55 , , 44 , 3, 2,;s k t k
s k n k t k k k
du du
a u a
d d
0,k K
с граничными условиями
0 , , , , , ,: ; ;k k s k s k t k t kq q q ;
(1.20)
, , , , , ,: ; ;Р k k s k s k t k t kq q q .
Полученную одномерную краевую задачу для системы уравнений (1.19) решаем
устойчивым численным методом дискретной ортогонализации одновременно для всех
гармоник разложений (1.18). Однако, система уравнений (1.19) кроме разрешающих
функций содержит еще и дополнительные функции, т.е. количество неизвестных пре-
восходит количество уравнений. Поэтому в процессе интегрирования, на каждом ша-
ге применения численного метода будем определять амплитудные значения дополни-
тельных функций (1.16), раскладывая их в дискретные ряды Фурье по координате t и
используя стандартную процедуру определения коэффициентов Фурье для таблично
заданных функций [8].
Рассмотрим некруговые полые цилиндры, срединная поверхность которых может
быть задана либо в параметрической форме, либо в полярной системе координат [9].
Пусть срединная поверхность цилиндра задана в параметрической форме
( ); ( )x x z z , (1.21)
где θ – некоторый угловой параметр; тогда для функции V(t(θ),γ) переход от коорди-
наты t к координате θ осуществляется следующим образом:
2 2
1
( ); ;
( )
dt dx dz V V t V V
d d d t t
. (1.22)
При этом радиус кривизны поверхности приведения будет равен
2 2
3
2 2
( ) ( )
dx d z dz d x
R
d dd d
. (1.23)
Если срединная поверхность задана в полярной системе координат ρ= f(ψ), тогда
имеем
2
2 1
( ); ;
( )
dt d V V t V V
d d t t
(1.24)
и радиус кривизны вычисляется по формуле
3 2 2( ) ( ) 2R . (1.25)
9
§2. Полые цилиндры с эллиптическим поперечным сечением.
Рассмотрим задачу о напряженном состоянии полого цилиндра с эллиптическим
поперечным сечением, направляющая срединной поверхности которого задана пара-
метрически в виде
cos ; sinx b z a 0 2 , (2.1)
где ,a b – малая и большая полуоси эллипса, у которого периметр поперечного сече-
ния равен длине окружности радиуса ,R т.е.
2a b f R ;
2 4 6
1 ...
4 64 256
f
; .
b a
b a
(2.2)
Тогда имеем равенства
1
1 ; 1 ;
1
R R b
a b
f f a
. (2.3)
Величина Δ характеризует отклонение формы поперечного сечения цилиндра от кру-
говой (при Δ=0 имеем круговой цилиндр). При этом эксцентриситет эллипса е связан с
Δ следующим образом:
2
2
1
1
a
e
b
.
Тогда имеют место такие формулы:
2 , 1 ( )H
R
;
3 ( )
R
ab
;
2 2
2 2 2 2( ) sin cos
dx dz
b a
d d
. (2.4)
Цилиндр находится под действием нагрузки 0 sinq q s l , приложенной на
его внешней поверхности.
2.1. Однослойные цилиндры. а) Изотропные. Проведем исследование влияния
степени эллиптичности Δ и толщины Н изотропных полых цилиндров на распределе-
ние полей перемещений иγ и напряжений σθ. Задача решена при таких исходных дан-
ных: 0; 0,05; 0,1; 0,15; 0,2; 40;R 60; 5; 10; 15; 0.3l H .
Результаты решения задачи приведены на рис. 1 – 3 в среднем сечении по длине
цилиндра (l = 30). На рис. 1 показаны графики изменения перемещений иγ для сре-
динной поверхности (γ =0), на рис. 2 – графики изменения напряжений σθ на внутрен-
Рис. 1
Рис. 2
10
ней поверхности (γ = –Н / 2), а на рис. 3 –
напряжений σθ на внешней поверхности
(γ = Н / 2). Из анализа приведенных на рис. 1
графиков следует, что в отличие от круго-
вых цилиндров, для цилиндров с эллипти-
ческим поперечным сечением в зоне боль-
шей жесткости (θ = 0) цилиндр прогибает-
ся в направлении, противоположном дей-
ствию нагрузки, и прогиб с возрастанием
степени эллиптичности и толщины возрас-
тает. В зоне меньшей жесткости (θ =
/ 2 ) прогиб цилиндра в несколько раз
больше и цилиндр прогибается в направ-
лении действия нагрузки.
Напряжения σθ на внутренней поверх-
ности цилиндра (рис. 2) увеличиваются по
величине с ростом степени эллиптичности
и толщины, при этом в зоне меньшей же-
сткости (θ = π/2) имеем сжатие, а в зоне
большей жесткости (θ = 0) – растяжение.
На внешней поверхности цилиндра (рис. 3)
наоборот, при θ = 0 – сжатие, а при θ = π/2
– растяжение.
б) Трансверсально-изотропные. Про-
ведем анализ напряженного состояния по-
лых эллиптических цилиндров, изготов-
ленных из трансверсально-изотропного
материала в зависимости от степени эл-
липтичности цилиндра и механических
параметров материала. Задача решена при
таких исходных данных: 40;R 10H ;
60;l 0; 0,1 0,2; 0,3 . Механические независимые параметры имеют вид: s
= 0,105 ; 0, 405s ; 00, 45sG G E ; 01,1E E ; 01,68sE E Е ; 2,68 Е0;
3,68 Е0; 4,68 Е0.
Результаты решения задачи приведены на рис. 4 – 6 в среднем сечении по длине
цилиндра (l = 30). На рис. 4 приведены графики распределения нормального переме-
Рис. 3
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 4
11
щения u на внутренней поверхности цилиндра 1 для четырех вариантов транс-
версально-изотропного материала в зависимости от степени эллиптичности . Циф-
рами 1, 2, 3, 4 обозначены варианты, соответственно, для четырех значений sE .
Сплошные линии соответствуют значениям перемещений u в сечении 0 , штри-
ховые линии – в сечении / 2 .
Из рис. 4 видно, что с увеличением степени эллиптичности в зоне большей же-
сткости 0 влияние изменения значения sE становится менее значительным. Так,
если для кругового цилиндра 0 увеличение значений sE от 1,68 до 4,68 ведет к
уменьшению значений перемещений в 3 раза, для 0,1 – в 5 раз, то для 0,3
значения перемещений уменьшаются в 1,5 раза. При этом они меняют знак на проти-
воположный. Значения перемещений для цилиндра 0,2 практически не изменя-
ются с изменением значений sE . В зоне меньшей жесткости / 2 с увеличением
степени эллиптичности и значения sE , значения перемещений уменьшаются в 2,7
раза для 0,1 , в 2,6 раза для 0, 2 и в 2,5 раза для 0,3 .
На рис. 5 и 6 представлены графики распределения напряжений на внутренней
(рис. 5) и внешней (рис. 6) поверхностях цилиндра при тех же значениях параметров.
Из рис. 5 видно, что значения напряжений на внутренней поверхности цилин-
дра в зоне меньшей жесткости / 2 не зависят от изменения значений sE для
цилиндров со степенью эллиптичности 0,1 . С увеличением значения влияние
значения sE становится более существенным в зоне большей жесткости 0 .
На внешней поверхности цилиндра (рис. 6) в зоне большей жесткости 0 пе-
рераспределение значений напряжений с увеличением степени эллиптичности
более ощутимо, чем в зоне / 2 .
в) Ортотропные. Рассмотрим влияние изменения толщины на напряженное со-
стояние эллиптических цилиндров, выполненных из ортотропного материала. Расчеты
выполнены при следующих значениях геометрических и механических параметров:
0; 0,1; 0, 2 ; 2, 3H ; 10;l 10;R 01,90 ;sE E 01,20 ;tE E 00,45 ;E E
00,30 ;sG E 00,23 ;sG G E 0,15;s 0,15;s 0,15;s 0,30;
0,07s . Результаты решения задачи приведены в табл. 1 для значений перемеще-
ний u и напряжений в сечениях 0 , / 2 на внутренней и внешней по-
верхностях цилиндра для всех значений H и в среднем сечении по длине цилинд-
ра 5s .
Из табл. 1 видно, что по сравнению с круговым цилиндром, в некруговом цилин-
дре с увеличением степени эллиптичности наблюдается рост перемещений u в об-
ласти зоны меньшей жесткости ( / 2 ). Так, отношение значений перемещений
при / 2 и 0 при 0; 0,1; 0, 2 составляет для 2H : 1; 2,3; 6,5; для 3H :
1; 1,8; 3,3. Отсюда видно взаимовлияние эксцентриситета эллипса и толщины цилин-
дра на изменение величины перемещений u . Так, при различных значениях толщи-
ны цилиндра и некоторых значениях перемещения равны. Напряжения с уве-
личением степени эллиптичности на внутренней поверхности цилиндра возрастают и
достигают максимальной величины в зоне меньшей податливости, т.е. большей жест-
кости ( 0 ). На внешней поверхности цилиндра напряжения с увеличением
возрастают и достигают максимальных значений при / 2 . С увеличением тол-
щины цилиндра напряжения уменьшаются, но характер их распределения сохраняется.
12
Таблица 1
u 0
q q
H
0 0,5 0 0,5
–1/2
0,0
0,1
0,2
31,75
19,38
8,90
31,75
45,09
58,29
3,49
4,47
5,72
3,49
2,66
1,92
2
1/2
0,0
0,1
0,2
28,70
16,83
7,14
28,70
41,84
55,12
4,61
3,47
2,17
4,61
5,47
6,01
–1/2
0,0
0,1
0,2
17,61
12,72
8,06
17,61
22,39
26,71
1,98
2,67
3,56
1,98
1,40
0,91
3
1/2
0,0
0,1
0,2
16,30
11,67
7,64
16,30
21,09
25,65
2,96
2,48
1,92
2,96
3,29
3,45
2.2. Слоистые цилиндры. Рассмотрим трехслойные цилиндры с эллиптическим
поперечным сечением, находящиеся под действием равномерной нагрузки, прило-
женной либо на внешней, либо на внутренней поверхности цилиндра симметричного
строения относительно срединной поверхности. Внутренний и внешний слои – изо-
тропные, толщина каждого слоя h, модуль упругости Е=Е0 и коэффициент Пуассона
ν. Средний слой имеет толщину Н и может быть изготовлен из различных материалов.
а) Изотропные, неоднородные слои. Пусть средний слой – изотропный с модулем
упругости Е = dЕ0 и коэффициентом Пуассона ν.
Задача решена при таких исходных данных: Δ = 0; 0,1; 0,2; h = 2; Н = 4; ν = 0,3; R = 40;
l = 60; d = 1; 0,1. Нагрузка приложена на внутренней поверхности. Результаты реше-
ния задачи приведены в табл. 2 и на рис. 7, 8 в среднем сечении по длине цилиндра.
В табл. 2 (вариант І) приведены значения перемещений иγ в зонах большей и
меньшей жесткости цилиндра для некоторых значений вдоль толщины.
Таблица 2
u 0
q
0 0,1 0, 2
V d / H
0 / 2 0 / 2 0 / 2
1
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
180,60
177,37
174,03
170,56
166,89
180,60
177,37
174,03
170,56
166,89
45,89
41,68
38,81
36,91
35,80
349,02
346,92
343,34
338,45
332,26
–59,24
–64,39
–66,48
–66,53
–65,01
554,65
553,96
550,39
544,24
535,51
І
0,1
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
328,03
322,85
311,06
300,02
294,01
328,03
322,85
311,06
300,02
294,01
89,28
83,53
75,30
67,82
65,19
615,23
611,32
597,41
583,80
574,47
–105,96
–111,90
–114,17
–116,55
–115,74
954,77
952,02
936,98
921,50
908,94
ІІ –
–1/2
–1/4
0
1/4
1/2
106,26
103,29
98,53
92,81
90,44
106,26
103,29
98,53
92,81
90,44
–0,37
–4,13
–8,45
–10,96
–11,46
238,83
236,82
232,01
223,25
218,98
–84,77
–89,29
–92,81
–91,84
–90,39
401,48
400,61
396,23
384,53
378,32
13
Из приведенных в табл. 2 данных
видно, как влияет на значения переме-
щений иγ наличие неоднородного слоя.
Так, для круговых цилиндров ( 0)
при 0,1d , т.е. за счет слабого среднего
слоя прогиб цилиндра значительно увели-
чивается. Для эллиптических цилиндров
0 при 0 прогиб значительно
уменьшается и даже меняет знак на проти-
воположный, а при / 2 – увеличива-
ется в 2–3 раза. Таким образом, уже незна-
чительное отклонение формы поперечного
сечения от круговой значительно влияет на
деформирование цилиндра.
На рис. 7 приведены графики рас-
пределения напряжений вдоль тол-
щины цилиндра в зоне большей жестко-
сти цилиндра, а на рис. 8 – в зоне мень-
шей жесткости цилиндра. Из рис. 7, 8
видим, как влияет неоднородность мате-
риала на распределение по толщине ци-
линдра напряжений в зонах его
большей и меньшей жесткости.
б) Трансверсально-изотропный сред-
ний слой. Исследуем напряженное со-
стояние эллиптических цилиндров, на-
ходящихся под действием равномерно
распределенной нагрузки, приложенной
на внешней поверхности цилиндра,
средний слой которого изготовлен из трансверсально-изотропного материала
Задача решена при следующих исходных данных: 40;R 60;l 2;h 4;H
0 ;E E 00, 2 ;E E 0, 2; 0,6; 00,1 ;G E 0; 0,1; 0,2; 0,3 .
Таблица 3
u 0
q
0 0,1 0, 2 0,3 / H
0 / 2 0 / 2 0 / 2 0 / 2
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
208,63
207,32
172,70
128,63
127,95
208,63
207,32
172,70
128,63
127,95
47,92
45,96
12,40
–19,81
–17,34
404,87
404,56
369,20
312,70
308,98
–81,47
–83,85
–117,90
–140,18
–134,24
641,78
642,82
608,18
539,36
532,63
–178,15
–180,52
–220,36
–237,70
–227,61
920,78
923,69
891,51
810,65
800,99
Результаты решения задачи в среднем сечении по длине цилиндра представлены в
табл. 3 и на рис. 9, 10. В табл. 3 представлены значения перемещений иγ, а на рис. 9,
10 – графики распределения напряжений по толщине цилиндра в сечениях 0
(рис. 9) и / 2 (рис. 10) в зависимости от степени эллиптичности цилиндров Δ.
Из табл. 3 видно, что с увеличением степени эллиптичности перемещения для
Δ=0,1 на внешней поверхности в зоне большей жесткости уменьшаются в 2,8 раза,
меняя свой знак на противоположный по сравнению с перемещениями на внутренней
поверхности. Для Δ = 0,2 и Δ = 0,3 перемещения меняют знак на противоположный и
увеличиваются в 1,7 и 1,3 раза, соответственно. В зоне меньшей жесткости цилиндра
значения перемещений уменьшаются при переходе от внешней к внутренней поверх-
ности в 1,3 для Δ = 0,1, в 1,2 раза для Δ = 0,2 и в 1,15 раза для Δ = 0,3.
Рис. 7
Рис. 8
14
в) Ортотропный средний слой. Рассмотрим случай, когда средний слой изготов-
лен из ортотропного материала с такими механическими параметрами: 03,68 ;sE E
02,68 ;tE E 01,1 ;E E 00,5 ;stG E 00, 45 ;sG E 00,41 ;tG E 0,105;st
0, 405; 0,431s t . Задача решена при следующих исходных данных:
2; 4;h H 40; 60;R l 1; 0,1;d 0; 0,1; 0, 2 .
В табл. 2 (вариант ІІ) приведены значения перемещений иγ в зонах большей и мень-
шей жесткости цилиндра в среднем сечении по длине цилиндра. Наличие ортотропного
среднего слоя приводит к тому, что уже для цилиндров со степенью эллиптичности
Δ = 0,1 в зоне большей жесткости 0 перемещения меняют свой знак на противопо-
ложный. В зоне меньшей жесткости / 2 значения перемещений иγ увеличиваются в
среднем в 2,2 – 2,4 раза по толщине для Δ = 0,1 и в 3,8 – 4,2 раза для Δ = 0,2, в то время как
для однородного изотропного цилиндра при Δ = 0,1 значения перемещений увеличивают-
ся в 1,9 раза по всей толщине цилиндра и в 3 – 3,2 раза для Δ = 0,2.
Изменение полей напряжений по тол-
щине цилиндра в среднем сечении по дли-
не, для различных значений степени эл-
липтичности представлено на рис. 11. Из
графиков видно, что увеличение степени
эллиптичности и наличие ортотропного
слоя приводит к тому, что в зоне большей
полуоси эллипса ( 0 ) максимальные
значения напряжения принимают на
границе внутреннего несущего и среднего
слоев, а в зоне меньшей полуоси
( / 2 ) – область максимума смещается
в сторону внешнего несущего слоя.
§3. Полые цилиндры с гофрами в поперечном сечении.
Рассмотрим задачу о напряженном состоянии полого цилиндра с гофрами в попе-
речном сечении, находящейся под действием внутреннего давления 0 sinq q s l .
Направляющая поверхности отсчета 0 для цилиндра задается в плоскости попе-
речного сечения Oxz в полярной системе координат
0 cosr m 0 2 ,
где – полярный радиус; 0r – радиус среднего круга; α – амплитуда; m – частота
гофрировки.
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
15
Тогда имеем формулы
2
2 22
0 cos sin
d
r m m m
d
;
2 2 3
0
2 2 2
0 0
cos sin
( cos 2 sin cos cos )
r m m m
R
r m m m r b m m m
.
3.1. Однослойные цилиндры. а) Изотропные. Проведем исследование напряжен-
ного состояния полых изотропных цилиндров с гофрами в поперечном сечении в за-
висимости от изменения толщины цилиндров.
Задача решена при следующих исходных данных: 0 40; 60; 4,5,6,8;r l h
4;m 4; 0,3 . На графиках и в таблицах даны результаты решения задачи в
сечении 0,5s l по длине цилиндра.
На рис. 12 показаны графики распределения перемещений u для интервала
0; / 4 изменения координаты в зависимости от изменения толщины цилиндра
для поверхности отсчета при 0 (поскольку изменение перемещений по толщине
цилиндра не превышает 1%). Из графиков видно как изменяется перемещение при
переходе от вершины гофра 0 к его впадине / 4 . Если перераспределение
перемещений в вершине гофра с изменением толщины незначительно, то в его впади-
не наблюдается существенное изменение перемещений.
Максимальных значений перемещения достигают во впадине гофров при тол-
щине 4h . С увеличением толщины, жесткость цилиндра увеличивается, что при-
водит к снижению величины перемещений u в 1,8; 3,0; 6,1 раза для h = 5, 6, 8, со-
ответственно.
На рис. 13 показаны графики распределения максимальных напряжений на
внешней (штриховая линия) и на внут-
ренней (сплошная линия) поверхностях
цилиндра в интервале 0 / 4 при
Рис. 12
Рис. 13
16
тех же значениях параметров. Из графиков видно, что максимального своего значения
напряжения достигают на внутренней поверхности в вершине гофра и на внешней –
во впадине гофра. Если на внутренней поверхности цилиндра в вершине гофра имеют
место напряжения положительного знака, а во впадине – отрицательного, то на внешней
поверхности наблюдается противоположная картина распределения напряжений.
б) Трансверсально-изотропные. Рассмотрим задачу о напряженном состоянии по-
лых трансверсально-изотропных цилиндров с гофрами в поперечном сечении толщи-
ны h . Задача решена при следующих исходных данных: 0 40;r 60;l 2;2,5;3;h
0 0 0; 0, 2 ; 0,2; 0,6; 0,1 ;E E E E G E α = 0,4; т =4. При этом следует отме-
тить, что хотя отношение толщины цилиндра к радиусу среднего круга 0/h r невели-
ко, отношение толщины h к радиусу кривизны R в некоторых зонах цилиндра ста-
новится довольно значительным. Так, в частности, при 0 для 4m радиус кри-
визны 18R , а для 8m – 6,45R .
Тогда отношение /h R для данных зна-
чений толщины изменяется в пределах
0,11 – 0,17 и 0,31 – 0,46. Таким образом,
данную задачу уже следует решать на ос-
новании пространственной теории упру-
гости.
На рис. 14, 15 в виде графиков даны
результаты решения задачи для трансвер-
сально-изотропного (штриховая линия) и
изотропного (сплошная линия) цилиндров
в сечении 0,5s l на внешней поверхно-
сти 2 цилиндра. Для изотропного
материала принималось: 0 ; 0,3E E .
На рис. 14 показаны графики распре-
деления перемещений u на интервале
0 / 4 в зависимости от изменения
толщины h цилиндра. Из графиков видно
как изменяются перемещения при перехо-
де от вершины гофра 0 к впадине
/ 4 и какое отличие вносит учет
трансверсальной изотропии для различ-
ных толщин.
На рис. 15 показаны графики распре-
деления напряжений на интервале
0 / 4 в зависимости от изменения
толщины h цилиндра. В вершине гофра
( 0 ) напряжения невелики и в за-
висимости от толщины меняются незна-
чительно, в то время как во впадине
( / 4 ) напряжения меняют знак и
значительно увеличиваются. Также видно
отличие значений напряжений для изо-
тропного и трансверсально-изотропного
цилиндров.
Рис. 14
Рис. 15
17
в) Ортотропные. Проведем исследование напряженного состояния ортотропных
полых цилиндров с гофрами в поперечном сечении в зависимости от амплитуды гоф-
рировки. Задача решена при таких исходных данных: 0 60r ; 40l ; 4m ;
2; 4; 6; 8 .
Для ортотропного материала принимаем следующие значения механических пара-
метров: 03,68 ;sE E 02,68 ;E E 01,1 ;E E 0,105;s 0, 405;s 0, 431;
00,5 ;sG E 00,45 ;sG E 00, 41G E .
На рис. 16 приведены графики распределения нормального перемещения u сре-
динной поверхности цилиндра при различных значениях амплитуды гофра
2, 4, 6, 8 в сечении / 2s l . Из рис. 16 видно, что при 2, 4, 6 , т.е. с возраста-
нием выпуклости гофра, величина прогиба в основном увеличивается, что свидетель-
ствует о большей сопротивляемости действию прилагаемой нагрузки.
На рис. 17 показаны графики распределения напряжений на внешней (штри-
ховая линия) и внутренней (сплошная линия) поверхностях цилиндра при различных
значениях амплитуды 2, 4, 6, 8 . Так, в случае 2 на внутренней поверхности
цилиндров напряжения распределяются более плавно, чем при 4, 6, 8 . На внеш-
ней поверхности цилиндра более плавно распределяются напряжения при 2, 4 .
3.2. Слоистые цилиндры. Рассмотрим задачу о напряженном состоянии трех-
слойных полых цилиндров с гофрами в поперечном сечении. Внутренний и внешний
слои – изотропные, толщина каждого слоя h, модуль упругости Е = Е0 и коэффициент
Пуассона ν. Средний слой имеет толщину Н и может быть изготовлен из различных
материалов.
а) Изотропные, неоднородные слои. Пусть средний слой изготовлен из изотроп-
ного материала с модулем упругости Е = dЕ0 и коэффициентом Пуассона ν. Результа-
ты решения задачи приведены в табл. 3, 4 в среднем сечении по длине цилиндра для
0,5s l . При решении задачи принималось: 2;h 4;H 0 40;r 60;l 1;0,1;d
4; 2,3; 0,3m .
В табл. 4 приведены значения перемещений u , а в табл. 5 – напряжений для
некоторых значений по толщине цилиндра в вершинах ( 0 ) и во впадинах
( / 4 ) гофров для значения d = 0,01;0,1. Для сравнения, представлены значения
напряжений и перемещений в однородном изотропном цилиндре (d = 1).
Рис. 17
Рис. 16
18
Таблица 4
u 0
q
1d 0,01d 0,1d α / H
0 / 4 0 / 4 0 / 4
2
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
107,13
101,05
97,47
95,41
94,54
323,66
324,22
322,19
317,89
311,14
–306,83
–313,15
–326,24
–361,81
–362,91
1951,32
1945,11
1841,48
1775,84
1766,52
158,87
151,31
145,77
138,57
135,51
651,74
650,85
637,34
626,51
617,27
3
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
96,58
89,33
85,80
84,41
84,59
414,63
417,48
416,71
412,58
404,56
–379,05
–385,14
–379,06
–407,78
–408,78
2957,26
2955,50
2844,19
2787,36
2778,22
134,87
126,47
124,54
119,64
117,47
848,24
850,44
838,95
830,92
820,70
Таблица 5
0/ q
1d 0,01d 0,1d α / H
0 / 4 0 / 4 0 / 4
2
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
9,61
6,47
4,14
2,17
0,35
–1,50
1,32
3,86
6,36
9,08
17,71
0,35
0,32
7,56
1,42
–0,94
0,13
0,17
6,36
15,85
15,46
0,83
0,67
6,18
2,13
–0,12
0,33
0,50
7,82
14,07
3
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
12,21
7,44
4,03
1,23
–1,33
–4,15
–0,26
3,40
7,16
11,44
21,80
0,39
0,36
7,48
–0,94
–5,66
0,061
0,13
4,82
19,86
18,84
0,92
0,71
5,57
–0,02
–4,07
0,16
0,43
7,34
17,25
б) Трансверсально-изотропный средний слой. Рассмотрим напряженное состояние
гофрированных в поперечном сечении полых цилиндров с трансверсально-
изотропным средним слоем. Задача решена при таких исходных данных: r0 = 40;
l = 60; H = 4; h = 2; 4; 4m 0 0; 0,2 ;E E E E 0, 2; 0,6; 00,1G E .
В табл. 6 приведены результаты решения задачи в среднем сечении по длине ци-
линдра для значений перемещений u и напряжений для некоторых значений
толщины и направляющей цилиндра.
Таблица 6
u , σψ / H 0 / 8 / 4
u 0
q
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
90,04
83,51
43,61
24,46
29,15
382,11
381,91
356,75
327,03
324,94
627,29
634,65
630,16
598,51
592,20
0/ q
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
15,78
10,52
6,72
–0,78
–4,74
2,54
4,59
5,44
3,70
4,20
–6,80
0,66
4,51
6,06
14,20
Из табл. 6 видно, что в гофрированных в поперечном сечении цилиндрах, имею-
щих трансверсально-изотропный средний слой значения перемещений на внешней
поверхности уменьшаются по сравнению с перемещениями на внутренней поверхно-
19
сти в 3 раза в зоне вершины гофра 0 . В зоне впадины гофра / 4 распреде-
ление перемещений более плавное, при этом максимальных значений перемещения
достигают на границе внутреннего и среднего слоев. Напряжения при переходе от
внутреннего слоя к внешнему уменьшаются, меняя знак на противоположный в 3 раза
в сечении 0 и увеличиваются примерно в 2 раза в сечении / 4 .
в) Ортотропный средний слой. Пусть средний слой изготовлен из ортотропного
материала с механическими параметрами 03,68 ;sE E 02,68 ;E E 01,1 ;E E
0,105;s 0, 405;s 0, 431; 00,5 ;sG E 00, 45 ;sG E 00,41G E . При
решении задачи принималось: 2;h 4;H 0 40;r 60;l 1; 0,1;d 4;m
2,3; 0,3 .
Таблица 7
u 0
q 0/ q
= 0 = = 0 =
2
–1/2
–1/4
0
1/4
1/2
40,22
34,87
28,45
25,78
26,03
239,35
239,66
238,27
229,90
224,54
1,04
–1,17
–0,34
–0,29
–0,25
–3,60
–6,08
–0,69
2,18
4,10
3
–1/2
–1/4
0
1/4
1/2
32,70
26,38
19,34
17,81
19,07
325,05
327,32
328,74
319,96
313,27
1,78
0,46
0,10
–0,10
–0,70
–5,36
–8,75
–1,40
2,66
5,43
В табл. 7 приведены значения перемещений u и напряжений в среднем сече-
нии по длине цилиндра в сечениях 0 и / 4 по толщине цилиндра для зна-
чений величины амплитуды гофров α = 2,3. С увеличением амплитуды гофров, значе-
ния перемещений уменьшаются в 1,2 – 1,36 раза по толщине в вершине гофра и уве-
личиваются в 1,35 – 1,4 раза во впадине. Напряжения достигают своего макси-
мального значения в сечении / 4 на границе слоев внутреннего несущего и
среднего ортотропного и с увеличением амплитуды гофра увеличиваются в 1,4 раза.
§4. Полые цилиндры с эллиптическим гофрированным поперечным сечением.
Рассмотрим задачу о напряженном состоянии полого цилиндра с гофрированным
эллиптическим поперечным сечением, находящимся под действием равномерной на-
грузки, приложенной на внутренней либо на внешней поверхности. Направляющая
поверхности отсчета задается в полярной системе координат в виде
0
2 2 1/2
( ) cos (0 2 )
(1 cos )
r
m
e
,
где – амплитуда; т – частота гофрировки.
Тогда имеют место формулы
2 ( , ) [1 / ( )] ( )H R
2 / 2 3/ 2
2 / 2 1/2
2 / 2 / /
[ ( ) ]
( ) ; ( ) [ ( ) ] ;
2( )
R
2
/ 0
2 2 3/ 2
sin 2
sin ; 2 / (1 );
2(1 cos )
r e
m m e
e
20
2 2 2
/ / 20
2 2 3/ 2 2 2 5/2
2cos 2 3 sin 2
cos .
2 (1 cos ) 2(1 cos )
r e e
m m
e e
Здесь ( )R – радиус кривизны поверхности отсчета; е – эксцентриситет эллипса.
4.1. Однослойные цилиндры. а) Изотропные. Проведем исследование влияния
толщины и степени эллиптичности на напряженное состояние эллиптических цилин-
дров с гофрами в поперечном сечении. Задача решена при следующих исходных дан-
ных: 0 40;r 60;l 4,5;h 4; 4;m 0;0,2 .
Результаты решения задачи в сечении
0,5s l для перемещений u приведены на
рис. 18, а для напряжений – в табл. 8.
На рис. 18 значения перемещений для 0
обозначены штриховой, а для 0, 2 –
сплошной кривыми.
Из графиков распределения перемеще-
ний u по направляющей в интервале
0 / 2 (с учетом симметрии), приве-
денных на рисунке, видно, что в цилиндре с
гофрированным эллиптическим попереч-
ным сечением ( 0, 2 ) в отличие от кру-
гового ( 0 ), значения напряжений в ок-
рестности большей жесткости ( 0 ) убы-
вают, а в окрестности меньшей жесткости ( / 2 ) возрастают. Также возрастают
значения перемещений в вогнутой части гофра ( / 4 ).
Из табл. 8 следует, что значения напряжений в окрестности большей жестко-
сти ( 0 ) в цилиндре с гофрированным эллиптическим поперечным сечением из-
меняются незначительно по сравнению с круговым, а в окрестности меньшей жестко-
сти ( / 2 ) увеличиваются на 20% для 4h и 5h .
Таблица 8
0/ q
h
/ h 0 / 8 / 4 3 / 8 / 2
–1/2 46,1 2,62 –31,9 2,62 46,1
0 8,83 7,86 5,06 7,86 8,83 0
1/2 –20,8 12,6 45,3 12,6 –20,8
–1/2 44,5 1,87 –33,4 –2,27 55,8
0 6,58 8,19 6,40 5,99 8,54
4
0,2
1/2 –22,4 13,8 50,22 13,8 –27,4
–1/2 31,5 2,69 –19,4 2,69 31,5
0 6,85 6,13 4,26 6,13 6,85 0
1/2 –11,6 9,16 30,6 9,16 –11,6
–1/2 31,6 1,99 –20,9 –0,48 37,8
0 5,18 6,05 5,06 5,35 7,07
5
0,2
1/2 –13,7 9,59 34,4 10,8 –14,9
б) Трансверсально-изотропные. Проведем анализ напряженного состояния полых
ортотропных цилиндров с гофрированным поперечным сечением, находящихся под
действием внешней нормальной нагрузки 0 sin( / )q q s l 0( const)q в зависимости
Рис. 18
21
от изменения степени эллиптичности и механический параметров материала. Задача
решена при следующих исходных данных: 40l , r0 = 40; 3h , 0,1; 0,3 , 4m ,
4 , механические характеристики четырех вариантов ортотропии цилиндров
0, 405s ; 0,105s ; 01,1E E ; 01,68 ;sE E E 02,68 ;E 03,68 ;E
04,68 ;E 00, 45sG G E .
На рис. 19 приведены графики рас-
пределения нормального перемещения
u в сечении 0,5s L на внешней по-
верхности цилиндра на интервале
0 / 2 для четырех вариантов ор-
тотропного материала, обозначенных
номерами 1, 2, 3, 4; 0,1 (сплошная
линия) и 0,3 (пунктирная линия).
Из рис. 19 видно, что в вершине гоф-
ра и большей полуоси эллипса ( 0 )
перемещения u направлены в сторону,
противоположную действию приложен-
ной нагрузки, а в зоне впадины гофра
( / 4 ) перемещения u достигают
максимальных значений. В зоне малой
полуоси эллипса ( / 2 ) перемеще-
ния u при малой степени эллиптично-
сти ( 0,1 ) близки к нулю для всех
четырех вариантов ортотропии. При
большей степени эллиптичности
( 0,3 ) максимальные значения u
( / 4 ) увеличиваются до 18%, а в
зоне малой полуоси эллипса
( / 2 ) u отличны от нуля. Это мож-
но объяснить тем, что при 0,3 имеет
место большая податливость цилиндра.
При этом максимальные перемещения
u ( / 4 ) для первого и четвертого варианта ортотропии отличаются в 2,7 раза, а
при 0,3 – в 3,1 раза.
На рис. 20 приведены графики распределения напряжений
вдоль направляю-
щей цилиндра в интервале ( 0 / 2 ) на внутренней (сплошная линия) и внешней
(штриховая линия) поверхностях цилиндра в сечении 0,5s L для степени эллиптич-
ности 0,1 (тонкая линия) и 0,3 (жирная линия). Для всех четырех вариантов
ортотропии графики напряжений практически совпадают. Из приведенных на рис. 20
графиков можно заключить, что изменение степени эллиптичности незначительно
сказывается на значениях напряжений. Распределение напряжений почти симметрич-
но относительно середины интервала ( / 4 ). Напряжения на внутренней поверх-
ности на краях интервала ( 0 ; / 2 ) примерно достигают той же величины,
что и в центре ( / 4 ). Напряжения на внешней поверхности сдвигаются вверх.
Также наблюдается некоторая симметрия напряжений на внешней и внутренней по-
верхности цилиндра относительно горизонтальной линии на небольшом расстоянии в
Рис. 19
Рис. 20
22
положительную сторону от нуля. Таким образом, гофрировка цилиндра приводит к
тому, что в зоне выпуклости гофров напряжения по величине близки к напряжениям в
зоне вогнутости.
в) Ортотропные. Проведем исследование напряженного состояния полых эллип-
тических цилиндров с гофрами в поперечном сечении, изготовленных из ортотропно-
го материала. Задача решена при таких исходных данных: 0 40r , 60l , 4h ,
4m , 4 ; 0; 0,1; 0,2; 03,68 ;sE E 02,68 ;E E 01,1 ;E E 0,105;s
0, 405;s 0, 431; 00,5 ;sG E 00, 45 ;sG E 00, 41G E .
Результаты решения задачи при-
ведены в среднем сечении по длине
цилиндра на рис. 21 для значений пе-
ремещений u и в табл. 9 для значе-
ний напряжений .
На рис. 21 представлены графики
распределения перемещений u по
направляющей цилиндра. Из графиков
видно, что в случае, когда Δ ≠ 0 значе-
ния перемещений увеличиваются по
сравнению с круговым гофрированным
цилиндром во впадине гофров
( / 4 ) в 1,1 – 1,2 раза, в вершине,
соответствующей большей полуоси
эллипса ( 0 ) в 2,8 – 4 раза и в вер-
шине гофра, соответствующей меньшей полуоси эллипса ( / 2 ) в 1,8 – 5,8 раз, при
чем в последнем случае меняя знак на противоположный.
Таблица 9
0/ q
/ H
0 / 8 / 4 3 / 8 / 2
0
-1/2
0
1/4
50,96
9,20
-23,80
4,22
8,87
12,06
-32,39
5,62
48,78
4,22
8,87
12,06
50,96
9,20
-23,80
0,1
-1/2
0
1/4
48,12
8,37
-22,36
5,36
9,35
11,78
-32,58
5,96
49,95
2,06
7,94
12,44
55,91
9,46
-27,52
0,2
-1/2
0
1/4
47,66
6,73
-23,58
3,90
9,47
13,17
-31,95
6,99
52,21
0,03
6,28
11,43
60,17
8,68
-32,17
В табл. 9 представлены значения напряжений для некоторых значений по
толщине и направляющей цилиндра.
Из табл. 9 видно, что наличие эллиптичности приводит к уменьшению макси-
мальных значений напряжений в 1,1 раза в зоне 0 на внутренней поверхно-
сти цилиндра и к увеличению в 1,1 – 1,2 раза в сечении / 4 на внешней поверх-
ности и в сечении / 2 – на внутренней.
4.2. Слоистые цилиндры. Рассмотрим задачу о напряженном состоянии трех-
слойных полых эллиптических цилиндров с гофрами в поперечном сечении. Внут-
ренний и внешний слои – изотропные, толщина каждого слоя h, модуль упругости
Е = Е0 и коэффициент Пуассона ν. Средний слой имеет толщину Н и может быть из-
готовлен из различных материалов.
Рис. 21
23
а) Изотропные, неоднородные слои. Пусть средний слой изготовлен из изотроп-
ного материала с модулем упругости Е = dЕ0 и коэффициентом Пуассона ν. При ре-
шении задачи принималось: h = 2; Н = 4; Δ = 0,1; 0,2; r0 = 40; l = 60; d = 1; 0,1; т = 4; ν
= 0,3. Результаты решения задачи приведены для перемещений u в табл. 10 и для
напряжений в табл. 11 в среднем сечении по длине цилиндра для 0,5s l .
Таблица 10
u 0
q
1d 0,1d Δ / H
0 / 4 / 2 0 / 4 / 2
0,1
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
7,08
–0,08
–2,84
–3,01
–1,29
457,92
461,30
460,78
456,60
448,15
219,08
211,48
207,19
204,59
203,23
–17,36
–25,28
–24,29
–25,70
–25,55
927,52
930,45
919,55
912,01
901,38
343,43
334,51
331,04
322,96
318,18
0,2
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
–62,00
–69,43
–71,28
–70,02
–66,62
583,15
588,03
588,27
584,01
574,47
389,94
381,92
376,88
372,97
369,79
–138,64
–146,19
–139,93
–136,74
–134,33
1150,66
1155,70
1146,6
1140,57
1128,96
635,33
626,09
621,63
609,98
602,03
Таблица 11
0/ q
1d 0,1d Δ / H
0 / 4 / 2 0 / 4 / 2
0,1
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
12,54
7,27
3,51
0,47
-2,24
-4,54
-0,45
3,44
7,45
12,02
12,83
7,94
4,56
1,78
-0,82
18,97
0,94
0,66
4,19
-1,40
-4,61
0,15
0,44
7,55
17,97
19,99
0,90
0,77
7,01
0,81
0,2
–1/2
–1/4
0
1/2
1/4
14,08
7,47
2,96
-0,57
-3,63
-5,56
-0,93
3,54
8,21
13,56
13,92
8,48
4,98
2,14
-0,58
20,81
0,97
0,64
2,82
-3,41
-6,01
0,10
0,45
8,04
19,80
21,67
0,83
0,80
8,38
1,26
Из табл. 10 видно, что наличие слабого среднего слоя ведет к существенному пе-
рераспределению значений перемещений при увеличении степени эллиптичности
гофрированных цилиндров. Так, в зоне большей полуоси эллипса, совпадающей с
вершиной ( 0 ) гофра, значения перемещений имеют противоположный действию
нагрузки знак и увеличиваются в 5,4 раза для Δ = 0,2, в зоне впадины гофра
( / 4 ) перемещения u принимают свои максимальные значения и увеличивают-
ся в 2 раза по сравнению с изотропными цилиндрами как для Δ = 0,1, так и для
Δ = 0,2. В зоне, совпадающей с впадиной гофра ( / 4 ) наличие среднего слоя
приводит к увеличению значений перемещений в 1,6 раза.
Напряжения (табл. 11) принимают максимальные значения на внутренней по-
верхности цилиндра в зоне меньшей полуоси эллипса / 2 и наличие среднего
неоднородного слоя приводит к увеличению их значений в 1,6 раза.
б) Трансверсально-изотропный средний слой. Рассмотрим случай, когда средний
слой изготовлен из трансверсально-изотропного материала с механическими пара-
метрами 0 0 0; 0,2 ; 0,2; 0,6; 0,1E E E E G E .
При решении задачи принималось: 0 40; 60;r l 4;m 4; 2;h 4;H
0,1; 0,2 . На рис. 22 представлены результаты решения задачи в виде графиков
24
распределения перемещений u и на рис. 23 – для значений напряжений по на-
правляющей цилиндра в среднем сечении по длине цилиндра.
Сплошной линией обозначены графики перемещений и напряжений на внешней
(1) и внутренней (3) поверхностях, а штриховой (2) – в среднем сечении по толщине.
Из рис. 22 видно, что с увеличением степени эллиптичности значения перемещений
увеличиваются в 1,2 раза в сечении / 4 и в 1,8 раза в сечении / 2 . При
этом значения напряжений (рис. 23) меняются незначительно.
в) Ортотропный средний слой. Пусть средний слой изготовлен из ортотропного ма-
териала с механическими параметрами 03,68 ;sE E 02,68 ;E E 01,1 ;E E
0,105;s 0, 405;s 0, 431; 00,5 ;sG E 00, 45 ;sG E 00, 41G E .
Таблица 12
u 0
q
0
0,1 0,2 0,1 0,2 0,1 0,2
2
–1/2
–1/4
0
1/4
1/2
–34,71
–40,18
–45,44
–45,54
–44,10
–94,98
–100,77
–104,94
–102,25
–99,42
275,01
275,71
274,71
265,87
260,08
380,34
382,16
382,43
372,42
365,44
139,22
133,78
126,02
120,71
119,84
276,73
271,16
261,85
253,47
251,37
3
–1/2
–1/4
0
1/4
1/2
–35,93
–42,18
–47,97
–47,19
–44,96
–88,71
–95,15
–99,84
–96,60
–93,20
360,26
362,96
364,98
355,97
348,92
461,19
465,12
468,94
459,47
451,51
127,28
120,66
112,06
108,10
108,47
261,38
254,42
243,96
237,05
236,38
Результаты решения задачи приведены для перемещений u в табл. 12 и для на-
пряжений в табл. 13 в среднем сечении по длине цилиндра для 0,5s l .
Из табл. 12 видно, что максимальных значений перемещения достигают в зоне
впадины гофров ( / 4 ) и с увеличением степени эллиптичности область макси-
мума перемещений сдвигается к середине толщины цилиндра (γ = 0). При увеличении
амплитуды гофрировки значения перемещений увеличиваются в 1,2 – 1,3 раза.
Рис. 22
Рис. 23
25
Характер распределения напряжений представлен в табл. 13. Максимальных
значений напряжения достигают также в зоне впадины гофров и с увеличением
амплитуды гофрировки увеличиваются в 1,3 – 1,4 раза. Их максимум приходится на
зону границы внутреннего несущего и среднего ортотропного слоев.
Таблица 13
0/ q
0
0,1 0,2 0,1 0,2 0,1 0,2
2
–1/2
–1/4
0
1/4
1/2
1,55
–1,05
–1,62
–0,81
–1,61
2,13
–1,14
–2,85
–1,7
–2,93
–4,10
–6,88
–0,75
2,42
4,59
–5,59
–9,33
–1,06
3,05
5,98
0,51
–1,47
1,18
1,12
1,29
–0,18
–1,95
3,23
2,45
3,30
3
–1/2
–1/4
0
1/4
1/2
2,14
–0,54
–1,23
0,93
–1,90
2,62
–0,63
–2,30
–1,71
–3,04
–5,89
–9,69
–1,61
2,84
5,87
–7,44
–12,52
–2,36
3,30
7,05
1,48
–0,34
1,92
0,91
0,76
1,10
–0,08
4,60
2,29
2,77
Заключение.
В настоящей статье представлен обзор публикаций и дано решение некоторых
новых классов задач о напряженном состоянии некруговых полых цилиндров, нахо-
дящихся под действием нагрузки, приложенной на боковых поверхностях цилиндров
при определенных граничных условиях на торцах. Для решения данного класса задач
используется подход, основанный на применении рядов Фурье, заданных на дискрет-
ном множестве точек. Проведен анализ напряженного состояния некруговых полых
цилиндров различной структуры в зависимости от формы поперечного сечения и ме-
ханических свойств материала.
Проведенный анализ позволяет заключить, что применение данного метода дает
возможность решать задачи о напряженном состоянии полых цилиндров с некруго-
вым поперечным сечением в широком диапазоне изменения их геометрических и ме-
ханических параметров, с достаточной степенью точности.
Р Е ЗЮМ Е . На основі підходу, що базується на застосуванні рядів Фур'є для функцій, заданих
на дискретній множині точок, розв'язано задачі про напружений стан некругових порожнистих цилі-
ндрів в залежності від форми поперечного перерізу та механічних властивостей матеріалу. Наведено
результати дослідження напруженого стану у вигляді графіків та таблиць і дано їх аналіз.
1. Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Статика упругих тел неканонической формы. – К.: Наук. думка, 1984. –
300 с. (Пространственные задачи теории упругости и пластичности: В 6-ти т.; Т.2).
2. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 415 с.
3. Chang M., Chang L.-L. Analysis of the eccentric cylindrical thin shell // Appl. Math. and Mech. Engl. Ed.
– 1994. – 15, N 9. – P. 887 – 895.
4. Grigorenko Ya. M., Grigorenko A.Ya., Static and Dynamic Problems for Anisotropic Inhomogeneous
Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. –
49, N 2. – P. 123 – 197.
5. Grigorenko Ya. M., Rozhok L. S. Equilibrium of elastic hollow inhomogeneous cylinders of corrugated
elliptic cross-section // J. Eng. Math. – 2006. – 54. – P. 145 – 157.
26
6. Grigorenko Ya.M., Rozhok L.S. Influence of curvature on the stress state of hollow cylinders with
complex-shaped noncircular cross-section // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, N 7. – P. 737 – 743.
7. Grigorenko Ya. M., Yaremchenko S. N. Refined design of longitudinally corrugated cylindrical shells //
Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 2. – P. 205 – 212.
8. Hamming R.W. Numerical Methods for Scientists and Engineers. – New-York: Mc Graw-Hill, 1962.
– 400 p.
9. Korn G.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. – New-York: Mc Graw-Hill,
1961. – 720 p.
10. Maksimyuk V.A., Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S Variational finite-difference methods in linear and
nonlinear problems of the deformation of metallic and composite shells (review) // Int. Appl. Mech. –
2012. – 48, N 6. – P. 613 – 687.
11. Meyers C.A., Hyer M.W. Response of elliptical composite cylinders to internal pressure loading // Mech.
Comp. Math. Struct. – 1997. – 4. – Р. 317 – 343.
12. Nzengwa R., Tagne Simo B.H. A two-dimensional model for linear elastic thick shells // Int. J. Solids and
Struct. – 1999. – 36, N 34. – Р. 5141 – 5176.
13 Sokolnikoff I.S., Specht R.D. Mathematical Theory of Elasticity. – New-York: Mc Graw-Hill, 1946.
– 373 p.
14. Soldatos K. P. Mechanics of Cylindrical Shells with Noncircular Cross-Section. A survey // Appl. Mech.
Rev. – 1999. – 52, N 8. – P. 237–274.
15. Timoshenko S.P. Theory of Elasticity. – New York: Mc Graw-Hill, 1934. – 452 p.
16. Yu H.R., Liang B., Li L. Optimal design of cylindrical shells // Struct. Optimiz. – 1991. – 3, N 4. –
P. 252 – 256.
Поступила 08.11.2010 Утверждена в печать 26.06.2013
|