Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины
Досліджено напружено-деформований стан нескінченного лінійно в’язкопружного ізотропного тіла, послабленого колінеарними тріщинами рівної довжини, під дією нормального до ліній тріщин навантаження, інтенсивність якого не змінюється з часом. На основі отриманого в рамках моделі Леонова – Панасюка – Да...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Назва видання: | Прикладная механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100621 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины / А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов, Ю.А. Черноиван // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 94-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100621 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1006212016-05-25T03:02:50Z Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. Черноиван, Ю.А. Досліджено напружено-деформований стан нескінченного лінійно в’язкопружного ізотропного тіла, послабленого колінеарними тріщинами рівної довжини, під дією нормального до ліній тріщин навантаження, інтенсивність якого не змінюється з часом. На основі отриманого в рамках моделі Леонова – Панасюка – Дагдейла розкриття в зоні нелінійних деформацій побудовано рівняння докритичного росту тріщин та наведено чисельний алгоритм їх розв’язання. Проаналізовано розв’язки рівнянь докритичного розвитку тріщин при визначенні тривалості початкового періоду росту, протягом якого розкриття в кінцях фізичної тріщини досягає критичного. Числові результати наведено у вигляді графіків і таблиці. A stress-strain state of infinite linearly viscoelastic isotropic body is studied. The body is weakened by the collinear cracks of equal length and is subjected by the normal to the crack lines load of independent on time intensity. Basing on the opening obtained within the framework of the Leonov-Panasyuk-Dugdale model, the equations of sub-critical crack growth is derived in the zone of nonlinear deformations and a numerical algorithm of their solving is given. The solutions of equations of sub-critical cracks growth are analyzed when the duration of initial period of cracks growth, over which the opening at the tips of physical cracks reached the critical value, is determined. 2014 Article Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины / А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов, Ю.А. Черноиван // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 94-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100621 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Досліджено напружено-деформований стан нескінченного лінійно в’язкопружного ізотропного тіла, послабленого колінеарними тріщинами рівної довжини, під дією нормального до ліній тріщин навантаження, інтенсивність якого не змінюється з часом. На основі отриманого в рамках моделі Леонова – Панасюка – Дагдейла розкриття в зоні нелінійних деформацій побудовано рівняння докритичного росту тріщин та наведено чисельний алгоритм їх розв’язання. Проаналізовано розв’язки рівнянь докритичного розвитку тріщин при визначенні тривалості початкового періоду росту, протягом якого розкриття в кінцях фізичної тріщини досягає критичного. Числові результати наведено у вигляді графіків і таблиці. |
| format |
Article |
| author |
Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. Черноиван, Ю.А. |
| spellingShingle |
Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. Черноиван, Ю.А. Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины Прикладная механика |
| author_facet |
Каминский, А.А. Селиванов, М.Ф. Черноиван, Ю.А. |
| author_sort |
Каминский, А.А. |
| title |
Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины |
| title_short |
Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины |
| title_full |
Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины |
| title_fullStr |
Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины |
| title_full_unstemmed |
Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины |
| title_sort |
начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100621 |
| citation_txt |
Начальное разрушение вязкоупругой изотропной пластины с двумя коллинеарными трещинами одинаковой длины / А.А. Каминский, М.Ф. Селиванов, Ю.А. Черноиван // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 94-106. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT kaminskijaa načalʹnoerazrušenievâzkouprugojizotropnojplastinysdvumâkollinearnymitreŝinamiodinakovojdliny AT selivanovmf načalʹnoerazrušenievâzkouprugojizotropnojplastinysdvumâkollinearnymitreŝinamiodinakovojdliny AT černoivanûa načalʹnoerazrušenievâzkouprugojizotropnojplastinysdvumâkollinearnymitreŝinamiodinakovojdliny |
| first_indexed |
2025-07-07T09:05:25Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:05:25Z |
| _version_ |
1836978406531530752 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 3
94 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, №3
А .А .К а м и н с к и й , М .Ф .С е л и в а н о в , Ю .А .Ч е р н о и в а н
НАЧАЛЬНОЕ РАЗРУШЕНИЕ ВЯЗКОУПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ
С ДВУМЯ КОЛЛИНЕАРНЫМИ ТРЕЩИНАМИ ОДИНАКОВОЙ ДЛИНЫ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ ул. Нестерова, 3, 03057, Киев,
Украина; e-mail: fract@inmech.kiev.ua
Abstract. A stress-strain state of infinite linearly viscoelastic isotropic body is studied.
The body is weakened by the collinear cracks of equal length and is subjected by the normal
to the crack lines load of independent on time intensity. Basing on the opening obtained
within the framework of the Leonov-Panasyuk-Dugdale model, the equations of sub-critical
crack growth is derived in the zone of nonlinear deformations and a numerical algorithm of
their solving is given. The solutions of equations of sub-critical cracks growth are analyzed
when the duration of initial period of cracks growth, over which the opening at the tips of
physical cracks reached the critical value, is determined.
Key words: viscoelasticity, collinear cracks, plate, Dugdale model.
Введение.
Исследованиям линейных и нелинейных проблем механики разрушения посвящены
работы [7, 9, 10 – 12]. Кинетика роста одной трещины в линейно вязкоупругом теле в
рамках модели Леонова – Панасюка – Дагдейла исследована в работах [2, 13]. Задач о
развитии систем трещин в вязкоупругих телах решено значительно меньше, хотя эта про-
блема очень важна, поскольку коллинеарные трещины при развитии в условиях ползуче-
сти материала могут объединяться в магистральную трещину, которая приводит к полно-
му разрушению вязкоупругого тела. Решение одной из таких задач для двух коллинеар-
ных макротрещин одинаковой длины в вязкоупругой пластине при растяжении приведено
в монографии [2]. Однако эта задача решена численным методом только для малых зон
предразрушения на основе приближённого решения упругопластической задачи, приве-
денного в работе [1], причём были рассмотрены лишь некоторые простые модели вязко-
упругих тел, а также симметричное развитие обеих трещин.
Ниже рассмотрена аналогичная задача, но для немалых зон предразрушения на
основе точного решения упругопластической задачи, приведённого в работе [3] с учё-
том современных прикладных моделей вязкоупругости.
Исследование проведено по следующей схеме: определено упругое раскрытие в
зонах нелинейной деформации двух коллинеарных трещин одинаковой длины, выяс-
нено изменение этого раскрытия со временем; построено уравнение докритического
роста трещин; приведена схема численного решения полученных уравнений; дан ана-
лиз численных решений.
1. Постановка задачи.
Пусть в упругом бесконечном изотропном вязкоупругом теле вдоль одной прямой
расположена система двух коллинеарных трещин одинаковой длины, которая нахо-
дится под действием однородного напряжения p , приложенного на бесконечности
перпендикулярно к линии трещин. Введём ортогональную декартову систему коор-
динат, ось x которой направим вдоль линии трещин (рис. 1).
95
�� �� �� ��
x
p
y
2c
2a
2b
2d
p
Рис. 1
Согласно модели Леонова – Панасюка – Дагдейла примем, что области нелиней-
ного поведения материала в окрестности вершин трещин можно заменить разрезами,
к берегам которых приложены сжимающие напряжения интенсивности 0 . Соответ-
ствующие обозначения представлены на рис. 1.
Граничные условия поставленной задачи имеют вид:
12
22 0 12
22 12
0 0 при
0 при
0 при
v x c x d
c x a b x d
p a x b
причём координаты концов разрезов следует определять из условия конечности на-
пряжений в вершинах трещин. Граничное состояние трещин в вязкоупругом теле бу-
дем определять согласно критерию критического раскрытия в вершине трещины [2, 9].
2. Соотношения для упругого раскрытия трещин.
Для построения разрешающих уравнений вязкоупругой задачи воспользуемся
принципом Вольтерра, применимость которого к данной задаче легко доказать с по-
мощью рассуждений, аналогичных приведенным в монографии [2].
Для определения условий упругого равновесия и деформированного состояния
материала вокруг трещины важным является определение зависимости между нагруз-
кой на трещину, геометрическими параметрами трещины и её раскрытием.
Общее решение задачи для плоскости с прямолинейными разрезами в работе [4]
представлено двумя комплексными функциями ( )z и ( )z :
2 ( ) ( ) ;y x z z
2 2 ( ) ( ) ( ) ( )y x xyi z z z z z
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u i z z z z z v (1)
где (3 ) ( ) ; и – параметры Ламе материала пластины,
( ) ( ) ( ) ( )z z z z z z d d
Функции ( )z и ( )z для рассмотренной задачи определены в работе [1] и
имеют вид
0( ) ( ) ln ( )
2 4
p p
z z U z
i
(2)
96
2 2 2 2 2 2 2 2( )
( ) ln ; , и т.п., , и т.п.
( )
a c c z z
a c a a c c
b c c z a
d z a d b
U z d d a z z c d d z z
d z b d z
.
Для обеспечения ограниченности и непрерывности напряжений в точках z c и
z d должны выполняться следующие равенства:
2 2 2 2
1 1cos 2 sin ;c c c c cd a b a b
2 22 2
2 2 2 2
( ) ( )c c
a c b c
a a b b
d da b
d a F k k d b F k k
d d d d
, (3)
где ( )F k и ( )n k – полные эллиптические интегралы первого и третьего родов
соответственно; 1 2 2 02 p – параметры нагружения.
Уравнение (3) учтено при получении выражений (2) и использовано для опреде-
ления внешних границ зон нелинейного поведения материала c и d .
При 0c и 0a из первого из уравнений (3) определим d :
2 2
1
1
2 sin
;
cos
a b ab
d
второе уравнение при этом переходит в неравенство ch arch
bd b d
ab a b
которое яв-
ляется условием положительности вертикального перемещения в точке начала коор-
динат.
Вертикальное перемещение для случая 0c получим из (1) подстановкой функ-
ций ( )z и ( )z :
3 2
3
4
( ) Re ( ) ;
x
c
p
x U z z
E
v d (4)
где E – модуль Юнга материала пластины.
Обозначив 3E p v v и выполнив интегрирование в (4), получим
1( ) ( ) ( ) ( );a a b bx xU x q x q x v
2
1
2
( )
( ) Re ( ) ln ;
( )
a c c x x
b c c x a
d x a d b
U x U x
d x b d x
2 2
2 2
; ( ) ( ( ) );a c
a a a a
c c
d c d a
q x x n k n
d a d a
2 2
2 2
; ( ) ( ( ) );b c
b b b b
c c
d c d b
q x x n k n
d b d b
где ( )n k – неполный эллиптический интеграл третьего рода,
97
( ) arcsin ;c cx x d
x k
k d
При x a и x b , соответственно, получим равенства
( ) ( )( )
( ) ln ln
( ) 2 ( )( )
a a
b c c a
d a c b b a b b c
a a
d a b d a b a b c
v
2
2 ;a b a a b c aa ba
a c
c c c c c
d d d d d a I I
dE d
a b a ab a b
( ) ( )( )
( ) ln ln
( ) 2 ( )( )
a c c b
b a
d b a d b a b a a c
b b
d b c b a b a c
v
2
2 ;a b a b c b ab bb
b c
c c c c c
d d d d b d I I
dE d
a b ba b a b
( ); arcsin ; ( ); arcsinc c
a a a b b b
a b
E E k E E k
ak bk
где ( )E k – неполный эллиптический интеграл второго рода,
2 2
; ;
( ) ( )
a a
aa bac c
x a c c x x b c c x
x x x x
I I
d d x a d d d x b d
d d
2 2
; .
( ) ( )
b b
ab bbc c
x a c c x x b c c x
x x x x
I I
d d x a d d d x b d
d d
Вертикальное перемещение для случая 0c (внутренние зоны нелинейного по-
ведения материала объединились) будет иметь вид
( ) Re ( )
x
d
x U z z v d
После интегрирования получим равенство
2
2
( )
( ) ln ln ln
2 2( )
a x x x a x b
x a x bb x a
d x ad b d d d da b
x x
d d d dd x bd x
v
При x a и x b , соответственно, имеем формулы
( ) ln ln
2
a a b
b a a b
ab d db
a a
d a bd d d
v
( ) ln ln .
2
a b a b
a b a
d d d b ada
b b
d d bb
v
При 0a определим перемещение берегов трещины длиной 2b
98
2
( ) ln ln
2
x x b
b x x b
d b d db
x x
d x bd d d
v (5)
Подставляя x b в решение (5), получим перемещение в конце физической тре-
щины длиной 2b , т.е.
( ) ln
d
b b
b
v
3. Вязкоупругое раскрытие двух коллинеарных трещин одинаковой длины.
Вследствие симметрии задачи о распространении коллинеарных трещин, опреде-
лим координаты физических концов одной (на рис. 1 – правой) трещины a и b как
функции времени. Конец x a , более близкий к началу координат, будем называть
левым, конец x b – правым. Полагаем начальную безразмерную длину трещины
0 0b a равной единице.
Изучим развитие трещин на протяжении инкубационного периода. Как и в случае
распространения одной трещины, время окончания инкубационного периода двух
коллинеарных трещин является моментом начала увеличения длины трещин.
Конец первого этапа роста коллинеарных трещин определим условием достиже-
ния раскрытием в левом и правом концах физической трещины ( 0( )a t и 0( )b t ,
соответственно) критического значения или слиянием трещин к достижению кри-
тического раскрытия в правом конце. Упругое раскрытие в левом конце всегда будет
превышать раскрытие в правом. Расхождения между двумя раскрытиями будут воз-
растать при сближении трещин. Величины 0( )a t и 0( )b t не будут равными на
протяжении первого этапа, как для случая одной трещины. При значительном отдале-
нии трещин влияние одной трещины на раскрытие на продолжении второй трещины
будет нивелироваться, моменты времени достижения величинами 0( )a t и 0( )b t
критического значения будут отличаться несущественно. В этом случае на следую-
щем этапе роста трещины будут распространяться в обе стороны.
Запишем основной закон наследственной упругости в такой форме:
0
( )
t
ij ijkl klt R t d (6)
где R – функции релаксации материала (в случае изотропного материала независи-
мых функций две, например, модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ). Эти
функции с требуемой точностью можно описать физически обоснованной моделью
[5, 6, 14] в виде:
1) 1( ) i i
i
R t R a E b t
; (7)
2) 0 1( ) 1k i
i
R t R E b t
(8)
где R и 0R – долговременное и мгновенное значение механической характеристики,
0
( )
( )
n
n
z
E z
n
(9)
99
– функция Миттаг – Леффлера; – гамма-функция Эйлера. При 1 и 1 функ-
ция (9) превращается в экспоненту. Отметим свойство функции Миттаг – Леффлера,
которая будет использована ниже для определения преобразований Лапласа L и об-
ратных преобразований Лапласа 1L функций времени, т.е.
1 ( )
s
t E bt
s b
L (10)
Для качественного исследования при учете релаксационных свойств материала ис-
пользуем лишь одно слагаемое в (9). В этом случае модуль Юнга E , который входит в
выражение для упругого решения (6) в области изменения времени представим в форме
0 1( ) ( )E t E E E E bt
(11)
Для построения решения в области времени для раскрытия трещины воспользу-
емся принципом упруго-вязкоупругой аналогии [8], заменяя зависимую от времени
характеристику релаксации [13] соответствующей преобразованной величиной [5]
0( ) ( ) ,
s
E s E E E
s b
где ( ) ( )E s s E t L – преобразование Лапласа – Карсона функции времени ( )E t , s –
параметр преобразования.
Определим изображение Лапласа – Карсона функции
1
( )
2
L t :
1 1 1
0 1
0
0 1
( ) 1 1
2 ( )
( )
L s s
E E E
E s s E
E E E s b
s b E
(12)
Вводя обозначения для мгновенного и долговременного модулей податливости
пластины 1
0 0D E и 1D E
, представим (12) в виде
0 0
( )
( ) 1
2
L s s
D D D D
s s
(13)
где 0( )D D b и 0( 1)D D – параметры функции ползучести.
Используя (10), согласно (13) в области изменения времени получим функции:
1) 0 1
1
( ) ( )
2
L t D D D E t
;
2) 0 0 1
1
( ) ( ) 1
2
L t D D D E t
(14)
Используя (13), можно определить функцию скорости ползучести
1 1 10
0
1 1
( ) ( )
2 2
D
L t L s L D t E t
s
L L (15)
100
Раскрытие в направлении оси Oy в точке с координатой ( 0)x как функцию от
времени можно, как и соотношение между напряжениями и деформациями в наслед-
ственном теле, записать в форме интеграла Больцмана:
1)
0
( ) ( ) [ ( ) ( )]
t
x t L t x a b vd ; (16)
2) 0 0
( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]
t
x t L x a t b t L t x a b v v d (17)
В выражениях (16) и (17) ( )L t и ( )L t определяются выражениями (14) и (15), со-
ответственно, а упругое вертикальное перемещение берегов трещины, в определении
которого введены координаты концов трещины ( ; ) ( )x a b E x v v , где ( )xv соответст-
вует выражению (4).
Уравнение докритического роста коллинеарных трещин одинаковой длины.
В [2] предложены уравнения для определения параметров начального этапа раз-
вития одной трещины в вязкоупругом теле в форме
1) 00
( ) [ ( ) ( )]
t
L t a t a L v vd ; (18)
2) 0 00
[ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]
t
L a t a t L t a t a L v v vd (19)
где ( )L x av – упругое раскрытие трещины длиной a в точке x ; 2L E для случая изо-
тропного материала с модулем Юнга E , 0L v – критическое раскрытие трещины.
Критическое раскрытие для каждого материала определяется экспериментально и
является одной из основных характеристик трещиностойкости. Левая часть опреде-
ляющего уравнения (18) или (19) является выражением для раскрытия ( )x t в точке
( )x a t на линии трещины в момент времени t , записанной в форме интеграла
Больцмана наследственной упругости.
Аналогом уравнения докритического роста одной трещины (18) или (19) в случае
двух коллинеарных трещин одинаковой длины является система уравнений
( ( ) ) ;x a t t ( ( ) )x b t t . (20)
Подставляя в эту систему выражение для ( )x t из (19) и 0L v , получим
0
[ ( ) ( ); ( )] ( ) [ ( ) ( ); ( )] ;
t
a t a t b t l t a t a b v v vd
(21)
0
[ ( ) ( ); ( )] ( ) [ ( ) ( ); ( )] ,
t
b t a t b t l t b t a b v v vd
где 0( ) ( )l t L t L . Уравнения (21) являются нелинейными уравнениями типа
Вольтерра.
Инкубационный период 0t развития одиночной трещины определяется как
время достижения раскрытием в вершине трещины критического значения. Конец
инкубационного периода является началом роста длины трещины. Этот момент
времени ( 0t ) можно определить с помощью уравнения (17): 0 0 0( ) ( )L t a a v
101
Аналогично, при исследовании роста коллинеарных трещин определяем время
инкубационного периода как момент начала роста длины трещин. Учитывая то, что
упругое раскрытие в левом конце трещины превышает раскрытие в правом конце,
время инкубационного периода 0t будет определяться условием достижения раскры-
тием в левом конце критического значения, т.е.
0 0 0 0( ) ( )L t a a b v (22)
За время 0t раскрытие в правом конце возрастет до величины 0 0 0 0( ) ( ; ; )L t b a bv ,
которая не будет превышать .
Начиная с момента времени 0t , длина трещины начинает возрастать. Пока вы-
полняется условие
0( )x b t (23)
координаты левого конца будем определять из первого из уравнений системы (21).
Момент времени 0bt соответствует достижению раскрытия в правом конце трещины
критического значения. С момента времени 0bt начнется следующий этап распростране-
ния трещин (он является предметом исследований последующих работ).
4. Численное решение уравнений роста трещин.
Для проведения анализа решения задачи,
вместо экспериментально определяемого
параметра трещиностойкости материала пла-
стины , введём модельный параметр k ,
который характеризует уровень критическо-
го раскрытия трещины в пластине из этого
материала. Тогда при 0 1k одиночная
трещина обязательно начнёт докритический
рост. Введение параметра k проиллюстри-
ровано на рис. 2.
Исследуем решения задачи при уровнях
внешней нагрузки, которые соответствуют
изменению модельного параметра 2 в пре-
делах от 6 до 10. Рассмотрим одну трещину
единичной длины, раскрытие в вершинах
которой можно определить как
(0, 5; 0; 0, 5)Lv , в зависимости от параметра
2 . Вычислим величины
2 2
min max
0 0
( ) ( )
min (0, 5; 0; 0, 5) ; max (0, 5; 0; 0, 5)
t t
L t L t
L L
v v v v
Рассмотрим уровни критического раскрытия 0L v , где v определяется уров-
нем параметра k следующим образом: min max minlg lg (lg lg )k
v v v v
Для численного решения уравнений системы разобьём отрезок на продолже-
нии трещины от точки 0a до точки a на N отрезков. Тогда из первого из урав-
нений системы (21) можно последовательно определять время прохождения тре-
щиной i -го узла разбивки ( )i ia a t , 1 2i … N . В пределах каждого временного
Рис. 2
102
интервала представляем решение ( )a t в форме показательной функции ( )a t
1 1( ) ( )
1 1( ) i i it t t t
i i ia a a
которая удовлетворяет условиям 1 1( )i ia t a , ( )i ia t a .
Продолжительность инкубационного периода 0t определяем из уравнения (22).
Моменты времени it прохождения i -го узла разбивки определим из уравнения
0 00
( ; ) ( ) ( ; ( ) )it
i i i ia a b l t a a b v v vd (24)
При 0ia c имеем 0( ; ( ) ) 0ia a b t v где t удовлетворяет уравнению
( ) ic t a ; интегрирование в (24) можно проводить не от нуля, а от t . Определив ка-
ждый следующий момент времени it , проверяем выполнение условия (23):
0 0 0 00
( ; ) ( ) ( ; ( ) )it
i ib a b l t b a b v v vd (25)
При выполнении условия (25) переходим к определению следующего it , если ус-
ловие не выполняется, определяем время 0bt окончания первого этапа развития двух
коллинеарных трещин из системы уравнений двух переменных, собственное 0bt и
0ba – координаты левого конца в момент времени 0bt :
0
0 0 0 0 0 00
[ ; ] ( ) [ ; ( ) ]bt
b b b ba a b l t a a b v v vd ;
0
0 0 0 0 0 00
[ ; ] ( ) [ ; ( ) ]bt
b bb a b l t b a b v v vd ; (26)
5. Анализ полученных результатов и выводы.
На основе полученных определяющих уравнений можно сделать следующие выводы.
Если начальное положение ближних вершин трещин достаточно близко, то для опре-
деления продолжительности первого этапа следует обратить внимание на один мо-
мент, важный для моделирования процесса докритического роста трещин. При дос-
тижении раскрытием в ближних вершинах критического значения трещины начинают
подрастать навстречу друг другу. Докритический рост будет длиться до момента вре-
мени, когда расстояние между трещинами достигнет критической длины, определяе-
мой из условия равенства упругого раскрытия в ближних вершинах критическому
значению , при неизменном положении дальних вершин. Во время роста трещин
навстречу друг другу вязкоупругое раскрытие в дальних вершинах может как дос-
тичь, так и не достичь критического значения.
Если вязкоупругое раскрытие в дальних вершинах достигает критического значения,
трещина начнет расти в обе стороны (как и в случае достаточного разнесения трещин).
Все дальнейшие численные результаты получены для материала пластины с та-
кими реологическими параметрами модели (13): 40 МПа;E 0 4000 МПа;E
0,5; 0,1секb
Проведём анализ полученных результатов. В таблице для каждой тройки
0 2a k параметров задачи приведены два момента времени: 0t и 0bt (в часах).
Звёздочки соответствуют тем случаям, когда этап слияния трещин начинается до момента
достижения величиной раскрытия в правом конце 0( )b t критического значения.
103
2
0a k
6 8 10
0,3 0,00167 *0,0167 0,0263 *0,0549 0,065 0,251
0,5 0,0814 *0,0829 0,324 *0,792 0,625 2,15 0,06
0,7 0,745 *0,83 2,44 *5,85 4,52 15,8
0,3 0,00766 *0,00928 0,0368 *0,107 0,0839 0,295
0,5 0,155 *0,227 0,409 1,26 0,763 2,28 0,07
0,7 1,27 *1,97 3,02 9,09 5,49 16,8
0,3 0,0122 *0,0191 0,0471 0,157 0,102 0,311
0,5 0,2 *0,397 0,489 1,34 0,895 2,37 0,08
0,7 1,58 *3,26 3,57 9,65 6,42 17,6
0,3 0,0166 *0,034 0,057 0,169 0,12 0,323
0,5 0,241 0,623 0,565 1,39 1,02 2,44 0,09
0,7 1,86 4,6 4,1 10 7,31 18,1
0,3 0,0209 *0,0529 0,0665 0,176 0,136 0,331
0,5 0,279 0,666 0,636 1,43 1,14 2,49 0,10
0,7 2,13 4,85 4,59 10,4 8,16 18,6
0,3 0,0556 0,0915 0,14 0,216 0,264 0,394
0,5 0,554 0,822 1,16 1,69 2,02 2,92 0,20
0,7 4,03 5,91 8,35 12,3 14,8 22
0,3 0,0773 0,102 0,185 0,236 0,34 0,427
0,5 0,715 0,895 1,48 1,83 2,55 3,15 0,30
0,7 5,15 6,42 10,6 13,3 19 23,9
0,3 0,0912 0,109 0,213 0,249 0,388 0,449
0,5 0,816 0,942 1,67 1,92 2,88 3,3 0,40
0,7 5,86 6,75 12,1 14 21,7 25,2
0,3 0,101 0,113 0,232 0,258 0,421 0,465
0,5 0,883 0,975 1,8 1,98 3,1 3,41 0,50
0,7 6,34 6,99 13,1 14,5 23,6 26,2
На рис. 3 для значений параметров задачи 0 0,1a , 2 6 и 0,3k приведены
диаграммы зависимости расположения вершин трещин от времени (верхний блок), а
также графики вертикальных перемещений берегов трещины в левой (левый нижний
график) и правой (правый нижний график) зонах нелинейных деформаций в моменты
времени it t прохождения левым концом i -го узла разбивки
0 00
( ) ( ; ) ( ) ( ; ( ) )it
i ix x a b l t x a b v v v d
( i ic x a – для левой зоны нелинейных деформаций, 0 ib x d – для правой).
Разбивка построена таким образом, чтобы один из узлов совпал с точкой 0x c на
продолжении трещины. Этого можно достичь, сделав длину каждого следующего
интервала разбивки в 1q раз большей длины предыдущего интервала. Такой выбор
узлов оказывается лучшим по сравнению с разбивкой на интервалы одинаковой дли-
ны по той причине, что скорость роста размера трещины увеличивается со временем.
104
Рис. 3
Для приведенного на рис. 3 решения этап слияния начинается в момент времени
5 190,4t t сек (обычно это значение можно уточнять путем увеличения числа
узлов разбивки N ). Вертикальное перемещение в правой вершине трещины
( 0 5 0( ; ; ) 0,426b a b v ) не достигло критического значения ( 0,4513 v ) к началу этапа
слияния. Также укажем, что для исследованной комбинаций исходных параметров
не состоялось слияние зон предразрушения к началу этапа слияния трещин
( 5 0,0173 0c ).
На рис. 4 для значений параметров задачи 0 0,08a , 2 8 и 0,3k проиллю-
стрированы аналогичные результаты исследования. Разность между этим и предыду-
щим случаем заключается в том, что вертикальное перемещение в правой вершине
трещины достигло критического значения к началу этапа слияния. Для полученного
момента времени 4t прохождения левым концом трещины узла разбивки 4a (какие –
не уточняем, а вместо них приводим значение 4 0bt t и 4 0ba a ) условие (25) не бы-
ло выполнено, поэтому длительность первого этапа слияния двух коллинеарных тре-
щин 0 565,5bt сек и соответствующее значение координаты левого конца трещины
0 0( ) 0,0593b ba a t было получено из системы уравнений (26).
105
Рис. 4
Заключение.
Предложен подход к решению задачи о развитии системы двух коллинеарных
трещин; он эффективен для определения продолжительности и характера развития
трещин в изотропных вязкоупругих нестареющих материалах на протяжении началь-
ного периода. Решения для задач о развитии трещин в случае, когда построение упру-
гого решения затруднено, могут быть получены на основе работы [15].
Р Е ЗЮМ Е . Досліджено напружено-деформований стан нескінченного лінійно в’язкопружного
ізотропного тіла, послабленого колінеарними тріщинами рівної довжини, під дією нормального до
ліній тріщин навантаження, інтенсивність якого не змінюється з часом. На основі отриманого в рам-
ках моделі Леонова – Панасюка – Дагдейла розкриття в зоні нелінійних деформацій побудовано
рівняння докритичного росту тріщин та наведено чисельний алгоритм їх розв’язання.
Проаналізовано розв’язки рівнянь докритичного розвитку тріщин при визначенні тривалості почат-
кового періоду росту, протягом якого розкриття в кінцях фізичної тріщини досягає критичного. Чис-
лові результати наведено у вигляді графіків і таблиці.
106
1. Витвицкий П.М. Полосы скольжения при растяжении тонких пластин с прямолинейными разреза-
ми // Концентрация напряжений. – К.: Наук. думка, 1965. – С. 77 – 85.
2. Каминский А.А. Разрушение вязкоупругих тел с трещинами. – К.: Наук. думка, 1990. – 312 с.
3. Камінський А.О., Селіванов М.Ф., Чорноіван Ю.О. Дослідження переміщення берегів двох
колінеарних тріщин рівної довжини // Доп. НАН України – 2011. – № 11, – С. 70 – 75.
4. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.:
Наука, 1966. – 707 с.
5. Работнов Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. – М.: Наука, 1977. – 384 с.
6. Adolfsson К., Enelund М., Olsson P. On the fractional order model of viscoelasticity // Mech Time-Dep.
Mat. – 2005. – 9. – P. 15 – 34.
7. Chang Dh., Kotousov A. A strip yield model for two collinear cracks / /Engng. Fract. Mech. – 2012.
– 90. – P. 121 – 128.
8. Christensen R.M. Theory of viscoelasticity. – NY: Dover Publications, 2003 – 369 p.
9. Collins R. A., Cartwright D.J. An analytical solution for two equal-length collinear strip yield
cracks // Engng Fract. Mech. – 2001. – 68. – P. 915 – 924.
10. Guz A.N., Guz I.A., Men’shikov A.V., Men’shikov V.A. Three-Dimensional Problems in the Dy-
namic Fracture Mechanics of Materials with Interface Cracks (Review) // Int. Appl. Mech. –
2013. – 49, N 1. – P. 1 – 61.
11. Hu Y., Huang Y, Zhong W. Collinear periodic cracks in anisotropic bimaterials // Int. J. Fract. – 1997.
– 85. – P. 69 – 80.
12. Kaminsky A.A., Kurchakov E.E. Modeling a Crack with a Fracture Process Zone in a Nonlinear Elastic
Body // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 5. – P. 552 – 562.
13. Kaminsky A.A., Selivanov M.F., Chernoivan Yu. A. Subcritical Growth of a Mode III Crack in a Viscoe-
lastic Composite Body // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 3. – P. 293 – 302.
14. Rossikhin Yu. A., Shitikova М. V. Comparative analysis of viscoelastic models involving fractional de-
rivatives of different orders // Fract. Calc. Appl. Anal. – 2007. – 10. – P. 111 – 121.
15. Selivanov M.F., Chernoivan Y.A. A combined approach of the Laplace transform and Pade approximation
solving viscoelasticity problems // Int. J. Solids and Struct. – 2007. – 44, N 1. – P. 66 – 76.
Поступила 27.04.2011 Утверждена в печать 03.12.2013
|