Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии
Досліджено динамічну стійкість в’язкопружних пластин змінної жорсткості. Рівняння руху відносно прогинів описано інтегро-диференційними рівняннями (ІДР) в часткових похідних. З використанням методу Бубнова – Гальоркіна, що базується на одно- і багаточленній апроксимації прогинів, задачу зведено до р...
Gespeichert in:
| Datum: | 2014 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2014
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100629 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии / Р.А. Абдикаримов, Б.А. Худаяров // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 41-51. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-100629 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1006292016-05-25T03:02:41Z Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии Абдикаримов, Р.А. Худаяров, Б.А. Досліджено динамічну стійкість в’язкопружних пластин змінної жорсткості. Рівняння руху відносно прогинів описано інтегро-диференційними рівняннями (ІДР) в часткових похідних. З використанням методу Бубнова – Гальоркіна, що базується на одно- і багаточленній апроксимації прогинів, задачу зведено до розв’зання системи звичайних ІДР, де незалежною змінною є час. Розв’язки ІДР визначаються чисельним методом при виключенні особливостей в ядрі. На основі цього методу описано алгоритм чисельного розв’язку задачі. Виявлено ряд нових механічних ефектів. A problem of dynamical stability of viscoelastic plates of variable stiffness is considered. The motion equations relative to deflections have the form of partial integrodifferential equations. By use of Bubnov – Galerkin method, based on the monomial and polynomial approximations, the problem is reduced to studying the ordinary integrodifferential equations with time as independent variable. A solution of these equations is found numerically basing on exception of singularity in the kernel. An algorithm of numerical solution is described. A row of new mechanical effects is revealed. 2014 Article Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии / Р.А. Абдикаримов, Б.А. Худаяров // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 41-51. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0032-8243 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100629 ru Прикладная механика Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Досліджено динамічну стійкість в’язкопружних пластин змінної жорсткості. Рівняння руху відносно прогинів описано інтегро-диференційними рівняннями (ІДР) в часткових похідних. З використанням методу Бубнова – Гальоркіна, що базується на одно- і багаточленній апроксимації прогинів, задачу зведено до розв’зання системи звичайних ІДР, де незалежною змінною є час. Розв’язки ІДР визначаються чисельним методом при виключенні особливостей в ядрі. На основі цього методу описано алгоритм чисельного розв’язку задачі. Виявлено ряд нових механічних ефектів. |
| format |
Article |
| author |
Абдикаримов, Р.А. Худаяров, Б.А. |
| spellingShingle |
Абдикаримов, Р.А. Худаяров, Б.А. Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии Прикладная механика |
| author_facet |
Абдикаримов, Р.А. Худаяров, Б.А. |
| author_sort |
Абдикаримов, Р.А. |
| title |
Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии |
| title_short |
Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии |
| title_full |
Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии |
| title_fullStr |
Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии |
| title_full_unstemmed |
Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии |
| title_sort |
динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2014 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100629 |
| citation_txt |
Динамическая устойчивость вязкоупругих гибких пластин переменной жесткости при осевом сжатии / Р.А. Абдикаримов, Б.А. Худаяров // Прикладная механика. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 41-51. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT abdikarimovra dinamičeskaâustojčivostʹvâzkouprugihgibkihplastinperemennojžestkostipriosevomsžatii AT hudaârovba dinamičeskaâustojčivostʹvâzkouprugihgibkihplastinperemennojžestkostipriosevomsžatii |
| first_indexed |
2025-07-07T09:06:13Z |
| last_indexed |
2025-07-07T09:06:13Z |
| _version_ |
1836978458904756224 |
| fulltext |
2014 ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 50, № 4
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2014, 50, № 4 41
Р .А .А б д и к а р и м о в 1 , Б .А .Х у д а я р о в 2
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГИХ ГИБКИХ ПЛАСТИН
ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
1Ташкенсткий финансовый институт,
ул.Кичик халка йули, 7,100084, Ташкент, Узбекистан; e-mail: rabdikarimov@mail.ru
2Ташкентский институт ирригации и мелиорации,
ул. Кари-Ниязова, 39,100000, Ташкент, Узбекистан; e-mail: bakht-flpo@yandex.ru
Аbstract. A problem of dynamical stability of viscoelastic plates of variable stiffness is
considered. The motion equations relative to deflections have the form of partial integro-
differential equations. By use of Bubnov – Galerkin method, based on the monomial and
polynomial approximations, the problem is reduced to studying the ordinary integro-
differential equations with time as independent variable. A solution of these equations is
found numerically basing on exception of singularity in the kernel. An algorithm of numeri-
cal solution is described. A row of new mechanical effects is revealed.
Key words: viscoelasticity, integro-differential equation, dynamical stability, variable
stiffness.
Введение.
Современная техника, строительство и другие области промышленности использу-
ют все более сложные конструкции, обеспечение прочности, надежности и высокой
экономичности которых имеет большое значение. Оптимальное проектирование таких
конструкций невозможно без создания математических моделей, позволяющих учиты-
вать максимально возможное количество факторов, влияющих на их работоспособ-
ность. При этом достигается значительное снижение веса, улучшение геометрических и
механических характеристик строительных сооружений и технических конструкций.
Проблемам расчета тонкостенных элементов конструкций переменной жесткости в
упругой и вязкоупругой постановках посвящены многочисленные работы, в которых рас-
смотрены различные вопросы, относящихся к изучению их поведения при действии ста-
тических и динамических нагрузок, включая учет влияния упругого основания и изучение
проблем устойчивости. В частности, в работах [8, 11, 12] исследуются статические и ди-
намические деформации изотропных и анизотропных упругих оболочек с использовани-
ем классической и уточненной теорий. Исследованиям устойчивости и колебаний прямо-
угольных пластин переменной толщины в упругой постановке посвящены работы [6, 7, 9,
10, 13, 14, 18, 19]. Аналогичные задачи в вязкоупругой постановке рассматриваются в
[15 – 17]. Однако быстрые темпы технического прогресса обусловливает необходимость
решения еще более сложных задач. В последнее время изменение конструкции машин и
сооружений идет по двум путям: снижения их веса за счет создания равнопрочных эле-
ментов и замены во многих случаях сборных конструкций монолитными. Так, в авиа- и
ракетостроении конструкторы стремятся уменьшить относительную толщину крыльев и
рулевых поверхностей, выполняя их в виде пластин переменной жесткости.
Обычно при математическом моделировании технических конструкций форма
конструкции принимается заданной и неизменной. Однако, в последние годы все
большее значение приобретает поиск наилучшей конфигурации, особенно исследова-
ниям колебаний тонкостенных конструкций переменной жесткости из композицион-
ных материалов. Эти задачи требуют новых методов математического и компьютер-
ного моделирования.
42
Математические модели большинства задач наследственной теории вязкоупругос-
ти приводят к необходимости численного решения краевых задач для систем интегро-
дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими краевы-
ми и начальными условиями. Нелинейность моделируемых процессов приводит и к
нелинейности краевых задач, описывающих эти процессы. Традиционные методы и
алгоритмы численной реализации при этом оказываются малопригодными. Поэтому
разработка и развитие математических моделей, совершенствование численных мето-
дов и алгоритмов решения задач теории наследственной теории вязкоупругости, воз-
никающих при математическом моделировании объектов и явлений – важные и акту-
альные задачи фундаментальной науки.
Актуальным является также решение конкретных, практически важных классов
задач, среди которых отметим задачи математического моделирования и расчета вяз-
коупругих тонкостенных конструкций переменной жесткости. Решению этих проблем
посвящена настоящая работа.
1. Постановка задачи и метод решения.
Рассмотрим задачу об устойчивости прямоугольной вязкоупругой пластинки пере-
менной толщины, изготовленной из однородного изотропного материала. Пластина со
сторонами a и b подвергается динамическому сжатию вдоль стороны а силой
( )Р t t ( – скорость нагружения) при условии, что пластинка имеет начальные
прогибы.
При принятых предположениях, с учетом сжимающей силы 2 2( )( )P t w x и на-
чального прогиба, математическая модель этой задачи относительно поперечного
прогиба ( , , )w w x y t и перемещений ( , , );u u x y t ( , , )v v x y t описывается сле-
дующей системой уравнений [2]:
2 2 2 2 2 2
*
2 2 2 2
1 1 1 1
(1 )
2 2 2 2
u u v w w w w w w
h
x y x y x x x y y x y
22
1 1
2 2 2
h u v w w h u v w w
x x y x y y y x x y
2 2
2
(1 )
0;x
h u
p
E t
2 2 2 2 2 2
*
2 2 2 2
1 1 1 1
1
2 2 2 2
v v u w w w w w w
h
y x x y y y y x x x y
2 2
1 1
2 2 2
h v u w w h u v w w
y y x y x x y x x y
(1)
2 2
2
(1 )
0;y
h v
p
E t
24 4 4 2
* 3 * 20 0 0
4 2 2 4 2
( ) ( ) ( )
(1 ) 2 3(1 ) 2
w w w w w w h h
h h h
x x y y x x
2 2 3 3
* 20 0 0 0
2 2 3 2
( ) ( ) ( ) ( )
6(1 )
w w w w w w w wh
h
x y x x x y
43
23 3 2
* 2 * 20 0
3 2 2
( ) ( )
6(1 ) 3(1 ) 2
w w w wh h h
h h h
y y x y y y
2 2 22
* 20 0 0
2 2
( ) ( ) ( )
6(1 )(1 ) 2
w w w w w wh h h
h h
y x x y x y x y
2 2 2 2 2 2
*
2 2 2 2
1 1 1 1
12 (1 )
2 2 2 2
w u u v w w w w w w
h
x x y x y x x x y y x y
22
1 1
2 2 2
h u v w w h u v w w
x x y x y y y x x y
222
*
2
1
12 (1 )
2 2
w u v w w
h
x y y x y
2 2 2 2 2 2
*
2 2 2 2
1 1 1 1
12 (1 )
2 2 2 2
w v v u w w w w w w
h
y y x x y y y y x x x y
2 2
1 1
2 2 2
h v u w w h u v w w
y y x y x x y x x y
2 22
*
2
1
12 (1 )
2 2
w v u w w
h
y y y y x
2 2
*
212(1 ) (1 ) ( )
w u v w w w
h P t
x y y x x y x
2 2 2
2
12(1 ) 12(1 )
.
h w
q
E t E
Представим функции u(x, y, t), v(x, y, t), w(x, y, t) и w0(x, y) в виде разложения по
функциям ( , )nm x y , ( , )nm x y , ( , )nm x y , удовлетворяющим соответствующим гра-
ничным условиям,
1 1 1 1
( , , ) ( ) ( , ); ( , , ) ( ) ( , ) ;
N M N M
nm nm nm nm
n m n m
u x y t u t x y v x y t v t x y
1 1
( , , ) ( ) ( , );
N M
nm nm
n m
w x y t w t x y
0 0
1 1
( , ) ( , ),
N M
nm nm
n m
w x y w x y
(2)
где ( ),nm nmu u t ( ),nm nmv v t ( )nm nmw w t – неизвестные функции времени; ( , ),nm x y
( , ),nm x y ( , )nm x y , 1, 2, ... , ;n N 1, 2, ... ,m M – координатные функции, удовле-
творяющие заданным граничным условиям задачи.
Подставляя (2) в систему (1) и применяя метод Бубнова – Галеркина, при этом
введя безразмерные величины
44
0
;
u
h
0
;
v
h
0
;
w
h
0
0
;
w
h
;
x
a
;
y
b
0
;
h
h
;
a
b
0
;
b
h
;
кр кр кр
P t t P
t
P P PS
2
0
;
P b
P
E h
4
0
;
q b
q
E h
23
3 0
4 ;кр
cEh
S P
b
2
2 2
0
;
( / ) 3(1 )
кр
кр
P
P
E b h
( )
S
t
и сохраняя прежние обозначения, для определения неизвестных ( )nm nmw w t ,
( )nm nmu u t , ( )nm nmv v t получаем следующую систему нелинейных интегро-диффе-
ренциальных уравнений:
*
ln 1 1 ln 1 ln
1 1 1 1
1
(1 )
N M N M
k m nm k m nm k m nm
n m n m
a u d u e v
S
1 ln 0 0
, 1 , 1
1
( ) 0;
N M
k mij nm ij nm ij
n i m j
g w w w w
*
ln 2 2 ln 2 ln
1 1 1 1
1 1
(1 )
N M N M
k m nm k m nm k m nm
n m n m
b v d u e v
S
2 ln 0 0
, 1 , 1
1
( ) 0;
N M
k mij nm ij nm ij
n i m j
g w w w w
(3)
ln
* * *
ln 3 3 3 ln 0
1 1 1 1 1 1
1
(1 ) ( )
k m
N M N M N M
k m nm nm k m nm nm
n m n m n m
c w p w t f w w
S
*
3 4 ln 4 ln
, 1 , 1
(1 ) ( )
N M
nm k mij ij k mij ij
n i m j
w d u e v
* 2 4
ln 0 0 3
, , 1 , , 1
(1 )( ) 12 (1 )
N M
k mijrs nm ij rs ij rs kl
n i r m j s
g w w w w w q
0(0) ;nm nmu u 0(0) ;nm nmu u 0(0) ;nm nmv v 0(0) ;nm nmv v
0(0) ;nm nmw w 0(0) ,nm nmw w
где /c E – скорость звука в материале пластинки;
2
2
2 ( )
3(1 )крP E h b
–
статическая критическая нагрузка; 2 2 * 4( )крEh P b – частота основного тона
колебаний;
1 1
*
ln ,
0 0
k m nm xx klp h dxdy ; 2 4 2
1 3 ;
2
2 4
3
; 3 4 4
1
4
;
1 1
ln
0 0
;k m nm kla h dx dy
1 1
ln
0 0
;k m nm klb h dx dy
1 1
ln
0 0
;k m nm klc h dx dy
1 1
2 2
1 ln , , , ,
0 0
1 1
;
2 2k m nm xx x nm x nm yy y nm y kld h h h h dx dy
45
1 1
1 ln , , ,
0 0
1 1
;
2 2k m nm xy x nm y y nm x kle h h h dx dy
1 1
1 ln , , , , , ,
0 0
1 (1 ) 1
2 2k mij nm x ij xx nm y ij xy nm x ij yyg h h h
, , , , , ,
1 1
;
2 2 2x nm x ij x x nm y ij y y nm x ij y klh h h dx dy
1 1
2 ln , , ,
0 0
1 1
;
2 2k m nm xy x nm y y nm x kld h h h dx dy
1 1
2 ln , , , ,2 2
0 0
1 1 1
;
2 2k m nm xx nm yy x nm x y nm y kl e h h h h dx dy
1 1
2 ln , , , , , ,2 2
0 0
1 1
2 2k mij nm y ij yy nm x ij xy nm y ij xxg h h h
, , , , , ,2 2
1 1
;
2 2 2x nm x ij y y nm y ij y y nm x ij x klh h h dx dy
1 1
3 2 4
3 ln , , ,
0 0
( 2 )IV IV IV
k m nm xxxx nm xxyy nm yyyyf h
2 2 2 2 2
, , , ,3 2 ( ) ( ) 6 ( )x xx nm xx nm yy x nm xxx nm xyyh h h h h h
2 4 2 2 2 4 2
, , , ,6 ( ) 3 2 ( ) ( )y nm yyy nm xxy y yy nm yy nm xxh h h h h h
2 2
,6(1 ) 2 ;x y xy nm xy klhh h h h dx dy
1 1
3
4 ln , , , , , ,
0 0
1
12
2k mij nm x ij xx nm x ij yy x nm x ij xd h h h
3 3 3
, , , , , , , ,
1 1
2 2y nm x ij y nm xx ij x nm y ij xy y nm y ij xh h h h
3 3 3
, , , , , ,
1
(1 ) ;
2 x nm y ij y nm yy ij x nm xy ij y klh h h dx dy
1 1
2 2 2
4 ln , , , , , ,
0 0
1 1
12
2 2k mij nm x ij xy x nm x ij y y nm x ij xe h h h
2 4 2 4
, , , , , , , ,
1
2nm xx ij y nm y ij yy nm y ij xx y nm y ij yh h h h
2 4 2
, , , , , ,
1
1 ;
2 x nm y ij x nm yy ij y nm xy ij x klh h h dx dy
46
1 1
2
ln , , , , , ,
0 0
1
12
2k mijrs nm x ij x rs xx nm x ij x rs yyg h h
2
2
, , , , , , , , ,
1 1
2 2 2nm x ij y rs xy x nm x ij x rs x x nm x ij y rs yh h h
2
2
, , , , , , , , ,
1 1
2 2 2y nm x ij x rs y nm xx ij x rs x nm xx ij y rs yh h h
4 2 2
, , , , , , , , ,
1 1
2 2nm y ij yy rs y nm y ij xx rs y nm y ij xy rs xh h h
4 2
2
, , , , , , , , ,
1
2 2 2y nm y ij y rs y y nm y ij x rs x x nm y ij x rs yh h h
4 2
, , , , , ,2 2nm yy ij y rs y nm yy ij x rs xh h
2
, , ,1 ;nm xy ij y rs y klh dx dy
1 1
0 0
kl klq q dxdy .
2. Численные результаты.
В общем случае граничные условия могут быть произвольными. Ниже рассмот-
рим граничные условия – шарнирное опирание по контуру:
0,1
0;
x
w
0,1
0;
x
v
0,1
0;x x
N
0,1
0;x x
M
0,1
0
y
w
,
0,1
0
y
u
,
0,1
0y y
N
,
0,1
0y y
M
.
В этом случае в разложении метода Бубнова – Галеркина (2) аппроксимирующие
функции прогиба и перемещений выбираем в виде
( , ) cos sin ,nm x y п x m y ( , ) sin cos ,nm x y п x m y
( , ) sin sin .nm x y п x m y
Интегрирование уравнений (3), полученных на основе одночленной и многочленной
аппроксимаций прогиба с учетом различных факторов, выполнено с помощью
численного метода, основанного на исключении особенности в ядре [1]. Этот метод был
распространен на неразрешенные относительно старших производных системы интег-
родифференциальных уравнений [5]. Здесь, аналогично [3], в качестве критерия,
определяющего критическое время, а также и критическую нагрузку, принимаем усло-
вие, что стрела прогиба не должна превышать величину, равную толщине пластины.
Для определения динамической критической нагрузки воспользуемся понятием динами-
ческого коэффициента ДK , равного отношению динамической «критической» нагрузки
к верхней статической.
Результаты вычислений при различных физических и геометрических параметрах,
полученных с помощью компьютера, приведены в таблице и представлены в виде
графиков, приведенных на рис. 1 – 8. Зависимость изменения толщины имеет сле-
дующий вид: 1h x . При этом, в расчетах использованы слабосингулярные ядра
Колтунова – Ржаницына [4]
1( ) ; 0; 0; 0 1.tt Ae t А
47
За исключением случаев, отмеченных отдельно, в качестве исходных данных при
вычислениях приняты следующие: 0,05;A 0,25; 0,05; 0,3; 25;
1;S 0 0,0001;w 0;q 1; 0,5.
Как показывают исследования (таблица), при малых значениях параметра начальных
неправильностей 0 ,nmw скорости нагружения S и внешней нагрузки q, результаты,
полученные в линейной (Л) и нелинейной постановках (Н) почти совпадают и,
следовательно, в этих случаях задачи можно рассматривать в линейной постановке.
Однако, по мере увеличения значений начальных неправильностей ( -1
0 10nmw ) ре-
зультаты начинают существенно отличаться друг от друга и отличие достигает в
некоторых случаях 30 – 40%. Таким образом, в зависимости от физико-механических
свойств материала пластины и ее геометрических параметров, данную задачу следует
рассматривать в соответствующей постановке.
КД
A q w0nm S *
Л Н
0,0 0,25 0,05 0 1 10-4 1 0,5 4,98 5,07
0,05 0,25 0,05 0 1 10-4 1 0,5 4,76 4,83
0,10 0,25 0,05 0 1 10-4 1 0,5 4,58 4,64
0,05 0,1 0,05 0 1 10-4 1 0,5 4,42 4,46
0,05 0,25 0,1 0 1 10-4 1 0,5 4,76 4,83
0,05 0,25 0,5 0 1 10-4 1 0,5 4,76 4,83
0,05 0,25 0,05 1 1 10-4 1 0,5 3,67 3,75
0,05 0,25 0,05 2 1 10-4 1 0,5 3,21 3,32
0,05 0,25 0,05 3 1 10-4 1 0,5 2,93 3,05
0,05 0,25 0,05 0 2 10-4 1 0,5 4,78 4,86
0,05 0,25 0,05 0 1 10-2 1 0,5 3,22 4,22
0,05 0,25 0,05 0 1 10-1 1 0,5 1,98 3,18
0,05 0,25 0,05 0 1 10-4 0,1 0,5 9,21 9,25
0,05 0,25 0,05 0 1 10-4 10 0,5 3,4 3,44
0,05 0,25 0,05 0 1 10-4 1 0 4,66 4,73
0,05 0,25 0,05 0 1 10-4 1 0,8 6,17 6,23
Во всех рассмотренных случаях исследована сходимость метода Бубнова – Галер-
кина. При этом в (2) определены те значения N и M, при которых раньше всего начина-
ется бурный рост прогибов.
На рис. 1 показан график зависимости прогиба от времени при коэффициенте вяз-
кости A 0; 0,05; 0,1. Принято, что поперечная нагрузка отсутствует, т.е. 0q . По
оси абсцисс отложен безразмерный параметр t , равный отношению переменной
величины сжимающей силы к статической нагрузке, а по оси ординат – безразмерная
стрела прогиба nmw . При этих значениях параметра A коэффициент динамичности
ДK , соответственно, равен 5,07; 4,83; 4,64. Полученные результаты свидетельствуют,
что учет вязкоупругих свойств материала пластинки приводит к уменьшению кри-
тической нагрузки.
48
Исследовано динамическое поведение вязко-
упругой пластины при различных значениях
реологического параметра (рис. 2). Изменение
прогиба от времени показано при 0,1(1);
0,25(2); 0,5(3). Коэффициенты динамичности в
рассмотренных случаях оказываются равными,
соответственно, 4,46; 4,83 и 4,97.
Видно, что увеличение значения реологичес-
кого параметра приводит к увеличению крити-
ческой нагрузки и времени. Эти результаты пока-
зывают, что реологический параметр играет
более существенную роль по сравнению с другими
реологическими параметрами A и .
Дальнейшие расчеты показали, что изменение
третьего реологического параметра вязкости
( 0 1 ) не оказывает существенного влияния на
изменение критического времени и критической
нагрузки. На рис. 3 показано зависимость прогиба
от времени при 0,05(1); 0,1(2); 0,5(3).
Для более подробного изучения поведения
вязкоупругой пластины при различных ядрах ре-
лаксации, воспользуемся результатами исследо-
вания деформирования пластины, приведенными
на рис. 4, где дана зависимость прогиба от време-
ни для различных ядер релаксации: 1 – ( ) 0Г t
(упругий); 2 – экспоненциальное ядро; 3, 4 – ядро
Колтунова – Ржаницына (3 – 0,25; 4 –
0,05 ). Видно, что результаты для вязкоупру-
гой задачи, полученные с использованием экспо-
ненциального ядра релаксации, почти совпадают
с результатами упругой задачи, а при использовании ядра Колтунова – Ржаницына их
различия оказываются весьма существенными и составляют более чем 40%. Анализ
исследования показывает, что результаты вязкоупругой задачи с использованием экс-
поненциального ядра, обычно применяемого в качестве ядра релаксации, не являются
новыми, так как они совпадают с решениями упругой задачи. Следовательно, при
рассмотрении динамических задач вязкоупругости возникает необходимость выбрать
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
49
в качестве ядер релаксации ядра типа Колтунова – Ржаницына, описывающие процес-
сы, происходящие в вязкоупругих конструкциях не только в начальной стадии, но и в
последующие моменты времени.
Исследовано влияние параметра изменения толщины пластинки на динамичес-
кую устойчивость. На рис. 5 приведены графики для * 0(1); 0,4(2); 0,8(3), где дана
зависимость прогиба от времени. При этих значениях коэффициент динамичности
ДK составляет, соответственно, 4,73; 4,83; 6,23. Напомним, что увеличение парамет-
ра влечет за собой уменьшение толщины пластинки. Вычисления произведены
при равных объемах пластин постоянной и переменной толщин. Из графиков видно,
что с уменьшением толщины значение коэффициента ДK увеличивается.
Рис. 6 отражает зависимость стрелы прогиба и времени при различных значениях
параметра скорости нагружения S. Зависимость прогиба от времени при
0,1(1);1(2);10(3).S При этих значениях S коэффициенты КД , соответственно, равны
9,25; 4,83; 3,44. Отметим, что параметр S обратно пропорционален 2. Как и
следовало ожидать, аналогично упругому случаю [3], увеличение значения скорости
нагружения и в вязкоупругом случае приводит к увеличению коэффициента
критической нагрузки и времени. Однако, следует отметить, что в вязкоупругом
случае бурный рост прогибов происходит в более раннее время, чем в упругом.
Рис. 7
Рис. 5
Рис. 6
50
Рис. 7 отражает зависимость между стрелой прогиба и временем при различных
значениях внешней статической нагрузки 0(1);1(2); 2(3).q При этих значениях q
коэффициенты КД , соответственно, равны: 4,83; 3,75; 3,32. Как и следовало ожидать,
аналогично упругому случаю [3], увеличение значения q и в вязкоупругом случае
приводит к уменьшению коэффициента критической нагрузки и времени. При
1, 1S q «критическое» число полуволн N оказалось равным 1, в то время как при
0q было 2.N
Проведено также сравнение результатов, полученных при решении задач: линей-
ной (кривая 1) и нелинейной (кривая 2) постановках [2] (рис. 8).
Рис. 8
Данные расчетов показали, что результаты, в основном, зависят от трех парамет-
ров (начальных неправильностей, скорости нагружения и дополнительной статичес-
кой нагрузки). Получено, что в диапазоне изменения параметра начальных непра-
вильностей ( -4 -2
010 10nmw ) в обычных пределах изменения параметров S и q,
результаты почти совпадают. Однако, по мере увеличения параметра начальных
неправильностей ( -1
0 10nmw ) результаты решений линейной и нелинейной задач
начинают отличаться друг от друга. Коэффициенты динамичности КД, полученные по
этим теориям, соответственно, равны 4,16 и 4,37.
Выводы.
При исследовании задачи о динамической устойчивости вязкоупругих пластин
переменной жесткости выявлен ряд новых механических эффектов:
1) установлено, что учет вязкоупругих свойств материала тонкостенных элемен-
тов конструкций переменной жесткости приводит к уменьшению значения динамиче-
ски сжимающей силы на 30 – 60%;
2) установлено, что учет нелинейных эффектов при решении задач нелинейных
колебаний и динамической устойчивости вязкоупругих элементов несущих конструкций
пластин переменной жесткости приводит к увеличению критической нагрузки на
15 – 20%. Этот эффект особенно ярко проявляется для тонких элементов конструкций.
Р Е ЗЮМ Е . Досліджено динамічну стійкість в’язкопружних пластин змінної жорсткості. Рівнян-
ня руху відносно прогинів описано інтегро-диференційними рівняннями (ІДР) в часткових похідних.
З використанням методу Бубнова – Гальоркіна, що базується на одно- і багаточленній апроксимації
прогинів, задачу зведено до розв’зання системи звичайних ІДР, де незалежною змінною є час. Розв’язки
ІДР визначаються чисельним методом при виключенні особливостей в ядрі. На основі цього методу
описано алгоритм чисельного розв’язку задачі. Виявлено ряд нових механічних ефектів.
51
1. Бадалов Ф.Б., Эшматов Х., Юсупов М. О некоторых методах решения систем интегро-
дифференциальных уравнений, встречающихся в задачах вязкоупругости // Прикл. математика и
механика. – 1987. – 51, № 5. – С. 867 – 871.
2. Верлань А.Ф., Абдикаримов Р.А., Эшматов Х. Численное моделирование нелинейных задач дина-
мики вязкоупругих систем с переменной жесткостью // Электронное моделирование. – 2010. –
32, № 2. – С. 3 – 14.
3. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 432 с.
4. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. – М.: Высш. школа, 1976. – 276 с.
5. Эшматов Х., Абдикаримов Р.А., Бобоназаров Ш.П. Колебания и устойчивость вязкоупругой трубы
с протекающей через нее жидкостью при различных граничных условиях // Проблемы механики.
– Ташкент, 1995. – № 1. – С. 20 – 24.
6. Bahmyari E., Rahbar-Ranji A. Free vibration analysis of orthotropic plates with variable thickness resting
on non-uniform elastic foundation by element free Galerkin method // J. of Mech. Science and
Technology. – 2012. – 26, N 9. – P. 2685 – 2694.
7. Civalek O. Fundamental Frequency of Isotropic and Orthotropic Rectangular Plates with Linearly Varying
Thickness by Discrete Singular Convolution Method // Appl. Math. Modelling. – 2009. – 33. – P. 3825 – 3835.
8. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya. Static and Dynamic Problems for Anisotropic Inhomogeneous
Shells with Variable Parameters and Their Numerical Solution (Review) // Int. Appl. Mech. – 2013. –
49, N 2. – P. 123 – 193.
9. Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Spline-Approximation Method Applied to Solve Natural-Vibration Problems
for Rectangular Plates of Varying Thickness // Int. Appl. Mech. – 2005. – 41, N 10. – P.1161 – 1169.
10. Grigorenko A.Ya., Tregubenko T.V. Numerical and experimental analysis of natural vibrations of
rectangular plates with variable thickness // Int. Appl. Mech. – 2000. – 36, N 2. – P. 268 – 270.
11. Grigorenko A.Ya., Vovkodav O.V., Yaremchenko S.N. Stress-Strain State of Nonthin Spherical Shells of
Variable Thickness under Localized Loads // Int. Appl. Mech. – 2013. – 49, N 3. – P. 315 – 321.
12. Grigorenko A.Ya., Vovkodav O.V., Yaremchenko S.N. Stress-Strain State of Nonthin Orthotropic
Spherical Shells of Variable Thickness // Int. Appl. Mech. – 2012. – 48, N 1. – P. 80 – 93.
13. Grigorenko Ya.M., Grigorenko A.Ya., Efimova T.L. Spline-Based Investigation of Natural Vibrations of
Orthotropic Rectangular Plates of Variable Thickness within Classical and Refined Theories // J. of
Mech. of Materials and Structures. – 2008. – 3, N5. – P. 929 – 952.
14. Grigorenko Ya.M., Rozhok L.S. Stress – Strain Analysis of Rectangular Plates with a Variable Thickness
and Constant Weight // Int. Appl. Mech. – 2002. – 38, N 2. – P. 167 – 173.
15. Gupta A.K., Khanna А. Free Vibration of Clamped Visco-Elastic Rectangular Plate Having Bi-Direction
Exponentially Thickness Variations // J. of Theor. and Appl. Mech. – 2009. – 47, N 2. –
P. 457 – 471.
16. Gupta A. K., Agarwal N., Gupta D.V., Kumar S., Sharma P.. Study of Non-Homogeneity on Free Vibra-
tion of Orthotropic Visco-Elastic Rectangular Plate of Parabolic Varying Thickness // Adv. Studies
Theor. Phys. – 2010. – 4, N 10. – P.467 – 486.
17. Khanna A., Ashish Kumar Sharma. Mechanical Vibration of Visco-elastic Plate with Thickness Varia-
tion // Int. J. of Appl. Math. Research. – 2012. – 1, N 2. – P. 150 – 158.
18. Luong N.T.H., Tri T.H. Influence of variable thickness on stability of rectangular plate under compres-
sion // Mechanics Research Communications. – 2005. – 32, N 2. – P. 139 – 146.
19. Semnani Sh.J., Attarnejad R., Firouzjaei R.K. Free vibration analysis of variable thickness thin plates by
two-dimensional differential transform method // Acta Mechanica. – 2013. – 224, N 8. – P. 1643 – 1658.
Поступила 10.10.2011 Утверждена в печать 03.12.2013
|