Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі
Запропоновано акустичну модель паренхіми, модифіковану шляхом урахування пружних властивостей альвеолярних стінок, а також трансмурального тиску і сил поверхневого натягу, які діють на межі розділу газової і тканинної фаз. Задачу акустичного моделювання легеневої тканини зведено до розгляду індивіду...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2003
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1007 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі / В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 4. — С. 46-53. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-1007 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-10072008-10-15T18:57:56Z Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі Олійник, В.Н. Запропоновано акустичну модель паренхіми, модифіковану шляхом урахування пружних властивостей альвеолярних стінок, а також трансмурального тиску і сил поверхневого натягу, які діють на межі розділу газової і тканинної фаз. Задачу акустичного моделювання легеневої тканини зведено до розгляду індивідуальної сферичної бульбашки з підкріпленою поверхнею, яка пульсує в безмежній рідині. Показано, що основну роль у підкріпленні поверхні альвеоли відіграє поздовжня жорсткість її стінок. Розрахункова величина збільшення швидкості звуку в паренхімі ссавців за рахунок підкріплення альвеол не перевищує 20%. Встановлено, що найбільш сильно підкріплення впливає на властивості легенів великих ссавців, альвеоли яких містять більшу частку еластину й колагену. Проведене порівняння теоретичних даних з експериментальними виявило задовільне узгодження між ними. Предложена акустическая модель паренхимы, модифицированная путем учета упругих свойств альвеолярных стенок, а также трансмурального давления и сил поверхностного натяжения, действующих на границе раздела газовой и тканевой фаз. Задача акустического моделирования легочной ткани сведена к рассмотрению индивидуального сферического пузырька с подкрепленной поверхностью, пульсирующего в безграничной жидкости. Показано, что основную роль в подкреплении поверхности альвеолы играет продольная жесткость ее стенок. Расчетное значение увеличения скорости звука в паренхиме млекопитающих за счет подкрепления альвеол не превышает 20%. Установлено, что наиболее сильно подкрепление влияет на свойства легких крупных млекопитающих, альвеолы которых содержат большую частицу эластина и коллагена. Проведенное сравнение теоретических данных с экспериментальными показало удовлетворительное согласование между ними. An acoustic model of the parenchyma is offered, modified by accounting for elastic properties of alveolar walls, transpulmonary pressure and forces of surface tension acting on the gas-tissue interface. The problem of acoustic modeling of the lung tissue is reduced to consideration of individual spherical bubble with supported surface pulsing in an infinite liquid. It is ascertained that the basic role in reinforcement of the surface of the alveole is played by longitudinal rigidity of its walls. Calculated value of increase of sound speed in mammalian parenchyma due to reinforcement of alveoles does not exceed 20%. It is shown that most strongly the reinforcement influences the properties of lungs of large mammals, which alveoles contain bigger share of elastin and collagen. Carried out comparison of the theoretical data with the experimental ones has shown satisfactory agreement between them. 2003 Article Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі / В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 4. — С. 46-53. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1007 534.26 uk Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Запропоновано акустичну модель паренхіми, модифіковану шляхом урахування пружних властивостей альвеолярних стінок, а також трансмурального тиску і сил поверхневого натягу, які діють на межі розділу газової і тканинної фаз. Задачу акустичного моделювання легеневої тканини зведено до розгляду індивідуальної сферичної бульбашки з підкріпленою поверхнею, яка пульсує в безмежній рідині. Показано, що основну роль у підкріпленні поверхні альвеоли відіграє поздовжня жорсткість її стінок. Розрахункова величина збільшення швидкості звуку в паренхімі ссавців за рахунок підкріплення альвеол не перевищує 20%. Встановлено, що найбільш сильно підкріплення впливає на властивості легенів великих ссавців, альвеоли яких містять більшу частку еластину й колагену. Проведене порівняння теоретичних даних з експериментальними виявило задовільне узгодження між ними. |
| format |
Article |
| author |
Олійник, В.Н. |
| spellingShingle |
Олійник, В.Н. Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі |
| author_facet |
Олійник, В.Н. |
| author_sort |
Олійник, В.Н. |
| title |
Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі |
| title_short |
Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі |
| title_full |
Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі |
| title_fullStr |
Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі |
| title_full_unstemmed |
Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі |
| title_sort |
вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2003 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/1007 |
| citation_txt |
Вплив властивостей стінок альвеол на величину швидкості звуку в легеневій паренхімі / В.Н. Олійник // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 4. — С. 46-53. — Бібліогр.: 25 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT olíjnikvn vplivvlastivostejstínokalʹveolnaveličinušvidkostízvukuvlegenevíjparenhímí |
| first_indexed |
2025-07-02T04:33:43Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:33:43Z |
| _version_ |
1836508327982399488 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 46 – 53
УДК 534.26
ВПЛИВ ВЛАСТИВОСТЕЙ СТIНОК АЛЬВЕОЛ
НА ВЕЛИЧИНУ ШВИДКОСТI ЗВУКУ
В ЛЕГЕНЕВIЙ ПАРЕНХIМI
В. Н. ОЛ IЙ Н И К
Iнститут гiдромеханiки НАН України, Київ
Одержано 24.12.2003
Запропоновано акустичну модель паренхiми, модифiковану шляхом урахування пружних властивостей альвеоляр-
них стiнок, а також трансмурального тиску i сил поверхневого натягу, якi дiють на межi роздiлу газової i тканинної
фаз. Задачу акустичного моделювання легеневої тканини зведено до розгляду iндивiдуальної сферичної бульбашки
з пiдкрiпленою поверхнею, яка пульсує в безмежнiй рiдинi. Показано, що основну роль у пiдкрiпленнi поверхнi
альвеоли вiдiграє поздовжня жорсткiсть її стiнок. Розрахункова величина збiльшення швидкостi звуку в паренхiмi
ссавцiв за рахунок пiдкрiплення альвеол не перевищує 20 %. Встановлено, що найбiльш сильно пiдкрiплення впли-
ває на властивостi легенiв великих ссавцiв, альвеоли яких мiстять бiльшу частку еластину й колагену. Проведене
порiвняння теоретичних даних з експериментальними виявило задовiльне узгодження мiж ними.
Предложена акустическая модель паренхимы, модифицированная путем учета упругих свойств альвеолярных сте-
нок, а также трансмурального давления и сил поверхностного натяжения, действующих на границе раздела газовой
и тканевой фаз. Задача акустического моделирования легочной ткани сведена к рассмотрению индивидуального
сферического пузырька с подкрепленной поверхностью, пульсирующего в безграничной жидкости. Показано, что
основную роль в подкреплении поверхности альвеолы играет продольная жесткость ее стенок. Расчетное значение
увеличения скорости звука в паренхиме млекопитающих за счет подкрепления альвеол не превышает 20 %. Уста-
новлено, что наиболее сильно подкрепление влияет на свойства легких крупных млекопитающих, альвеолы которых
содержат большую частицу эластина и коллагена. Проведенное сравнение теоретических данных с эксперименталь-
ными показало удовлетворительное согласование между ними.
An acoustic model of the parenchyma is offered, modified by accounting for elastic properties of alveolar walls,
transpulmonary pressure and forces of surface tension acting on the gas-tissue interface. The problem of acoustic modeling
of the lung tissue is reduced to consideration of individual spherical bubble with supported surface pulsing in an infinite
liquid. It is ascertained that the basic role in reinforcement of the surface of the alveole is played by longitudinal rigidity of
its walls. Calculated value of increase of sound speed in mammalian parenchyma due to reinforcement of alveoles does not
exceed 20 %. It is shown that most strongly the reinforcement influences the properties of lungs of large mammals, which
alveoles contain bigger share of elastin and collagen. Carried out comparison of the theoretical data with the experimental
ones has shown satisfactory agreement between them.
ВСТУП
Вивченню закономiрностей поширення хвиль у
легеневiй паренхiмi належить особливе мiсце се-
ред задач бiоакустики i бiомеханiки. Цi дослiджен-
ня набули першочергового значення з розвитком
сучасних методик електронної реєстрацiї та ком-
п’ютерної обробки звукiв дихання для потреб ме-
дичної дiагностики респiраторних органiв люди-
ни [1].
Паренхiма, яка займає значну частину об’єму
грудної клiтки людини, вiдiграє важливу роль у
передачi звукiв та вiбрацiй по тканинах тiла. Газо-
наповненi легенi мають гранулярну “пiноподiбну”
будову, завдяки якiй формуються їхнi унiкальнi
акустичнi властивостi [2 –4]. Вiдомо, що для ча-
стот звукового дiапазону паренхiма легенiв може
розглядатись як структуроване двофазне середо-
вище, основу якого складає альвеола – наповнений
повiтрям мiкроскопiчний мiшечок з еластичними
стiнками [5,6]. У такому середовищi можуть поши-
рюватись хвилi рiзних типiв. Так, при iмпульсних
навантаженнях легенiв експериментально зафiксо-
вано збудження поздовжнiх i поперечних хвиль з
дуже низькими фазовими швидкостями (одиницi
метрiв за секунду) [7, 8]. Величина швидкостi та-
кої поздовжньої хвилi добре узгоджується з дани-
ми про значення квазiстатичного об’ємного моду-
ля пружностi паренхiми пiд час дихання. Це до-
зволяє зробити припущення про те, що її iсну-
вання пов’язане, насамперед, з iнтенсивним пру-
жним деформуванням еластичних стiнок альве-
ол i альвеолярних ходiв [9]. Водночас у перева-
жнiй бiльшостi випадкiв спостерiгається поздов-
жня хвиля, швидкiсть якої лежить у дiапазонi вiд
20 до 70 м/с [10 – 12], яка має не “структурну”, а
“акустичну” природу – вона переноситься у сере-
довищi за рахунок стисливостi альвеолярного по-
вiтря.
David Rice у своїй пiонерськiй роботi [10] припу-
стив, що фазова швидкiсть акустичної хвилi пiдпо-
рядковується так званому правилу Вуда: квадрат
швидкостi звуку в паренхiмi обернено пропорцiй-
ний добутковi її середньої густини на середню об’-
46 c© В. Н. Олiйник, 2003
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 46 – 53
ємну стисливiсть, якi є функцiями об’ємної частки
повiтря у легеневiй тканинi. Внаслiдок великої рi-
зницi мiж стисливостями i густинами повiтря i тка-
нинної фази можна вважати, що
c =
1
√
ε(1 − ε)ρtKg
, (1)
де ε – об’ємна частка повiтря в паренхiмi; ρt –
густина тканини, яка формує альвеолярнi стiнки;
Kg – об’ємна стисливiсть повiтря [4, 13]. Аналогi-
чнi спiввiдношення характернi для дрiбнодиспер-
сних бульбашкових середовищ типу кавiтуючої рi-
дини [14]. Ця модель у цiлому адекватно вiдобра-
жає реальний стан речей для сигналiв звукового
дiапазону i є загальноприйнятою при оцiнюван-
нi акустичних передаточних властивостей респi-
раторного тракту у ссавцiв ex vivo [7, 10, 15] та in
vivo [3, 13, 16].
З часу виникнення двофазної моделi паренхi-
ми [10] робились неодноразовi спроби її уточнення
з урахуванням термодинамiчних характеристик
альвеолярного повiтря i тканини стiнок [3, 4], якi
вiдповiдають за формування дисипативних вла-
стивостей середовища. Як результат було показа-
но, що для опису особливостей передачi звуку па-
ренхiмою в дiапазонi частот вiд 20 Гц до 2 кГц як
перше наближення може застосовуватись елемен-
тарна формула швидкостi акустичної хвилi, допов-
нена даними про коефiцiєнт затухання, обчисле-
ний за теорiєю емульсiй М. Iсаковича [4, 17].
Слiд вiдзначити також намагання розвинути мо-
дель на основi механiки гетерогенних середовищ з
урахуванням зв’язаностi альвеоли з бронхiальним
деревом [2]. Однак нехтування мiжфазним тепло-
обмiном на рiвнi мiкроструктури паренхiми й ви-
користання занадто спрощеної моделi респiратор-
них повiтропроводiв не дозволили досягти суттє-
вого прогресу на цьому шляху.
Бiльш детальний аналiз експериментальних да-
них, одержаних у роботi [10] на видiлених зразках
паренхiми з кiнських легенiв, показує, що “емуль-
сiйний” пiдхiд дещо занижує значення швидкостi
звуку в паренхiмi. Наприклад, при зростаннi об’-
ємної частки альвеолярного повiтря (збiльшеннi
розтягу легенiв) вiд 0.5 до 0.9 рiзниця мiж тео-
ретичними й експериментальними даними зростає
вiд 15 до 50 %. Такий результат говорить про iсну-
вання значущих факторiв, якi можуть впливати
на iнтегральнi акустичнi характеристики паренхi-
ми, але не були врахованi у базовiй моделi [4, 10].
Перерахуємо їх.
1. Тканина, з якої складаються стiнки альвеол,
не є рiдиною. Альвеолярнi стiнки за своєю гео-
метрiєю i механiчними властивостями бiльш
за все нагадують тонкi оболонки з малою
жорсткiстю на згин (пружнi мембрани) [5, 9].
На можливiсть впливу пружних характери-
стик тканинної фази паренхiми на величину
швидкостi акустичної хвилi у нiй було вказа-
но, зокрема, у статтi [12].
2. Пiд час акту дихання вiдбувається змiна
трансмурального тиску, який для легенiв ви-
значається як перевищення гiдростатичного
тиску повiтря в альвеолах над зовнiшнiм
атмосферним тиском [6, 9]. Дiя трансмураль-
ного тиску, який роздуває альвеолярнi стiнки,
також може вiдiгравати роль додаткового пiд-
крiплення.
3. Поверхнi альвеол, альвеолярних ходiв i респi-
раторних бронхiол вкритi суфрактантом – по-
верхнево активною рiдиною органiчного похо-
дження. При цьому за рахунок особливої хiмi-
чної структури суфрактанту його коефiцiєнт
поверхневого натягу в процесi дихання сут-
тєво змiнюється – пiд час глибокого видоху
вiн практично дорiвнює нулю, а на максимумi
вдиху досягає практично 70 % значення кое-
фiцiєнта поверхневого натягу води [6,9]. Фiзiо-
логiчна роль суфрактанту полягає у збiльшен-
нi розтяжностi легенiв пiд час вдиху i стабiлi-
зацiї альвеол, якi при малих трансмуральних
тисках мають тенденцiю до спадання (ателе-
ктазу) [6].
Вiдзначимо, що в акустицi одержано ряд резуль-
татiв, якi свiдчать про значний вплив пiдкрiплен-
ня поверхнi сферичних об’єктiв за рахунок пруж-
них оболонок [18 – 20] i поверхневого натягу [21]
на їхнi вiброакустичнi властивостi. Важливою є i
та обставина, що в рамках лiнiйних пiдходiв до-
бре розвинута методична база для аналiтичного i
чисельно-аналiтичного розв’язку таких задач.
Таким чином, мета цiєї статтi полягає в аналiзi
характеру i величини впливу пружних оболонок
на межi альвеол, варiацiї трансмурального тиску
i сил поверхневого натягу для формування хара-
ктеристик акустичної хвилi, яка поширюється у
легеневiй тканинi. Для цього запропоновано моди-
фiковану “газо-рiдинну” модель паренхiми, в якiй
альвеоли розглядаються як своєрiднi бульбашки з
пiдкрiпленою поверхнею.
1. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ
Замiнимо легеневу паренхiму рiдиною з фiзи-
чними параметрами, близькими до параметрiв во-
В. Н. Олiйник 47
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 46 – 53
pw exp i(kx- t)
r
x
( t, ct)
( g, cg)
a
h
(E, )
Рис. 1. Сферична бульбашка з пiдкрiпленою
поверхнею пiд дiєю акустичної хвилi (схема)
ди, насиченої сферичними повiтряними бульба-
шками з дiаметрами, якi дорiвнюють середньо-
му дiаметру альвеол [4]. Оскiльки ми розгляда-
ємо проходження хвиль, довжина яких набагато
перевищує масштаб мiкроструктури середовища,
iстинна форма альвеол не повинна вiдiгравати в
нашому розглядi суттєвої ролi. Цi ж мiркування
дозволяють обмежитись розглядом тiльки пуль-
суючих рухiв альвеол, тим бiльше, що iснування
акустичної хвилi за своєю природою пов’язане ви-
ключно з динамiчною змiною об’єму середовища-
носiя [14].
Вважатимемо, що кожна з альвеол вкрита тон-
кою пружною оболонкою, параметри якої можуть
бути визначенi на основi результатiв специфiчних
бiомеханiчних дослiджень [22]. При аналiзi механо-
акустичних властивостей моделi припустимо, що
деформування кожної з альвеол вiдбувається не-
залежно вiд iнших. Це дозволяє значно спрости-
ти математичне формулювання задачi, розгляда-
ючи не середовище в цiлому, а поведiнку iндивi-
дуальної бульбашки з пiдкрiпленням, яка коливає-
ться в необмеженiй рiдинi пiд впливом плоскої гар-
монiчної акустичної хвилi (рис. 1). Хвилю тиску
pw exp i(ktx−ωt) можна розкласти за сферичними
функцiями [23], причому в довгохвильовому на-
ближеннi основну роль вiдiграє тiльки нульовий
(пульсуючий) член ряду:
pw exp i(ktx − ωt) = pw exp i(−ωt)×
×
∞
∑
n=0
in(2n + 1)jn(ktr)Pn(cos θ) ≈
≈ pw exp(−iωt)j0(ktr).
Поширення малих гармонiчних за часом збу-
рень у середовищi, яке оточує бульбашку, i повiтрi
всерединi неї описується рiвняннями Гельмгольца
з вiдповiдними хвильовими числами:
∇2Φg,t + kg,tΦg,t = 0, kg,t = ω/cg,t, (2)
де ∇2 – оператор Лапласа у сферичних координа-
тах; Φg,t – амплiтуднi функцiї акустичних потен-
цiалiв; cg,t – швидкостi звуку в повiтрi й рiдинi
вiдповiдно (iндекс “g” вiдповiдає внутрiшнiй обла-
стi бульбашки, а “t” – зовнiшнiй). Розсiяну (одно-
рiдну) частину розв’язку для зовнiшньої областi
слiд формувати у виглядi бiжучих хвиль у на-
прямку r→∞. Це дозволяє автоматично виконати
умову вiдсутностi потоку енергiї з нескiнченностi.
Загальнi розв’язки рiвнянь (2) можна представити
у виглядi розкладiв у ряди Фур’є за сферичними
функцiями [23]. Обмежуючись лише найнижчою,
пульсуючою модою коливань, одержуємо
Φg = A0j0(kgr),
Φt = B0h
(1)
0 (ktr) +
ipw
ωρt
j0(ktr).
(3)
Тут j0 i h
(1)
0 – сферичнi функцiї Беселя i Ханкеля
першого роду вiдповiдно.
Для знаходження невiдомих коефiцiєнтiв A0,
B0 необхiдно задати умови спряження полiв на
поверхнi сферичної оболонки r=a, яка обмежує
бульбашку. Перша умова в розглянутому випадку
формулюється як вимога неперервностi нормаль-
них швидкостей:
vr = −
∂Φg,t
∂r
= −iωW0 , r = a. (4)
Тут w=W0 exp(−iωt) – динамiчна компонента
нормальних змiщень оболонки (|w|�a). Змiщен-
ня оболонки традицiйно вважаємо позитивними в
напрямку її внутрiшньої нормалi. Зауважимо, що
при пульсацiях сферичної оболонки окружнi змi-
щення дорiвнюють нулю.
Для запису другої умови на стiнцi бульбашки
скористаємось теорiєю осесиметричного деформу-
вання тонкостiнних оболонок обертання [24]. При
цьому будемо вважати, що проекцiї зовнiшнiх сил
на площину дотичну до поверхнi альвеоли, само-
врiвноваженi у кожний момент часу. Тодi вiдпо-
вiдно до мембранної теорiї тонкостiнних оболонок
рiвняння гармонiчних коливань сферичної поверх-
нi, яка обмежує бульбашку, можна представити як
d
dθ
(Nθa∗ sin θ) − Nϕa∗ cos θ = 0,
(Nθ + Nϕ)a∗ =
(
p∗ − 2
σs
a∗
+ ω2ρh∗w
)
a2
∗
.
(5)
48 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 46 – 53
Тут i далi ми додержуємось позначень, якi є тра-
дицiйними при розглядi задач у сферичнiй системi
координат [18, 23]. Тому, на вiдмiну вiд [24], тут i
далi θ – полярний, а ϕ – окружний кути. Дiя сил
поверхневого натягу (другий доданок у правiй ча-
стинi другого рiвняння) визначається законом Ла-
пласа [14, 21].
У рiвняннях (5) Nθ i Nϕ – меридiональнi й окру-
жнi зусилля в оболонцi; a∗ i h∗ – її миттєвi радiус
i товщина,
a∗ = a + w;
ρ – густина матерiалу оболонки; σs – поверхневий
натяг суфрактанту. Миттєва рiзниця тискiв всере-
динi i ззовнi оболонки складається з двох компо-
нент:
p∗ = Ptr + pac.
Тут Ptr – статична рiзниця тискiв всерединi буль-
башки i в оточуючому її середовищi (у нашому ви-
падку – трансмуральний легеневий тиск); pac – рi-
зниця акустичних тискiв:
pac = −iω(ρgΦg − ρtΦt) exp(−iωt).
При пульсацiях сферичної оболонки вирази для
зусиль Nθ i Nϕ набувають простого вигляду:
Nθ = Nϕ = −
Eh∗
1 − ν
(wst + w), (6)
де E i ν – модуль Юнга i коефiцiєнт Пуасона обо-
лонки; wst – статичний розтяг оболонки пiд дi-
єю трансмурального тиску Ptr. Якщо вважати, що
при Ptr=0 оболонка мала радiус a0, то wst=a0−a.
Пiдстановка виразiв (6) у рiвняння руху з ура-
хуванням осьової симетрiї a∗ 6=a∗(θ) дозволяє пе-
реконатись, що перше з них виконується тотожно,
а друге набуває вигляду
−
2Eh∗
1 − ν
(
w − (a − a0)
)
− a2
∗
(Ptr + pac)+
+2σsa∗ + ω2ρh∗a
2
∗
w = 0.
(7)
Рiвняння (7) непридатне для безпосереднього
аналiзу, бо миттєвi значення радiуса й товщини
оболонки, взагалi кажучи, є функцiями динамi-
чних змiщень. Для розкриття цих функцiональ-
них залежностей скористаємось тим, що матерiал
оболонки практично нестисливий (ν→0.5). Вна-
слiдок цього можна вважати об’єм сферичного ша-
ру, зайнятого матерiалом оболонки, сталим:
4π
3
[(
a +
h
2
)3
−
(
a −
h
2
)3]
=
=
4π
3
[(
a∗ +
h∗
2
)3
−
(
a∗ −
h∗
2
)3]
= const,
(8)
звiдки пiсля очевидних перетворень отримуємо
ha2 + h3/4 = h∗a
2
∗
+ h3
∗
/4.
Виходячи з того, що h, h∗�a i нехтуючи доданка-
ми, кубiчними вiдносно товщин, одержуємо
h∗ ≈
a2
a2
∗
h =
h
(1 + w/a)2
.
Пiдстановка залежностей a∗(w), h∗(w) у рiвнян-
ня (7) дає
−
2Eh
(1 − ν)
w − (a − a0)
(1 + w/a)2
− (a + w)2(Ptr + pac)+
+2σs(a + w) + ω2ρha2w = 0.
(9)
Враховуючи w/a�1, лiнеаризуємо останнє рiв-
няння. Очевидно, що при цьому статичнi додан-
ки взаємно знищаться внаслiдок виконання умови
рiвноваги:
2Eh
1 − ν
(a − a0) − a2Ptr + 2σsa = 0. (10)
Вiдкидаючи часову залежнiсть exp(−iωt) i перехо-
дячи до амплiтудних функцiй, отримуємо остато-
чно
[
−
2Eh
1 − ν
(
3 − 2
a0
a
)
− 2aPtr + 2σs+
+ω2ρha2
]
W0 = −iωa2(ρgΦg − ρtΦt).
(11)
Слiд зазначити, що окрiм вищих ступенiв w тут
був вiдкинутий доданок, пропорцiйний до wpac. Це
може бути аргументовано тим, що у випадку пло-
скої хвилi вiн має порядок |pac|∼ω(ρtct − ρgcg)w.
Враховуючи умову (4), виключимо змiнну W0 з
рiвняння (11):
ρgΦg − ρtΦt =
g
ω2a
dΦg
dr
, (12)
де
g =
[
2Eh
(1 − ν)a
(
3 − 2
a0
a
)
+ 2Ptr − 2
σs
a
− ω2ρha
]
.
Одержане спiввiдношення (12) разом з кiнема-
тичною умовою (4) дозволяє визначити невiдомi
коефiцiєнти у формулi (3) i одержати аналiтичнi
розв’язки для полiв Φg, Φt. Насамперед, нас бу-
де цiкавити акустичний потенцiал для повiтряного
наповнення бульбашки:
Φg(r) = −
i
k2
t a2
pw
ct
[
ρtkgj
′
0(kga)h
(1)
0 (kta)−
−ρgkt
(
j0(kg)−
g
ρgc2
g
j′0(kga)
kga
)
h
(1)
0
′
(kta)
]−1
.
(13)
В. Н. Олiйник 49
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 46 – 53
Тут штрих означає похiдну по повному аргументу.
Нагадаємо, що у нашому випадку акустичнi мас-
штаби задачi значно перевищують лiнiйнi розмi-
ри розглянутої бульбашки. Дiйсно, вважаючи, що
при наповненнi легень до фiзiологiчної залишко-
вої ємностi a=a0≈1.25· 10−4 м [25], при швидкостi
звуку в повiтрi порядку cg ≈330 м/с [14] на часто-
тах f =ω/(2π)≤2 кГц одержуємо kga<0.01 (заува-
жимо, що kt<kg). Це дозволяє скористатись вiдо-
мими асимптотиками для сферичних функцiй при
малих значеннях аргументiв [23]
j0(kga) ∼ 1, h
(1)
0 (kta) ∼ −1/(kta),
j′0(kga) ∼ −kga/3, h
(1)
0
′
(kta) ∼ 1/(kta)2
i записати довгохвильове наближення для ам-
плiтуди нормальної швидкостi поверхнi бульба-
шки (4):
vr ≈
ipw
3ρgcg
[
1 +
gKg
3
]
−1
. (14)
Тут враховано тотожнiсть 1/(ρgc2
g)≡Kg.
З формули (14) випливає, що бульбашка з пiд-
крiпленою поверхнею реагує на низькочастотне
акустичне поле подiбно до еквiвалентної повiтря-
ної бульбашки без пiдкрiплення, але зi швидкiстю
звуку в газi всерединi неї, збiльшеної на коефiцi-
єнт, що стоїть у квадратних дужках. Очевидно, що
це вiдповiдає зменшенню ефективної стисливостi
розглянутого мiкроструктурного елемента парен-
хiми в [1+gKg/3]2 рази у порiвняннi з елементар-
ною моделлю [10]. Таким чином, замiсть форму-
ли (1), для швидкостi звуку в паренхiмi одержуємо
вираз
c =
1 + gKg/3
√
ε(1 − ε)ρtKg
. (15)
Тут iнтегральний вплив усiх додаткових факторiв
враховується у другому доданку в чисельнику. В
залежностi вiд знака g вони можуть призвести до
збiльшення або зменшення швидкостi звуку в па-
ренхiмi.
2. АНАЛIЗ РЕЗУЛЬТАТIВ
2.1. Ступiнь впливу рiзних фiзичних факторiв
на величину коефiцiєнта g
Визначимо ступiнь впливу кожного з доданкiв у
виразi для коефiцiєнту g, який вiдповiдає за змiну
динамiчної реакцiї пiдкрiпленої бульбашки у по-
рiвняннi з випадком “м’якої” поверхнi роздiлу “рi-
дина – повiтря”.
Передусiм, проаналiзуємо особливостi формува-
ння жорсткiсних характеристик альвеолярних стi-
нок. Справа в тому, що еластин i колаген, якi вiд-
повiдають за поздовжню жорсткiсть стiнок, за-
ймають лише певну частину їхнього об’єму. Згiдно
з даними, наведеними в дослiдженнi [25], у рiзних
видiв ссавцiв вмiст еластину й колагену може iсто-
тно варiюватись, але в цiлому прослiдковується
тенденцiя до їхнього зростання для бiльш вели-
ких iстот. Наприклад, можна вважати, що стiнки
альвеоли людини мiстять порядку 15 % еластину
i 30 % колагену.
Еластин є пружною бiотканиною, яка належить
до класу еластомерiв – вiн допускає великi пру-
жнi деформацiї (зi збiльшенням довжини до кiль-
кох разiв), причому при вiдносних видовженнях
до 0.7 зберiгається лiнiйнiсть його механiчних ха-
рактеристик зi сталим модулем Юнга E0. Колаген
є слабкодеформiвною (до 1 %) бiотканиною, яка у
сотнi, або навiть тисячi разiв жорсткiша за ела-
стин. Таким чином, пружний каркас стiнок альве-
ол можна уявити як еластинову основу, армовану
волокнами колагену [22].
В недеформованому станi ниткоподiбнi колаге-
новi волокна скрученi у плоскi або просторовi спi-
ралi i, з огляду на дуже низьку згинальну жорс-
ткiсть, не беруть участi у формуваннi пружних
властивостей стiнок альвеол на початкових ста-
дiях розтягу. Це дозволяє припустити, що при
низьких значеннях трансмурального тиску (а от-
же i a→a0) E≈E0, а товщину h слiд замiнити на
h̄=δeh, де δe – частка еластину в стiнцi альвеоли.
Пiд час розтягу колагеновi нитки поступово роз-
прямляються, приймаючи на себе частину дiї зов-
нiшнього навантаження, внаслiдок чого вiдбуває-
ться змiцнення стiнок альвеол, а жорсткiсть зрос-
тає [22].
Аналiз експериментальних даних, одержаних у
результатi одновiсного розтягу стрiчкоподiбних
зразкiв легеневої тканини [22], показує, що залеж-
нiсть модуля Юнга паренхiми вiд величини дефор-
мацiї при вiдносних розтягах до 50÷70 % добре
апроксимується кубiчною залежнiстю. Це дозво-
ляє припустити, що
E ≈ E0
(
a
a0
)3
, a > a0. (16)
Пiдставляючи цю залежнiсть у вираз для коефiцi-
єнта g i виходячи з того, що спiввiдношення мiж
товщиною й радiусом альвеоли, одержанi в попе-
редньому роздiлi, справедливi при будь-яких ве-
50 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 46 – 53
личинах деформацiй, одержуємо
g =
[
2E0
(1 − ν)
δeh0
a0
(
3 − 2
a0
a
)
+
+2Ptr − 2
σs
a
− ω2ρha
]
.
(17)
Визначимо основнi геометричнi параметри, якi
узгоджуються з даними про морфометрiю аль-
веол людини та механiку дихання [4 – 6, 22,
25]: a0≈1.25·10−4 м, h0≈5.0·10−6 м, δe =0.15,
1≤a/a0≤1.5. Виходячи з попереднiх мiркувань,
задамо такi фiзичнi властивостi стiнок альве-
ол [9, 22]: ρ≈1.1·103 кг/м3, E0≈(1÷8)·106 Па,
ν>0.499. Вiдповiдно до результатiв фiзiологiчних
дослiджень, наведених у роботах [6, 9, 22], вели-
чину трансмурального тиску можна оцiнити як
Ptr≤2.0·103 Па, а поверхневого натягу суфрактан-
ту – як σs≤5.0·10−2 Па·м.
Таким чином, на основi виразу (17) можна зро-
бити висновок про те, що головну роль у пiдкрi-
пленнi поверхнi людської альвеоли має вiдiгра-
вати поздовжня жорсткiсть її стiнки. Додаткове
змiцнення оболонки за рахунок трансмурального
тиску при E0, взятому вiдповiдно до нижньої ме-
жi оцiнок [22], не перевищує 15 % цiєї величини,
а поверхневий натяг – 3 %, причому роль обох
цих факторiв зростає на максимумi розтягу леге-
нiв. Оскiльки ж прирiст c, зумовлений поправкою
gKg/3, знаходиться в межах 7÷ 20 %, на практи-
цi можна враховувати тiльки перший, “оболонко-
вий”, член. Зауважимо, що вплив трансмурально-
го тиску на пiдкрiплення стiнок альвеол присутнiй
у цьому членi опосередковано – через змiну вiдно-
шення a0/a при роздуваннi або спаданнi легенiв.
Величина члена ω2ρha на частотi 2 кГц дає не
бiльше 0.1 % вiд внеску поздовжньої жорстко-
стi. Строго кажучи, при порiвняннi одержаних ре-
зультатiв з даними для непiдкрiпленої бульбашки
(g=0) iнерцiйний член взагалi не треба врахову-
вати. В iншому разi слiд проводити порiвняння з
результатами еквiвалентної задачi для бульбашки
з локально-реагуючою поверхнею, навантаженою
вiдповiдною приєднаною масою.
2.2. Порiвняння моделi з експериментальними
даними про швидкiсть звуку в паренхiмi
Для коректного порiвняння теоретичної оцiнки
швидкостi звуку в паренхiмi c з результатами екс-
периментiв необхiдно зробити кiлька додаткових
припущень. Так, не маючи прямих даних про мор-
фометричнi параметри кiнських легенiв, будемо
виходити з загальної оцiнки залежностi характер-
(kg/m3)
100 200 300 400 500 600 700
c
(m
/s
)
10
20
30
40
50
60
70
0.40.50.60.70.80.9
Рис. 2. Експериментальнi й теоретичнi оцiнки
швидкостi звуку в легеневiй паренхiмi
ного розмiру альвеоли вiд частки повiтря у леге-
невiй тканинi [4], з якої випливає
a0
a
= 3
√
1 − ε
ε
ε0
1 − ε0
. (18)
Тут ε0 – об’ємна частка повiтря в паренхiмi при
a=a0. Виходячи з результатiв дослiджень [10, 12,
25], дiапазон змiни частки легеневого повiтря при
диханнi 0.6≤ε≤0.9 можна вважати фiзiологiчно
спiльним для бiльшостi ссавцiв. Оскiльки швид-
кiсть акустичної хвилi в дисперсному середовищi
бульбашкового типу мало чутлива до варiацiї ра-
дiуса його мiкроструктурних елементiв [4], вважа-
тимемо розмiри альвеол a i h такими ж, як i у
людини. Припустимо, що значення радiуса a=a0
досягається при ε0 =0.6. Нарештi, виходячи з за-
гальної закономiрностi, виявленої в будовi альве-
олярних стiнок ссавцiв [25], покладемо δe =0.2, а
E0 =1.5·106 Па.
На рис. 2 показанi оцiнки швидкостi звуку в па-
ренхiмi, зробленi за рiзними моделями, а також
вiдомi нам результати експериментальних дослiд-
жень.
Залежностi, розрахованi за формулою Ву-
да (1), показанi штриховими, а за уточненою
моделлю (15), (17), (18) – неперервними кривими.
Оскiльки для дослiджуваних частот стисли-
вiсть альвеолярного повiтря знаходиться мiж
своїми адiабатичним та iзотермiчним значення-
В. Н. Олiйник 51
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 46 – 53
ми [4, 17, 21]
1
γP
≤ Kg ≤
1
P
,
величини, розрахованi для iзотермiчного й адi-
абатичного випадкiв, вибирались вiдповiдно за
нижню i верхню межi оцiнок швидкостi c. Тут
P ≈105 Па – гiдростатичний (атмосферний) тиск;
γ=1.4 – показник адiабати для повiтря. Оскiль-
ки Ptr�P , поправка на нього при визначеннi Kg
не враховувалась. Зауважимо, що модель паренхi-
ми з пiдкрiпленими альвеолами не тiльки дає ви-
щу оцiнку швидкостi звуку в порiвняннi з “газо-
рiдинним” наближенням, але й забезпечує бiльшу
швидкiсть зростання c з ростом ε за рахунок змiни
радiуса мiкроструктурного елемента (див. форму-
лу (17) для коефiцiєнта g).
Експериментальнi данi для паренхiми коня [10]
представленi свiтлими кружечками, а результа-
ти вимiрювань, проведених на паренхiмi кроля, –
квадратами [12]. На графiку також показанi ме-
жi експериментальних похибок (за першоджере-
лами). Окрiм цього, в роботi [12] наведенi вiдомо-
стi про змiну швидкостi звуку в легеневiй ткани-
нi козла при зростаннi Ptr. Для них немає даних
про змiну густини паренхiми. Проте, якщо вважа-
ти вiрним припущення про спiльнiсть для ссавцiв
дiапазону змiни об’ємної частки повiтря при ди-
ханнi, можна вважати, що вiдповiднi значення гу-
стини паренхiми тут приблизно такi ж, як i в до-
слiдах з легенями кроля. Цi результати позначенi
трикутниками.
Як видно з рисунка, при ступенях наповнення
легеневої тканини повiтрям, характерних для ци-
клу дихання, модель (15), яка враховує поправку
на жорсткiснi властивостi стiнок альвеол, добре
спiвпадає з результатами Rice [10]. Непогано в та-
ку концепцiю вкладається i залежнiсть для швид-
костi звуку в паренхiмi козла. [12] У той же час,
c для паренхiми кроля, альвеоли якої мiстять зна-
чно менший вiдсоток еластину та колагену, цiлком
задовiльно описуються “газо-рiдинним” наближен-
ням (1).
Теоретичний аналiз показує, що з акустичної
точки зору паренхiма людини має поводити себе
подiбно до паренхiми коня, але з дещо повiльнi-
шим зростанням швидкостi звуку при збiльшеннi
ε. На жаль, оцiнки швидкостi звуку в паренхiмi
людини, проведенi in vivo, не дозволяють зробити
однозначний висновок вiдносно такого припуще-
ння. З одного боку, результати, одержанi в стат-
тi [13], вiдповiдають “газо-рiдинному” наближен-
ню, а з другого – наведенi тут же в узагальнюю-
чiй таблицi данi iнших дослiдникiв про граничнi
значення c краще вкладаються у рамки моделi з
пiдкрiпленими альвеолами.
Насамкiнець, зупинимось на розбiжностях мiж
теоретичними i експериментальними даними для
крайнiх значень ε. Так, при максимальних розтя-
гах легенiв ε≥0.9 швидкiсть звуку в паренхiмi ко-
ня зростає значно швидше, нiж передбачає форму-
ла (15). Це пов’язано з рiзким збiльшенням ефек-
тивного модуля Юнга стiнок альвеол при повно-
му розпрямленнi колагенових волокон. Що ж до
ε<0.5÷0.6, цей дiапазон значень вiдповiдає ателе-
ктазу легенiв, який виражається у спаданнi недо-
наповнених повiтрям альвеол. Зрозумiло, що при
цьому “бульбашковi” моделi перестають працюва-
ти i можуть давати значення c, далекi вiд реаль-
них.
ВИСНОВКИ
1. Запропоновано акустичну модель паренхiми,
модифiковану шляхом урахування пружних
властивостей альвеолярних стiнок, а також
трансмурального тиску i сил поверхневого на-
тягу, якi дiють на межi роздiлу газової i тка-
нинної фаз. При цьому задачу акустично-
го моделювання легеневої тканини зведено
до розгляду iндивiдуальної сферичної буль-
башки з пiдкрiпленою поверхнею, яка пуль-
сує в безмежнiй рiдинi. Показано, що вплив
пiдкрiплення виражається через введення по-
правочного коефiцiєнта, на який множиться
швидкiсть звуку, розрахована на основi “газо-
рiдинного” наближення.
2. Основну роль у пiдкрiпленнi поверхнi аль-
веоли грає поздовжня жорсткiсть її стiнок.
Вплив трансмурального тиску на величи-
ну пiдкрiплення враховується опосередковано
через змiну розмiрiв альвеоли при наповнен-
нi легенiв повiтрям. Дiєю поверхневого натягу
суфрактанту при формуваннi акустичної хви-
лi у паренхiмi можна нехтувати.
3. Розрахункова величина збiльшення швидко-
стi звуку в паренхiмi ссавцiв знаходиться в
межах 20 %. Показано, що найбiльш сильно
пiдкрiплення впливає на властивостi легенiв
великих ссавцiв, альвеоли яких мiстять бiль-
шу частку еластину й колагену. Для дрiбних
ссавцiв “газо-рiдинне” наближення дає задо-
вiльнi результати.
1. Pasterkamp H., Kraman S. S., Wodicka G. R. Respi-
ratory sounds. Advances beyond the stetoscope //
J. Respir. Crit. Care Med.– 1997.– 156.– P. 974–987.
52 В. Н. Олiйник
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 46 – 53
2. Дьяченко А. И., Любимов Г. А. Распространение
звука в легочной паренхиме // Изв. АН СССР.
МЖГ.– 1988.– N 5.– С. 3–14.
3. Wodicka G. R., Stevens K. N., Golub H. L.,
Cravalho E. G., Shannon D. C. A model of acoustic
transmission in the respiratory system // IEEE
Trans. Biomed. Engng.– 1989.– 36, N 9.– P. 925–
933.
4. Олийнык В. Н. О механизмах формирования аку-
стических свойств легочной паренхимы // Акуст.
вiсн.– 2001.– 4, N 3.– С. 53–66.
5. Вейбель Э. Р. Морфометрия легких человека.– М.:
Медицина, 1970.– 175 с.
6. Уэст Дж. Физиология дыхания. Основы.– М.:
Мир, 1988.– 200 с.
7. Jahed M., Lai-Fook S. J., Bhagat P. K., Kraman S. S.
Propagation of stress waves in inflated sheep lungs //
J. Appl. Physiol.– 1989.– 66, N 6.– P. 2675–2680.
8. Jahed M., Lai-Fook S. J. Stress wave velocity
measured in intact pig lungs with cross-spectral
analysis // J. Appl. Physiol.– 1994.– 76, N 2.–
P. 565–571.
9. Stamenovic D. Micromechanical foundations of
pulmonary elasticity // Physiol. Rev.– 1990.– 70.–
P. 1117–1134.
10. Rice D. A. Sound speed in pulmonary parenchyma //
J. Appl. Physiol.– 1983.– 54, N 1.– P. 304–308.
11. Kraman S. S. Speed of low-frequency sound through
lungs of normal men // J. Appl. Physiol.– 1983.– 55,
N 6.– P. 1862–1867.
12. Yen R.T., Fung Y. C., Ho H. H., Butterman G.
Speed of stress wave propagation in lung // J. Appl.
Physiol.– 1986.– 61, N 2.– P. 701–705.
13. Paciej R., Vyshedskiy A., Shane J., Murphy R.
Transpulmonary speed of sound input into the
supraclavicular space // J. Appl. Physiol.– 2003.– 94,
N 2.– P. 604–611.
14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных
сред.– М.: ГИТТЛ, 1954.– 795 с.
15. Rice D. A., Rice J. C. Central to peripheral sound
propagation in excised lung // J. Acoust. Soc. Amer.–
1987.– 82, N 4.– P. 1139–1144.
16. Mahagnah M., Gavriely N. Gas density does not
affect pulmonary acoustic transmission in normal
men // J. Appl. Physiol.– 1995.– 78, N 3.– P. 928–
937.
17. Исакович М. А. О распространении в эмульси-
ях // ЖЭТФ.– 1948.– 18, вып. 10.– С. 905–912.
18. Шендеров Е. Л. Излучение и рассеяние звука.– Л.:
Судостроение, 1989.– 304 с.
19. Church C. C. The effects of an elastic solid surface
layer on the radial pulsations of gas bubbles //
J. Acoust. Soc. Amer.– 1995.– 97, N 3.– P. 1510–
1521.
20. Zhong Ding, Gracewski S. M. Response of constrai-
ned and unconstrained bubbles to lithotripter shock
wave pulses // J. Acoust. Soc. Amer.– 1994.– 96,
N 6.– P. 3636–3644.
21. Prosperetti A. Thermal effects and damping
mechanisms in the forced radial oscillations of gas
bubbles in liquids // J. Acoust. Soc. Amer.– 1979.–
61, N 1.– P. 17–27.
22. Maksym G. N., Bates J. H. T. A distributed nonlinear
model of lung tissue elasticity // J. Appl. Physiol.–
1997.– 82, N 1.– P. 32–41.
23. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специ-
альным функциям с формулами, графиками и
математическими таблицами.– М.: Наука, 1979.–
832 с.
24. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пласти-
ны и оболочки.– М.: Наука, 1966.– 635 с.
25. Mercer R. R., Russell M. L., Crapo J. D. Alveolar
septal structure in different species // J. Appl.
Physiol.– 1994.– 77, N 3.– P. 1060–1066.
В. Н. Олiйник 53
|