Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке

Разработана математическая модель поверхностного эффекта в ферромагнитной среде, основанная на методе конечных элементов с представлением временных зависимостей гармоническим рядом. Приведено решение задачи при синусоидальном магнитном потоке и выполнено сравнение полученного решения с аналогичным,...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
1. Verfasser:	Петухов, И.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут електродинаміки НАН України 2013
Schriftenreihe:	Технічна електродинаміка
Schlagworte:	Теоретична електротехніка та електрофізика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100752
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке / И.С. Петухов // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 6. — С. 24-29. — Бібліогр.: 9 назв. — pос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-100752
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1007522016-05-27T03:02:59Z Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке Петухов, И.С. Теоретична електротехніка та електрофізика Разработана математическая модель поверхностного эффекта в ферромагнитной среде, основанная на методе конечных элементов с представлением временных зависимостей гармоническим рядом. Приведено решение задачи при синусоидальном магнитном потоке и выполнено сравнение полученного решения с аналогичным, получаемым при возбуждении электромагнитного поля синусоидальным током. Показано, что даже при условии синусоидального магнитного потока индукция магнитного поля на поверхности и в толще ферромагнетика является несинусоидальной, а потери от вихревых токов имеют более высокие значения. Розроблено математичну модель поверхневого ефекту в феромагнітному середовищі, яка базується на методі скінченних елементів із представленням залежностей від часу гармонічним рядом. Наведено рішення задачі за умов синусоїдального магнітного потоку та виконано порівняння отриманого рішення з аналогічним, що має місце за умов збудження електромагнітного поля синусоїдальним струмом. Показано, що навіть за умов синусоїдального магнітного потоку індукція на поверхні та у товщі феромагнетика є несинусоїдальною, а втрати від вихрових струмів мають більш високі значення. A mathematical model for the skin effect in ferromagnetic medium based both on finite element method and time harmonics method was developed. A solution under condition of sinusoidal magnetic flux was given, and a comparison of the solution to the same, obtained upon excitation of the magnetic field by sinusoidal current, was performed. It is shown that even in the case of a sinusoidal magnetic flux the magnetic flux density on the surface and inside of the ferromagnetic is non-sinusoidal, and eddy current losses have higher values. 2013 Article Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке / И.С. Петухов // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 6. — С. 24-29. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. 1607-7970 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100752 621.3.01 ru Технічна електродинаміка Інститут електродинаміки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теоретична електротехніка та електрофізика Теоретична електротехніка та електрофізика
spellingShingle	Теоретична електротехніка та електрофізика Теоретична електротехніка та електрофізика Петухов, И.С. Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке Технічна електродинаміка
description	Разработана математическая модель поверхностного эффекта в ферромагнитной среде, основанная на методе конечных элементов с представлением временных зависимостей гармоническим рядом. Приведено решение задачи при синусоидальном магнитном потоке и выполнено сравнение полученного решения с аналогичным, получаемым при возбуждении электромагнитного поля синусоидальным током. Показано, что даже при условии синусоидального магнитного потока индукция магнитного поля на поверхности и в толще ферромагнетика является несинусоидальной, а потери от вихревых токов имеют более высокие значения.
format	Article
author	Петухов, И.С.
author_facet	Петухов, И.С.
author_sort	Петухов, И.С.
title	Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке
title_short	Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке
title_full	Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке
title_fullStr	Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке
title_full_unstemmed	Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке
title_sort	численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке
publisher	Інститут електродинаміки НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Теоретична електротехніка та електрофізика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/100752
citation_txt	Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке / И.С. Петухов // Технічна електродинаміка. — 2013. — № 6. — С. 24-29. — Бібліогр.: 9 назв. — pос.
series	Технічна електродинаміка
work_keys_str_mv	AT petuhovis čislennoemodelirovaniepoverhnostnogoéffektavferromagnetikeprisinusoidalʹnommagnitnompotoke
first_indexed	2025-07-07T09:19:17Z
last_indexed	2025-07-07T09:19:17Z
_version_	1836979279504605184
fulltext	24 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6 УДК 621.3.01 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ ПРИ СИНУСОИДАЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОТОКЕ И.С.Петухов, канд.техн.наук Институт электродинамики НАН Украины, пр. Победы, 56, Киев-57, 03680, Украина, e-mail: igor_petu@mail.ru Разработана математическая модель поверхностного эффекта в ферромагнитной среде, основанная на ме- тоде конечных элементов с представлением временных зависимостей гармоническим рядом. Приведено реше- ние задачи при синусоидальном магнитном потоке и выполнено сравнение полученного решения с аналогичным, получаемым при возбуждении электромагнитного поля синусоидальным током. Показано, что даже при усло- вии синусоидального магнитного потока индукция магнитного поля на поверхности и в толще ферромагнети- ка является несинусоидальной, а потери от вихревых токов имеют более высокие значения. Библ. 9, рис. 5. Ключевые слова: метод конечных элементов, временные гармоники, поверхностный эффект, ферромагнитная среда. Введение. Развитие методов моделирования поверхностного эффекта в ферромагнитной среде является важной задачей электротехники. Обусловлено это как возрастающими требованиями к точно- сти расчетов, ростом вычислительных возможностей исследователей, так и многообразием практиче- ских случаев, в которых необходимо учитывать явление поверхностного эффекта в среде, обладающей нелинейными свойствами. В современных программных средствах при моделировании периодических электромагнитных полей зачастую определяется только первая временная гармоника. То есть, зависи- мость от времени искомой функции, как правило, векторного потенциала, представляется синусоидаль- ной. Соответственно, временная зависимость магнитной индукции также является синусоидальной. Как подчеркивается в справочной системе пакета программ ANSIS (версия 7) – одного из лидеров на рынке программного обеспечения, специализирующегося на расчете физических полей, – "такая форма не яв- ляется истинной формой волны, а скорее представляет приближение (аппроксимацию) к основной вре- менной гармонике истинной формы волны магнитной индукции". Там же отмечено, что результирую- щие сила, момент и потери, определенные из аппроксимированной основной гармоники поля, соответ- ственно, являются приближением к истинным значениям. В получившем широкое распространение пакете программ FemLab (Comsol) моделирование переменного электромагнитного поля проводится методом комплексных амплитуд, в результате чего определяется эквивалентная амплитуда основной гармоники каждой из величин, характеризующих поле [9]. При этом нелинейность характеристики на- магничивания ферромагнитного материала так же, как и в вышеприведенном примере, может быть уч- тена лишь приближенно, поскольку в процессе расчета определяется амплитуда магнитной индукции, которой по основной кривой намагничивания ставится в соответствие амплитуда синусоидальной на- пряженности магнитного поля. Такое приближенное решение не может учесть уплощение формы вре- менной зависимости магнитной индукции и пикообразную форму напряженности поля, обусловленные насыщением ферромагнетика. Это порождает погрешности в определении характеристик поля и, в ито- ге, ошибки в определении интегральных величин, потерь, электромагнитных сил, импеданса. Часто квазистационарные уравнения поля с помощью метода конечных элементов (МКЭ) преобразуются к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [1,9], которая интегрируется во временной области. Однако расчет переходного процесса до полного установления может потре- бовать неоправданно больших вычислительных затрат. Поэтому в [5] разработана методика внедре- ния в МКЭ временных зависимостей векторов поля, представленных тригонометрическим полино- мом (несколькими членами ряда Фурье). В результате порядок системы уравнений МКЭ возрастает и составляет Nng2 раз, где ng – число учитываемых гармоник, N – число сеточных переменных (в дан- ном исследовании – это узловые значения неизвестной функции). Тем не менее, система сохраняет свою ленточную структуру, характерную для МКЭ и обуславливающую его вычислительную эффек- тивность. Заметим, что в случае использования временных гармоник (далее − метод временных гар- моник – (МВГ)) для аппроксимации решения (по сравнению с магнитостатической задачей) вместо каждого элемента в матрице системы линейных алгебраических уравнений МКЭ присутствует пол- ностью заполненный квадратный блок порядка 2ng. С другой стороны, при использовании во времен- ной области какой-либо дискретной (сеточной) модели для обеспечения удовлетворительной точнос- © Петухов И.С., 2013 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6 25 ти интегрирования требуется некоторое количество узлов, тем большее, чем выше требуемая точ- ность. Совершенно очевидно, что в случае синусоидального процесса достаточно одной гармоники (одной комплексной переменной или двух действительных) для получения точного решения. В то же время при поиске дискретного решения число узлов на полупериоде будет существенно больше двух. В общем случае справедлив следующий вывод: чем более гладким является периодический процесс, тем использование МВГ имеет большее преимущество по сравнению с методом, использующим дис- кретный вид решения. А поскольку индуктивные элементы, содержащие ферромагнитные магнито- проводы, обладают хорошими фильтрующими свойствами, доля высших гармоник в энергетическом балансе, как правило, невелика. Поэтому моделирование полей в таких элементах при помощи МВГ может быть достаточно эффективным. В работе [5] приведены результаты моделирования с помощью МВГ процесса проникновения пери- одического поля в ферромагнитную среду при возбуждении поля синусоидальным током. Но на практике бо- лее частым является случай, когда синусоидальным является напряжение, а ток из-за влияния нелинейности является несинусоидальным. Исследование особенностей этого случая и является целью настоящей статьи. Математическая модель. Для моделирования электромагнитного поля примем следующие допущения. Электромагнитное поле является двухмерным, частота изменения поля достаточно низка, чтобы пренебречь токами смещения, а гистерезис в ферромагнитной среде отсутствует. В качестве независимой переменной традиционно будем использовать векторный магнитный потенциал, кото- рый в случае плоскопараллельного или осесимметричного полей имеет одну пространственную со- ставляющую zA . Если пренебречь активным сопротивлением и индуктивностью рассеяния обмотки устройства с ферромагнитным сердечником, синусоидальность приложенного к этой обмотке напря- жения обуславливает синусоидальность ее потокосцепления. Воспользовавшись теоремой Стокса [3], можно связать величину магнитного потока через некоторую поверхность S с векторным потенциа- лом вдоль контура l, охватывающего эту поверхность, A An S l rot dS dl=∫ ∫ , (1) где индекс n – обозначает проекцию на нормаль к поверхности. Учитывая связь векторного потен- циала с вектором магнитной индукции B [2] B Arot= , (2) можно определить магнитный поток Ф через данную поверхность и переменное напряжение u, кото- рое наводится в контуре l этим магнитным потоком An S l Φ B dS dl= =∫ ∫ , A l du dl d t = ∫ . (3,4) Исходным уравнением электромагнитного поля, использующим в качестве неизвестной функ- ции векторный магнитный потенциал, является уравнение Максвелла (теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля) [2], которое, будучи выражено через потенциалы, с учетом опреде- ления (2) может быть переписано в виде H A / wrot t grad J= − γ∂ ∂ − γ ϕ + , (5) где γ – электропроводность среды, φ – скалярный электрический потенциал, Jw – известная плотность тока сторонних источников. Если в случае плоскопараллельного поля в проводящих областях отсутст- вуют источники тока и напряжения (физически это соответствует случаю, когда однородная проводя- щая область замкнута сама на себя в бесконечности), уравнение (5) трансформируется в следующее: / / y / 0y x zH x H + γ A t =∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ , (6) где Ну, Нх – пространственные составляющие напряженности магнитного поля в системе декартовых координат (x, y). В свою очередь, составляющие напряженности поля выражаются через векторный потенциал с помощью нелинейных векторных соотношений [8] ( , ) f ( , )x y x yH H B B= , ( , ) ( )x y z zB B A y A x= ∂ ∂ −∂ ∂ . (7,8) Уравнения (6)–(8), дополненные граничными условиями первого и второго рода векторного потенциала 1 2 , /z zΓ Γ A A n∂ ∂ , (9) составляют краевую задачу, имеющую единственное решение [3]. Здесь Г1, Г2 – соответствующие участки границы, n – направление внешней нормали к границе расчетной области. Конкретные вы- 26 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6 ражения для граничных условий будут приведены ниже при формулировании численного решения, которое накладывает свою специфику на получение этих выражений [1]. Рассмотрим способы задания возбуждающей поле обмотки. Если обмотка с числом витков w имеет поперечное сечение Sw, то выражение (4), связывающее напряжение с векторным потенциалом, может быть преобразовано к виду (l − длина контура в направлении координаты z) dSA td d S lwu wS z w ∫= . (10) Еще один способ моделирования поперечного сечения обмотки – это размещение бесконечно тонкого слоя тока в расчетной области или на ее границе. В этом случае аналогом соотношения (10) будет dLA td d L lwu wL z w ∫= , (11) где Lw – длина контура, на котором расположен бесконечно тонкий слой обмотки. Рассмотрим наиболее простую расчетную область Ω для краевой задачи (6)–(9), которая, тем не менее, сохраняет все черты, присущие исследуемому явлению – нелинейному поверхностному эф- фекту (рис. 1). Символом Нτ обозначена касательная составляющая напряженности поля, а символом Js – поверхностная плотность тока, моделирующая бесконечно тонкую обмотку, расположенную на поверхности и показанную жирной линией (точки над переменными обозначают синусоидальную зависимость от времени). Граничные условия на рис. 1 приводят к одномерному характеру магнитно- го поля, зависящему теперь только от вертикальной координаты. Это упрощение, тем не менее, не устраняет влияние нелинейности на несинусоидальный характер поля, подлежащий исследованию. На рис. 1, а источником поля является заданный на верхней грани векторный магнитный по- тенциал AГ, который в соответствии с формулой (11) может быть определен по заданному напряже- нию, приложенному к бесконечно тонкой обмотке, расположенной на этой грани. В случае, изобра- женном на рис. 1, б, источник поля задается касательной составляющей напряженности поля Hτ. Если положить, что за пределами области поле отсутствует (Н=0), тангенциальная составляющая равна плотности поверхностного тока Js [7]. Это граничное условие фактически является неоднородным граничным условием 2-го рода, поскольку / /ΓA n B Hτ τ∂ ∂ = = μ , (12) где μ – магнитная проницаемость среды. Значение магнитной проницаемо- сти для нелинейной задачи, вообще говоря, является также неизвестным. Однако, как будет показано далее, при задании граничных условий это зна- чение не понадобится, т.е. выражение (12) приведено только для подтвер- ждения факта строгости формулировки краевой задачи. Два варианта данной задачи являются крайними частными случаями. Если мы потребуем синусоидальности магнитного потока, пронизывающего расчетную область вдоль горизонтальной координаты x, то есть зададим век- торный потенциал на верхней грани, то получим несинусоидальную напря- женность поля на поверхности, равную линейной плотности тока обмотки, расположенной там же. И, наоборот, если зададим на поверхности синусои- дальную плотность тока, а следовательно и напряженность поля на поверхно- сти, мы получим несинусоидальное значение индукции, а следовательно и несинусоидальный поток. Последний случай детально изучен в работе [5], где были определены погрешности, получаемые в ре- зультате пренебрежения несинусоидальным во времени характером электромагнитного поля. Однако первый случай с практической точки зрения более интересен, поскольку синусоидальным как раз чаще бывает магнитный поток, чем ток, протекающий в обмотке. Весьма характерным примером служит пик-трансформатор, ток в котором из-за насыщения ферромагнетика принимает пикообразную форму [2]. В связи с появлением высших гармоник в токе следует ожидать увеличения потерь. Так же, как это сделано в [5], приближенное решение для векторного потенциала A~ ищется на сетке треугольных конечных элементов в виде тригонометрического полинома ( ) ( ) ( ) e gn n3 j g g j e = 1 j = 1 g = 1 A x, y,t = A ξ α N x, y∑ ∑ ∑% , (13) Рис. 1 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6 27 где ne – число конечных элементов сетки; j – номер узла сетки; ng – число гармонических составляю- щих в решении; ( ) cos при - нечетном α = ; = 1, 2 , 3 , … sin при - четномg να g ξ ν να g −⎧ ⎨ −⎩ − базисные функции, зависящие от времени; α=ωt − безразмерное время; ω − круговая частота основной гармоники поля; Nj – про- странственная базисная функция j-го узла. Отметим, что поскольку основная кривая намагничивания является нечетной функцией, то в полиноме (13) присутствуют только нечетные гармоники. Алго- ритм, реализующий описываемую модель, был внедрен в пакет программ GE2D [5], в котором ис- пользуются пространственные базисные функции первого порядка j j j jN (x , y) = a + β x + γ y . (14) Для нахождения вектора неизвестных – амплитуд узловых значений векторного потенциала Аij, входящих в (13), к краевой задаче (6)–(9) применяется метод Галёркина [1]. Результатом применения это- го метода к уравнению (6) будет следующее интегральное соотношение в ослабленной формулировке: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 0 . π π π i i y x g τ i g i g Ω Γ Ω N N A H H ξ α d Ω d α + H N ξ α d Ω d α γω N ξ α d Ω d α = π x y π π α ∂ ∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ % % % (15) Во втором слагаемом соотношения (15) присутствует касательная составляющая напряженно- сти поля на границе, которая входит в граничное условие (12). Это обстоятельство, как указывалось ранее, исключает необходимость вычислять магнитную проницаемость среды на поверхности. Возвращаясь к двум вариантам краевой задачи в области (рис. 1), отметим следующее. В ва- рианте на рис. 1, б второе слагаемое в (15) включает известный источник поля – поверхностный ток ( sJ H τ= ). А в варианте на рис. 1, а известной величиной является граничное значение векторного потенциала, а второе слагаемое является дополнительным вкладом в невязку от вектора неизвестных. Обсуждение результатов. Опуская выкладки, касающиеся преобразования интегрального со- отношения (15) в систему нелинейных уравнений и метода ее решения, которые детально изложены в [5], проведем сравнительный анализ результатов моделирования характеристик поверхностного эффек- та при синусоидальном потоке в ферромагнетике и рассмотренного ранее [5] случая синусоидального тока источника поля. Для преемственности результатов в качестве ферромагнитной среды расчеты про- ведем для конструкционной стали (Ст.3) [6]. В работе [5] обнаружено существенное отличие потерь от вихревых токов в среде при учете несинусоидального характера поля по сравнению с гармоническим процессом. Поэтому в качестве основного количественного показателя выберем удельные потери в стальном листе толщиной 20 мм (в соответствии с симметричной постановкой задачи на рис. 1 будем рассчитывать поле только в половине листа). Начало координат совместим с поверхностью ферромаг- нетика (там же) и величину переменных на поверхности будем обозначать индексом "o". На рис. 2 показаны временные зависимости магнитной индукции в листе при синусоидальном за- данном токе на поверхности и аппроксимации процесса тремя нечетными гармониками (ν =1,3,5). График индукции на поверхности Bo(t) обозначен треугольными метками, а временные зависимости индукции Bi, вычисленные в толще ферромагнетика в десяти слоях на равных расстояниях, показаны сплошными ли- ниями без меток. Графики поверхностного тока Js(t) и его первой гармоники Js1(t) здесь и в дальнейшем обозначены соответственно затушеванными кружками и квадратиками (ввиду синусоидальности тока в данном случае на рис. 2 эти кривые совпадают). Отметим, что максимальное значение поверхностной плотности тока для данного примера и последующих состав- ляло приблизительно 29000 А/м. Эта величина близка к ниж- ней границе линейной нагрузки асинхронных машин средней и большой мощности [6]. Теперь рассмотрим процессы в ферромагнетике при синусоидальном потоке в нем, которые получены при тех же уровнях электромагнитных нагрузок (их первой гармо- ники) на поверхности, что и в предыдущем случае. Вре- менные зависимости, соответствующие этому случаю, по- казаны на рис. 3 с теми же обозначениями, что и на рис. 2. Сравнение показывает, что поток в обоих случаях практи- чески протекает в половине рассматриваемой области (так как только в пяти слоях максимальные значения индукции Bi превышают половину максимума индукции на поверхно- Рис. 2 28 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6 сти). Этот верхний слой значительно насыщен, о чем свидетельствует уплощенная форма индукции. Величина эквивалентного поверхностного тока Js явно несинусои- дальна (рис. 3). Однако возникает вопрос, каким образом при та- ком несинусоидальном характере индукции и эквива- лентного поверхностного тока реализуется синусоидаль- ная зависимость магнитного потока, протекающего че- рез всю толщу листа? Тем не менее, это так. Суммиро- вание потоков, имеющих в разных слоях ферромагнит- ной среды разные фазы (рис. 3), и обеспечивает гармо- нический характер суммарного потока. Это гарантирует- ся синусоидальной формой векторного потенциала на границе области (рис. 1, а), которая в соответствии с вы- ражением (3) определяет синусоидальность магнитного потока. Для качественного рассмотрения процессов в ферромагнетике нельзя обойти вниманием по- явление пикообразного тока при существенном насыщении. Ведь форма поверхностного тока на рис. 3 не очень напоминает пикообразный ток, приведенный, например, в работе [4]. Для освещения этого противоречия рассмотрим процесс, аналогичный предыдущему, но при низкой электропроводности среды, исключающей явление поверхностного эффекта. Временные зависимости исследуемых вели- чин для данного случая показаны на рис. 4. Естественно, на этом рисунке отсутствуют графики маг- нитной индукции в слоях, так как она постоянна по всей толщине листа, а также не показан график первой гармоники эквивалентного поверхностного тока. Но дополнительно приведен график напря- женности поля на поверхности, определенный по кривой намагничивания и значению индукции, ко- торый обозначен точками. Обозначения остальных кривых – аналогичны таковым на рис. 2, 3. Значе- ния кривых напряженности поля на поверхности Hs(Bo) и поверхностной плотности тока Js для на- глядности масштабированы и приведены к максимальному значению магнитной индукции. Цель графиков на рис. 4 – показать образование пикообразной формы тока при синусоидальном магнитном потоке, кото- рая наиболее выражена в нелинейной среде без вихревых токов и несколько "осаживается" из-за влияния вихревых токов (рис. 3). С физической точки зрения напряженность поля на поверхности Hs и поверхностный ток Js – это одно и то же. Но с вычислительной точки зрения в рассмотренной математической модели поверхностный ток определяется в виде тригонометрического полинома из решения системы уравнений. Поэтому при использовании в решении гармо- ник до 5-го порядка мы получаем решение, отличающееся от истинного (помеченного точками). Тем не менее с точки зрения расчета потерь в ферромагнитной среде от вихревых токов или ее импеданса, как показано в работе [5], вполне достаточно учета пяти высших временных гармоник поля. Однако ключевым вопросом остается сравнение потерь от вихревых токов в обоих рассмотренных случаях. Результа- ты расчетов при различных уровнях электромагнитных на- грузок для рассматриваемой среды проливают свет на по- ставленный вопрос. Показательными явились зависимости удельных потерь (на метр длины) в расчетной области тол- щиной 10 мм (половина стального листа) от амплитуды первой гармоники магнитной индукции на поверхности ферромагнетика Bm (рис. 5). Анализ их показывает, что, хо- тя разница между кривыми невелика, но все же заметна. В данном случае, кривая соответствующая синусоидальному потоку в области насыщения (при индукциях более 2 Тл), проходит на 15…19% выше кривой для случая возбуждения Рис. 5 Рис. 3 Рис. 4 ISSN 1607-7970. Техн. електродинаміка. 2013. №6 29 поля синусоидальным током. Это увеличение потерь было ожидаемо, поскольку амплитуда тока из-за появления в нем высших гармоник возрастает по сравнению с синусоидальной (рис. 3). Как показыва- ют исследования, это возрастание тем больше, чем выше степень нелинейности кривой намагничива- ния, однако получение количественных оценок не входило в задачи данной работы. Целью было опре- деление необходимости учета характера источника поля (синусоидальный ток или синусоидальное на- пряжение) и вследствие этого правильное задание свойств этих источников в расчетной модели. Заключение. При анализе электромагнитных устройств, в ферромагнитных элементах конст- рукции которых имеет место явление поверхностного эффекта, следует различать случаи, когда пи- тание осуществляется синусоидальным током и когда оно осуществляется с помощью источника си- нусоидального напряжения. В последнем случае при одном и том же уровне магнитной индукции на поверхности массивного ферромагнетика удельные объемные потери от вихревых токов больше, чем в первом. Для ферромагнитной среды с характеристикой намагничивания близкой к характеристике конструкционной стали эти потери в насыщенном режиме могут превышать потери, рассчитанные для условия возбуждения поля синусоидальным током. В ферромагнетиках с более выраженным пе- регибом основной кривой намагничивания указанное различие может быть еще большим. 1. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир, 1986. – 320 с.. 2. Калантаров П.Л., Нейман Л.Р. Теоретические основы электротехники. – Л.-М.: Госэнергоиздат, 1951. – 464 с. 3. Корн Г., Корн Т. Справочик по математике. – М.: Наука. – 1978. – 832 с. 4. Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. – М.-Л.: Госэнергоиздат, 1949. – 190 с. 5. Петухов И.С. Моделирование переменного электромагнитного поля в ферромагнитной проводящей среде методом конечных элементов // Техн. електродинаміка. – 2008. – №4. – С. 18–26. 6. Сергеев П.С., Виноградов Н.В., Горяинов Ф.А. Проектирование электрических машин. – М.: Энергия, 1970. – 632 с. 7. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука. – 1976. – 616 с. 8. Фильц Р.В. Общий алгоритм определения магнитных параметров нелинейных сред // Математические методы и физи- ко-механические поля. – 1975. – Вып.16. – С. 101–106. 9. FEMLAB User’s Guide and Introduction. – FEMLAB 2.3. – COMSOL, Inc., 1994–2002. – 436 p. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕРХНЕВОГО ЕФЕКТУ У ФЕРОМАГНЕТИКУ ЗА УМОВ СИНУСОЇДАЛЬНОГО МАГНІТНОГО ПОТОКУ І.С.Пєтухов, канд.техн.наук Інститут електродинаміки НАН України, пр. Перемоги, 56, Київ-57, 03680, Україна. Е-mail: igor_petu@mail.ru Розроблено математичну модель поверхневого ефекту в феромагнітному середовищі, яка базується на методі скінченних елеме- нтів із представленням залежностей від часу гармонічним рядом. Наведено рішення задачі за умов синусоїдального магнітного потоку та виконано порівняння отриманого рішення з аналогічним, що має місце за умов збудження електромагнітного поля синусоїдальним струмом. Показано, що навіть за умов синусоїдального магнітного потоку індукція на поверхні та у товщі феро- магнетика є несинусоїдальною, а втрати від вихрових струмів мають більш високі значення. Бібл. 9, рис. 5. Ключові слова: метод скінченних елементів, часові гармоніки, поверхневий ефект, феромагнітне середовище. NUMERICAL SIMULATION OF SKIN EFFECT IN FERROMAGNETIC FOR SINUSOIDAL MAGNETIC FLUX I.S.Petukhov Institute of Electrodynamics National Academy of Science of Ukraine, Peremohy pr., 56, Kyiv-57, 03680, Ukraine, e-mail: igor_petu@mail.ru A mathematical model for the skin effect in ferromagnetic medium based both on finite element method and time harmonics method was developed. A solution under condition of sinusoidal magnetic flux was given, and a comparison of the solution to the same, obtained upon excitation of the magnetic field by sinusoidal current, was performed. It is shown that even in the case of a sinusoidal magnetic flux the magnetic flux density on the surface and inside of the ferromagnetic is non-sinusoidal, and eddy current losses have higher values. Refer- ences 9, figures 6. Key words: finite element method, time harmonics method, skin effect, ferromagnetic. 1. Zenkewich O., Morgan K. Finite Elements and Approximation. – Мoskva: Mir, 1986. – 320 p. (Rus) 2. Kalantarov P.L., Neimann L.R. Theoretical fundamentals of electrical engineering. – Leningrad-Moskva: Gosenergoizdat, 1951. – 464 p. (Rus) 3. Korn G., Korn T. Mathematical handbook. – Moskva: Nauka, 1978. – 832 p. (Rus) 4. Neimann L.R. The skin effect in ferromagnetic solids. – Moskva-Leningrad: Gosenergoizdat, 1949. – 190 p. (Rus) 5. Petukhov I.S. Finite element modeling of of variable electromagnetic field in ferromagnetic conducting medium // Tekhnichna elektrodynamika. – 2008. – №4. – Pp. 18–26. (Rus) 6. Sergeev P.S., Vinogradov N.V., Goriainov F.A. Design of electric machines. – Мoskva: Energiia, 1970. – 632 p. (Rus) 7. Tamm I.E. Fundamentals of the theory of electricity. – Moskva: Nauka, 1976. – 616 p. (Rus) 8. Filts R.V. General algorithm to determine the magnetic parameters of nonlinear media // Matematicheskie metody i fiziko- mekhanicheskie polia. – 1975. –Vol.16. – Pp. 101–106. 9. FEMLAB User’s Guide and Introduction. – FEMLAB 2.3. – COMSOL, Inc., 1994–2002. – 436 p. Надійшла 08.02.2013 Received 08.02.2013

Численное моделирование поверхностного эффекта в ферромагнетике при синусоидальном магнитном потоке

Institution

Ähnliche Einträge