Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот

Представлено математичну модель поширення спрямованих ультразвукових хвиль в криволінійному пружному просторі. При розробленні математичної моделі увагу приділено теоретичним засадам опису властивостей спрямованих хвиль в пружному середовищі. Отримані результати обчислень представлені у вигляді граф...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Лютак, І.З.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут електрозварювання ім. Є.О. Патона НАН України 2009
Schriftenreihe:	Техническая диагностика и неразрушающий контроль
Schlagworte:	Неразрушающий контроль
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103369
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в рубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот / І.З. Лютак // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. — 2009. — № 2. — С. 30-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-103369
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1033692016-06-19T20:38:40Z Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот Лютак, І.З. Неразрушающий контроль Представлено математичну модель поширення спрямованих ультразвукових хвиль в криволінійному пружному просторі. При розробленні математичної моделі увагу приділено теоретичним засадам опису властивостей спрямованих хвиль в пружному середовищі. Отримані результати обчислень представлені у вигляді графіка дисперсії кутового хвильового числа. The paper presents a mathematical model of propagation of directional ultrasonic waves in a curvilinear elastic medium. During development of the mathematical model attention was focused on theoretical fundamentals of description of directional waves in an elastic medium. The derived calculation results are presented in the form of a graph of dispersion of the angular wave number. 2009 Article Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в рубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот / І.З. Лютак // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. — 2009. — № 2. — С. 30-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 0235-3474 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103369 621.19.24 uk Техническая диагностика и неразрушающий контроль Інститут електрозварювання ім. Є.О. Патона НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Неразрушающий контроль Неразрушающий контроль
spellingShingle	Неразрушающий контроль Неразрушающий контроль Лютак, І.З. Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот Техническая диагностика и неразрушающий контроль
description	Представлено математичну модель поширення спрямованих ультразвукових хвиль в криволінійному пружному просторі. При розробленні математичної моделі увагу приділено теоретичним засадам опису властивостей спрямованих хвиль в пружному середовищі. Отримані результати обчислень представлені у вигляді графіка дисперсії кутового хвильового числа.
format	Article
author	Лютак, І.З.
author_facet	Лютак, І.З.
author_sort	Лютак, І.З.
title	Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот
title_short	Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот
title_full	Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот
title_fullStr	Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот
title_full_unstemmed	Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот
title_sort	побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот
publisher	Інститут електрозварювання ім. Є.О. Патона НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Неразрушающий контроль
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/103369
citation_txt	Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в рубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот / І.З. Лютак // Техническая диагностика и неразрушающий контроль. — 2009. — № 2. — С. 30-35. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
series	Техническая диагностика и неразрушающий контроль
work_keys_str_mv	AT lûtakíz pobudovataobčislennâmatematičnoímodelípoširennâkílʹcevihmodvtruboprovodísprâmovanimihvilâmivulʹtrazvukovomudíapazoníčastot
first_indexed	2025-07-07T13:46:36Z
last_indexed	2025-07-07T13:46:36Z
_version_	1836996096724828160
fulltext	УДК 621.19.24 ПОБУДОВА ТА ОБЧИСЛЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ПОШИРЕННЯ КІЛЬЦЕВИХ МОД В ТРУБОПРОВОДІ СПРЯМОВАНИМИ ХВИЛЯМИ В УЛЬТРАЗВУКОВОМУ ДІАПАЗОНІ ЧАСТОТ І. З. ЛЮТАК Представлено математичну модель поширення спрямованих ультразвукових хвиль в криволінійному пружному просторі. При розробленні математичної моделі увагу приділено теоретичним засадам опису властивостей спря- мованих хвиль в пружному середовищі. Отримані результати обчислень представлені у вигляді графіка дисперсії кутового хвильового числа. The paper presents a mathematical model of propagation of directional ultrasonic waves in a curvilinear elastic medium. During development of the mathematical model attention was focused on theoretical fundamentals of description of directional waves in an elastic medium. The derived calculation results are presented in the form of a graph of dispersion of the angular wave number. Збільшення експлуатаційної надійності газо- та нафтопровідної системи України є важливим та ак- туальним завданням сьогодення. Одним із підходів до підвищення надійності є удосконалення методів неруйнівного акустичного контролю. Переваги використання акустичних хвиль, їх безпечність як для фахівця-контролера, так і для об’єкту контролю, поставили цей вид неруйнівного контролю на перше місце за його поширенням серед інших методів. Проте деякі недоліки акустичних методів, а саме, точковість вимірювань при проведенні контролю великогабаритних конструкцій, таких як газо- та на- фтопроводи, знижують ефективність та збільшують вартість контролю. Тому одним із підходів удоско- налення акустичних методів для неруйнівного кон- тролю таких великогабаритних конструкцій є розвиток теорії акустичного поля з метою застосу- вання нових типів хвиль, які б дозволили уникнути точковості виміряних результатів. Наслідком такого підходу є розвиток теорії спрямованих хвиль, що поширюються на значні відстані без суттєвого зга- сання амплітуди. В Україні суттєвий внесок в розвиток теорії спря- мованими хвилями внесено науковцями ІЕЗ ім. Є. О. Патона НАН України [1, 2]. Основним науковим на- прямком їх роботи є вивчення принципів побудови діагностичних систем протяжних об’єктів на основі низькочастотного ультразвуку, а наукова діяльність тісно пов’язана із європейським досвідом дослідження спрямованих ультразвукових хвиль в рамках проекту Євросоюзу «Моніторинг стану об’єктів шляхом далекодіючого ультразвуку». Про- ведено дослідження систем збудження та прийому спрямованих хвиль низькочастотного ультразвуку. Стверджується, що для збудження і прийому відбитих від завад спрямованих хвиль можна використовувати різні типи первинних пере- творювачів, зокрема: магнітострикційні, електро- магнітоакустичні та п’єзоелектричні [3, 4]. Приве- дено основні параметри вказаних трьох типів первинних перетворювачів. Дослідження спрямо- ваних ультразвукових хвиль проводиться також на- уковцями лабораторії неруйнівного контролю ка- федри методів та приладів контролю якості та сертифікації продукції Івано-Франківського націо- нального технічного університету нафти і газу [5–8]. Дослідження проводяться в напрямку побудови пристрою неруйнівного контролю напружено-де- формованого стану металу спрямованими хвилями з використанням п’єзоелектричних первинних перетворювачів. Складовою таких досліджень є роз- роблення математичної моделі поширення спрямо- ваних хвиль в прямолінійному пружному сере- довищі, в стінці труби та побудова алгоритмів обробки сигналів відбитих хвильових пакетів. Теоретичні дослідження взаємодії спрямованих хвиль із тріщинами проводяться в Росії [9]. Таким чином, можна зробити висновок, що неруйнівний контроль спрямованими ультразвуковими хвилями знаходиться на початку свого розвитку. Кількома на- уковими групами в світі проводяться дослідження як теоретичних, так і технологічних аспектів фізичного явища далекодіючого ультразвуку. Існу- ючі досягнення дозволяють побачити перс- пективність такого напрямку неруйнівного контро- лю та визначити основні ніші для його застосування. Метою даного дослідження є удосконалення теорії поширення кільцевих мод спрямованих ульт- развукових хвиль, що дозволить глибше зрозуміти фізичні аспекти його поширення в стінці трубоп- роводу, взаємодію на хвильові параметри механічних та геометричних характеристик розглядуваного трубопроводу. Теоретичні основи поширення об’ємних уль- тразвукових хвиль. Розглянемо поширення ульт- развукової хвилі в пружному середовищі без межі © І. З. Лютак, 2009 30 ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2,2009 розділу цього середовища. Будемо вважати, що се- редовище є настільки великим, ніж довжина хвилі, що поширення ультразвуку не зазнає впливу від відбитих хвиль. При поширенні ультразвукової хвилі в пружному середовищі нею створюються вимушені коливання елементарного об’єму пружного середовища. Для характеристики цих коливань введемо вектор зміщення елементарного об’єму u→ ⎧ ⎨ ⎩ ux,uy,uz ⎫ ⎬ ⎭ , що описуватиме амплітуду максимального відхилення. Для розуміння фізичного змісту вектора зміщення необхідно зазначити, що під елементарним об’ємом розуміється не окремі молекули чи атоми сере- довища, що коливаються без наявності звукової енергії, а деякий об’єм цього середовища, який містить певну кількість молекул так, що їх сумарний тепловий рух дорівнює нулю [10]. Коливання таких елементарних об’ємів пружного середовища нагадує коливання твердих тіл в механіці, в якій прийнято описувати коливання через поняття вектору швидкості v→. Термін вектору швидкості коливання елементарного об’єму пружного середовища потрібно розділити від вектору швидкості поширення ультразвукових хвиль. Швидкість коли- вань елементарного об’єму пружного середовища буде наступною: v→ = u → t , (1) де t — час. Під процесом поширення ультразвукових коли- вань в термінах коливання елементарного об’єму мається на увазі передача зусилля від збуреного еле- ментарного об’єму до незбуреного. При цьому завжди має лише затримку в часі, що визначає швидкість поширення ультразвукової хвилі. По всій довжині хвилі різні елементарні об’єми пружного середовища будуть мати різне зміщення: одні частини — позитивне, інші — негативне і т. д. Це створює деформації пружного середовища на рівні елементарних об’ємів. Згідно теорії механіки в та- кому об’ємі створюється шість незалежних компо- нент напружень σij. Ультразвукова хвиля, в загаль- ному, створить напруження, які можна описати в на- прямку однієї вісі Ox таким чином: ⎡ ⎣ σxx (x + dx) – σxx⎤⎦ dydz + ⎡ ⎣ σxy (y + dy) – σxy⎤⎦ dxdz + + ⎡ ⎣ σxz (z + dz) – σxz⎤⎦ dxdy = ⎛ ⎜ ⎝ ∂σxx ∂x + ∂σxy ∂y + ∂σxz ∂z ⎞ ⎟ ⎠ dxdydz , (2) де dx, dy, dz — зміщення елементарного об’єму пруж- ного середовища, створене ультразвуковою хвилею. Вираз (2) описує зусилля, що прикладене до пев- ного об’єму середовища, тому, згідно II закону Ньютона, для забезпечення балансу сил повинна існувати протидія цьому зусиллю. Цією протидією є сила інерції пружного середовища, що визначається масою елементарного об’єму ρdxdydz, задіяною уль- тразвуковою хвилею. Рівняння рівноваги сил буде таким: ∂σxx ∂x + ∂σxy ∂y + ∂σxz ∂z = ρ ∂2ux ∂t2 . (3) Аналогічно рівняння рівноваги сил (3) можна записати для двох інших напрямків Oy та Oz. Описувана сила в виразі (3) викликає розтяг чи зсув елементарного об’єму пружного середовища. В будь-якій механічній системі діють сили, що спря- мовані на відтворення первинного стану. Ці сили визначаються через деформації елементарного об’єму пружного середовища. Рівняння рівноваги напружень, викликаних зусиллям проходження уль- тразвукової хвилі та зусиль, спрямованих на відтворення попереднього стану, можна представити так: σxx = 2μ ∂ux ∂x + λdiv u→, σxy = μ ⎛ ⎜ ⎝ ∂ux ∂y + ∂uy ∂x ⎞ ⎟ ⎠ , (4) де μ, λ — константи Ляме, div = ∂ ∂x + ∂ ∂y + ∂ ∂z — опе- ратор дивергенції. Рівняння (4) можна за аналогією записати для двох інших координатних осей. Привівши (3) та (4) в одне рівняння, отримаємо опис коливання елемен- тарного об’єму пружного середовища при проход- женні ультразвукової хвилі: μΔux + (μ + λ) ∂(divu→) ∂x = ρ ∂2ux ∂t2 , μΔuy + (μ + λ) ∂(divu→) ∂y = ρ ∂2uy ∂t2 , μΔuz + (μ + λ) ∂(divu→) ∂z = ρ ∂2uz ∂t2 , (5) де Δ = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 = div grad — оператор Лапласа. Рівняння (5) є загальним описом пружного се- редовища, збуреного ультразвуковою хвилею. Про- водити аналіз (5) в загальному записі є надзвичайно складно, оскільки його розв’язком є багато різних комбінацій хвиль, що поширюються в довільному напрямку. Для спрощення аналізу припустимо, що ультразвукова хвиля є плоскою і поширюється в на- прямку однієї координатної вісі, наприклад x. В цьому випадку компоненти оператора Лапласа та дивергенції зменшаться тільки до одного, а вираз (5) матиме такий вигляд: (2μ + λ) ∂2ux ∂x2 = ρ ∂2ux ∂t2 , μ ∂2uy ∂x2 = ρ ∂2uy ∂t2 , μ ∂2uz ∂x2 = ρ ∂2uz ∂t2 . (6) Перше рівняння описує коливання елементарно- го об’єму пружного середовища, що співпадає за на- прямком із поширенням ультразвукової хвилі. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2,2009 31 Такою хвилею є поздовжня і відповідно вона ство- рює тільки один компонент тензору напружень σxx. Два інші рівняння (6) описують коливання елемен- тарного об’єму в напрямку, що перпендикулярний поширенню ультразвукової хвилі. Такі коливання збуджують тільки зсувні напруження σху та σxz. Очевидно, що навіть у спрощеному розгляді поширення ультразвукової хвилі в пружному сере- довищі може бути багато розв’язків, які залежать від напряму поширення хвилі та від співвідношення їх амплітуд. У виразі (6) кожне рівняння правої і лівої частини описує рівність швидкості коливання через зміщення елементарного об’єму пружного середовища, тому частково продиференціювавши ліву частину по x та праву по t, отримаємо значення для швидкості поширення ультразвукової хвилі: cl = √⎯⎯⎯⎯2μ + λ ρ , ct = √⎯μ ρ . (7) де cl, ct — відповідно швидкості поширення поз- довжньої та поперечної хвиль. Розглянемо коливання частинок середовища, збуджених поперечною хвилею. Припустимо, що частинки коливаються за гармонійним законом: uy(x,t) = Uycos(ωt – ktx – ϕ1), uz(x,t) = Uzcos(ωt – ktx – ϕ1), (8) де kt = ω/ct — хвильове число; ω, ϕi — відповідно частота та фаза коливань; Uy, Uz — амплітуди коливань. Напрямок коливань елементарних частинок се- редовища визначається із (8) за кутом із віссю Oy так: ∠α = arctan(Uy/Uz). (9) У випадку, коли ϕ1 ≠ ϕ2, поперечні коливання поляризуються у еліптичні, що є загальним випад- ком ультразвукової хвилі в пружному середовищі. Рівняння (7)–(9) дають підстави стверджувати, що поздовжні та поперечні ультразвукові хвилі мо- жуть поширюватись в будь-якому напрямку в пруж- ному середовищі, причому швидкість поширення таких хвиль не залежить від напрямку. Тому при розгляді властивостей таких хвиль не беруться до уваги межі розділу пружного середовища із на- вколишнім. Ультразвукові хвилі в пластинах. Розглянемо поширення ультразвукових хвиль в пластинах. Припустимо, що пластина має нескінченну довжину в напрямку вісі x, одну товщину та ізотропні властивості матеріалу. Нехай напрям поширення ультразвукових хвиль співпадає із координатою x. Розширення, яке створюватиме ультразвукова хвиля, буде таким: δl ⁄ l = 1 ⁄ E⋅F ⁄ S, (10) де σl — відносне видовження довжини; E — модуль Юнга; F — зусилля, створене хвилею; S — площа поперечного перерізу. Зусилля F, створене ультразвуковою хвилею, створить напруження в напрямку вісі x: σxx = E ∂ux ∂x , (11) Іншим зусиллям, що діє в пластині, є зусилля згину. При цьому зусиллі відносне видовження шару пружного середовища, що лежить всередині пластини, не зазнає відносного видовження. Частина пластини під і над серединним шаром зазнає стиску- вання та видовження на величину dx. Напруження визначаються через момент M, що пропорційний радіусу кривизни, а отже і другій похідній від переміщення: M = –K ∂2ux ∂x2 , (12) де K = h 3 12 E 1 – ν2 — коефіцієнт; h — товщина пластини; ν — коефіцієнт Пуассона. Рівняння (5), (10)–(12) визначають взаємозв’язок між константами Ляме та модулем Пуассона: μ = E 2(1 + ν) , λ = νE (1 + ν) (1 – 2ν) . (13) Рівність (13) та (7) визначають взаємозв’язок між швидкостями поздовжньої та поперечної хвиль: cl ct = √⎯⎯⎯⎯⎯2 1 – ν 1 – 2ν . (14) Рівняння (10)–(14) описували деформацію плас- тини в статичному чи квазістатичному режимі, при якому не враховувалась швидкість деформації. При поширенні ультразвукової хвилі швидкість дефор- мації має значний вплив у формі інерції елементар- ного об’єму пружного середовища, тому рівняння поширення хвилі буде грунтуватись на рівновазі зусиль: ∂σxx ∂x = ρ ∂νx ∂t = ρ ∂2ux ∂2t . (15) За аналогією до виразу (6) та на основі рівності (15) рівняння поширення ультразвукової хвилі буде таким: ∂σxx ∂x = ρE ∂2ux ∂2t . (16) Із (16) швидкість поширення ультразвукових хвиль, в яких елементарний об’єм пружного сере- довища рухається у напрямку поширення хвилі, буде такою: 32 ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2,2009 ca = √⎯⎯⎯⎯⎯⎯E ρ (1 – ν2) . (17) Рівняння (17) описує коливання елементарного об’єму, в якому переважає поздовжня складова уль- тразвукової хвилі. Воно справджується тільки у випадку, коли товщина пластини є меншою, ніж довжина ультразвукової хвилі. У іншому випадку на швидкість хвилі буде впливати її товщина і тому вони будуть мати дисперсійний характер. Ці хвилі називають антисиметричними, оскільки коливання верхніх граней пластини проходять у протифазі (рис. 1, а). Як видно із рис. 1, а напрям зміщення елемен- тарного об’єму пружного середовища не повністю збігається із напрямком поширення хвилі в пластині, проте характер коливань (періодичне стиснення та розширення середовища) робить таку хвилю подібною до об’ємної поздовжньої. Збудження антисиметричної моди у найбільш простому випадку можливе при прикладанні зусилля у напрямку довжини пластини. Аналогічно, при прикладанні зусилля до поверхні пластини, збуджу- ються зсувні хвилі, які називаються симетричними, оскільки їх грані коливаються в одній фазі (рис. 1, б). Рівняння поширення симетричних хвиль буде таким [10]: Δ2ux + 12ρ 1 – ν2 h2E ∂ux ∂t2 = 0. (18) Подібно до антисиметричних мод, зміщення еле- ментарного об’єму пружного середовища не є повністю поперечними, проте їх властивості подібні до поперечних об’ємних хвиль. Розв’язок (18) є складнішим ніж для антисимет- ричих мод, оскільки незалежними змінними є зміщення перпендикулярне до напрямку поширення хвилі uy та його похідна, згинний момент M та зусилля Fy. Незалежними змінними при поширенні антисиметричної моди є зміщення ux та напруження σxx. Розв’язком (18) є: u(x,t) = Ux exp ⎛ ⎜ ⎝ ± x √⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ω212ρ 1 – ν2 h2E exp (jωt) ⎞ ⎟ ⎠ . (19) Останній множник виразу (19) вказує на гар- монійну складову поширення хвилі. Перший експо- ненціальний множник описує коливання амплітуди хвилі. Поширення спрямованої ультразвукової хвилі в криволінійному середовищі. Для побудови ма- тематичної моделі поширення кільцевих мод в тру- бопроводі візьмемо за основу циліндричну систему координат r, θ, z, (рис. 2). Будь-яка пружна хвиля, в тому числі і кільцеві моди спрямованих хвиль, можуть бути представ- леними загальним фундаментальним хвильовим рівнянням аналогічно до (3): ρ ∂2ur ∂t2 = ∂σrr ∂r + 1r ∂σrθ ∂θ + ∂σrz ∂z + σrr – σθθ r , ρ ∂2uθ ∂t2 = ∂σθr ∂r + 1r ∂σθθ ∂θ + ∂σθz ∂z + 2 σrθ r , ρ ∂2uz ∂t2 = ∂σzr ∂r + 1r ∂σzθ ∂θ + ∂σzz ∂z + σzr r . (20) Для спрощення цих рівнянь використаємо підхід розділу хвильових полів Хельмхольца. Для цього представимо закон коливань елементарних частинок у двох напрямках поляризації хвильового поля для поздовжніх ϕ та поперечних ψ хвиль: ∂2ϕ ∂r2 + 1r ∂ϕ ∂r + 1 r2 ∂ 2ϕ ∂θ2 + kl 2ϕ = 0, ∂2ψ ∂r2 + 1r ∂ψ ∂r + 1 r2 ∂ 2ψ ∂θ2 + kt 2ψ = 0, (21) де kl та kt — відповідно хвильові числа для поз- довжньої та поперечної об’ємної ультразвукової хвилі. Хвильове число для об’ємних ультразвукових хвиль може бути обчислене так: Рис. 1. Поширення антисиметричної (а) та симетричної (б) моди ультразвукової хвилі (I — межі розділу у незбуреній ультразвуковою хвилею пластині) Рис. 2. Поширення кільцевих мод ультразвукової пластин- чатої хвилі в трубі: r1, r2 — відповідно внутрішній та зов- нішній радіуси труби ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2,2009 33 kl = ωcl , kt = ωct . (22) Гармонійні коливання описуватимуться так: ϕ(r,θ) = Φ(r) exp (ikθθ), ψ(r,θ) = Ψ(r) exp (ikθθ), (23) де kθ — кутове хвильове число. Підставивши (23) в (21), отримаємо математич- ний опис кільцевої моди спрямованої хвилі за двома її складовими, об’ємними поздовжніми та попе- речними хвилями [11]: (klr)2 ∂2Φ ∂(klr)2 + (klr) ∂Φ ∂(klr) + ⎛ ⎝ (klr)2 – kθ 2⎞ ⎠ Φ = 0, (ktr)2 ∂2Ψ ∂(ktr)2 + (ktr) ∂Ψ ∂(ktr) + ⎛ ⎝ (ktr)2 – kθ 2⎞ ⎠ Ψ = 0. (24) Представимо (24) за допомогою функцій Бесселя: Φ = Γ1J(klr) + Γ2Y(klr), Ψ = Γ3J(klr) + Γ4Y(ktr), (25) де Γ1, Γ2, Γ3, Γ4 — амплітуди об’ємних поздовжніх та поперечних ультразвукових хвиль. Для визначення граничних умов визначимо ком- поненти вектору напружень елементарного об’єму пружного середовища на межі розділу пружне се- редовище — повітря. З цією метою визначимо на- пруження, створені зміщенням від проходження уль- тразвукової спрямованої хвилі: σrr = – λkl 2ϕ + 2μ ⎛ ⎜ ⎝ ∂2ϕ ∂r2 – 1 r2 ∂ψ ∂θ + 1r ∂2ψ ∂r∂θ ⎞ ⎟ ⎠ , σrθ = μ ⎛ ⎜ ⎝ 2 r ∂2ϕ ∂r∂θ – 2 r2 ∂ϕ ∂θ + 1 r2 ∂ 2ψ ∂θ2 – ∂ 2ψ ∂r2 + 1r ∂ψ ∂r ⎞ ⎟ ⎠ . (26) Граничні умови для (26) зображено на рис. 3. Як видно із рис. 3, кожен компонент напружень σrr та σrθ формується чотирма об’ємними ультраз- вуковими хвилями, поздовжніми та поперечними. Для знаходження невідомих амплітуд об’ємних хвиль (25) запишемо характеристичне рівняння, що характеризує хвильове поле на межі розділу сере- довищ труба–повітря [11]: ⎛ ⎜ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Λ11 Λ12 Λ13 Λ14 Λ21 Λ22 Λ23 Λ23 Λ31 Λ32 Λ33 Λ34 Λ41 Λ42 Λ43 Λ44 ⎞ ⎟ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ × ⎛ ⎜ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 ⎞ ⎟ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = 0, (27) де Λij — члени характеристичної матриці, які визна- чаються частотою та хвильовим числом. Для числового розв’язку (27) необхідно знати один із компонентів матриці Γі. З іншої сторони, компоненти характеристичної матриці складаються із функцій Бесселя та першої, другої її похідних. Для рішення (27) необхідно знайти значення детермінанту Λij. Нами розроблено алгоритм роз- в’язку (27) в середовищі Matlab. Результати розра- хунку детермінанту (27) для газопроводу діаметром 273 мм приведені на рис. 4. Отримані результати дозволяють визначити параметри симетричної та антисиметричної мод спрямованих хвиль в криволінійному пружному просторі. Результати розрахунку детермінанта (27) апрок- симувались сплайном із коефіцієнтом апроксимації 0,99 та прямою лінією. Як видно із рис. 4, числовий розв’язок містить неточності, пов’язані із пошуком кореня (27), який виконувався алгоритмом пошуку кореня пакету Matlab. Для покращення отриманого результату необхідно розробити новий підхід до обчислення першої та другої похідної функцій Бесселя та алгоритму числового пошуку кореня функції. Целью данного исследования является усовер- шенствование теории распространения кольцевой моды направленной ультразвуковой волны, что поз- волит глубже понять физические аспекты ее рас- пространения в стенке трубопровода, взаимо- действие волновых параметров с механическими и геометрическими характеристиками рассматрива- емого трубопровода. Понимание процесса распрос- транения ультразвуковых колебаний в терминах ко- Рис. 4. Дисперсійна крива кутового числа спрямованої ульт- развукової хвилі в трубі діаметром 273 мм: 1 — апроксимація сплайном; 2 — лінійна апроксимація Рис. 3. Граничні умови при поширенні кільцевої моди ульт- развукової спрямованої хвилі 34 ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2,2009 лебания элементарного объема — это передача усилия от возмущенной части среды к невозмущен- ной. Это создает деформацию упругой среды на уровне элементарных объемов. Согласно теории ме- ханики в таком объеме создается шесть неза- висимых компонент напряжений (2). Выражение (2) описывает усилие, которое при- лагается к определенному объему среды, и согласно II закону Ньютона для обеспечения баланса силы должно существовать противодействие этому усилию. Этим противодействием является сила инерции упругой среды (5). Уравнение (5) является общим описанием упругой среды, возмущенной уль- тразвуковой волной. Проводить его анализ в общей записи чрезвычайно сложно, поскольку его решением является много различных комбинаций волн, кото- рые распространяются в произвольном направ- лении. Для упрощения анализа допустим, что уль- тразвуковая волна является плоской и распростра- няется в направлении одной координатной оси, например x (6). Уравнения (10)–(19) математически описывают форму колебаний направленной ультразвуковой волны в пластине на основании уравнения (6). Урав- нение (17) описывает колебание элементарного объема, в котором преобладает продольная состав- ляющая ультразвуковой волны. Оно исполняется только в случае, когда толщина пластины меньше, чем длина ультразвуковой волны. В другом случае на скорость волны влияет ее толщина, и поэтому она будет иметь дисперсионный характер. Эта волна называется антисимметричной, поскольку ко- лебания верхней грани пластины проходят в проти- вофазе, рис. 1. Аналогично представлено уравнение (18) для симметричной волны (рис. 2). Уравнения (20)–(27) представляют математи- ческое описание волновых параметров направленной ультразвуковой волны в стенке трубопровода (рис. 3). Представлены граничные условия для формирования этой волны в стенке трубы и ее рас- пространения (рис. 4). Как видно из рис. 4, каждый компонент напряжений, вызванных направленной волной, формируется четырьмя объемными ульт- развуковыми волнами, продольными и поперечными. Для нахождения неизвестной амплитуды объем- ных волн, которые формируют направленную волну (25), составлено характеристическое уравнение на основании граничных условий раздела сред труба– воздух. На рис. 5 представлен график дисперсии углового волнового числа от частоты. Полученные результаты позволяют определить параметры симметричной и антисимметричной моды нап- равленной волны в стенке трубы. 1. Патон Б. Е., Троицкий В. А., Бондаренко А. И. Метод низкочастотного ультразвукового контроля протяжен- ных объектов направленными волнами // Техн. диаг- ностика и неразруш. контроль. — 2008. — № 2. — С. 20–30. 2. Троїцький В. О. Хвилеводний низькочастотний ультра- звуковий контроль протяжних об’єктів з обмеженим доступом до поверхні // III Науково-практ. конф. «Ор- ганізація неруйнівного контролю якості продукції в про- мисловості». — 30 квітня 2005. — Аланья (Туреччи- на). — С. 5–7. 3. Техника контроля направленными волнами для эксплуа- тационного контроля заводских трубопроводов / Т. Икэ- да, Р. Канэхара, М. Миадзева и др. // Hihakai Kensa. — 2005. — 54, № 11. — С. 595–599. 4. Ямасаки Т. Применение электромагнитных акусти- ческих сенсоров для направленных волн в неразрушаю- щем контроле проволоки, труб и плит // Там же. — С. 606–611. 5. Lyutak I. Wavelet analysis of ultrasonic guided waves in pi- peline inspection / IEEE Intern. workshop on intelligent data acquisition and advanced computing systems: technology and applications. — Sofia, Bulgaria. — P. 517–523. 6. Лютак І. З. Моделювання методом кінцевих елементів поширення нульових мод плоских хвиль Лемба в пластині з ортотропними механічними властивостями // Вісник Хмельницького нац. ун-ту. — 2007. — № 6. — Т. 1. — С. 151–156. 7. Лютак З. П., Мандра А. А. Визначення напружено-де- формованого стану газопроводів за допомогою ультра- звукових хвиль Лемба // Методи та прилади контролю якості. — 2004. — № 12. — С. 24–29. 8. Лютак І. З. Контроль технічного стану магістральних трубопроводів кільцевими модами пластинчатих ультра- звукових хвиль // Зб. наук. праць. Сер.: Фізичні методи та засоби контролю середовищ, матеріалів та виробів. Теорія і практика неруйнівного контролю матеріалів і конструкцій. — Видання Фіз.-мех. ін-ту ім. Г. В. Кар- пенка НАН України. — 2008. — Вип. 13. — С. 193–198. 9. Взаимодействие крутильных волн с продольными трещинами труб / Г. А. Буденков, О. В. Недзвецкая, Д. В. Злобин, С. А. Мурашов // Дефектоскопия. — 2006. — № 6. — С. 58–66. 10. Kuttruff H. Acoustics. An introduction. New York: Taylor & Francis. — 2007. — 472 p. 11. Fast techniques for calculating dispersion relations of cir- cumferential waves in annular structures / J. Fong, M. J. S. Lowe, D. Gridin, R. V. Craster // Review of Progress in Qu- antitative NDE (American Institute of Physics). — 2003. — № 22. — P. 213–220. Ів.-Франків. нац. ун-т нафти і газу Надійшла до редакції 28.10.2008 ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА И НЕРАЗРУШАЮЩИЙ КОНТРОЛЬ, №2,2009 35

Побудова та обчислення математичної моделі поширення кільцевих мод в трубопроводі спрямованими хвилями в ультразвуковому діапазоні частот

Institution

Ähnliche Einträge