Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии

В приближении Буссинеска, следуя методу асимптотических многомасштабных разложений, исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом турбулентной вязкости и диффузии. В работе определяются декремент затухания волны и погранслойные решения у дна и свободной поверхности. Сре...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2009
Main Authors:	Слепышев, А.А., Мартынова, И.С.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Морський гідрофізичний інститут НАН України 2009
Series:	Морской гидрофизический журнал
Subjects:	Термогидродинамика океана
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105083
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии / А.А. Слепышев, И.С. Мартынова // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — № 5. — С. 3-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-105083
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1050832016-08-07T03:02:11Z Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии Слепышев, А.А. Мартынова, И.С. Термогидродинамика океана В приближении Буссинеска, следуя методу асимптотических многомасштабных разложений, исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом турбулентной вязкости и диффузии. В работе определяются декремент затухания волны и погранслойные решения у дна и свободной поверхности. Среднее течение, индуцированное волной, находится во втором порядке малости по крутизне волны. Получены коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера для огибающей волнового пакета. Показано, что в длинноволновом пределе слабонелинейная плоская волна устойчива к продольной модуляции; если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива. In the Boussinesque approximation and following the method of asymptotic multi-scale expansion, non-linear effects in propagation of internal waves are studied with allowance for turbulent viscosity and diffusion. The wave attenuation decrement and boundary-layer solutions near the bottom and the free surface are defined. The wave-induced mean current is of the second order infinitesimal in the wave steepness expansion. The coefficients of the Schrödinger non-linear equation for the wavepacket envelope are obtained. It is shown that within the long-wave limit a weak-nonlinear flat wave is stable to the longitudinal modulation. If the wavelenth is smaller than a certain critical value, the wave is unstable to modulation. 2009 Article Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии / А.А. Слепышев, И.С. Мартынова // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — № 5. — С. 3-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0233-7584 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105083 551.466.8 ru Морской гидрофизический журнал Морський гідрофізичний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана
spellingShingle	Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана Слепышев, А.А. Мартынова, И.С. Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии Морской гидрофизический журнал
description	В приближении Буссинеска, следуя методу асимптотических многомасштабных разложений, исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом турбулентной вязкости и диффузии. В работе определяются декремент затухания волны и погранслойные решения у дна и свободной поверхности. Среднее течение, индуцированное волной, находится во втором порядке малости по крутизне волны. Получены коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера для огибающей волнового пакета. Показано, что в длинноволновом пределе слабонелинейная плоская волна устойчива к продольной модуляции; если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива.
format	Article
author	Слепышев, А.А. Мартынова, И.С.
author_facet	Слепышев, А.А. Мартынова, И.С.
author_sort	Слепышев, А.А.
title	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
title_short	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
title_full	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
title_fullStr	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
title_full_unstemmed	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
title_sort	нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии
publisher	Морський гідрофізичний інститут НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Термогидродинамика океана
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/105083
citation_txt	Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии / А.А. Слепышев, И.С. Мартынова // Морской гидрофизический журнал. — 2009. — № 5. — С. 3-22. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Морской гидрофизический журнал
work_keys_str_mv	AT slepyševaa nelinejnyeéffektyprirasprostraneniivnutrennihvolnsučetomvliâniâturbulentnojvâzkostiidiffuzii AT martynovais nelinejnyeéffektyprirasprostraneniivnutrennihvolnsučetomvliâniâturbulentnojvâzkostiidiffuzii
first_indexed	2025-07-07T16:17:58Z
last_indexed	2025-07-07T16:17:58Z
_version_	1837005619725336576
fulltext	ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 3  А.А. Слепышев, И.С. Мартынова, 2009 Термогидродинамика океана УДК 551.466.8 А.А. Слепышев, И.С. Мартынова Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии В приближении Буссинеска, следуя методу асимптотических многомасштабных разложе- ний, исследуются нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом тур- булентной вязкости и диффузии. В работе определяются декремент затухания волны и по- гранслойные решения у дна и свободной поверхности. Среднее течение, индуцированное вол- ной, находится во втором порядке малости по крутизне волны. Получены коэффициенты не- линейного уравнения Шредингера для огибающей волнового пакета. Показано, что в длинно- волновом пределе слабонелинейная плоская волна устойчива к продольной модуляции; если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива. Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн проявляют- ся в генерации средних на масштабе волны течений [1, 2]. Физической при- чиной этого является отличие от нуля волновых напряжений вследствие за- висимости огибающей волнового пакета от пространственно-временных ко- ординат [3, 4]. Огибающая узкоспектрального пакета внутренних волн удов- летворяет нелинейному уравнению Шредингера [2]. Внутренние волны рас- пространяются преимущественно цугами – локализованными в пространстве волновыми пакетами. Физической причиной перемежаемости волнового поля является, с одной стороны, разнесенность источников и стоков энергии, с другой – модуляционная неустойчивость внутренних волн, которая приводит к сложной эволюции огибающей волнового пакета [5]. Теория нестационарных слабонелинейных пакетов внутренних волн при отсутствии турбулентной вязкости и диффузии создана в работах [1, 2]. Средние течения и неосциллирующие поправки к средней плотности, инду- цированные волной, находились во втором порядке малости по крутизне вол- ны. Погранслойные решения для поверхностных волн, как и средние течения, генерируемые волной за счет нелинейности, описаны в [6]. В настоящей ра- боте определяются средние течения, индуцированные внутренней волной, при учете турбулентной вязкости и диффузии и коэффициенты нелинейного уравнения Шредингера для огибающей, а также декремент затухания волны, погранслойные решения у дна и свободной поверхности. Делается вывод о модуляционной неустойчивости внутренних волн. Постановка задачи Рассматриваются свободные внутренние волны с учетом турбулентной вязкости и диффузии. Применяется асимптотический метод многомасштабных ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 4 разложений для исследования нелинейных эффектов при наличии стока энер- гии внутренних волн в турбулентность. В первом порядке малости по ампли- туде волны получено решение линейного приближения и дисперсионное соот- ношение для внутренних волн. Неосциллирующие поправки к средней плотно- сти и скорости течения находятся во втором порядке малости по амплитуде волны. Из условия разрешимости краевой задачи, определяющей вертикаль- ную структуру основной гармоники в третьем порядке малости по амплитуде волны, получено нелинейное эволюционное уравнение для огибающей. Примем в качестве исходных уравнений для волновых возмущений урав- нения Навье – Стокса для неоднородной жидкости и введем безразмерные переменные по следующим формулам (волнистой чертой сверху обозначены размерные физические величины): , ~ ,/ ~ ),3,1(~ 33  HgHttiHxx ii  ),()0()(~,~ 30030 xxgHuu ii   ,/~,/ ~ HgHkk   ,)0( ~ 0 gHPP  , ~ 11 KK  , ~ 33 KK  , ~ 11 MM  g H H MM 2 2 233 , ~    , где )3,1( iui – горизонтальная и вертикальная компоненты волновой скоро- сти течения соответственно; H – глубина моря; )( 30 x – средняя плотность; 3 – возвышение свободной поверхности; ii MK , – коэффициенты турбулент- ной вязкости и диффузии; )(max 31 xK , k – горизонтальное волновое чис- ло;  – частота волны. Далее получим систему уравнений гидродинамики для волновых возмущений в приближении Буссинеска с учетом коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии при реальной стратификации: , 3 1 3 3 2 2 1 1 1 1 2 2 1 11                                x u K xx u K xx P x u u t u i i  (1а) , 3 3 3 3 2 2 1 3 1 1 2 2 3 33                                 x u K xx u K xx P x u u t u i i (1б) , 3 0 3 3 3 3 2 2 1 1 1 2 2 x u x M xx M xx u t i i                                    (1в) .0   i i x u (1г) На свободной поверхности используем кинематическое и динамическое граничные условия [7] ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 5 02 3 3 3 2 23     x u KP  , (2а) 0 1 3 1 3 1 3       x u K x u K , (2б) 3 3 u t    , (2в) здесь (2а), (2б) определяют отсутствие нормальных и тангенциальных напря- жений. На дне примем условия прилипания 0)1(3 u , (3а) 0)1(1 u . (3б) Граничные условия по плотности следующие: при 33 x const),( 1  txs , (4а) при 13 x const),( 1  txb . (4б) Указанные граничные условия сводятся к виду: при 03 x 0)0( 3 0 3        i i xx     , (5а) при 13 x 0)1(  . (5б) Решение исходной системы уравнений (1) будем искать в виде асимптотиче- ского ряда    1 3 ),,,( n n n x  ,    1 3 ),,,( n n n x  , (6) где ),,( 31 txx – функция тока, которая определяет поле волновых скоростей ( 3x  – горизонтальная скорость, 1x    – вертикальная скорость);  – кру- тизна волны; ),(; 1 2 tCxt g  gC – групповая скорость в линейном приближении. Здесь  и  – медленные переменные,  – быстрая перемен- ная и фаза волны, xk  , t  . Введем дифференциальные операторы .2, 2 2 2 2 2 2               kkM z kL ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 6 Подставляя разложение (6) в исходную систему уравнений движения и при- равнивая члены при одинаковых степенях  , с точностью до 3 получим: , 2 22 3 1 2 3 33 2 1 3 1 2 3 2 2 3 1 2 3 3 2 1 2 2 1 11                                                                                    x K xx Kk x x kK x kKkkk L (7а) 01 3 02 2 3 1 3 3 2 2 1 1 1                                        k dx d x M x kMk , (7б)       ,)( , 2 2112 2 2 2 22 3 2 2 3 33 1 3 2 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2214 4 4 12 1211,1 3                     MKk x K xx M x kK x xx kK x Kk kMLLkJLC xg                                                                               (8а)   ,0 , 12 3 02 2 3 2 3 3 2 211 2 22 2 2 2 111, 21 3                                                     k xx M x MMkMkJC xg (8б)                                                                                                                                               2 1 2 2 112 2 2 2 1 3 2 2 3 3 2 3 3 12 2 2 2 1 2 1 2 22 3 2 2 1 2 2 23 11,12,21, 2 1 3 212 31 [ ] [ ,,, 333                                           kKMkKk xx kK x MkK MkKkkk MkJLkJLkJ M MCLCLL xxx gg (9а)                                                    3 2 2 3 3 2 1 3 2 2 1 3 2 2 3 3 [] xx kKk xx kK x           ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 7 ,] 2 22 3 3 2 3 33 1 2 3 2 2 1                                             x K xxx kK   .0),( , 12, 23 3 02 2 3 3 3 3 2 2 12 1 2 2 23 121, 132 3 3                                                                                                             x xg kJ k xx M x kM kMkkJC (9б) Первый порядок малости по крутизне волны. В первом порядке малости по крутизне волны волновые возмущения давления 1P , плотности 1 и функции тока 1 представим в виде   iA e11 к.c.,   iAn e11 к.c.,  iAPP e101 к.c., (10) здесь к.c. – комплексно-сопряженные слагаемые. Приведем граничные усло- вия с точностью до 1 : при 03 x 02 3 1 3 2 22 3 1 2 3 3 2 2 1 3 1 1 2 2 3 1 1            dx d kKi dx d K dx d ik dx d Kik dx d k k          , (11а) 01 2 12 3 1 2 3    kK dx d K , (11б) при 13 x 0 3 1 1  dx d  . (11в) Уравнения для )( 31 x и )( 31 xn имеют вид ,1 3 02 12 3 2 222 212 3 2 2 3 3 3 1 22 22 3 1 2 3 33 1 1 2 3 3 1 3 3 11 22 3 3 3 2 2 2 21 2        dx d k dx d k dx d k dx d M dx d Mki dx d K dx d dx d Kk dx d dx d K dx d Kkk dx d M dx d Mki                                                                                                  (12а) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 8 1 3 0 1 3 3 3 2 2 2 21 2    dx d ikn dx d M dx d Mki                   . (12б) Граничные условия для функции 1n следующие: при 03 x .0)0()0( 3 0 11  dx dk n    , (13а) при 13 x 0)1(1 n . (13б) Уравнение (12а) будем решать методом Люстерника – Вишика, разлагая 1 1, ,n  в асимптотические ряды [7, 8]:    0 0 2 2 2 0 2 1 2 0 23131 )()( i i i i i i i i i vvxx  , (14а) 0 0 2 2 2 0 2 1 2 0 2311 )( i i i i i i i i i wwxnn     , (14б) ...03 2 202201   , (14в) где )/)1((,)/)1(( 23 1 23 1  xwxv ii  – погранслойные решения в окрестности дна; )/(,)/( 23 0 23 0  xwxv ii – погранслойные решения в окрестности свобод- ной поверхности. В нулевом порядке малости по параметру 2 получим уравнение и гра- ничные условия для 10 : 010 3 02 102 3 2 22 01              dx d k dx d k ; (15а) при 03 x 00102 01 2 10 33  x k x    , (15б) при 13 x 0110 3 x . (15в) Краевая задача (15) имеет счетный набор собственных значений k , соответ- ствующих различным номерам мод при фиксированном 01 . Подставляя разложение (14а) в уравнение (12а), получим с точностью до 0 2 уравнение для )( 1 0 v ) 1 ( 2 3   x  : ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 9 2 012 1 0 2 01334 1 0 4 6 1 0 6 33 )(             v MKi vv MK . (16) Решение уравнения (16): )exp()exp( 2 1 01 1 0 1 0   GDv , где )1( )1(2 3 01 1 i M      , )1( )1(2 3 01 2 i K      , (17) 21 13101 0 3 \|/      xx D , 1 0 1 0 DG  . Найдем погранслойные решения 0 0v в разложении (14а), чтобы удовле- творить граничным условиям (11а), (11б) в окрестности свободной поверхно- сти. Подставляя разложение (14а) в уравнение (12а), получим с точностью до 0 2~  уравнение для ),(0 0 v )( 2 3   x  : 2 0 0 2 2 0133014 0 0 4 6 0 0 6 33 )(            v MKi vv MK . (18) Решение уравнения (18): )exp()exp()( 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0  FCv  , где     0 0 30 23 0 201 130 1301 0 1 0 0 )()( FiKiKC    , (19а) ))()(( \|/)0( 20 1 20 23 0 2 310 2 310 2 10 0 3       K dxdKkK F x , (19б)    30 23 0 201 130 1301 0 1 )()(  iKiK   , (19в) 0 2 0 1 , определяются по формулам (17), только функции 33, MK берутся в точке 03 x . Уравнение следующего приближения в (12а) для 11 получается после подстановки разложений (14а), (14в) в (12а) и приравнивания членов 2~  : 3 0 10 2 01 02 11 2 3 0 112 3 2 22 01 2 dx d kk dx d dx d k                  , (20) граничные условия для 11 : ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 10 при 03 x 0 311 01 11 01  x k k     , (21а) при 13 x .011  (21б) Условием разрешимости полуоднородной краевой задачи (20), (21) является ортогональность правой части собственной функции однородной краевой задачи для 10 . Ввиду того что правая часть уравнения (20) при 002  не ортогональна 10 , краевая задача (20), (21) не разрешима и функция 11 не определена, так же как и не определена поправка к частоте 02 . Рассмотрим уравнение для 12 , полученное из уравнения (12а) после подстановки разло- жений (14а), (14в) и приравнивания членов 2 2~  : . 2 12 3 10 2 310 3 1 3 102 13 3 10 3 3 3 0101102 3 2 2 2 3 2 3 2 10312 2 3 0 122 3 2 22 01 F dx d kKkKki dx d kK dx d K dx d i dx d k dx d iMkiMk dx d dx d k                                                               (22а) Граничные условия для 12 следуют из (11а), (11в) после подстановки разло- жений (14а), (14в) во втором порядке малости по параметру 2 : 012122 01 2 12 33  xx k    , 0112 3 x , где                            k x K x K xk K x k ik 3 10 32 3 10 2 3 3 1 3 10 01 12 2 1    . (22б) Условие разрешимости краевой задачи (22) имеет вид [9] )0(1012310 0 1 1    dxF . (23) Из условия (23) следует выражение для 03 : ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 11 )].0(\|])0(2))(( 1 )0([ )]())(( ))(()()))(( ([[ )0()0( 2 2 100 3 10 32 3 10 2 33 3 1 3 10 01 3102 3 10 2 32 3 2 3 10 31 3 2 2 3 10 33 3 1031 4 102 3 2 2 3 3 3 0 1 1 2 01 1 0 1 01 10 3 10 01 32 10 2 3 0 03 3                                 x dx d kK dx d xK dx d k K dx d k k dx dx d K dx d dx d xK dx d k k dx d xK dx d xKk dx d k dx d M dx d Mki dx ddx k dx d (24) Второй порядок малости по крутизне волны. Решения уравнений второго порядка малости по параметру  – крутизне волны будем искать в виде .ê.c),,(e),(e),( 334 2 322  xCxAxA ii   , (25а) ..ê),,(e),(e),( 334 2 322 cxRxAnxAn ii    (25б) Из граничных условий (2), (3) с точностью до членов 2 ~  получим краевые условия для 22 , n : ,0\|16 4224 0 3 2 01 22 232 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 22 2 2 2 3 10 2 10 2 2 3 10 3 2 01012 2 3                                              x x ikK x K x x KkA x ikA x ik x iik           (26а) 04 021 2 2 3 2 2 3 3    xKk x K   , (26б) 0121 3 2 33     xx x   . (26в) Граничные условия для 2n : ,0\| 01 2 3 0 1 3 2 2 2 3 0 3 1 12 2 2 2 3 1 1 3 0 2 3                   xA dx d dx dk A dx d dx dk kA dx dk dx dk n              012 3 xn . Уравнение второго приближения для 2 имеет вид ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 12 . 4222 42 164242 3 1 2 3 2 2 1 22 12 3 2 2 3 1 3 3 3 2 2 2 21 22 3 1 1 3 1 12 3 02 3 2 2 2 3 33 2 1 2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 2 221 4 22 3 2 2 3 3 3 2 2 2 21 2                                                                                                                                                          dx d x kkiAA x k dx d ki x M x MkiA dx dn dx d n x k x K xx Kk xx ikK x Kk x ki x M x Mki             (27а) Функция 2n удовлетворяет уравнению 2 3 1 1 3 1 12 3 0 2 3 3 3 2 2 2 21 2 242 A dx dn dx d nki dx d ikn x M x Mki                                    . (27б) Решение уравнений (27а), (27б), следуя асимптотическому методу Люстер- ника – Вишика, будем искать в виде ...21 2 2202   , (28а) ...21 2 2202  nnn  . (28б) Из (27а) найдем уравнение для 20 : .2 2444 3 10 2 3 2 2 10 22 102 3 2 2 3 10 01 2 3 10 10 3 10 10 2 20 3 02 202 3 2 22 01                                               dx d dx d kkAA dx d k dx d k A dx dn dx d nk dx d k x k          (29) Представляя 20 в виде 2 320120 )( Ax  , из (27а) получим обыкновенное дифференциальное уравнение для )( 3201 x (30), а из граничных условий (26) с точностью до 0 2~  – краевые условия для этой функции: ;2 2444 3 10 2 3 2 2 10102 3 2 2 3 10 01 3 10 10 3 10 10 2 201 3 02 2012 3 2 22 01                                             dx d dx d kk dx d k dx d k dx dn dx d nk dx d k dx d k          (30) при 03 x ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 13 02244 2 3 10 2 1001 2 3 10 01 3 2012 01201 2          dx d k dx d k dx d k       , (31а) при 13 x .0201 3 201   dx d (31б) Из (27б) получим 2 3 10 10 3 10 10 01 20 3 0 01 20 2 A dx dn dx d n k dx dk n                , (32) где 10 3 0 01 10    dx dk n  . Подставляя (25а), (25б) в (8а), (8б) и собирая слагаемые, пропорциональные ie , получим уравнения для 44 , n : ,22 2 2 2 3 1 1 3 2 2 3 1 3 3 2 211 3 14112 3 2 22 22 3 4 2 3 3 3 4 1 2 33 4 3 3 2 2 2 241 4 42 3 2 2            A dx d ikK dx d A dx d K dx d AKik AnkinAkA x kC x K x x Kk xx ikK x Kk x ki g                                                                                (33а) .)( 2 14 3 0 2 21114 3 3 3 2 2 2 21 2      Aki dx d AMiknAnCn x M x Mki g                        (33б) Граничные условия для 4 : при 03 x ,02 3 4 3 22 2 2 3 4 2 3 3 2 2 3 4 1 22 2 3 4 4 2                                 x Kki x K xx Kk x iik         (34а) 0 2 3 4 2 341 2     x KKk   , (34б) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 14 при 13 x 0 3 4 4     x   . (34в) Граничные условия для 4n : при 03 x 0 3 0 44  dx dk n    , (34г) при 13 x 0)1(4 n . (34д) Решение уравнений (33а), (33б) будем искать в виде ),(),( 34043404 xnAnxA   где функции )( 340 x , )( 340 xn удовлетворяют следующим уравнениям:  ,22 2 3 1 1 3 2 2 3 1 3 3 2 211 3 140112 3 2 22 22 3 40 2 3 33 40 1 2 33 40 3 3 2 2 2 2401 4 402 3 2 2                                                                                 dx d ikK xdx d K x Kik nkink x kC x K xx Kk xx ikK x Kk x ki g         (35) )(2 140 3 02 211140 3 3 3 2 2 2 21 2                          ki dx d MiknnCn x M x Mki g . (36) Граничные условия для 40 : при 03 x ,02 3 40 3 22 2 2 3 1 2 3 3 2 2 3 40 1 22 2 3 40 40 2                                 x Kki x K xx Kk x iik         (37а) 0 2 3 40 2 3401 2     x KKk   , (37б) при 13 x ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 15 0 3 40 40     x   . (37в) Граничные условия для 40n : при 03 x 0 3 0 4040  dx dk n    , (38а) при 13 x 0)1(40 n . (38б) Уравнения для неосциллирующих поправок к функции тока ),,( 3xÑ  и к возмущениям плотности ),,( 3xR  получаются после подстановки (25а), (25б) в (8а), (8б) и осреднения по периоду волны:                                             11112 3 2 2 3 2 3 2 32 3 2 2 2 .ê.ñ AA x k x ki x Ñ K x  , (39а)                         1111 33 3 3 2 2 ê.c. AAn x ki x R M x  , (39б) где )2exp( 0311   AAAA . Из (39) следует, что функции ),,( 3xÑ  и ),,( 3xR  необходимо искать в виде * 1133 )(),,( AAxcxÑ  ,   1133 )(),,( AAxrxR  , причем )( 3xc и )( 3xr удовлетворяют уравнениям                                112 3 2 2 3 2 3 2 32 3 2 2 2  x k dx d ki x c K dx d к.с., (40а)           11 33 3 3 2 2  n dx d ki dx dr M dx d к.с. (40б) Эти уравнения следует дополнить граничными условиями, вытекающими из (2), (3): при 03 x            2 3 1 2 * 12 3 2 3 3 2 2 dx d ki x c K dx d   к.с., (41а) 0 2 3 2  dx cd , (41б) при 13 x ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 16 0 3  c dx dc . (41в) Граничные условия для функции )( 3xr : при 03 x 0222 1 3 0 1 3 2 2 1 3 0 2 2 3 1 1 3 1 1 3 0                dx d dx dk dx dk dx d c k dx d Cdx d r g             , (42а) при 13 x 0)1( r . (42б) Подставляя разложение (14) для функций )(),( 3131 xnx в уравнения (40а), (40б) и граничные условия (41), получим уравнения и граничные условия для решений 00 , rc в основной толще жидкости: ,1202 3 2 2 3 10102 3 2 2 3 1202 3 0 2 32 3 2                                                  x k dx d x k dx d x c K dx d (43а)  1201012010 33 0 3 3 2 nn dx d k dx dr M dx d          , (43б) здесь i n n i 12 120 12 120 ,    – действительные функции. Граничные условия для )( 30 xñ : при 03 x            2 3 0 2 3 3 2 3 120 2 102 3 10 2 120 22 x c K dx d dx d k dx d k     , (44а) 0 2 3 0 2    x c , (44б) при 13 x 00 3 0    c x c . (44в) Горизонтальная компонента средней скорости индуцированного течения определяется по формуле   . 3 2 1èíä dx dc ÀU  (45) Граничные условия для функции r0(x3): при 03 x ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 17 0222 1 3 0 10 3 2 01 2 10 3 0 2 01 2 3 10 10 013 10 10 3 0 0                dx d dx dk dx dk dx d c k dx d Cdx d r g             , (46а) при 13 x 0)1(0 r . (46б) Третий порядок малости по крутизне волны. Решение уравнений (9а), (9б) в третьем порядке малости по параметру  будем искать в виде ),,( ~ .ê.ceee 3 3 33 2 32313 xCiii    , (47а) ),,( ~ .ê.ceee 3 3 33 2 32313 xRnnn iii    , (47б) где ),,( ~ ),,,( ~ 33 xRxC  – неосциллирующие поправки к функции тока и средней плотности. Подставляя (47) в (9а), (9б) и собирая слагаемые, пропор- циональные ie , получим уравнение для 31 . Решая последнее методом Люстерника – Вишика и используя разложение ...2 31 2 2 0 3131   , получим уравнение для 0 31 :              1 2 131211 0 31 2 3 00 312 3 2 22 01 AAsAsAsk dx d x k    . (48) Из граничных условий (2), (3) в третьем порядке малости по  , собирая сла- гаемые, пропорциональные ie , найдем краевые условия для 0 31 с точностью до 0 2 : при 03 x 132 01 2 0 31 3 0 31        k x ,  1 2 11313 AA , (49а) , 1 2 0 2 01 102 3 20 2 012 3 10 2 2001 3 10 3 20 01 3 10 2 3 10 20 01 3 3 10 01 3 13 3            x g dx d k dx d k dx d dx d k dx dc C k dx dk dx dck               (49б) при 13 x 01 0 31 3 x . (49в) Условие разрешимости краевой задачи (48), (49а), (49в) имеет вид   )0(1013310 0 1 1 2 131211     dxAAsAsAs , (50) где 321 ,, sss определяются по формулам ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 18 102 3 2 2 01101           dx d kiikns , (51а) , 2 400110 2 0140 2 01 1001402 3 2 2 0140 3 0 402 niik Ck dx d kCi dx d iknikCs ggg               (51б) .422 42 3 10 202 3 2 2 102 3 2 2 3 20 3 3 3 10 3 102 3 2 2 3 20 102 3 2 2 01 202 3 2 2 3 10 3 20 10 3 10 20 2 3 20* 1 2 3 dx d dx d kik dx d k dx d k dx cd k dx dc dx d kk dx d dx d kk dx d k dx d ki dx dn dx d nk dx d nks                                                                                        (51в) Из (50) следует эволюционное уравнение для огибающей 01 2 14111   AAAA   , (52) где     0 1 3101 0 1 3102 1 dxs dxs    ,     0 1 3101 0 1 3103 2 dxs dxs    , (53)    0 1 3101 1013 3 )0( dxs    , 324   . Коэффициенты 41,  – чисто мнимые. С помощью замены i q 12  , i T 4 уравнение (52) сводится к нелинейному уравнению Шредингера 0 2 2 2 2       AAiT Aq i A  . (54) Это уравнение имеет частное решение – огибающую слабонелинейной пло- ской волны )exp( 2 00 AiTA  , которая при 0Tq неустойчива к продольной модуляции в силу критерия Лайтхилла [10]. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 19 Р и с. 1. Средний профиль частоты Брента – Вяйсяля при H = 78 м (штриховая) и H = = 300 м (сплошная) Р и с. 2. Вертикальное распределение средней скорости индуцированного течения при 78H м (штриховая) и H = 300м (сплошная) Результаты расчетов Сделаем расчет индуцированных течений в северо-западной части Чер- ного моря при стратификации, показанной на рис. 1. Краевые задачи (15), (22) решались численно по неявной схеме Адамса третьего порядка точности. У внутренних волн низшей моды с периодом 1 ч при глубине 78 м 31088,6 k м 1 , декремент затухания волны i/03  равен 71055,5  рад/с; если глубина составляет 300 м, то 31035,2 k м 1 , 71001,1  рад/с. При решении краевой задачи (22) находилось единст- венное решение, ортогональное 10 при следующих коэффициентах турбу- лентного обмена: 2 1 10K м 2 /с, 6 3 108 K м 2 /с, 006,01 M м 2 /с, 6 3 105 M м 2 /с. Решение краевой задачи (43а), (44) по определению верти- кальной структуры индуцированного течения находилось путем интегриро- вания уравнения (43а), интегралы вычислялись численно. Горизонтальная компонента средней скорости индуцированного течения определялась по формуле (45). Величина 1A находилась по известной величине максималь- ной амплитуды вертикальных смещений. Действительно, если функция тока 1 линейного приближения определяется по формуле (10), то можно найти вертикальное смещение 3 , используя соотношение 3 3 u dt d   : ê.c.)exp(110 01 3  tiikxA k    Отсюда следует, что 01 10 3 1 max2 max     k A  . ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 20 На рис. 2 показаны вертикальные профили среднего течения, индуци- рованного внутренней волной низшей моды периодом 1 ч при максимальной амплитуде вертикальных смещений 0,5 м. С возрастанием глубины скорость индуцированного течения при неизменных коэффициентах турбулентного обмена и амплитуде волны уменьшается. Сделаем аналогичный расчет для 40- и 20-минутных внутренних волн низшей моды при тех же коэффициентах турбулентной вязкости и диффузии при стратификации, соответствующей глубине 300 м (рис. 1). У 40-минутных внутренних волн 31059,3 k м 1 , 71064,1  рад/с, у 20-минутных k = 7,95 · 10 -3 м 1 , 71088,5  рад/с. Получим картину индуцированных течений при той же максимальной амплитуде волны (рис. 3). С уменьшением периода волны скорость индуцированного за счет нелинейности среднего течения возрастает. Для исследования модуляцион- ной неустойчивости внутренних волн делался расчет коэффициентов нели- нейного уравнения Шредингера при стратификации, соответствующей глу- бине 78 м (рис. 1). Р и с. 3. Вертикальное распределение средней скорости индуцированного течения для 20- минутных (штриховая) и 40-минутных (сплошная) внутренних волн низшей моды ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 21 Зависимость коэффициентов Tq, от волнового числа k показана на рис. 4, 5. Величина произведения qT  положительна в длинноволновом пре- деле, при 018,0k м 1 происходит смена знака qT  , при 018,0k м 1 име- ет место модуляционная неустойчивость. Выводы 1. Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн прояв- ляются в генерации средних на временном масштабе волны течений, пропор- циональных квадрату текущей амплитуды волны. 2. С увеличением частоты волны скорость индуцированного течения при фиксированной максимальной амплитуде вертикальных смещений уве- личивается. 3. С уменьшением глубины скорость индуцированного течения при фиксированной максимальной амплитуде вертикальных смещений и частоте волны возрастает. 4. Огибающая волнового пакета удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера. Показано, что слабонелинейная плоская волна в длинноволно- вом пределе устойчива к продольной модуляции. Если длина волны меньше некоторого критического значения, то волна модуляционно неустойчива. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Борисенко Ю.Д. , Воронович А.Г. , Леонов А.И. , Миропольский Ю.З. К теории неста- ционарных слабонелинейных внутренних волн в стратифицированной жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. – 1976. – 12, № 3. – C. 293 – 301. 2. Grimshow R. The modulation of an internal gravity wave packet and the resonance with the mean motion // Stud. Appl. Math. – 1977. – 56. – P. 241 – 266. Р и с. 4. Зависимость коэффициента q от волнового числа Р и с. 5. Зависимость коэффициента не- линейного самовоздействия T от волново- го числа ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2009, № 5 22 3. Езерский А.Б., Островский Л.А., Степанянц Ю.А. Индуцированные течения и их вклад в энергию волновых движений жидкости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океа- на. – 1982. – 17, №11. – С. 1201 – 1208. 4. Езерский А.Б., Папко В.В. Лабораторное исследование потенциальных течений, инду- цированных пакетом поверхностных волн // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океа- на. – 22, № 9 – 1986. – С.979 – 986. 5. Юэн Г., Лэйк Б. Теория нелинейных волн в приложении к волнам на глубокой воде // Солитоны в действии. – М.: Мир, 1981. – С. 108 – 131. 6. Дворянинов Г.С. Эффекты волн в пограничных слоях атмосферы и океана. – Киев: На- ук. думка, 1982. – 176 с. 7. Черкесов Л.В. Гидродинамика волн. – Киев: Наук. думка, 1980. – 259 с. 8. Задорожный А.И. Затухание длинных волн в экспоненциально стратифицированном море // Морские гидрофизические исследования. –1975. – №3. – С 96 – 110. 9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1971. – 576 с. 10. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних волн в океане. – Л.: Гидрометеоиздат,1981. – 216 с. Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил Севастополь в редакцию 13.03.08 Филиал МГУ им. М.В. Ломоносова После доработки 14.04.08 в Севастополе ABSTRACT In the Boussinesque approximation and following the method of asymptotic multi-scale expansion, non-linear effects in propagation of internal waves are studied with allowance for turbu- lent viscosity and diffusion. The wave attenuation decrement and boundary-layer solutions near the bottom and the free surface are defined. The wave-induced mean current is of the second order infini- tesimal in the wave steepness expansion. The coefficients of the Schrödinger non-linear equation for the wavepacket envelope are obtained. It is shown that within the long-wave limit a weak-nonlinear flat wave is stable to the longitudinal modulation. If the wavelenth is smaller than a certain critical value, the wave is unstable to modulation.

Нелинейные эффекты при распространении внутренних волн с учетом влияния турбулентной вязкости и диффузии

Institution

Similar Items