Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты

Предмет и цель работы: Рассматривается задача о дифракции E-поляризованной электромагнитной волны на бесконечной периодической ленточной решетке с отсутствующей одной лентой....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Калиберда, М.Е., Литвиненко, Л.Н., Погарский, С.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2016
Schriftenreihe:	Радиофизика и радиоастрономия
Schlagworte:	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106486
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты / М.Е. Калиберда, Л.Н. Литвиненко, С.А. Погарский // Радиофизика и радиоастрономия. — 2016. — Т. 21, № 3. — С. 189-197. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-106486
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1064862016-09-30T03:02:39Z Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты Калиберда, М.Е. Литвиненко, Л.Н. Погарский, С.А. Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Предмет и цель работы: Рассматривается задача о дифракции E-поляризованной электромагнитной волны на бесконечной периодической ленточной решетке с отсутствующей одной лентой. Предмет і мета роботи: Розглянуто задачу про дифракцію E-поляризованої електромагнітної хвилі на нескінченній стрічковій решітці з відсутньою однією стрічкою. Purpose: The E-polarized wave diffraction by an infinite periodic strip grating without a single strip is considered. 2016 Article Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты / М.Е. Калиберда, Л.Н. Литвиненко, С.А. Погарский // Радиофизика и радиоастрономия. — 2016. — Т. 21, № 3. — С. 189-197. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1027-9636 PACS number: 41.20.Jb http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106486 537.874.6 ru Радиофизика и радиоастрономия Радіоастрономічний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн
spellingShingle	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн Калиберда, М.Е. Литвиненко, Л.Н. Погарский, С.А. Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты Радиофизика и радиоастрономия
description	Предмет и цель работы: Рассматривается задача о дифракции E-поляризованной электромагнитной волны на бесконечной периодической ленточной решетке с отсутствующей одной лентой.
format	Article
author	Калиберда, М.Е. Литвиненко, Л.Н. Погарский, С.А.
author_facet	Калиберда, М.Е. Литвиненко, Л.Н. Погарский, С.А.
author_sort	Калиберда, М.Е.
title	Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты
title_short	Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты
title_full	Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты
title_fullStr	Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты
title_full_unstemmed	Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты
title_sort	дифракция е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Распространение, дифракция и рассеяние электромагнитных волн
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/106486
citation_txt	Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты / М.Е. Калиберда, Л.Н. Литвиненко, С.А. Погарский // Радиофизика и радиоастрономия. — 2016. — Т. 21, № 3. — С. 189-197. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Радиофизика и радиоастрономия
work_keys_str_mv	AT kaliberdame difrakciâepolârizovannojvolnynabeskonečnojperiodičeskojlentočnojrešetkevotsutstvieodnojlenty AT litvinenkoln difrakciâepolârizovannojvolnynabeskonečnojperiodičeskojlentočnojrešetkevotsutstvieodnojlenty AT pogarskijsa difrakciâepolârizovannojvolnynabeskonečnojperiodičeskojlentočnojrešetkevotsutstvieodnojlenty
first_indexed	2025-07-07T18:33:04Z
last_indexed	2025-07-07T18:33:04Z
_version_	1837014121474686976
fulltext	ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 21, № 3, 2016 189 Радиофизика и радиоастрономия. 2016, Т. 21, № 3, c. 189–197 © М. Е. Калиберда, Л. Н. Литвиненко, С. А. Погарский, 2016 ÐÀÑÏÐÎÑÒÐÀÍÅÍÈÅ, ÄÈÔÐÀÊÖÈß È ÐÀÑÑÅßÍÈÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÂÎËÍ М. Е. КАЛИБЕРДА 1, Л. Н. ЛИТВИНЕНКО 2, С. А. ПОГАРСКИЙ 1 1 Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61022, Украина, E-mail: KaliberdaME@yandex.ru 2 Радиоастрономический институт НАН Украины, ул. Мистецтв, 4, г. Харьков, 61002, Украина ÄÈÔÐÀÊÖÈß E-ÏÎËßÐÈÇÎÂÀÍÍÎÉ ÂÎËÍÛ ÍÀ ÁÅÑÊÎÍÅ×ÍÎÉ ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÎÉ ËÅÍÒÎ×ÍÎÉ ÐÅØÅÒÊÅ Â ÎÒÑÓÒÑÒÂÈÅ ÎÄÍÎÉ ËÅÍÒÛ Предмет и цель работы: Рассматривается задача о дифракции E-поляризованной электромагнитной волны на беско- нечной периодической ленточной решетке с отсутствующей одной лентой. Методы и методология: Полное поле ищется в виде суммы полей бесконечной периодической решетки и поля, возни- кающего за счет отсутствия одной ленты. Задача сводится к сингулярным интегральным уравнениям с дополнитель- ными условиями. Результаты: Представлены диаграммы направленности рассеянного поля и распределение поля в области над решеткой. Заключение: Предложен эффективный алгоритм исследования поля, вызванного отсутствием одной ленты. Ключевые слова: бесконечная периодическая решетка, интегральное уравнение, дифракция УДК 537.874.6 PACS number: 41.20.Jb 1. Ââåäåíèå Ленточные дифракционные решетки находят при- менение в технике СВЧ и оптике. Исследова- нию бесконечных, полубесконечных и ограничен- ных решеток посвящено большое количество работ [1–10]. При этом определенный интерес представляют решетки с нарушением периодич- ности [11]. Рассмотрим бесконечную периодическую ре- шетку, расположенную в плоскости 0,z  с от- сутствующей одной лентой с номером 0. Шири- на каждой ленты равна 2 ,d период решетки равен l. Геометрия структуры представлена на рис. 1, а. Соответствующая бесконечная решет- ка без нарушения периодичности представлена на рис. 1, б. Лента с номером 0 располагается так, что ее центр совпадает с осью Ox. Структу- ра однородна вдоль оси Ox. При решении представим выражение для плот- ности тока на каждой ленте в виде суперпозиции двух функций. Первая функция – плотность тока соответствующей бесконечной периодической ре- шетки. Вторая – ток, возникающий за счет от- Рис. 1. Геометрия исследуемой структуры: а – бесконечная решетка без одной ленты, б – соответствующая ей периоди- ческая решетка 190 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 21, № 3, 2016 М. Е. Калиберда, Л. Н. Литвиненко, С. А. Погарский сутствия одной ленты. Полное рассеянное поле запишем в виде суммы полей токов каждой лен- ты при помощи функций Ханкеля. С использова- нием интегрального представления функции Хан- келя поле, возникающее за счет отсутствия одной ленты, выразим через неизвестную спектральную функцию. Из граничных условий для уравнений Максвелла нетрудно получить парные интеграль- ные уравнения относительно неизвестной спект- ральной функции. В правой части уравнений стоит слагаемое, зависящее от поля, рассеянного бес- конечной периодической решеткой. Это поле най- дено из парных сумматорных уравнений относи- тельно амплитуд Фурье плотности тока на каж- дой ленте бесконечной периодической решетки. Парные сумматорные уравнения и парные ин- тегральные уравнения сведены к сингулярным интегральным уравнениям с дополнительными условиями, численное решение которых получе- но методом дискретных особенностей. Будем предполагать, что на решетку падает плоская E-поляризованная электромагнитная вол- на из области 0z  под углом 0 к оси Oy:  0 0( , ) exp ( ) ,i xE y z ik y z    (1) где 2 sin ,n n kl      2 2 1 sin ,n n kl           0, 1, 2 ...,n    Re 0,n  Im 0,n  02 ,    k – волновое число. Зависимость полей от времени примем в виде exp( ),i t   – круговая частота. 2. Áåñêîíå÷íàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ðåøåòêà Рассмотрим бесконечную периодическую решет- ку (рис. 1, б), на которую падает плоская волна (1). Отраженное и прошедшее поля в областях 0,z  0z  представим в виде рядов Фурье с неизвест- ными амплитудами:  , ( , ) exp ( ) , 0,r x n n n n E y z a ik y z z          , ( , ) ( , ) exp ( ) , 0. t i x x n n n n E y z E y z a ik y z z           Обозначим exp( )n nb a i n  при 0n  и 0b  0 1.a  Появление множителя exp( )i n связно с введением локальной системы координат, нача- ло которой совпадает с центром щели. Ампли- туды nb могут быть найдены из парных сумма- торных уравнений, записанных для одного перио- да 2 :y l  2 exp 0, 2n n n b i y y l d l            (на ленте), (2) 0 2 exp , 2n n n n b i y y l d l              (на щели), (3) где y – локальная координата, связанная с цент- ром щели, 2.y y l   Следуя идеям работы [10], сведем пар- ные сумматорные уравнения к сингулярному интегральному уравнению с дополнительны- ми условиями. Введем безразмерные величи- ны (2 ),kl   2 ( 2 ) ,l d l    2 y l   и функции ( ) exp( ),n n U b in      ( ) ( ) exp( ).n n F U inb in        (4) Из уравнения (2) следует, что ( ) 0,U      и ( ) 0, .F      (5) Амплитуды na выражаются через функцию ( )F  при помощи преобразования Фурье с учетом (5) следующим образом: 1 ( )exp( )d , 0, 2 nb F in n in           (6) 0 1 ( )d . 2 b F          (7) Введем оператор Гильберта, действующий на произвольную функцию ( )G  по формуле 2 1 (P )( ) v.p. ctg ( )d , 2 2 G G            (8) ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 21, № 3, 2016 191 Дифракция E-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты причем  2P exp( ) ( ) sgn( )exp( ).in i n in     Обо- значение v.p. означает, что интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Представим уравнение (3) в следующем виде: 0 0 0 \| \| exp( )n n n n b i b in          0 0 \| \| exp( ) , .n n n n n i b in                   (9) Применяя ко второму слагаемому в (9) опера- тор Гильберта (8) и выражение (4), а к первому и третьему слагаемому – выражения (6), (7), с учетом (5) получаем сингулярное интегральное уравнение 0 1 ( ) 1 v.p. d ( , ) ( )d , . F K F i                      (10) Ядро ( , )K   имеет вид   0 exp ( )\| \| ( , ) 2 n n n ini n K n                   0 1 1 ctg . 2 2 2 i                      Из уравнения (2) следует дополнительное ус- ловие 1 ( )d 0.F        Скорость сходимости ряда в выражении для ядра ( , )K   можно увеличить по методу Крылова, используя асимптотику n при .n  Заметим, что уравнение (3) получено с учетом того, что плотность токов вне лент равна нулю, а уравнение (10) есть прямое следствие уравне- ния (3). Тогда принимая во внимание, что 0 1 ,x y E H i z     получим , exp( sin ) ( ,0)r y iky H y i Z      0 1 ( ) 1 v.p. d ( , ) ( )d , F K F i                        где 0 – магнитная проницаемость вакуума, Z – волновое сопротивление вакуума, 2 .y l   3. Áåñêîíå÷íàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ðåøåòêà ñ îòñóòñòâóþùåé îäíîé ëåíòîé Рассмотрим бесконечную периодическую ре- шетку с отсутствующей лентой с номером 0 (см. рис. 1, а). Представим отраженное решеткой поле в об- ласти 0z  в виде суммы полей токов, текущих по каждой ленте, а поле каждой ленты в отдель- ности представим в виде суммы полей , ,0 ( , )r xE y z и , ( , ),r c xE y z индуцированных соответственно то- ком бесконечной периодической решетки, за ис- ключением тока ленты с номером 0, и током, возникающим за счет отсутствия одной ленты: , ,0 ,( , ) ( , ) ( , ).r r r c x x xE y z E y z E y z  (11) Поля , ,0 ( , )r xE y z и , ( , )r c xE y z представим в виде потенциалов простого слоя с некоторой плот- ностью: , ,0 (1)0 0 0 ( , ) ( ) 4 d r x m m d m i E y z J y lm H             2 2( ) d ,k y y lm z y     , (1)0 0 0 ( , ) ( ) 4 d r c x m m d m i E y z J y lm H           2 2( ) d .k y y lm z y     (12) Здесь ( ),mJ y lm   ( )mJ y lm  представляют со- бой с точностью до константы плотности поверх- ностного тока для бесконечной периодичес- кой решетки и тока, возникшего за счет отсутст- вия одной ленты, текущих по ленте с номером m; (1) 0 ( )H x – функция Ханкеля первого рода. Суммирование производится по всем лентам, , ..., ,m    за исключением отсутствующей 192 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 21, № 3, 2016 М. Е. Калиберда, Л. Н. Литвиненко, С. А. Погарский ленты с номером 0, 0.m  Функция ( )mJ y выра- жается через поле , ( ,0)r yH y по формуле ,2 ˆ( ,0), , ( ) ˆ0, , r y m m m H y y d J y i y d         где ˆ ,my y ml  1, 2, ...m    – локальная коор- дината, связанная с центром m-й ленты. Представим плотность поверхностного тока на лентах ( )mJ y при помощи интеграла Фурье: 0 ˆ( ), ,2 ( ) ( )exp( )d ˆ0, . m m m m J y y dk c ik y y di               Функции ( ),mc  0,m  подлежат определению. Введем спектральную функцию рассеянного поля по формуле 0 ( ) ( ).m m m c c       Тогда, используя интегральное представление функции Ханкеля, поле (12) можно записать в виде  , ( , ) ( )exp ( ( ) ) d , 0,r c xE y z c ik y z z           где 2( ) 1 ,    Re 0,  Im 0.  Обозначим следы лент на плоскости yOz как 0 ( ; ). m m L d lm d lm        Для определения функ- ции ( )c  могут быть получены следующие пар- ные интегральные уравнения: ( ) ( )exp( )d 0, ,c ik y y L          (13) ( )exp( )dc ik y        , ,0( ,0) ( ,0) ( ), .i r x xE y E y g y y L     (14) Уравнение (13) следует из условия, что вне лент плотность поверхностных токов равна нулю. Урав- нение (14) представляет собой условие того, что касательная компонента электрического поля на металле обращается в ноль. Преобразуем правую часть уравнения (14). Представим поле , ,0 ( ,0)r xE y в виде разности полей токов, текущих по лентам бесконечной периодической решетки и по ленте с номером 0: , ,0 , ,0( , ) ( , ) ( , ),r r r x x xE y z E y z E y z   (15) ,0 0( , ) 4 r x i E y z     , (1) 2 2 0 2 ( ,0) ( ) d . d r y d H y H k y y lm z y i         Умножим равенство (3) слева и справа на exp( sin ).iky  Тогда справа будет стоять ( ,0),i xE y а слева – , ( ,0).r xE y Так как равенство (3) выполняется для всех ,y L то , ( ,0)r xE y  ( ,0),i xE y .y L Учитывая (15), окончательно получаем 0( ) 2 g y     , (1) 2 0( ,0) ( ) d . d r y d H y H k y y y      Заметим, что так как в (14) ,y d подынтеграль- ная функция не содержит особенностей на отрез- ке интегрирования. При удалении от места, где отсутствует лента, токи на проводниках стремятся к токам для бесконечной периодической решетки. При дос- таточно больших значениях y функция ( )g y асимптотически представляет цилиндрическую волну, амплитуда которой убывает при .y  Поле токов, наведенных на лентах решетки полем ( ),g y также будет асимптотически пред- ставлять цилиндрические волны, амплитуда которых убывает при .y  Таким обра- зом, , ( ,0) 0r c xE y  при .y  Тогда при ре- шении парных интегральных уравнений (13), (14) возможно будет заменить множество L ограни- ченным множеством 0 ( ; ), N N m N m L d lm d lm       2N – число лент.. Для сведения парных интегральных уравнений (13), (14) к сингулярному интегральному уравне- ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 21, № 3, 2016 193 Дифракция E-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты нию с дополнительными условиями сделаем за- мену ( ) ( ) ( )u c     и введем функцию [9] ( ) ( )exp( )d .F y u iky       (16) Из уравнения (13) следует, что ( ) 0F y  при .y L Тогда ( ) ( )exp( )d . 2 L k u F y iky y      (17) Введем оператор Гильберта на всей оси, действую- щий на произвольную функцию ( )G  по формуле 1 ( ) (P )( ) v.p. d , G G y y          (18) причем  P exp( ) ( ) sgn( )exp( ).ik y i nk ik y    Продифференцируем уравнение (14) по y и представим его в виде ( )exp( )d k u iky k         1 ( )exp( ) d ( ), . ( ) u iky i i g y y L k                   Применим к первому слагаемому оператор Гиль- берта (18) и выражение (16), а ко второму – выра- жение (17), получим сингулярное интегральное уравнение вида (10): 1 ( ) 1 v.p. d ( , ) ( )d ( ), . L L F i K y F g y y L y k             (19) Подставим в уравнение (14) выражение (17). Учитывая то, что ( ) 0F y  при ,y L получим дополнительные условия: 1 ( ) ( , )d ( ), 1, 2, ...,m m L F Q y g y m         (20) где my – произвольная точка интервала ( ; ).d lm d lm   Ядра уравнения имеют вид:     0 sin ( ) ( , ) ( ) d , k y K y k i               0 cos ( ) ( , ) d . ( ) k y Q y k          Скорость сходимости ядер ( , )K y  и ( , )Q y  мож-ж- но увеличить по методу Крылова, используя из- вестное представление интегралов 0 sin d n     и 0 cos d n     в виде рядов [12]. Для численного решения уравнений (19), (20) применялся метод дискретных особенностей [8], [9]. При применении метода для дискрети- зации уравнений используются квадратурные формулы. В качестве узлов выбираются нули по- линома Чебышева первого рода в количестве M на каждой ленте. Значения переменной y выби- рается из множества нулей полиномов Чебыше- ва второго рода в количестве 1M  на каждой ленте. В результате сингулярное интегральное уравнение с дополнительными условиями (19), (20) заменяется системой линейных алгебраичес- ких уравнений относительно значений функции ( )F  в узлах. 4. Ïîëå â äàëüíåé çîíå Представим выражение (11) с учетом (15) в виде , , ,0( , ) ( , ) ( , ) ( , ).r r r c r x x x xE y z E y z E y z E y z   Первое слагаемое представляет собой мно- жество плоских волн и не убывает при ,k 2 2 .y z   Слагаемые , ( , )r c xE y z и ,0 ( , ),r xE y z используя представление для типичного дифрак- ционного интеграла [13] при ,k можно за- писать в виде:  , 2 ( , ) ~ ( )exp ( 4) ,r c xE y z d i k k       ,0 0 2 ( , ) ~ ( )exp ( 4) ,r xE y z d i k k       ( ) cos( ) ,d u    , 0 ( ) ( ,0)exp cos( ) d , 2 (0; ), d r y d Z d H y ik y y           194 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 21, № 3, 2016 М. Е. Калиберда, Л. Н. Литвиненко, С. А. Погарский  и  – координаты полярной системы коор- динат. Функция ( )d  представляет собой диаг- рамму направленности поля, возникшего за счет отсутствия одной ленты. 5. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû Заменим в уравнениях (19), (20) множество L огра- ниченным множеством 0 ( ; ), N N m N m L d lm d lm       2N – число лент. Исследуем сходимость процес- са при увеличении числа N. На рис. 2 представле- ны диаграммы направленности ( )d  при различ- ном числе лент N, ,kl   4.kd   Графики нор- мируются на максимум, который достигается при 40N  в плоскости решетки, 0 .   Для каж- дой ленты выбиралось 3M  узла в квадра- турной формуле, при вычислении функции ( )g y использовалось 150 узлов. Кривые имеют ло- маный характер, с увеличением N стремятся к гладкой линии. Отличия между кривыми наб- людаются в максимумах лепестков. Кривые для 30N  и 40N  совпадают с графической точ-ч- ностью. Заметим, что выражение (14) описывает воз- буждение токов на всех лентах решетки полем тока, текущим по одиночной отброшенной ленте с номером 0, а также взаимодействие лент ре- шетки между собой, возникающее за счет отсут- ствия одиночной ленты. Таким образом, функция , ( , )r c xH y z описывает взаимодействие между собой двух решеток, расположенных в областях 0y  и 0,y  возникающее под действием поля отброшенной нулевой ленты. На рис. 3 приведены нормированные диаграм- мы направленности ( )d  для двух различных зна- чений ширины ленты и периода решетки при ортогональном падении волны, 0 0 .   Норми- ровка осуществляется на максимум при ,kl   4.kd   При одинаковом значении периода увели- чение ширины ленты приводит к увеличению макси- мумов лепестков диаграммы направленности. Для всех кривых на рис. 3 абсолютные значения функции ,0 ( , )r xE y z превосходят значения функции , ( , ).r c xE y z Для случая ,kl   4kd   выпол- няется соотношение ,0 ,max max 1.5.r r c x xE E  Рис. 3, б построен для соотношения периода и длины волны, близкого к резонансному, .l   Взаимодействие решеток, расположенных в об- ластях 0y  и 0,y  значительно более сильное,е, чем для случая, представленного на рис. 3, а, ,0 ,max max 10.r r c x xE E  Коэффициент отражения бесконечной периодической решетки при таком значении периода также мал [1]. Как и у конеч- ных периодических решеток, увеличение перио- да приводит к появлению дополнительных лепе- стков. Это связано с возбуждением высших гар- моник в периодической части структуры. При приближении к краям лент плотность тока имеет корневую особенность. Введем функции ( ),cu y ( )pu y и ( )u y на каждой ленте:    ,( ) ( ) ( ) ( ,0),r c c yu y Z y d lm d lm y H y      Рис. 2. Зависимости нормированной функции ( )d  при раз- личном числе лент N, 4,kd   ,kl   0 90 :   а – 1N  (пунктирная кривая), 10N  (сплошная кривая), 20N  (штриховая кривая); б – 30N  (сплошная кри- вая), 40N  (штриховая кривая) ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 21, № 3, 2016 195 Дифракция E-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты    ,( ) ( ) ( ) ( ,0),r p yu y Z y d lm d lm y H y        ( ) ( ) ( ) ( ,0),r yu y Z y d lm d lm y H y      где ( ; ),y d lm d lm    1, 2, ... .m    На рис. 4 представлена зависимость функции ( )cu y для различных значений периода, ширины лент и углов падения. На рис. 5 приведено рас- пределение плотности тока на лентах ( )pu y и ( )u y для ,kl   4kd   в середине лент при .y ml Функция , ( ,0)r c yH y равна плотности тока, возникшего за счет отсутствия одной лен- ты, функция , ( ,0)r yH y равна плотности тока на лентах бесконечной периодической решетки, а функция ( ,0)r yH y равна полной плотности то- ка на лентах решетки. Отметим, что в отличие от функции ( )d  разность между значения- Рис. 3. Зависимости нормированной функции ( )d  при 0 90 :   а – ,kl   4kd   (сплошная кривая), ,kl   8kd   (штриховая кривая); б – 2 ,kl   2kd   (сплошная кривая), 2 ,kl   4kd   (штриховая кривая) Рис. 4. Зависимости функции ( )cu y при 2 ,kl   2kd   (сплошная кривая), 2 ,kl   4kd   (маркеры – звездочки), ,kl   4kd   (штриховая кривая), ,kl   8kd   (пунктирная кривая), а также функ- 3 2ция ( )C ky  (штрихпунктирная кривая): а – 0 90 ;   б – 0 45   Рис. 5. Значения функций ( )pu y (сплошная кривая) и ( )u y (маркеры – звездочки) в центрах лент при ,y ml ,kl   4,kd   0 90   196 ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 21, № 3, 2016 М. Е. Калиберда, Л. Н. Литвиненко, С. А. Погарский ми ( ) ,cu y вычисленными при разных 10,N  не превосходит 0.1 %. Как и предполагалось, функция , ( ,0)r c yH y стремится к нулю при удале- нии от места, где отсутствует лента, причем  , 3 2( ,0) ~ ( )r c yH y O ky  при .ky  Для сравне- ния на рис. 4 представлена кривая 3 2( ) ,C ky  где C – константа. При нормальном падении, 0 90 ,   графики функций ( ) ,cu y ( )pu y и ( ) ,u y очевидно, симметричны относительно вертикальной оси. При падении под углом 0 45   амплитуда токов ( )cu y на лентах в области 0y  нескоолько превосходит амплитуду токов на соответствующих лентах в области 0.y  Распределение поля в области над решеткой, компонента  ,Re ( , ) ,r c xE y z для случая ,kl   4kd   и нормального падения 0 90   пред- ставлено на рис. 6. 6. Âûâîäû В работе построено строгое решение задачи диф- ракции E-поляризованной волны на бесконечной периодической решетке без одной ленты. Токи на лентах представляются в виде суммы токов беско- нечной периодической решетки и тока, вызванного отсутствием одной ленты. Определено рассеянное поле, которое индуцируется данными токами. Проведено численное исследование поля, возни- кающего из-за отсутствия одной ленты. Предложен- ный подход может быть использован при исследо- вании эффектов, обусловленных нарушением перио- дичности в периодических структурах. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 01. Шестопалов В. П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнит- ных волн. – Харьков: издательство Харьковского уни- верситета, 1971. – 400 с. 02. Шестопалов В. П., Литвиненко Л. Н., Масалов С. А., Сологуб В. Г. Дифракция волн на решетках. – Харьков: издательство Харьковского университета, 1973. – 287 с. 03. Сологуб В. Г. Об одном методе исследования задачи дифракции на конечном числе лент, расположенных в одной плоскости // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1975. – № 6. – С. 549–552. 04. Lytvynenko L. M. and Prosvirnin S. L. Wave Diffraction by Periodic Multilayer Structures. – Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2012. – 158 p. 05. Lytvynenko L. M., Kaliberda M. E., and Pogarsky S. A. Wave Diffraction by Semi-Infinite Venetian Blind Type Grating // IEEE Trans. Antennas Propag. – 2013. – Vol. 61, No. 12. – P. 6120–6127. DOI: 10.1109/TAP.2013.2281510 06. Калиберда М. Е., Литвиненко Л. Н., Погарский С. А. Дифракция H-поляризованной электромагнитной вол- ны на многоэлементной плоской полубесконечной ре- шетке // Радиофизика и радиоастрономия. – 2014. – T. 19, № 4. – С. 348–357. 07. Nepa P., Manara G., and Armogida A. EM scattering from the edge of a semi-infinite planar strip grating using ap- proximate boundary conditions // IEEE Trans. Antennas Propag. – 2005. – Vol. 53, No. 1. – P. 82–90. DOI: 10.1109/ TAP.2004.840523 08. Гандель Ю. В. Метод дискретных особенностей в за- дачах электродинамики // Вопросы кибернетики. – 1986. – Вып. 124. – С. 166–183. 09. Gandel Yu. V. Boundary-value problems for the Helmholtz equation and their discrete mathematical models // J. Math. Sci. – 2010. – Vol. 171, No. 1. – P. 74–88. DOI: 10.1007/ s10958-010-0127-3 10. Zaginaylov G. I, Gandel Y. V., Kamyshan O. P., Kamy- shan V. V., Hirata A., Thumvongskul T., and Shiozawa T. Full-wave analysis of the field distribution of natural mo- des in the rectangular waveguide grating based on singular integral equation method // IEEE Trans. Plasma Sci. – 2002. – Vol. 30, No. 3. – P. 1151–1159. DOI: 10.1109/ TPS.2002.801613 11. Замятин Е. В., Просвирнин С. Л. Дифракция электро- магнитных волн на решетке с малыми случайными флук- туациями размеров // Радиотехника и электроника. – 1985. – Т. 30, № 11. – С. 2124–2131. 12. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган: перевод с англ. под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Кармазинной. – М.: Наука, 1979. – 832 с. 13. Felsen L. B. and Marcuvits N. Radiation and Scattering of Waves. – Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1973. REFERENCES 01. SHESTOPALOV, V. P., 1971. The method of the Riemann- Hilbert problem in the theory of electromagnetic wave dif- fraction and propagation. Kharkiv: Kharkiv State Univer- sity Press (in Russian). Рис. 6. Распределение отраженного поля  ,Re ( , )r c xE y z при ,kl   4,kd   0 90   ISSN 1027-9636. Радиофизика и радиоастрономия. Т. 21, № 3, 2016 197 Дифракция E-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты 02. SHESTOPALOV, V. P., LYTVYNENKO, L. M., MASA- LOV, S. A. and SOLOGUB, V. G., 1973. Wave diffraction by gratings. Kharkiv: Kharkiv State University Press, (in Russian). 03. SOLOGUB, V. G., 1975. On some method for studying the problem of diffraction by a finite number of strips in the same plane. Dokl. AN USSR. Ser. A. no. 6, pp. 549–552 (in Russian) 04. LYTVYNENKO, L. M. and PROSVIRNIN, S. L., 2012. Wave diffraction by periodic multilayer structures. Cam- bridge: Cambridge Scientific Publishers. 05. LYTVYNENKO, L. M., KALIBERDA, M. E. and PO- GARSKY, S. A., 2013. Wave diffraction by semi-infinite venetian blind type grating. IEEE Trans. Antennas Propag. vol. 61, no. 12, pp. 6120–6127. DOI: 10.1109/ TAP.2013.2281510 06. KALIBERDA, M. E., LYTVYNENKO, L. M. and PO- GARSKY, S. A., 2015. Diffraction of H-polarized electro- magnetic waves by a multi-element planar semi-infinite grating. Telecommunications and Radio Engineering. vol. 74, no. 9, pp. 753–767. DOI: 10.1615/TelecomRadEng.v74.i9.10 07. NEPA, P., MANARA, G. and ARMOGIDA, A., 2005. EM scattering from the edge of a semi-infinite planar strip grating using approximate boundary conditions. IEEE Trans. Antennas Propag. vol. 53, no. 1, pp. 82–90. DOI: 10.1109/ TAP.2004.840523 08. GANDEL, YU. V., 1986. The method of discrete singula- rities in problems of electrodynamics. Voprosy Kibernetiki. no. 124, pp. 166–183 (in Russian) 09. GANDEL, YU. V., 2010. Boundary-value problems for the Helmholtz equation and their discrete mathematical models. J. Math. Sci. vol. 171, no. 1, pp. 74–88. DOI: 10.1007/s10958-010-0127-3 10. ZAGINAYLOV, G. I., GANDEL, Y. V., KAMYSHAN, O. P., KAMYSHAN, V. V., HIRATA, A., THUMVONGSKUL, T. and SHIOZAWA, T., 2002. Full-wave analysis of the field distribution of natural modes in the rectangular waveguide grating based on singular integral equation method. IEEE Trans. Plasma Sci. vol. 30, no. 3. pp. 1151–1159. DOI: 10.1109/TPS.2002.801613 11. ZAMYATIN, YE. V. and PROSVIRNIN, S. L., 1986. Dif- fraction of electromagnetic waves by an array with small random fluctuations of the dimensions. Sov. J. Commun. Technol. Electron. vol. 31, no. 3, pp. 43–50. 12. ABRAMOWITZ, M. and STEGUN, I. A., eds., 1964. Handbook of Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Numder 55 in National Bureau of Standards Applied Mathematics Series. U. S. Government Printing Office, Washington, D. C. 13. FELSEN, L. B. and MARCUVITS, N., 1973. Radiation and Scattering of Waves. Englewood Cliffs, N.J.: Pren- tice-Hall. M. E. Kaliberda 1, L. M. Lytvynenko 2, and S. A. Pogarsky 1 1 V. N. Kazarin Kharkiv National University, 4, Svoboda Sq., Kharkiv, 61022, Ukraine 2 Institute of Radio Astronomy, National Academy of Sciences of Ukraine, 4, Mystetstv St., Kharkiv, 61002, Ukraine THE E-POLARIZED WAVE DIFFRACTION BY INFINITE PERIODICAL STRIP GRATING WITHOUT SINGLE STRIP Purpose: The E-polarized wave diffraction by an infinite peri- odic strip grating without a single strip is considered. Design/methodology/approach: The total field is found as a sum of field of infinite periodical grating and field induced by the removal of a single strip. The problem is reduced to the singular integral equations with additional conditions. Findings: The directional patterns and field distribution in the domain above the grating are represented. Conclusions: The effective algorithm for study of the field which appeared as a result of absence of a single strip is suggested. Key words: infinite periodic grating, integral equation, diffraction М. Є. Каліберда 1, Л. М. Литвиненко 2, С. О. Погарський 1 1 Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, м. Свободи, 4, м. Харків, 61022, Україна 2 Радіоастрономічний інститут НАН України, вул. Мистецтв, 4, м. Харків, 61002, Україна ДИФРАКЦІЯ E-ПОЛЯРИЗОВАНОЇ ХВИЛІ НА НЕСКІНЧЕННІЙ ПЕРІОДИЧНІЙ СТРІЧКОВІЙ РЕШІТЦІ ЗА ВІДСУТНІСТЮ ОДНІЄЇ СТРІЧКИ Предмет і мета роботи: Розглянуто задачу про дифрак- цію E-поляризованої електромагнітної хвилі на нескінченній стрічковій решітці з відсутньою однією стрічкою. Методи та методологія: Повне поле шукається у вигляді суми полів нескінченної періодичної решітки і поля, що вини- кає за рахунок відсутності однієї стрічки. Задача зведена до сингулярних інтегральніх рівнянь з додатковими умовами. Результати: Надаються діаграми спрямованості розсіяно- го поля та розподіл поля в області над решіткою. Висновок: Запропоновано ефективний алгоритм досліджен- ня поля, що виникло за рахунок відсутності однієї стрічки. Ключові слова: нескінченна періодична решітка, інтегральне рівняння, дифракція Статья поступила в редакцию 30.05.2016

Дифракция Е-поляризованной волны на бесконечной периодической ленточной решетке в отсутствие одной ленты

Institution

Ähnliche Einträge