Неодномерные модели горной теплофизики
Рассмотрены неодномерные модели горной теплофизики, указаны недостатки существующей парадигмы в построении и исследовании этих моделей. Предложены точные и приближенные методы решения краевых задач теплопереноса в горных массивах, приведены конкретные примеры....
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут фізики гірничих процесів НАН України
2007
|
| Назва видання: | Физико-технические проблемы горного производства |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107673 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Неодномерные модели горной теплофизики / И.Р. Венгеров // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2007. — Вип. 10. — С. 60-80. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-107673 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1076732016-10-24T03:03:11Z Неодномерные модели горной теплофизики Венгеров, И.Р. Физика горных процессов на больших глубинах Рассмотрены неодномерные модели горной теплофизики, указаны недостатки существующей парадигмы в построении и исследовании этих моделей. Предложены точные и приближенные методы решения краевых задач теплопереноса в горных массивах, приведены конкретные примеры. Multidimensional models of mining thermophysics are discussed, disadvantages of the existing paradigm of their derivation and investigation are indicated. Approximate methods of solving the boundary tasks of heat transfer in mining masses are proposed as well, some specific examples are given. 2007 Article Неодномерные модели горной теплофизики / И.Р. Венгеров // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2007. — Вип. 10. — С. 60-80. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. XXXX-0016 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107673 622.2:536.21 ru Физико-технические проблемы горного производства Інститут фізики гірничих процесів НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Физика горных процессов на больших глубинах Физика горных процессов на больших глубинах |
| spellingShingle |
Физика горных процессов на больших глубинах Физика горных процессов на больших глубинах Венгеров, И.Р. Неодномерные модели горной теплофизики Физико-технические проблемы горного производства |
| description |
Рассмотрены неодномерные модели горной теплофизики, указаны недостатки существующей парадигмы в построении и исследовании этих моделей. Предложены точные и приближенные методы решения краевых задач теплопереноса в горных массивах, приведены конкретные примеры. |
| format |
Article |
| author |
Венгеров, И.Р. |
| author_facet |
Венгеров, И.Р. |
| author_sort |
Венгеров, И.Р. |
| title |
Неодномерные модели горной теплофизики |
| title_short |
Неодномерные модели горной теплофизики |
| title_full |
Неодномерные модели горной теплофизики |
| title_fullStr |
Неодномерные модели горной теплофизики |
| title_full_unstemmed |
Неодномерные модели горной теплофизики |
| title_sort |
неодномерные модели горной теплофизики |
| publisher |
Інститут фізики гірничих процесів НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Физика горных процессов на больших глубинах |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/107673 |
| citation_txt |
Неодномерные модели горной теплофизики / И.Р. Венгеров // Физико-технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. — 2007. — Вип. 10. — С. 60-80. — Бібліогр.: 32 назв. — рос. |
| series |
Физико-технические проблемы горного производства |
| work_keys_str_mv |
AT vengerovir neodnomernyemodeligornojteplofiziki |
| first_indexed |
2025-07-07T20:16:23Z |
| last_indexed |
2025-07-07T20:16:23Z |
| _version_ |
1837020620513083392 |
| fulltext |
Физика горных процессов на больших глубинах
60
УДК 622.2:536.21
НЕОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ГОРНОЙ ТЕПЛОФИЗИКИ
к.ф.-м.н. Венгеров И.Р. (ДонФТИ им. А.А. Галкина НАН Украины)
Рассмотрены неодномерные модели горной теплофизики, указаны недостатки
существующей парадигмы в построении и исследовании этих моделей. Предложе-
ны точные и приближенные методы решения краевых задач теплопереноса в гор-
ных массивах, приведены конкретные примеры.
MULTIDIMENSIONAL MODELS OF MINING THERMOPHYSICS
Vengerov I.R.
Multidimensional models of mining thermophysics are discussed, disadvantages of the
existing paradigm of their derivation and investigation are indicated. Approximate meth-
ods of solving the boundary tasks of heat transfer in mining masses are proposed as well,
some specific examples are given.
1. Введение
Развитие теоретических основ горной теплофизики начиналось с акту-
альных для периода углубления действующих и строительства глубоких
шахт задач, связанных с прогнозом теплового режима выработок. В послед-
ние 40−50 лет учет теплопритоков к рудничному воздуху от горного массива
осуществляется посредством коэффициентов нестационарного теплообмена
Kτ, для которого получены различные формулы [1−6]. При этом модели, на
основе которых рассчитываются Kτ, являются одномерными краевыми зада-
чами теплопроводности в области r ∈ [R0, ∞) горного массива. Здесь r − ко-
ордината, отсчитываемая от центра сечения выработки, приведенного к кру-
говому, R0 − эквивалентный радиус такого сечения.
Однако уже достаточно давно стало ясно, что одномерные идеализации
недостаточны и необходима разработка двух- и трехмерных моделей: взаи-
мосвязанного тепломассопереноса во влагосодержащих массивах; термоуп-
ругости и термопластичности (устойчивости) массивов; сопряженного теп-
лопереноса в системах выработка−массив; развития и тушения подземных
пожаров [7−12].
В настоящее время целостная методология построения и упрощения (ре-
дукции) неодномерных моделей отсутствует, имеются лишь отдельные рабо-
ты, в которых многомерные краевые задачи решаются весьма сложными ме-
тодами либо редуцируются без должных оценок и обоснований. В настоящей
работе на основе краткого обзора формулируются методологические принци-
пы редукции и решения, предлагаются точные и приближенные методы для
исследования неодномерных моделей, приводятся конкретные примеры.
Работа посвящается памяти д.т.н., проф. Медведева Бориса Ивановича, внес-
шего значительный вклад в развитие теоретических основ горной теплофизики.
Физика горных процессов на больших глубинах
61
2. Краткий обзор
Впервые двумерная краевая задача (в связи с моделированием темпера-
турного поля в массиве вокруг выработки прямоугольного сечения) была,
видимо, рассмотрена в [1]. Ширина и высота сечения выработки составляли
соответственно 2a = 4,8 м и 2b = 2,4 м. Коэффициент теплообмена между
стенкой выработки и вентиляционным воздухом был постоянным и равным
α = 10 ккал/м2·ч·град. Коэффициенты тепло- и температуропроводности: λ =
1,0 ккал/м·ч·град, a = 20,3·10−4 м2/ч. Ввиду симметричности задачи темпера-
турное поле рассчитывалось только в первом квадранте, который разбивался
на элементарные квадратные ячейки (Δx = Δy =1,2 м). Использовался метод
элементарных балансов, определялись температуры в узлах расчетной сетки
и теплопритоки от массива к стенкам выработки. Последние сравнивались с
таковыми, найденными по аналитическим формулам для кругового сечения
с эквивалентными радиусами R1,э = V/2π и R2,э = (S/π)1/2, где V, S − периметр
и площадь сечения прямоугольной выработки. Для R1,э значения теплопри-
токов оказались несколько ниже, а для R2,э − выше, чем для кругового сече-
ния, однако во всех случаях (для времен проветривания от 725 ч до 2000 ч)
относительные погрешности не превышали 2,5%.
При существенном превышении шириной выработки ее высоты прямо-
угольное сечение в ряде работ заменялось щелью. Такая редукция осущест-
влялась для очистных выработок (лав) и выработанных пространств [4]. Х.
Луригом рассматривалась двумерная задача, аналогичная [1], но решение ее
было численным. Оно показало, что при a/b = 2,0 теплопритоки к кровле и
почве на 10% превышают теплопритоки к боковым стенкам.
Моделирование двумерных полей на гидроинтеграторе (для выработок
кругового, квадратного, прямоугольного и сводчатого сечений) показало [13],
что средневзвешенная температура поверхности кругового сечения выработок
(вводимая в силу начальной температурой асимметрии, обусловленной уче-
том геотермии) превышает таковые для всех других форм сечений.
Выработка некругового сечения, форма которого задавалась аналитиче-
ской функцией, рассматривалась в [14]. Уравнение теплопроводности в мас-
сиве записывалось в полярных координатах {ρ, ϕ} и решалось преобразова-
нием Лапласа по времени t. Решение получено в форме бесконечного ряда,
первый член которого соответствовал круговому сечению.
Сложные формы сечений (для усеченных дискообразных, шаровых, эл-
липсоидных) выработок (подземных сооружений) рассматривались А.С. Га-
лицыным [15]. Уравнения записывались в специальных системах координат,
решались интегральными преобразованиями. Вид решений весьма сложен
(ряды и интегралы от комбинаций спецфункций) и для практических расче-
тов непригоден.
Весьма сложные методы (тепловых потенциалов, граничных интеграль-
ных уравнений) использовались также в [16, 17], где рассматривались тем-
пературные поля в массивах вокруг выработок некругового сечения и с уче-
Физика горных процессов на больших глубинах
62
том геотермии. Для нескольких частных случаев решение было доведено до
конца, в частности было показано, что использование для определения ра-
диуса R0 эквивалентного кругового сечения формулы R0 = 2S/V (рекомен-
дуемой в ряде руководств) ведет к завышению среднеинтегральных значе-
ний ,срKτ . Для прямоугольных выработок, в частности, при отношениях
ширины к высоте 1; 2; 3; 4, погрешности ,срKτ составляют соответственно
2,5; 10,2; 17,3; 26,3% [16].
В упомянутых моделях двумерные температурные поля возникали под
действием двух факторов: отличия формы сечения выработки от кругового;
учета геотермической начальной температурной неоднородности массива. К
двух- и трехмерным моделям ведут и другие факторы − неоднородность
(слоистая плоская или радиальная) и (или) анизотропия теплофизических
свойств горных массивов [4,7−10,16−18]. Другая группа неоднородных мо-
делей возникает при рассмотрении сопряженного теплопереноса в системах
массив−выработка (различные технологические и аварийные режимы вен-
тиляции) [4−6,8,10−18]. Обычно такие модели упрощаются без достаточно
строгих оценок и обоснований.
Неодномерные модели теплопереноса используются в многочисленных
теплофизических приложениях. Анализ источников (более восьмисот) пока-
зал [19], что:
1) двух- и трехмерные краевые задачи ставятся как для линейных, так и
для нелинейных уравнений переноса;
2) они решаются аналитическими, численными и гибридными методами;
3) эти методы сводятся к двум группам − без понижения и с понижением
размерности (редукцией) задачи;
4) методы без понижения размерности ведут к весьма громоздким вычис-
лениям и конечным результатам;
5) методы с понижением размерности используют различные упрощаю-
щие предположения и оценки порядков величин для обоснования редукции
исходной задачи.
3. Методологические принципы
Рассмотрим некоторые количественные характеристики двумерного тем-
пературного поля в горном массиве вокруг выработки прямоугольного сече-
ния [1]. Двумерная охлажденная зона имеет неодинаковую протяженность
вдоль осей Ox, Oy и луча, исходящего из центра кровли под углом 45° к Oy
(центры начала координат и сечения выработки совпадают; оси Ox, Oy нор-
мальны соответственно боковой стенке и кровле выработки). Длину векто-
ров, отложенных от точек на стенках выработки по трем указанным направ-
лениям до точек массива, температура в которых отлична от Tп на 10−3°C и
менее, обозначим δi; это и будут размеры охлажденной зоны в различных на-
правлениях (i = x − вдоль Ox, i = y − вдоль Oy, i = 0 − вдоль луча под < 45° к Oy).
Физика горных процессов на больших глубинах
63
Для времени охлаждения массива τ1 = 725 ч (≈ 1 месяц) согласно [1] име-
ем: (1) (1)
x yδ = δ = 6,0 м; (1)
0δ = 6,72 м. Для времени охлаждения τ2 = 2000 ч (≈
2,8 месяца): (2) (2)
x yδ = δ = 9,6 м; (2)
0δ = 10,15 м. Температуры массива на осях
Ox и Oy вблизи стенок выработки несколько отличаются, сближаясь по мере
удаления от них. Перепады температур ΔTx и ΔTy между этими температу-
рами и температурами в точках, отстоящих на 1,2 м от осей Ox и Oy и лежа-
щих на линиях, параллельных координатным осям, невелики и максимальны
на стенках выработки. Для кровли (1)
yTΔ = 23·10−4°C, (2)
yTΔ = 24·10−4°C. Для
боковой стенки (1)
xTΔ = 4·10−2°C, (2)
xTΔ = 3·10−2°C. Отношения плотностей
потоков тепла к центру кровли (qy) и к центру боковой стенки (qx): (1) (1)/y xq q
= 0,9; (2) (2)/y xq q = 0,83. Отношения этих величин на границах охлажденных
зон к таковым на стенках выработки: (1) (1)
, / xxq qδ = 1,3·10−3; (1) (1)
, / yyq qδ = 2·10−3;
(2) (2)
, / xxq qδ = 1,2·10−3; (2) (2)
, / yyq qδ = 2,5·10−3.
Из этих данных следуют принципы A1, B1, C1 (первая группа).
A1. Охлажденная зона в массиве имеет максимальную протяженность в
направлении, где охлаждающие действия кровли и боковой стенки сумми-
руются; по осям Ox и Oy ее протяженность примерно одинакова; границы
охлажденной зоны являются практически адиабатическими.
B1. Температурные различия по мере удаления от стенок выработки для
равноотстоящих от них точек нивелируются.
C1. Оси Ox и Oy являются практически адиабатическими границами (АГ);
для «адиабатических стержней» − полос шириной 0,1 м, содержащих в себе
АГ Ox и Oy как оси симметрии, можно считать соответственно ∂T/∂y ≃ 0 и
∂T/∂x ≃ 0.
Полагаем далее, что эти принципы справедливы для двумерных темпера-
турных полей в массивах вокруг выработок всех симметричных форм (кру-
говой, прямоугольной, квадратной, эллиптической). Обоснование понятия
«охлажденная зона» было дано в [1], а обоснованность принципов A1, B1, C1
вытекает, кроме [1], также из известных в теплофизике (но сформулирован-
ных позднее) принципов «поэтапного моделирования», «местного влияния»,
«локализации» [20,21].
Вторая группа методологических принципов содержит способы априор-
ных оценок возможностей редукции краевых задач (понижения размерно-
стей трех- и двумерных задач).
A2. Один из методов редукции − покоординатного спуска [22], требует
обоснования утверждения, что ( , , )T x y t ≃ ( , )T x t (далее, не ограничивая
общности, рассматриваем редукцию двумерных задач к одномерным). Для
выполнения последнего приближенного равенства необходимо, чтобы в об-
Физика горных процессов на больших глубинах
64
ласти ω определения ( , , )T x y t (x, y ∈ ω) было: ∂T/∂y ≃ 0 (или ∂T/∂y <<
∂T/∂x). Для осуществления этих (дифференциальных) оценок необходимо
постулировать аппроксимацию температурного поля в ω − ˆ( , , )T x y t , удовле-
творяющую краевым условиям (всем или частично). Тогда для оценок мож-
но воспользоваться условиями ˆ /T y∂ ∂ ≃ 0 или ˆ ˆ/ /T y T x∂ ∂ << ∂ ∂ . Возможно
также использование конечных (алгебраических) оценок типа [Tп(H2) −
Tп(H1)]/(H2 − H1) << [Tп(Hср) − T0]/Rз, где T(H2), Tп(H1) − температуры в не-
тронутом массиве на глубинах H2 и H1 вокруг вертикального ствола, Hср =
(H1 + H2)/2, Rз = Rз(t) − ширина охлажденной зоны вокруг ствола. Это нера-
венство показывает, что вертикальная компонента потока тепла существен-
но меньше радиальной, т.е. можно считать (полагая вертикальной ось Oz)
( , , )T z r t ≃ ( , )T r t .
B2. Другой, широко распространенный метод понижения размерности
краевых задач теплофизики − усреднение температуры по одной из коорди-
нат. Вводится оператор усреднения [23] (для примера − по y; x, y ∈ ω = {x ∈
(0, L1), y ∈ (0, L2)})
{ }
2
2 0
1( , , ) ( , ) ( , , )d
L
S T x y t U x t T x y t y
L
= = ∫ . (1)
При применении его к краевым задачам относительно функций ( , , )T x y t
возможны случаи: 1) заданы граничные условия II рода −
( )
0( / ) ( , )yT y q x t−
=λ ∂ ∂ = ,
2
( )( / ) ( , )y LT y q x t+
=λ ∂ ∂ = ; 2) заданы те же, но одно-
родные условия АГ − ( ) ( )( , ) ( , ) 0q x t q x t− += = ; 3) заданы (при y = 0, y = L2)
граничные условия I, III или IV родов. В первом случае оператор
{ }( , , )S T x y t переводит краевую задачу в одномерную относительно функ-
ции ( , )U x t , но в краевой части уравнения появляется «источник тепла»
(функция плотности которого задана, так как ( ) ( , )q x t+ и ( ) ( , )q x t− известны).
Во втором случае (границы y = 0 и y = L − «адиабатические стержни») урав-
нение одномерно, а функция ( , )U x t − квазиодномерное приближение). По
квазиодномерному приближению ( , )U x t можно приближенно найти ( , , )T x y t ,
если известны граничные температуры ( )( ,0, ) ( , )T x t x t−=μ и ( )
2( , , ) ( , )T x L t x t+= μ .
Последнее требует реализации одного из вариантов: 1) в случае 3), когда при
y = 0 и y = L2 задано какое-либо из граничных условий − «переопределенная
задача» (так как эти границы − АГ); 2) частный случай варианта 1) − y = 0 и
y = L2 − границы охлажденной зоны, на которых T ≈ Tп = const и которые,
кроме того, являются АГ; 3) граничные условия I рода − функции ( ) ( , )x t−μ и
( ) ( , )x t+μ заданы; 4) граничные условия III или IV родов − функции ( ) ( , )x t−μ
и ( ) ( , )x t+μ вводятся (как неизвестные) и затем определяются из граничных
условий. Приближенное решение двумерной задачи записывается в виде:
Физика горных процессов на больших глубинах
65
( ) ( ) ( )( , , ) ( , ) [ ( , ) ( , )] ( )T x y t x t x t x t y− + −= μ + μ −μ Ψ , x ∈ (0, L1), y ∈ (0, L2). (2)
Здесь Ψ(y) − функция «восстановления» (размерности), удовлетворяющая
условиям:
Ψ (0) = 0, Ψ(L2) = 1;
20
d d 0
d dy y Ly y= =
Ψ Ψ
= = . (3)
Два последних условия − дополнительные, они обязательны, если y = 0 и y =
L2 − «адиабатические стержни». Функция Ψ(y) обычно выбирается в классе
элементарных функций, в частности степенных [23].
Третья группа методологических принципов − оценка методов решения
(аналитических) неодномерных задач: A3 − при использовании редукции; B3
без использования редукции.
A3. Анализ источников [19] показывает, что к модели редукции относятся:
покоординатный спуск, усреднение, бесконечные и конечные интегральные
преобразования, автомодельность. Два первых нами рассмотрены, последний
имеет узкую область применяемости, третий и четвертый весьма громоздки
как в ходе решения, так и по форме конечных результатов. Для решения задач
горной теплофизики полагаем перспективными два первых метода.
B3. Методы решения неодномерных краевых задач теплофизики без предва-
рительного понижения их размерности [19]: разделение переменных; преобра-
зование Лапласа по времени; тепловые потенциалы; функции Грина; прямые
методы математической физики. Первый метод требует «хорошей геометрии»
задачи; второй и третий (в особенности!) − громоздки. Предпочтение необхо-
димо отдать методу функций Грина и методу Бубнова−Галеркина (как наибо-
лее «прозрачному» из прямых методов математической физики).
4. Методы редукции
Рассмотрим методы оценки «зон одномерности» − частей горного массива,
в которых температурное поле можно приближенно описывать одномерны-
ми моделями. Аналогичная задача решалась в [24] численно; использовался
термин «зона регионального влияния». Ограничиваясь в данной работе теп-
лофизически однородными и изотропными массивами, рассмотрим три
группы выработок, для которых есть отличия в формировании охлажденной
зоны в массиве: проходимые (тупиковые), эксплуатируемые (выработки
сквозного проветривания) и аварийные выработки. К последним относим те
из них, в которых развиваются пожары или происходит резкое изменение
режима проветривания (изменение температуры или (и) расхода воздуха).
4.1. Проходимые выработки
Используем методологические принципы A1 и B1. Пусть проходка выра-
ботки кругового сечения осуществляется с постоянной скоростью vпр, теку-
Физика горных процессов на больших глубинах
66
щая длина выработки − L. Координата x отсчитывается от начального сече-
ния выработки в сторону забоя и совпадает с осью выработки. Температура
воздуха в выработке Tв = const. Разобьем область массива
{ }max0 з[0, ), [ , )x L r R RΩ = ∈ ∈ , примыкающую к выработке, на подобласти
{ }max0 з( ) [ , ], [ , ]i i ix x x x x x r R Rω = ω = ∈ −Δ + Δ ∈ , где R0 − радиус сечения вы-
работки,
maxзR − максимальный радиус охлажденной зоны
( )maxз з ох,max з пр( ) ( / )R R t R L v= = , 0,i N= , N = L/2Δx >> 1. Для времени ох-
лаждения ω(xi), (i)
охt имеем:
( )
ох ох
пр
( )i i
i
L xt t x
v
−
= = , ох ох,max
пр
(0) Lt t
v
= = , ох ох,min
пр
2( )N
xt x t
v
Δ
= = . (3)
Уравнение теплопроводности в области Ω:
2
2
1T T Ta r
t r r r x
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
, ( , , )T T r x t= , ,x r∈Ω , t > 0. (4)
Вводим оператор усреднения температурного поля в подобласти ω(xi):
{ } 1( , , ) ( , ) ( , , )d
2
i
i
x x
x x
S T r x t U r t T r x t x
x
+Δ
−Δ
= =
Δ ∫ . (5)
Применив (5) к (4), получим
2
i ix x x x
U a U a T Tr
t r r r x x x+Δ −Δ
⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ Δ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
. (6)
Второе слагаемое в первой части (6) преобразуем, заменив производные ко-
нечно-разностными соотношениями (что, возможно, так как Δx/L << 1). По-
скольку Tв = const, все подобласти ω(xi) (кроме i = 0 и i = N) имеют прибли-
женно одинаковую «термическую историю»: эволюция температурного по-
ля в ω(xi) повторяет таковую в ω(xi−1) с временным запаздыванием
пр2 /x vΔτ = Δ ( ( 1) ( )
ох ох
i it t− = + Δτ ). Перетоки тепла (вдоль Ox) из ω(xi) в ω(xi−1)
(поскольку соответствующие точки в ω(xi−1) охлаждаются на Δτ больше)
компенсируются примерно такими же перетоками из ω(xi+1) в ω(xi). Если
перейти к пределу N → ∞ (Δx = vпрΔτ/2 → 0),то вторая конечно-разностная
производная в (6) примет вид (− τr∂
2U/∂t2), а само уравнение:
2
2r
U U a Ur
t r r rt
∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ τ = ⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠
, ( , )U U r t= , 2
пр
r
a
v
τ = . (7)
Уравнение (7) является гиперболическим уравнением теплопроводности,
для которого показано, что при t ≳ 8τr его решение практически совпадает с
Физика горных процессов на больших глубинах
67
таковым для параболического уравнения (т.е. (7) без второго члена в левой
части) [25]. Таким образом, при t ≳ 8τr член 2 2/r U tτ ∂ ∂ , описывающий теп-
лоперетоки в массиве вдоль оси Ox можно опустить, т.е. использовать одно-
мерное уравнение (7), где ( , )U U r t= . Из (3) и (7) следует:
ох
пр
( ) L xt x
v
−
= ≳ 2
пр
8 a
v
, x ≲ L − l,
пр
8al
v
= . (8)
Получена оценка зоны одномерности поля (его зависимости только от (r, t)):
x ≲ L − l. При x > L − l − поле двумерно. Для диапазонов изменения пара-
метров: a = (5−40)·10−4 м2/ч, vпр = 0,1−2,0 м/ч получаем:
max
min
min
пр
8al
v
= = 0,02 м,
min
max
max
пр
8al
v
= = 0,32 м. (9)
Таким образом, в режиме проходки выработки с постоянной температурой воз-
духа температурное поле в окружающем ее массиве практически одномерно.
Этот случай является идеализацией реальных условий проходки, когда
вентиляция тупиковой выработки осуществляется вентиляторами местного
проветривания в одном из трех режимов: нагнетательном, всасывающем и
комбинированном. В первом из них в предположении герметичности возду-
ховода охлаждаемый воздух движется, постепенно нагреваясь от забоя к на-
чалу выработки. При этом у всех слоев ω(x) «термическая история» прибли-
зительно одинакова, и вновь можно использовать предыдущий способ оцен-
ки, базирующаяся на переходе к гиперболическому уравнению теплопро-
водности. При других режимах работы вентиляторов местного проветрива-
ния такую аналогию провести нельзя и оценка (8) не работает.
Если рассматривать выемку полосы в лаве комбайном, движущимся с по-
стоянной скоростью vк как «проходку», то оценка (8) применима для опре-
деления зоны, в которой температурное поле (строго говоря, трехмерное) в
пласте угля, породах почвы и кровли приближенно не зависит от координа-
ты Ox, отсчитывают вдоль лавы (от ее начала к концу). Поскольку vк > vпр,
оценки l, выполненные ранее, дадут еще меньшие величины и исключение
координаты x будет еще более обоснованным.
Другим аналогом «проходки» является движение вслед за лавой зоны вы-
работанного пространства при управлении кровлей плавным опусканием.
Роль vпр играет скорость подвигания забоя vл. Исключается, при должном
результате оценки (8), координата, перпендикулярная плоскости забоя (на-
правленная в глубь пласта по его простиранию). Таким образом, возмож-
ность редукции неодномерной задачи установлена методом усреднения.
4.2. Эксплуатируемые выработки
В горной теплофизике, начиная с [1], принято считать, что проходка осу-
ществлена мгновенно, а температурное поле в массиве одномерно:
Физика горных процессов на больших глубинах
68
( , )T T r t= . Как следует из подразд. 4.1 настоящей работы, эта гипотеза
весьма правдоподобна. Встречаются, однако, ситуации, когда эта гипотеза
нуждается в проверке (оценке одномерности).
4.2.1. Рассмотрим в качестве критерия одномерности отношение про-
дольной qx и радиальной qr компонент теплового потока в массиве. Соглас-
но принципу А2 полагаем поле одномерным, т.е. ( , )T T r t= при выполнении
условия qx/qr << 1. Выражения для qx и qr найдем, воспользовавшись полино-
миальной (квадратичной) аппроксимацией температурного поля в массиве [4]:
2
(2) (2) з
п п ст
з 0
( )( , , ) ( ( , )
( )
R t rT T r x t T T T x t
R t R
⎛ ⎞−
= = − − ⎜ ⎟−⎝ ⎠
, з 0( ) 4R t R at= + . (10)
Здесь ст ( , )T x t − температура стенки выработки; (0, )x L∈ ; 0 з[ , ( ))r R R t∈ ; a −
температуропроводность массива; t − время его охлаждения. Из (10) следует:
(2)
з ст
(2)
п ст
( )/ 1
2 ( , ) x/
x
r
q R t r TT x
q T T x tT r
⎡ ⎤− ∂∂ ∂
= = ⎢ ⎥− ∂∂ ∂ ⎣ ⎦
. (11)
Поскольку правая часть в (11) максимальна при r = R0:
0
з 0 ст
п ст
( )1
2 ( , ) x
x x
r r r R
q q R t R T q
q q T T x t=
⎡ ⎤⎛ ⎞ − ∂
< = =⎜ ⎟ ⎢ ⎥− ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦
. (12)
Чтобы конкретизировать критерий одномерности q << 1, рассмотрим случай
задания на стенках выработки граничных условий III рода:
[ ]
0
п ст
ст в
з 0
( , )( , ) ( , ) 2
( )t R
T T x tT T x t T x t
r R t R=
⎡ ⎤−∂
λ = α − = λ ⎢ ⎥∂ −⎣ ⎦
.
Отсюда следует:
в п
з
ст
з
2( , )
( )( , ) 2
( )
T x t T
tT x t
t
λ
α +
δ
=
λ
α +
δ
,
( )
з в
п в
( )
2 ( , )
t Tq
T T x t x
δ ∂
=
− ∂
. (13)
Здесь α − коэффициент теплообмена между стенкой выработки и воздухом;
λ − коэффициент теплопроводности горного массива; з з 0( ) ( )t R t Rδ = − −
ширина охлажденной зоны массива. Оценим qi, воспользовавшись данными
измерений и расчетов «макроградиентов» температуры воздуха qi [5].
в
i
T
x
∂⎛ ⎞
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
≃
100
iη ,
0, 24 1,0, 1,
0,1 0,55, 2,
0,1 3,3, 3.
i
i
i
i
− =⎧
⎪η = − =⎨
⎪ − =⎩
(14)
Размерность [ηi] = °C/100 м, i = 1, 2, 3 − соответственно для участковых (без
транспорта), откаточных и очистных выработок. Для времен эксплуатации
Физика горных процессов на больших глубинах
69
этих выработок τj (j = 1 − 1 месяц, j = 2 − 1 год для i = 1, 2 и j = 3 − 1 сутки
для лав), средних значений теплофизпараметров, Tп, Tво (температур воздуха
на входе в выработку), L1 = L2 = 103 м, L3 = 200 м, находим:
( )п в п во
10 C, 1
( ) min ( , ) 14,5 C, 2
100
13,5 C, 3
i i
i
i
LT L T T x t T T i
i
⎧ =
⎪η ⎪Δ = − = − − = =⎨
⎪
=⎪⎩
;
q1(τ1) = 2,74·10−3; q1(τ2) = 9,48·10−3; q2(τ1) = 10−3; (15)
q2(τ2) = 3,4·10−3; q3(τ3) = 1,9·10−4.
Таким образом, во всех случаях условие q << 1 соблюдается, т.е. зависи-
мостью температурного поля в массиве от продольной координаты Ox мож-
но пренебречь, считая, что ( , , )T x r t ≃ ( , )T r t , т.е. применять метод покоор-
динационного спуска для редукции исходной задачи.
4.2.2. Одним из факторов неоднородности температурного поля массива
вокруг эксплуатируемых выработок является отличие формы их фактиче-
ского сечения от кругового [17]. Используя методологические принципы A2
и B2, рассмотрим выработку с произвольным сечением на плоскости xOy.
Третью координату Oz (вдоль выработки) считаем уже исключенной из рас-
смотрения. Начало координат O расположено так, чтобы минимальное рас-
стояние от него до стенки выработки было lmin, а максимальное − lmax. Рас-
сматриваем три круговых сечения выработок с общим центром в точке O,
имеющие радиусы: R1 = lmin, R2 = lmax, R0 = (R1 +R2)/2. Для характеристики
формы сечения вводим коэффициент асимметрии Kа = R2/R1. Расчеты Kа бы-
ли проведены для выработок круглого (Kа = 1), квадратного (Kа = 1,41), эл-
липтического (Kа = 1,0−4,0), прямоугольного (Kа = 1,41−4,12), трапециевид-
ного (Kа = 1,0−2,92) и арочного (Kа =0,99−2,75) сечений при максимальном
отношении a/b = 4,0 (a − горизонтальный, b − вертикальный максимальные
размеры сечений).
Параметр Kа связан с параметром η0 = ΔR/R0 (ΔR = R2 − R0 = R0 − R1):
0
а
0
1
1
K +η
=
−η
, а
0
а
1
1
K
K
−
η =
+
. (16)
Введем меры близости температур массива T1 и T2 и безразмерных соответ-
ствующих температур θ1 и θ2 (θi = (Ti − Tв)/(Tп − Tв) (i = 1, 2):
2 1T T Tδ = − , 2 1 п в/( )T T Tδθ = θ −θ = δ − , п в( )T T Tδ = − δθ . (17)
Если δθ = ε << 1, то п в( )T T Tδ = − ε и при ε = 5·10−2, Tп − Tв = 20°C получим
δT = 1°C. Поскольку погрешность в 1°C вполне допустима для оценок и при-
ближенных расчетов, считаем, что погрешность δθ = 0,05 также допустима.
Физика горных процессов на больших глубинах
70
Определим влияние параметра Kа (считая Kа ∈ [1, 0; 4, 0]) на δθ, полагая
критерием одномерности δθ ≲ 0,05. Величины θi определим для трех случа-
ев: R1, R0, R2. В силу известных свойств решений уравнения теплопроводно-
сти («локализация» и др.) разница температур в соответствующих точках
массива при сечениях с радиусами R1, R0, R2 будет, по мере увеличения от-
ношения r/R0, уменьшаться, приближаясь к нулю. Значение
0зr , такое, что
при r ≳
0зr , будет выполняться δθ << 0,5 для всех значений безразмерного
времени F0 ( 2
0 0/F at R= ) и будем считать границей зоны одномерности. Та-
ким образом, поле в точках (r/R0) < (
0з 0/r R ) будет двумерным, а в точках
(r/R0) ≳ (
0з 0/r R ) приближенно одномерным (т.е. влияние условий R2 > R0 >
R1 можно не учитывать).
Воспользуемся двумя аппроксимациями температурного поля: согласно
(10) и экспоненциальной функции ( ) ( , )eT r t [4]:
( ) ( )( ) ( )
ст п ст 0 з 0( , ) ( ) ( ) 1 exp 4,61( ) /( ( ) )e eT T r t T t T T t r R R t R= = + − − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ , (18)
где обозначения соответствуют (10). Использование одновременно двух ап-
проксимаций преследует две цели: повысить надежность оценок
0з 0/r R и
сравнить точность (10) и (18).
По мере развития полей во времени происходит сближение значений
з 0 з( ) ( )R t R t= + δ , (1)
з 1 з( ) ( )R t R t= + δ , (2)
з 2 з( ) ( )R t R t= + δ . Оценку влияния Kа
на
0з 0/r R можно проводить лишь для значений F0 ≳ F0
*, где F0
* соответст-
вует моменту, когда начинают соблюдаться условия: (2)
з з( ) / ( )R t R t ≃ 1,
(1)
з з( ) / ( )R t R t ≃ 1. Последнее возможно с различной точностью, но мы по-
требуем, чтобы отклонение приведенных отношений от 1 не превышало
0,05. Имеем:
1(2)
з 0
2
з з з
( ) 1 1 1
( ) ( ) ( )
R t RR
R t t t
−
⎛ ⎞Δ
= + + = +β⎜ ⎟δ δ⎝ ⎠
, β2 ≲ 0,05. (19)
Другое отношение, (1)
з з( ) / ( )R t R t , дает такой же результат. С учетом (16) и
(19) получаем:
0
01 4 F
η
+
≲ 0,05,
2*
* а
0 2
а0
10,0625 20 1
1
KatF
KR
⎡ ⎤⎛ ⎞−
= = −⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠⎣ ⎦
. (20)
Подсчеты по (20) при средних по Донбассу значениях a, R0 дали
Kа 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
F0
* 0,56 1,96 3,59 5,06 6,38 7,56
t*, мес. 0,67 2,38 4,37 6,21 7,80 9,21
Физика горных процессов на больших глубинах
71
Из условий δθ ≲ 0,05 для случаев R1, R0, R2 в точках r/R0 = 2−10 массива
для различных F0 ≳ F0
*(Kа) были рассчитаны значения
0з 0/r R . Аппрокси-
мация (с точностью в 5%) расчетных данных, полученных с помощью (10) и
(18), позволила установить формулу
0з 2 а
а
0 а
110 0,8(4 )
1
r KK
R K
⎛ ⎞−⎡ ⎤= + − ⎜ ⎟⎣ ⎦ +⎝ ⎠
. (21)
При расчетах выявилась большая точность (18) по сравнению с (10) (для
контроля производилось сравнение θст(F0) с [1]). По (21) для F0 ≳ F0
*(Kа) в
зависимости от величины Kа можно установить границу зоны одномерности
(r ≳
0зr ) температурного поля, в которой влияние формы сечения выработки
практически отсутствует. В области массива r ∈ [R0,
0зr ) поле двумерно, в
частности при симметричной форме сечения выработки (когда достаточно
рассмотрения поля в первом квадранте) оно будет зависеть от полярных ко-
ординат {ρ, ϕ} (ϕ ∈ [0, π/2]).
4.2.3. Случай двумерного температурного поля в массиве, когда T = T(ρ, ϕ),
возможен не только при отличии формы сечения выработки от круговой,
рассмотренной выше. В силу наличия в земной коре геотермического гради-
ента температуры, начальная температура массива Tп = Tп(y) (y − вертикаль-
ная координата, отсчитываемая от поверхности вглубь). Часто используемое
[1,4] начальное условие п0( , ) consttT r t T= = = является, таким образом, при-
ближением, в ряде случаев − грубым. Найдем, используя принципы A1, B1,
C1, приближенное решение краевой задачи охлаждения температурно-
неоднородного (при Tп = Tп(y)) массива вокруг выработки эллиптического
сечения (при равенстве горизонтальной а и вертикальной b полуосей кото-
рого (a = b = R0) имеем круговое сечение).
Начало координат системы xOy помещаем в центр эллипса и рассматри-
ваем первый квадрант плоскости. Поле температур ( , , )U x y t в массиве, обу-
словленное охлаждающим действием выработки, возмущает начальное гео-
термическое поле (температура линейно нарастает в глубь Земли). В силу
симметрии эллипса, ( , , )U x y t также симметрично, а границы квадранта x = 0
и y = 0 − адиабатические. Рассмотрим первую краевую задачу для суммар-
ного температурного поля ( , , )T x y t (суперпозиции геотермического и воз-
мущающего полей):
2T a T
t
∂
= ∇
∂
, ( , , )T T x y t= , 2 2 2
x y∇ = ∂ + ∂ , ,x y∈Ω , (22)
п( , ,0) ( )T x y T y= , ,x y∈Ω , в,( , , ) x yT x y t T∈γ = . (23)
Здесь Ω − область, дополняющая область, ограниченную кривой γ − эллип-
са 2 2( / ) ( / ) 1x a y b+ = до всего первого квадранта; Tв = const − температура
Физика горных процессов на больших глубинах
72
воздуха в выработке; Tп(y) − геотермическая температура массива. Для
п( , , ) ( , , ) ( )U x y t T x y t T y= − используем конечную область Ω и конечный ин-
тервал времени t ∈(0, ts]. Границы Ω: кривая γ и прямые x = xδ и y = yδ. По-
следние − границы охлажденной зоны, формирующейся на момент времени
t = ts: xδ = a + δз(ts), yδ = b + δз(ts). Для ( , , )U x y t вместо (22), (23) получаем
задачу:
2U a U
t
∂
= ∇
∂
, ( , , )U U x y t= , ,x y∈Ω , (0, ]st t∈ , (24)
( , ,0) 0U x y = , ,x y∈Ω ,
0в п,( , , ) x yU x y t T T∈γ = − , 0
x x y y
U U
x y
δ δ= =
∂ ∂
= =
∂ ∂
. (25)
Здесь
0п п (0)T T= , 2 2 2
x y∇ = ∂ + ∂ .
Приближенное решение задачи (24), (25) ищем, используя понятие «адиа-
батических стержней». Таковыми в данной задаче являются: АГx (y = 0, x ∈
[a, xδ]) и АГy (x = 0, y ∈ [b, yδ]). При t ∈ (0, ts], x = a, y = b имеем
0 0в в п( , , )U x y t U T T= = − . На других концах этих стержней (т.е. на границах
охлажденных зон) имеем: 0x x y yU U
δ δ= == = . Переходя к координатам x′ = x − a
и y′ = y − b, получаем для АГx и АГy:
2
2
U Ua
t
∂ ∂
=
∂ ∂η
, ( , )U U t= η , з
з y
(0, ( )], АГ
(0, ( )], АГ
s x
s
x t
y t
′∈ δ⎧⎪η = ⎨ ′∈ δ⎪⎩
, (0, ]st t∈ , (26)
0( , ) 0tU t =η = , з[0, ( )]stη∈ δ ,
0в0( , )U t Uη=η = ,
з ( )( , ) 0
st
U t η=δη = . (27)
В (26), (27) можно принять з ( ) 4s st atδ = [4]. Таким образом, исходная
краевая задача редуцирована к одномерной задаче (26), (27), решение кото-
рой элементарно.
Пусть это решение найдено, т.е. функция U(η, t) нам известна. Это квази-
одномерное решение, и, используя принцип B2, по нему можно построить
(восстановить) приближенное двумерное решение. Функция восстановления
в данном случае имеет вид:
2
( )
a
a b
φ−ρ⎛ ⎞
Ψ = Ψ φ = ⎜ ⎟−⎝ ⎠
,
1/ 22
2
21 1 cosbb
a
−
φ
⎡ ⎤⎛ ⎞
ρ = − − φ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
, (28)
где {ϕ, ρ} − полярная система координат, начало которой совпадает с тако-
вым у системы xOy, а связи {x, y} → {ϕ, ρ} имеют обычный вид. Здесь ρϕ ∈
[b, a], ϕ ∈ [0, π/2]. Легко убедиться, что функция Ψ(ϕ) удовлетворяет всем
ранее сформулированным требованиям:
Ψ(0)=0, Ψ(π/2)=1,
0 / 2
d d 0
d dφ= φ=π
Ψ Ψ
= =
φ φ
.
Физика горных процессов на больших глубинах
73
Решение задачи исчерпывается записью аналога (2), где ( ) ( , )x t−μ соответст-
вует ( , )U x t′ , а ( ) ( , )x t+μ − ( , )U y t′ . Вместо Ψ(y) в (2) стоит Ψ(ϕ) по (28).
4.3. Аварийные выработки
Аварийные режимы в горных выработках можно, с некоторой условно-
стью, разделить на «быстрые» и «медленные». Примеры первых: взрывы ме-
тана и угольной пыли, нестационарные аэродинамические режимы при
взрывах и внезапных обрушениях, начальные фазы экзогенных пожаров,
«холодовые удары» (при отказе калориферов в зимний период). Ко вторым
можно отнести развитые экзогенные пожары, эндогенные пожары, горение
метана в труднодоступных местах. В этих ситуациях, как следует из литера-
турных источников [4−6,26], математические модели процессов двух- и
трехмерны. Поэтому на первый план выходят не оценки возможности ре-
дукции модели (так как в тех случаях, где такие оценки осуществляются,
они показывают, что неодномерностью модели пренебрегать нельзя), а раз-
работка методов приближенного решения двух- и трехмерных задач (в том
числе −в сопряженной постановке).
4.3.1. Быстропротекающие процессы. В большинстве случаев обязате-
лен сопряженный подход, т.е. решение задач теплопереноса не только в мас-
сиве, но и в выработке и согласование этих решений на стенке выработки.
Нестационарный тепловой режим выработки может быть описан уравнени-
ем [27]:
2
ст2 ( )
p
T T TV a T T
t x C Sx
∂ ∂ ∂ αΠ
+ = + −
∂ ∂ ρ∂
, ( , )T T x t= . (30)
Здесь t − время; x − продольная (совпадающая с осью выработки) координа-
та; П, S − периметр и площадь сечения выработки; V − средняя по сечению
выработки скорость вентиляционной струи (либо газовоздушной, далее −
струи); a, ρ, Cp − соответственно температуропроводность, плотность и
удельная теплоемкость струи; Tст − температура стенки выработки (в ряде
моделей Tст ⋍ const, но для сопряженных задач − Tст = Tст(x, t)); α − коэффи-
циент конвективного теплообмена. В (30) уже осуществлено усреднение
температуры струи по сечению выработки, поэтому T = T(x, t).
Оценим порядок членов в (30).
1~T TV V
x x
∂ Δ
∂ Δ
,
2
2
2 2~T Ta a
x x
∂ Δ
∂ Δ
,
2 2
2
1
/ ~
/
a T x a T
V T x xV T
∂ ∂ Δ
∂ ∂ Δ Δ
. (31)
Здесь Δ1T, Δ2T − соответственно первая и вторая конечные разности; Δx << L
− малый по сравнению с длиной выработки L шаг по x (так как D << L, D = 2R0,
где R0 − радиус сечения выработки, то Δx ≈ D). Так как Δ2T < Δ1T, то в по-
следнем из отношений (31) принятие условия Δ2T ⋍ Δ1T лишь ослабляют
оценку его малости. Таким образом, условие пренебрежения в (30) кондук-
Физика горных процессов на больших глубинах
74
тивным переносом по сравнению с конвективным, т.е. отбрасывание перво-
го члена в правой части:
1a
VD
<< , Pe >> 1, Pe = PrRe, Pr
a
ν
= , Re VD
=
ν
. (32)
Здесь ν – вязкость струи, Pr, Re, Pe − соответственно безразмерные числа
Прандтля, Рейнольдса, Пекле. Аналогичный (32) критерий известен для задач
теплопереноса в трубах и каналах [25]. Для воздушной струи [26] Pr ⋍ 0,7,
Re ~ 104, Pe ~ 7·103 >> 1. Таким образом, (30) можно записать в виде
ст( )T TV T T
t x
∂ ∂
+ = β −
∂ ∂
,
pC S
αΠ
β =
ρ
. (33)
Оценим далее порядок слагаемых в левой части (33). Имеем:
1
0
~T T
t
∂ Δ
∂ τ
, 1~T TV V
x D
∂ Δ
∂
, 0/ ~
/ L
V T x L
T t D
τ∂ ∂
γ =
∂ ∂ τ
, L
L
V
τ = , (34)
где τ0 − характерное время переходного процесса; τL − характерное время
«прохода» струи от x = 0 до x = L; L, D − длина и диаметр выработки. Формаль-
но возможны три случая: 1) γ ~ 1 (при τ0/τL << 1, так как L/D >> 1); 2) γ >> 1
(при τ0 ≳ τL); 3) γ << 1 (при τ0/τL << 1, но L/D ~ 1). Последний случай, как
соответствующий камерам, а не выработкам, отбрасываем. Случай 1) харак-
теризует быстротекущие процессы, так как условие τ0/τL << 1 при V =
= 0,5−2,0 м/с и L = 103 м эквивалентно условиям τ0 << 8,3−34 мин. При этом
в левой части (33) необходимо сохранить оба слагаемые. Случай 2) может
быть назван квазистационарным, так как при τ0 ≳ τL γ >> 1 и член ∂T/∂t в
(33) может быть отброшен.
Рассмотрим модель сопряженного быстротекущего процесса теплопере-
носа в выработке с начальной температурой струи T0 и температурой масси-
ва в области r ∈ (R0, Rз(ta)), равной
0пT . Рассматриваем промежуток времени
t ∈ (0, ta) распространения по выработке «теплового удара» за счет мгновен-
ногоподъема температуры струи в начальном сечении выработки (x = 0) от
T0 до
0aT >> T0 с последующим ее изменением по закону Ta = Ta(t). Таким
образом, уравнение (33) в данной модели необходимо дополнить краевыми
условиями:
00( , ) tT x t T= = , x > 0; 0( , ) ( )axT x t T t= = , t > 0; ( )/ 0xT x →∞∂ ∂ → . (35)
Здесь нет противоречия с ранее принятыми условиями t ∈ (0, ta) и x ∈ (0, L),
поскольку нас интересует функция T(x, t) на конечных временном и про-
странственном интервале, которая легко находится по таковой, определен-
ной при t > 0 и x > 0. Кроме того, условия t > 0 и x > 0 позволяют применить
для решения задачи эффективный прием − двойное преобразование Лапласа.
Физика горных процессов на больших глубинах
75
Температурное поле в массиве описывается функцией Tм(x, r, t), удовле-
творяющей уравнению (4), для которого Ω = {x > 0, r ∈ [R0, Rз(ta)]}. Величи-
на Rз(ta) = з 0 з 0 м( ) ( ) 4a a aR t R t R a t= + δ = + − радиус «зоны прогрева» мас-
сива (аналог охлажденной зоны), aм − температуропроводность массива. Для
aм = 20·10−4 м2/ч [2] и ta = 0,5 ч, δз(ta) ⋍ 12,6 см. Воспользуемся аппрокси-
мацией (10), положив:
( )0 0
2
з
м п ст п
з
( )( , , ) ( , )
( )
a
a
R t rT x r t T T x t T
t
⎛ ⎞−
= + − ⎜ ⎟δ⎝ ⎠
, ( )0 з, ( )ar R R t∈ . (36)
Функция м ( , , )T x r t согласно (36) удовлетворяет начальному условию
0м п( , ,0)T x r T= (так как
0ст п( ,0)T x T= ) и граничным условиям по r:
0м ст( , , ) ( , )r RT x r t T x t= = ,
п0зм ( )( , . )
ar R tT x r t T= = , x > 0, t ∈ (0, ta). (37)
Если по (36) найти плотность потока тепла на стенке выработки
( )
0м м / r Rq T r == −λ ∂ ∂ и приравнять его (что соответствует использованию
граничного условия IV рода) плотности потока тепла от струи к стенке вы-
работки ( )в ст( , ) ( , )q T x t T x t= α − , то получим выражение, разрешив которое
относительно ст ( , )T x t , найдем
0п
з
ст
з
2( , )
( )( , ) 2
( )
a
a
T x t T
tT x t
t
λ
α +
δ
=
λ
α +
δ
. (38)
Подстановка (38) в (33) дает
0п ( , )T TV h T T x t
t x
∂ ∂ ⎡ ⎤+ = −⎣ ⎦∂ ∂
, з
з
2
( )
2
( )
a
a
th
t
λ
β
δ
=
λ
α +
δ
. (39)
В (39) параметр β соответствует (33). Уравнение (39) с учетом краевых условий
легко решается двукратным преобразованием Лапласа (по t и x), и в итоге по-
лучаем:
[ ]
0 0
0
п п
0 п
exp , ,
( , )
exp( ) 1 exp( ) , .
a
x hT T t T x x Vt
V VT x t
T ht T ht x Vt
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − − ≤⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎨
⎪ − + − − >⎩
. (40)
Из (40) видно, что скачок температуры в начальный момент времени t = 0,
т.е. Ta(0) − T0 перемещается вдоль выработки на «фронте» x = Vt, одновре-
менно ослабляясь со временем как exp(−ht). Вне начального участка, т.е.
правее «фронта», когда x > Vt, влияния Ta(t) на температуру струи нет и она
возрастает от T0 до
0пT (при t → ∞). По (40) и (38) легко находится темпера-
Физика горных процессов на больших глубинах
76
тура стенки выработки при «тепловом ударе». Параметр δз(ta) во всех фор-
мулах можно считать равным 0,126 м.
4.3.2. Квазистационарные процессы. Так как теперь член ∂T/∂t в (33) мо-
жет быть отброшен (для t > ta ≈ 30 мин), воспользуемся тем, что формально
случаю ∂T/∂t → 0 соответствует случай t → ∞. Все формулы предыдущего раз-
дела можно использовать, а результат должен получиться из (40) при t → ∞.
При этом надо учесть, что случай x > Vt не рассматривается, так как это соот-
ветствует x → ∞. Кроме того, поскольку ширина зоны прогрева будет иной,
вместо δз(ta) надо везде использовать δз(tsi) (tsi − моменты «медленного» време-
ни, для которых ищется ( , )T x t ). Переходя в (40) к пределу t → ∞, получаем
( )[ ]0 п( , ) ( ) ( ) 1 exp( /a aT x t T t T T t hx V= + − − − . (41)
Это выражение, при согласовании обозначений, совпадает с полученным в
[28]решением задачи сопряженного теплопереноса в квазистационарном
режиме работы шахтного геотермального теплообменника.
5. Метод функций Грина
Настоящий метод используется для точного (без понижения размерности)
решения неодномерных краевых задач реже, чем другие, ранее перечислен-
ные [19,25]. Это связано со сложностями получения выражений для двух- и
трехмерных функций Грина, присущими традиционному подходу [19,22,25]
и слабой представленностью их в справочной литературе [25,29].
Предлагается метод нахождения неодномерных функций Грина − факто-
ризацией их на одномерные − на основе биобобщенной постановки краевых
задач. Поскольку основные составляющие этого метода одинаковы во всех
случаях, рассмотрим его на конкретном примере. Пусть есть область Ω горно-
го массива вокруг цилиндрической прямой выработки длиной L с радиусом
R0: { }0 1(0, ), ( , )x L r R RΩ = ∈ ∈ . Уравнение теплопроводности в массиве имеет
вид (4). Рассмотрим (без ограничения общности) первую краевую задачу:
0( , , ) ( , )tT x r t x r= = φ , ,x r∈Ω . (42)
( )
0( , , ) ( , )xT x r t r t−
= = ν , ( )( , , ) ( , )x LT x r t r t+
= = ν , 0 1( , )r R R∈ , t > 0. (43)
0
( )( , , ) ( , )r RT x r t x t−
= = μ ,
1
( )( , , ) ( , )r RT x r t x t+
= = μ , (0, )x L∈ , t > 0. (44)
Переход от стандартной постановки краевой задачи (4), (42)−(44) к биобоб-
щенной осуществляется введением характеристических функций интервала
t ∈ (0,∞) и области Ω [30] и биобобщенной функции ( , , )T x r t :
1 2( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , , )T x r t t x r T x r t= θ χ χ ,
1, 0,
( )
0, 0,
t
t
t
>⎧
θ = ⎨ ≤⎩
(45)
Физика горных процессов на больших глубинах
77
а χ1(x) и χ2(r) соответственно характеристические функции отрезков
(0, )x L∈ и 0 1( , )r R R∈ . Поскольку dθ/dt = δ(t), а производные от χ1(x) и χ2(r)
в граничных точках дают соответствующие δ-функции, подстановка (45) в
(4) с учетом (42)−(44) дает:
2 ( , , ) ( , , ) ( , , )T a T x r t x r t R x r t
t
∂
= ∇ +Ψ +Φ +
∂
, t ≥ 0, ,x r∈Ω ,
( , , ) ( , ) ( )x r t x r tΨ = φ δ , 1 2Φ = Φ +Φ , 1 2R R R= + ,
( ) ( )
1 1( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x r t a r t x r t x L− +⎡ ⎤′ ′Φ = Φ = − ν δ −ν δ −⎣ ⎦ ,
( ) ( )
2 2 0 1( , , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )x r t a x t r R x t r R− +⎡ ⎤′ ′Φ = Φ = − μ δ − −μ δ −⎣ ⎦ .
Функции 1R и 2R приводить нет необходимости, так как они содержат δ-
функции: δ(x), δ(x − L), δ(r − R0), δ(r − R1), что приводит, в силу однородных
граничных условий первого рода для функций Грина, к обнулению слагае-
мых решения ( , , )T x r t , содержащих 1R и 2R .
Биобобщенная постановка задачи (46) позволяет сразу выписать ее решение:
1
0
2
0 0 0
( , , ) d d d d ( , , ) ( , , ) ( , , )
R L t
R
T x r t r r x t G x x r r t t x r t x r t
π
⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= φ − − − Ψ +Φ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ . (47)
Здесь ( , , )G x r t − функция Грина задачи (50), удовлетворяющая уравнению
2 ( ) ( ) ( )
2
G r ra G x x t
t r
′∂ δ − ′− ∇ = δ − δ
′∂ π
(48)
и граничным условиям:
0 10
0
x L x r R r R
G G G G
= = = =
= = = = . (49)
Для определения ( , , )G x r t применим к (49) преобразование Лапласа по t, что
дает:
2 1 ( )( , , , , ) ( ) ( )
2
r rG x x r r p p a x x
r
− ′δ −⎛ ⎞′ ′ ′= − ∇ δ −⎜ ⎟′π⎝ ⎠
. (50)
Здесь p − параметр преобразования Лапласа, G − лаплас-трансформанта
функции Грина. Обратное преобразование Лапласа в (50) приводит к факто-
ризованной на две одномерные двумерной функции Грина:
( ) ( )
2
2 2
2 2 2
1 2
( )( , , , , ) ( ) exp( ) ( )
2
( )( ) exp ( ) exp ( )
2
( , , ) ( , , ), .
r x
r x
r rG x x r r t t at x x
r
r rt at t at x x
r
G r r t G x x t
′δ −⎛ ⎞′ ′ ′= θ ∇ δ − =⎜ ⎟′π⎝ ⎠
′⎡ δ − ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤′= θ ∇ θ ∇ δ − =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦′π⎝ ⎠⎣ ⎦
′ ′= ∇ = ∇ +∇
(51)
(46)
Физика горных процессов на больших глубинах
78
В (51) 1( , , )G r r t′ и 2 ( , , )G x x t′ − одномерные функции Грина соответственно
для областей 0 1( , )r R R∈ и (0, )x L∈ [31]. Для одномерных функций Грина
можно использовать литературные данные [29,31], а при необходимости уп-
рощения решения − приближенные их выражения. Последние найдены в
[31] в первом приближении, функции Грина во втором приближении приве-
дены в [32].
Выводы
1. Построение и исследование неодномерных моделей процессов перено-
са в горной теплофизике является актуальной задачей, поскольку такие мо-
дели более реалистичны, чем одномерные.
2. Использование двух- и трехмерных моделей необходимо при модели-
ровании аварийных режимов в горных выработках и при решении сопря-
женных задач теплопереноса.
3. Сформулированы методологические принципы, дающие в совокупно-
сти систему оценки возможностей редукции многомерных задач и их при-
ближенного решения.
4. Рассмотрен ряд моделей процессов переноса в проходимых, эксплуати-
руемых и аварийных выработках, приведены приближенные решения крае-
вых задач.
5. Предложен точный (без понижения размерности) метод решения мно-
гомерных краевых задач горной теплофизики, базирующейся на их биобоб-
щенной постановке и определении факторизованных функций Грина.
Автор выражает признательность чл.-корр. НАН Украины, д. т. н., проф.
А.Д. Алексееву за поддержку работ в области горной теплофизики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Щербань А.Н., Кремнев А.А. Научные основы расчета и регулирования тепло-
вого режима глубоких шахт: В 2 т. Т. 1. − Киев: Изд-во АН УССР, 1959. − 430 с.
2. Кузин В.А., Величко А.Е., Хохотва Н.Н. и др. Единая методика прогнозирова-
ния температурных условий в угольных шахтах. Макеевка−Донбасс: Изд-во
МакНИИ, 1979. − 196 с.
3. Кузин В.А., Пучков М.М., Венгеров И.Р. и др. Методика прогнозирования тем-
пературных условий в выработках вентиляционных горизонтов глубоких шахт.
Макеевка−Донбасс: Изд-во МакНИИ, 1984. − 61 с.
4. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Математические моде-
ли). 4. Теплоперенос в горных массивах. − Донецк, 2002. − 101 с. − (Препр. /
НАН Украины. ДонФТИ им. А.А. Галкина; 2002−4).
5. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Математические моде-
ли). 5. Теплоперенос в горных выработках. − Донецк, 2002. − 103 с. − (Препр. /
НАН Украины. ДонФТИ им. А.А. Галкина; 2002−5).
6. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Математические моде-
ли). 6. Процессы переноса при подземных пожарах. − Донецк, 2002. − 88 с. −
(Препр. / НАН Украины. ДонФТИ им. А.А. Галкина; 2002−6).
Физика горных процессов на больших глубинах
79
7. Щербань А.Н. Проблемы прогноза теплового режима шахт и подземных со-
оружений // Проблемы горной теплофизики: Материалы Всесоюзн. научно-
техн. конф. − Л.: Изд-во ЛГИ, 1974, − С. 127−132.
8. Дядькин Ю.Д., Щербань А.Н. Горная теплофизика и ее проблемы // Там же. −
С. 5−12.
9. Дядькин Ю.Д. Актуальные проблемы горной теплофизики // Записки ЛГИ им.
Г.В. Плеханова. − Л.: Изд-во ЛГИ, 1975. − Т. 67, вып. 1. − С. 20−30.
10. Щербань А.Н., Черняк В.П. Состояние тепловых условий и задачи в области
горной теплофизики // Теплофизические процессы в подземных сооружениях:
Тр. Международного Бюро по горной теплофизике. − Киев: Наукова думка,
1980. − С. 6−22.
11. Медведев Б.И. Тепловые основы вентиляции шахт при нормальных и аварий-
ных режимах проветривания. − Киев−Донецк: Вища школа, 1978. − 156 с.
12. Горб В.Ю., Клейнер А.А., Макаренко В.Л., Семко В.Н. О динамике охлаждения
нагретого горного массива // Разработка месторождений полезных ископаемых:
Респ. межвед. научно-техн. сб. − Киев: Технiка, 1983. Вып. 65. − С. 98−105.
13. Ониани Ш.И., Николаишвили Н.С. Охлажденная зона горного массива вокруг
выработки при постоянной температуре рудничного воздуха // Уголь Украины. −
1976. − № 11. − С.21−23.
14. Ябко И.А. Нестационарное температурное поле вокруг выработки некругового
сечения. − М., 1974. − 12. с. − Деп. в ВИНИТИ, № 1792.
15. Галицын А.С. Краевые задачи теплофизики подземных сооружений. − Киев:
Наукова думка, 1983. − 236 с.
16. Киреев В.А. Нестационарная теплопроводность анизотропного горного масси-
ва, нарушенного подземными сооружениями, Автореф. дис. … канд. техн. наук /
ИТТР АН УССР. − Киев, 1986. − 18.с.
17. Черняк В.П., Киреев В.А., Полубинский А.С. Нестационарный тепломассопере-
нос в разрушаемых массивах горных пород. Киев: Наукова думка, 1992. − 224 с.
18. Ониани Ш.И. Тепловой режим глубоких шахт при гидравлической закладке
выработанного пространства и сложном рельефе поверхности. Тбилиси: Мец-
ниереба, 1973. − 308 с.
19. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Математические моде-
ли). 7. Принципы развития парадигмы. − Донецк, 2002. − 111 с. − (Препр. / НАН
Украины. ДонФТИ им. А.А. Галкина; 2002−7).
20. Дульнев Г.Н., Сахова Е.В., Сигалов А.В. Принцип местного влияния в методе
поэтапного моделирования // ИФЖ. − 1983. − 45, № 6. − С. 1002−1008.
21. Прокопов В.Г., Фиалко Н.М., Шеренковский Ю.В. Основные принципы теории
локализации // Доп. НАН Украïни. − 2002. − № 6. − с. 98−104.
22. Курант Р. Уравнения с частными производными: Пер. с англ. − М.: Мир, 1964. −
830 с.
23. Березовский А.А., Березовский С.А., Цыганкевич Я. Математическая модель
процесса самонагревания цилиндрического слоя угля // Доп. НАН Украïни. −
2002. − № 6. − с. 93−98.
24. Фиалко Н.М., Прокопов В.Г., Сариогло В.Г. Особенности математического мо-
делирования температурных режимов печатных узлов в условиях индивидуаль-
ной газовой пайки электронных компонентов // Промышленная теплотехника. −
1997. − 19, № 2−3. − С. 43−46.
Физика горных процессов на больших глубинах
80
25. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. − М.: Энергия, 1971. − 560 с.
26. Венгеров И.Р. Тепломассоперенос в шахтах и рудниках (Математические моде-
ли). 3. Массоперенос в горных выработках. − Донецк, 2002. − 101 с. − (Препр. /
НАН Украины. ДонФТИ им. А.А. Галкина; 2002−3).
27. Брайчева Н.А., Добрянский Ю.П., Щербань А.Н. К постановке задач о тепловом
режиме теплоносителя, движущегося в горной выработке // Промышленная те-
плотехника. − 1986. − 8, № 1. − С. 19−22.
28. Костенко В.К., Венгеров И.Р. Математическая модель эксплуатационного ре-
жима шахтного геотермального теплообменника // Изв. Горного ин-та ДонНТУ.
− 2007. − Вып. 2. − С. 137−143.
29. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. −
М.: Наука, 1979. − 224 с.
30. Венгеров И.Р. Хроноартефакты термодинамики. − Донецк: Норд-Пресс, 2005. −
236 с.
31. Венгеров И.Р. Теория линейного переноса в слоистых системах. − Донецк,
1982. − 64. с. − (Препр. / АН УССР. ДонФТИ; 82−77).
32. Венгеров И.Р. Нелинейные модели теплофизики геотехносферы // Физико-
технические проблемы горного производства: Сб. науч. тр. − Донецк: ИФГП
НАНУ, 2006. − Вып. 9. − С. 121−140.
|