Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках

Передбачаються осциляції ширини лінії поверхневого плазмона та спектральної добротности в металевих наночастинках зі зміною діелектричної сталої середовища, в якому вони розміщені. Обчислення проводилися на основі методу кінетичних рівнянь, який уможливлює врахувати ефекти розсіяння електронів на вн...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2016
Автор:	Григорчук, М.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2016
Назва видання:	Металлофизика и новейшие технологии
Теми:	Электронные структура и свойства
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112583
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках / М. І. Григорчук // Металлофизика и новейшие технологии. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 717-735. — Бібліогр.: 35 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-112583
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1125832017-01-24T03:02:35Z Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках Григорчук, М.І. Электронные структура и свойства Передбачаються осциляції ширини лінії поверхневого плазмона та спектральної добротности в металевих наночастинках зі зміною діелектричної сталої середовища, в якому вони розміщені. Обчислення проводилися на основі методу кінетичних рівнянь, який уможливлює врахувати ефекти розсіяння електронів на внутрішній поверхні частинки у випадку, коли середня довжина вільного пробігу електрона перевищує розмір частинки. Головну увагу приділено внеску поверхневого розсіяння у згасання плазмона. Всі обчислення ширини лінії та її добротности проілюстровано на прикладі наночастинок Au і Na різних радіусів. Предвидятся осцилляции ширины линии поверхностного плазмона и спектральной добротности в металлических наночастицах при изменении диэлектрической постоянной среды, в которой они размещены. Вычисления выполнялись на основе метода кинетических уравнений, который позволяет учесть эффекты рассеяния электронов на внутренней поверхности частицы в случае, когда средняя длина свободного пробега электрона превышает размер частицы. Главное внимание уделено вкладу поверхностного рассеяния в затухание плазмона. Все расчёты ширины линии и её добротности проиллюстрированы на примере наночастиц Au и Na разных радиусов. We predict both the surface plasmon line width and the figure of merit oscillations in metal nanoparticles with varying the dielectric constant of an embedding medium. The calculations are based on the kinetic equation approach, which allows one to account for the effects of electrons’ collisions with the nanoparticle surface in the case when the electron mean free path is much greater than the particle size. Main attention is paid to the electron-surface scattering contribution to the plasmon decay. All calculations of both the line width and the figure of merit are illustrated by the example of the Au and Na nanoparticles with different radii. 2016 Article Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках / М. І. Григорчук // Металлофизика и новейшие технологии. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 717-735. — Бібліогр.: 35 назв. — укр. 1024-1809 PACS: 52.25.Mq, 68.49.Jk, 71.45.Gm, 73.20.Mf, 73.23.-b, 78.67.Bf DOI: 10.15407/mfint.38.06.0717 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112583 uk Металлофизика и новейшие технологии Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Электронные структура и свойства Электронные структура и свойства
spellingShingle	Электронные структура и свойства Электронные структура и свойства Григорчук, М.І. Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках Металлофизика и новейшие технологии
description	Передбачаються осциляції ширини лінії поверхневого плазмона та спектральної добротности в металевих наночастинках зі зміною діелектричної сталої середовища, в якому вони розміщені. Обчислення проводилися на основі методу кінетичних рівнянь, який уможливлює врахувати ефекти розсіяння електронів на внутрішній поверхні частинки у випадку, коли середня довжина вільного пробігу електрона перевищує розмір частинки. Головну увагу приділено внеску поверхневого розсіяння у згасання плазмона. Всі обчислення ширини лінії та її добротности проілюстровано на прикладі наночастинок Au і Na різних радіусів.
format	Article
author	Григорчук, М.І.
author_facet	Григорчук, М.І.
author_sort	Григорчук, М.І.
title	Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках
title_short	Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках
title_full	Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках
title_fullStr	Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках
title_full_unstemmed	Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках
title_sort	поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2016
topic_facet	Электронные структура и свойства
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/112583
citation_txt	Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках / М. І. Григорчук // Металлофизика и новейшие технологии. — 2016. — Т. 38, № 6. — С. 717-735. — Бібліогр.: 35 назв. — укр.
series	Металлофизика и новейшие технологии
work_keys_str_mv	AT grigorčukmí povedínkalíníípoverhnevogoplazmonnogorezonansuvmetalevihnanočastinkah
first_indexed	2025-07-08T04:11:58Z
last_indexed	2025-07-08T04:11:58Z
_version_	1837050570681090048
fulltext	717 PACS numbers: 52.25.Mq, 68.49.Jk, 71.45.Gm, 73.20.Mf, 73.23.-b, 78.67.Bf Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках М. І. Григорчук � Інститут теоретичної фізики ім. М. М. Боголюбова НАН України, вул. Метрологічна, 14б, 03680, МСП, Київ-143, Україна Передбачаються осциляції ширини лінії поверхневого плазмона та спект- ральної добротности в металевих наночастинках зі зміною діелектричної сталої середовища, в якому вони розміщені. Обчислення проводилися на основі методу кінетичних рівнянь, який уможливлює врахувати ефекти розсіяння електронів на внутрішній поверхні частинки у випадку, коли середня довжина вільного пробігу електрона перевищує розмір частинки. Головну увагу приділено внеску поверхневого розсіяння у згасання плаз- мона. Всі обчислення ширини лінії та її добротности проілюстровано на прикладі наночастинок Au і Na різних радіусів. Ключові слова: плазмонні коливання, поверхневий плазмонний резо- нанс, ширина спектральної лінії, металеві наночастинки, діелектричне середовище. We predict both the surface plasmon line width and the figure of merit oscil- lations in metal nanoparticles with varying the dielectric constant of an em- bedding medium. The calculations are based on the kinetic equation ap- proach, which allows one to account for the effects of electrons’ collisions with the nanoparticle surface in the case when the electron mean free path is much greater than the particle size. Main attention is paid to the electron- surface scattering contribution to the plasmon decay. All calculations of both the line width and the figure of merit are illustrated by the example of the Au Corresponding author: Mykola Ivanovych Grygorchuk E-mail: ngrigor@bitp.kiev.ua Bogolyubov Institute for Theoretical Physics, N.A.S. of Ukraine, 14-b Metrologichna Str., UA-03143 Kyiv, Ukraine Please cite this article as: N. I. Grygorchuk, Behaviour of a Line of the Surface Plasmon Resonance in Metal Nanoparticles, Metallofiz. Noveishie Tekhnol., 38, No. 6: 717—735 (2016) (in Ukrainian), DOI: 10.15407/mfint.38.06.0717. Металлофиз. новейшие технол. / Metallofiz. Noveishie Tekhnol. 2016, т. 38, № 6, сс. 717—735 / DOI: 10.15407/mfint.38.06.0717 Оттиски доступны непосредственно от издателя Фотокопирование разрешено только в соответствии с лицензией ��2016 ИМФ (Институт металлофизики им. Г. В. Курдюмова НАН Украины) Напечатано в Украине. 718 М. І. ГРИГОРЧУК and Na nanoparticles with different radii. Key words: plasmon vibrations, surface plasmon resonance (SPR), spectral linewidth, metal nanoparticles, dielectric environment. Предвидятся осцилляции ширины линии поверхностного плазмона и спектральной добротности в металлических наночастицах при изменении диэлектрической постоянной среды, в которой они размещены. Вычисле- ния выполнялись на основе метода кинетических уравнений, который позволяет учесть эффекты рассеяния электронов на внутренней поверх- ности частицы в случае, когда средняя длина свободного пробега электро- на превышает размер частицы. Главное внимание уделено вкладу поверх- ностного рассеяния в затухание плазмона. Все расчёты ширины линии и её добротности проиллюстрированы на примере наночастиц Au и Na раз- ных радиусов. Ключевые слова: плазмонные колебания, поверхностный плазмонный резонанс, ширина спектральной линии, металлические наночастицы, ди- электрическая среда. (Отримано 27 квітня 2016 р.) 1. ВСТУП Поверхневий плазмонний резонанс (ППР) металевих наночастинок (МН) є дуже чутливим до показника заломлення оточуючого сере- довища. Можливість вимірювати оптичні ефекти зі зміною показ- ника заломлення часто використовують для визначення хімічної чутливости (щоб зафіксувати зміни в оточуючому середовищі) та при зондуванні динаміки біологічних молекул [1—3]. Останнім ча- сом досліджувались спектральні особливості впливу оточення на наночастинки Ag і Au, наприклад, в роботах [4—7]. Вивчення ППР у МН далі викликає велику фундаментальну цікавість, оскільки його положенням, формою та інтенсивністю можна керувати у широко- му спектральному інтервалі змінюючи розмір чи форму МН [8—10], або змінюючи оточуюче середовище [11]. Плазмонне збудження може розпадатись через різні механізми релаксації [8—10], що спричиняє природну ширину лінії * (повна ширина на половині максимуму). Параметр * розглядається як го- ловний параметр у таких застосуваннях як сенсори [12, 13], підви- щене поверхнею Раманове розсіяння [14], концентрація поля для наноформувань з нанодротами [15], плазмонна нанолітографія [16], нанооптика [17] і т.д. У роботах [18, 19] вперше були знайдені осциляції часу життя ППР, як функції розміру наночастинки. Для оцінок фізичних па- раметрів використовувалась напівкласична теорія. Донедавна в ек- спериментальних [3—5, 20—25] і теоретичних [26—33] роботах вва- ПОВЕДІНКА ЛІНІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСУ 719 жали, що ширина лінії ППР у металевих наночастинках гладко змінюються зі зміною показника заломлення оточуючого частинку середовища і детально її поведінка не вивчалася. Нижче представимо обчислення ширини лінії ППР сфероїдної металевої наночастинки, яка може знаходитися в середовищах з різними діелектричними константами. У нашому підході викорис- товується метод кінетичних рівнянь. Розглядається випадок, коли середня довжина вільного пробігу (СДВП) електрона стає порівня- ною з розмірами частинки. Тоді розсіювання електронів на внутрі- шній поверхні частинки набуває вагомого значення [8] і, таким чи- ном, поверхня починає виступати як додатковий розсіювач. У рам- ках такого підходу ми вперше знайшли, що ширина лінії ППР ос- цилює як функція діелектричної проникности оточуючого середо- вища. Далі статтю побудовано так: теоретичні основи проблеми описані у другому розділі. Розділ 3 присвячений осциляціям ширини плаз- монної лінії. У 4-му розділі проведено обчислення спектральної до- бротности лінії ППР. І останній розділ містить висновки. 2. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ Взаємодію електромагнетної (ЕМ) хвилі з окремою МН, оточеною певним середовищем вивчатимемо у рамках класичної оптики. Вва- жається, що частинка і середовище є неперервними, гомогенними і характеризуються своїми діелектричними проникностями. Спект- роскопія розсіювання на окремій наночастинці, яка основана на спектрі локалізованого ППР, на даний час є добре розвинутою [22]. У класичному випадку вільних електронів в об’ємі металу, зга- сання ( ,bJ { Q де Q – частота електронних зіткнень) є зумовленим розсіюванням електронів на фононах, дефектах ґратниці, чи на до- мішках, які, загалом, скорочують СДВП електрона. У цьому випа- дку часто подають об’ємне згасання як / ,b F lfJ X де FX – швид- кість Фермі, а lf – СДВП електрона провідности в нескінченому об’ємі. Об’ємне розсіювання не спричиняє значного згасання у високо- частотному випадку, коли ZW !! 1. Тут Z – кутова частота світла, а W – час життя плазмона (або час релаксації), який можна оцінити як 1/W . З іншого боку, внесок поверхневого розсіювання у зга- сання є незначним, лише коли 2 21 , l d f �� Z W (1) де d – розмір частинки. Таким чином, внесок поверхневого розсію- вання є важливим, якщо 720 М. І. ГРИГОРЧУК max(1, ). l d fZW !! (2) Подібним чином, аби оцінити вплив електронного розсіяння на поверхні, часто використовують таке емпіричне відношення [9, 30]: XJ eff F s A l , (3) де leff – ефективна СДВП електрона і A – деякий феноменологіч- ний фактор. Однак ця формула може бути застосована лише до МН сферичної форми у випадку, коли СДВП електрона l є меншою від розміру частинки d. Якщо форма частинки відрізняється від сфе- ричної і l !! d, вираз (3) не можна більше використовувати. Розглядатимемо розсіювання EM-хвиль на металевій наночасти- нці, розміри якої d є набагато меншими від довжини хвилі падаю- чого світла /cO Z , або kd �� 1, де c – швидкість світла у вакуумі і k – хвильовий вектор світла. Тоді EM-поле довкола МН можна роз- глядати як гомогенне, а всередині частинки – однорідне, так що всі електрони провідности рухаються у фазі, створюючи лише ко- ливання дипольного типу. Додатковим обмеженням на розміри частинки є СДВП електро- на. Ми вибираємо розміри МН набагато меншими від lf . Тоді зітк- нення електронів провідности з поверхнею частинки стають най- більш впливовим релаксаційним процесом. У цьому випадку дифу- зне розсіювання електронів на поверхні частинки є прийнятним на- ближенням [29, 32]. Щоб врахувати вплив поверхні, часто використовують комплек- сну діелектричну проникність матеріалу [5, 8, 25, 31] ic ccH H � H , з 2 eff int er 2 2 2 eff 2 2 ( , ) ( ) 1 , ( ) ( , ) , ( ) pl b s pl b s b s l l Z§ ·cH Z H Z � �¨ ¸Z � J � J© ¹ Z J � JccH Z Z Z � J � J (4) де Hinter – враховує міжзонні електронні переходи, а вираз у вели- ких круглих дужках стосується внутрішньо-зонних електронних переходів; 2 24 / ,pl ne mZ S де e і m є, відповідно, заряд і маса елект- ронів, а n – описує концентрацію електронів. Вплив поверхні у цьому випадку зводиться просто до появи додаткового члена eff( )s s lJ { J у знаменнику виразів (4) у вигляді, який задається фор- мулою (3). У нашій моделі будемо шукати вирази для суми ,b s � * корис- туючись методом кінетичних рівнянь. Обмежимося випадком час- тот, близьких до частоти коливань електронної плазми в об’ємі ме- ПОВЕДІНКА ЛІНІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСУ 721 талу. Тоді обома доданками b і s можна нехтувати у знаменнику формули (4), а діелектричну функцію для газу вільних електронів в рамках моделі Друде—Зоммерфельда можна виразити як [8, 9, 32] 2 ( ) ( ) 1 , ( ) 4 ,pl jj jjjj jj cV ZZ§ ·c ccH Z � H Z S¨ ¸Z Z© ¹ (5) де Vjj – реальна частина тензора електропровідности МН. Впливом поляризації оболонки (міжзонним внеском, або, іншими словами, внеском зв’язаних електронів) у цих формулах знехтувано. Для звичайних металів (наприклад, K, Na, Be, Al, Mg тощо) це є добрим наближенням в області частот, яка нас цікавить. Але для інших ме- талів, таких, наприклад, як Ag, необхідно брати до уваги міжзонні переходи, або поляризацію оболонки [5, 25]. Тоді доданок Hinter треба враховувати у правій частині рівняння (4) для Hc. Для простоти, вважатимемо, що діелектрична матриця не має впливу на МН і мо- же бути описана як ( ) const , 0,m m mc c ccH Z \| H H (6) тобто реальна частина діелектричної сталої оточуючого середовища є незалежною від частоти, а її уявна частина дорівнює нулю. Однак, може виявитись у деяких випадках, що діелектричне середовище є сильно поглинальним на частотах, менших від Zpl. Тоді mccH стає за- лежним від частоти і також дає внесок у згасання осциляцій. Якщо МН помістити в діелектричне середовище з Hm ! 1, тоді вплив зовнішнього електричного поля на МН слабшає і починає за- лежати від його показника заломлення. Це змінює плазмонні влас- тивості наночастинки, зокрема, впливає на положення піка ППР. Введемо швидкість згасання подібно як у [33] 4 ( , ) ( ). (1 ) j m jj m j m L L Sc c* Z H V Z c cH � � H (7) Вираз (7) визначає також ширину лінії ППР або, відповідно, час ро- зпаду плазмонного резонансу, зумовленого розсіюванням електро- нів як в об’ємі, так і на поверхні частинки. Коефіцієнти Lj задають головні значення j-ї компоненти тензора деполяризації, відомі та- кож як геометричні фактори. Явний вигляд Lj для МН якоїсь певної форми можна знайти будь-де (див., наприклад, [34], [8]). Знання часу розпаду (або швидкости згасання) є важливим для розуміння механізмів згасання коливань електронної плазми. У випадку сере- довищ з 1,mcH o вираз (7) скорочується до простого вигляду ( ) 4 ( ).j j jjL c* Z S V Z (8) 722 М. І. ГРИГОРЧУК Таким чином, швидкість згасання плазмонного резонансу можна визначити, помноживши електропровідність МН на частоті світла (оптична провідність) на геометричний фактор. Аби знайти j(Z), необхідно встановити залежність від частоти дійсної частини тензора провідности. Для різних частотних інтер- валів існують різні способи обчислення Vjj(Z). Далі ми розглянемо один, де застосовується метод кінетичних рівнянь. Перевагою цього методу є те, що він дозволяє досліджувати частинки, розміри яких є настільки малими, що їх поверхня починає відігравати важливу роль. До того ж, він дозволяє вивчати вплив поверхні наночастинки на вимірювані фізичні величини. Однією з найпростіших форм несферичних частинок, зручною для описання є сфероїдна форма. Тому ми обмежимось нижче розг- лядом лише частинок такої форми. Для цьому випадку раніше ми знайшли [32], що компоненти тензора провідности для світла поля- ризованого вздовж (\|\|) та впоперек (A ) осі обертання сфероїдної МН мають вигляд: 2 /22 \|\| 3 0 sin cos 9 1 ( ) Re ( ) ,1 16 sin 2 F pl d i S § · ¨ ¸A© ¹ X X ª ºT T§ ·Z « »¨ ¸cV Z < T T« »¨ ¸S Q � Z T¨ ¸« »© ¹¬ ¼ ³ (9) Q – частота електронних зіткнень, а T – кут між віссю обертання сфероїда і напрямком швидкости електрона. Тут і далі верхньому (нижньому) символам у круглих дужках у лівій частині рівняння (9) відповідає верхній (нижній) вирази в круглих дужках у правій частині цього рівняння. Індекс X FX означає, що у кінцевих вира- зах електронну швидкість слід покладати рівною швидкості елект- рона на поверхні Фермі. Комплексна функція <, яка входить у ви- раз (9), є такою 2 4 1 ( ) ( ) 1 ,qq q e q q �§ ·< ) � �¨ ¸ © ¹ (10) де 3 4 2 4 2 ( ) , ( ) 3 R q q i q q ) � � Q � Z cX (11) і cX – «деформована швидкість» електрона 22 \|\| sin cos ( ),R R RA § ·T T§ ·c cX X � { X T¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹ (12) X – швидкість електрона в сферичній частинці з радіусом R, \|\|R та ПОВЕДІНКА ЛІНІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСУ 723 RA – півосі сфероїда, направлені вздовж і впоперек осі обертання сфероїда відповідно 1. Півосі пов’язані з радіусом сфери еквівалент- ного об’єму R за допомогою співвідношення 3 2 \|\| .R R RA У випадку МН сферичної форми \|\| ,R R RA і функція < перестає залежати від кута T. Останній доданок в (10) представляє осциляційну частину функ- ції <, а перший – її гладку частину. Функція < у виразі (10) зміню- ється зі зміною кута T, оскільки параметр q для сфероїдної частин- ки стає залежати від кута T, а саме 2 2 2 2 \|\| 2 ( ) . cos sinF i q R RA Q � ZT X T T� (13) 3. ОСЦИЛЯЦІЙ ШИРИНИ ПЛАЗМОННОЇ ЛІНІЇ У загальному випадку, аби вивчити поведінку лінії ППР, необхідно провести чисельні обчислення у виразі (7) з використанням загаль- ного виразу для тензора провідности, що задається рівністю (9). Формулу (7) з ( ),jjcV Z що описується виразом (9), можна розділити на дві складові, які описують гладку та осцилюючу частини шири- ни лінії ППР: 0 osc. � * Для одержання гладкої частини, обмежи- мось лише першим доданком у виразі (10). А для одержання осци- ляційної частини, досить зберегти лише останній доданок в (10). Поблизу резонансу поверхневого плазмона, світло може взаємо- діяти з частинкою через площу перерізу, більшу, ніж геометричний переріз частинки, оскільки поляризовність частинки у цій області частот стає дуже великою. Представимо тепер результати чисельних розрахунків ширини лінії ППР для сферичної та сфероїдної наночастинок Na, розміще- них у діелектричних середовищах з різними значеннями Hm. Обчис- лення було виконано на частоті плазмонного резонансу cZ Z � H � 1/2{1 [(1/ ) 1]}pl m jL з використанням виразів (7), (8), і (9) та наступних значень параметрів (для Na [35]): 222,65 10en # � см�3, X � 81,07 10 см/сF . Для частинки сферичної форми множник Lj треба покласти рівним 1/3. На рисунку 1 подано залежність ширини лінії ППР від Hm для сферичної наночастинки Na трьох різних розмірів. Діелектричну сталу Hm можна змінювати, для прикладу, використовуючи розчин- ники з різними коефіцієнтами заломлення. Як можна бачити з рис. 1, при збільшенні Hm повна ширина лінії 1 Для витягнутого сфероїда (a ! b c) \|\|R a і A R b ; однак для сплющено- го сфероїда (a b ! c) \|\|R b і .R aA 724 М. І. ГРИГОРЧУК ППР поступово зростає й осцилює довкола своєї гладкої частини. Осцилюючий доданок є важливою поправкою до 0(R), особливо за малих радіусів частинки: осциляції добре виражені для наночасти- нок Na малих радіусів і зникають для наночастинок великих радіу- сів. Найменший допустимий радіус МН, який може тут розгляда- тись, обмежений деяким значенням Rmin. Це зумовлено тим, що ми не можемо застосовувати кінетичний метод в області значень R, де важливу роль відіграють квантові ефекти (такі, наприклад, як зга- сання Ландау). Для кінетики наступна нерівність переважно по- винна мати місце: 2 .dB F R R m S!! X = (14) Для наночастинок Na, наприклад, 7dBR # Å. В експериментах для МН малих радіусів (де внесок об’ємного ро- зсіювання в стає незначним) [25], з ростом Hm було помічено лише зменшення ширини лінії ППР. Інші результати такі. Зі зростанням радіуса частинки ширина лінії ППР суттєво зменшується і осцилює довкола певної сталої ве- Рис. 1. Залежність повної (суцільні лінії) та гладкої (штриховані лінії) компонент ширини лінії поверхневого плазмонного резонансу від діелект- ричної проникности оточуючого середовища для сферичних наночастинок Na з радіусами 20, 30 та 50 Å. Fig. 1. The total (solid lines) and smooth (dashed lines) line width of the sur- face plasmon resonance vs dielectric constant of an environment media for spherical Na nanoparticles with the radii of 20, 30, and 50Å. ПОВЕДІНКА ЛІНІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСУ 725 личини в середовищах з більшим значенням діелектричної сталої. Величина цих осциляцій є тим більшою, чим менший розмір час- тинки і значно виростає зі збільшенням Hm. Положення резонансного піка може зміщуватися зі зміною Hm. Напрямок спектрального зміщення залежить від багатьох чинни- ків, які всебічно вивчались у більш ранніх публікаціях, наприклад, [6—9, 25]. Розглянемо наночастинку несферичної форми, наприклад, сфе- роїдну. Морфологію сфероїдної частинки можна описати за допомо- гою відношення \|\|/ .R R xA { Сплюснутому сфероїду (дископодібно- му) відповідатиме випадок x ! 1, сферичним частинкам – x 1, а витягнутому сфероїду (сигароподібному) – x � 1. Як вже зазначалось [8, 9, 33], будь-яке відхилення форми нано- частинки від сферичної, а разом з тим і поява анізотропії, приво- дить до розщеплення лінії поверхневого плазмона в спектрах на кі- лька мод. Якщо трансформація відбулася у бік сфероїдної форми, то таких мод – дві: поперечна (перпендикулярна до осі обертання сфероїда) і поздовжня (паралельно до цієї осі). Таким чином, ми бу- демо мати дві компоненти ширини лінії – поздовжню і поперечну відповідно. У загальному випадку, згасання лінії ППР у сплюснутих наноча- стинках Na виявилось сильнішим вздовж осі обертання сфероїда, ніж впоперек цієї осі. Для витягнутої наночастинки Na, навпаки, згасання вздовж осі обертання є слабкішим, ніж впоперек цієї осі. Такий результат утримується, незалежно від того, чи фотозбу- дження відбувається поблизу ППР, чи далеко від нього. На рисунку 2 зображено результати чисельних обчислень обох компонент ширини лінії ППР для витягнутої наночастинки Na за- лежно від величини Hm. Як можна бачити з цього рисунка, обидві компоненти ширини лінії ППР мають осциляційну поведінку до- вкола їх гладких частин зі збільшенням Hm. Поперечна ширина пла- змонної лінії перевищує поздовжню за будь-яких значень Hm. Ми не враховували тут внесок згасання Ландау [27] в ширину лі- нії ППР, оскільки цей внесок є істотним лише для частинок з ма- лими радіусами R, порядку 5—20 Å [19], для яких квантові ефекти відіграють важливу роль. Нижче, розглянемо простий випадок сферичних МН, що дає мо- жливість одержати явні аналітичні вирази для (Z). 3.1. Випадок сферичної МН Електропровідність для частинок сферичної форми стає скалярною величиною і можна у формулі (12) покласти \|\|R R RA { ; тоді зна- чення q та <-функції у виразах (13) і (10) перестають залежати від кута T. Інтеґрування за кутом T у виразі (9) зводиться до 726 М. І. ГРИГОРЧУК 2 2 3 0 sin cos 1 ,1 3sin 2 d S § ·T T ¨ ¸ T ¨ ¸T¨ ¸ © ¹ ³ (15) і для Vc ми одержуємо вираз 2 sph 3 ( ) Re 16 pl q i Z <§ ·cV ¨ ¸S Q � Z© ¹ (16) з 2 ( )/ ,q R i Q � Z X взятим при .FX X Введемо частоту електронних осциляцій між стінками частинки як /(2 ).s F RQ X (17) Залежно від розміру МН, її форми і температури, може існувати Рис. 2. Залежність компонент ширини лінії поверхневого плазмонного резонансу (поздовжньої (нижня суцільна лінія) і поперечної (верхня су- цільна лінія)) від діелектричної константи оточуючого частинку середо- вища для сфероїдної частинки з відношенням півосей \|\|/R RA 0,618 та об’ємом, еквівалентним об’єму сфери з радіусом 25 Å. Гладка частина компонент ширини лінії зображена штриховими лініями. Fig. 2. Dependence of the SPR line width components (longitudinal (lover sol- id line) and transverse (upper solid line)) vs dielectric constant of an environ- ment media for spheroidal Na nanoparticle with semi-axes’ ratio \|\|/R RA 0.618 and the volume equal to an equivalent sphere volume with the radius of 25 Å. The smooth part of line width components are presented by dashed lines. ПОВЕДІНКА ЛІНІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСУ 727 багато різних співвідношень між частотами Qs, Q та Zpl. Наприклад, для наночастинок Na з радіусом R � 2 Å, .s plQ \| Z З другого боку, для наночастинки Na з R ! 126 Å, частота електронних осциляцій стає Qs � Q, де 13 14,24 10 c�Q # � оцінено для Na при 300 К. Обмежи- мось далі лише випадком, коли Q �� Qs. У цьому граничному випад- ку, у першому наближенні, покладемо 0.Q o Тоді, після простих алгебричних дій, із допомогою виразу (16), для реальної частини V одержуємо наступний вираз Z ª ºQ Z Q Z§ ·cV \| Q � � �« »¨ ¸S Z Z Q Z Q© ¹¬ ¼ 2 2 sph 2 2 3 2 2 1 sin 1 cos 8 pl s s s s (18) за умови, що Q �� Qs. Якщо покласти осциляційні члени у виразі (18) рівними нулю, знехтувати доданком 2(Qs/Z)2 та скористатись другою рівністю у ви- разі (5), то дістанемо вираз для уявної частини діелектричної функ- ції, який буде лише тоді збігатися з виразом (4), якщо зробити за- міну 3 /2b s sJ � J o Q у знаменнику цього виразу. Ця заміна є подіб- ною до представленої виразом (3), і дотепер використовуються на практиці [23, 26]. Для МН сферичної форми фактор деполяризації \|\| 1/3,L LA тоді формула (7) скоротиться до вигляду sph sph 4 ( , ) ( ). 2 1 m m Sc c Z H V Z cH � (19) Підставляючи (18) у (19), одержимо 2 2 2 3 2 2 ( , ) 1 sin 1 cos . 2 1 2 pl s s s m m s s ª ºZ Q Q Z Q Z§ · § ·c* Z H \| � � �« »¨ ¸ ¨ ¸cH � Z Z Q Z Q© ¹ © ¹¬ ¼ (20) Взявши до уваги лише перший доданок у виразі (20), ми відтворимо (при 1mcH ) добре відому [9, 19, 27] (1/R)-залежність * 2 0 3 ( , ) . 2(2 1) 2 pl F m R R Z X§ ·* Z ¨ ¸cH � Z© ¹ (21) Як можна бачити з формул (20) і (21), час життя (1/W ) збудження в МН залежить не лише від радіуса частинки, але також від частоти EM-поля. Для частоти, що відповідає збудженню поверхневого плазмона в МН, розміщеної в діелектричній матриці з 1mcH ! res , 2 1 pl m Z Z cH � (22) 728 М. І. ГРИГОРЧУК з формули (21) можна одержати в енергетичних одиницях таке співвідношення: res 0 3 ( ) . 4 FR R X = (23) Необхідно звернути увагу на те, що це співвідношення викону- ється для МН, поміщених в матрицю з довільним значенням Hm. Ос- циляційні доданки в (20) забезпечують зростання осциляцій * до- вкола 0, як функції радіуса частинки та частоти. На частоті ППР їх можна репрезентувати таким чином: 2 osc res 3 ( , ) 2 1 4 F m m pl R R X§ ·c c H \| H � u¨ ¸Z © ¹ = 2 22 1 sin 1 cos , 22 1 2 1 pl plF m plF m F m R R R ª º§ ·cZ ZX H �u � � �« »¨ ¸¨ ¸Zc cX H � X H �« »© ¹¬ ¼ (24) за умови, що /(2 ).F RQ �� X Аналітична формула (24) задає у явному вигляді осциляційну залежність ширини лінії ППР (чи часу життя плазмона) від радіуса наночастинки та діелектричної константи оточення частинки. Амплітуду і період цих осциляцій можна оцінити за допомогою виразів 2 osc res 3 2 1 , 4 F m pl R X§ · c* H �¨ ¸Z © ¹ = (25) 2 1m pl T S c H � Z (26) відповідно. Як можна побачити з останніх рівнянь, як амплітуда, так і період осциляцій плазмона зростають для МН, розміщених у матриці з більшими діелектричними константами. Проте, ампліту- да плазмонних осциляцій спадає квадратично зі зростанням радіу- са частинки. Такий висновок підтверджується також чисельними розрахунками (рис. 1). 4. СПЕКТРАЛЬНА ДОБРОТНІСТЬ ЛІНІЇ ППР Аби уможливити порівняння загальної поведінки будь-яких МН у якості сенсорів, необхідно обчислити спектральну добротність (fig- ure of merit–FOM). Оскільки простіше виявити зсув ППР для ву- зьких ліній, то резонансний зсув відносно ширини лінії є більш ва- гомою мірою якости її чутливости. Тому спектральну добротність ПОВЕДІНКА ЛІНІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСУ 729 визначають як безрозмірне відношення між чутливістю до показ- ника заломлення середовища S та резонансною шириною лінії * [3, 4, 9, 24]. FOM / .S * (27) В частотних одиницях чутливість до показника заломлення можна представити як [25]: res( ) ,S n wZZ w (28) з � �res 2 . 1/ 1 pl jL nf Z Z H � � (29) Спектральну добротність відносно просто визначають експери- ментальним шляхом. Вона уможливлює порівнювати плазмонні властивості різних структур з єдиним гострим плазмонним резона- нсом. Вираз для швидкости розпаду плазмона, представлено вище фо- рмулою (7), де реальна частина провідности у випадку МН сферич- ної форми задається формулою (18) з частотою зіткнень (17). У загальному випадку формула (28) в енергетичних одиницях набуває вигляду � � � � 3/2 2 1/ 1 . 1/ 1 pl j j n L S L n Z f Z � ª ºH � �¬ ¼ = (30) Взявши суму виразів (23) і (24) для гладкої й осциляційної час- тин *, та вираз (27) з S, заданим формулою (30) при Lj 1/3 (випа- док сфери), можна одержати для FOM(Z) наступні вирази: 2 2 4 FOM( ) , 2 2 3( 2 ) 1 sin (1 cos ) n nf [Z ª ºH � � [ � � [« »[ [¬ ¼ (31) з 2 2 ( , ) . 2 pl F R n R n f Z [ { [ X � H (32) Формулу (31) можна застосовувати лише для МН сферичної форми. У випадку частинок сфероїдної форми, у відповідності з виразами (7), (27) та (30), одержуємо 730 М. І. ГРИГОРЧУК � � � � 1 \|\|/ \|\|/ \|\|/ 2 \|\|/ 1/ 1 ( ) FOM , 4 1/ 1 pln L L n � A A A f A cZ � V S H � � (33) де \|\|/AcV задається виразом (9). З виразів (33) та (9), (10), так само як з (31) та (32) для МН сферичної форми, можна бачити, що спектраль- на добротність осцилює зі зміною як радіуса частинки, так і показ- ника заломлення n оточуючого частинку середовища. Рисунок 3 демонструє поведінку спектральної добротности ППР як функції показника заломлення n для наночастинок Au з деяки- ми фіксованими радіусами. Штрихові (гладкі) криві (рис. 3) відпо- відають простому випадку, коли обома, другим та третім, доданка- ми знехтувано у квадратних дужках знаменника виразу (31). Спек- тральна добротність (FOM) для частинок Au зростає при малих зна- ченнях n, досягає максимального значення при 1,6n # , а потім спадає зі зростанням n. Як можна бачити з рис. 3, осциляції добро- тности довкола гладких кривих вносять значні зміни в цю залеж- ність, особливо за малих n. Осциляції добротности помітно згаса- Рис. 3. Спектральна добротність (FOM) поверхневого плазмонного резона- нсу як функція показника заломлення n оточуючого сферичну наночасти- нку Au середовища з ( fH 9,84) з радіусами 50 та 25 Å (суцільні лінії). Штрихові лінії подають залежність FOM(n) у випадку, коли знехтувано осциляційними доданками в знаменнику виразу (31). Fig. 3. The FOM of the surface plasmon resonance as a function of refractive index n of an environment media for spherical Au nanoparticles ( fH 9.84) with the radii of 50 and 25 Å (solid lines). The dashed lines represent the FOM(n), when the oscillation terms in the denominator of Eq. (31) are ne- glected. ПОВЕДІНКА ЛІНІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСУ 731 ють з ростом n і практично зникають при n ! 14. Це згасання збіль- шується зі зменшенням радіуса МН. Чим більшим є радіус МН і чим меншим є показник заломлення, тим більшою є обчислена добротність. На рисунку 4 проілюстрова- но поведінку добротности для наночастинок Au ( fH 9,84) залежно від радіуса МН для певних фіксованих значень показника залом- лення середовища. У цьому випадку також проявляються осциля- ції добротности. Величина цих осциляцій зростає для МН, розмі- щених у середовищі з меншим показником заломлення. Як видно (рис. 4, штрихові лінії) та з формули (31), добротність (у цілому) лі- нійно зростає зі збільшенням R. Однак осциляції добротности сут- тєво впливають на цю залежність, і ми маємо періодично ситуації, за яких, наприклад, для наночастинок Na з більшими радіусами добротність стає навіть меншою, ніж для наночастинок з меншими радіусами, або іншу, коли дві частинки з різними радіусами мають однакові значення добротности. Поведінка спектральної добротнос- ти при малих радіусах частинки R/aB � 15 Å суттєво відрізняється Рис. 4. Спектральна добротність (FOM) поверхневого плазмонного резона- нсу в залежності від радіуса МН (в одиницях радіусів Бора aB 0,53 Å) для сферичної наночастинки Au, розміщеної у воді з показником заломлення n # 1,33 або в середовищі з n 4 (суцільні лінії). Штрихові лінії відповіда- ють випадку, коли знехтувано осциляційними доданками у знаменнику виразу (31). Fig. 4. The FOM of the surface plasmon resonance vs radius of MN (in units of the Bohr radius, aB 0.53 Å) for spherical Au nanoparticles embedded in the water with refractive index n # 1.33 or in the medium with n 4 (solid lines). The dashed lines correspond to the case when the oscillation terms in the de- nominator of Eq. (31) are neglected. 732 М. І. ГРИГОРЧУК від лінійної тенденції і може бути описана більш точно в рамках квантової теорії. 5. ВИСНОВКИ У рамках методу кінетичних рівнянь, який дозволяє врахувати роль поверхні частинки, обчислена ширина лінії плазмонного резо- нансу у металевих несферичних наночастинках, розміщених у будь-якій діелектричній матриці. Одержано загальну формулу для швидкости згасання (чи часу розпаду), зумовленого розсіянням електронів в об’ємі та на поверхнях частинки. Вона уможливлює оцінити ширину лінії безпосередньо через тензор поляризації мета- левої частинки. Ясно показано, що ширина лінії плазмонного резонансу осцилює не лише зі зростанням радіуса частинки. Вперше виявлено, що ос- циляції резонансу поверхневого плазмону можуть відбуватися та- кож із зростанням діелектричної сталої оточуючого частинку сере- довища. Осциляції добре виражені для наночастинок з меншими радіусами і зникають для частинок великих радіусів. Величина цих осциляцій є тим більшою, чим меншим є радіус частинки, і помітно зростає зі збільшенням Hm. Наше дослідження продемонструвало, що для сфероїдних МН зі зміною діелектричної сталої осцилюють також поздовжня та поперечна компоненти лінії ППР. Період цих осциляцій залежить від об’єму частинки і збільшується зі зростан- ням співвідношення осей сфероїда. Амплітуда осциляцій збільшу- ється також зі зменшенням об’єму частинки. Ці результати мають важливе значення для розуміння результатів експериментальних мірянь у випадку, коли мають справу зі сфероїдними МН, об’єм яких відповідає об’єму сфери з радіусом, що перевищує 1,6 нм. Встановлено, що резонансне плазмонне згасання в сплюснутій наночастинці Na є сильнішим для лінії ППР, поляризованої вздовж осі обертання сфероїда, ніж упоперек цієї осі. Для витягнутих на- ночастинок Na, навпаки, згасання лінії ППР, поляризованої вздовж осі обертання, є слабкішим ніж упоперек цієї осі. Уперше передбачається осциляційна поведінка спектральної до- бротности як функції радіуса частинки та показника заломлення середовища, в якому розміщена частинка. Наші теоретичні передбачення і результати можуть бути важли- вими для аналізу транспортних та оптичних властивостей МН у до- вільних діелектричних середовищах. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. A. J. Haes, S. Zou, G. C. Schatz, and R. P. Van Duyne, J. Phys. Chem., 108: 109 (2003). ПОВЕДІНКА ЛІНІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСУ 733 2. J. Becker, A. Trügler, A. Jakab, U. Hohenester, and C. Sönnichsen, Plasmonics, 5: 161 (2010). 3. K. M. Mayer and J. H. Hafner, Chem. Rev., 111: 3828 (2011). 4. A. Alabastri, S. Tuccio, A. Giugni, A. Toma, C. Liberale, G. Das, F. De Angelis, E. Di Fabrizio, and R. P. Zaccaria, Materials, 6: 4879 (2013). 5. C. Noguez, J. Phys. Chem. C, 111: 3806 (2007). 6. M. M. Miller and A. A. Lazarides, J. Opt. A: Pure Appl. Opt., 8: S239 (2006). 7. K. A. Tetz, L. Pang, and Y. Fainman, Opt. Lett., 31: 1528 (2006). 8. К. Борен, Д. Хафмен, Поглощение и рассеяние света малыми частицами (Москва: Мир: 1986). 9. U. Kreibig and M. Vollmer, Optical Properties of Metal Clusters (Berlin: Springer-Verlag: 1995). 10. H. C. van de Hulst, Light Scattering by Small Particles (New York: Dover Publication: 2000). 11. T. K. Sau, A. L. Rogach, F. Jäckel, T. A. Klar, and J. Feldmann, Adv. Mater., 22: 1805 (2010). 12. K. A. Willets and R. P. Van Duyne, Ann. Rev. Phys. Chem., 58: 267 (2007). 13. C.-D. Chen, S.-F. Cheng, L.-K. Chau, and C. R. C. Wang, Biosens. Bioelectron., 22: 926 (2007). 14. S. Nie and S. R. Emory, Science, 275: 1102 (1997). 15. D. Li and Y. Xia, Nat. Mater., 3: 753 (2004). 16. W. Srituravanich, N. Fang, C. Sun, Q. Luo, and X. Zhang, Nano Lett., 4: 1085 (2004). 17. S. Lal, S. Link, and N. J. Halas, Nature Fotonics, 1: 641 (2007). 18. A. C. Templeton, J. J. Pietron, R. W. Murray, and P. Mulvaney, J. Phys. Chem. B, 104: 564 (2000). 19. G. Weick, R. A. Molina, D. Weinmann, and R. A. Jalabert, Phys. Rev. B, 72: 115410 (2005). 20. V. M. Lenart, R. F. Turchiello, G. F. Goya, and S. L. Gómez, Braz. J. Phys., 45: 213 (2015). 21. C. Minnai and P. Milani, Appl. Phys. Lett., 107: 073106 (2015). 22. A. Crut, P. Maioli, N. Del Fatti, and F. Vallèe, Chem. Soc. Rev., 43: 3921 (2014). 23. A. Monti, A. Alù, A. Toscano, and F. Bilotti, J. Appl. Phys., 117: 123103 (2015). 24. C. A. Thibodeaux, V. Kulkarni, W.-S. Chang, O. Neumann, Y. Cao, B. Brinson, C. Ayala-Orozco, C.-W. Chen, E. Morosan, S. Link, P. Nordlander, and N. J. Halas, J. Phys. Chem. B, 118: 14056 (2014). 25. M. Hu, C. Novo, A. Funston, H. Wang, H. Staleva, S. Zou, P. Mulvaney, Y. Xia, and G. V. Hartland, J. Mater. Chem., 18: 1949 (2008). 26. P. Tuersun, Optik, 127: 250 (2016). 27. A. Kawabata and R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn., 21: 1765 (1966). 28. Y.-H. Tian, H.-Y. Gao, Z.-W. Wu, and M. Li, Optoelectronics. Lett., 11: 0191 (2015). 29. П. М. Томчук, М. І. Григорчук, Металлофиз. новейшие технол., 29, № 5: 623 (2007). 30. B. N. J. Persson, Surf. Sci., 281: 153 (1993). 31. E. A. Coronado and G. C. Schatz, J. Chem. Phys., 119: 3926 (2003). 32. N. I. Grigorchuk and P. M. Tomchuk, Phys. Rev. B, 84: 085448 (2011). 33. N. I. Grigorchuk, Eur. Phys. Lett., 97: 45001 (2012). 34. J. A. Osborn, Phys. Rev., 67: 351 (1945). 734 М. І. ГРИГОРЧУК 35. Ч. Киттель, Введение в физику твёрдого тела (Москва: Наука: 1978). REFERENCES 1. A. J. Haes, S. Zou, G. C. Schatz, and R. P. Van Duyne, J. Phys. Chem., 108: 109 (2003). 2. J. Becker, A. Trügler, A. Jakab, U. Hohenester, and C. Sönnichsen, Plasmonics, 5: 161 (2010). 3. K. M. Mayer and J. H. Hafner, Chem. Rev., 111: 3828 (2011). 4. A. Alabastri, S. Tuccio, A. Giugni, A. Toma, C. Liberale, G. Das, F. De Angelis, E. Di Fabrizio, and R. P. Zaccaria, Materials, 6: 4879 (2013). 5. C. Noguez, J. Phys. Chem. C, 111: 3806 (2007). 6. M. M. Miller and A. A. Lazarides, J. Opt. A: Pure Appl. Opt., 8: S239 (2006). 7. K. A. Tetz, L. Pang, and Y. Fainman, Opt. Lett., 31: 1528 (2006). 8. C. F. Bohren and D. R. Huffman, Pogloshchenie i Rasseyanie Sveta Malymi Chastitsami [Absorption and Scattering of Light by Small Particles] (Moscow: Mir: 1986) (Russian translation). 9. U. Kreibig and M. Vollmer, Optical Properties of Metal Clusters (Berlin: Springer-Verlag: 1995). 10. H. C. van de Hulst, Light Scattering by Small Particles (New York: Dover Publication: 2000). 11. T. K. Sau, A. L. Rogach, F. Jäckel, T. A. Klar, and J. Feldmann, Adv. Mater., 22: 1805 (2010). 12. K. A. Willets and R. P. Van Duyne, Ann. Rev. Phys. Chem., 58: 267 (2007). 13. C.-D. Chen, S.-F. Cheng, L.-K. Chau, and C. R. C. Wang, Biosens. Bioelectron., 22: 926 (2007). 14. S. Nie and S. R. Emory, Science, 275: 1102 (1997). 15. D. Li and Y. Xia, Nat. Mater., 3: 753 (2004). 16. W. Srituravanich, N. Fang, C. Sun, Q. Luo, and X. Zhang, Nano Lett., 4: 1085 (2004). 17. S. Lal, S. Link, and N. J. Halas, Nature Fotonics, 1: 641 (2007). 18. A. C. Templeton, J. J. Pietron, R. W. Murray, and P. Mulvaney, J. Phys. Chem. B, 104: 564 (2000). 19. G. Weick, R. A. Molina, D. Weinmann, and R. A. Jalabert, Phys. Rev. B, 72: 115410 (2005). 20. V. M. Lenart, R. F. Turchiello, G. F. Goya, and S. L. Gómez, Braz. J. Phys., 45: 213 (2015). 21. C. Minnai and P. Milani, Appl. Phys. Lett., 107: 073106 (2015). 22. A. Crut, P. Maioli, N. Del Fatti, and F. Vallèe, Chem. Soc. Rev., 43: 3921 (2014). 23. A. Monti, A. Alù, A. Toscano, and F. Bilotti, J. Appl. Phys., 117: 123103 (2015). 24. C. A. Thibodeaux, V. Kulkarni, W.-S. Chang, O. Neumann, Y. Cao, B. Brinson, C. Ayala-Orozco, C.-W. Chen, E. Morosan, S. Link, P. Nordlander, and N. J. Halas, J. Phys. Chem. B, 118: 14056 (2014). 25. M. Hu, C. Novo, A. Funston, H. Wang, H. Staleva, S. Zou, P. Mulvaney, Y. Xia, and G. V. Hartland, J. Mater. Chem., 18: 1949 (2008). 26. P. Tuersun, Optik, 127: 250 (2016). 27. A. Kawabata and R. Kubo, J. Phys. Soc. Jpn., 21: 1765 (1966). 28. Y.-H. Tian, H.-Y. Gao, Z.-W. Wu, and M. Li, Optoelectronics. Lett., 11: 0191 (2015). ПОВЕДІНКА ЛІНІЇ ПОВЕРХНЕВОГО ПЛАЗМОННОГО РЕЗОНАНСУ 735 29. P. M. Tomchuk and M. I. Grigorchuk, Metallofiz. Noveishie Tekhnol., 29, No. 5: 623 (2007) (in Ukrainian). 30. B. N. J. Persson, Surf. Sci., 281: 153 (1993). 31. E. A. Coronado and G. C. Schatz, J. Chem. Phys., 119: 3926 (2003). 32. N. I. Grigorchuk and P. M. Tomchuk, Phys. Rev. B, 84: 085448 (2011). 33. N. I. Grigorchuk, Eur. Phys. Lett., 97: 45001 (2012). 34. J. A. Osborn, Phys. Rev., 67: 351 (1945). 35. Ch. Kittel, Vvedenie v Fiziku Tverdogo Tela [Introduction to Solid State Physics] (Moscow: Nauka: 1978) (Russian translation).

Поведінка лінії поверхневого плазмонного резонансу в металевих наночастинках

Репозитарії

Схожі ресурси