Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде

Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарной задачи теории упругости о взаимодействии гармонических SH-волн с системой некруговых трещин-разрезов в бесконечной упругой среде. Краевая задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Назаренко, А.М., Панченко, Б.Е., Пилипенко, С.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут програмних систем НАН України 2014
Назва видання:	Проблеми програмування
Теми:	Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/113217
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде / А.М. Назаренко, Б.Е. Панченко, С.А. Пилипенко // Проблеми програмування. — 2014. — № 2-3. — С. 82-87. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-113217
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1132172017-02-05T03:03:39Z Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде Назаренко, А.М. Панченко, Б.Е. Пилипенко, С.А. Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарной задачи теории упругости о взаимодействии гармонических SH-волн с системой некруговых трещин-разрезов в бесконечной упругой среде. Краевая задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. A parallel algorithm of a numerical solution of a stationary problem of the elasticity theory about the interaction of harmonic SH-waves with a system of non-circular cracks-cuts in an infinite elastic medium, is offered. The boundary-value problem is reduced to a system of singular integro-differential equations. 2014 Article Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде / А.М. Назаренко, Б.Е. Панченко, С.А. Пилипенко // Проблеми програмування. — 2014. — № 2-3. — С. 82-87. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1727-4907 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/113217 004.652, 539.3 ru Проблеми програмування Інститут програмних систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
spellingShingle	Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі Назаренко, А.М. Панченко, Б.Е. Пилипенко, С.А. Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде Проблеми програмування
description	Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарной задачи теории упругости о взаимодействии гармонических SH-волн с системой некруговых трещин-разрезов в бесконечной упругой среде. Краевая задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений.
format	Article
author	Назаренко, А.М. Панченко, Б.Е. Пилипенко, С.А.
author_facet	Назаренко, А.М. Панченко, Б.Е. Пилипенко, С.А.
author_sort	Назаренко, А.М.
title	Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде
title_short	Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде
title_full	Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде
title_fullStr	Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде
title_full_unstemmed	Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде
title_sort	схема параллельного решения задачи дифракции sh-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде
publisher	Інститут програмних систем НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/113217
citation_txt	Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде / А.М. Назаренко, Б.Е. Панченко, С.А. Пилипенко // Проблеми програмування. — 2014. — № 2-3. — С. 82-87. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Проблеми програмування
work_keys_str_mv	AT nazarenkoam shemaparallelʹnogorešeniâzadačidifrakciishvolnnasistemenekrugovyhtreŝinvbeskonečnojuprugojsrede AT pančenkobe shemaparallelʹnogorešeniâzadačidifrakciishvolnnasistemenekrugovyhtreŝinvbeskonečnojuprugojsrede AT pilipenkosa shemaparallelʹnogorešeniâzadačidifrakciishvolnnasistemenekrugovyhtreŝinvbeskonečnojuprugojsrede
first_indexed	2025-07-08T05:23:12Z
last_indexed	2025-07-08T05:23:12Z
_version_	1837055022513258496
fulltext	Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі © А.М. Назаренко, Б.Е. Панченко, С.А. Пилипенко, 2014 82 ISSN 1727-4907. Проблеми програмування. 2014. № 2–3. Спеціальний випуск УДК 004.652, 539.3 СХЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ SH-ВОЛН НА СИСТЕМЕ НЕКРУГОВЫХ ТРЕЩИН В БЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ А.М. Назаренко, Б.Е. Панченко, С.А. Пилипенко Сумский государственный университет, Сумы, ул. Р. Корсакова, 2. Тел.: 0542 68 7710, e-mail: svetlana.morgylka@gmail.com Институт кибернетики имени В.М. Глушкова, Киев, проспект Академика Глушкова, 40. Тел.: (044) 526 3630, e-mail: pr-bpb@ukr.net Предложен параллельный алгоритм численного решения стационарной задачи теории упругости о взаимодействии гармонических SH-волн с системой некруговых трещин-разрезов в бесконечной упругой среде. Краевая задача сведена к системе сингулярных ин- тегро-дифференциальных уравнений. A parallel algorithm of a numerical solution of a stationary problem of the elasticity theory about the interaction of harmonic SH-waves with a system of non-circular cracks-cuts in an infinite elastic medium, is offered. The boundary-value problem is reduced to a system of singular integro-differential equations. Введение Проблемы взаимодействия волн напряжений с различного рода дефектами в упругих средах имеют большое значение в теории разрушения, дефектоскопии и в вопросах прогнозирования ресурса конструкций. Поэтому необходимо учитывать инерционный эффект при расчете конструкций и сооружений с трещинами, уметь определять зависимость коэффициента интенсивности напряжений от частоты колебаний на системах стационарных трещин под действием гармонических нагрузок. Из решений задач динамической механики разрушения в случае трещин продольного и поперечного сдвигов, нормального отрыва можно сделать важнейшие качественные выводы о процессах, предшествующих хрупкому разрушению при динамическом нагружении. Большинство имеющихся в литературе исследований относятся к рассмотрению волновых полей в окрестности прямых и круговых трещин. Однако, как показали исследования, динамический коэффициент интенсивности напряжений существенно зависит от кривизны де- фекта. Поэтому актуальной является разработка методов решения динамических задач для бесконечных изо- тропных сред с системами криволинейных трещин. Напряженно-деформированное состояние сред с усложненными свойствами может быть высокоэффек- тивно моделировано вычислительными комплексами в сочетании с программными системами. Хотя практиче- ски не изучен вопрос автоматизированного синтеза приложений, которые могут быть перенастроенными в за- висимости от изменения конфигурации механических систем. Большинство исследований посвящено развитию метода конечных элементов [1]. Существуют и другие подходы, которые существенно экономят вычислитель- ные ресурсы и повышают точность вычислений. Программные средства (CASE-средства) [2] позволяют синте- зировать и сопровождать приложения, которые моделируют динамическое поведение сложных механических систем. В данной работе будут анализироваться именно эти методики решения задач механики сплошных сред. Анализ конструкций, которые содержат значительное число неоднородностей и работающих под воздей- ствием динамических нагрузок, происходит с исследованием взаимодействия волн перемещений и напряжений в упругой среде с трещинами-разрезами. Очень важным вопросом является изучение дифракции упругих волн на системах произвольных неоднородностей. Эффективные параллельные алгоритмы, в основе которых лежат обоснованные аналитические методы [3], имеют особое значение. Для решения антиплоских задач теории ди- фракции [4, 5] большой эффективностью обладает метод интегральных уравнений [6–9]. Преимущество метода заключаются в сокращении числа пространственных переменных, достаточно высокой скорости сходимости и возможности применения различных эффективных численных методов решения [6]. Также метод обладает воз- можностями при построении параллельных вычислительных схем [8, 9]. 1. Постановка задачи Рассмотрим упругое изотропное пространство, ослабленное системой туннельных вдоль оси OZ криво- линейных разрезов ),1( KjL j  (рис. 1), где jL – простая разомкнутая дуга Ляпунова с началом в точке ja и концом в точке jb (предполагаем, что 0 jL ). Считаем, что берега разрезов свободны от сил, а перемещения при переходе через jLL  терпят раз- рыв. mailto:svetlana.morgylka@gmail.com%3E mailto:pr-bpb@ukr.net Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі 83 Рис. 1 Пусть из бесконечности излучается монохроматическая волна сдвига, нормаль к фронту которой состав- ляет угол  с осью OX (зависимость от времени выражается множителем tie  ). )sincos( 0 2  yxi eW   , const , 2 2 c    . (1) Здесь  – частота колебаний, 2c – скорость распространения поперечной волны. В результате взаимодействия падающей 0W волны с разрезами возникает рассеянная волна перемеще- ний 1W , которая удовлетворяет уравнению антиплоской деформации [10]. ,01 2 21  WW  2 2 2 2 yx       . (2) Для механики разрушения определяющее значение имеет асимптотическое распределение напряжений в окрестности вершин дефектов [4]. Ненулевые компоненты тензора напряжений 3231,  представляют собой касательные напряжений в плоскости поперечного сечения цилиндров. Они связаны с перемещением 10 WWW  формулами (  – модуль сдвига) x W     31 , y W     32 , z W i     23231 , iyxz  . (3) Касательное напряжение n , действующее на L в точке Li   со стороны положительной нормали, равно   32313231 Imcossin   iei n  , (4) где  – угол между положительной касательной к L в точке  и осью OX . Решение антиплоской задачи динамической теории упругости сводится к определению функции ),(1 yxW – решения уравнения Гельмгольца (2) в плоскости с системой трещин-разрезов при выполнении до- полнительных условий типа Зоммерфельда излучения на бесконечности [6]. 2. Метод решения Следуя [10], запишем функцию ),(1 yxW , характеризующую рассеянную разрезами волну перемещений в области D , следующим образом:               drH z drH z sfyxW L )()()( 4 1 ),( 2 )1( 02 )1( 01 ,  zr . (5) Здесь )()1( xHn – функция Ханкеля первого рода n -го порядка; )(sf – неизвестная функция, удовлетворяющая на L условию Гельдера. Интегральное – представление (5) автоматически удовлетворяет уравнению Гельмгольца (2) в области D и условиям излучения на бесконечности. При переходе через L оно обеспечивает скачок перемещений (   )(111 sfWWW   ) и непрерывность напряжений (   0  nnn  ). Остается выполнить граничное условие на L :   010 0 0     WW n n  , (6) Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі 84 которое перепишем в виде [9] 000              z W e z W e ii  . (7) Будем предполагать также, что скачки перемещений на концах разрезов jL равны нулю, т. е.     0 jj bfaf , kj ,1 . (8) В интегральной форме (8) можно записать в виде   0)(   dssfsdf LL . (9) Воспользуемся известными соотношениями [10]: )( 4 )( )1( 2 2 2 )1( 02 2 rHerH z i       , )( 4 )( )1( 2 2 2 )1( 02 2 rHerH z i       , (10) )( 4 )( )1( 2 2 )1( 0 2 rHrH zz       ,  irez  . Поведение в нуле (x→0) функций Ханкеля нулевого и второго порядков характеризуется асимптотиче- скими формулами: )(ln 2 )( 0 )1( 0 xHx i xH   , )( 4 )( 22 )1( 2 xH xi xH   , (11) где )(0 xH и )(2 xH – непрерывны в точке 0x . Подстановка интегрального представления (5) в выражение, которое стоит в левой части граничного условия (7), с учетом (10), (11) дает:               L LL i L iii dsrHrHsf rdssf iz df i e z df i e z W e z W e .))()cos()()2)(cos(( 8 ln)cos()( 44 1 4 1 200220 2 2 0 2 211 0000        (12) Здесь использованы формулы интегрирования по частям для гиперсингулярных интегралов [12] при дополни- тельных условиях (8). Привлечение формул Сохоцкого–Племеля [11] для вычисления предельных интегралов типа Коши, воз- никающих при удовлетворении граничного условия (7) с учетом соотношений (1), (12), сводит рассматривае- мую краевую задачу к сингулярному интегро-дифференциальному уравнению относительно неизвестной функ- ции )(sf :              dsrsf i df e i LL i 00 2 2 0 lncos)( 4 Re 2 1 0      (13) ,0 00  i er )sincos( 020 002)sin()(    i esT . Для однозначной разрешимости интегро-дифференциального уравнения (13) к нему следует присовоку- пить дополнительное условие (3). Представим контур L в параметрической форме. Для этого на каждом из контуров ),1( KjL j  выбира- ем локальную систему координат, учитывая параллельный перенос и поворот осей координат. Учитывая это, на контуре jL будем считать .)1(,)1(,1,1),(),( 000 jj ba   (14)        ).()(cos2cos)( 8 002000220 2 2 sTdsrHrHsf L     Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі 85 Умножим уравнение (13) на )( 0s и выделим в нем ядро типа Коши и логарифмическое ядро следую- щим образом: , 1'1' 00 0 00 0                    (15) Здесь, используя правило Лопиталя, находим , )('2 )(''1' lim 0 0 00 0 0                 (16)   .lnlnlnlim 00000 0     sss Теперь интеграл с логарифмическим ядром интегрируем по частям с учетом дополнительного условия (8):    ).(1lnln)( 0 1 1 00 1 1  dfdf    (17) Параметрическая форма интегрального уравнения приобретает вид:                    .)(lnRe 2 Re )( 4 Re 8 1lnRe 4 )( 2 1 0000002 )1( 00 1 1 2 0 2 2 02 )1( 2 2 0 2 2 0 1 1 000 1 1 2 2 0 0 sTdf i rH i rHe df i d f i i                                                 (18) Предложенная процедура регуляризации интеграла с логарифмическим ядром позволяет свести задачу к сингулярному интегральному уравнению относительно функции )(f  . Ядра интегралов, соответствующих функции )(f , непрерывны. Единственное решение полученного сингулярного интегро-дифференциального уравнения (18) при наличии дополнительного условия (8) следует искать в классе функций, имеющих корневую особенность на концах разрезов [11]. Таким образом, полагаем          cos,)()(, 1 1 2       dfff . (19) 3. Дискретизация задачи Представим неизвестную плотность )( интегрального уравнения (18) как совокупность функций )( j j  , определенных на контурах .,1, KjL j  Численная реализация интегрального уравнения (18) прово- дится методом конечных квадратур [6]. Уравнение, соответствующее контуру pL , удовлетворяется в узлах Че- бышева второго рода )1,1(  p p m nm n m  и сводится к системе алгебраических уравнений относительно значений функции )(j в узлах Чебышева первого рода ),1( 12 j j k nk n k     , где jn – число точек разби- ения контура jL . Для интеграла типа Коши используем квадратурную формулу .cos,cos, )( )(1 )( 1 1 1 2 kkmm mk kj n kj m j j n d               (19) ).lnln(lnln 000000   ssss Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі 86 К интегралу, содержащему регулярное ядро ),( 0 D и имеющему корневую особенность, применяем квадратурную формулу Гаусса      jn k kjkm j m j D n dD 1 1 1 2 )(),(),( 1 )(      . (20) Применительно к дополнительному условию (9) имеем .0)( 1   jn k kj  (21) Интерполяционный многочлен Лагранжа для функции )(jf имеет вид [6]:     1 1`11 . sincos )( 2 )()( jj n l k n k kj j j l ll n dff    (22) Система линейных алгебраических уравнений относительно функций Kjj ,1,  приобретает вид: ,0)(,)( 11    jj n k kj j m n k kj j mk NA  (23)     , sincos2 sin 8 1lnRe 4 1 2 1 1 11 2 2 2 2                  jl n j vk j n v vmv mkmkmm mkj j mk l ll n B iin A                   .)sin(,lnRe 2 Re 4 Re )sincos( 2 2 )1( 022 2 2 )1( 2 2                mmi mmm j mmm mm m m m m vmmv esN i H i HB                 Таким образом, при численной реализации системы интегральных уравнений (13), (9) задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (23) с KnnnN  ...21 неизвестными. 4. Схема вычислений Проведена начальная фаза параметрического исследования описанной задачи. Для исследования сходи- мости построенного алгоритма рассмотрен случай нормального падения волны сдвига [8] на систему, состоя- щую из эллиптических или ромбических трещин, поочередно расположенных в упругом пространстве на оди- наковом расстоянии один от другого и симметрично ориентированных вдоль оси X (рис. 2). Однако число тре- щин справа и слева не является обязательно равным ( KT LL  ) Рис. 2 Таким образом, задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений (СИУ), которые решаются численно. Элементы матрицы системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), к ко- торой, в конечном итоге, сводятся система СИУ, являются результатом дискретизации контуров. Очевидно, что размер матрицы пропорционален числу трещин. Применим распараллеливание алгоритма, в котором каждый элемент матрицы определяется координатами узлов дискретизации. Как показано в [8, 9], данный метод в вычислительном смысле сводится к обходу каждого контура по Паралельне програмування. Розподілені системи і мережі 87 точкам коллокации внеинтегральной переменной 0k и одновременному же обходу каждого контура по анало- гичным либо иным узлам переменной интегрирования k . Параллельно-конвейерная схема вычислений построена аналогично [9]. Тут также вычисления имеют следующие этапы: синтез массивов исходных данных, синтез матрицы СЛАУ, решение СЛАУ методом Гаусса, синтез массивов итоговых решений. Первый, второй и четвертый этапы макроконвейера не требуют пересылок данных, что означает независимость вычислений. На третьем этапе для решения СЛАУ существует оптималь- ное число процессов, определяемое спецификой матрицы. Это означает, что для 1, 2 и 4 этапов алгоритма оп- тимальным является число процессов, соответствующее числу коэффициентов СЛАУ. В данной методике решения краевой задачи основной операцией является определение текущего рассто- яния между точками коллокации и интегрирования, заданного на множестве значений параметрических коор- динат неоднородностей. Указанное расстояние является аргументом функции Грина. И поскольку комбинации самих функций Грина и коэффициентов при них являются элементами матрицы СЛАУ, указанная процедура может быть базовой при разработке приложения. Как показано в [8, 9], алгоритм хорошо масштабируется по вычислительным узлам. Вычислительный процесс решения СЛАУ распараллеливается согласно [9, 13]. Параллельное вычисле- ние итоговых искомых характеристик осуществляется путем подстановки массивов значений неизвестных функций )( pkf  в интегральные представления решений аналогично процедурам формирования матрицы СЛАУ. Для решения СЛАУ эффективнее использовать построчное распараллеливание, когда пересылки и вы- числения находятся в балансе. В ходе начальной фазы численной реализации вычислялись безразмерные коэффициенты интенсивности на продолжении трещин. Точность вычислений проверялась путем сравнения результатов при различных зна- чениях N. Проводилось также сравнение полученных результатов с результатами, приведенными в [10] для случая одиночной трещины. Совпадение результатов показало хорошую достоверность алгоритма. Численное исследование показало, что алгоритм имеет высокую скорость сходимости. Точность вычис- лений до 10 -10 достигается уже при 200 точках коллокации каждого контура. Сходимость алгоритма также не зависит от числа трещин. Обусловленность матриц при этом проверялась на основании алгоритма, описанного в [13]. Выводы В задаче дифракции SH-волн на системе криволинейных трещин-разрезов параллельные алгоритмы поз- воляют значительно сократить время вычислений и более детально проанализировать характеристики волново- го поля. Сочетание метода интегральных уравнений, который снижает на единицу размерность задачи, и значи- тельная экономия времени вычислений за счет распараллеливания вычислительных процедур приводит к суще- ственному увеличению эффективности предложенного алгоритма расчета неизвестных плотностей интеграль- ных уравнений. Волновые характеристики ближнего и дальнего полей выражаются через указанными плотнос- тями. 1. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных кон- струкций. – М: Изд. АСВ (Ассоциации строительных ВУЗов), 2000, – 152 с. 2. Колянов Г.Н. CASE. Структурный системный анализ (автоматизация и применение). – М: «Лори», 1996. – 360 c. 3. Вертгейм И.И., Терпугов В.Н. Параллельные технологии вычислений в механике сплошных сред и МДТТ: Учебное пособие. – Пермь: ПГУ, 2007. – 84 с. 4. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. – Киев: Наук. думка, 1978. – 307 с. 5. Селезов И.Т., Кривонос Ю.Г., Яковлев В.В. Рассеяние волн локальными неоднородностями в сплошных средах. – Киев: Наук. думка, 1985. – 136 с. 6. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. – Киев: Наук. думка, 1984. – 344 с. 7. Фильштинский Л.А. Дифракция упругих волн на трещинах, отверстиях, включениях в изотропной среде // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1991. – № 4. – С. 119–127. 8. Назаренко А.М., Панченко Б.Е. Схема параллельных вычислений в задачах дифракции волн сдвига на системе отверстий в бесконеч- ной упругой среде // Проблеми програмування. – 2010. – № 2–3. – С. 604–610. 9. Панченко Б.Е., Назаренко А.М., Каркасный анализ предметной области: стационарные динамические задачи теории упругости для изотропных сред с произвольными неоднородностями // Кибернетика и системный анализ. – 2013. – № 1. – C. 172–187. 10. Фильштинский Л.А. Динамическая задача теории упругости для области с криволинейными разрезами (деформация продольного сдвига). – Докл. АН СССР, 1977. – № 6. – C. 1327–1330. 11. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 512 с. 12. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. – М: Наука, 1985. – 256 с. 13. Химич А.М., Полянко В.В. Эффективность двумерных блочно-цикличных параллельных алгоритмов // Проблеми програмування. – 2008. – № 3. – С. 145–149.

Схема параллельного решения задачи дифракции SH-волн на системе некруговых трещин в бесконечной упругой среде

Репозитарії

Схожі ресурси