Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року)

Доповідь присвячено дослідженню крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь у просторах Фреше, Банаха та Гільберта. Розглянуто моделі квантової механіки для операторного рівняння Шредінгера в просторі Гільберта, які пов’язані з теорією необоротних процесів. Одним із застосувань розглянут...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2017
Main Author:	Покутний, О.О.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2017
Series:	Вісник НАН України
Subjects:	Молоді вчені
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/114397
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року) / О.О. Покутний // Вісник Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 89-97. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-114397
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1143972017-03-08T03:02:18Z Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року) Покутний, О.О. Молоді вчені Доповідь присвячено дослідженню крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь у просторах Фреше, Банаха та Гільберта. Розглянуто моделі квантової механіки для операторного рівняння Шредінгера в просторі Гільберта, які пов’язані з теорією необоротних процесів. Одним із застосувань розглянутої проблеми є нелінійна періодична крайова задача для рівняння Ван дер Поля в просторі Гільберта. Така модель широко використовується в біології, хімії, для побудови нейронних моделей тощо. Отримано необхідні та достатні умови розв’язності відповідних крайових задач. Для лінійних та нелінійних задач знайдено множини розв’язків та запропоновано ітеративні алгоритми побудови відповідних розв’язків. The report is devoted to investigation of boundary value problems and its applications. Proposed new models of quantuum mechanics in the Hilbert space which connect with the theory of irreversible process. One of applications of the considered problem is Van der Pоl equation in the Hilbert space. Such model is widely used in the biology, neural system and others applications. 2017 Article Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року) / О.О. Покутний // Вісник Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 89-97. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 0372-6436 DOI: doi.org/10.15407/visn2017.01.089 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/114397 uk Вісник НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Молоді вчені Молоді вчені
spellingShingle	Молоді вчені Молоді вчені Покутний, О.О. Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року) Вісник НАН України
description	Доповідь присвячено дослідженню крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь у просторах Фреше, Банаха та Гільберта. Розглянуто моделі квантової механіки для операторного рівняння Шредінгера в просторі Гільберта, які пов’язані з теорією необоротних процесів. Одним із застосувань розглянутої проблеми є нелінійна періодична крайова задача для рівняння Ван дер Поля в просторі Гільберта. Така модель широко використовується в біології, хімії, для побудови нейронних моделей тощо. Отримано необхідні та достатні умови розв’язності відповідних крайових задач. Для лінійних та нелінійних задач знайдено множини розв’язків та запропоновано ітеративні алгоритми побудови відповідних розв’язків.
format	Article
author	Покутний, О.О.
author_facet	Покутний, О.О.
author_sort	Покутний, О.О.
title	Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року)
title_short	Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року)
title_full	Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року)
title_fullStr	Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року)
title_full_unstemmed	Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року)
title_sort	теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні президії нан україни 9 листопада 2016 року)
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Молоді вчені
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/114397
citation_txt	Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року) / О.О. Покутний // Вісник Національної академії наук України. — 2017. — № 1. — С. 89-97. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
series	Вісник НАН України
work_keys_str_mv	AT pokutnijoo teoríâkrajovihzadačdlâoperatornodiferencíalʹnihrívnânʹzamateríalaminaukovogopovídomlennânazasídanníprezidíínanukraíni9listopada2016roku
first_indexed	2025-07-08T07:27:09Z
last_indexed	2025-07-08T07:27:09Z
_version_	1837062834569084928
fulltext	ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2017, № 1 89 ПОКУТНИЙ Олександр Олексійович — кандидат фізико-математичних наук, докторант, старший науковий співробітник лабораторії крайових задач теорії диференціальних рівнянь відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України ТЕОРІЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРНО- ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ За матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року Доповідь присвячено дослідженню крайових задач для операторно-ди фе- рен ціальних рівнянь у просторах Фреше, Банаха та Гільберта. Розгля- нуто моделі квантової механіки для операторного рівняння Шредінгера в просторі Гільберта, які пов’язані з теорією необоротних процесів. Одним із застосувань розглянутої проблеми є нелінійна періодична крайова зада- ча для рівняння Ван дер Поля в просторі Гільберта. Така модель широко використовується в біології, хімії, для побудови нейронних моделей тощо. Отримано необхідні та достатні умови розв’язності відповідних крайових задач. Для лінійних та нелінійних задач знайдено множини розв’язків та запропоновано ітеративні алгоритми побудови відповідних розв’язків. Ключові слова: хаос, синергетика, проблеми Гільберта, біфуркації, рів- няння Ван дер Поля, псевдообернені за Муром—Пенроузом оператори, нейронні моделі. Вступ У 1900 р. на міжнародному конгресі математиків у Парижі Да- від Гільберт сформулював свої 23 проблеми, які XIX століття залишило майбутнім поколінням математиків. На його погляд, ці проблеми повинні були зумовити основні напрями подаль- шого розвитку науки. Серед 23 проблем Гільберта чільне міс- це посідає двадцята проблема — загальна задача про граничні умови, яким і присвячено частину доповіді [1]. Лінійні операторні рівняння Одним із напрямів досліджень є питання про існування роз- в’яз ків операторно-диференціальних крайових задач з опера- тором у лінійній частині, що має не обов’язково замкнену мно- жину значень та нетривіальні ядро і коядро. МОЛОДІ МОЛОДІ ВЧЕНІВЧЕНІ doi: https://doi.org/10.15407/visn2017.01.089 90 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2017. (1) МОЛОДІ ВЧЕНІ H2, то з множини узагальнено-обернених опе- ра то рів L— ∈ (H2, H1) можна обрати єдиний, що задовольняє властивостям: 1. LL—L = L; 2. L—LL— = L—; 3. (LL—)* = LL—; 4. (L—L)= L—L. Такий оператор називають псевдооберненим за Муром—Пенроузом оператором і позначають L+ [4]. Нехай n = n(L) = dimN(L), m = m(L) = dimN(L). Індекс оператора визначається як число indL = = n(L) − m(L). Згідно з класифікацією Крейна [7], нормально розв’язний оператор, у якого n(L) або m(L) скінченне, називається n-нор- мальним або d-нормальним оператором відпо- відно. У випадку, коли обидва числа n(L) та m(L) є скінченними, оператор L називається нетеровим. Якщо ж додатково оператор L є оператором нульового індексу, то він назива- ється фредгольмовим. Сильний псевдообернений оператор Наведемо відповідну конструкцію побудови сильного псевдооберненого оператора і теоре- му відносно представлення розв’язків рівнян- ня (1). Нехай L : H1 → H2 — лінійний обмежений оператор, що діє в просторах Гільберта. Роз- кладемо простори Гільберта H1 та H2 в ортого- нальні суми H1 = N(L) ⊕ X, H2 = clR(L) ⊕ Y. Тут X = N(L)⊥, Y = clR(L)⊥, clR(L) означає за- микання множини значень R(L). В силу пред- ставлення, існують оператори ортогонального проектування PN(L), PX та PclR(L), PY на відпо- відні підпростори. Позначимо через H фак- тор-простір простору H1 за ядром N(L) (H = = H1/N(L)). Тоді існує неперервна бієкція j : X→ H та проекція p : H1 → H. Трійка (H1, H, j) є локально тривіальним розшаруванням з типовим шаром PN(L)H. Ви- значимо тепер оператор LX =PR(L)L –1p : X → R(L) ⊂ clR(L). Легко переконатися в тому, що визначений так оператор LX є лінійним, ін’єктивним та не- Для лінійних рівнянь вигляду Lx = y (1) з незамкненою множиною значень було запро- поновано конструкцію розширення вихідного простору [2, 3] таким чином, щоб оператор, роз- ширений на нього, був нормально розв’язним (тобто мав замкнену множину значень) з тим, щоб використати раніше відомі результати для нормально розв’язного оператора [4]. Кон- струкція узгоджується з існуючими класични- ми конструкціями й дозволяє визначити нові типи розв’язків рівняння (1). Розглядаючи такі задачі, необхідно було ввести означення сильного псевдооберненого оператора та вста- новити його властивості [2, 3]. Зауважимо, що, як правило, досліджуються некоректні (нерегулярні або резонансні) зада- чі [5]. Це клас задач, розв’язки яких нестійкі до малих змін вхідних даних. Вони характе- ризуються тим, що малі зміни вхідних даних можуть спричинювати великі зміни розв’язків. Такого типу задачі належать до класу неко- ректних задач [5]. Якщо вхідні дані відомі наближено, то така нестійкість призводить до неєдиності розв’язків. Виникнення резо- нансів ускладнює простоту динамічного руху і може призвести до «катастрофи Пуанкаре» [6]. Для представлення множини розв’язків таких задач зручним виявився апарат теорії узагальнено-оберенених та псевдообернених за Муром—Пенроузом операторів і матриць, які й використовуються в дослідженнях [2—4]. Для повноти викладення наведемо відповідні означення. Означення 1. Щільно визначений опера- тор L, що діє з одного банахового простору B1 в інший B2, називається нормально розв’язним, якщо його множина значень замкнена R(L) = = ( )R L [4]. Означення 2. Оператор L ∈ (B1, B2) нази- вається узагальнено-оборотним (напівоберне- ним), якщо існує оператор X ∈ (B2, B1) такий, що LXL = L. Оператор X називається уза галь- нено-оберненим до оператора L і позначається L— [4]. Означення 3. Якщо оператор L ∈ (H1, H2) діє з простору Гільберта H1 в простір Гільберта ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2017, № 1 91 МОЛОДІ ВЧЕНІ перервним. Тепер, скориставшись процесом поповнення за нормою \|\|x\|\|X = \|\|LXx\|\|F, де F = = R(L), отримаємо новий простір clX та роз- ширений оператор clLX. Тоді цей оператор clLX : clX → clR(L), X ⊂ clX буде здійснювати гомеоморфізм між clX та clR(L). Розглянемо розширений оператор clL = clLXPX : clH1 → H2, clH1 = N(L) ⊕ clX, H2 = R(clL) ⊕ Y. Зрозуміло, що clLx = Lx, x ∈ H1 і оператор clL є нормально розв’язним. Означення 4. Оператор clL+ : H2 → clH1 бу- демо називати сильним псевдооберненим до оператора L. Зауваження. З цього означення випливає, що сильний псевдообернений оператор до опе- ратора L є псевдооберненим оператором до оператора clL. Отже, до L можна застосовувати результати, аналогічні результатам з нормально розв’язним оператором. Теорема 1 [2, 3]. 1.1. Сильні узагальнені розв’язки рівняння (1) існують тоді й тільки тоді, коли елемент y ∈ H2 задовольняє умові (φ, y) = 0, ⇔ PN(clL)y = 0 (2) для всіх φ таких, що clLφ = 0; якщо y ∈ R(L), отримані розв’язки будуть класичними. 1.2. Якщо умова (2) виконується, то множи- на сильних узагальнених розв’язків рівняння (1) буде мати вигляд x = clL+y + PN(L)c, c ∈ H1. 2.1. Узагальнені псевдорозв’язки рівняння (1) існують тоді й тільки тоді, коли елемент y ∈ ∈ H2 задовольняє умові (φ, y) ≠ 0. (3) 2.2. Якщо умова (3) виконується, то множи- на узагальнених псевдорозв’язків буде мати вигляд x = clL+y + PN(L)c, c ∈ H1. Зауваження. Узагальнений псевдорозв’язок мінімізує нев’язку рівняння (1) в розширено- му просторі clH1. Зазначимо, що отримані результати узго- джуються з відомими класичними, які отриму- ються як наслідок й у тому випадку, коли опе- ратор L є оборотним і рівняння (1) має єдиний розв’язок. Нелінійні операторні рівняння Використовуючи отримані вище конструкції і твердження для нелінійного операторного рів- няння Bx(ε) = εR(x, ε), (4) вдалося отримати необхідні та достатні умови розв’язності і запропонувати ітеративні алго- ритми знаходження його розв’язків у просто- рах Фреше, Банаха і Гільберта [3]. Задача поля- гає у відшуканні такого розв’язку рівняння (4) x = x(ε), який при ε = 0 перетворюється на один із розв’язків породжуючої задачі Bx = 0 і визна- чений та неперервний в околі цього розв’язку. Теорема 2 (необхідна умова) [2]. Нехай рів- няння (1) має розв’язок x = x(ε), який при ε = = 0 перетворюється на один із розв’язків по- роджуючого рівняння Bx = 0 : x(0) = PN(B)c з елементом с = с0. Тоді с0 повинен задовольняти рівняння для породжуючих елементів F(c) = PN(B) R(PN(B)c, 0) = 0. (5) Зауважимо, що у випадку періодичної кра- йової задачі константи мають фізичний зміст, а саме, вони збігаються з амплітудами коли- вань. У цьому випадку рівняння (5) збігаєть- ся з рівнянням для породжуючих амплітуд Пуанкаре—Ляпунова [2—4]. Достатня умова отримується з допомогою оператора B0 = PN(B )lPN(B). Теорема 3 (достатня умова) [2]. Нехай виконуються умови: 1. B0, B — узагальнено-оборотні оператори; 2. PN(Bo* )PN(B) = 0. Тоді для довільного елемента c = c0, що за- довольняє рівняння для породжуючих елемен- тів (5), існує неперервний розв’язок рівняння (4). Цей розв’язок можна знайти за допомогою ітераційного процесу yk+1(ε) = PN(B)ck(ε) + yk(ε), ck+1(ε) = −B0 −PN(B){R(yk(ε), ε) + lyk(ε)}, 92 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2017. (1) МОЛОДІ ВЧЕНІ yk+1(ε) = G[yk(ε)], R(yk(ε), ε) = R(PN(B)c0 + yk(ε), ε) – – R(PN(B)c0,0) – lyk(ε), xk(ε) = PN(B)c0 + yk(ε), x(ε) = limk→∞xk(ε), G[yk(ε)] = B—R(PN(B)c0 + yk(ε), ε), F(c0) = PN(B)R(PN(B)c0, 0) = 0, збіжного для довільних початкових значень y0(ε), c0(ε), y0(ε). Необоротні процеси Іншим напрямом досліджень є теорія необо- ротних процесів. Після робіт фізико-хіміків, зокрема Л. Больцмана, І. Пригожина та інших [6], стало зрозумілим, що теорія необоротних процесів відіграє важливу роль у фізиці, хімії та біології. Необоротні процеси в природі на- стільки ж реальні, як і оборотні, а не є наслід- ком наближеного опису останніх. Вони визна- чають можливість самоорганізації у відкритих системах. Необоротність глибоко пов’язана з динамікою й виникає там, де основні понят- тя класичної та квантової механіки (поняття траєкторії і хвильової функції) припиняють відповідати даним, отриманим з дослідів. Якщо в класичній та квантовій механіці час є змінним параметром, то в теорії необоротних процесів — оператором. Необоротність приво- дить до суттєвих змін понять простору, часу, динаміки. Прикладами необоротних процесів можуть бути хімічні реакції (скажімо, коли- вальні реакції Бєлоусова — Жаботинського, або так званий «хімічний годинник»), в яких проявляється порушення часової симетрії, а також теплопровідність, дифузія. До таких процесів може бути застосована побудована доповідачем теорія, зокрема й у резонансних випадках. У другій половині ХХ ст. було сформу- льовано припущення стосовно того, що для врахування необоротності виміру в рівняння Шредінгера необхідно включати нові члени, які описують динаміку квантових систем. Було зроблено спробу [8—10] змоделювати і вивчити крайові задачі для такого рівняння Шредінгера. Наведемо відповідні постановки задач та основні результати. Розглянемо задачу про іс- нування обмежених на всій осі розв’язків dφ(t)/dt = −iH(t)φ(t) + f(t), t ∈ J (6) в просторі Гільберта H, де для кожного t ∈ J ⊂ ⊂ R необмежений оператор H(t) має вигляд H(t) = H0 + V(t); тут H0 = H0 — необмеже- ний самоспряжений оператор з областю ви- значення D = D(H0) ⊂ H; відображення t → → V(t) — сильно неперервне, U(t, s) — еволю- ційний оператор відповідного однорідного рів- няння. Умови розв’язності та представлення розв’язкiв рівняння дає така теорема. Теорема 4 [10]. Нехай {U(t, s), t ≥ s ∈ R} силь- но неперервний еволюційний оператор, асоці- йований з однорідним рівнянням. Припусти- мо, що виконано умови: 1. Оператор U(t, s) допускає експоненці- альну дихотомію на пiвосях [0; ∞) та (–∞; 0] з проекторнозначними оператор-функціями P+(t) та P−(t) відповідно. 2. Оператор D = P+(0)−(I − P−(0)) має псев- дообернений за Муром—Пенроузом оператор. Тоді справедливі такі твердження: 1. Існують узагальнені розв’язки рівняння (7), обмежені на всій осі, тоді й тільки тоді, коли вектор-функція f ∈ BC(R, H) задоволь- няє умову ( ) ( ) 0H t f t dt +∞ −∞ =∫ , (8) де H(t) = PN(D)P−(0)U(0,t). 2. У разі виконання умови (8) узагальнені розв’язки рівняння (7), обмежені на всій осі, мають вигляд φ0(t,c) = = U(t,0)P+(0)PN(D)c + (G[f])(t,0), (9) c ∈ H, де (G[f])(t,s) — узагальнений оператор Гріна задачі про обмежені на всій осі розв’яз ки [10]. Наступна частина присвячена розробленню асимптотичних методів побудови розв’язків ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2017, № 1 93 МОЛОДІ ВЧЕНІ крайової задачі dφ(t)/dt = −iH(t)φ(t) + + εH1(t)φ(t) + f(t), (10) lφ(·) = α + εl1φ(·), (11) t ∈ J у просторі Гільберта H із сингулярністю [4] в точці ε = 0. Умови на H(t) такі, як і вище. H1(t) — лінійний та обмежений для всіх t ∈ J оператор, l, l1 — лінійні та обмежені опера- тори, що діють з H в H1. Шукається сильний розв’язок крайової задачі (10), (11). Для тих правих частин f(t) рівняння (10), для яких не- збурена крайова задача (ε = 0), таких розв’язків немає. Основний результат отримано за допо- могою оператора B0 = PN(clQ)l(U(·, s) − − s U∫ i (·, τ)H1(τ)U(τ, s)dτ)PN(Q), Q = lU(·, s). Теорема 5. Припустимо, що виконується умова PN(B0)PN(Q) = 0. Якщо незбурена опера- торна крайова задача не має сильних узагаль- нених розв’язкiв, то операторна крайова зада- ча (10), (11) має ρ — параметричну множину сильних узагальнених розв’язкiв у вигляді час- тини ряду з сингулярнiстю в точці ε = 0: φ(t,s,ε, cρ) = = 1i ∞ =−∑ εi[φi(t, s, ci) + Xi(t, s)PN(B0)cρ], для довільного cρ ∈ H, абсолютно збіжного для достатньо малого фіксованого параметра ε ∈ ∈ (0, ε∗]; тут φ−1(t, s, c−1) = U(t, s)PN(Q)c−1, φ0(t, s, c0) = U(t, s)PN(Q)c0 + + U(t, s)clQ+{α + l1φ−1(·, s, c−1)} + + clG[H1(·)φ−1(·, s, c−1) + f(·)](t, s), φi(t, s, ci) = U(t, s)PN(Q)ci + + U(t, s)clQ+l1φi−1(·, s, ci−1) + + clG[H1(·)φi−1(·, s, ci−1)](t, s); i ∈ N. У наступній частині досліджується неліній- на операторно-диференціальна крайова задача для рівняння Шредiнгера dφ(t, ε)/dt = −iH(t)φ(t, ε) + + εZ(φ(t, ε), t, ε) + f(t), (12) t ∈ J, з операторною крайовою умовою вигляду lφ(·, ε) = α + εJ(φ(·, ε), ε), (13) де J ⊂ R — скінченний відрізок. Основними результатами є такі теореми. Теорема 6 (необхідна умова) [10]. Нехай крайова задача (12), (13) має сильний узагаль- нений розв’язок φ(t, s, ε), який при ε = 0 пере- творюється на один із породжуючих розв’яз кiв φ0(t, s, c0) з елементом c = c0. Тоді елемент c0 ∈ H повинен задовольняти операторне рівняння для породжуючих елементів F(c) = PN(Q){J(φ0(·, s, c), 0) – – l s U∫ i (·, τ)Z(φ0(τ, s, c), τ, 0) dτ} = 0. (14) B0 = H +∞ −∞∫ (t)A1(t)U(t,0)P+(0)PN(D)dt : H→H, де A1(t) = Z 1(v, t, ε)\|v = φ0, ε = 0 (похідна в сенсі Фреше). Теорема 7 (достатня умова) [10]. Нехай для оператора B0 виконується умова PN(B0) PN(Q) = 0. Тоді для довільного елемента c = = c0 ∈ H, що задовольняє рівняння для поро- джуючих елементів (14), існує принаймні один сильний узагальнений розв’язок крайової за- дачі (12), (13). Цей розв’язок може бути зна- йдений з використанням ітераційного процесу ψk+1(t, s, ε) = εU(t, s)clQ+J(φ0(·, s, c0) + + ψk(·, s, ε), ε) + εclG[Z(φ0(·, s, c0) + + ψk(·, s, ε), ·, ε)](t, s), ck = clB0 +{PN(Q∗)l s U∫ i (·, τ){A1(τ)ψk(τ, s, ε) + + R(ψk(τ, s, ε), τ, ε)}dτ − PN(Q){lψk(·, s, ε) + + R1(ψk(·, s, ε), ε)}}, ψk+1(t, s, c) = U(t, s)PN(Q)ck + ψk+1(t, s, ε), φ(t, s, ε) = limk→∞ φk(t, s, ε), φk(t, s, ε) = φ0(t, s, c0) + ψk(t, s, ε), k = 0, 1, 2, ..., ψ0(t, s, ε) = 0. 94 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2017. (1) МОЛОДІ ВЧЕНІ Дослідження з цього напряму мають зв’язок із задачами небесної механіки та космічними дослідженнями. Хаотичні моделі Дослідження нелінійних моделей пов’язане з популярною нині теорією хаосу. Хаотичність є показником складності динамічної системи. Хаотичні процеси в детермінованих нелінійних системах — одна з фундаментальних проблем сучасного природознавства. Поняття хаосу та порядку тісно пов’язані з напрямом нелінійно- го мислення — синергетикою. Слово синергія означає спільна узгоджена дія. Засновником цього напряму, що виник в останній третині ХХ ст., вважається німецький фізик-теоретик Герман Хакен, який вивчав, як спільна дія елементів нелінійного середовища породжує нові структури, тобто як відбувається само- організація. Уперше теорію хаосу (саме в математично- му розумінні) застосував Лоренц у відповідній моделі при прогнозуванні погоди, потім її, крім метеорології, використовували в астрономії та космології, лазерній оптиці, акустиці, фізиці плазми, фізиці прискорювачів, кінетиці хі- мічних реакцій, дослідженнях турбулентності тощо. Відомо, що ця модель дуже чутлива до початкових даних, прикладом чого є всім відо- мий «ефект метелика» [11]. Далі буде продемонстровано складність по- ведінки систем на прикладі нелінійної пері- одичної задачі для рівняння Ван дер Поля та різницевого рівняння. Для того щоб зрозуміти, як у системах вини- кає самоорганізація, потрібно ввести поняття біфуркації, яке тісно пов’язане зі стійкістю та нестійкістю систем. Наші уявлення про стійкість того чи іншого режиму функціонування динамічної системи формуються в процесі пізнання природи. Спо- стерігаючи за еволюцією живої і неживої при- роди, ми завжди помічаємо, що розвиток складної системи супроводжується втратою стійкості деяких режимів функціонування і народженням нових, стійких. Основи матема- тичної теорії стійкості було закладено в робо- тах математика О.М. Ляпунова. Розвиток якіс- ної теорії і теорії біфуркацій динамічних сис- тем по в’я за ний з іменами таких вчених, як О.О. Андронов, В.І. Арнольд та їхніх учнів. Про теорію біфуркацій уперше йшлося в лек- ціях великого А. Пуанкаре в Сорбонні в 1900 р. в курсі, присвяченому опису руху циліндрич- них стовпців рідини. На той час він використо- вував вираз echange des stabilites для того, що сьогодні називають біфуркаціями. Слід заува- жити, що необоротні процеси (на відміну від оборотних) роблять внесок у збільшення ен- тропії. Другий закон термодинаміки пов’язує додатний напрям часу зі зростанням ентропії. В математичному розумінні ентропії може від- повідати функція Ляпунова, з використанням якої визначається стійкість динамічних сис- тем. Макс Планк підкреслював [12], що другий закон термодинаміки дозволяє виділити різні типи станів у природі, з яких одні є атрактора- ми інших. Атрактори — це множини, до яких притягуються траєкторії динамічних систем. Необоротність є проявом атрактивності. Осцилятор Ван дер Поля Осцилятор було названо ім’ям голландського інженера і фізика Бальтазара Ван дер Поля. Працюючи в компанії Philips, йому разом з колегою одними з перших вдалося спосте- рігати детермінований хаос. Рівняння Ван дер Поля застосовується у фізиці, механіці, в сейсмології для моделювання геологічних розломів, у фізіології для моделювання нер- вової системи (моделі Ходжкіна—Хакслі, Фітц Хью—Нагумо, або нейронна модель), в медицині для моделювання роботи серця. По- дальший розвиток цих результатів привів до появи асимптотичної теорії, яка розвивалася в київській математичній школі М.М. Крило- ва, М.М. Боголюбова, Ю.О. Митропольсько- го, А.М. Самойленка і породила теорію бага- точастотних коливань. У роботі [8] як приклад моделі Шредінгера було розглянуто крайову задачу для рівнян- ня Ван дер Поля в сепарабельному просторі ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2017, № 1 95 МОЛОДІ ВЧЕНІ Гільберта d2y(t)/dt2 + Ty(t) = ε(1 — \|\|y(t)\|\|2)dy(t)/dt, (15) y(0) = y(w), dy(0)/dt = dy(w)/dt, (16) де T — необмежений оператор з компактним обер- неним T—1. Задачу можна переписати у вигляді зліченної системи диференціальних рівнянь dxk(t)/dt = kλ yk(t), (17) 2 1 ( ) ( ) ( )1 ( )k k k k kjj dy t x t y tx t dt ∞ = ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑λ ε λ , xk(0) = xk(w), yk(0) = yk(w), k = 1, 2, ... (18) Якщо ε = 0 і розглядається резонансний ви- падок λi = 4π2i2/w2 (w = 2π), то породжуюча система рівнянь має розв’язки вигляду xk(t) = cos(kt) 1 kc + sin(kt) 2 kc , yk(t) = —sin(kt) 1 kc + cos(kt) 2 kc , і необхідна умова розв’язності крайової задачі (17), (18) набуває такого вигляду. Теорема 8 (необхідна умова розв’язності рівняння Ван дер Поля) [8]. Нехай крайова задача (17), (18) має розв’язок y(·, ε), який пе- ретворюється на один із розв’язків породжую- чого рівняння з набором пар констант ( 1 kc , 2 kc ), k ∈ N. Тоді серед них може бути не більше скін- ченної кількості ненульо- вих. Більше того, якщо ( 1 kc , 2 kc ) ≠ (0, 0), k = 1, N, то ці константи знаходять- ся на N-вимірному торі (рис. 1) скінченновимірно- го підпростору констант ( 1 ikc )2+ ( 2 ikc )2 = 4/(2N — 1), i = 1, N. На прикладі періодичної крайової задачі xn+1 = = λAn+1xn + hn+1, n ≥ 0 (19) з умовою періодичності x0 = xm, (20) де An — лінійні обмежені оператори, що діють у банаховому просторі B, An+m=An, hn — обмежена послідовність у просторі Банаха B, продемон- стровано чисельне моделювання знайдених в аналітичному вигляді розв’язків у двовимірно- му випадку залежно від зміни параметрів. Результат моделювання для окремих зна- чень параметрів зображено на рис. 2. Можна бачити, як замикання траєкторії довжини век- тора щільно заповнює прямокутник (рис. 2б) Рис. 1. Тор Рис. 2. Фазовий портрет сис- теми 96 ISSN 1027-3239. Visn. Nac. Acad. Nauk Ukr. 2017. (1) МОЛОДІ ВЧЕНІ або вироджується в лінію (рис. 2в). Різні ва- ріанти того, як траєкторія може заповнювати структуровані множини, показано на рис. 2а г, д. Одна з них, наведена на рис. 2д, є фрак- тальною множиною. Це дає можливість зро- бити висновок про те, що поведінка системи досить складна, можуть відбутися непередба- чувані зміни навіть при невеликій зміні одного параметра. Висновки Побудовано теорію розв’язності операторно- ди фе ренціальних крайових задач у просторах Фреше, Банаха та Гільберта. Для лінійних операторних рівнянь за умов розв’язності представлено множину розв’язків з використанням побудованого узагальненого оператора Гріна. Для нелінійних операторних рівнянь запро- поновано ітеративні алгоритми побудови роз- в’язків. Розглянуто лінійні та нелінійні моделі кра- йових задач для операторно-диференціального рівняння Шредінгера в просторі Гільберта. Отримано необхідні та достатні умови роз в’яз- ності крайових задач для операторно-ди фе- рен ціального рівняння Шредінгера в просторі Гільберта, як на скінченному відрізку, так і на нескінченному. Досліджувалися лінійні і не- лінійні задачі зі змінним та постійним опера- тором у лінійній частині. Знайдено аналітичні розв’язки та запропоновано збіжні ітеративні алгоритми їх побудови. Як приклад розглянуто й досліджено рів- няння Ван дер Поля в просторі Гільберта, яке має практичні застосування. Проілюстровано чисельне моделювання по- будованих розв’язків крайових задач. Доповідач висловлює глибоку подяку завіду- вачу лабораторії крайових задач теорії дифе- ренціальних рівнянь відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту мате- матики НАН України, члену-кореспонденту НАН України, доктору фізико-математичних наук, професору, науковому консультанту Олександру Андрійовичу Бойчуку та директо- ру Інституту математики НАН України, ака- деміку НАН України Анатолію Михайловичу Самойленку за допомогу в роботі та численні обговорення матеріалу. REFERENCES 1. Hilbert D. Mathematical Problems. Bull. Amer. Math. Soc. 1902. 8(10): 437. [Александров П.С. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969]. 2. Boichuk O.A., Pokutnyi O.O. Bifurcation theory of operator equations in the Frechet and Hilbert spaces. Ukrainian Mathematical Journal. 2015. 67(9): 1181. [Бойчук О.А, Покутний О.О. Теория возмущений операторных уравнений в пространствах Фреше и Гильбер- та. Укр. мат. журн. 2015. T. 67, № 9. C. 1181—1188]. 3. Pokutnyi O.O. Generalised invertible operator in the Frechet, Banach and Hilbert spaces. Visnyk of Kiev University. Series: Physical and Mathematical Sciences. 2013. (4): 158. [Покутний О.О. Узагальнено-обернений оператор у просторах Фреше, Банаха та Гільберта. Вісник Київського університету. Серія фізико-математичні науки. 2013. № 4. С. 158—161]. 4. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized Inverse Operators and Fredholm Boundary-Value Problems. (Berlin: De Gruyter, 2016). 5. Arsenin V.Ya., Tikhonov A.N. The methods of solving of irregular problems. (Moscow: Nauka, 1986). [Арсенин В.Я., Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986]. 6. Prigogine I. From Being to Becoming. (San Francisco: Freeman, 1980). [Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985]. 7. Krein S.G. Linear equations in the Banach space. (Moscow: Nauka, 1972). [Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1972]. 8. Boichuk A.A., Pokutnyi A.A. Solutions of the Schrodinger equation in a Hilbert space. Boundary Value Problems. 2014. 2014: 4. http://www.boundaryvalueproblems.com/content/2014/1/4. ISSN 1027-3239. Вісн. НАН України, 2017, № 1 97 МОЛОДІ ВЧЕНІ 9. Pokutnyi O.O. Representation of the Solutions of Boundary-value Problems for the Schrödinger Equation in a Hil- bert Space. Journal of Mathematical Sciences. 2015. 205(6): 821. [Покутний О.О. Представлення розв’язкiв крайових задач для рiвняння Шредiнгера у просторi Гiльберта. Нелiнiйнi коливання. 2014. Т. 17, № 1. С. 102—111]. 10. Pokutnyi O.O. Exponential dichotomy and bounded solutions of the Schrodinger equation. Chaotic modeling and simulation (CMSIM). 2013. (4): 625. 11. Devaney R.L. Introduction to Chaotic Dynamical Systems. (Westview Press, 2003). 12. Planck M. Vorlesungen uber Thermodynamik. (Leipzig, 1930). [Планк М. Термодинамика. М.-Л.: Гостехиздат, 1925]. 13. Biletskyi B.A., Boichuk A.A., Pokutnyi A.A. Periodic problems of difference equations and ergodic theory. Abstract and Applied Analysis. 2011. 2011: 928587. O.O. Pokutnyi Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine (Kyiv) THE THEORY OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF OPERATOR-DIFFERENTIAL EQUATIONS According to the materials of scientific report at the meeting of the Presidium of NAS of Ukraine, November 9, 2016 The report is devoted to investigation of boundary value problems and its applications. Proposed new models of quantuum mechanics in the Hilbert space which connect with the theory of irreversible process. One of applications of the considered problem is Van der Pоl equation in the Hilbert space. Such model is widely used in the biology, neural system and others applications. Keywords: chaos, Hilbert’s problem, Van der Pоl equation, Moore—Penrose pseudoinvertible operators, neural models.

Теорія крайових задач для операторно-диференціальних рівнянь (за матеріалами наукового повідомлення на засіданні Президії НАН України 9 листопада 2016 року)

Institution

Similar Items