Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость
Введено понятие нечеткой линейной системы уравнений как совокупности пяти специальных интервальных систем уравнений. Понятия слабой и сильной разрешимости (допустимости) нечеткой линейной системы уравнений представлены в пяти смыслах (четком, квазичетком, получетком, квазинечетком и нечетком). Обосн...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115785 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость / И.В. Сергиенко, О.А. Емец, А.О. Емец // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 33-43. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-115785 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1157852017-04-13T03:02:42Z Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость Сергиенко, И.В. Емец, О.А. Емец, А.О. Системный анализ Введено понятие нечеткой линейной системы уравнений как совокупности пяти специальных интервальных систем уравнений. Понятия слабой и сильной разрешимости (допустимости) нечеткой линейной системы уравнений представлены в пяти смыслах (четком, квазичетком, получетком, квазинечетком и нечетком). Обоснованы критерии слабой разрешимости и допустимости нечеткой системы уравнений во всех пяти смыслах. Доказаны другие свойства нечетких систем и их слабых решений (во всех пяти смыслах). Введено поняття нечіткої лінійної системи рівнянь як сукупності п’яти спеціальних інтервальних систем рівнянь. Поняття слабкої та сильної розв’язності (допустимості) нечіткої лінійної системи рівнянь представлені в п’яти сенсах (чіткому, квазічіткому, напівчіткому, квазінечіткому і нечіткому). Обґрунтовано критерії слабкої розв’язності і допустимості нечіткої системи рівнянь у всіх п’яти сенсах. Доведено інші властивості нечітких систем та їх слабких розв’язків (у всіх п’яти сенсах). The notion of a fuzzy linear system of equations as a set of five special interval systems of equations is introduced. The notions of weak and strong solvability (feasibility) of a fuzzy linear system of equations in five grades (crisp, quasi-crisp, semi-crisp, quasi-fuzzy, and fuzzy) are introduced. The criteria of weak solvability and feasibility of fuzzy linear systems of equations in the five grades are substantiated. Other properties of fuzzy systems and their weak solutions in all the five grades are proved. 2014 Article Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость / И.В. Сергиенко, О.А. Емец, А.О. Емец // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 33-43. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115785 519.8 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Сергиенко, И.В. Емец, О.А. Емец, А.О. Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость Кибернетика и системный анализ |
| description |
Введено понятие нечеткой линейной системы уравнений как совокупности пяти специальных интервальных систем уравнений. Понятия слабой и сильной разрешимости (допустимости) нечеткой линейной системы уравнений представлены в пяти смыслах (четком, квазичетком, получетком, квазинечетком и нечетком). Обоснованы критерии слабой разрешимости и допустимости нечеткой системы уравнений во всех пяти смыслах. Доказаны другие свойства нечетких систем и их слабых решений (во всех пяти смыслах). |
| format |
Article |
| author |
Сергиенко, И.В. Емец, О.А. Емец, А.О. |
| author_facet |
Сергиенко, И.В. Емец, О.А. Емец, А.О. |
| author_sort |
Сергиенко, И.В. |
| title |
Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость |
| title_short |
Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость |
| title_full |
Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость |
| title_fullStr |
Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость |
| title_full_unstemmed |
Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость |
| title_sort |
системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115785 |
| citation_txt |
Системы линейных уравнений с данными в виде нечетких множеств: слабая разрешимость и слабая допустимость / И.В. Сергиенко, О.А. Емец, А.О. Емец // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 33-43. — Бібліогр.: 23 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT sergienkoiv sistemylinejnyhuravnenijsdannymivvidenečetkihmnožestvslabaârazrešimostʹislabaâdopustimostʹ AT emecoa sistemylinejnyhuravnenijsdannymivvidenečetkihmnožestvslabaârazrešimostʹislabaâdopustimostʹ AT emecao sistemylinejnyhuravnenijsdannymivvidenečetkihmnožestvslabaârazrešimostʹislabaâdopustimostʹ |
| first_indexed |
2025-07-08T09:22:00Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:22:00Z |
| _version_ |
1837070047127797760 |
| fulltext |
È.Â. ÑÅÐÃÈÅÍÊÎ, Î.À. ÅÌÅÖ, À.Î. ÅÌÅÖ
ÓÄÊ 519.8 ÑÈÑÒÅÌÛ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
Ñ ÄÀÍÍÛÌÈ Â ÂÈÄÅ ÍÅ×ÅÒÊÈÕ ÌÍÎÆÅÑÒÂ:
ÑËÀÁÀß ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÜ È ÑËÀÁÀß
ÄÎÏÓÑÒÈÌÎÑÒÜ
Àííîòàöèÿ. Ââåäåíî ïîíÿòèå íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé êàê ñîâîêóïíîñòè
ïÿòè ñïåöèàëüíûõ èíòåðâàëüíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé. Ïîíÿòèÿ ñëàáîé è ñèëüíîé ðàçðåøè-
ìîñòè (äîïóñòèìîñòè) íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïðåäñòàâëåíû â ïÿòè ñìûñ-
ëàõ (÷åòêîì, êâàçè÷åòêîì, ïîëó÷åòêîì, êâàçèíå÷åòêîì è íå÷åòêîì). Îáîñíîâàíû êðèòåðèè
ñëàáîé ðàçðåøèìîñòè è äîïóñòèìîñòè íå÷åòêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé âî âñåõ ïÿòè ñìûñëàõ.
Äîêàçàíû äðóãèå ñâîéñòâà íå÷åòêèõ ñèñòåì è èõ ñëàáûõ ðåøåíèé (âî âñåõ ïÿòè ñìûñëàõ).
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íå÷åòêàÿ ñèñòåìà, ðàçðåøèìîñòü è äîïóñòèìîñòü ñèñòåìû.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ó÷åò íåîïðåäåëåííîñòè äàííûõ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â ìîäåëÿõ ñèñòåì, îáú-
åêòîâ, ïðîöåññîâ è ÿâëåíèé, ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé è àêòóàëüíîé ïðîáëåìîé. Ñðåäè
ïîäõîäîâ ê ó÷åòó íåîïðåäåëåííîñòè ïîïóëÿðíûì ââèäó ñâîåé ãèáêîñòè è
àäåêâàòíîñòè ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå àïïàðàòà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ (â ÷àñòíî-
ñòè, [1–15]). Ïðè ýòîì ðåçóëüòàòèðóþùàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïðåäìåòà èññëåäîâà-
íèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ äâîÿêî: ëèáî êàê íàáîð íå÷åòêèõ ÷èñåë, ëèáî êàê ñîâîêóï-
íîñòü «îáû÷íûõ» ÷èñåë, ïîëó÷åííàÿ ïðè îáîñíîâàííîì îïåðèðîâàíèè ñ íå÷åò-
êèìè äàííûì. Ïðåäñòàâëåíèå ðåçóëüòàòîâ òåì èëè èíûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ
êàê ïîñòàíîâêîé çàäà÷è, òàê è ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ. Ïóáëèêàöèé, ïîñâÿ-
ùåííûõ îáîèì ïîäõîäàì, äîñòàòî÷íî ìíîãî, ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿ ëèøü ðàáî-
òàìè [1–15]. Îòìåòèì, ÷òî â [9–14] ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ íå÷åòêèì
÷èñëîì (èëè èõ íàáîðîì).
Ìíîãèå çàäà÷è, ðåøàåìûå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè, î÷åâèäíî ÷àñòî
îïåðèðóþò ñèñòåìàìè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ íå÷åòêèìè äàííûìè (íàïðè-
ìåð, [16–17]). Â óêàçàííûõ ðàáîòàõ ðåøåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïðåäñòàâëåíèåì
ðåçóëüòàòîâ â äâóõ íàçâàííûõ âèäàõ. Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ íå÷åòêèå ÷èñëà (ãà-
óññîâñêèå) ñ êîíòèíóàëüíûì íîñèòåëåì. Ýòî òðåáóåò â ïåðâîì ñëó÷àå (÷åòêîì ðå-
çóëüòàòå) èñïîëüçîâàíèÿ ìîäàëüíûõ çíà÷åíèé íå÷åòêèõ ÷èñåë (ò.å. ïðîâåäåíèÿ
ïðàêòè÷åñêè èõ äåôàçèôèêàöèè). Âî âòîðîì ñëó÷àå (íå÷åòêèé ðåçóëüòàò) èñïîëü-
çóþòñÿ óñëîâíûå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè èëè óñðåäíåííûå íå÷åòêèå çíà÷åíèÿ,
÷òî ïðåäñòàâëÿåòñÿ àäåêâàòíûì äàëåêî íå âî âñåõ ñëó÷àÿõ èñïîëüçîâàíèÿ ñèñòåì
óðàâíåíèé ñ íå÷åòêèìè ïàðàìåòðàìè.
Ïîýòîìó àêòóàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ïîèñê è äðóãèõ ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ ñèñòåì
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ íå÷åòêèìè äàííûìè.  íàñòîÿùåé ñòàòüå äåëàåòñÿ îïðåäå-
ëåííûé øàã â ýòîì íàïðàâëåíèè äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷åòêîãî ðåçóëüòàòà ñ èñïîëüçîâà-
íèåì äàííûõ â âèäå äèñêðåòíûõ íå÷åòêèõ ÷èñåë ñòàíäàðòèçèðîâàííîãî âèäà,
ê êîòîðûì ñâîäÿòñÿ ïðîèçâîëüíûå íå÷åòêèå ÷èñëà.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 33
© È.Â. Ñåðãèåíêî, Î.À. Åìåö, À.Î. Åìåö, 2014
ÈÑÏÎËÜÇÓÅÌÛÅ ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈß
Îïðåäåëåíèå 1. Ìíîæåñòâî (íå÷åòêîå ìíîæåñòâî) ïàð A a a� { | ( )� ;
a a aL R�[ , ] , � �[ , ]}0 1 íàçûâàåì íå÷åòêèì ÷èñëîì.
Îïðåäåëåíèå 2. Ìíîæåñòâî ïàð A a an n� � �{ | | }1 1� �� áóäåì íàçûâàòü äèñêðåò-
íûì íå÷åòêèì ÷èñëîì, åñëè a Ri � 1 � �i n1, ; � i �[ , ]0 1 , � i � 0 � � �i n2 1, ..., (èëè
íå÷åòêèì ÷èñëîì ñ äèñêðåòíûì íîñèòåëåì a an1� �� ). Ïðè ýòîì a aL1 � , a an R� .
Îïðåäåëåíèå 3. Ìíîæåñòâî ïàð A a a a a a RL R� � � �{ | ( ) [ , ]� 1,
�( ) [ , ]}a � 0 1 áóäåì íàçûâàòü íå÷åòêèì ÷èñëîì ñ êîíòèíóàëüíûì íîñèòåëåì
[ , ]a aL R , åñëè �( )a � 0 � �a a aL R( , ) .
Îïðåäåëåíèå 4. Òî÷êó a, â êîòîðîé �( )a �1 , íàçîâåì ïèêîì äëÿ íå÷åòêîãî
÷èñëà A .
Îïðåäåëåíèå 5. Äèñêðåòíîå íå÷åòêîå ÷èñëî A áóäåì íàçûâàòü îäíîïèêî-
âûì, åñëè ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå i , 1 i n , òàêîå, ÷òî � i �1 , à � �1 0� �n .
Ïðè ýòîì a ai M� .
Îïðåäåëåíèå 6. Íå÷åòêîå ÷èñëî ñ êîíòèíóàëüíûì íîñèòåëåì áóäåì íàçû-
âàòü îäíîïèêîâûì, åñëè ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà a a aM L R�( , ) òàêàÿ,
÷òî �( )a M �1 , à � �( ) ( )a aL R� � 0 .
Îïðåäåëåíèå 7. Ìíîæåñòâî ÷èñåë a â ìíîæåñòâå ïàð íå÷åòêîãî ÷èñëà A, äëÿ
êîòîðûõ çàäàíà �( )a , íàçûâàåòñÿ íîñèòåëåì, à �( )a — ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè
íå÷åòêîãî ÷èñëà A .
Îïðåäåëåíèå 8. Íå÷åòêîå ÷èñëî A íàçîâåì íîðìàëüíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ çà-
äàííûõ â A ýëåìåíòàõ íîñèòåëÿ a ai
L
j
L, îò aL äî a M âûïîëíÿåòñÿ � �( ) ( )a ai
L
j
L
�
a ai
L
j
L è äëÿ ëþáûõ çàäàííûõ ýëåìåíòîâ íîñèòåëÿ a ai
R
j
R, îò a M äî aR âû-
ïîëíÿåòñÿ � �( ) ( )a ai
R
j
R� �
a ai
R
j
R .
Îïðåäåëåíèå 9. Íîðìàëüíîå îäíîïèêîâîå íå÷åòêîå ÷èñëî íàçîâåì ñòàíäàðò-
íûì (ñ êîíòèíóàëüíûì èëè äèñêðåòíûì íîñèòåëåì).
Îïðåäåëåíèå 10. Ñòàíäàðòèçèðîâàííûì íå÷åòêèì ÷èñëîì íàçîâåì äèñêðåò-
íîå íå÷åòêîå ÷èñëî âèäà A a a a aL L L L� { | ; | , ; | , ; | ,
0 1 2 3
0 0 25 0 5 0 75; a aM R| ; | , ;1 0 75
3
aR2
0 5| , ; a aR R1 0
0 25 0| , ; | } , ãäå a a a a aL L L L M0 1 2 3
a a aR R R3 2 1
aR0
. Ýòî
÷èñëî ìîæíî çàäàâàòü óïîðÿäî÷åííîé äåâÿòêîé A aL� (
0
, aL1
, aL2
, aL3
, a M , aR3
,
aR2
, aR1
, aR0
) � ( , , , , , , , , )a a a a a a a a aM0 1 2 3 3 2 1 0 , a a aM � �4 4 .
Çàìå÷àíèå 1. Ïîëó÷åíèå ñòàíäàðòèçèðîâàííîãî íå÷åòêîãî ÷èñëà èç ñòàí-
äàðòíîãî ñ êîíòèíóàëüíûì íîñèòåëåì îñóùåñòâëÿåòñÿ äèñêðåòèçàöèåé íîñèòåëÿ
â ñîîòâåòñòâèè ñî çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè (ðèñ. 1).
Îòìåòèì, ÷òî � �a a a[ , ]4 4 âûïîëíÿåòñÿ �( )a �1; � �a a a[ , ]3 3 âûïîëíÿ-
åòñÿ 0 75 1, ( ) � a ; � �a a a[ , ]2 2 èìååì 0 5 1, ( ) � a ; � �a a a[ , ]1 1 èìååì
34 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
Ðèñ. 1
aL1
aL2
aL3
aR3
aR2
aR1
a aL L�
0
a aR R�
0
a
aM
�( ) [ , ; ]a � 0 25 1 ; � �a a a[ , ]0 0 èìååì �( ) [ ; ]a � 0 1 , ò.å. � �a a ai i[ , ] èìååì
�( ) [ / ; ]a i� 4 1 , i � 0 1 2 3 4, , , , .
Çàìå÷àíèå 2. Ïîëó÷åíèå ñòàíäàðòèçèðîâàííîãî íå÷åòêîãî ÷èñëà èç ñòàíäàðòíîãî
ñ äèñêðåòíûì íîñèòåëåì ìîæíî îñóùåñòâèòü ïî ìåòîäèêå, îïèñàííîé â [18–19].
Çàìå÷àíèå 3. Âûáîð äåâÿòè ýëåìåíòîâ â ñòàíäàðòèçèðîâàííîì íå÷åòêîì ÷èñëå
îïðåäåëÿåòñÿ òåìè æå ðàññóæäåíèÿìè, ÷òî è âûáîð äåâÿòè óðîâíåé øêàëû Ñààòè [20].
Ââåäåì íåîáõîäèìûå ïîíÿòèÿ èíòåðâàëüíûõ ìàòðèö, ñëåäóÿ [21].
Äâå m n� ìàòðèöû A , A áóäåì îáîçíà÷àòü A A R m n, � � , A A (çíàêè
,
äëÿ ìàòðèö (â òîì ÷èñëå âåêòîðîâ) îçíà÷àþò ïîýëåìåíòíîå ñðàâíåíèå, âûïîëíÿå-
ìîå äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ).
Îïðåäåëåíèå 11. Ìíîæåñòâî ìàòðèö I A , I A A A AA � { | }, íàçûâàåòñÿ
èíòåðâàëüíîé ìàòðèöåé. Èìååò ìåñòî è äðóãîå îáîçíà÷åíèå: I A AA � [ , ] . Ìàò-
ðèöû A , A íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèöàìè èíòåðâàëü-
íîé ìàòðèöû I A .
Îïðåäåëåíèå 12. Ñðåäíåé ìàòðèöåé èíòåðâàëüíîé ìàòðèöû I A íàçûâàåòñÿ
ìàòðèöà
A A Ac � �
1
2
( ) , (1)
à ìàòðèöåé ðàäèóñîâ èíòåðâàëüíîé ìàòðèöû I A íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà
� �
1
2
( )A A . (2)
Çàìå÷àíèå 4. Ìàòðèöà ðàäèóñîâ âñåãäà èìååò íåîòðèöàòåëüíûå ýëåìåíòû, ò.å.
ij � 0 � �i m1, ; � �j n1, .
Çàìå÷àíèå 5. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 12 èìååì
A Ac� �
; A Ac� �
,
ò.å. I A A A AA c c� � � �[ , ] [ , ]
èëè I A A AA c� � { | | }|
. Ïîä àáñîëþòíîé
âåëè÷èíîé ìàòðèöû B b Rij
m n� � �( ) ïîíèìàåòñÿ ìàòðèöà | | (| | )B b Rij
m n� � � .
×àñòíûì ñëó÷àåì èíòåðâàëüíîé ìàòðèöû ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàëüíûé âåêòîð, êî-
òîðûé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âåêòîð-ñòîëáåö èëè êàê ìàòðèöó èç R Rm m� �1 ,
ò.å. ìàòðèöó ñ îäíèì ñòîëáöîì.
Îïðåäåëåíèå 13. Èíòåðâàëüíûé âåêòîð — ýòî èíòåðâàëüíàÿ ìàòðèöà ñ îä-
íèì ñòîëáöîì.
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: I b — èíòåðâàëüíûé âåêòîð-ñòîëáåö,
I b b b bb � { }| , ãäå b b R m, � — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû äëÿ I b ;
b b bc � �
1
2
( ) — ñðåäíèé âåêòîð èíòåðâàëüíîãî âåêòîðà I b ; � � �
1
2
( )b b — âåêòîð
ðàäèóñîâ èíòåðâàëüíîãî âåêòîðà I b b b bb c c� � � �[ , ] [ ; ]� � .
Îïðåäåëåíèå 14. Íàçîâåì íå÷åòêîé ìàòðèöåé A Rf m n� � �5 òðåõìåðíóþ
òàáëèöó (ìàòðèöó, ìàññèâ) ñ ýëåìåíòàìè aijt , i m�1 2, , ..., ; j n�1 2, , ..., ;
t �1 2 5, , ..., , ãäå äâóìåðíàÿ ìàòðèöà I a R
A
t
ijt
m n� � �( ) , t � const (t �{ , , ..., }1 2 5 ),
ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàëüíîé ìàòðèöåé âèäà I A A
A
t
t t� [ , ] . Çäåñü A a Rt ijt
m n� � �( ) ,
A a Rt ijt
m n� � �( ) , t � 0 1 2 3 4, , , , ; aij — íå÷åòêîå ñòàíäàðòèçèðîâàííîå ÷èñëî
a a a a a a a a a aij ij ij ij ij ij ij ij ij ij� ( , , , , , , , , )0 1 2 3 4 3 2 1 0 , a a aij ij ij4 4 4� � , i — íîìåð
ñòðîêè, j — íîìåð ñòîëáöà. ×èñëî t íàçîâåì íîìåðîì ñëîÿ ìàòðèöû A f ; I
A
t —
ñëîåì t ìàòðèöû A f , à ìàòðèöó A f íàçîâåì ïÿòèñëîéíîé.
Åñëè A Rf m� � �1 5 , òî A f íàçîâåì íå÷åòêèì âåêòîð-ñòîëáöîì ñ m íå÷åòêèìè
êîîðäèíàòàìè è îáîçíà÷èì b Rf m� �5 .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 35
Ïðèìåð. Ïóñòü a — ñòàíäàðòèçèðîâàííîå íå÷åòêîå ÷èñëî: a � ( , , , , ,0 1 2 3 4
5 6 7 8, , , ) , ò.å. a � ( | ; | , ; | , ; | , ; | ; | , ; | , ;00 10 25 20 5 30 75 41 50 75 60 5 70 25 80| , ; | ) . Ðàññìîòðèì
îäíîýëåìåíòíûé íå÷åòêèé âåêòîð (÷èñëî) A If
b
t� ( ) , t � 0 1 4, , ..., ; m �1; n �1,
ãäå I
b
0 0 8� [ ; ] , I
b
1 1 7� [ ; ] , I
b
2 2 6� [ ; ] , I
b
3 3 5� [ ; ] , I
b
4 4 4� [ ; ] . Òîãäà A f — ïÿòè-
ñëîéíàÿ ìàòðèöà ñ îäíèì ñòîëáöîì è îäíîé ñòðîêîé (íå÷åòêîå ÷èñëî), ò.å. A af � .
Çàìå÷àíèå 6. ×åòêîå ÷èñëî A a�{ | }1 çàäàåòñÿ ñòàíäàðòèçèðîâàííûì íå÷åò-
êèì ÷èñëîì âèäà A a a a a a a a a a� ( , , , , , , , , ) , ò.å. a a a ai i M� � � � �i 1 2 3 4, , , .
 èíòåðâàëüíîì âèäå ÷èñëî A çàäàåòñÿ ìàòðèöåé I I
A b
t5 � ( ) , t � 0 1 4, , ..., , ãäå
I a a I I I I
b b b b b
0 1 2 3 4� � � � �[ ; ] .
Îïðåäåëåíèå 15. Ïîä íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé
A x bf f� (3)
áóäåì ïîíèìàòü ñîâîêóïíîñòü ïÿòè èíòåðâàëüíûõ ëèíåéíûõ ñèñòåì [21]:
I x I I x I I x I I x I I x I
A b A b A b A b A b
4 4 3 3 2 2 1 1 0 0� � � � �; ; ; ; . (4)
 ñâÿçè ñ ýòèì íàïîìíèì îïðåäåëåíèå èíòåðâàëüíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû.
Îïðåäåëåíèå 16 [21]. Ïîä èíòåðâàëüíîé ëèíåéíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé
I x IA b� (5)
ïîíèìàþò ñåìåéñòâî âñåõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
Ax b� , (6)
ãäå
A I A� ; b I b� . (7)
Î ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÈ ÍÅ×ÅÒÊÈÕ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
Îïðåäåëåíèå 17. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (6) íàçûâàåòñÿ ðàçðåøèìîé,
åñëè îíà èìååò íåêîòîðîå ðåøåíèå, è äîïóñòèìîé, åñëè îíà èìååò íåîòðèöà-
òåëüíîå ðåøåíèå.
Îïðåäåëåíèå 18 [21]. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (5) íàçûâàåòñÿ ñëàáîðàçðåøèìîé
(äîïóñòèìîé), åñëè êàêàÿ-ëèáî èç ñèñòåì (6) ñ äàííûìè (7) ðàçðåøèìà (äîïóñòè-
ìà). Ñèñòåìà óðàâíåíèé (5) íàçûâàåòñÿ ñèëüíîðàçðåøèìîé (äîïóñòèìîé), åñëè
êàæäàÿ ñèñòåìà (6) ñ äàííûìè (7) ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà).
Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ñèñòåìå óðàâíåíèé I I
A
t
b
t� ñ íîìåðîì t � 0 1 2 3 4, , , ,
ñåìåéñòâî ñèñòåì óðàâíåíèé âèäà (6) ñ íîìåðîì t ñ äàííûìè (7)
A x bt t� , (8)
A It
A
t� ; b It
b
t� . (9)
Îïðåäåëåíèå 19. Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñëàáîðàçðåøè-
ìîé (äîïóñòèìîé) â ÷åòêîì ñìûñëå, åñëè êàêàÿ-ëèáî èç ñèñòåì (8) ñ äàííûìè (9)
ïðè t � 4
A x b4 4� (10)
ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà). Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñèëüíî-
ðàçðåøèìîé (äîïóñòèìîé) â ÷åòêîì ñìûñëå, åñëè êàæäàÿ ñèñòåìà (10) ñ äàí-
íûìè (9) ïðè t � 4 ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà).
Îïðåäåëåíèå 20. Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñëàáîðàçðåøè-
ìîé (äîïóñòèìîé) â êâàçè÷åòêîì ñìûñëå, åñëè ïðè t � 3 êàêàÿ-ëèáî èç ñèñòåì (8)
ñ äàííûìè (9)
A x b3 3� (11)
36 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà). Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñèëüíî-
ðàçðåøèìîé (äîïóñòèìîé) â êâàçè÷åòêîì ñìûñëå, åñëè êàæäàÿ ñèñòåìà (11) ñ
äàííûìè (9) ïðè t � 3 ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà).
Îïðåäåëåíèå 21. Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñëàáîðàçðåøè-
ìîé (äîïóñòèìîé) â ïîëó÷åòêîì (â ïîëóíå÷åòêîì) ñìûñëå, åñëè ïðè t � 2 êà-
êàÿ-ëèáî ñèñòåìà
A x b2 2� (12)
èç ñèñòåì (8) ñ äàííûìè èç (9) ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà). Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà
óðàâíåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñèëüíî ðàçðåøèìîé (äîïóñòèìîé) â ïîëó÷åòêîì (â
ïîëóíå÷åòêîì) ñìûñëå, åñëè êàæäàÿ ñèñòåìà (12) ñ äàííûìè (9) ïðè t � 2 ðàç-
ðåøèìà (äîïóñòèìà).
Îïðåäåëåíèå 22. Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñëàáîðàçðåøè-
ìîé (äîïóñòèìîé) â êâàçèíå÷åòêîì ñìûñëå, åñëè ïðè t �1êàêàÿ-ëèáî ñèñòåìà
A x b1 1� (13)
èç ñèñòåì (8) ñ äàííûìè èç (9) ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà). Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà óðàâ-
íåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñèëüíîðàçðåøèìîé (äîïóñòèìîé) â êâàçèíå÷åòêîì ñìûñëå,
åñëè êàæäàÿ ñèñòåìà (13) ñ äàííûìè (9) ïðè t �1 ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà).
Îïðåäåëåíèå 23. Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñëàáîðàçðåøè-
ìîé (äîïóñòèìîé) â íå÷åòêîì ñìûñëå, åñëè ïðè t � 0 êàêàÿ-ëèáî ñèñòåìà
A x b0 0� (14)
èç ñèñòåì (8) ñ äàííûìè èç (9) ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà). Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà
óðàâíåíèé (3) íàçûâàåòñÿ ñèëüíîðàçðåøèìîé (äîïóñòèìîé) â íå÷åòêîì ñìûñëå,
åñëè êàæäàÿ ñèñòåìà (14) ñ äàííûìè (9) ïðè t � 0 ðàçðåøèìà (äîïóñòèìà).
Ââåäåíèå îïðåäåëåíèé 17–23 îáúÿñíÿåòñÿ ñëåäóþùèì. Ïóñòü íåîáõîäèìî
îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ðàçðåøèìîé íåêîòîðàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé
A x b0 0� , A R m n
0 � � ; x R n� ; b R m
0 � , (15)
ïðè ýòîì èçâåñòíî òîëüêî, ÷òî A A f
0 � , b b f
0 � .
Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (15) ðàçðåøèìà, åñëè ñèñòåìà óðàâ-
íåíèé (3) ñèëüíîðàçðåøèìà â ÷åòêîì ñìûñëå. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (15) íåðàçðå-
øèìà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) íå ÿâëÿåòñÿ ñëàáî ðàçðåøèìîé â
íå÷åòêîì ñìûñëå.  äðóãèõ ñèòóàöèÿõ îíà ñèëüíî- èëè ñëàáîðàçðåøèìà ñ ðàçíîé
ñòåïåíüþ íå÷åòêîñòè.
Âåêòîð x R n� íàçûâàåòñÿ [21] ñëàáûì ðåøåíèåì èíòåðâàëüíîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé (5), åñëè îí óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå óðàâíåíèé (6) äëÿ íåêîòîðûõ A è
b , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ (7).
Îïðåäåëåíèå 24. Âåêòîð x Rt n� íàçûâàåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì òèïà t
( , , , , )t � 0 1 2 3 4 íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé A x bf f� (ñì. (3)), åñëè îí
ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì â ñìûñëå [21] ñèñòåìû óðàâíåíèé I x I
A
t
b
t� âèäà (5).
Ñâîéñòâà íå÷åòêèõ ìàòðèö è íå÷åòêèõ ñèñòåì âèäà (3)–(4) äàåò ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. Èìåþò ìåñòî âêëþ÷åíèÿ
I I
A
t
A
t� �1 � �t 0 1 2 3, , , ; I I
b
t
b
t� �1 � �t 0 1 2 3, , , .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé
10, 11, 13–16.
Ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 1. Äëÿ
t t t
A A� �
1
2
( ) — ìàòðèöû ðàäèóñîâ èíòåð-
âàëüíîé ìàòðèöû I
A
t è äëÿ �t t t
b b� �
1
2
( ) — âåêòîðà ðàäèóñîâ èíòåðâàëüíîãî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 37
âåêòîðà I
b
t , ãäå I
A
t , I
b
t ââîäÿòñÿ ñîãëàñíî îïðåäåëåíèÿì 14, 15, èìåþò ìåñòî íåðà-
âåíñòâà
t t�
1 , � �t t�
1 , t � 0 1 2 3, , , .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèÿì 14, 16 è òåîðåìå 1 èìååì
A A
t t
�1 ; A At t�
1 .
Ñîãëàñíî (2)
� �
1
2
( )A A , ò.å.
t t t
A A� �
1
2
( ) ,
t t t
A A� � �� �1 1 11
2
( ) , îò-
êóäà
t t�
1 äëÿ � �t { , , , }0 1 2 3 . Àíàëîãè÷íî ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 13
� � �
1
2
( )b b , à èç îïðåäåëåíèé 14–16 è òåîðåìû 1 èìååì �t : b b
t t
�1 ; b bt t�
1 .
Òàêèì îáðàçîì, �t t t
b b� �
1
2
( ) , �t t t
b b� � �� �1 1 11
2
( ) ; â ðåçóëüòàòå èìååì
� �t t�
1 , t � 0 1 2 3, , , . Ñëåäñòâèå äîêàçàíî.
Òåîðåìà 2. Âåêòîð x Rt n� ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì òèïà t (t � 0 1 2 3 4, , , , )
íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé A x bf f� (ñì. (3)) òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà îí óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
| | | |A x b xc
t t
c
t t t t� �
� , (16)
ãäå A A Ac
t t t� �
1
2
( ) — ñðåäíÿÿ ìàòðèöà èíòåðâàëüíîé ìàòðèöû I
A
t ;
t t t
A A� �
1
2
( ) — ìàòðèöà ðàäèóñîâ èíòåðâàëüíîé ìàòðèöû I
A
t ;
b b bc
t t t� �
1
2
( ) — ñðåäíèé âåêòîð èíòåðâàëüíîãî âåêòîðà I
b
t ;
�t t t
b b� �
1
2
( )
— âåêòîð ðàäèóñîâ èíòåðâàëüíîãî âåêòîðà I
b
t .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç êðèòåðèÿ Îåò-
òëè–Ïðàãåðà ñëàáîé ðàçðåøèìîñòè èíòåðâàëüíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû è îïðåäåëå-
íèé ñëàáîãî ðåøåíèÿ òèïà t, íå÷åòêîãî ñòàíäàðòèçèðîâàííîãî ÷èñëà è ñàìîãî ïî-
íÿòèÿ íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû.
Äåéñòâèòåëüíî, èçâåñòåí êðèòåðèé ñëàáîñòè ðåøåíèÿ èíòåðâàëüíîé ñèñòå-
ìû, êîòîðûé äîêàçàëè Îåòòëè è Ïðàãåð [21, ñ. 79, òåîðåìà 2.9; 22]: âåêòîð x R n�
ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì èíòåðâàëüíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû (5) òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà îí óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
| | | |A x b xc c� �
� . (17)
Èñïîëüçóÿ (17) äëÿ êàæäîé ñèñòåìû (4) (ïðè ñâîåì t), ïîëó÷àåì ñïðàâåäëè-
âîñòü òåîðåìû 2.
Òåîðåìà 3. Åñëè âåêòîð x Rt n� ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì òèïà t
( , , , )t �1 2 3 4 íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé A x bf f� (ñì. (3)), òî îí ÿâ-
ëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì òèïà t �1 ýòîé ñèñòåìû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè âåêòîð x t — ñëàáîå ðåøåíèå òèïà t íå÷åòêîé ñèñòå-
ìû (3), òî ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 24 îí ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì ñèñòåìû
I x I
A
t t
b
t� ,
ò.å. ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåêîòîðîé ñèñòåìû A x bt t t� âèäà (8) ñ äàííûìè (9).
Ñîãëàñíî òåîðåìå 1 I I
A
t
A
t� �1, t � 0 1 2 3 4, , , , . À ñîãëàñíî (9) A It
A
t� , à ñëåäî-
âàòåëüíî, A It
A
t� �1. Àíàëîãè÷íî èìååì äëÿ bt : I I
b
t
b
t� �1, t � 0 1 2 3 4, , , , ; b It
b
t� ,
38 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
ò.å. b It
b
t� �1. Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð x t óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå A x bt t� âèäà (6)
è (8) ñ äàííûìè A It
A
t� �1 ; b It
b
t� �1 âèäà (7) è (9). Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî
îïðåäåëåíèþ ñëàáîãî ðåøåíèÿ èíòåðâàëüíîé ñèñòåìû âåêòîð x t ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì
ðåøåíèåì èíòåðâàëüíîé ñèñòåìû I x I
A
t t
b
t� ��1 1. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 27 ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð x t ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíèåì òèïà t �1 íå÷åòêîé ñèñòåìû
A x bf f� âèäà (3), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñëåäñòâèå 1 èç òåîðåìû 3. Åñëè ïðè t � 0 1 2 3 4, , , , âåêòîð x Rt n� óäîâëåòâî-
ðÿåò íåðàâåíñòâó (16) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 3, òî îí óäîâëåòâîðÿåò è
íåðàâåíñòâó
| | | |A x b xc
t t
c
t t t t� � � �� �1 1 1 1
� (18)
(îáîçíà÷åíèÿ âçÿòû èç óñëîâèÿ òåîðåìû 3).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâîñòü íåðàâåíñòâà (18) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñî-
ãëàñíî òåîðåìå 3 äëÿ x t — ñëàáîãî ðåøåíèÿ òèïà t �1 ñèñòåìû (3) âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî (16), â êîòîðîì âñå ïàðàìåòðû (êðîìå x t ) èìåþò íîìåð t �1 , ò.å. âû-
ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (18), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ñëåäñòâèå 2 èç òåîðåìû 3. Åñëè âåêòîð x Rt n� — ñëàáîå ðåøåíèå òèïà t
íå÷åòêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé A x bf f� âèäà (3), òî îí ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì ðåøåíè-
åì òèïa t �1 , …, 1 , 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â ðåêóððåíòíîì ïðèìåíåíèè òåîðåìû 3.
Çàìå÷àíèå 7. Ìàêñèìàëüíûé òèï tmax ñëàáîãî ðåøåíèÿ x x xt t
n
t� ( , ..., )1
íå-
÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû âèäà (3) îïðåäåëÿåò îãðàíè÷åíèå íà çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
ïðèíàäëåæíîñòè ýëåìåíòîâ ýòîãî ðåøåíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî � �i n1, èìååì
� �t
i
tx
t
� �( ) max
4
, ò.å. �( ) , , ...,max maxx
t t
i
t � �
�
�
�
�
�
�4 4
1
4
1 .
Çàìå÷àíèå 8. Îòìåòèì, ÷òî ñëàáîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3): òèïà t � 4 — ýòî
ñëàáîå ðåøåíèå â ÷åòêîì ñìûñëå; òèïà t � 3 — â êâàçè÷åòêîì ñìûñëå; òèïà
t � 2 — â ïîëó÷åòêîì (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, â ïîëóíå÷åòêîì) ñìûñëå; òèïà
t �1 — â êâàçèíå÷åòêîì ñìûñëå; òèïà t � 0 — â íå÷åòêîì ñìûñëå.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð y R m� , êîîðäèíàòû êîòîðîãî îïðåäåëèì ñëå-
äóþùèì îáðàçîì:
y
A x b
x
i c
t t
c
t
i
t t t
i
�
�
�
( )
( | | )
�
ïðè ( | | )
t t t
ix � �� 0 , i m� { , , ..., }1 2 ; (19)
yi �1 ïðè ( | | )
t t t
ix � �� 0 , i m� { , , ..., }1 2 . (20)
Îïðåäåëèì � �x R m âåêòîð sgn x ñ i-é êîîðäèíàòîé (i m�1 2, , ..., ):
( )
, ;
, .
sgn x
x
x
i
i
i
�
�
�
�
�
�
1 0
1 0
(21)
Îáîçíà÷èì D y äëÿ âåêòîðà y R m� êâàäðàòíóþ ìàòðèöó èç R m n� , â êîòîðîé
ýëåìåíòû âåêòîðà íàõîäÿòñÿ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, à âñå îñòàëüíûå ýëåìåíòû —
íóëåâûå, ò.å.
D y y
y
y
y
y
y m
m
m
� �
�
diag( , ..., )1
1
2
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
�
�
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
. (22)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 39
Î÷åâèäíî, ÷òî � �x R m èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå
| |x D xz� , (23)
ãäå
z x� sgn , (24)
ïîñêîëüêó äëÿ ïðîèçâîëüíîãî z R m� èìååì D x z x z x z xz m m
T� ( , , ..., )1 1 2 2 ,
çäåñü è äàëåå T — ñèìâîë òðàíñïîíèðîâàíèÿ.
Òåîðåìà 4. Åñëè âåêòîð x t — ðåøåíèå íåðàâåíñòâà (16), òî îí óäîâëåòâîðÿ-
åò ðàâåíñòâó
( )A D D x b Dc
t
y z
t
c
t
y
t� � �
� , (25)
ãäå âåêòîð y îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì (19), (20), à âåêòîð z — ðàâåíñòâîì (24)
ïðè x x t� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî âåêòîð, ñòîÿùèé ïîä çíàêîì ìîäóëÿ â (16),
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
A x b D xc
t t
c
t
y
t t t� � �( | | )
� , (26)
ïîñêîëüêó D v y v y v y vy m m
T� ( , , ..., )1 1 2 2 , ãäå v xt t t� �
| | � . Òàêèì îáðàçîì,
èç (19), (20) èìååì
( ) ( ) , ,
, .
D v
A x b v
v
y i
c
t t
c
t
i i
i
�
� �
�
�
�
�
��
0
0 0
(27)
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðè íåêîòîðîì x t , óäîâëåòâîðÿþùåì (16), ïðàâàÿ ÷àñòü íå-
ðàâåíñòâà (16) — íóëåâîé âåêòîð, òî è ëåâàÿ ÷àñòü (16) — íóëåâîé âåêòîð.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â (27) ìîæíî çàìåíèòü óñëîâèÿ vi � 0 è vi � 0 íà
( )A x bc
t t
c
t
i� � 0 è A x bc
t t
c
t� � 0 ñîîòâåòñòâåííî, ÷òî è äîêàçûâàåò (26).
Ïîëîæèì z x t� sgn , òîãäà | |x D xt
z
t� , à èç (26), ñãðóïïèðîâàâ ñëåâà ÷ëåíû
ñ ïàðàìåòðîì x t , à ñïðàâà — áåç ïàðàìåòðà, èìååì
( )A D D x b Dc
t
y
t
z
t
c
t
y
t� � �
� ,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Îáîçíà÷èì åäèíè÷íûé k-ìåðíûé âåêòîð e RT k� �( , , ..., )1 1 1 , è åñëè åãî ðàç-
ìåðíîñòü íå óêàçàíà, òî åå ëåãêî îïðåäåëèòü èç êîíòåêñòà.
Ïóñòü I A A
A
t
c
t t
c
t t� � �[ ; ]
— çàäàííàÿ èíòåðâàëüíàÿ m n� ìàòðèöà, îïðå-
äåëÿåìàÿ â (4), à y Y Rm
m� � , z Y Rn
n� � — âåêòîðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíî-
æåñòâ Yk , çàäàííûõ óñëîâèåì Y y R y ek
k� � �{ | | }. Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå
òàêèå ìàòðèöû:
A A D Dyz
t
c
t
y
t
z� �
. (28)
Çäåñü D y , D z — ìàòðèöû âèäà (22). Î÷åâèäíî, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ èíòåðâàëü-
íîé ìàòðèöû è èç (28) äëÿ ýëåìåíòà ìàòðèöû A yz
t èìååì
( ) ( )
, ;
,
A A y z
a y z
a y z
yz
t
ij c
t
ij i ij
t
j
ij
t
i j
ij
t
i j
� � �
� �
�
1
1,
�
�
�
��
(29)
ãäå i m�1 2, , ..., , j n�1 2, , ..., .
Åñëè x, z — åäèíè÷íûå âåêòîðû e , òî ñîîòâåòñòâåííî D y , D z â ýòîì ñëó-
÷àå — åäèíè÷íûå ìàòðèöû. Ïîýòîìó A A Dye
t
c
t
y
t� �
; A A Dez
t
c
t t
z� �
;
A A Dez
t
c
t t
z� � �
; A Aee
t t� ; A Aee
t t
� � . Àíàëîãè÷íî äëÿ èíòåðâàëüíîãî m-ìåðíî-
40 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
ãî âåêòîðà I b b
b
t
c
t t
c
t t� � �[ , ]� � , îïðåäåëÿåìîãî â (4), ââîäèì â ðàññìîòðåíèå
âåêòîð b b Dy
t
c
t
y
t� � � , ãäå
( ) ( ) , ;
, ,
b b y
b y
b y
y
t
i c
t
i i i
t i
t
i
i
t
i
� � � � �
�
�
�
�
��
�
1
1
i m�1 2, , ..., .
Åñëè y e� , òî b be
t t
� � , b be
t t� .
Îòìåòèì, ÷òî ñîãëàñíî ââåäåííûì îïðåäåëåíèÿì A Iyz
t
A
t� ; b Iy
t
b
t� .
Òåîðåìà 5. Íå÷åòêàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà A x bf f� âèäà (5) ÿâëÿåòñÿ ñëàáî-
ðàçðåøèìîé òîëüêî â ñëåäóþùåì ïîíèìàíèè:
1) â ÷åòêîì ñìûñëå, êîãäà ñèñòåìà A x bez
4 4 ; � ��A x bez
4 4 ðàçðåøèìà äëÿ
íåêîòîðîãî z Yn� ;
2) â êâàçè÷åòêîì ñìûñëå, êîãäà ñèñòåìà A x bez
3 3 ; � ��A x bez
3 3 ðàçðåøèìà
äëÿ íåêîòîðîãî z Yn� ;
3) â ïîëó÷åòêîì (ïîëóíå÷åòêîì) ñìûñëå, êîãäà ñèñòåìà A x bez
2 2 ;
� ��A x bez
2 2 ðàçðåøèìà äëÿ íåêîòîðîãî z Yn� ;
4) â êâàçèíå÷åòêîì ñìûñëå, êîãäà ñèñòåìà A x bez
1 1 ; � ��A x bez
1 1 ðàçðåøè-
ìà äëÿ íåêîòîðîãî z Yn� ;
5) â íå÷åòêîì ñìûñëå, êîãäà ñèñòåìà A x bez
0 0 ; � ��A x bez
0 0 ðàçðåøèìà
äëÿ íåêîòîðîãî z Yn� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Íå÷åòêàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà A x bf f� âèäà (5) ñîãëàñíî
îïðåäåëåíèÿì 18–23 ÿâëÿåòñÿ ñëàáîðàçðåøèìîé â ÷åòêîì (t � 4), êâàçè÷åòêîì
( )t � 3 , ïîëó÷åòêîì (t � 2), êâàçèíå÷åòêîì (t �1), íå÷åòêîì (t � 0) ñìûñëàõ, åñëè
ñëàáîðàçðåøèìîé ÿâëÿåòñÿ ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì t èíòåðâàëüíàÿ ñèñòåìà
I x I
A
t
b
t� . Ýòà ñèñòåìà ñîãëàñíî òåîðåìå 2.11 èç [21] ÿâëÿåòñÿ ñëàáîðàçðåøèìîé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñèñòåìà
A x bez
t t , � ��A x bez
t t (30)
ðàçðåøèìà ïðè íåêîòîðîì âåêòîðå z Yn� . Ñðàâíèâàÿ ñèñòåìó (30) ïðè êàæäîì
t �{ , , , , }0 1 2 3 4 ñ ñèñòåìàìè èç óñëîâèÿ òåîðåìû, âèäèì åå ñîâïàäåíèå ñ îäíîé
èç òàêèõ ñèñòåìà (ïðè ñâîåì t). Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëàáàÿ ðàçðåøèìîñòü â ÷åòêîì (t � 4), êâàçè÷åòêîì (t � 3), ïîëó÷åòêîì (t � 2),
êâàçèíå÷åòêîì (t �1) è íå÷åòêîì (t � 0) ñìûñëàõ ñèñòåìû (3) ñîãëàñíî îïðåäåëå-
íèÿì 19–24 îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå íåêîòîðîãî ñëàáîãî ðåøåíèÿ òèïà t íå÷åò-
êîé ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé A x bf f� . Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì òåîðåìû 3
ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé âûâîä.
Ñëåäñòâèå èç òåîðåìû 5. Åñëè íå÷åòêàÿ ñèñòåìà A x bf f� âèäà (5) ÿâëÿåò-
ñÿ: 1) ñëàáîðàçðåøèìîé â ÷åòêîì ñìûñëå, òî îíà ñëàáîðàçðåøèìà â êâàçè÷åòêîì
ñìûñëå; 2) ñëàáîðàçðåøèìîé â êâàçè÷åòêîì ñìûñëå, òî îíà ñëàáîðàçðåøèìà â ïî-
ëó÷åòêîì (ïîëóíå÷åòêîì) ñìûñëå; 3) ñëàáîðàçðåøèìîé â ïîëó÷åòêîì ñìûñëå, òî
îíà ñëàáîðàçðåøèìà â êâàçèíå÷åòêîì ñìûñëå; 4) ñëàáîðàçðåøèìîé â êâàçèíå÷åò-
êîì ñìûñëå, òî îíà ñëàáîðàçðåøèìà â íå÷åòêîì ñìûñëå.
Èíûìè ñëîâàìè, ñëàáîðàçðåøèìîñòü ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì âëîæåííîñòè: èç ñëàáî-
ðàçðåøèìîñòè ïðè áîëüøåì t ñëåäóåò åå ñïðàâåäëèâîñòü è ïðè âñåõ ìåíüøèõ t .
Óòâåðæäåíèå 1. Ïðîâåðêà ñëàáîé ðàçðåøèìîñòè íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé A x bf f� âèäà (3) â ëþáîì èç ïåðå÷èñëåííûõ ñìûñëàõ (÷åòêîì, êâàçè-
÷åòêîì, ïîëó÷åòêîì, êâàçèíå÷åòêîì, íå÷åòêîì) ÿâëÿåòñÿ NP-òðóäíîé çàäà÷åé.
Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðîâåðêà ñëàáîé ðàçðåøè-
ìîñòè íå÷åòêîé ñèñòåìû (3) — ýòî ïðîâåðêà íà ñëàáóþ ðàçðåøèìîñòü ñîîòâåò-
ñòâóþùåé èíòåðâàëüíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû, ÷òî ñîãëàñíî [21, òåîðåìà 2.12] åñòü
NP-òðóäíîé çàäà÷åé.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 41
Î ÄÎÏÓÑÒÈÌÎÑÒÈ ÍÅ×ÅÒÊÈÕ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÑÈÑÒÅÌ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
Äëÿ õàðàêòåðèçàöèè ñëàáîé äîïóñòèìîñòè (â ñîîòâåòñòâóþùåì ñìûñëå
t �{ , , , , }0 1 2 3 4 ) íå÷åòêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé âèäà (3) âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 2.
Òåîðåìà 6. Íå÷åòêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé A x bf f� âèäà (3) ÿâëÿåòñÿ ñëà-
áîäîïóñòèìîé (â ñîîòâåòñòâóþùåì ïàðàìåòðå t �{ , , , , }0 1 2 3 4 ñìûñëå) òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà äîïóñòèìà ñèñòåìà
A x b
t t , (31)
� �A x bt t . (32)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîíÿòèå ñëàáîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (3) (îïðåäåëåíèå 24)
äàåò âîçìîæíîñòü óòâåðæäàòü, ÷òî ñèñòåìà (3) ñëàáîäîïóñòèìà â ñîîòâåòñòâóþ-
ùåì ïàðàìåòðó t ñìûñëå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò íåîòðèöàòåëüíîå ñëà-
áîå ðåøåíèå òèïà t , t �{ , , , , }0 1 2 3 4 .
Ñîãëàñíî òåîðåìå 2 âåêòîð x t ÿâëÿåòñÿ ñëàáûì äîïóñòèìûì ðåøåíèåì
òèïà t , åñëè è òîëüêî åñëè îí óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
| | | |A x b xc
t t
c
t t t t� �
� , (33)
êîòîðîå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê
� � � �
t t t
c
t t
c
t t t tx A x b x� � . (34)
Èç ëåâîãî íåðàâåíñòâà (34) èìååì
� � � �( )A x bc
t t t
c
t t
� , (35)
à èç ïðàâîãî íåðàâåíñòâà ïîëó÷àåì
( )A x bc
t t t
c
t t� �
� . (36)
Íåðàâåíñòâî (35) ýêâèâàëåíòíî (32), à (36) ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó (31),
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Óòâåðæäåíèå 2. Ïðîâåðêà ñëàáîé äîïóñòèìîñòè íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòå-
ìû (3) â ëþáîì èç ïÿòè (ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçíûì ñìûñëàì t �{ , , , , }0 1 2 3 4 ) ìî-
æåò áûòü âûïîëíåíà ñ ïîëèíîìèàëüíûìè çàòðàòàìè âðåìåíè.
Ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóåò èç íåîáõîäèìîñòè ïðîâåðêè âûïîëíèìîñòè òîëüêî
îäíîé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ âèäà (31), (32); ñîãëàñíî [23] ýòî îñóùåñòâèìî çà
ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ.
Çàìå÷àíèå 9. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû îáîáùàþòñÿ ïðè íåîáõîäèìîñòè íà ñëó÷àé
ðàññìîòðåíèÿ áîëåå ïÿòè �-óðîâíåé [1–7] íå÷åòêîãî ÷èñëà.
Çàìå÷àíèå 10. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû îáîáùàþòñÿ è íà ñëó÷àé, êîãäà ïèê íå-
÷åòêîãî ÷èñëà äîñòèãàåòñÿ áîëüøå, ÷åì â îäíîé òî÷êå a M íà îòðåçêå [ ],a a4 4 .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ââåäåíî ïîíÿòèå íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé êàê
ñîâîêóïíîñòè ïÿòè ñïåöèàëüíûõ èíòåðâàëüíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé. Ââåäåíû ïî-
íÿòèÿ ñëàáîé è ñèëüíîé ðàçðåøèìîñòè (äîïóñòèìîñòè) íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñ-
òåìû óðàâíåíèé â ïÿòè ñìûñëàõ (÷åòêîì, êâàçè÷åòêîì, ïîëó÷åòêîì, êâàçèíå÷åò-
êîì è íå÷åòêîì). Îáîñíîâàíû êðèòåðèè ñëàáîé ðàçðåøèìîñòè è ñëàáîé
äîïóñòèìîñòè íå÷åòêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé âî âñåõ ïÿòè ñìûñëàõ. Äîêàçàíû
äðóãèå ñâîéñòâà íå÷åòêèõ ñèñòåì è èõ ñëàáûõ ðåøåíèé (âî âñåõ ïÿòè ñìûñëàõ).
Öåëåñîîáðàçíûì íàïðàâëåíèåì äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé ÿâëÿåòñÿ èçó÷å-
íèå ñèëüíîé ðàçðåøèìîñòè è ñèëüíîé äîïóñòèìîñòè íå÷åòêîé ëèíåéíîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé.
42 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ç à ä å Ë . À . Ïîíÿòèå ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé è åãî ïðèìåíåíèå ê ïðèíÿòèþ ïðèáëèæåí-
íûõ ðåøåíèé. — Ì.: Ìèð, 1976. — 165 ñ.
2. Ç à ä å Ë . À . Ðàçìûòûå ìíîæåñòâà è èõ ïðèìåíåíèå â ðàñïîçíàâàíèè îáðàçîâ è êëàñòåð-àíàëè-
çå // Êëàññèôèêàöèÿ è êëàñòåð. — Ì.: Ìèð, 1980. — Ñ. 208–247.
3. Ê î ô ì à í À . Ââåäåíèå â òåîðèþ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1982. — 432 ñ.
4. Ê î ô ì à í À . , À ë ó õ à Õ . Õ è ë . Ââåäåíèå òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ â óïðàâëåíèè ïðåäïðè-
ÿòèÿìè. — Ìèíñê: Âûøýéøàÿ øê., 1992. — 200 ñ.
5. Ñ å ð ã è å í ê î È . Â . , Ê à ñ ï ø è ö ê à ÿ Ì . Ô . Ïðèìåíåíèå ïîíÿòèé ðàçìûòîé ìàòåìàòèêè äëÿ
ôîðìàëèçàöèè è ðåøåíèÿ êîìáèíàòîðíûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷ // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì-
íûé àíàëèç. — 1995. — ¹ 2. — Ñ. 158–162.
6. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ï à ð à ñ þ ê È . Í . , Ê à ñ ï ø è ö ê à ÿ Ì . Ô . Îá îäíîé íå÷åòêîé çàäà÷å
ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêîãî âûáîðà îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé // Òàì æå. — 2003. — ¹ 2. — Ñ. 3–15.
7. Ï à ð à ñ þ ê È . Í . , Å ð ø î â Ñ .  . Î òðàíñôîðìàöèÿõ íå÷åòêèõ ãðàôîâ, çàäàâàåìûõ FD–ãðàìà-
òèêàìè // Òàì æå. — 2007. — ¹ 2. — Ñ. 129–146.
8. Í å ÷ å ò ê è å ìíîæåñòâà â ìîäåëÿõ óïðàâëåíèÿ è èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà / Ïîä ðåä.
Ä. À. Ïîñïåëîâà. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 312 ñ.
9. ª ì å ö ü Î . Î . , ª ì å ö ü Î ë - ð à Î . Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ êîìá³íàòîðíî¿ îïòèì³çàö³¿ íà íå÷³òêèõ
ìíîæèíàõ. — Ïîëòàâà: ÏÓÅÒ, 2011. — 239 ñ. — http://dspace.uccu.org.ua/handle/123456789/352.
10. ª ì å ö ü Î . Î . , ª ì å ö ü Î ë - ð à Î . Îïåðàö³¿ òà â³äíîøåííÿ íàä íå÷³òêèìè ÷èñëàìè // Íàóê.
â³ñò³ ÍÒÓÓ «Êϲ». — 2008. — ¹ 5. — Ñ. 39–46.
11. ª ì å ö ü Î . Î . , ª ì å ö ü Î ë - ð à Î . Ïîáóäîâà ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ îäí³º¿ êîìá³íàòîðíî¿ çà-
äà÷³ óïàêóâàííÿ ïðÿìîêóòíèê³â ç íå÷³òêèìè ðîçì³ðàìè // Òàì æå. — 2008 — ¹ 6. — Ñ. 25–33.
12. Ä î í å ö à . À . , Å ì å ö À . Î . Ïîñòàíîâêà è ðåøåíèå çàäà÷è î ðþêçàêå ñ íå÷åòêèìè äàííûìè //
Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2009. — ¹ 5. — Ñ. 65–76.
13. Å ì å ö Î . À . , Ï à ð ô å í î â à Ò . À . Îïåðàöèè íàä íå÷åòêèìè ÷èñëàìè ñ íîñèòåëåì ìîùíîñòè êîí-
òèíóóì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ â êîìáèíàòîðíîé îïòèìèçàöèè // Òàì æå. — 2010. — ¹ 2. — Ñ. 86–101.
14. Å ì å ö Î . À . , Å ì å ö À . Î . , Ï à ð ô å í î â à Ò . À . Ìåòîä âåòâåé è ãðàíèö äëÿ çàäà÷ îïòèìèçà-
öèè íà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâàõ // Òàì æå. — 2013. — ¹ 2. — Ñ. 55–60.
15. Ç à é ÷ å í ê î Þ . Ï . Èññëåäîâàíèå îïåðàöèé: Íå÷åòêàÿ îïòèìèçàöèÿ: Ó÷åá. ïîñîáèå. —
Ê.: Âûùà øê., 1991. — 191 ñ.
16. Ñ å ð à ÿ Î .  . , Ð à ñ ê è í Ë . à . Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ íå÷åò-
êî çàäàííûìè ïàðàìåòðàìè // Îòêðûòûå èíôîðìàöèîííûå è êîìïüþòåðíûå èíòåãðèðîâàííûå
òåõíîëîãèè. — Õàðüêîâ, 2006. — Âûï. 31. — Ñ. 233–241.
17. Ð à ñ ê è í Ë . à . , Ñ å ð à ÿ Î .  . Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà. Îñíîâû òåîðèè. Ïðèëîæåíèÿ. — Õàðü-
êîâ: Ïàðóñ, 2008. — 352 ñ.
18. Å ì å ö Î . À . , Å ì å ö À . Î . Ðåäóêöèÿ íå÷åòêèõ ÷èñåë ñ äèñêðåòíûì íîñèòåëåì // Ìàòåðèàëû
Ìåæäóíàð. íàó÷. êîíô. «Èíòåëëåêòóàëüíûå ñèñòåìû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé è ïðîáëåìû âû÷èñëè-
òåëüíîãî èíòåëëåêòà (ISDMCI `2012)» (Åâïàòîðèÿ, 27–31 ìàÿ 2012 ã.). — Õåðñîí: ÕÍÒÓ,
2012. — Ñ. 361–362.
19. I e m e t s O . O . , Y e m e t s ’ O . O . About the problem of growing of a discrete fuzzy number carrier
during algebraic operations // XX Intern. Conf. Problems of Decision Making under Uncertainties:
Abstracts, Sept. 17–21, 2012, Brno (Czech Republic). — Kyiv, 2012. — P. 117–124.
20. Ñ à à ò è Ò . Ïðèíÿòèå ðåøåíèé. Ìåòîä àíàëèçà èåðàðõèé / Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü,
1993. — 320 ñ.
21. Ç à ä à ÷ è ëèíåéíîé îïòèìèçàöèè ñ íåòî÷íûìè äàííûìè / Ì. Ôèäëåð, É. Íåäîìà,
ß. Ðàìèê è äð. — Ìîñêâà; Èæåâñê: ÍÈÖ «Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà», Èí-ò
êîìïüþòåð. èññëåäîâàíèé, 2008. — 288 ñ.
22. O e t t l i W . , P r a g e r W . Compatibility of approximate solution if linear equations with given error
bounds for coefficients and right-hand sides // Numer. mathem. — 1964. — ¹ 6. — P. 405–409.
23. Õ à ÷ è ÿ í Ë . Ã . Ïîëèíîìèàëüíûé àëãîðèòì â ëèíåéíîì ïðîãðàììèðîâàíèè // Äîêë.
ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1979. — 244. — Ñ. 1093–1096.
Ïîñòóïèëà 14.03.2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 2 43
|