Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация
Показано, что максимальное сингулярное число матрицы и соответствующие ему сингулярные векторы являются оптимальным решением специальной квадратичной экстремальной задачи. Рассматривается экономическая интерпретация оптимального решения для линейной модели производства и продуктивной модели Леонтьев...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115795 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация / П.И. Стецюк, Ж.-Ф. Эмменеггер // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 51-57. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-115795 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1157952017-04-13T03:02:35Z Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация Стецюк, П.И. Эмменеггер, Ж.-Ф. Системный анализ Показано, что максимальное сингулярное число матрицы и соответствующие ему сингулярные векторы являются оптимальным решением специальной квадратичной экстремальной задачи. Рассматривается экономическая интерпретация оптимального решения для линейной модели производства и продуктивной модели Леонтьева, показана связь оптимального решения с числом и векторами Фробениуса. Приведено сравнение чисел Фробениуса и максимальных сингулярных чисел для обратной матрицы Леонтьева в 15-отраслевом балансе Украины за 2003–2009 годы. Показано, що максимальне сингулярне число матриці та відповідні йому сингулярні вектори є оптимальним розв’язком спеціальної квадратичної екстремальної задачі. Розглядається економічна інтерпретація оптимального розв’язку для лінійної моделі виробництва та продуктивної моделі Леонтьєва, показано зв’язок оптимального розв’язку числом та векторами Фробеніуса. Наведено порівняння чисел Фробеніуса та максимальних сингулярних чисел для оберненої матриці Леонтьєва в 15-галузевому балансі України за 2003–2009 роки. We prove that the maximum singular value of the matrix and the corresponding singular vectors are the optimal solution for a special quadratic extremal problem. We consider the economic interpretation of the optimal solution for the linear model of production and for the productive Leontief model. We relate the optimal solution to the Frobenius number and vectors and compare the Frobenius numbers and maximum singular values for Leontief inverse matrix in the 15-sectoral balance of Ukraine for 2003–2009. 2014 Article Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация / П.И. Стецюк, Ж.-Ф. Эмменеггер // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 51-57. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115795 519.8 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Стецюк, П.И. Эмменеггер, Ж.-Ф. Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация Кибернетика и системный анализ |
| description |
Показано, что максимальное сингулярное число матрицы и соответствующие ему сингулярные векторы являются оптимальным решением специальной квадратичной экстремальной задачи. Рассматривается экономическая интерпретация оптимального решения для линейной модели производства и продуктивной модели Леонтьева, показана связь оптимального решения с числом и векторами Фробениуса. Приведено сравнение чисел Фробениуса и максимальных сингулярных чисел для обратной матрицы Леонтьева в 15-отраслевом балансе Украины за 2003–2009 годы. |
| format |
Article |
| author |
Стецюк, П.И. Эмменеггер, Ж.-Ф. |
| author_facet |
Стецюк, П.И. Эмменеггер, Ж.-Ф. |
| author_sort |
Стецюк, П.И. |
| title |
Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация |
| title_short |
Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация |
| title_full |
Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация |
| title_fullStr |
Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация |
| title_full_unstemmed |
Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация |
| title_sort |
максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115795 |
| citation_txt |
Максимальное сингулярное число матрицы и его экономическая интерпретация / П.И. Стецюк, Ж.-Ф. Эмменеггер // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 51-57. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT stecûkpi maksimalʹnoesingulârnoečislomatricyiegoékonomičeskaâinterpretaciâ AT émmeneggeržf maksimalʹnoesingulârnoečislomatricyiegoékonomičeskaâinterpretaciâ |
| first_indexed |
2025-07-08T09:22:55Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:22:55Z |
| _version_ |
1837070104359075840 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Ï.È. ÑÒÅÖÞÊ, Æ.-Ô. ÝÌÌÅÍÅÃÃÅÐ
ÌÀÊÑÈÌÀËÜÍÎÅ ÑÈÍÃÓËßÐÍÎÅ ×ÈÑËÎ ÌÀÒÐÈÖÛ
È ÅÃÎ ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÀß ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈß
1
Àííîòàöèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû è ñîîòâåòñòâóþùèå
åìó ñèíãóëÿðíûå âåêòîðû ÿâëÿþòñÿ îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì ñïåöèàëüíîé êâàäðàòè÷íîé
ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ îïòèìàëüíîãî ðå-
øåíèÿ äëÿ ëèíåéíîé ìîäåëè ïðîèçâîäñòâà è ïðîäóêòèâíîé ìîäåëè Ëåîíòüåâà, ïîêàçàíà
ñâÿçü îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ ñ ÷èñëîì è âåêòîðàìè Ôðîáåíèóñà. Ïðèâåäåíî ñðàâíåíèå
÷èñåë Ôðîáåíèóñà è ìàêñèìàëüíûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë äëÿ îáðàòíîé ìàòðèöû Ëåîíòüåâà
â 15-îòðàñëåâîì áàëàíñå Óêðàèíû çà 2003–2009 ãîäû.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàêñèìàëüíîå ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî, êâàäðàòè÷íàÿ ýêñòðåìàëüíàÿ çàäà÷à,
÷èñëî è âåêòîðû Ôðîáåíèóñà, íåðàçëîæèìàÿ ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöà Ëåîíòüåâà.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Óñòîé÷èâîñòü ýêîíîìè÷åñêèõ, òðàíñïîðòíûõ, ýíåðãåòè÷åñêèõ è äðóãèõ ñèñòåì,
êàê ïðàâèëî, õàðàêòåðèçóåòñÿ âåëè÷èíîé ìàêñèìàëüíîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà
íåêîòîðîé ìàòðèöû. Êîìïîíåíòû ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, îòâå÷àþùèõ ýòîìó
÷èñëó, ñâÿçàíû ñî çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè óñòîé÷èâîãî
ðàâíîâåñèÿ. Äëÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåì ýòó ðîëü âûïîëíÿþò ÷èñëî è âåêòîðû
Ôðîáåíèóñà êâàäðàòíûõ ìàòðèö ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè [1, 2].
Òåõíîëîãè÷åñêèå ïðîöåññû ÷àñòî îïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðÿìîóãîëüíûõ
m n� -ìàòðèö A, â êîòîðûõ êîëè÷åñòâî ñòîëáöîâ n (òåõíîëîãèè) è êîëè÷åñòâî
ñòðîê m (âûïóñê) íå ñîâïàäàþò. Äëÿ òàêèõ ïðîöåññîâ ÷èñëî è âåêòîðû Ôðîáåíèó-
ñà íàïðÿìóþ íå ïðèìåíèìû, òàê êàê íå èìåþò àíàëîãîâ äëÿ ïðÿìîóãîëüíûõ ìàò-
ðèö. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå îíè ñâÿçàíû ñ ìàêñèìàëüíûì ñèíãóëÿðíûì
÷èñëîì ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû A, êâàäðàò êîòîðîãî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü
êàê ÷èñëî Ôðîáåíèóñà äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà óìíîæåíèåì
ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöû íà òðàíñïîíèðîâàííóþ. Ðîëü âåêòîðîâ Ôðîáåíèóñà
çäåñü âûïîëíÿþò ëåâûé è ïðàâûé ñèíãóëÿðíûå âåêòîðû — ñîáñòâåííûå âåêòîðû
m m� -ìàòðèöû AA
T è n n� -ìàòðèöû A A
T , êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò êâàäðàòó
ìàêñèìàëüíîãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà.
Ñâîéñòâà ìàêñèìàëüíîãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà � A è åãî èñïîëüçîâàíèå â ýêî-
íîìè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ â íàñòîÿùåé ñòàòüå.
 ïåðâîì ðàçäåëå ðàññìîòðèì ÷èñëî � A è åãî ñâîéñòâà äëÿ âåùåñòâåííûõ ìàòðèö
ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàäðàòè÷íîé ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è, â êîòîðîé îïòèìàëüíîå
çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè ðàâíî � A [3]. Âî âòîðîì ðàçäåëå äëÿ íåîòðèöàòåëü-
íûõ ìàòðèö äàäèì ýêîíîìè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ÷èñëà � A è îòâå÷àþùèõ åìó
ñèíãóëÿðíûõ âåêòîðîâ. Ïðèâåäåì ñðàâíåíèå ÷èñëà � A ñ ÷èñëîì Ôðîáåíèóñà äëÿ
îáðàòíîé ìàòðèöû Ëåîíòüåâà â àãðåãèðîâàííîì 15-îòðàñëåâîì áàëàíñå Óêðàèíû
çà 2003–2009 ãîäû.
1. ×ÈÑËÎ � A È ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÀß ÝÊÑÒÐÅÌÀËÜÍÀß ÇÀÄÀ×À
Ïóñòü A — âåùåñòâåííàÿ m n� -ìàòðèöà è �
A
� 0 — åå ìàêñèìàëüíîå ñèíãó-
ëÿðíîå ÷èñëî, � � �A A A� �max max( ) ( )1 2 , ãäå � max ( )A1 è � max ( )A2 — ìàê-
ñèìàëüíûå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ñèììåòðè÷íûõ m m� -ìàòðèöû A AA
T
1 �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 51
1
Ðàáîòà ÷àñòè÷íî ïîääåðæàíà ãðàíòîì SNSF-SCOPES Project Nr. 127962 (Valorisation Grant).
� Ï.È. Ñòåöþê, Æ.-Ô. Ýììåíåããåð, 2014
è n n� -ìàòðèöû A A A
T
2 � ñîîòâåòñòâåííî. Ëåâûé è ïðàâûé ñèíãóëÿðíûå âåê-
òîðû ÷èñëà � A ðàâíû ñîáñòâåííûì âåêòîðàì ìàòðèö A1 è A2 , ñîîòâåòñòâóþ-
ùèì ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � � �max max( ) ( )A A
A1 2
2� � .
Ëåììà 1. ×èñëî � A ðàâíî îïòèìàëüíîìó çíà÷åíèþ öåëåâîé ôóíêöèè â êâàä-
ðàòè÷íîé ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷å
� A
T
x R u R
T
u Ax u Ax
n m
� �
� �
( ) max* *
,
`(1)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
u xi
i
m
i
i
n
2
1
2
1
1 1
� �
� �� �, . (2)
Îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì ( , )* *u x â çàäà÷å (1), (2) ÿâëÿþòñÿ ëèáî âåêòîðû
u A x A u A u
T T* * * *( ), / | | | |� �� 1 , (3)
ëèáî âåêòîðû
x A u Ax Ax* * * *( ), / | | | |� �� 2 , (4)
ãäå �( )A1 è �( )A2 — ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèö A1 è A2 , ñîîòâåòñòâóþùèå
ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì � �max max( ) ( )A A1 2� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàäà÷ó (1), (2) çàïèøåì â âèäå
� �A
u x
T
u
u Ax u� �
� � �
max max ( )
|| || || || || ||1 1
,
ãäå �( )u — ðåøåíèå ïîäçàäà÷è
�( ) maxu u Ax
x
T� (5)
ïðè îãðàíè÷åíèè
xi
i
n
2
1
1
�
� � . (6)
Ïóñòü v — ìíîæèòåëü Ëàãðàíæà, ñîîòâåòñòâóþùèé îãðàíè÷åíèþ (6).
Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äëÿ ïîçàäà÷è (5), (6) èìååò âèä
L x v u Ax v x
T
i
i
n
( , ) � �
�
�
�
�
�
�
�
�1 2
1
.
Èç óñëîâèÿ
�
�
�
L x v
x
( , )
0 íàõîäèì A u vx v
T �2 0( ) , îòêóäà èìååì
x v
v
A u
T( ) �
1
2
. (7)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
�( ) ( ( ), ) | | | |v L x v v
v
A u v
T� � �
1
4
2 .
Ôóíêöèÿ �( )v ïðè v A u
T* | | | |�
1
2
äîñòèãàåò ìèíèìóìà � �* *( ) | | | |� �v A u
T .
Èç (7) îïðåäåëÿåì îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ïîäçàäà÷è (5), (6)
x u x v A u A u
T T* *( ) ( ) / | | | |� � , (8)
52 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3
íà îñíîâàíèè êîòîðîãî �( ) | | | |u A u
T� . Ñëåäîâàòåëüíî,
max ( ) max | | | | max
|| || || || || ||u u
T
u
T T
u A u u AA u
� � �
� � �
1 1 1
� max
|| ||u
T
u A u
�1
1 . (9)
Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî � max
|| ||
( ) maxA u A u
u
T
1
1
1�
�
, ïîëó÷àåì max ( )
|| ||u
u
�
�
1
�
� �� �max ( )A A1 , ÷òî äîêàçûâàåò ðàâåíñòâî îïòèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ öåëåâîé
ôóíêöèè â çàäà÷å (1), (2) è ÷èñëà � A .
Ðåøåíèåì çàäà÷è (9) áóäåò ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A1, êîòîðûé ñîîò-
âåòñòâóåò åå ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � max ( )A1 . Îòñþäà ñ ó÷åòîì (8)
èìååì u A x A u A u
T T* * * *( ) / | | | |� �� 1 è , ÷òî äîêàçûâàåò äëÿ çàäà÷è (1), (2) îïòè-
ìàëüíîñòü ðåøåíèÿ ( , )* *
u x ïî ôîðìóëå (3).
Àíàëîãè÷íî ìîæíî îáîñíîâàòü è ôîðìóëó (4). Çäåñü ñîîòâåòñòâóþùàÿ çàäà-
÷à èìååò âèä
� �A
x u
T
x
u Ax x� �
� � �
max max ( )
|| || || || || ||1 1
,
ãäå �( )x — ðåøåíèå ïîäçàäà÷è
�( ) maxx u Ax
u
T� (10)
ïðè îãðàíè÷åíèè
ui
i
m
2
1
1
�
� � .
(11)
Äëÿ ïîäçàäà÷è (10), (11) èìååì ðåøåíèå
u x Ax Ax* ( ) / | | | |� , (12)
ïðè êîòîðîì �( ) | | | |x Ax� . Ñëåäîâàòåëüíî,
max ( ) max max
|| || || || || ||x x
T T
x
T T
x x A Ax x A x
� � �
� � �
1 1 1 2
� � max ( )A A2 � � . (13)
Äëÿ çàäà÷è (13) îïòèìàëüíûì ðåøåíèåì x * áóäåò �( )A2 — ñîáñòâåííûé
âåêòîð ìàòðèöû A2 , ñîîòâåòñòâóþùèé åå ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó
� max ( )A2 . Ñ ó÷åòîì (12) èìååì x A u Ax Ax* * * *( ) / | | | |� �� 2 è , ÷òî äîêàçûâàåò
îïòèìàëüíîñòü ðåøåíèÿ ( , )* *u x ïî ôîðìóëå (4) äëÿ çàäà÷è (1), (2). Ýòèì
çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî ëåììû.
Åñëè êðàòíîñòü ÷èñëà � A áîëüøå åäèíèöû, òî ýòî ÷èñëî — åäèíñòâåííîå
îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè, íî åìó ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî
îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé â çàäà÷å (1), (2). Ëåììà 1 îòðàæàåò âçàèìîñâÿçü ìåæäó
âõîäÿùèìè â îïòèìàëüíîå ðåøåíèå âåêòîðàìè èç ìíîæåñòâ ñîáñòâåííûõ âåêòî-
ðîâ ìàòðèö A1 è A2 , îòâå÷àþùèõ èõ ìàêñèìàëüíûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì
� �max max( ) ( )A A1 2� . Ñ ïîìîùüþ ëåììû 1 ìîæíî íàéòè îäíî (íî ïðîèçâîëüíîå)
îïòèìàëüíîå ðåøåíèå èç ìíîæåñòâà îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé, êîòîðîå çàâèñèò îò
âûáîðà âåêòîðîâ â ôîðìóëàõ (3) èëè (4).
Åñëè èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà (3), òî îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ( , )* *u x ñîñòîèò èç
âåêòîðà u* — íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ìàòðèöû A1 (èì
ìîæåò áûòü êàê ëþáîé âåêòîð èç áàçèñíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, òàê è
èõ ïðîèçâîëüíàÿ íîðìèðîâàííàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êî-
ýôôèöèåíòàìè) è âåêòîðà x * — ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ìàòðèöû A2 , íî íå ïðîèç-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 53
âîëüíîãî, à âû÷èñëåííîãî ïî ôîðìóëå (3). Ïî ñóùåñòâó, äëÿ ñîáñòâåííîãî
âåêòîðà ìàòðèöû A AA
T
1 � âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
� � � �max max( ) ( ) ( ) ( )A A A AA A
T
1 1 1 1� . (14)
Åñëè ýòî ðàâåíñòâî óìíîæèòü ñïðàâà íà ìàòðèöó A
T , òî ïîëó÷àåì
� � � �max max( ) ( ) ( ) ( ( ))A A A A A A A A
T T T
1 1 1 1� . (15)
Èç (15) ëåãêî óâèäåòü, ÷òî âåêòîð � � �( ) ( ) / | | ( )| |A A A A A
T T
2 1 1� ÿâëÿåòñÿ
ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A A A
T
2 � , òàê êàê ïðè � �max max( ) ( )A A1 2�
äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
� � � �max max( ) ( ) ( ) ( )A A A A A A
T
2 2 2 2� . (16)
Åñëè äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñèíãóëÿðíîãî âåêòîðà èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (4), òî
ïîëó÷èì àíàëîãè÷íóþ ñèòóàöèþ, íî ïðè ýòîì âûáèðàåòñÿ ëþáîé âåêòîð èç áà-
çèñíîé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ äëÿ ìàòðèöû A2 èëè ïðîèçâîëüíàÿ èõ
íîðìèðîâàííàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Çäåñü îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ( , )* *u x ñîñòîèò èç âåêòîðà x * — íåêîòîðîãî ïðîèç-
âîëüíîãî ñîáñòâåííîãî âåêòîðà ìàòðèöû A2 è âåêòîðà u* — ñîáñòâåííîãî âåêòî-
ðà ìàòðèöû A1, íî íå ïðîèçâîëüíîãî, à âû÷èñëåííîãî ïî ôîðìóëå (4). Äåéñòâè-
òåëüíî, åñëè ðàâåíñòâî (16) óìíîæèòü ñïðàâà íà ìàòðèöó A, òî ïîëó÷èì
ðàâåíñòâî
� � � �max max( ) ( ) ( ) ( ( ))A A A A AA A A
T
2 2 2 2� . (17)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî � �max max( ) ( )A A2 1� , èç (17) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà (14)
äëÿ âåêòîðà � � �( ) ( ) / | | ( )| |A A A A A1 2 2� . Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð �( )A1 �
� A A A A� �( ) / | | ( )| |2 2 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A1, ñîîòâåòñòâó-
þùèì åå ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � max ( )A1 .
Èç âûøåèçëîæåííîãî âûòåêàåò ñïðàâåäëèâîñòü ñëåäóþùåé ëåììû.
Ëåììà 2. Åñëè êðàòíîñòü � A ðàâíà åäèíèöå, òî ÷èñëó � A â çàäà÷å (1), (2) ñî-
îòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ( , )* *u x , êîìïîíåíòû êîòîðîãî
u A x A* *( ) ( )� �� �1 2è (18)
ðàâíû ñîáñòâåííûì âåêòîðàì ìàòðèö A1 è A2 , îòâå÷àþùèì èõ ìàêñèìàëüíûì
ñîáñòâåííûì ÷èñëàì � �max max( ) ( )A A1 2� .
Ýòîò ñëó÷àé èìååò ìåñòî ïðè àíàëèçå ýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëåé, ãäå êîýôôèöè-
åíòû ìàòðèöû ÿâëÿþòñÿ íåîòðèöàòåëüíûìè. Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ è äëÿ ñëó÷àÿ,
êîãäà êðàòíîñòü ÷èñëà � A áîëüøå åäèíèöû, åñëè âîçìóùåííûå êîýôôèöèåíòàìè
ìàòðèöû AA
T è A A
T èìåëè åäèíñòâåííîå ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî.
2. ÝÊÎÍÎÌÈ×ÅÑÊÀß ÈÍÒÅÐÏÐÅÒÀÖÈß ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
 ýêîíîìè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ îïåðèðóþò ñ íåîòðèöàòåëüíûìè è íåðàçëîæè-
ìûìè ìàòðèöàìè. Íåîòðèöàòåëüíîé íàçûâàþò ìàòðèöó, âñå êîìïîíåíòû êîòî-
ðîé íåîòðèöàòåëüíû. Êâàäðàòíóþ n n� -ìàòðèöó A íàçûâàþò íåðàçëîæèìîé,
åñëè îäíîâðåìåííîé ïåðåñòàíîâêîé ñòðîê è ñòîëáöîâ åå íåëüçÿ ïðèâåñòè ê âèäó
A �
�
�
�
�
�
�
A A
A
1 2
30
,
54 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3
ãäå A1 — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà. Â ìàêðîýêîíîìèêå íåðàçëîæèìîñòü ìàòðèöû A
îçíà÷àåò, ÷òî êàæäàÿ îòðàñëü èñïîëüçóåò (õîòÿ áû êîñâåííî) ïðîäóêòû âñåõ
äðóãèõ îòðàñëåé.
×èñëî Ôðîáåíèóñà � A ðàâíî ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó n n� -ìàò-
ðèöû A ñ íåîòðèöàòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðàâûé âåêòîð Ôðîáåíèóñà ðàâåí
âåêòîðó xA , êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
Ax x xA A A A
i
n
i� �
�
�� è ( )
1
1 . (19)
Ëåâûé âåêòîð Ôðîáåíèóñà ðàâåí âåêòîðó pA , êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
A p p p
T
A A A A
i
n
i� �
�
�� è ( )
1
1 . (19�)
 ñîîòíîøåíèÿõ (19) è (19�) âåêòîðû Ôðîáåíèóñà îòìàñøòàáèðîâàíû òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû ñóììà èõ êîìïîíåíò ðàâíÿëàñü åäèíèöå. Ýòî ñîïðÿæåíî ñ óäîáñòâîì
èíòåðïðåòàöèè êàæäîé êîìïîíåíòû ýòèõ âåêòîðîâ, íàïðèìåð êàê äîëè (â ïðî-
öåíòíîì ñîîòíîøåíèè) âêëàäà òîé èëè èíîé òåõíîëîãèè â êîíå÷íûé âûïóñê ïðî-
äóêöèè. Äëÿ ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû ïðàâûé è ëåâûé âåêòîðû Ôðîáåíèóñà ñî-
âïàäàþò. Òàêîé âåêòîð íàçîâåì âåêòîðîì Ôðîáåíèóñà. Íîðìèðîâàííûé âåêòîð
Ôðîáåíèóñà ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû A, ñîîòâå-
òñòâóþùèì ee ìàêñèìàëüíîìó ñîáñòâåííîìó ÷èñëó � A .
Äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ è íåðàçëîæèìûõ ìàòðèö òåîðåìà Ôðîáåíèóñà–Ïåððî-
íà [1, òåîðåìà 1.1, ñ. 29] ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ïðàâîãî (ëåâîãî) âåêòîðà
Ôðîáåíèóñà, âñå êîìïîíåíòû êîòîðîãî ïîëîæèòåëüíû. Èç èçëîæåííîãî âûøå
ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü òàêîé ëåììû.
Ëåììà 3. Åñëè íåîòðèöàòåëüíàÿ m n� -ìàòðèöà A íå ñîäåðæèò íóëåâûõ ñòðîê
è ñòîëáöîâ, à ìèíèìàëüíàÿ ïî ðàçìåðó ìàòðèöà èç ÷èñëà ìàòðèö A AA
T
1 � è
A A A
T
2 � ÿâëÿåòñÿ íåðàçëîæèìîé, òî ÷èñëî � A â çàäà÷å (1), (2) äîñòèãàåòñÿ â
åäèíñòâåííîé òî÷êå ( , )* *u x , âñå êîìïîíåíòû êîòîðîé ïîëîæèòåëüíû. Ïðè ýòîì
âåêòîð u* ðàâåí íîðìèðîâàííîìó âåêòîðó Ôðîáåíèóñà äëÿ ìàòðèöû A1, à âåêòîð
x * ðàâåí íîðìèðîâàííîìó âåêòîðó Ôðîáåíèóñà äëÿ ìàòðèöû A2 .
Ñîäåðæàòåëüíûé ñìûñë îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (2) ðàññìîòðèì
íà ïðèìåðå ëèíåéíîé ñèñòåìû y Ax� ñî âõîäîì x R
n� è âûõîäîì y R
m� , êîòî-
ðàÿ îïèñûâàåò ïðîöåññ ïðîèçâîäñòâà m âèäîâ ïðîäóêöèè n ïðåäïðèÿòèÿìè (òåõ-
íîëîãèÿìè). Çäåñü A — íåîòðèöàòåëüíàÿ òåõíîëîãè÷åñêàÿ m n� -ìàòðèöà, â êîòî-
ðîé êîýôôèöèåíò aij îçíà÷àåò êîëè÷åñòâî i-ãî ïðîäóêòà, ïðîèçâåäåííîãî ïî j-é
òåõíîëîãèè, i m�1, ,� ; j n�1, ,� . Âåëè÷èíà aij � 0, åñëè i-é ïðîäóêò ïðîèçâîäèò-
ñÿ ïî j-é òåõíîëîãèè, è aij � 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Çàäà÷ó (1), (2) äëÿ óêàçàííîãî ïðîöåññà ìîæíî çàïèñàòü â òàêîì âèäå: íàéòè
� A
T
y R u R
T
u y u y
m m
� �
� �
( ) max* *
,
(20)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
y Ax x R
n� �, , (21)
u xi
i
m
i
i
n
2
1
2
1
1 1
� �
� �� �, . (22)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 55
Çàäà÷à (20)–(22) ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðîçðà÷íîé äëÿ èíòåðïðåòàöèè ñîäåðæàòåëü-
íîãî ñìûñëà ìàêñèìàëüíîãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà � A è ñîîòâåòñòâóþùèõ åìó
ñèíãóëÿðíûõ âåêòîðîâ, ÷åì çàäà÷à (1), (2). Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî åñëè êîìïîíåíòû
âåêòîðà u R
m� èíòåðïðåòèðîâàòü êàê öåíû íà åäèíèöó ïðîèçâîäèìûõ ïðîäóêòîâ,
òî ïîëó÷àåì îïòèìàëüíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó íîðìèðîâàííûì âåêòîðîì èñïîëü-
çîâàíèÿ òåõíîëîãèé è íîðìèðîâàííûì âåêòîðîì öåí. Îïòèìàëüíîå ñîîòíîøåíèå
ðåàëèçóåò ìàêñèìóì ñóììàðíîé öåíû íà ïðîèçâîäèìûå ïðîäóêòû, è ýòîò ìàêñè-
ìóì ðàâåí ÷èñëó � A — ìàêñèìàëüíîìó ñèíãóëÿðíîìó ÷èñëó ìàòðèöû A. Åñëè âû-
ïîëíåíû óñëîâèÿ ëåììû 3, òî îïòèìàëüíîå ñîîòíîøåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò
îïòèìàëüíûå öåíû, ðàâíûå ïîëîæèòåëüíîìó íîðìèðîâàííîìó âåêòîðó Ôðîáåíèó-
ñà ìàòðèöû A AA
T
1 � , è îïòèìàëüíîå èñïîëüçîâàíèå òåõíîëîãèé, ðàâíîå ïîëîæè-
òåëüíîìó íîðìèðîâàííîìó âåêòîðó Ôðîáåíèóñà ìàòðèöû A A A
T
2 � .
Ê èíòåðåñíîé äâîéñòâåííîé èíòåðïðåòàöèè ÷èñëà � A è âåêòîðîâ Ôðîáåíèó-
ñà ëåãêî ïðèäòè, åñëè çàäà÷ó (1), (2) çàïèñàòü â òàêîì âèäå: íàéòè
� A
T
p R x R
T
p x p x
n n
� �
� �
( ) max* *
,
(23)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
p A u u R
T m� �, , (24)
u xi
i
m
i
i
n
2
1
2
1
1 1
� �
� �� �, . (25)
Çàäà÷à (23)–(25) çàïèñàíà ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû A
T è ÿâëÿåòñÿ íå ìåíåå ïðî-
çðà÷íîé, ÷åì çàäà÷à (20)–(22). Çäåñü âåêòîð p îïðåäåëÿåò ñòîèìîñòè èñïîëüçîâà-
íèÿ òåõíîëîãèé, ãäå öåíà íà ïðîèçâîäñòâî åäèíèöû êàæäîãî îòäåëüíîãî ïðîäóê-
òà îäèíàêîâà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè (23) îò-
ðàæàåò ìàêñèìàëüíóþ ñòîèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òåõíîëîãèé è ðåàëèçóåòñÿ íà
òàêèõ æå íîðìèðîâàííîì âåêòîðå èñïîëüçîâàíèÿ òåõíîëîãèé è íîðìèðîâàííîì
âåêòîðå öåí, êàê è â çàäà÷å (20)–(22).
Óêàçàííàÿ èíòåðïðåòàöèÿ îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1), (2) ñïðàâåäëèâà
òàêæå, åñëè n m� , ò.å. êîëè÷åñòâî òåõíîëîãèé ðàâíî êîëè÷åñòâó ïðîäóêòîâ. Äëÿ
êâàäðàòíûõ ìàòðèö ëåììû 1 è 3 èìåþò áîëüøå ïðèëîæåíèé, òàê êàê â êà÷åñòâå
íåèçâåñòíûõ â çàäà÷å (1), (2) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íå òîëüêî èñïîëüçóåìûå òåõ-
íîëîãèè, íî è âûïóñê ïðîäóêöèè. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ïðèìåðå ìîäåëè Ëå-
îíòüåâà y I A x� ( ) , ãäå x — âàëîâûé âûïóñê, y — êîíå÷íûé âûïóñê, A — ìàò-
ðèöà êîýôôèöèåíòîâ ïðÿìûõ çàòðàò, I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Çäåñü ìàòðèöà Ëå-
îíòüåâà ( )I A íå ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé, íî äëÿ ïðîäóêòèâíîé ìîäåëè
Ëåîíòüåâà (åé ñîîòâåòñòâóåò � A � 1) íåîòðèöàòåëüíîé ÿâëÿåòñÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà
Ëåîíòüåâà B I A� ( ) 1. Îòñþäà èìååì, ÷òî x By� è ëåììû 1 è 3 ìîæíî
çàäåéñòâîâàòü äëÿ êîíå÷íîãî âûïóñêà y è äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè w, êîòîðàÿ ñâÿ-
çàíà ñ äâîéñòâåííîé (öåíîâîé) ìîäåëüþ Ëåîíòüåâà w I A p
T� ( ) , ãäå w — âåêòîð
íîðì äîáàâëåííîé ñòîèìîñòè, p — âåêòîð öåí.
Äëÿ ïðîäóêòèâíîé ìîäåëè Ëåîíòüåâà êâàäðàòè÷íàÿ ýêñòðåìàëüíàÿ çàäà÷à
èìååò âèä: íàéòè
� B
T
w R y R
T
w By w By
n n
� �
� �
( ) max* *
,
(26)
ïðè îãðàíè÷åíèÿõ
w yi
i
m
i
i
n
2
1
2
1
1 1
� �
� �� �, . (27)
56 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3
Åñëè ïåðåîáîçíà÷èòü y x� , w u� , òî çàäà÷à (26), (27) ñîâïàäåò ñ çàäà÷åé
(1), (2) è äëÿ íåå ïðèìåíèìû ëåììû 1 è 3.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì íîðìèðîâàííûå âåêòîðû êîíå÷íîãî ïðîäóêòà è äîáàâ-
ëåííîé ñòîèìîñòè, êîòîðûå îòâå÷àþò ìàêñèìèçàöèè ÷èñëà � B — âåëè÷èíå, ïðî-
ïîðöèîíàëüíîé íàöèîíàëüíîìó äîõîäó [4]. Ïðè ýòîì ÷èñëî � B âñåãäà áóäåò áîëü-
øå, ÷åì ÷èñëî Ôðîáåíèóñà � B . Íà îñíîâàíèè òàáë. 1 ïðèâåäåì ñðàâíåíèå ÷èñåë � B
è � B äëÿ àãðåãèðîâàííîãî 15-îòðàñëåâîãî áàëàíñà Óêðàèíû çà 2003–2009 ãã. [5].
Çäåñü � A — ÷èñëà Ôðîáåíèóñà òåõíîëîãè÷åñêèõ ìàòðèö A: � �B A� 1 1/ ( ) . Èç ïî-
ñëåäíåãî ñòîëáöà òàáëèöû âèäèì, ÷òî ÷èñëî � B ïðåâûøàåò ÷èñëî Ôðîáåíèóñà
� B íå ìåíüøå, ÷åì íà 20 % .
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïîêàçàíî, ÷òî ñèíãóëÿðíîå ÷èñëî ìàòðèöû è åãî ñèíãóëÿð-
íûå âåêòîðû äëÿ ýêîíîìè÷åñêèõ ìîäåëåé ïîçâîëÿþò ïîñòðîèòü íåêîòîðûå
îïòèìàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå ñâÿçûâàþò öåíîâîé è ðåñóðñíûé ôàêòîðû.
Ñèíãóëÿðíûå âåêòîðû òåñíî ñâÿçàíû ñ âåêòîðàìè Ôðîáåíèóñà, îíè ðàñøè-
ðÿþò îáëàñòü äåéñòâèÿ ïîñëåäíèõ íà êëàññ íåîòðèöàòåëüíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ
ìàòðèö. Îäíàêî èíòåðïðåòàöèÿ îïòèìàëüíûõ ñîîòíîøåíèé ñâÿçàíà ñ íîðìèðî-
âàííûìè âåêòîðàìè, êîòîðûå íå èãðàþò áîëüøîé ðîëè â ýêîíîìè÷åñêèõ ïðè-
ëîæåíèÿõ. ×òîáû çàìåíèòü íîðìèðîâàííûå âåêòîðû íà ëèíåéíûå âûïóêëûå
êîìáèíàöèè êîìïîíåíò, ñóùåñòâóåò áîëüøîé ðåçåðâ ïî ìîäèôèêàöèè êâàäðà-
òè÷íîé ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è (1), (2). Òàê, íàïðèìåð, ìàñøòàáèðîâàíèå ïåðå-
ìåííûõ u è x ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü âåêòîðû, êîòîðûå ëåãêî ïðèáëèçèòü ê
âûïóêëûì êîìáèíàöèÿì. Òàêèå çàäà÷è íåñêîëüíî ñëîæíåå, ÷åì çàäà÷à (1), (2).
Èõ îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ ñèíãóëÿðíûì ÷èñëîì íåêîòîðîé
ìîäèôèöèðîâàíííîé òåõíîëîãè÷åñêîé ìàòðèöû, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà óìíîæåíèåì
òåõíîëîãè÷åñêîé ìàòðèöû ñëåâà è ñïðàâà íà äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. À ø ì à í î â Ñ . À . Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ýêîíîìèêó. — Ì.: Íàóêà, 1984. — 296 ñ.
2. Ï î í î ì à ð å í ê î Î . ² . , Ï å ð å ñ ò þ ê Ì . Î . , Á ó ð è ì  . Ì . Ñó÷àñíèé åêîíîì³÷íèé àíàë³ç. ×. 2:
Ìàêðîåêîíîì³êà. — Ê.: Âèùà øê., 2004. — 208 ñ.
3. Ñ ò å ö þ ê Ï . È . Êâàäðàòè÷íàÿ çàäà÷à äëÿ ìàêñèìàëüíîãî ñèíãóëÿðíîãî ÷èñëà // Ïðàö³ ̳æíàðîä.
íàóê. êîíô. «Ïèòàííÿ îïòèì³çàö³¿ îá÷èñëåíü» (ÏÎÎ-XL), ïðèñâÿ÷. 90-ð³÷÷þ â³ä äíÿ íàðîäæåííÿ
àêàä. Â.Ì. Ãëóøêîâà, Óêðà¿íà, Êðèì, Âåëèêà ßëòà, ñìò. Êàöèâåë³, 30 âåðåñíÿ — 4 æîâòíÿ 2013 ð. —
Êè¿â: ²í-ò ê³áåðíåòèêè ³ì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2013. — C. 255.
4. Ñ ò å ö þ ê Ï . È . , Ê î ø ë à é Ë . Á . Îïòèìàëüíàÿ íîðìèðîâàííàÿ ñòðóêòóðà ñïðîñà è äîáàâëåííîé
ñòîèìîñòè â ïðîäóêòèâíîé ìîäåëè Ëåîíòüåâà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 5.
— Ñ. 51–59.
5. Ñ ò å ö þ ê Ï . È . , Á î í ä à ð å í ê î À . Â . Î ñïåêòðàëüíûõ ñâîéñòâàõ ìîäåëè Ëåîíòüåâà // Òåîðèÿ
îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé. — 2011. — ¹ 10. — Ñ. 84–90.
Ïîñòóïèëà 03.01.2014
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 57
Ãîä �A �B � B ( ) /� � �B B B
2003 0,58641 2,41787 2,914 0,205
2004 0,58476 2,40825 2,937 0,220
2005 0,59611 2,47591 3,107 0,255
2006 0,58495 2,40936 2,980 0,237
2007 0,57231 2,33812 2,865 0,225
2008 0,56623 2,30535 2,884 0,251
2009 0,56958 2,32332 2,866 0,234
Ò à á ë è ö à 1
|