Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели

Рассматривается антагонистическая модель подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы, где суммарная нагрузка на платформу нормирована к единице. Обобщенная модель порождена интервальными неопределенностями как оценками нормированных площадей поперечных сечений опор. Доказываются у...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автор:	Романюк, В.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2014
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115801
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели / В.В. Романюк // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 116-129. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-115801
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1158012017-04-13T03:02:43Z Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели Романюк, В.В. Системный анализ Рассматривается антагонистическая модель подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы, где суммарная нагрузка на платформу нормирована к единице. Обобщенная модель порождена интервальными неопределенностями как оценками нормированных площадей поперечных сечений опор. Доказываются утверждения об оптимальных решениях проектировщика в такой модели при переоценках неопределенностей. Условия одного из утверждений вытекают из индуцирования условий первых двух утверждений. Розглянуто антагоністичну модель підбору площ поперечних перерізів опор конструкції-платформи, де сумарне навантаження на платформу нормоване до одиниці. Досліджувана узагальнена модель породжена інтервальними невизначеностями як оцінками нормованих площ поперечних перерізів опор. Доводяться три твердження про оптимальні рішення проектувальника у такій моделі при переоцінках невизначеностей, де умови останнього твердження отримуються індукуванням умов перших двох тверджень. The author considers an antagonistic model of fitting cross-section squares of the supports of construction platform, where the total load on the platform is unit-normed. The generalized model under study is generated by interval uncertainties as the evaluations of the normed squares of support cross-sections. The author proves tree assertions on the projector’s optimal decisions in such model by over-evaluations in uncertainties, where the conditions of the last assertion are obtained by inducing the conditions of the two first assertions. 2014 Article Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели / В.В. Романюк // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 116-129. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115801 519.832.4 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Романюк, В.В. Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели Кибернетика и системный анализ
description	Рассматривается антагонистическая модель подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы, где суммарная нагрузка на платформу нормирована к единице. Обобщенная модель порождена интервальными неопределенностями как оценками нормированных площадей поперечных сечений опор. Доказываются утверждения об оптимальных решениях проектировщика в такой модели при переоценках неопределенностей. Условия одного из утверждений вытекают из индуцирования условий первых двух утверждений.
format	Article
author	Романюк, В.В.
author_facet	Романюк, В.В.
author_sort	Романюк, В.В.
title	Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели
title_short	Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели
title_full	Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели
title_fullStr	Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели
title_full_unstemmed	Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели
title_sort	оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115801
citation_txt	Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели / В.В. Романюк // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 3. — С. 116-129. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT romanûkvv optimalʹnyerešeniâproektirovŝikadlâpodboraploŝadejpoperečnyhsečenijoporkonstrukciiplatformypripereocenkahneopredelennostejvobobŝennojmodeli
first_indexed	2025-07-08T09:23:32Z
last_indexed	2025-07-08T09:23:32Z
_version_	1837070143094521856
fulltext	ÓÄÊ 519.832.4 Â.Â. ÐÎÌÀÍÞÊ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÙÈÊÀ ÄËß ÏÎÄÁÎÐÀ ÏËÎÙÀÄÅÉ ÏÎÏÅÐÅ×ÍÛÕ ÑÅ×ÅÍÈÉ ÎÏÎÐ ÊÎÍÑÒÐÓÊÖÈÈ-ÏËÀÒÔÎÐÌÛ ÏÐÈ ÏÅÐÅÎÖÅÍÊÀÕ ÍÅÎÏÐÅÄÅËÅÍÍÎÑÒÅÉ Â ÎÁÎÁÙÅÍÍÎÉ ÌÎÄÅËÈ Àííîòàöèÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïîäáîðà ïëîùàäåé ïîïåðå÷íûõ ñå÷å- íèé îïîð êîíñòðóêöèè-ïëàòôîðìû, ãäå ñóììàðíàÿ íàãðóçêà íà ïëàòôîðìó íîðìèðîâàíà ê åäè- íèöå. Îáîáùåííàÿ ìîäåëü ïîðîæäåíà èíòåðâàëüíûìè íåîïðåäåëåííîñòÿìè êàê îöåíêàìè íîð- ìèðîâàííûõ ïëîùàäåé ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé îïîð. Äîêàçûâàþòñÿ óòâåðæäåíèÿ îá îïòèìàëüíûõ ðåøåíèÿõ ïðîåêòèðîâùèêà â òàêîé ìîäåëè ïðè ïåðåîöåíêàõ íåîïðåäåëåííîñòåé. Óñëîâèÿ îäíî- ãî èç óòâåðæäåíèé âûòåêàþò èç èíäóöèðîâàíèÿ óñëîâèé ïåðâûõ äâóõ óòâåðæäåíèé. Êëþ÷åâûå ñëîâà: êîíñòðóêöèÿ-ïëàòôîðìà, ïîäáîð ïëîùàäåé ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé, àíòàãî- íèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ïåðåîöåíêè íåîïðåäåëåííîñòåé, îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ïðîåêòèðîâùèêà. ÎÁËÀÑÒÜ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, ÿâëÿÿñü ôóíäàìåíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ïðè- êëàäíîé ìàòåìàòèêè è ïðåäøåñòâóÿ ìàêåòíîìó èëè íàòóðíîìó ìîäåëèðîâàíèþ, ïîçâîëÿåò âûïîëíÿòü íåîãðàíè÷åííûå êîìáèíàöèè ñ ïàðàìåòðàìè èññëåäóåìûõ îáúåêòîâ. Ýòî îñîáåííî àêòóàëüíî â êîíñòðóèðîâàíèè òåõíè÷åñêèõ è ìåõàíè÷åñ- êèõ ñèñòåì, â îáëàñòè ñòðîèòåëüñòâà, îáùåé èíæåíåðèè, ãäå ðàçðàáîòêà äàæå ìàêåòíîé ìîäåëè íåâîçìîæíà áåç îñíîâàòåëüíîãî ïðèêëàäíîãî àíàëèçà. Â ÷àñò- íîñòè, ïðè ïðîåêòèðîâàíèè ñòðîèòåëüíûõ êîíñòðóêöèé èëè èõ ýëåìåíòîâ òàêîé àíàëèç íåîáõîäèìî ïðîâîäèòü îòíîñèòåëüíî íàäåæíîñòè, óñòîé÷èâîñòè, äîëãî- âå÷íîñòè, áåçîïàñíîñòè è äðóãèõ ñèñòåìíûõ ïàðàìåòðîâ [1]. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îïîðíûå êîíñòðóêöèè-ïëàòôîðìû â îòäåëüíîñòè íå ÿâ- ëÿþòñÿ ñàìûìè ñëîæíûìè îáúåêòàìè ñòðîèòåëüíîãî ïðîöåññà, òåì íå ìåíåå îíè äîëæíû âûäåðæèâàòü ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå âåðòèêàëüíîå äàâëåíèå è ïðè ýòîì áûòü ïðèåìëåìûìè ïî ìàññîãàáàðèòíûì ïîêàçàòåëÿì. Ýòî ðåàëèçóåìî ïðè êîìïëåêñíîì îáåñïå÷åíèè ïóòåì ïîäáîðà îïòèìàëüíîãî êîëè÷åñòâà îïîð è èõ ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé. Îäíàêî ñóùåñòâóþò çàäà÷è ïðîåêòèðîâàíèÿ, ãäå ïîòåíöè- àëüíîå äàâëåíèå íà ïëàòôîðìó êîíñòðóêöèè îöåíèâàåòñÿ èíòåðâàëîì [2], à ëî- êàëüíûå íàãðóçêè íà öåíòðû îïîð ïëàòôîðìû, òàêæå îöåíèâàåìûå èíòåðâàëüíî, íå îáÿçàòåëüíî ïðåäïîëàãàþòñÿ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè [3, 4]. Òîãäà â óñëî- âèÿõ âîçíèêøèõ íåîïðåäåëåííîñòåé ïðèáåãàþò ê åäèíè÷íîìó íîðìèðîâàíèþ ñóììàðíîé íàãðóçêè è ñóììàðíîé ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ îïîð [4, 5], ÷òî ïîçâîëÿåò ðåøàòü çàäà÷ó ïîäáîðà îïòèìàëüíûõ ïëîùàäåé ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ àíòàãîíèñòè÷åñêèõ ìîäåëåé [4, 6], äàáû ïî ñîîòâåòñòâóþ- ùåìó ïðèíöèïó ìèíèìèçàöèè ìàêñèìàëüíûõ ïåðåãðóçîê [7] îäíîâðåìåííî îáåñ- ïå÷èòü áåçîïàñíîñòü è ýêîíîìèþ ðåñóðñîâ, ò.å. ñîêðàùåíèå ðàñõîäîâ ñòðîèòåëü- íîãî ìàòåðèàëà è óìåíüøåíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ ôîðì. Çäåñü ñóùåñòâåííàÿ ïðî- áëåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî èíòåðâàëüíûå îöåíêè (ñîáñòâåííî, íåîïðåäåëåííîñòè) íàãðóçîê íà îïîðû è ïëîùàäåé èõ ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé ÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëü- íûì ñóáúåêòèâíûì ôàêòîðîì, ââèäó ÷åãî âïîñëåäñòâèè âîçíèêàþò òðóäíîñòè ñ ïåðåîöåíêàìè íåîïðåäåëåííîñòåé, êîòîðûå íåîáõîäèìî ðàçðåøèòü. ÔÎÐÌÓËÈÐÎÂÊÀ ÏÐÎÁËÅÌÛ Â ÎÁËÀÑÒÈ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â N -îïîðíîé êîíñòðóêöèè-ïëàòôîðìå äëÿ N � � \{1} íîð- ìèðîâàííîé íàãðóçêîé íà j-þ îïîðó â ôîðìå íåîïðåäåëåííîñòè [ ; ]a bj j ÿâëÿ- åòñÿ íåèçâåñòíîå ÷èñëî x a bj j j� �[ ; ] ( ; )0 1 ïðè a bj j� � � �j N1 1, (1) 116 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 © Â.Â. Ðîìàíþê, 2014 ïðè íåèçâåñòíîé íîðìèðîâàííîé ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ýòîé îïîðû y a bj j j� �[ ; ] ( ; )0 1 ïðè a bj j� � � �j N1 1, . (2) Íåîïðåäåëåííûå íàãðóçêà è ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ äëÿ N -é îïîðû íå ïðèíèìàþòñÿ âî âíèìàíèå, ïîñêîëüêó â ñèëó åäèíè÷íîãî íîðìèðîâàíèÿ xk k N � � � 1 1 , yk k N � � � 1 1 . (3) Òàêèì îáðàçîì, ïðè èçâåñòíûõ èíòåðâàëàõ { }[ ; ]a bj j j N � � 1 1 äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíûõ ïëîùàäåé ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé îïîð ïëàòôîðìû èñïîëüçóþò àí- òàãîíèñòè÷åñêóþ ìîäåëü [3, 4] â ôîðìå âûïóêëîé èãðû [5, 6, 8] ñ ÿäðîì T T x x x y y yN N( , ) ( , , , ; , , , )X Y � �� 1 2 1 1 2 1� � (4) � � � � � � � � � � � max , , , , x y x y x y x y N N k k N k k N 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � �� 2 2 1 max x y j j j N � � � � � � � � � � � � � � � �� 1 1 1 1 1 2 1 1 , x y k k N k k N � � íà äåêàðòîâîì ïðîèçâåäåíèè X Y a bj j j N p d N � � � � � � � � � � � � � � �� [ ; ] ( ; ) [ ; 1 1 1 2 1 2 2 0 1 0 1] d N N � � �� 1 2 2 2 2 � (5) ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäà ÷èñòûõ ñòðàòåãèé (íîðìèðîâàííûõ íàãðóçîê íà îïîðû) X a bj j j N j N N� � � � � � � �� [ ; ] ( ; ) 1 1 1 1 10 1 � (6) ïåðâîãî èãðîêà è ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäà ÷èñòûõ ñòðàòåãèé (íîðìèðîâàííûõ ïëîùàäåé ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé îïîð) Y a bj j j N j N N� � � � � � � �� [ ; ] ( ; ) 1 1 1 1 10 1 � (7) âòîðîãî èãðîêà (ïðîåêòèðîâùèêà), ãäå X � �� [ ]x x x x XN N1 2 2 1� , (8) Y � �� [ ]y y y y YN N1 2 2 1� . (9) Ïîñêîëüêó èãðà ñ ÿäðîì (4) íà ( )2 2N � -ìåðíîì ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäå (5) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé, òî â íåé ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ ïðîåêòè- ðîâùèêà Y* * * * [ ] [ ; ]� � �� y y y y a b YN N j j j N 1 2 2 1 1 1 � (10) ñîãëàñíî òåîðåìå î ÷èñòûõ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèÿõ âòîðîãî èãðîêà â âûïóê- ëîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðå [3, 4, 9, 10]. Êîìïîíåíòû ýòîé ( )N �1 -ìåðíîé òî÷- êè âíà÷àëå íàõîäÿòñÿ êàê êîðíè ðàâåíñòâà � * * ( ) � � � � � � � � � � � � � � � b y a y j j k k N k k N 2 1 1 1 1 2 1 1 � � �j N1 1, (11) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 117 â ñèëó òîãî, ÷òî Y Y X * * * * * [ ; ] [ ] min max� � � � � � � � � y y y yN N a bi i i N 1 2 2 1 1 1 � arg [ ; ] ( , ) a bj j j N T � � � � � � � � � � � � � � 1 1 X Y � � � � � �� arg min max , [ ; ]Y a b j j j N i i i N b y 1 1 2 1 1 1 a y k k N k k N � � � � � �� 1 1 1 1 2 1 �� . (12) Èíûìè ñëîâàìè, âíà÷àëå ïðîâåðÿþò, äîñòèãàåòñÿ ëè îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå èãðû � * íà òàêèõ êîìïîíåíòàõ { }y j j N* � � 1 1, êîòîðûå óðàâíèâàþò âñå N ÷àñòåé ãèïåðáîëè÷åñêèõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé ïîä çíàêîì ìàêñèìóìà â (12). Îäíàêî òà- êîå óðàâíèâàíèå ïîäðàçóìåâàåòñÿ íà ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäå (7), ãäå êàæäûé j-é êîðåíü [5] ðàâåíñòâà (11) y b b a j j k k N k k N * � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 � � �j N1 1, (13) äîëæåí áûòü ñîîòâåòñòâóþùåé êîîðäèíàòîé òî÷êè (10) ýòîãî ãèïåðïàðàëëåëå- ïèïåäà: y a bj j j * [ ; ]� � � �j N1 1, . (14) Åñëè ñóùåñòâóåò íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî R N� �{ }1 1, òàêîå, ÷òî b b a a b r k k N k k N r r � � � � � �� 1 1 1 1 1 [ ; ] � � � �r R N{ }1 1, , (15) òî ÷èñëî â (15), åñòåñòâåííî, óæå íå ÿâëÿåòñÿ r-é êîìïîíåíòîé îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè (10). È âñå-òàêè îïòèìàëüíîå ðåøåíèå ïðîåêòèðîâùèêà (10) îïðåäå- ëåííî ñóùåñòâóåò, íî â òàêèõ óñëîâèÿõ îíî áóäåò ñîñòîÿòü óæå èç äðóãèõ êîìïîíåíò { }y j j N* � � 1 1 , íà êîòîðûõ ðàâåíñòâî (11) âûïîëíèòñÿ ÷àñòè÷íî: îêà- æóòñÿ ðàâíûìè íå âñå N ÷àñòåé ðàâåíñòâà (11), à òîëüêî ëèøü êîëè÷åñòâî, ìåíüøåå ýòîãî ÷èñëà. Ïîýòîìó âîïðîñ îá îïòèìàëüíîì ðåøåíèè ïðîåêòèðîâ- ùèêà (10) äëÿ ïëàòôîðìû ñ ïðîèçâîëüíûì êîëè÷åñòâîì îïîð, ãäå âûïîëíå- íî (15) ïðè R � � , ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíûì è òðåáóþùèì îáñóæäåíèÿ. Äàëåå ðàññìîòðèì ñëó÷àé ñ ïåðåîöåíåííûìè íåîïðåäåëåííîñòÿìè { }[ ; ]a br r r R� . ÖÅËÜ ÑÒÀÒÜÈ Ïóñòü èçâåñòíû íåîïðåäåëåííîñòè { }[ ; ]a bj j j N � � 1 1 â îáîáùåííîé àíòàãîíèñòè- ÷åñêîé ìîäåëè (1)–(9) âûáîðà îïòèìàëüíûõ ïëîùàäåé ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé N -îïîðíîé êîíñòðóêöèè-ïëàòôîðìû äëÿ N �� \{1} , ãäå âûïîëíåíî óñëîâèå b b a a r k k N k k N r � � � � � �� 1 1 1 1 1 � � � �r R N{ }1 1, (16) 118 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 ïðè R � � . Íåîïðåäåëåííîñòè { } { } [ ; ] , \ a bi i i N R� �1 1 â îòëè÷èå îò íåîïðåäåëåí- íîñòåé { }[ ; ]a br r r R� îöåíåíû êîððåêòíî: b b a a b i k k N k k N i i � � � � � �� 1 1 1 1 1 [ ; ] � � �i N R{ }1 1, \ . (17) Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü êîìïîíåíòû { }y j j N* � � 1 1 îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ ïðîåêòè- ðîâùèêà (10) äëÿ ýòèõ óñëîâèé. Ñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿ ïîçâîëÿò íàè- ëó÷øèì îáðàçîì ðàñïðåäåëÿòü íå òîëüêî íîðìèðîâàííóþ íàãðóçêó íà îïîðû ïëàòôîðìû, ïîäîáðàâ îïòèìàëüíûå ïëîùàäè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé åå îïîð, íî è ðåøàòü èíûå çàäà÷è ðàñïðåäåëåíèÿ ðåñóðñîâ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòåé { } { } { } [ ; ] , [ ; ] , \ a b a br r r R i i i N R � � � � � � � � �1 1 , ìîäåëèðóåìûå àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðîé ñ ÿäðîì (4) íà ( )2 2N � -ìåðíîì ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäå (5). ÓÒÂÅÐÆÄÅÍÈß ÎÁ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÌ ÐÅØÅÍÈÈ ÏÐÎÅÊÒÈÐÎÂÙÈÊÀ (10) Â ÈÃÐÅ Ñ ßÄÐÎÌ (4) Â ÓÑËÎÂÈßÕ (16) È (17) Òåîðåìà 1. Â àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðå ñ ÿäðîì (4) íà äåêàðòîâîì ïðîèçâåäå- íèè (5) ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäîâ (6) è (7) äëÿ N �� \{1} â óñëîâèÿõ (16) è (17) ïðè R � � âòîðîé èãðîê îáëàäàåò îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé (10) ñ r-é êîìïî- íåíòîé y ar r * � � �r R (18) è êîìïîíåíòàìè y a b b a i q q R i u u N R k k N * , \ � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 { } � � �i N R{ }1 1, \ (19) ïðè 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a a q q R i u u N R k k N i { }, \ � � �i N R{ }1 1, \ . (20) Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó (16) êàæäàÿ r-ÿ êîìïîíåíòà y b b a r r k k N k k N * � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 � �r R. (21) Ïîäñòàâëÿÿ (17) êàê êîìïîíåíòû { } { } yi i N R * , \� �1 1 ñ ó÷åòîì (21) â ÷àñòè b y j j j N ( )* 2 1 1 � � � �� è 1 1 1 1 1 1 2 � � � � � � � � � � � � � a y k k N k k N * ãèïåðáîëè÷åñêèõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé â ðàâåí- ñòâå (11), ïîëó÷àåì ñòðîãîå íåðàâåíñòâî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 119 1 1 1 1 1 1 2 � � � � � � � � �� a y y b y k k N u u N R q q R i * , \ * ( { } i r r b y* ) ( )2 2 � � � �i N R{ }1 1, \ è � �r R . (22) Ïîñêîëüêó y ar r � � �r R , òî íàðÿäó ñ (22) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî 1 1 1 1 1 1 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � a y y ak k N u u N R q q R k * , \ * { } k N u u N R q q R y a � � � � � � � �� 1 1 1 1 2 1 * , \{ } � � � b y b a b y i i r r r r( ) ( )* 2 2 2 ïðè y ar r � � �r R. (23) Îòñþäà âèäíî, ÷òî âûáîð õîòÿ áû îäíîé r-é êîìïîíåíòû y ar r * � áóäåò ïðîòè- âîðå÷èòü ïðèíöèïó îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî èãðîêà, ïîâûøàÿ çíà÷åíèå èãðû äî ëåâîé ÷àñòè â (23). Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (18) ñïðàâåäëèâà, è óæå âìåñòî (22) èëè (23) ïîëó÷àåì ñòðîãîå íåðàâåíñòâî 1 1 1 1 1 1 2 � � � � � � � � �� a y a b y k k N u u N R q q R i i * , \ ( { } * )2 2 � b a r r � � �i N R{ }1 1, \ è � �r R , (24) ãäå ïî-ïðåæíåìó êîìïîíåíòû { } { } yi i N R * , \� �1 1 ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè (17). Îäíàêî èç íåðàâåíñòâà (24) âèäíî, ÷òî åãî ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòü ìîæåò áûòü óìåíüøåíà â ðåçóëüòàòå óìåíüøåíèÿ çíà÷åíèé (17) êîìïîíåíò { } { } yi i N R * , \� �1 1 íàñòîëüêî, ÷òîáû ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà 1 1 1 1 1 1 2 � � � � � � � � �� a y a b y k k N u u N R q q R i i * , \ ( { } * )2 � � �i N R{ }1 1, \ (25) ñòàëà ðàâåíñòâîì 1 1 1 1 1 1 2 � � � � � � � � �� a y a b y k k N u u N R q q R i i * , \ ( { } * )2 � � �i N R{ }1 1, \ , (26) îòêóäà y a b y ai k k N i u u N R q q R * * , \ 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � { } � � �i N R{ }1 1, \ (27) 120 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 è y b b yu u i i * � � � �i N R{ }1 1, \ , � � �u N R{ }1 1, \ . (28) Òåïåðü, ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (28) â ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (27), ïîëó÷àåì y a b b y b ai k k N i i u u N R i q q R * , \ 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � { } � � � � � � � � � � � � � � � �b a b b b y b ai q q R i u i i u N R i q q 1 1 1 1 * , \{ } R i u u N R y b� � � � � � � � � � * , \ , { }1 1 (29) îòêóäà âûòåêàåò (19). Åñòåñòâåííî, çäåñü äîëæíî áûòü 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a a b q q R i u u N R k k N i { }, \ [ ; i ] � � �i N R{ }1 1, \ , (30) òàê êàê èíà÷å ðàâåíñòâî (26) áóäåò âûïîëíåíî âíå ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäà (7), ÷òî íàðóøèò ïðèíàäëåæíîñòü â (10). Ïîýòîìó óñëîâèå (20) è íåðàâåíñòâî 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a b q q R i u u N R k k N i { }, \ � � �i N R{ }1 1, \ (31) î÷åâèäíû. Îäíàêî 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a b b q q R i u u N R k k N i k k{ }, \ � � � � � �� 1 1 1 1 1 N k k N a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b a b a a i q q R k k N q q R k k 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N u u N R k k N u u N R b a b { } { } , \ , \ a b ak k N k k N k k N � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � b b b a b a i k k N u u N R q q R k k N k k1 1 1 1 1 1 1 { }, \ 1 1 1 1 1 1 1 N u u N R k k N k k b a b � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � { }, \ � � � � � �� 1 1 1 1 1 N k k N a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b b a b a b i r r R r r R k k N k k N u u 1 1 1 1 1 {1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , \N R k k N k k N k k N a b a � � � � � � � � � � �� } � � � � � � � �i N R{ }1 1, \ (32) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 121 è, ñóììèðóÿ îáå ÷àñòè óñëîâèÿ (16) ïî r R N� � �{ }1 1, , ïîëó÷àåì b b a a r r R k k N k k N r r R � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 . (33) Â ðåçóëüòàòå èìååì îòðèöàòåëüíûé ÷èñëèòåëü â äðîáè (32) è ñîîòâåòñòâåííî ñàìà äðîáü ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé. Çíà÷èò, çíà÷åíèÿ â òðåáîâàíèè (30) ìåíü- øå, ÷åì çíà÷åíèÿ â èñõîäíîì óñëîâèè (17), ÷òî àâòîìàòè÷åñêè ïðèâîäèò ê (31), îñòàâëÿÿ òîëüêî òðåáîâàíèå (20) â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû. Òåîðåìà äîêàçàíà. Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a b b q q R i u u N R k k N i k k{ }, \ � � � � � �� 1 1 1 1 1 N k k N i a b � � �i N R{ }1 1, \ , òî íåðàâåíñòâî (31) âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî. Ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå: êàêèìè áû íè áûëè çíà÷åíèÿ â (17), äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàâåíñòâà (26) èç íåðàâåíñòâà (25) êîìïîíåíòû { } { } yi i N R * , \� �1 1 íåîáõîäèìî îäíîâðåìåííî áðàòü ìåíüøèìè îòíî- ñèòåëüíî çíà÷åíèé â (17). Åñòåñòâåííî, îäíîâðåìåííîñòü çäåñü äîñòèæèìà ëèøü ïðè óñëîâèè, êîãäà b b a a b i k k N k k N i i � � � � � �� 1 1 1 1 1 ( ; ] � � �i N R{ }1 1, \ . Åñëè õîòÿ áû îäíî èç òðåáîâàíèé ïðèíàäëåæíîñòåé â (30) áóäåò íàðóøåíî, ò.å. íå âûïîëíèòñÿ õîòÿ áû îäíî òðåáîâàíèå (20), òî ðàâåíñòâî (26) íå áóäåò âûïîëíåíî íà ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäå (7) è çíà÷åíèÿ (19) íå áóäóò êîìïîíåíòà- ìè îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè (10). Ðàññìîòðèì ýòîò ñëó÷àé. Òåîðåìà 2. Ïóñòü â àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðå ñ ÿäðîì (4) íà äåêàðòîâîì ïðî- èçâåäåíèè (5) ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäîâ (6) è (7) äëÿ N � � \{ }1 â óñëîâèÿõ (16) è (17) ïðè R � � ñóùåñòâóåò íåïóñòîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ T N R� �{ }1 1, \ òà- êîå, ÷òî 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a a q q R t u u N R k k N t { }, \ � � � �t T N R{ }1 1, \ (34) è 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a a q q R i u u N R k k N i { }, \ � � � �i N R T{ } { }1 1, \ . (35) Òîãäà â ýòîé èãðå âòîðîé èãðîê îáëàäàåò îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé (10) ñ r-é êîìïîíåíòîé (18), êîìïîíåíòàìè y at t * � � � � �t T N R{ }1 1, \ (36) 122 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 è êîìïîíåíòàìè y a b b a i p p R T i l l N R T k k * , \ � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 { } { } { } � � � 1 1N � � � �i N R T{ } { }1 1, \ (37) ïðè 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a p p R T i l l N R T k k N { } { } { }, \ 1 � � ai � � � �i N R T{ } { }1 1, \ . (38) Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâîñòü óòâåðæäåíèÿ îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíòû (18) âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç òåîðåìû 1. Â ñèëó (34) êàæäàÿ t-ÿ êîìïîíåíòà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê y a b b a t q q R t u u N R k k N * , \ � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 { } � � � �t T N R{ }1 1, \ . (39) Âûâîä (39) îçíà÷àåò, ÷òî âìåñòî ðàâåíñòâà (26) íà ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäå (7) âûïîëíåíî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî 1 1 1 1 1 1 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � a y a ak k N u u N R q q R k k * , \{ } � � � � � � � � � �� 1 1 1 1 2 1 N l l N R T p p R T i y a b * , \{ } { } { } ( )yi 2 � � � � � � � b a b y i N R Ts s s s 2 2 1 1 ( ) , \ { } { } è � � �s R T (40) ïðè y as s * � . Îòñþäà âèäíî, ÷òî âûáîð õîòÿ áû îäíîé t-é êîìïîíåíòû y at t * � áóäåò ïðîòèâîðå÷èòü ïðèíöèïó îïòèìàëüíîñòè âòîðîãî èãðîêà, ïîâûøàÿ çíà- ÷åíèå èãðû äî ëåâîé ÷àñòè â (40). Òàêèì îáðàçîì, äîëæíû áûòü êîìïîíåí- òû (36) è óæå âìåñòî (40) ïîëó÷àåì ñòðîãîå íåðàâåíñòâî 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a y a k k N l l N R T p p R T * , \{ } { } { } � � � 2 2 2 b y b a i i s s( )* � � � �i N R T{ } { }1 1, \ , � � �s R T , (41) ãäå ïî-ïðåæíåìó êîìïîíåíòû { } { } { } yi i N R T * , \� � �1 1 âçÿòû êàê çíà÷åíèÿ â ëåâîé ÷àñ- òè (35). Îäíàêî èç íåðàâåíñòâà (41) âèäíî, ÷òî ÷àñòü åãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ìîæåò áûòü óìåíüøåíà çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ çíà÷åíèé â ëåâîé ÷àñòè (35) êîìïîíåíò { } { } { } yi i N R T * , \� � �1 1 äî òàêèõ çíà÷åíèé, ïðè êîòîðûõ ÷àñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 123 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a y a k k N l l N R T p p R T * , \{ } { } { } � � 2 2 b y i i( )* � � � �i N R T{ } { }1 1, \ (42) ñòàíåò ðàâåíñòâîì 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a y a k k N l l N R T p p R T * , \{ } { } { } � � 2 2 b y i i( )* � � � �i N R T{ } { }1 1, \ , (43) èç êîòîðîãî ïîëó÷èì y a b y ai k k N i l l N R T p p R T * * , \ 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � { } { } { } � � � � � � � � �i N R T{ } { }1 1, \ (44) è y b b yl l i i * � � � � �i N R T{ } { }1 1, \ , � � � �l N R T{ } { }1 1, \ . (45) Äàëåå, ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (45) â ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (44), ïîëó÷àåì y a b b y b ai k k N i i l l N R T i p p R T * , \ 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � { } { } { } � � � � � � � � � � � � � � � � � �b a b b b yi p p R T i l i i l N R T 1 1 1{ } { } { } * , \ � � � � � � � � � � � � � � �b a y bi p p R T i l l N R T 1 1 1{ } { } { } * , \ , (46) îòêóäà âûòåêàåò (37). È, åñòåñòâåííî, â äàííîì ñëó÷àå äîëæíî áûòü 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a p p R T i l l N R T k k N { } { } { }, \ 1 � �[ ; ]a bi i � � � �i N R T{ } { }1 1, \ , (47) òàê êàê èíà÷å ðàâåíñòâî (43) áóäåò âûïîëíåíî âíå ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäà (7), ÷òî íàðóøèò ïðèíàäëåæíîñòü â (10). Ïîýòîìó òðåáîâàíèå (38) è íåðàâåíñòâà 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a p p R T i l l N R T k k N { } { } { }, \ 1 � � bi � � � �i N R T{ } { }1 1, \ (48) î÷åâèäíû. Îäíàêî 124 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a p p R T i l l N R T k k N { } { } { }, \ 1 1 1 1 1 1 1� � � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a q q R i u u N R k k N { }, \ � � � � � � � � � � � � � �b b a b ai u u N R p p R T u u N R k k{ } { } { }1 1 1 1 1 1 , \ , \ N p p R T k k N a a � � � � � � � �� 1 1 1 1 { } � � � � � � � � � � � � � �b b a al l N R T l l N R T q q R k k{ } { } { } { }1 1 1 1 1 , \ , \ � � � � � � � �� 1 1 1 1 1 N k k N q q R a a � � � � � � � � � � � � � � � � � �b a bl l N R T k k N u u N{ } { } {1 1 1 1 1 1 1 , \ , 1 1 1 1 1 }\R k k N a� �� b b a b a bi t t T q q R u u N R t t T u u N R{ } { }1 1 1 1, \ , \ � � �� a at t T k k N 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � �b a bl l N R T q q R l l N R T{ } { } { } { }1 1 1 1 1 , \ , \ ak k N � � � � � � � � � � 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � �b au u N R k k N { }1 1 1 1 1 1 , \ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � b b a a b a i t t T q q R t t T u u N R 1 1 1 1{ }, \ k k N l l N R T k k N b a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 1 1 1 { } { }, \ � � � � � � � � � � � � � � � �b au u N R k k N { }1 1 1 1 1 , \ � � � �i N R T{ } { }1 1, \ . (49) Ñóììèðóÿ îáå ÷àñòè óñëîâèÿ (34) ïî t T N R� � �{ }1 1, \ , ïîëó÷àåì 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a a q q R t t T u u N R k k N { }, \ t t T� � . (50) Â ðåçóëüòàòå èìååì îòðèöàòåëüíûé ÷èñëèòåëü â äðîáè (49), è ñîîòâåòñòâåííî ñàìà äðîáü ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèÿ â òðåáîâàíèè (47) ìåíüøå çíà÷åíèé â ëåâîé ÷àñòè (35), ÷òî ñ ó÷åòîì (17) è òåîðåìû 1 àâòî- ìàòè÷åñêè ïðèâîäèò ê (48), îñòàâëÿÿ òîëüêî òðåáîâàíèå (38) â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè T � � â òåîðåìå 2 ìû âîçâðàùàåìñÿ ê óñëîâèÿì òå- îðåìû 1. Êðîìå òîãî, íåðàâåíñòâî (48) âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî áëàãîäàðÿ íåðàâåíñòâó ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 125 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a p p R T i l l N R T k k N { } { } { }, \ 1 1 1 1 1 1 1� � � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a q q R i u u N R k k N { }, \ � � � � � � � � � � b b a b i k k N k k N i 1 1 1 1 1 � � � �i N R T{ } { }1 1, \ . Òàêèì îáðàçîì, êàêèìè áû íè áûëè çíà÷åíèÿ â ëåâîé ÷àñòè (35), äëÿ ïîëó÷å- íèÿ ðàâåíñòâà (43) èç íåðàâåíñòâà (42) êîìïîíåíòû { } { } { } yi i N R T * , \� � �1 1 íåîá- õîäèìî îäíîâðåìåííî áðàòü ìåíüøèìè îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèé â ëåâîé ÷àñòè (35). Êîíñòàòèðóåì, ÷òî îäíîâðåìåííîñòü çäåñü äîñòèæèìà ëèøü ïðè óñëîâèè 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b a a q q R i u u N R k k N i { }, \ � � � �i N R T{ } { }1 1, \ . Åñëè õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé â (38) íàðóøåíî, òî ðàâåíñòâî (43) íå áóäåò âûïîëíåíî íà ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäå (7) è çíà÷åíèÿ (37) íå áóäóò êîìïîíåíòà- ìè îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè (10). Êîìïîíåíòû { } { } { } yi i N R T * , \� � �1 1 ïðèäåòñÿ íà- õîäèòü ñíîâà. Èòàê, ïîëó÷åíû òå æå ðåçóëüòàòû, êîòîðûå èìååì ïîñëå òåîðå- ìû 1. Îäíîíàïðàâëåííàÿ ñâÿçü ìåæäó òåîðåìîé 1 è òåîðåìîé 2 ëåãêî èíäóöè- ðóåòñÿ äëÿ ëþáîãî ýòàïà ïîèñêà êîìïîíåíò ñòðàòåãèè (10) ñ ó÷åòîì óñëîâèé (16) è (17) â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè. Òåîðåìà 3. Ïóñòü â àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðå ñ ÿäðîì (4) íà äåêàðòîâîì ïðî- èçâåäåíèè (5) ãèïåðïàðàëëåëåïèïåäîâ (6) è (7) äëÿ N �� \{ }1 â óñëîâèÿõ b b a a b i k k N k k N i i � � � � � �� 1 1 1 1 1 [ ; ] � � �i N R{ }1 1 1, \ (51) ïðè Rm � � , ãäå m M�1, è M N� �{ }1 1, , ñóùåñòâóåò íåïóñòîå ìíîæåñòâî èíäåêñîâ R N Rm n n m � � � � { }\1 1 1 1 , � òàêîå, ÷òî 1 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b q q R r u u N R n n m n n m � { }\, � � �� 1 1 1 a a k k N r � � � � � � r R N Rm n n m { }\1 1 1 1 , � (52) 126 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 è 1 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � �� a b b q q R i u u N R n n m n n m � { }, \ � � �� 1 1 1 a a k k N i � � � � i N Rn n m { }1 1 1 , \ � . (53) Òîãäà â ýòîé èãðå âòîðîé èãðîê îáëàäàåò îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèåé (10) ñ Rn n m �1 � -êîìïîíåíòàìè y ar r * � � � � � � � r R N Rm n n m { }1 1 1 1 , \ � (54) è êîìïîíåíòàìè y a b b i p p R i l l N R n n m n n m * , \ � � � � � � � � � � � � � � � � �1 1 1 1 1 � { } � � �� 1 1 1 ak k N � � � � i N Rn n m { }1 1 1 , \ � (55) ïðè 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b p p R i l l N R n n m n n m � �{ }, \ � � � � � a a k k N i 1 1 � � � � i N Rn n m { }1 1 1 , \ � . (56) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè M �1 èìååì óòâåðæäåíèå óæå äîêàçàííîé òåîðåìû 1, ãäå ôîðìóëû (51), (52), (54)–(56) ïðåîáðàçóþòñÿ â ôîðìóëû (17), (16), (18)–(20) ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè M � 2 , îáîçíà÷àÿ R R� 1 è T R� 2 , ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå, äîêàçàííîå â òåîðåìå 2, èäåíòèôèöèðîâàâ (34), (35), (37), (38) ñ (52), (53), (55), (56), à òàêæå (18) è (36) ñ (54). ×òîáû èíäóöèðîâàòü äîêàçàòåëüñòâî äàííîãî óòâåðæäåíèÿ ïðè M � 2 , äîñòàòî÷íî âñåãäà ïðèíèìàòü R Rn n m � � � 1 1 � è T Rm� , ãäå m M�1, . Åñòåñòâåííî, êîëè÷åñòâî M îãðàíè÷åíî ÷èñëîì íåïóñòûõ íåïåðåñåêàþ- ùèõñÿ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà èíäåêñîâ { }1 1, N � . Åñëè âñå òàêèå ïîäìíîæåñò- âà îäíîýëåìåíòíû, òî èõ ÷èñëî ìàêñèìàëüíî; îòñþäà ñëåäóåò çàïèñü M N� �{ }1 1, â óòâåðæäåíèè äàííîé òåîðåìû. Òåîðåìà äîêàçàíà. Îáîáùèâ òåîðåìû 1 è 2, îòìå÷àåì î÷åâèäíîå: íàðÿäó ñ óñëîâèåì (56) âû- ïîëíåíî íåðàâåíñòâî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 127 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b p p R i l l N R n n m n n m � �{ }, \ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a a b bk k N p p R i l l N n n m 1 1 1 1 1 1 � { , 1 1 1 1 1 1 }\ R k k N n n m a � � � �� b b a b i k k N k k N i 1 1 1 1 1 � � � � i N Rn n m { }1 1 1 , \ � ïðè m M� 2, . Èíûìè ñëîâàìè, êàêèìè áû íè áûëè çíà÷åíèÿ â ëåâîé ÷à- ñòè (53), ïðè óñëîâèè (52) êîìïîíåíòû { } { } yi i N Rn n m * , \� � � 1 1 1 � íåîáõîäèìî îäíî- âðåìåííî áðàòü ìåíüøèìè îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèé â ëåâîé ÷àñòè (53), ïðè÷åì îäíîâðåìåííîñòü äîñòèæèìà ëèøü ïðè óñëîâèè, êîãäà 1 1 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � a b b p p R i l l N R n n m n n m � { }, \ � � �� 1 1 1 a a k k N i � � � � i N Rn n m { }1 1 1 , \ � . Åñëè õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé â (56) áóäåò íàðóøåíî, òî çíà÷åíèÿ (55) íå áó- äóò êîìïîíåíòàìè îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè (10) è êîìïîíåíòû { } { } yi i N Rn n m * , \� � � 1 1 1 � ïðèäåòñÿ â òåîðåìå 3 èñêàòü ñíîâà ñ ïîìîùüþ èíêðåìåíòà èíäåêñà m , ïðè äîñòèæåíèè êîòîðûì ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ M îïòè- ìàëüíîå ðåøåíèå ïðîåêòèðîâùèêà (10) áóäåò îïðåäåëåíî. Òîãäà y a b b i p p R i l l N R n n M n n M * , \ � � � � � � � � � � � � � � � � �1 1 1 1 1 � { } � � �� 1 1 1 ak k N � � � � i N Rn n M { }1 1 1 , \ � ïðè { }1 1 1 , \N Rn n M � � � � � èëè y ai i * � � � �i N{ }1 1, â ñëó÷àå, åñëè { }1 1 1 , \N Rn n M � � � � � . 128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â óñëîâèÿõ äàííûõ èíòåðâàëüíûõ íåîïðåäåëåííîñòåé { }[ ; ]a bj j j N � � 1 1 ïðèìåíåíèå ïðîåêòèðîâùèêîì îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ (10) â îáîáùåííîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé ìîäåëè (1)–(9) âûáîðà îïòèìàëüíûõ ïëîùàäåé ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé N -îïîðíîé êîíñòðóêöèè-ïëàòôîðìû äëÿ N �� \{ }1 ïîçâîëèò íàèëó÷øèì îáðàçîì ðàñïðåäåëÿòü íîðìèðîâàííûå ïëîùàäè ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèé îïîð ïëàòôîðìû. Ýòî áóäåò ïðåäîò- âðàùàòü ìàêñèìàëüíóþ ïåðåãðóçêó êîíñòðóêöèè è óëó÷øàòü åå ýêñïëóàòàöèîííûå ñâîéñòâà. Äîêàçàííûå òåîðåìû äîïîëíÿþò òåîðåìó î åäèíñòâåííîé ÷èñòîé îïòè- ìàëüíîé ñòðàòåãèè ïðîåêòèðîâùèêà [5] â âûïóêëîé èãðå (1)–(9) ñ êîìïîíåíòà- ìè (13), ó÷èòûâàÿ âîçìîæíûå ïåðåîöåíêè íåîïðåäåëåííîñòåé { }[ ; ]a bj j j N � � 1 1 , ïðè- âîäÿùèå ê íåðàâåíñòâàì (16), (34) ëèáî ê (52), m M�1, . Çäåñü îñîáåííîñòüþ â îïòèìàëüíîì ðåøåíèè ïðîåêòèðîâùèêà (10), êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ, èñõîäÿ èç ïåðâîíà÷àëüíûõ ïåðåîöåíêîê òèïà (16), ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî íåðàâåíñòâî (16) äàåò íå òîëüêî r-å êîìïîíåíòû (18), íî è ìîæåò ïîðîäèòü ðÿä êîìïîíåíò (54) ñî çíà÷åíèÿ- ìè íà ëåâûõ êîíöàõ ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåðâàëüíûõ íåîïðåäåëåííîñòåé {[ ; ] , , \ a br r r R N Rm n n m} { }� � � � � 1 1 1 1 � åñëè òîëüêî âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 3 äëÿ íåêî- òîðîãî m M�{ }2, . Îäíàêî â èíòåðâàëüíûõ íåîïðåäåëåííîñòÿõ { }[ ; ]a bj j j N � � 1 1 âîç- ìîæíû êàê ïåðåîöåíêè, òàê è íåäîîöåíêè, êîãäà íåêîòîðûå èç çíà÷åíèé (13) ïðå- âîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèå ïðàâûå êîíöû ýòèõ èíòåðâàëîâ. Ïîýòîìó ïåðñïåêòèâíûì ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå òàêèõ ñëó÷àåâ èëè èõ óïðåæäåíèå. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ä à ð ê î â À . Â . , Ø à ï î ø í è ê î â Í . Í . Ñòðîèòåëüíàÿ ìåõàíèêà. — Ì.: Âûñø. øê., 1986. — 607 ñ. 2. × å ð í î ð ó ö ê è é È . Ã . Ìåòîäû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. — ÑÏá.: ÁÕÂ-Ïåòåðáóðã, 2005. — 416 ñ. 3. Ð î ì à í þ ê Â . Â . Òåîð³ÿ àíòàãîí³ñòè÷íèõ ³ãîð. — Ëüâ³â: Íîâèé Ñâ³ò – 2000, 2010. — 294 ñ. 4. Â î ð î á ü ¸ â Í . Í . Òåîðèÿ èãð äëÿ ýêîíîìèñòîâ-êèáåðíåòèêîâ. — Ì.: Íàóêà, Ãëàâíàÿ ðåäàê- öèÿ ôèç.-ìàò. ëèò., 1985. — 272 ñ. 5. Ð î ì à í þ ê Â . Â . Ðåãóëÿðíà îïòèìàëüíà ñòðàòåã³ÿ ïðîåêòóâàëüíèêà ó ìîäåë³ ä³¿ íîðìîâàíîãî îäèíè÷íîãî íàâàíòàæåííÿ íà N -êîëîííó áóä³âåëüíó êîíñòðóêö³þ-îïîðó // Ïðîáëåìè òðèáî- ëîã³¿. — 2011. — ¹ 2. — Ñ. 111–114. 6. Ð î ì à í þ ê Â . Â . Ìîäåëþâàííÿ ä³¿ íîðìîâàíîãî îäèíè÷íîãî íàâàíòàæåííÿ íà òðè êîëîíè îäíàêîâî¿ âèñîòè ó áóä³âåëüí³é êîíñòðóêö³¿ ³ çíàõîäæåííÿ îïòèìàëüíî¿ ïëîù³ êîæíî¿ îïîðè // Òàì æå. — 2010. — ¹ 3. — Ñ. 18–25. 7. Ð î ì à í þ ê Â . Â . Óçàãàëüíåíà ìîäåëü óñóíåííÿ N ÷àñòêîâèõ íåâèçíà÷åíîñòåé ³ìîâ³ðí³ñíîãî òèïó ÿê êîíòèíóàëüíà àíòàãîí³ñòè÷íà ãðà íà ( )2 2N � -âèì³ðíîìó ïàðàëåëåï³ïåä³ ç ì³í³ì³çàö³ºþ ìàêñèìàëüíîãî äèñáàëàíñó // Â³ñí. Õìåëüíèö. íàö. óí-òó. Òåõí. íàóêè. — 2011. — ¹ 3. — Ñ. 45–60. 8. Ï ø å í è ÷ í û é Á . Í . Âûïóêëûé àíàëèç è ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è. — Ì.: Íàóêà, Ãëàâíàÿ ðå- äàêöèÿ ôèç.-ìàò. ëèò., 1980. — 320 ñ. 9. Ï å ò ð î ñ ÿ í Ë . À . , Ç å í ê å â è ÷ Í . À . , Ñ å ì è í à Å . À . Òåîðèÿ èãð. — Ì.: Âûñø. øê. Êíèæ- íûé äîì «Óíèâåðñèòåò», 1998. — 304 ñ. 10. Ï ð î ò à ñ î â È . Ä . Òåîðèÿ èãð è èññëåäîâàíèå îïåðàöèé. — Ì.: Ãåëèîñ ÀÐÂ, 2006. — 368 ñ. Ïîñòóïèëà 16.11.2011 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 3 129

Оптимальные решения проектировщика для подбора площадей поперечных сечений опор конструкции-платформы при переоценках неопределенностей в обобщенной модели

Репозитарії

Схожі ресурси