Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки
Исследована система, структура которой задается деревом отказов с эффективностями. Внешняя нагрузка на систему определяется как функция от состояний полумарковского процесса. Предложен метод ускоренного моделирования вероятности функционального отказа, когда эффективность системы становится ниже тре...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2014
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115808 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки / Н.Ю. Кузнецов, О.Н. Хомяк // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 64-75. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-115808 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1158082017-04-14T03:02:25Z Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки Кузнецов, Н.Ю. Хомяк, О.Н. Системный анализ Исследована система, структура которой задается деревом отказов с эффективностями. Внешняя нагрузка на систему определяется как функция от состояний полумарковского процесса. Предложен метод ускоренного моделирования вероятности функционального отказа, когда эффективность системы становится ниже требуемой. Найдены условия, гарантирующие ограниченность относительной погрешности оценки с ростом надежности элементов. Численный пример иллюстрирует точность оценок, получаемых предложенным методом. Досліджено систему, структура якої задається деревом відмов з ефективністю. Зовнішнє навантаження на систему визначено як функцію від станів напівмарковського процесу. Запропоновано метод прискореного моделювання ймовірності функціональної відмови, коли ефективність системи стає нижчою за ту, що вимагається. Знайдено умови, які гарантують обмеженість відносної похибки оцінки із зростанням надійності елементів. Чисельний приклад ілюструє точність оцінок, отриманих запропонованим методом. A redundant system with the structure determined by fault tree with efficiency is considered. An external load on the system is a function of the state of a semi-Markov process. A fast simulation method enabling to evaluate the probability of functional failure when the real system efficiency becomes less than required ones is proposed. It is proved that under some weak conditions an estimate has a bounded relative error as the components reliability increases. The numerical example illustrates the efficiency of the method proposed. 2014 Article Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки / Н.Ю. Кузнецов, О.Н. Хомяк // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 64-75. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115808 519.873 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Кузнецов, Н.Ю. Хомяк, О.Н. Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки Кибернетика и системный анализ |
| description |
Исследована система, структура которой задается деревом отказов с эффективностями. Внешняя нагрузка на систему определяется как функция от состояний полумарковского процесса. Предложен метод ускоренного моделирования вероятности функционального отказа, когда эффективность системы становится ниже требуемой. Найдены условия, гарантирующие ограниченность относительной погрешности оценки с ростом надежности элементов. Численный пример иллюстрирует точность оценок, получаемых предложенным методом. |
| format |
Article |
| author |
Кузнецов, Н.Ю. Хомяк, О.Н. |
| author_facet |
Кузнецов, Н.Ю. Хомяк, О.Н. |
| author_sort |
Кузнецов, Н.Ю. |
| title |
Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки |
| title_short |
Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки |
| title_full |
Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки |
| title_fullStr |
Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки |
| title_full_unstemmed |
Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки |
| title_sort |
оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/115808 |
| citation_txt |
Оценка вероятности функционального отказа резервированной системы методом существенной выборки / Н.Ю. Кузнецов, О.Н. Хомяк // Кибернетика и системный анализ. — 2014. — Т. 50, № 4. — С. 64-75. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT kuznecovnû ocenkaveroâtnostifunkcionalʹnogootkazarezervirovannojsistemymetodomsuŝestvennojvyborki AT homâkon ocenkaveroâtnostifunkcionalʹnogootkazarezervirovannojsistemymetodomsuŝestvennojvyborki |
| first_indexed |
2025-07-08T09:24:13Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:24:13Z |
| _version_ |
1837070186636640256 |
| fulltext |
Í.Þ. ÊÓÇÍÅÖÎÂ, Î.Í. ÕÎÌßÊ
ÓÄÊ 519.873 ÎÖÅÍÊÀ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ ÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ
ÎÒÊÀÇÀ ÐÅÇÅÐÂÈÐÎÂÀÍÍÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ
ÌÅÒÎÄÎÌ ÑÓÙÅÑÒÂÅÍÍÎÉ ÂÛÁÎÐÊÈ
Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíà ñèñòåìà, ñòðóêòóðà êîòîðîé çàäàåòñÿ äåðåâîì îòêàçîâ ñ ýôôåê-
òèâíîñòÿìè. Âíåøíÿÿ íàãðóçêà íà ñèñòåìó îïðåäåëÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ îò ñîñòîÿíèé ïîëó-
ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà. Ïðåäëîæåí ìåòîä óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âåðîÿòíîñòè ôóíê-
öèîíàëüíîãî îòêàçà, êîãäà ýôôåêòèâíîñòü ñèñòåìû ñòàíîâèòñÿ íèæå òðåáóåìîé. Íàéäåíû
óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå îãðàíè÷åííîñòü îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè îöåíêè ñ ðîñòîì
íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ. ×èñëåííûé ïðèìåð èëëþñòðèðóåò òî÷íîñòü îöåíîê, ïîëó÷àåìûõ
ïðåäëîæåííûì ìåòîäîì.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: äåðåâî îòêàçîâ ñ ýôôåêòèâíîñòÿìè, ïîëóìàðêîâñêèé ïðîöåññ, ôóíêöè-
îíàëüíûé îòêàç, ìèíèìàëüíûå ñå÷åíèÿ, ìåòîä ñóùåñòâåííîé âûáîðêè, äèñïåðñèÿ îöåíêè,
îòíîñèòåëüíàÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ïîíÿòèå ôóíêöèîíàëüíîãî îòêàçà øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â àòîìíîé ýíåðãåòè-
êå [1] äëÿ îöåíèâàíèÿ âåðîÿòíîñòè âûïîëíåíèÿ ïëàíîâîãî çàäàíèÿ ñèñòåìîé
ïðè ñëó÷àéíîé âíåøíåé íàãðóçêå. Áîëåå êîíêðåòíî, â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè
ðàáîòà ñèñòåìû õàðàêòåðèçóåòñÿ íåêîòîðîé ýôôåêòèâíîñòüþ, îäíîçíà÷íî îïðå-
äåëÿåìîé íàáîðîì îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ. Â òî æå âðåìÿ îò ñèñòåìû òðåáóåò-
ñÿ ýôôåêòèâíîñòü, óðîâåíü êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì. Åñëè
â íåêîòîðûé ìîìåíò óðîâåíü òðåáóåìîé ýôôåêòèâíîñòè ñòàíîâèòñÿ âûøå ýô-
ôåêòèâíîñòè ñèñòåìû, òî íàñòóïàåò îòêàç, íàçûâàåìûé ôóíêöèîíàëüíûì.
Ïðåäïîëîæåíèå îá ýêñïîíåíöèàëüíîñòè ðàñïðåäåëåíèé, õàðàêòåðèçóþùèõ
íàäåæíîñòü ýëåìåíòîâ ñèñòåìû, ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâûì äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ àíàëèòè-
÷åñêèõ ìåòîäîâ, ïîçâîëÿþùèõ âûâåñòè ôîðìóëû â ÿâíîì âèäå.  òî æå âðåìÿ
îíî ÷àñòî íå ñîîòâåòñòâóåò ñòàòèñòè÷åñêèì äàííûì.  ñëó÷àå íåýêñïîíåíöèàëü-
íûõ ðàñïðåäåëåíèé âåñüìà ýôôåêòèâíûì ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ
ìåòîäîâ [2–5]. Îäíàêî åñëè ïîâåäåíèå ñèñòåìû íåëüçÿ îïèñàòü ðåãåíåðèðóþùèì
ïðîöåññîì, òî âîçíèêàþò ïðèíöèïèàëüíûå òðóäíîñòè. Â òàêîì, íàèáîëåå ñëîæíîì
äëÿ èññëåäîâàíèÿ, ñëó÷àå ýôôåêòèâíû ìåòîäû óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, îñíî-
âàííûå íà ñî÷åòàíèè ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ñ àíàëèòè÷åñêèì âû÷èñëåíèåì ìàëûõ
âåðîÿòíîñòåé. Îñíîâíàÿ öåëü ýòèõ ìåòîäîâ — óìåíüøåíèå äèñïåðñèè îöåíêè, ïîý-
òîìó èõ åùå íàçûâàþò ìåòîäàìè óìåíüøåíèÿ äèñïåðñèè. Ñðåäè ðàçíîîáðàçèÿ
ïðåäëîæåííûõ ïîäõîäîâ îòìåòèì íàèáîëåå çíà÷èìûå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé:
ìåòîä ñóùåñòâåííîé âûáîðêè [6–8], àíàëèòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä [9–13], ìå-
òîä ìíîãîóðîâíåâîãî ðàñùåïëåíèÿ [14] è ðÿä äðóãèõ. Îáçîðû ìåòîäîâ óñêîðåííî-
ãî ìîäåëèðîâàíèÿ âåðîÿòíîñòåé ðåäêèõ ñîáûòèé ïðèâåäåíû â [15–17].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðîäîëæåíû èññëåäîâàíèÿ, íà÷àòûå â [18–20]. Ðàññìàò-
ðèâàåòñÿ ìîäåëü [21, 22], îïèñûâàþùàÿ ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåì àòîìíûõ
64 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4
© Í.Þ. Êóçíåöîâ, Î.Í. Õîìÿê, 2014
ýëåêòðîñòàíöèé ñ òî÷êè çðåíèÿ íàäåæíîñòè.  îòëè÷èå îò óêàçàííûõ ðàáîò íè
îäíî èç ðàñïðåäåëåíèé íå ïðåäïîëàãàåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì, ò.å. ìîäåëü îïèñû-
âàåò ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåì íåìàðêîâñêîãî òèïà. Ñòðóêòóðà ñèñòåìû çàäàåòñÿ
äåðåâîì îòêàçîâ ñ ýôôåêòèâíîñòÿìè [23]. Âíåøíÿÿ íàãðóçêà íà ñèñòåìó îïèñûâà-
åòñÿ ïîëóìàðêîâñêèì ïðîöåññîì ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé, à òðåáó-
åìàÿ ýôôåêòèâíîñòü — ôóíêöèÿ îò ñîñòîÿíèé ýòîãî ïðîöåññà. Îáùàÿ èäåÿ óñêî-
ðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íàäåæíîñòè íåìàðêîâñêèõ ñèñòåì [12] èñïîëüçóåòñÿ äëÿ
ñîçäàíèÿ ýôôåêòèâíîãî ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ íåñìåùåííûõ îöåíîê ôóíêöèîíàëüíî-
ãî îòêàçà. Íàéäåíû óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå îãðàíè÷åííîñòü îòíîñèòåëüíîé ñðåä-
íåêâàäðàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè îöåíîê ñ âîçðàñòàíèåì íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ.
Òî÷íîñòü îöåíîê, ïîëó÷àåìûõ ïðåäëîæåííûì ìåòîäîì, äåìîíñòðèðóåòñÿ íà ÷èñ-
ëåííîì ïðèìåðå.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñòðóêòóðà êîòîðîé çàäàåòñÿ äåðåâîì îòêàçîâ ñ ýôôåêòèâ-
íîñòÿìè [23]. Êàæäàÿ âåðøèíà äåðåâà ïðåäñòàâëÿåò ïîäñèñòåìó èëè ýëåìåíò,
òåêóùàÿ ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû êîòîðûõ ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèå èç ïðîìå-
æóòêà [0, 1]. Ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû ýëåìåíòà ïðèíèìàåò òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ:
0, åñëè ýëåìåíò èñïðàâåí, è 1, åñëè ýëåìåíò îòêàçàë. Êîðåíü äåðåâà — âåðøèíà,
îïèñûâàþùàÿ ðàáîòó âñåé ñèñòåìû; êîðåíü íå ìîæåò áûòü âõîäÿùåé âåðøèíîé
ê êàêîé-ëèáî äðóãîé âåðøèíå. Êàæäàÿ âåðøèíà g, ïðåäñòàâëÿþùàÿ ïîäñèñòåìó,
ìîæåò áûòü îäíîãî èç òðåõ òèïîâ: «è», «èëè», «k èç n». Ýôôåêòèâíîñòü eg ðàáî-
òû ïîäñèñòåìû (âåðøèíà g) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ðåêóððåíòíûì ôîðìóëàì ïî ýôôåê-
òèâíîñòÿì e e en i1 0 1, , , [ , ]� � , âõîäÿùèõ â íåå âåðøèí. Â çàâèñèìîñòè îò òèïà
âåðøèíû äàííàÿ ôóíêöèÿ èíòåðïðåòèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
1. Âåðøèíà òèïà «è» (ïàðàëëåëüíîå ñîåäèíåíèå âõîäÿùèõ âåðøèí):
e c eg g
i
i
i
n
� �
�
�1
1
( ) ,
ãäå { }cg
i( ) — âåñîâûå êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëÿþùèå çíà÷èìîñòè âõîäÿùèõ
âåðøèí, ò.å. ïàäåíèå ýôôåêòèâíîñòè âåðøèíû ïðîïîðöèîíàëüíî ïàäåíèþ ýô-
ôåêòèâíîñòè âõîäÿùåé âåðøèíû ñ ñîîòâåòñòâóþùèì âåñîâûì êîýôôèöèåíòîì.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî cg
i( ) � 0 è cg
i
i
n
( ) �
�
� 1
1
. Âîçìîæåí îñîáûé ñëó÷àé, êîãäà âñå
cg
i( ) � 0. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåì, ÷òî eg �1, åñëè ei � 0 äëÿ íåêîòîðîãî i, è
eg � 0, åñëè e i ni � �1 1, , ,� (îòêàç êàæäîé âõîäÿùåé âåðøèíû íå ïðèâîäèò
ê ïàäåíèþ ýôôåêòèâíîñòè âåðøèíû òèïà «è» äî òåõ ïîð, ïîêà íå îòêàæóò âñå
âõîäÿùèå âåðøèíû, — «êëàññè÷åñêèé» ñëó÷àé ïàðàëëåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ ïîä-
ñèñòåì èëè ýëåìåíòîâ).
2. Âåðøèíà òèïà «èëè» (ïîñëåäîâàòåëüíîå ñîåäèíåíèå âõîäÿùèõ âåðøèí):
e c eg
i n
g
i
i� �
� �
min ( )
1
1{ },
ãäå { }cg
i( ) — ñîîòâåòñòâóþùèå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû, ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ
èç ( , ]0 1 . Åñëè cg
i( ) �1, òî ïîëíûé îòêàç i-é âõîäÿùåé âåðøèíû (ei � 0) âëå÷åò
ïîëíûé îòêàç âñåãî ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ âåðøèí (eg � 0) íåçàâèñèìî
îò ñîñòîÿíèÿ äðóãèõ âõîäÿùèõ âåðøèí. Åñëè 0 1� �cg
i( ) , òî ïîëíûé îòêàç âõî-
äÿùåé âåðøèíû ìîæåò ëèøü ïîíèçèòü ýôôåêòèâíîñòü eg .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 65
3. Âåðøèíà òèïà «k èç n » (â «êëàññè÷åñêîì» îïðåäåëåíèè îòêàç âåðøèíû
ïðîèñõîäèò ïðè îòêàçå ïî êðàéíåé ìåðå k èç n âõîäÿùèõ âåðøèí); ýôôåêòèâ-
íîñòü eg âåðøèíû âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
e rcg g� �1 ,
ãäå cg — âåñîâîé êîýôôèöèåíò (îäèí è òîò æå äëÿ âñåõ n âõîäÿùèõ âåðøèí),
ïðèíèìàþùèé çíà÷åíèå èç [ , / ]0 1 k , à r — ÷èñëî îòêàçàâøèõ âåðøèí. Ïðåäïî-
ëàãàåòñÿ, ÷òî ýôôåêòèâíîñòü êàæäîé âõîäÿùåé âåðøèíû ìîæåò ïðèíèìàòü
òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ: 0 èëè 1. Åñëè ýôôåêòèâíîñòè ïî êðàéíåé ìåðå k âõîäÿ-
ùèõ âåðøèí ðàâíû 0, òî eg � 0 .
Ñòðóêòóðíàÿ ìîäåëü ñèñòåìû áóäåò ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíà, åñëè äëÿ êàæäîé
âåðøèíû äåðåâà óêàçàòü ïåðå÷åíü âñåõ âõîäÿùèõ âåðøèí, èõ òèïû è ñîîòâåòñò-
âóþùèå âåñîâûå êîýôôèöèåíòû.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ñîñòîèò èç m ýëåìåíòîâ, ïðè÷åì êàæäûé ýëåìåíò
ìîæåò ïðèíàäëåæàòü îäíîìó èç ñëåäóþùèõ òðåõ êëàññîâ.
Êëàññ C1: âîññòàíàâëèâàåìûå ýëåìåíòû ñ ìãíîâåííî îáíàðóæèâàåìûìè îò-
êàçàìè (âîññòàíîâëåíèå ýëåìåíòà íà÷èíàåòñÿ â ìîìåíò åãî îòêàçà); ýëåìåíòû
ýòîãî òèïà õàðàêòåðèçóþòñÿ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ (ô.ð.) F xi ( ) è G xi ( ) äëè-
òåëüíîñòåé áåçîòêàçíîé ðàáîòû è âîññòàíîâëåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî.
Êëàññ C2 : ïåðèîäè÷åñêè êîíòðîëèðóåìûå ýëåìåíòû ñ äåòåðìèíèðîâàííûì
èíòåðâàëîì ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíûìè ìîìåíòàìè êîíòðîëÿ (îòêàç îñòàåòñÿ íå-
îáíàðóæåííûì äî ñëåäóþùåãî ìîìåíòà êîíòðîëÿ, â êîòîðûé è íà÷èíàåòñÿ âîñ-
ñòàíîâëåíèå); â äîïîëíåíèå ê ô.ð. F xi ( ) è G xi ( ) çàäàþòñÿ ïîñòîÿííûé ïåðèîä
êîíòðîëÿ i è âðåìÿ äî ïåðâîãî ìîìåíòà êîíòðîëÿ i
( )0 ; ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
äëèòåëüíîñòü ñàìîãî êîíòðîëÿ — ïðåíåáðåæèìî ìàëàÿ âåëè÷èíà.
Êëàññ C3 : íåâîññòàíàâëèâàåìûå ýëåìåíòû (â ñëó÷àå îòêàçà ýëåìåíò îñòàåòñÿ
íåèñïðàâíûì äî îêîí÷àíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè); ýëåìåíòû
ýòîãî òèïà õàðàêòåðèçóþòñÿ ô.ð. { }F xi ( ) .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýëåìåíòû ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìû, ò.å. äëèòåëüíîñ-
òè áåçîòêàçíîé ðàáîòû è âîññòàíîâëåíèÿ — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
(ñë. â.), ïðè÷åì ôóíêöèè { }F xi ( ) ïðåäïîëàãàþòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè,
ò.å. ñóùåñòâóþò ïëîòíîñòè { }f xi ( ) . Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ìîìåíò t îáîçíà-
÷èì � �( ) ( ( ), )t t i mi� � �1 , ãäå � i t( ) �1, åñëè i-é ýëåìåíò èñïðàâåí â ìîìåíò t,
è � i t( ) � 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìóþ
äåðåâîì îòêàçîâ, îáîçíà÷èì
( ( ))� t .
 êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îò ñèñòåìû òðåáóåòñÿ îïðåäåëåííûé óðîâåíü ýô-
ôåêòèâíîñòè, îïðåäåëÿåìûé ñîñòîÿíèåì ïîëóìàðêîâñêîãî ïðîöåññà (ÏÌÏ)
�( ),t t � 0 , èìåþùåãî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé I N� { }1, ,� è çàäàâàåìî-
ãî âåðîÿòíîñòÿìè { }pij ïåðåõîäà âëîæåííîé öåïè Ìàðêîâà è óñëîâíûìè ô.ð.
{ }H xij ( ) âðåìåíè ìåæäó ïåðåõîäàìè. Ôóíêöèè { }H xij ( ) ïðåäïîëàãàþòñÿ àáñî-
ëþòíî íåïðåðûâíûìè, ò.å. ñóùåñòâóþò ïëîòíîñòè { }h xij ( ) . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
âñå ñîñòîÿíèÿ îáðàçóþò îäèí êëàññ ñóùåñòâåííûõ ñîñòîÿíèé, ïðè÷åì �( )0 1�
ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Åñëè �( )t i� , òî óðîâåíü òðåáóåìîé ýôôåêòèâíîñòè ðà-
âåí �( )i , ò.å. ñëó÷àéíûé ïðîöåññ �( ( ))� t çàäàåò ýôôåêòèâíîñòü, òðåáóåìóþ îò
ñèñòåìû â ìîìåíò t. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî �( )i — ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ ôóíê-
öèÿ, �( )1 0� . Ñèñòåìà ôóíêöèîíèðóåò â øòàòíîì ðåæèìå, åñëè
�( ( )) ( ( ))� �t t� .
Ìîìåíò � åå îòêàçà îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: � � �� �inf : ( ( )) ( ( )){ }t t t
� .
Öåëüþ èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäà óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ïî-
çâîëÿþùåãî ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ îöåíèâàòü âåðîÿòíîñòü Q T T( ) � �P { }� ôóíêöè-
îíàëüíîãî îòêàçà âûñîêîíàäåæíîé ñèñòåìû â çàäàííîì ïðîìåæóòêå [ , ]0 T .
66 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4
ÀËÃÎÐÈÒÌ ÓÑÊÎÐÅÍÍÎÃÎ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÈ Q T( )
Ââåäåì íåïðåðûâíûé ñïðàâà ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, îïèñûâàþùèé êàê ïîâåäå-
íèå ñèñòåìû ñ òî÷êè çðåíèÿ åå íàäåæíîñòè, òàê è ïîâåäåíèå ÏÌÏ:
� � � � �( ) ( ( ), ( ); ( ), ( )),t t t t t t� � 0,
ãäå � � � �( ) ( ( ), ), ( ) sup : ( )t t i m t z ui i i� � � � �1 0{ äëÿ ëþáîãî u t z t� �( , )},
åñëè � i t( ) � 0 , è � i t( ) — âðåìÿ äî îêîí÷àíèÿ âîññòàíîâëåíèÿ ýëåìåíòà, åñëè
� i t( ) �1, i C C� 1 2� (åñëè i C� 3 , òî � i t T t( ) � � ); ïåðåìåííàÿ �( )t óêàçûâàåò
âðåìÿ, ïðîøåäøåå ñ ïðåäûäóùåãî ìîìåíòà èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ÏÌÏ �( )t .
Íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä: � i ( )0 0� , � i ( )0 0� , 1� �i m,
�( )0 1� , �( )0 0� .
 äàëüíåéøåì íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü óñëîâèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî îòêàçà
ñèñòåìû ïðè ôèêñèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ÏÌÏ �( )t . Ïóñòü �( )t j� . Ñå÷åíèåì
S s sj
r
( ) ( , , )� 1 � íàçîâåì íàáîð ýëåìåíòîâ, îäíîâðåìåííàÿ íåèñïðàâíîñòü êîòî-
ðûõ ïðèâîäèò ê ïàäåíèþ ýôôåêòèâíîñòè ñèñòåìû íèæå óðîâíÿ �( )j . Ñå÷åíèå íà-
çûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì, åñëè óäàëåíèå êàêîãî-ëèáî ýëåìåíòà èç óêàçàííîãî íà-
áîðà ïðèâîäèò ê ïîâûøåíèþ ýôôåêòèâíîñòè äî óðîâíÿ íå íèæå �( )j .
Àëãîðèòì èç [23] ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ìíîæåñòâî M j( ) ìèíèìàëüíûõ ñå÷åíèé
äëÿ êàæäîãî j I� . Ïîñêîëüêó ÷èñëî ñîñòîÿíèé N , êàê ïðàâèëî, âåñüìà íåçíà÷è-
òåëüíî, òî íàõîæäåíèå ñå÷åíèé íå ÿâëÿåòñÿ òðóäîåìêîé ïðîöåäóðîé.
Îáîçíà÷èì � ( ) ,k k � 0 , ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîìåíòîâ âðåìåíè, êîãäà ïðîèñõî-
äèò îäíî èç ñîáûòèé: îòêàçûâàåò îäèí èç ýëåìåíòîâ; îêàí÷èâàåòñÿ âîññòàíîâëåíèå
ýëåìåíòà; ÏÌÏ èçìåíÿåò ñâîå ñîñòîÿíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé îòêàç ìî-
æåò íàñòóïèòü òîëüêî â îäèí èç ýòèõ ìîìåíòîâ. Ïóñòü � � �( ) ( )( )k k� �
� � � �( , ; , ) ( , , ; ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (� � � � � � � �k k k k
i
k
i
k k ki m1 ) ) — ñîñòîÿíèå ìàðêîâñêîãî
ïðîöåññà â ìîìåíò � ( )k . Íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ïðîöåññà â ìîìåíò � ( )0 0� çàäàåò âåêòîð
� � � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , , ; , )0 0 0 0 0 00 0 1 1 0� � � � � � � �
i i
i m . Âåðîÿòíîñòü Q T( )
ôóíêöèîíàëüíîãî îòêàçà ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Q T T U
n
n n n( ) , ( , ) , , ( , )( ) ( ) ( ) ( ) ( )� �
�
�
� �� P
1
1 1 1 1{� � � � ��
�U Un n, ( , )( ) ( )� � }, (1)
ãäå U j j� �{ }( , ) : ( ) ( )� �
� . Òðàåêòîðèÿ ïðîöåññà �( ),t t � 0, îáðûâàþùàÿñÿ
â ìîìåíò ôóíêöèîíàëüíîãî îòêàçà ñèñòåìû, áóäåò ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíà, åñëè
â êàæäûé ìîìåíò � ( )k óêàçàòü ïðè÷èíó èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (îòêàç èëè âîññòà-
íîâëåíèå ýëåìåíòà, ïåðåõîä ÏÌÏ). Îáîçíà÷èì E N m� � �{ }, , , , ,� �1 1 . Ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòü � ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ), , ( , )k k ke e� { }� �1 1
� îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñîñòî-
ÿíèÿ ( , ), , ( , )( ) ( ) ( ) ( )� � � �1 1
�
k k . Çäåñü e Ei( ) � , ïðè÷åì åñëè e i( ) � 0, òî â ìî-
ìåíò � ( )i îòêàçàë ýëåìåíò e i( ) (åñëè îí áûë èñïðàâåí) èëè îêîí÷èëîñü åãî
âîññòàíîâëåíèå (åñëè ýëåìåíò áûë íåèñïðàâåí); åñëè e i( )� 0, òî ÏÌÏ â ìîìåíò
� ( )i ïåðåøåë â ñîñòîÿíèå �e i( ) . Îáîçíà÷èì D x e xk k k( , ; )( ) ( ) ( )� � � ��P {� �1 ,
e ek k( ) ( )|� �1 � } ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå äâóõìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
( , )( ) ( ) ( )� �k k ke� ��1 1 , ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â ( , )0 � �E . Ôîðìóëó (1) ìîæíî
ïåðåïèñàòü â âèäå
Q T D dt e
T
e E Un
( ) ( , ; )( )
: ( , )
( ) ( )
� ���
�
�
�
1 1
0
01
1
1 1
�
� �
�
�
�
D dt en n
n
T t t
e E
n
n
n
( , ; )( )
: ( ,
( )
� �
�
� � �
�
�
�
�
� 1 1
2
0
1 2
1
1
�
� �( )
)
n
U
�
� �
1
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 67
� �
� � �
� �
�
�� D dt mn n
n
T t t
e E U
n
n
n n
( , ; )( )
: ( , )
( ) ( )
� 1
0
1 1�
� �
, (2)
ãäå � ( )0 — íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå � ( )0 . Ïðè ôèêñèðîâàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñ-
òè � ( )k (à çíà÷èò, è èçâåñòíîì ñîñòîÿíèè � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , ; , )k k k k k� ) ââåäåì
ôóíêöèè
Z x
F x
F
i
k r r
k
r r
k
r r ir
k
( ; )
( )
( )
( )
( )
( )
: ,
( )
� �
� �
�
�
� �
�
1
10
�
��
�
� �
�
�
� p H x
p H
k k
k
k k
l l
k
l
l l
� �
�
� �
�
�
( ) ( )
( )
( ) ( )
[ ( )]
[ (
( )
(
1
1 k
l
i
k
k
x i
)
( )
)]
, , :
( )�
�
� �
�
�0 0 , (3)
Z x Z x
F x
F
xk
i
k i i
k
i i
k
( ; ) ( ; )
( )
( )
,( ) ( )
( )
( )
� ��
� �
�
�
1
1
0
�
�
, (4)
V x
F x
F
xk r r
k
r r
k
r r
k
( ; )
( )
( )
,( )
( )
( )
:
( )
� �
� �
�
�
�
�
1
1
0
0
�
��
, (5)
A x
p H x H
p
j
k j j
k
j
k
k k k
k
( ; )
[ ( ) ( )]
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
(
� �
� �
� � �
�
� �
) ( )
( )
[ ( )]
, \ ,
( )
( )
l l
k
l
k
H
j I x
k
k
1
0
�
� �
�
� �
�
�
�{ } . (6)
Îáîçíà÷èâ
w ik
i
i
k k
i
i
k
i
k
i
k
( )
:
( ) ( )
:
( )min , min
( ) ( )
� �
� �� �
� �
1 1
arg , (7)
èìååì � �( ) ( ) ( )k k kw� � �1 , e ik k( ) ( )� �1 ñ âåðîÿòíîñòüþ Z w k k( ; )( ) ( )� ; åñëè
x w k� ( ) , òî
D x i Z u
dF u
F
ik
i
k i i
k
i i
k
x
( , ; ) ( ; )
( )
( )
,( ) ( )
( )
( )
� ��
�
�
�
�
�10
: ( )� i
k � 0, (8)
D x j V u dA u j Ik k
j
k
x
k( , ; ) ( ; ) ( ; ) , \( ) ( ) ( ) ( )� � ��� � �
0
{ }� . (9)
Ïðèâåäåííûå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò ïðîñòóþ èíòåðïðåòàöèþ. Âîçìîæíû òðè
ñëó÷àÿ: 1) ïåðâûì îêîí÷èòñÿ âîññòàíîâëåíèå ýëåìåíòà i k( ) (âåðîÿòíîñòü ÷åãî
ðàâíà Z w k k( ; )( ) ( )� ); 2) ïåðâûì îòêàæåò ýëåìåíò i (ôîðìóëà (8)); 3) ïåðâûì èçìå-
íèò ñâîå ñîñòîÿíèå ÏÌÏ �( )t (ôîðìóëà (9)).
Ñîîòíîøåíèÿ (8) è (9) ëåæàò â îñíîâå ðåêóððåíòíîãî àëãîðèòìà, ïîçâîëÿþùåãî
ìîäåëèðîâàòü ìîìåíòû èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèé äèñêðåòíûõ êîìïîíåíò �( )t è �( )t äî
òåõ ïîð, ïîêà íå íàñòóïèò ôóíêöèîíàëüíûé îòêàç. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîâûñèòü ýôôåê-
òèâíîñòü ìîäåëèðîâàíèÿ (óìåíüøèòü äèñïåðñèþ îöåíêè), ââåäåì âåñîâûå ìíî-
æèòåëè, ïîçâîëÿþùèå îöåíèòü âêëàä â îòêàç ñèñòåìû êàæäîãî èç óêàçàííûõ ñî-
áûòèé. Ïóñòü ( ( ), ( )) ( , )� � �t t j� . Îáîçíà÷èì � �( , )j íåêîòîðûé ïîëîæèòåëüíûé
âåñîâîé ìíîæèòåëü.  êà÷åñòâå � �( , )j âûáèðàåòñÿ îöåíêà âåðîÿòíîñòè ìîíîòîí-
íîãî ôóíêöèîíàëüíîãî îòêàçà ñåòè ïðè íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ( , )� j . Ïðè ýòîì èñ-
ïîëüçóåòñÿ ïðèíöèï ìîíîòîííûõ îòêàçîâ, ïðåäëîæåííûé È.Í. Êîâàëåíêî [24], ñî-
68 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4
ãëàñíî êîòîðîìó ïðåèìóùåñòâåííûé âêëàä â îòêàç âûñîêîíàäåæíîé ñèñòåìû âíî-
ñÿò ìîíîòîííûå òðàåêòîðèè (÷èñëî îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò).
Ïîäðîáíûé àëãîðèòì âûáîðà ìíîæèòåëåé { }� �( , )j îïèñàí äàëåå. Ïðåäëàãàåìûé
àëãîðèòì ñóùåñòâåííîé âûáîðêè ïîçâîëÿåò ñòðîèòü íåñìåùåííûå îöåíêè âåðîÿò-
íîñòè Q T( ) ïðè ëþáîì âûáîðå íàáîðà ïîëîæèòåëüíûõ { }� �( , )j . Îäíàêî òîëüêî
ïðè îïðåäåëåííîì âûáîðå { }� �( , )j (ñì. ñëåäóþùèé ðàçäåë) îòíîñèòåëüíàÿ ïî-
ãðåøíîñòü îöåíîê áóäåò îñòàâàòüñÿ îãðàíè÷åííîé ñ ðîñòîì íàäåæíîñòè ýëåìåí-
òîâ. Ñîîòíîøåíèÿ (8) è (9) ìîæíî ïåðåïèñàòü â òàêîì âèäå (ñ çàìåíîé x íà w k( ) ):
D w ik k( , ; )( ) ( )� �
� � �
0
w k
i
k k
i i
k
k
k
B u B u
B u
( )
( ; )
( , )
( ; )
( ; )
( )
( ) ( )
( )
( )
� �
�� �
d u ik
w
i
k
k
�( ; ), :( ) ( )
( )
0
0� �� , (10)
D w jk k( , ; )( ) ( )� ��
� �
�
�
0
w k
k
j j
k
k
k
B u
j
B u
B u
d
( )
( ; )
( , )
( ; )
( ; )
(
( )
( )
( )
( )
� �
�
� �
u j Ik
w
k
k
; ) , \( ) ( )
( )
�
0
� � { }� , (11)
ãäå u u i u j Ii i
k
j
k� � ��( , : , , \ )( ) ( )� �0 { } ,
d u
dF u
F w F
k r r
k
r
r r
k k
r r
k
r
�( ; )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
:
�
�
� �
�
� �� �
r
k k
dA u
A w
r r
k
r
k k
r I( ) ( )
( ; )
( ; )
( )
( ) ( )
\� �
� �
0
�
�{ }
, (12)
B u B B u B uk k
i i
k
i
j j
i
k
( ; ) ( ) ( ; ) ( ;( ) ( ) ( )
:
(
( )
� � � �� � �
�
��0
0�
k
j I
k
)
\
)
( )�
�
{ }�
, (13)
B Z wk k k k k
0 ( ) ( , ) ( ; )( ) ( ) ( ) ( ) ( )� �� � � , (14)
B u Z ui i
k
i
k k
i i
k( ; ) ( , ) ( ; )( ) ( ) ( ) ( )� �� �� �
�
� �
�
�
F w F
F
i
i i
k k
i i
k
i i
k i
k( ) ( )
( )
, :
( ) ( ) ( )
( )
( )� �
�
�
1
0, (15)
B u j V u A w j Ij j
k k
j
k
j
k k
� � �( ; ) ( , ) ( ; ) ( ; ), \( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � �� � { }� ( )k . (16)
 ôîðìóëàõ (10), (14) è (15) èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ �i
k k iz( ) ( ) ( )� � è
�( ) ( ) ( )
( )
k k iz
k
� � , ãäå z z z r ii
i r
( ) ( , , )� � � �1 0 — åäèíè÷íûé âåêòîð.
Ôîðìóëû (2) è (10)–(16) ïîçâîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ
îöåíêè âåðîÿòíîñòè Q T( ) ìåòîäîì ñóùåñòâåííîé âûáîðêè (ñòðîèòñÿ îöåíêà
� ( )Q T1 â îäíîé ðåàëèçàöèè).
1. Ïîëîæèì k � 0 (ñ÷åò÷èê ÷èñëà èçìåíåíèé ñîñòîÿíèé îäíîãî èç ýëåìåíòîâ
èëè ÏÌÏ â [ , ]0 T ), � ( )0 0� è çàäàäèì íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå � � �( ) ( )( )0 0� �
� � � � � � �( , , ; , )( ) ( ) ( ) ( )� � � �i i i m0 0 0 00 0 1 1 0 .
2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ìîìåíò � ( )k ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ïåðåøåë â ñîñòîÿíèå
� � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , ; , ) ( , ,k k k k k k
i
k
i
k� � � �1 i m k k� ; , )( ) ( )� � , ( , )( ) ( )� �k k U
.
Ñîãëàñíî (7) âû÷èñëÿåì w k( ) è i k( ) . Äëÿ êàæäîãî i ñ � i
k( ) � 0 ñòðîèì ðåàëèçàöèþ
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 69
ñë.â.
i ñ ô.ð.
F x F
F w F
xr r
k
r r
k
r r
k k
r r
k
( ) ( )
( ) ( )
, [
( ) ( )
( ) ( ) ( )
� �
� �
� �
� �
� 0, ]( )w k , è äëÿ êàæäîãî j I k� \ ( ){ }�
ñòðîèì ðåàëèçàöèþ ñë.â.
� j ñ ô.ð.
A x
A w
j
k
j
k k
( ; )
( ; )
( )
( ) ( )
�
�
, x w k�[ , ]( )0 . Ðåàëèçàöèè ýòèõ
ñë.â. îáîçíà÷èì { }ui è { }u j� , ò.å. ïîñòðîåí âåêòîð u.
3. Íà îñíîâå ôîðìóë (3)–(6) è (13)–(16) âû÷èñëÿåì B k
0 ( )( )� , { }B ui i
k( ; )( )� ,
{ }B uj j
k
� ( ; )( )� è B u k( ; )( )� .
4. Ðåàëèçóåì ñë.â. �, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: 0 ñ âåðîÿòíîñòüþ
B B uk k
0 ( ) / ( ; )( ) ( )� � ; i ñ âåðîÿòíîñòüþ B u B ui i
k k( ; ) / ( ; )( ) ( )� � ; � j ñ âåðîÿò-
íîñòüþ B u B uj j
k k
� ( ; ) / ( ; )( ) ( )� � .
5. Åñëè � � 0, òî â ìîìåíò � �( ) ( ) ( )k k kw� � �1 îêîí÷èëîñü âîññòàíîâëåíèå
ýëåìåíòà i k( ) , â ðåçóëüòàòå ïðîöåññ ïåðåøåë â ñîñòîÿíèå � � �( ) ( )( )k k� �� �1 1
� � � � �( , ; , )( ) ( ) ( ) ( )� � � �k k k k1 1 1 1 (çàìåòèì, ÷òî � ( ) ( ) ,k k� �1 � �( ) ( )k k� �1 ). Ïðè
ýòîì âû÷èñëÿåì íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü J B uk k k k( ) ( ) ( ) ( )( ; ) / ( , )� �1 � � � .
Åñëè � � i, òî â ìîìåíò � �( ) ( )k k
iu� � �1 îòêàçàë i-é ýëåìåíò, â ðåçóëüòàòå ïðî-
öåññ ïåðåøåë â ñîñòîÿíèå � ( )k�1 ñ � ( ) ( )k
i
k� �1 , � �( ) ( )k k� �1 .  êà÷åñòâå íîðìèðó-
þùåãî ìíîæèòåëÿ âûáèðàåì J B uk k
i
k k( ) ( ) ( ) ( )( ; ) / ( , )� �1 � � � .
Åñëè � � � j, òî â ìîìåíò � �( ) ( )k k
ju� � �1 ÏÌÏ ñîâåðøèë ïåðåõîä â ñîñòîÿíèå j ,
â ðåçóëüòàòå íîâûì ñîñòîÿíèåì ïðîöåññà �( )t áóäåò � ( )k�1 ñ � �( ) ( ) ,k k� �1 � ( )k j� �1 .
 êà÷åñòâå íîðìèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ âûáèðàåì J B u jk k k( ) ( ) ( )( ; ) / ( , )� �1 � � � .
6. Åñëè ( , )( ) ( )� �k k U� �
1 1 , òî ïîâòîðÿåì àëãîðèòì ñ íîâûì çíà÷åíèåì k íà-
÷èíàÿ ñ øàãà 2. Åñëè ( , )( ) ( )� �k k U� � �1 1 , òî íàñòóïèë ôóíêöèîíàëüíûé îòêàç, àë-
ãîðèòì îêîí÷åí è â êà÷åñòâå îöåíêè âûáèðàåì
� ( ) ( ) ( ) ( )Q T J J J k
1
1 2 1� �
� . (17)
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íàáîðà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë { }� �( , )j îöåí-
êà � ( )Q T1 ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé, ò.å. M � ( ) ( )Q T Q T1 � .
Íåñìåùåííîñòü îöåíêè âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç ñôîðìóëèðîâàííîãî
àëãîðèòìà è ôîðìóë (2), (10)–(17).
ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÑÒÜ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÉ ÑÐÅÄÍÅÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ
ÏÎÃÐÅØÍÎÑÒÈ ÎÖÅÍÊÈ
Ïðè ñòàòèñòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè êîëè÷åñòâî ðåàëèçàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ
äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè îöåíêè, ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó îòíîñèòåëü-
íîé ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè (ÎÑÊÏ)
�( ) � ( ) / [ ( )] [ � ( )] / [ ( )]T Q T Q T Q T Q T� � �D M1
2
1
2 2 1,
ïðè÷åì àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ñ÷èòàåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè �( )T îñòàåòñÿ
îãðàíè÷åííûì ïðè âîçðàñòàíèè íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ.
Íàéäåì óñëîâèÿ, ãàðàíòèðóþùèå îãðàíè÷åííîñòü ÎÑÊÏ îöåíîê ïðè îïðåäå-
ëåííîì âûáîðå âåñîâûõ ìíîæèòåëåé { }� �( , )j . Åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî âðåìÿ
70 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4
áåçîòêàçíîé ðàáîòû ýëåìåíòà ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäèò âðåìÿ åãî âîññòàíîâëå-
íèÿ. Êðîìå òîãî, ïåðåõîäû ÏÌÏ â ñîñòîÿíèÿ ñ áîëåå âûñîêèì óðîâíåì òðåáóå-
ìîé ýôôåêòèâíîñòè ÿâëÿþòñÿ ìàëîâåðîÿòíûìè ñîáûòèÿìè. Äàííûå îñîáåííîñòè
ôîðìàëèçóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ô.ð. F x i mi ( ), ,1� � è H x i j Nij ( ), 1� � � , ìîãóò áûòü
ïðåäñòàâëåíû â âèäå F x F xi i
i( ) ( )( )� 0
�
è H x H xij ij
ij( ) ( )( )� 0
�
, ãäå
� 0 — íåêîòî-
ðûé ìàëûé ïàðàìåòð, � �i ij� �0 0, , à F xi
( ) ( )0 è H xij
( ) ( )0 — ô.ð. «óìåðåííûõ» ñë.â.
Âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì, ââåäåííûì â [25]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëîòíîñòè
f x i mi
( ) ( ),0 1� � , è h x i j Nij
( ) ( ),0 1� � � , pij � 0 , óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ: ñó-
ùåñòâóþò
� 0 0 0 0� � �, ,i i , �
�
�
�
�
�
�0,
T
N
è ôóíêöèè � � �i i ijx x x( ) ( ) ( )( ), ( ), ( )1 2 1 ,
� ij x( ) ( )2 òàêèå, ÷òî íåðàâåíñòâà
�
�
�
� �
i i
ij
i i i
ij
x f x x
� �
�
� �1 1 0 1 2
1 1
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ),
( ) ( ) ( )( ) ( )x h x xij ij
ij� �
�0 1 2
�
(18)
âûïîëíåíû äëÿ ëþáûõ 0 0 0� � �x T , ( , )
, ïðè÷åì
V u du V
i m
i
z
z
z T
( ) ( ) ( )min inf ( ) , max1
1
1 2
10
0� � �
� �
�
� � �
�
�
� �
� ��
i m
i
T
u du� ( ) ( )2
0
, (19)
W u du
W
i j N z T
ij
z
z
( ) ( )
( )
min inf ( ) ,
m
1
1 0
1
2
0� �
�
� � � � � �
�
�
�
ax ( ) .( )
1
2
0
� � �
� ��
i j N
ij
T
u du�
(20)
Óñëîâèÿ (18)–(20) íå ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷èòåëüíûìè, áîëüøèíñòâî ðàñïðåäå-
ëåíèé, èñïîëüçóåìûõ â òåîðèè íàäåæíîñòè, óäîâëåòâîðÿþò èì (íàïðèìåð, ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ Ýðëàíãà è Âåéáóëëà, ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå).
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî p p i j Nij ij
ij� � � �( ) ,0 1
�
, ãäå pij ij
( ) ,0 0 0� �� .
Ïåðåõîä ÏÌÏ �( )t èç j â k j� íàçîâåì ìîíîòîííûì, åñëè äëÿ íåêîòîðîãî
n � 1 ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèíèìàë ñîñòîÿíèÿ j j j j j kn� � � � � �0 1 2 � .
Ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé óêàçàííîãî âèäà îáîçíà÷èì � jk . Êàæ-
äîé òðàåêòîðèè s j j jn� ( , , , )0 1 � èç � jk ïðèñâîèì ðàíã, îïðåäåëÿåìûé ïî ôîð-
ìóëå r s j j j j j j
i
n
i i i i i i
( ) ( )� �
� � �
�
� � �
1 1 1
1
. Ñîîòâåòñòâåííî ðàíã ìíîæåñòâà � jk
îïðåäåëèì êàê
R r sjk
s jk
�
�
min ( )
�
,
ïðè÷åì R jj � 0. Íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü � �( , )j îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðà-
çîì. Ïóñòü � �� � �( , )i i m1 — ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ñåòè, ïðè÷åì
�( ) ( )� � j . Òîãäà
� �
�( , ) ,( , )j R j�
ãäå
R j R
k k
jk
k k k j
( , ) min min , min
: ( ) ( ) : ( ) ( ),
�
� �
�
�
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
�
!
�
!� � �
�R jk
S M
i i
i i S
k
i
min
( )
: ,
� �
� 0
.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 71
Âåëè÷èíà R j( , )� óñòàíàâëèâàåò ïîðÿäîê íàèáîëåå âåðîÿòíîé ìîíîòîííîé
òðàåêòîðèè, ïðèâîäÿùåé ê ôóíêöèîíàëüíîìó îòêàçó: ëèáî íàèáîëåå âåðîÿòíîé
ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííàÿ òðàåêòîðèÿ ÏÌÏ èç � jk äëÿ íåêîòîðîãî k òàêîãî, ÷òî
�
( ) ( )k � � , ëèáî íàèáîëåå âåðîÿòíûì ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä â ñîñòîÿíèå ôóíêöèî-
íàëüíîãî îòêàçà çà ñ÷åò ïåðåõîäà ÏÌÏ èç j â k j k� �, ( ) ( )�
� , è îòêàçà ðåáåð
íàèáîëåå âåðîÿòíîãî ñå÷åíèÿ èç M k( ) . Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) ïëîòíîñòè f x i mi
( ) ( ),0 1� � , è h x i j Nij
( ) ( ),0 1� � � , pij
( )0 0� , óäîâëåòâîðÿ-
þò óñëîâèÿì (18)–(20), ïðè÷åì � � ij ij ij i j i j N� � � � �0 1, , : ;
2) åñëè i j� è p ji � 0, òî R Rjk ik� äëÿ ëþáîãî k j� ;
3) g G p H
i C C
i
j I
jk
k j
jk�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�min min ( ) , min [
1 2
1 1
�
{ } ( )
�
!
�
!
� 0 äëÿ òîãî
æå , ÷òî è â óñëîâèÿõ (19), (20).
Òîãäà îöåíêà � ( )Q T1 èìååò îãðàíè÷åííóþ ÎÑÊÏ, ò.å. � �
( ) ( ; ) ( )T T O� � 1
ïðè
" 0 .
Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ïðèâîäèòü íå áóäåì, ïîñêîëüêó îíî â çíà÷è-
òåëüíîé ñòåïåíè ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ òåîðåì â [26, 20].
Îòìåòèì òîëüêî îñíîâíûå ýòàïû. Âíà÷àëå ñòðîèòñÿ íèæíÿÿ îöåíêà äëÿ âåðîÿòíîñòè
Q T( ) . Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (18)–(20), à òàêæå òðåòüå óñëîâèå òåîðåìû, ìîæíî
ïîêàçàòü (ñì. [20]), ÷òî ïîðÿäîê íàèáîëåå âåðîÿòíîãî ìîíîòîííîãî ïóòè èç ñîñòîÿ-
íèÿ ( , )( )� 0 1 , � �( ) ( , )0 0 1� � � �i i m , â ñîñòîÿíèå ôóíêöèîíàëüíîãî îòêàçà ðàâåí
R ( , )( )� 0 1 . Èíà÷å ãîâîðÿ, Q T O R( ) ( )( , )
( )
�
� 0
1 . Íà ñëåäóþùåì ýòàïå â ïîëíîì ñîîò-
âåòñòâèè ñî ñõåìîé, ïðèâåäåííîé â [26], ñòðîèòñÿ âåðõíÿÿ îöåíêà äëÿ M [ � ( )]Q T1
2 .
 ÷àñòíîñòè, èñïîëüçóÿ ïåðâûå äâà óñëîâèÿ òåîðåìû, íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî
B u O R( ; ) ( )( ) ( , )
( )
� 0 1
0
�
� è B u Ok k k( ; ) / ( , ) ( )( ) ( ) ( )� � � � �1 1 1 1� � � ðàâíîìåðíî îò-
íîñèòåëüíî êîìïîíåíò âåêòîðà u.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì îöåíêó
M [ � ( )] ( ( ))( , )
( )
Q T O Q TR
1
2 1
0
�
� ,
êîòîðàÿ â ñî÷åòàíèè ñ íèæíåé îöåíêîé äëÿ Q T( ) äàåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
×ÈÑËÅÍÍÛÉ ÏÐÈÌÅÐ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ñîñòîèò èç m � 23 ýëåìåíòîâ, à åå ñòðóêòóðà çàäàåò-
ñÿ äåðåâîì îòêàçîâ ñ ýôôåêòèâíîñòÿìè, èçîáðàæåííûì íà ðèñ. 1.
Âîçëå êàæäîé âõîäÿùåé âåðøèíû óêàçàí êîýôôèöèåíò, îïðåäåëÿþùèé âå-
ëè÷èíó ïàäåíèÿ óðîâíÿ ýôôåêòèâíîñòè ïîäñèñòåìû â ñëó÷àå îòêàçà ýòîé âåðøè-
íû. Èçìåíåíèå ýôôåêòèâíîñòè ñèñòåìû ïðîèñõîäèò ñîãëàñíî ïðàâèëàì, ïðèâå-
äåííûì âûøå. Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïèñàíèåì ìîäåëè çàäàäèì õàðàêòåðèñòèêè
íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî { }F xi ( ) è { }G xi ( ) ÿâëÿþòñÿ ðàñïðåäåëå-
íèÿìè Âåéáóëëà âèäà
F x x G x x i mi i i
i i i( ) exp ( ) , ( ) exp ( ) ,� � � � � � � �1 1 1{ } { }
� � �
,
ãäå
� 0 — ìàëûé ïàðàìåòð. Â òàáë. 1 äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà óêàçàíû êëàññ,
êîòîðîìó îí ïðèíàäëåæèò, çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ � � �i i i i, , , , à òàêæå ïåðèîä
êîíòðîëÿ i è âðåìÿ äî ïåðâîãî ìîìåíòà êîíòðîëÿ i
( )0 (åñëè ýòî ýëåìåíò
êëàññà C2). Âñå âðåìåíí�å õàðàêòåðèñòèêè èçìåðÿþòñÿ â ÷àñàõ.
72 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 73
Ò à á ë è ö à 1
Íîìåð
ýëåìåíòà, i
Êëàññ
Ïàðàìåòðû, çàäàþùèå õàðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ
�i �i i � i i
i
( )0
1 C2 1,0 1,5 0,03 2 960 0
2 C2 1,0 1,5 0,03 2 960 240
3 C2 1,0 1,5 0,03 2 960 480
4 C2 1,0 1,5 0,03 2 960 720
5 C3 1,2 1,3 — — — —
6 C3 1,2 1,3 — — — —
7 C3 1,2 1,3 — — — —
8 C3 1,2 1,3 — — — —
9 C3 1,2 1,3 — — — —
10 C1 1,5 1,0 0,02 2 — —
11 C1 1,5 1,0 0,02 2 — —
12 C2 1,0 1,5 0,05 0,5 720 0
13 C2 1,0 1,5 0,05 0,5 720 240
14 C2 1,0 1,5 0,05 0,5 720 480
15 C1 1,7 1,0 0,02 2 — —
16 C1 1,7 1,0 0,02 2 — —
17 C2 1,2 1,1 0,01 2 720 0
18 C2 1,2 1,1 0,01 2 720 240
19 C2 1,2 1,1 0,01 2 720 480
20 C2 1,2 1,5 0,02 0,5 480 0
21 C2 1,2 1,5 0,02 0,5 480 240
22 C3 0,8 1,2 — — — —
23 C3 0,8 1,2 — — — —
Ðèñ. 1. Äåðåâî îòêàçîâ
Âåðøèíà, îáîçíà÷àþùàÿ ýëåìåíò
Âåðøèíà òèïà «è»
Âåðøèíà òèïà «èëè»
Âåðøèíà òèïà « m èç n »m n:
Ïîëóìàðêîâñêèé ïðîöåññ �( ), ,t t � 0 ìîæåò ïðèíèìàòü òðè ñîñòîÿíèÿ, ò.å.
I � { }1 2 3, , . Åñëè i j� , òî H x xij
ij( ) exp ( )� � �1 2{ }
�
, ãäå � �12 130 8 2� �, , ,
� 23 0 9� , . Åñëè i j� , òî H x xij ( ) exp ( , )� � �1 0 01 2{ }. Ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè { }pij
çàäàäèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: p12 0 7� , , p13 0 3� , , p23
0 6�
, , p21
0 61� �
, ,
p p31 32 0 5� � , .  êà÷åñòâå óðîâíåé òðåáóåìîé ýôôåêòèâíîñòè âûáåðåì �( ) ,1 01� ,
�( ) , ,2 0 4� �( ) ,3 0 7� .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàäåæíîñòü
ñèñòåìû èññëåäóåòñÿ íà ïðîòÿæåíèè
îäíîãî ãîäà, ò.å. T � 8760 ÷àñîâ.  êà-
÷åñòâå ìàëîãî ïàðàìåòðà
âûáåðåì
� ��4 8 9n n, , ,� Îöåíêè � ( )Q T äëÿ âå-
ðîÿòíîñòè Q T( ) ôóíêöèîíàëüíîãî îòêà-
çà, ïîñòðîåííûå ñ îòíîñèòåëüíîé ïî-
ãðåøíîñòüþ 2 % è äîñòîâåðíîñòüþ
0,99 ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ
, ïðåä-
ñòàâëåíû â òàáë. 2 (� ( )r
— ÎÑÊÏ ñîîò-
âåòñòâóþùåé îöåíêè, � ( )N
— êîëè÷åñòâî ðåàëèçàöèé, ïîòðåáîâàâøèõñÿ äëÿ
äîñòèæåíèÿ óêàçàííîé òî÷íîñòè îöåíêè).
Ïðèâåäåííûå äàííûå ïîêàçûâàþò, ÷òî â øèðîêîì äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ âå-
ðîÿòíîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî îòêàçà (îò 1,76 # �10 3 äî 7,55 # �10 15 ) ÎÑÊÏ îöåíîê
ëèøü íåçíà÷èòåëüíî âîçðàñòàåò ñ âîçðàñòàíèåì íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ, ÷òî ñîîò-
âåòñòâóåò óòâåðæäåíèþ òåîðåìû 2 î ðàâíîìåðíîé îãðàíè÷åííîñòè ÎÑÊÏ.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 ñòàòüå ïðåäëîæåí ìåòîä óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ïîçâîëÿþùèé îöåíè-
âàòü íàäåæíîñòü ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç ðàçíîòèïíûõ ýëåìåíòîâ ñ ñóùåñòâåííî
îòëè÷àþùèìèñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè íàäåæíîñòè. Ïðè ýòîì íå ïðåäïîëàãàåòñÿ
ýêñïîíåíöèàëüíîñòü êàêèõ-ëèáî ðàñïðåäåëåíèé. Ïîëó÷åííûå ëåãêî ïðîâåðÿå-
ìûå óñëîâèÿ ãàðàíòèðóþò óñòîé÷èâîñòü ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà ïðè âîçðàñòà-
íèè íàäåæíîñòè ýëåìåíòîâ.
Àâòîðû áëàãîäàðíû àêàäåìèêó ÍÀÍ Óêðàèíû È.Í. Êîâàëåíêî çà âíèìàíèå
ê ðàáîòå è ïîëåçíûå ñîâåòû, ñïîñîáñòâóþùèå åå óëó÷øåíèþ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ à ì î é ë î â Î . Á . , Ó ñ û í è í Ã . Á . , Á à õ ì å ò ü å â À . Ì . Áåçîïàñíîñòü ÿäåðíûõ ýíåðãå-
òè÷åñêèõ óñòàíîâîê. — Ì.: Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1989. — 280 ñ.
2. K o v a l e n k o ² . N . , A t k i n s o n J . B . , M i k h a l e v i c h K . V . Three cases of light-traffic
insensitivity of the loss probability in a GI G m/ / / 0 loss system to the shape of the service time
distribution // Queueing Systems. — 2003. — 45, N 3. — P. 245–271.
3. B a c c e l l i F . , B o r o v k o v A . , M a i r e s s e J . Asymptotic results on infinite tandem queueing
networks // Probab. Theory and Rel. Fields. — 2000. — 118, N 3. — P. 365–405.
4. M i y a z a w a M . , R o l s k i T . Tail asymptotics for a L�vy-driven tandem queue with an inter-
mediate input // Queueing Systems. — 2009. — 63, N 1. — P. 323–353.
5. A s y m p t o t i c behavior of total times for jobs that must start over if a failure occurs / S. Asmus-
sen, P. Fiorini, L. Lipsky et al. // Math. Oper. Res. — 2008. — 33, N 4. — P. 932–944.
6. H e i d e l b e r g e r P . Fast simulation of rare events in queueing and reliability models // ACM
Trans. Modeling Comput. Simul. — 1995. — 5, N 1. — P. 43–85.
74 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4
Ò à á ë è ö à 2
Ïàðàìåòð,
n
Îöåíêè
� ( )Q T � ( )r
� ( )N
8 1,76 # �10 3 3,10 158814
9 5,83 # �10 6 3,51 203977
10 7,38 # �10 9 3,78 237470
11 7,47 # �10 12 3,93 255904
12 7,55 # �10 15 4,22 295167
7. L i J . , M o s l e h A . , K a n g R . Likelihood ratio gradient estimation for dynamic reliability
applications // Reliab. Eng. and System Safety. — 2011. — 96, N 12. — P. 1667–1679.
8. G l a s s e r m a n P . Monte Carlo methods in financial engineering. — New York: Springer, 2004.
— 575 p.
9. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Àíàëèç ðåäêèõ ñîáûòèé ïðè îöåíêå ýôôåêòèâíîñòè è íàäåæíîñòè ñèñ-
òåì. — Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1980. — 209 ñ.
10. Ê î â à ë å í ê î È . H . Ê ðàñ÷åòó õàðàêòåðèñòèê âûñîêîíàäåæíûõ ñèñòåì àíàëèòèêî-ñòàòèñòè-
÷åñêèì ìåòîäîì // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 1980. — 2, ¹ 4. — Ñ. 5–8.
11. Ê î â à ë å í ê î È . H . , Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Ìåòîäû ðàñ÷åòà âûñîêîíàäåæíûõ ñèñòåì. — Ì.:
Ðàäèî è ñâÿçü, 1988. — 176 ñ.
12. K u z n e t s o v N . Y u . Fast simulation technique in reliability evaluation of Markovian and
non-Markovian systems // Simulation and Optimization Methods in Risk and Reliability Theory. —
New York: Nova Sci. Publ., 2009. — P. 69–112.
13. Ê ó ç í å ö î â H . Þ . , Ø ó ì ñ ê à ÿ À . À . Îöåíêà îïàñíîñòè îòêàçà ðåçåðâèðîâàííîé ñèñòåìû
ìåòîäîì óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ // Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé æóðíàë «Ïðîá-
ëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè». — 2013. — ¹ 3. — Ñ. 50–62.
14. G l a s s e r m a n P . , H e ³ d e l b e r g e r P h . , S h a h a b u d d ³ n P . , Z a j ³ c T . Multilevel
splitting for estimating rare event probabilities // Oper. Res. — 1999. — 47, N 4. — P. 585–600.
15. K o v a l e n k o I . N . , K u z n e t s o v N . Y u . , P e g g P h . A . Mathematical theory of reliability
of time dependent systems with practical applications. — Chichester: Wiley, 1997. — 303 p.
16. L a g n o u x A . Rare event simulation // Probab. Eng. and Inf. Sci. — 2006. — 20, N 1. —
P. 45–66.
17. B l a n c h e t J . , L a m H . Rare event simulation techniques // Proc. of the 2011 Winter Simulation
Conf. — 2011. — P. 217–231.
18. Õ î ì ÿ ê Î . Í . Íàõîæäåíèå âåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ ôóíêöèîíàëîâ îò òðàåêòîðèé äâóõ öå-
ïåé Ìàðêîâà ìåòîäîì ñóùåñòâåííîé âûáîðêè // Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé æóðíàë
«Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè». — 2013. — ¹ 4. — Ñ. 123–128.
19. Õ î ì ÿ ê Î . Í . Ïðèìåíåíèå óñêîðåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äëÿ îöåíêè âåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷å-
íèÿ ñëó÷àéíîãî óðîâíÿ ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì // Òàì æå. — 2014. — ¹ 1. — Ñ. 110–118.
20. Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . , Õ î ì ÿ ê Î . Í . , Ø ó ì ñ ê à ÿ À . À . Óñêîðåííîå ìîäåëèðîâàíèå ôóíê-
öèîíàëüíîãî îòêàçà s t� -ñåòè ñ âîññòàíîâëåíèåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2014.
— ¹ 3. — Ñ. 39–50.
21. C a l d a r o l a L . , W i c k e n h ��a u s e r A . The Karlsruhe computer program for the evaluation of
the availability and reliability of complex repairable systems // Nuclear Eng. and Design. — 1977.
— 43. — P. 463–470.
22. H e n n i n g s W . , K u z n e t s o v N . FAMOCUTN & CUTQN: programs for fast analysis of large
fault trees with replicated & negated gates // IEEE Trans. Reliab. — 1995. — 44, N 3. —
P. 368–376.
23. Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . , Ì è õ à ë å â è ÷ Ê . Â . Àíàëèç íàäåæíîñòè ñèñòåì, îïèñûâàåìûõ äå-
ðåâüÿìè îòêàçà ñ ýôôåêòèâíîñòÿìè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 5. —
Ñ. 142–151.
24. Ê î â à ë å í ê î È . Í . Îá îöåíêå íàäåæíîñòè ñëîæíûõ ñèñòåì // Âîïð. ðàäèîýëåêòðîíèêè. —
1965. — 12, ¹ 9. — Ñ. 50–68.
25. Ø ó ì ñ ê à ÿ À . À . Óñêîðåííîå ìîäåëèðîâàíèå êîýôôèöèåíòà íåãîòîâíîñòè âîññòàíàâëèâàå-
ìîé ñèñòåìû ñ îãðàíè÷åííîé îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ îöåíêè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåì-
íûé àíàëèç. — 2003. — ¹ 3. — Ñ. 45–58.
26. Ê ó ç í å ö î â Í . Þ . Îöåíêà íàäåæíîñòè âîññòàíàâëèâàåìûõ (s t� )-ñåòåé ìåòîäîì óñêîðåííî-
ãî ìîäåëèðîâàíèÿ // Ìåæäóíàðîäíûé íàó÷íî-òåõíè÷åñêèé æóðíàë «Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ
è èíôîðìàòèêè». — 2014. — ¹ 3. — Ñ. 61–73.
Ïîñòóïèëà 29.09.2013
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2014, òîì 50, ¹ 4 75
|