Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі
Розглянуто поширення нормальних SH-хвиль у пружному хвилеводі зі скінченним розрізом та вільними від напружень стінками. Проведено аналіз дифракції пружних хвиль на розрізі. Для розв'язання задачі використано метод часткових областей, який зводить її до нескінченної системи лінійних алгебраїчни...
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2013
|
| Series: | Акустичний вісник |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116196 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі / М.Я. Семкiв, Г.М. Зражевський, В.Т. Маципура // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 1. — С. 54-63. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116196 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1161962017-04-23T03:02:42Z Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі Семкiв, М.Я. Зражевський, Г.М. Маципура, В.Т. Розглянуто поширення нормальних SH-хвиль у пружному хвилеводі зі скінченним розрізом та вільними від напружень стінками. Проведено аналіз дифракції пружних хвиль на розрізі. Для розв'язання задачі використано метод часткових областей, який зводить її до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих амплітуд. Одержана система розв'язувалась модифікованим методом лишків аналітичної функції, який базується на обчисленні контурного інтеграла як суми лишків аналітичної функції у комплексній площині. Її властивості визначаються положенням нулів і полюсів, вибраних так, щоб сума лишків співпадала зі згаданою системою. При цьому можливо ототожнити коефіцієнти при невідомих у рівняннях з лишками. Наявність скінченного розрізу породжує додаткову нескінченну систему алгебраїчних рівнянь внаслідок зсуву нулів функції. У результаті чисельного розв'язання задачі обчислено частотні залежності енергетичних коефіцієнтів відбиття й проникнення нормальних SH-хвиль через область, яка містить розріз скінченної довжини. Рассмотрено распространение SH-волн в упругом волноводе с конечным разрезом и свободными от напряжений стенками. Проведен анализ дифракции упругих волн на разрезе. Для решения задачи использован метод частичных областей, сводящий ее к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд. Полученная система решалась модифицированным методом вычетов аналитической функции, который базируется на вычислении контурного интеграла как суммы вычетов аналитической функции в комплексной плоскости. Ее свойства определяются расположением нулей и полюсов, выбранных так, чтобы сумма вычетов совпадала с упомянутой системой. При этом возможно отождествить коэффициенты при неизвестных в уравнениях с вычетами. Наличие конечного разреза порождает дополнительную бесконечную систему алгебраических уравнений из-за сдвига нулей функции. В результате численного решения задачи вычислены частотные зависимости энергетических коэффициентов отражения и прохождения нормальных SH-волн через область, содержащую разрез конечной длины. The paper deals with considering of propagation of SH-wave in the elastic waveguide with a finite length crack and stress-free boundaries. A diffraction of elastic waves on a crack is analyzed. The method of partial domains is used for solving of the problem, that reduces it to the infinite system of algebraic equations with respect to unknown amplitudes. The obtained system is solved by the modified method of residues of analytical function which is based on calculating of the contour integral as a sum of residues of analytical function in the complex plane. The properties of this function are determined by location of the poles and zeros chosen so that the residue series coincide with the abovementioned system. In doing so, the coefficients at the unknown values in equations may be identified with the residues. Presence of the finite crack gives rise to the additional infinite system of algebraic equations caused by the shift of zeroes of the function. The numerical solution of the problem yields the frequency dependencies of energy transmission and reflection coefficients through the domain containing the finite crack. 2013 Article Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі / М.Я. Семкiв, Г.М. Зражевський, В.Т. Маципура // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 1. — С. 54-63. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116196 539.1 uk Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто поширення нормальних SH-хвиль у пружному хвилеводі зі скінченним розрізом та вільними від напружень стінками. Проведено аналіз дифракції пружних хвиль на розрізі. Для розв'язання задачі використано метод часткових областей, який зводить її до нескінченної системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих амплітуд. Одержана система розв'язувалась модифікованим методом лишків аналітичної функції, який базується на обчисленні контурного інтеграла як суми лишків аналітичної функції у комплексній площині. Її властивості визначаються положенням нулів і полюсів, вибраних так, щоб сума лишків співпадала зі згаданою системою. При цьому можливо ототожнити коефіцієнти при невідомих у рівняннях з лишками. Наявність скінченного розрізу породжує додаткову нескінченну систему алгебраїчних рівнянь внаслідок зсуву нулів функції. У результаті чисельного розв'язання задачі обчислено частотні залежності енергетичних коефіцієнтів відбиття й проникнення нормальних SH-хвиль через область, яка містить розріз скінченної довжини. |
| format |
Article |
| author |
Семкiв, М.Я. Зражевський, Г.М. Маципура, В.Т. |
| spellingShingle |
Семкiв, М.Я. Зражевський, Г.М. Маципура, В.Т. Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі Акустичний вісник |
| author_facet |
Семкiв, М.Я. Зражевський, Г.М. Маципура, В.Т. |
| author_sort |
Семкiв, М.Я. |
| title |
Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі |
| title_short |
Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі |
| title_full |
Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі |
| title_fullStr |
Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі |
| title_full_unstemmed |
Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі |
| title_sort |
дифракція нормальних sh-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116196 |
| citation_txt |
Дифракція нормальних SH-хвиль на розрізі скінченної довжини у пружному хвилеводі / М.Я. Семкiв, Г.М. Зражевський, В.Т. Маципура // Акустичний вісник — 2013-2014. —Т. 16, № 1. — С. 54-63. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT semkivmâ difrakcíânormalʹnihshhvilʹnarozrízískínčennoídovžiniupružnomuhvilevodí AT zraževsʹkijgm difrakcíânormalʹnihshhvilʹnarozrízískínčennoídovžiniupružnomuhvilevodí AT macipuravt difrakcíânormalʹnihshhvilʹnarozrízískínčennoídovžiniupružnomuhvilevodí |
| first_indexed |
2025-07-08T09:59:58Z |
| last_indexed |
2025-07-08T09:59:58Z |
| _version_ |
1837072436172947456 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
УДК 539.1
ДИФРАКЦIЯ НОРМАЛЬНИХ SH-ХВИЛЬ
НА РОЗРIЗI СКIНЧЕННОЇ ДОВЖИНИ
У ПРУЖНОМУ ХВИЛЕВОДI
М. Я. СЕМК IВ∗, Г. М. ЗР АЖ Е ВС ЬК И Й, В. Т. М АЦ И П У РА
Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка
вул. Володимирська, 64/13, 01601, МСП, Київ, Україна
∗E-mail: mishasemkiv@gmail.com
Одержано 20.06.2013
Розглянуто поширення нормальних SH-хвиль у пружному хвилеводi зi скiнченним розрiзом та вiльними вiд напру-
жень стiнками. Проведено аналiз дифракцiї пружних хвиль на розрiзi. Для розв’язання задачi використано метод
часткових областей, який зводить її до нескiнченної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь вiдносно невiдомих
амплiтуд. Одержана система розв’язувалась модифiкованим методом лишкiв аналiтичної функцiї, який базується
на обчисленнi контурного iнтеграла як суми лишкiв аналiтичної функцiї у комплекснiй площинi. Її властивостi
визначаються положенням нулiв i полюсiв, вибраних так, щоб сума лишкiв спiвпадала зi згаданою системою. При
цьому можливо ототожнити коефiцiєнти при невiдомих у рiвняннях з лишками. Наявнiсть скiнченного розрiзу
породжує додаткову нескiнченну систему алгебраїчних рiвнянь внаслiдок зсуву нулiв. У результатi чисельного
розв’язання задачi обчислено частотнi залежностi енергетичних коефiцiєнтiв вiдбиття й проникнення нормальних
SH-хвиль через область, яка мiстить розрiз скiнченної довжини.
КЛЮЧОВI СЛОВА: пружний хвилевiд, нормальна SH-хвиля, коефiцiєнти проходження й вiдбиття, розрiз, метод
лишкiв
Рассмотрено распространение SH-волн в упругом волноводе с конечным разрезом и свободными от напряжений
стенками. Проведен анализ дифракции упругих волн на разрезе. Для решения задачи использован метод частичных
областей, сводящий ее к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
амплитуд. Полученная система решалась модифицированным методом вычетов аналитической функции, который
базируется на вычислении контурного интеграла как суммы вычетов аналитической функции в комплексной
плоскости. Ее свойства определяются расположением нулей и полюсов, выбранных так, чтобы сумма вычетов
совпадала с упомянутой системой. При этом возможно отождествить коэффициенты при неизвестных в уравнениях
с вычетами. Наличие конечного разреза порождает дополнительную бесконечную систему алгебраических урав-
нений из-за сдвига нулей функции. В результате численного решения задачи вычислены частотные зависимости
энергетических коэффициентов отражения и прохождения нормальных SH-волн через область, содержащую разрез
конечной длины.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: упругий волновод, нормальная SH-волна, коэффициенты прохождения и отражения, разрез,
метод вычетов
The paper deals with considering of propagation of SH-wave in the elastic waveguide with a finite length crack and
stress-free boundaries. A diffraction of elastic waves on a crack is analyzed. The method of partial domains is used for
solving of the problem, that reduces it to the infinite system of algebraic equations with respect to unknown amplitudes.
The obtained system is solved by the modified method of residues of analytical function which is based on calculating of
the contour integral as a sum of residues of analytical function in the complex plane. The properties of this function are
determined by location of the poles and zeros chosen so that the residue series coincide with the abovementioned system.
In doing so, the coefficients at the unknown values in equations may be identified with the residues. Presence of the finite
crack gives rise to the additional infinite system of algebraic equations caused by the shift of zeroes of the function. The
numerical solution of the problem yields the frequency dependencies of energy transmission and reflection coefficients
through the domain containing the finite crack.
KEY WORDS: an elastic waveguide, normal SH-wave, transmission and reflection coefficients, crack, method of residues
ВСТУП
Задачi поширення пружних хвиль у хвилево-
дах з неоднорiдностями у виглядi розрiзiв, поро-
жнин або екранiв займають особливе мiсце в аку-
стицi, оскiльки при їхньому розв’язаннi, з одного
боку, даються конкретнi вiдповiдi на запити те-
хнiки, бiологiї тощо; а з iншого – розробляється
складний чисельно-аналiтичний апарат для опису
дифракцiї хвиль.
Великий масив результатiв, якi iлюструють за-
кономiрностi поширення пружних, акустичних i
електромагнiтних хвиль у нерегулярних хвилево-
дах, мiститься у публiкацiях [2 – 11]. Так, на осно-
вi методу часткових областей (вiдомого також як
метод зшивання хвильових полiв) розв’язанi зада-
чi дифракцiї пружних [1, 11] i електромагнiтних
хвиль [2, 9, 10] на пiвнескiнченному розрiзi. Данi
про поширення акустичних хвиль у рiдинних хви-
леводах з вiдгалуженнями чи хвилеводах складе-
них пiд кутом з двох частин можна знайти [3 – 5,7].
У роботi [1] розв’язано задачу про дифракцiю
54 c© М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура, 2013 – 2014
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
нормальних SH-хвиль у пружному хвилеводi на
пiвнескiнченному розрiзi й отримано точний аналi-
тичний розв’язок. Логiчним видається продовжи-
ти дослiдження даної тематики, а саме узагальни-
ти задачу на випадок розрiзу скiнченної довжини.
Вiдомо, що наявнiсть розрiзу скiнченної довжи-
ни у хвилеводi при застосуваннi методу часткових
областей приводить до системи рiвнянь
∞
∑
n=1
[
1
γn − Γm
+
ρm
γn + Γm
]
An =
=
1
γq + Γm
+
ρm
γq − Γm
,
m, q = 1, 2, 3, . . .
(1)
де γn, ρm – вiдомi; Γn – визначаються з додатко-
вої системи рiвнянь; An – шуканi величини. Вiд-
значимо, що при ρm≡0 система вироджується до
вигляду:
∞
∑
n=1
1
γn − Γm
An =
1
γq + Γm
,
m, q = 1, 2, 3, . . .
(2)
i її вдається розв’язати точно, наприклад, за до-
помогою методу лишкiв [1]. В багатьох задачах,
зокрема i в данiй, множник ρm експоненцiально
спадає. Це дозволяє розглядати розв’язок системи
рiвнянь (1) як збурення точного розв’язку зада-
чi (2).
Мета цього дослiдження – побудова чисельно-
аналiтичного розв’язку задачi про поширення нор-
мальних SH-хвиль у хвилеводi iз скiнченною трi-
щиною за допомогою модифiкованого методу ли-
шкiв, а також отримання виразiв для перемiщень
у кожнiй iз часткових областей.
1. ДИФРАКЦIЯ НОРМАЛЬНИХ SH-ХВИЛЬ
НА РОЗРIЗI СКIНЧЕННОЇ ДОВЖИНИ
1.1. Постановка краєвої задачi у спектральному
представленнi
Нехай гармонiчна (з частотою ω) нормальна SH-
хвиля поширюється в однорiдному пружному хви-
леводi x1∈R, x3∈ [0, a], який мiстить розрiз скiн-
ченної довжини 0≤x1≤ l, x3 =b (рис. 1). Стiнки
хвилеводу, а також береги розрiзу вважаємо вiль-
ними вiд напружень. Середовище хвилеводу хара-
ктеризується густиною ρ i швидкiстю поперечних
хвиль ct.
Видiлимо у хвилеводi чотири областi iснуван-
ня пружної хвилi: область A – x1 <0, x3∈ [0, a];
-
6
�
�
�
�
�
�
�
�
���
A
B
C
D0
b
a
lui
2 ua
2
ub1
2 ub2
2
uc1
2 uc2
2
ud
2
- �
- �
- �
-
x1
x2x3
Рис. 1. Геометрiя плоского хвилеводу
область B – x1∈ [0, l], x3∈ [0, b]; область C –
x1∈ [0, l], x3∈ [b, a]; i область D – x1 > l, x3 ∈ [0, a].
Зазначимо, що таке розбиття дозволяє надалi в ко-
жнiй з пiдобластей використати метод роздiлення
змiнних. В областi A поширюється нормальна SH-
хвиля, яка викликає змiщення вздовж осi Ox2 i
задається у виглядi
ui
2 = A cos
qπx3
a
e−γqax1 , q = 0, 1, 2, 3, . . . (3)
Тут A – амплiтуда набiгаючої хвилi; q – номер нор-
мальної хвилi. Сталу поширення знаходимо з ви-
разу
γqa =
√
(qπ/a)2 − k2
t , (qπ/a)2 > k2
t ,
−i
√
k2
t − (qπ/a)2, (qπ/a)2 < k2
t ,
де kt=ω/ct. Часовий множник exp{−iωt} тут i на-
далi не пишемо. Перемiщення в областях A, B, C
i D дифрагованого поля позначимо як ua
2 , ub
2, uc
2 й
ud
2 вiдповiдно.
Усi перемiщення у хвилеводi задовольняють рiв-
няння Гельмгольца:
[
∂2
∂x2
1
+
∂2
∂x2
3
+ k2
t
]
us
2 = 0, s = i, a, b, c, d, (4)
а також граничнi умови на вiльних межах хви-
леводу i розрiзу σ32=µ∂u2/∂x3 =0 (тут u2 вiдпо-
вiдає змiщенню в кожнiй з пiдобластей, µ – мо-
дуль зсуву), i умови спряження на межах подiлу
пiдобластей x1 =0, x3∈ [0, a] i x1 = l, x3∈ [0, a], якi
встановлюють неперервнiсть змiщень i напружень
σ12 =µ∂u2/∂x1 на них.
Вiдповiдно до зазначених граничних умов, по-
ля вiдбитої хвилi ua
2, прохiдних в пiдобластi B, C
хвиль ub
2, uc
2 а також хвилi ud
2, яка поширюється
в областi D, можна подати у виглядi суперпозицiї
М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура 55
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
нормальних SH-хвиль для кожної з них:
ua
2 =
∞
∑
n=0
An cos
nπx3
a
eγnax1 ,
ub
2 =
∞
∑
n=0
Bn1 cos
nπx3
b
e−γnbx1+
+
∞
∑
n=0
Bn2 cos
nπx3
b
eγnb(x1−l),
uc
2 =
∞
∑
n=0
Cn1 cos
nπ(x3 − b)
c
e−γncx1+
+
∞
∑
n=0
Cn2 cos
nπ(x3 − b)
c
eγnc(x1−l),
ud
2 =
∞
∑
n=0
Dn cos
nπx3
a
e−γna(x1−l).
(5)
Тут
γns =
√
(nπ/s)2 − k2
t , (nπ/s)2 > k2
t ,
−i
√
k2
t − (nπ/s)2, (nπ/s)2 < k2
t ,
n = 0, 1, 2, . . . ; s = a, b, c, d.
Таке представлення полiв задовольняє сформульо-
ванi граничнi умови.
Розписуючи умови спряження i використовуючи
властивiсть ортогональностi набору функцiй типу
cos(nπx3/a), n=0, 1, 2, . . ., отримуємо нескiнченну
систему алгебраїчних рiвнянь:
−
2ab
π
iktA0+
∞
∑
n=1
(
A′
n
γna−γmb
+
ρmbA
′
n
γna+γmb
)
=
=
(
1
γqa+γmb
+
ρmb
γqa−γmb
)
A′,
2ac
π
iktA0+
∞
∑
n=1
(
A′
n
γna−γmc
+
ρmcA
′
n
γna+γmc
)
=
=
(
1
γqa+γmc
+
ρmc
γqa−γmc
)
A′,
(6)
де
A′ = Aq sin
qπb
a
, A′
n = n sin
nπb
a
An,
ρms = e−2γmsl, s = b, c ;
m = 0, 1, 2, . . . ,
(7)
а коефiцiєнти Bn1, Bn2 i Cn1, Cn2 виражаються че-
рез амплiтуднi коефiцiєнти An наступним чином:
Bm1 =
(−1)mπ
2aρmbδmbγmb
{
−
2ab
π
iktA0δ
0
m+
+
[
A′
γqa − γmb
+
ρmbA
′
γqa + γmb
]
−
−
∞
∑
n=1
[
A′
n
γna + γmb
+
ρmbA
′
n
γna − γmb
]
}
,
(8)
Bm2 =
(−1)mπ
2aδmbγmb
{
−
2ab
π
iktA0δ
0
m+
+
[
A′
γqa + γmb
+
ρmbA
′
γqa − γmb
]
−
−
∞
∑
n=1
[
A′
n
γna − γmb
+
ρmbA
′
n
γna + γmb
]
}
,
(9)
Cm1 =
−π
2aρmcδmcγmc
{
−
2ac
π
iktA0δ
0
m+
+
[
A′
γqa − γmc
+
ρmcA
′
γqa + γmc
]
−
−
∞
∑
n=1
[
A′
n
γna + γmc
+
ρmcA
′
n
γna − γmc
]
}
,
(10)
Cm2 =
−π
2aδmcγmc
{
−
2ac
π
iktA0δ
0
m+
+
[
A′
γqa + γmc
+
ρmcA
′
γqa − γmc
]
−
−
∞
∑
n=1
[
A′
n
γna − γmc
+
ρmcA
′
n
γna + γmc
]
}
,
(11)
δn
m =
{
1, m = n,
0, m 6= n;
δms =
{
s, m = 0,
s/2, m > 0.
Для отримання розв’язку системи рiвнянь (6)
застосуємо модифiкований метод лишкiв [2, 15].
1.2. Модифiкований метод лишкiв
Вiдзначимо суттєву особливiсть рiвнянь (6), яка
буде використана нижче – множники ρms у них
експоненцiально спадають при m→∞. Якщо у
рiвняннях (6) опустити члени, пропорцiйнi ρms, то
56 М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
новоутворене матричне рiвняння можна розв’яза-
ти точно [1]. Виходячи з цього, почнемо будувати
розв’язок системи (6) як збурення точного розв’яз-
ку простiшої системи з ρms≡0.
Розглянемо iнтеграли
1
2πi
∮
CR
[
g(w)
w − γmb
+ ρmb
g(w)
w + γmb
]
dw,
1
2πi
∮
CR
[
g(w)
w − γmc
+ ρmc
g(w)
w + γmb
]
dw,
m = 0, 1, . . .
(12)
де CR – коло радiуса R в комплекснiй площинi
змiнної w, що проходить у напрямку проти годин-
никової стрiлки. Функцiя g(w) задовольняє такi
умови:
1) g(w) – аналiтична функцiя змiнної w у
всiх точках областi CR, за винятком по-
люсiв першого порядку w=γna i w=−γqa,
(n, q=0, 1, 2, . . .).
2) g(γmb)+ρmbg(−γmb)=0.
3) g(γmc)+ρmcg(−γmc)=0.
4) Лишок функцiї g(w) в точцi w=−γqa,
що позначається res
w→−γqa
g(w), становить
A′ =Aq sin(qπb/a).
5) Поведiнка функцiї g(w) на нескiнчен-
ностi має алгебраїчний характер, тобто
g(w)=O(w−1/2), |w|→∞.
6) g(−ikt)+ρ0g(ikt)=0.
Тут скрiзь ρ0 =ρ0b =ρ0c =exp {2iktl}.
При R→∞ контур CR охоплює всi нулi й по-
люси, зазначенi у властивостях функцiї g(w). Ви-
ражаючи iнтеграли (12) у виглядi сум лишкiв у
полюсах функцiї g(w) i прирiвнюючи результат до
нуля, отримуємо
[g(−ikt) + ρ0 g(ikt)] +
+
∞
∑
n=1
(
1
γna − γmb
+
ρmb
γna + γmb
)
×
× res
w→γna
g(w) =
=
(
1
γqa + γmb
+
ρmb
γqa − γmb
)
A′,
(13)
[g(−ikt) + ρ0 g(ikt)] +
+
∞
∑
n=1
(
1
γna − γmc
+
ρmc
γna + γmc
)
×
× res
w→γna
g(w) =
=
(
1
γqa + γmc
+
ρmc
γqa − γmc
)
A′.
(14)
Тут враховано, що, згiдно з умовою 4,
res
w→−γqa
g(w) = A′ i γ0b = γ0c = −ikt.
Порiвнюючи вирази (6) i (13), (14), отримуємо
Ann sin
nπb
a
= res
w→γna
g(w),
−
2ab
π
iktA0 = g(−ikt) + g(ikt) =
2ac
π
iktA0,
n = 1, 2, 3, . . .
(15)
З другого рiвняння системи (15) випливає, що
A0 =0, тобто нульова мода у вiдбитiй хвилi ua
2 має
нульову амплiтуду.
При ρms≡0 функцiя g(w) переходить у f(w),
яка має вигляд [1]:
f(w) =
q sin(qπb/a)
γqa + w
1 + w/ikt
1 − γqa/ikt
×
× exp
{
w + γqa
π
[
b ln
a
b
+ c ln
a
c
]
}
×
×
∞
∏
n=1
1 − w/γnb
1 + γqa/γnb
e(w+γqa)b/nπ×
×
∞
∏
n=1
1 − w/γnc
1 + γqa/γnc
e(w+γqa)c/nπ×
×
∞
∏
n=1
1 + γqa/γna
1 − w/γna
e−(w+γqa)a/nπ.
(16)
З умов 2 i 3 випливає, що нулi функцiї g(w)
(назвемо їх {Γmb}, {Γmc}) зсунутi вiдносно нулiв
{γmb}, {γmc} функцiї f(w). Виходячи з цього, мо-
жна записати
g(w) = f(w)p(w)
1 − w/Γ0
1 − w/γ0
×
×
∞
∏
n=0
(1 − w/Γnb) (1 − w/Γnc)
(1 − w/γnb) (1 − w/γnc)
.
(17)
З умови 5 для функцiї g(w) при урахуван-
нi f(w)=O(w−1/2) для |w| → ∞ отримуємо такi
М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура 57
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
асимптотичнi розклади:
p(w) = p0 = const,
1 − w/Γ0
1 − w/γ0
∞
∏
n=1
1 − w/Γns
1 − w/γns
= O(1).
(18)
Константа p0 визначається з умови 4:
p0 =
1 + i
γqa
k
1 +
γqa
Γ0
∞
∏
n=1
(
1 +
γqa
γnb
) (
1 +
γqa
γnc
)
(
1 +
γqa
Γnb
) (
1 +
γqa
Γnc
) . (19)
З представлення (18) випливає, що
Γns ≈ γns + ∆ns, n → ∞, (20)
де ∆ns – невiдомi сталi, залежнi вiд n, причому
Γns≈γns при n→∞. Таким чином, змiщенi нулi
{Γns} асимптотично не вiдрiзняються вiд {γns}.
Апрiорне знання асимптотики {Γns} суттєвим чи-
ном використовується в подальших мiркуваннях.
Для повної побудови функцiї g(w) залишилось
визначити систему змiщених нулiв {Γns}. Пiдста-
вивши вираз (17) в умови 2, 3, 6 для функцiї g(w)
i провiвши певнi перетворення, отримаємо
1 −
γ0
Γ0
1 +
γ0
Γ0
×
×
∞
∏
n=0
(
1 −
γ0
Γnb
)(
1 −
γ0
Γnc
)(
1 +
γ0
γna
)
(
1 +
γ0
Γnb
)(
1 +
γ0
Γnc
)(
1 −
γ0
γna
) =
= −ρ0 exp
{
−
2γ0
π
[
b ln
a
b
+ c ln
a
c
]
}
×
×
γqa + γ0
γqa − γ0
,
(21)
1 −
γmb
γ0
1 +
γmb
γ0
×
×
∞
∏
n=0
(
1 −
γmb
Γnb
) (
1 −
γmb
Γnc
) (
1 +
γmb
γna
)
(
1 +
γmb
Γnb
) (
1 +
γmb
Γnc
) (
1 −
γmb
γna
) =
= −ρmb exp
{
−
2γmb
π
[
b ln
a
b
+ c ln
a
c
]
}
×
×
γqa + γmb
γqa − γmb
,
(22)
1 −
γmc
Γ0
1 +
γmc
Γ0
×
×
∞
∏
n=0
(
1 −
γmc
Γnb
) (
1 −
γmc
Γnc
)(
1 +
γmc
γna
)
(
1 +
γmc
Γnb
) (
1 +
γmc
Γnc
)(
1 −
γmc
γna
) =
= −ρmc exp
{
−
2γmc
π
[
b ln
a
b
+ c ln
a
c
]
}
×
×
γqa + γmc
γqa − γmc
,
(23)
де ρms =exp{−2γms}, s=(b, c), m=1, 2, 3, . . .
Отриманi рiвняння (21) – (23) дають змогу ви-
значити систему змiщених нулiв {Γms}. Вiдзначи-
мо, що розв’язки цiєї нескiнченної системи збiгаю-
ться набагато швидше, нiж розв’язки рiвнянь (6).
Окрiм того, апрiорi вiдома асимптотика {Γms}, що
також спрощує розв’язання отриманої системи.
1.3. Матричний метод
При розв’язаннi системи (21) – (23) використає-
мо матричний метод. Для цього подамо її рiвняння
у виглядi
1 −
γ0
Γ0
1 +
γ0
Γ0
M
∏
n=0
(
1 −
γ0
Γnb
)(
1 −
γ0
Γnc
)
(
1 +
γ0
Γnb
)(
1 +
γ0
Γnc
) =
= −ρ0 exp
{
−
2γ0
π
[
b ln
a
b
+ c ln
a
c
]
}
×
×
γqa + γ0
γqa − γ0
M
∏
n=0
1 − γ0
γna
1 +
γ0
γna
×
×
∞
∏
n=M+1
(
1+
γ0
Γnb
) (
1+
γ0
Γnc
) (
1−
γ0
γna
)
(
1−
γ0
Γnb
) (
1−
γ0
Γnc
) (
1+
γ0
γna
) ,
(24)
58 М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
1 −
γmb
γ0
1 +
γmb
γ0
M
∏
n=0
(
1 −
γmb
Γnb
)(
1 −
γmb
Γnc
)
(
1 +
γmb
Γnb
)(
1 +
γmb
Γnc
) =
= −ρmb exp
{
−
2γmb
π
[
b ln
a
b
+ c ln
a
c
]
}
×
×
γqa + γmb
γqa − γmb
M
∏
n=0
1−
γmb
γna
1 +
γmb
γna
×
×
∞
∏
n=M+1
(
1+
γmb
Γnb
)(
1+
γmb
Γnc
)(
1−
γmb
γna
)
(
1−
γmb
Γnb
)(
1−
γmb
Γnc
)(
1+
γmb
γna
) ,
(25)
1 −
γmb
γ0
1 +
γmc
Γ0
M
∏
n=0
(
1 −
γmc
Γnb
) (
1 −
γmc
Γnc
)
(
1 +
γmc
Γnb
) (
1 +
γmc
Γnc
) =
= −ρmc exp
{
−
2γmc
π
[
b ln
a
b
+ c ln
a
c
]
}
×
×
γqa + γmc
γqa − γmc
M
∏
n=0
1 −
γmc
γna
1 +
γmc
γna
×
×
∞
∏
n=M+1
(
1+
γmc
Γnb
) (
1+
γmc
Γnc
)(
1−
γmc
γna
)
(
1−
γmc
Γnb
) (
1−
γmc
Γnc
)(
1+
γmc
γna
) .
(26)
Вибираючи достатньо велике M (зазвичай, на
практицi достатньо обмежитися значеннями 5 або
6 [2]), можна замiнити з достатньо малою похиб-
кою всi {Γns} при n>M у правiй частинi (24) – (26)
їхнiми асимптотичними величинами (18). Слiд
звернути увагу на один момент: оскiльки змiщенi
нулi {Γns} асимптотично не вiдрiзняються вiд ну-
лiв {γns}, то на перший погляд здається, що правi
частини рiвнянь (25) – (26) мiстять дiлення на 0.
Проте слiд розглядати не самi знаменники, а вiд-
ношення ρms до змiщених нулiв – воно вже не бу-
де сингулярним, а збiгатиметься до деякого скiн-
ченного числа. Замiнюючи змiщенi нулi вищого за
M порядку незмiщеними, можна виразити першi
2M+1 рiвнянь системи (24) – (26) наступним чи-
ном:
Q(γ0) = t0 Q(−γ0),
Q(γmb) = tmb Q(−γmb),
Q(γmc) = tmc Q(−γmc).
(27)
Тут t0 i tms визначаються з системи (24) – (26),
m = 1, 2, . . . , M ; функцiя Q(w) має вигляд
Q(w)=
(
1−
w
γ0
) M
∏
n=1
(
1−
w
Γnb
) (
1−
w
Γnc
)
. (28)
Перепишемо останню так:
Q(w) =
(
1−
w
γ0
) M
∏
n=1
(
1−
w
γnb
)(
1−
w
γnc
)
×
×
1+
F0
1−
w
γ0
+
M
∑
n=1
Fnb
1−
w
γnb
+
Fnc
1−
w
γnc
,
(29)
де додатковий множник враховує збурення, об-
умовленi змiщенням нулiв iз точок {γms} у {Γms}.
Пiдстановка виразiв (29) у рiвняння (27) приво-
дить до системи лiнiйних рiвнянь вiдносно коефi-
цiєнтiв {F0}, {Fnb} i {Fnc}, яку вдається розв’яза-
ти чисельно.
Таким чином, використання модифiкованого ме-
тоду лишкiв призвело до розв’язання допомiжної
системи рiвнянь (24) – (26) вiдносно невiдомих F0,
Fmb i Fmc. Зазначимо, що, при виборi геометри-
чних параметрiв хвилеводу таким чином, щоб вiд-
ношення b/a було рацiональним числом, у систе-
мi (24) – (26) може з’явитись певна кiлькiсть одна-
кових рiвнянь. Це пов’язано з тим, що при тако-
му виборi вiдношення b/a хвильовi числа γmb i γmc
можуть спiвпасти (наприклад, при b/a=3/4 маємо
γ3b =γ1c). У цьому випадку слiд прирiвняти вiдпо-
вiднi невiдомi величини (для нашого конкретного
прикладу – F3b=F1c).
Отримавши з рiвнянь (27) значення {F0}, {Fnb}
i {Fnc}, побудуємо функцiю Q(w) з урахуванням
формули (29). Тодi шукана функцiя g(w) матиме
вигляд
g(w) =
q sin qπ
b
a
γqa + w
×
× exp
{
γqa + w
π
[
b log
a
b
+ c log
a
c
]
}
×
×
Q(w)
Q(−γqa)
M
∏
n=1
1 +
γqa
γna
1 −
w
γna
×
×
∞
∏
n=M+1
(
1 −
w
γnb
)(
1 −
w
γnc
) (
1 +
γqa
γna
)
(
1 +
γqa
γnb
)(
1 +
γqa
γnc
) (
1 −
w
γna
) .
(30)
М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура 59
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
Невiдомi амплiтуднi коефiцiєнти {An} виражаю-
ться через функцiю g(w) наступним чином:
An =
res
w→γna
g(w)
n sin nπb/a
, n = 1, 2, 3, . . . (31)
Провiвши аналогiчнi мiркування, визначимо ам-
плiтуди дифрагованих полiв в областях B, C i D:
Bm1 =
(−1)mπ
2aγmbδmb
g(−γnb),
Bm2 =
(−1)mπ
2aγmbδmbρmb
g(−γnb),
Cm1 =
π
2aγmcδmc
g(−γnc),
Cm2 =
π
2aγmcδmcρmc
g(−γnc),
Dm = g(γma).
(32)
Таким чином, модифiкований метод лишкiв до-
зволив отримати амплiтуди нормальних хвиль ди-
фрагованих полiв у всiх областях хвилеводу.
При проведеннi чисельних розрахункiв в отри-
маних виразах слiд замiнити нескiнченнi добутки
i суми скiнченними. Похибку такої редукцiї було
визначено в [1]. Так, для добутку
N
∏
n=1
(
1 −
α
γnb
)
exp
bα
nπ
вона не перевищує |αb/π|2/N , якщо тiльки
|αb/π|2/N �1.
2. ЧИСЕЛЬНI РЕЗУЛЬТАТИ
Для iлюстрацiї отриманих результатiв розгля-
немо конкретний випадок – хвилевiд з розмiрами
b=3a/4, c=a/4, l=a.
Розглянемо коефiцiєнт вiдбиття Va – вiдношен-
ня середнього потоку потужностi вiдбитої хвилi ua
2
в областi A до середнього потоку потужностi q-ої
моди, яка набiгає в областi A на межу розподi-
лу пiдобластей x1 =0, x3∈ [0, a]. Вiн визначається
формулою
Va =
a
∫
0
Re
[
σ12
(
∂ua
2
∂t
)∗]
dx3
a
∫
0
Re
[
σ12
(
∂ui
2
∂t
)∗]
dx3
. (33)
Пiсля тривiальних перетворень отримуємо:
Va =
Na
∑
n=0
Vn, Vn =
|γna|
|γqa|
|An|
2. (34)
Згiдно з виразом (34), Va подано у виглядi суми
енергетичних коефiцiєнтiв збурення Vn нормаль-
них SH-хвиль в областi A.
Коефiцiєнт проникнення Wd – вiдношення се-
реднього потоку потужностi хвилi ua
2 , що пройшла
в область D, до середнього потоку потужностi q-ої
моди, що набiгає в областi A – визначається фор-
мулою
Wd =
Na
∑
n=0
Wn, Wn =
|γna|
|γqa|
|Dn|
2. (35)
Аналогiчно коефiцiєнти проникнення хвилi в пi-
добластях B i C (див. рис. 1) визначаються як
вiдношення середнього потоку потужностi хвиль
в пiдобластях B або C до середнього потоку поту-
жностi q-ої нормальної хвилi, що набiгає на розрiз
у пiдобластi A:
Wb =
ωµ
2γqa
b
a
{
Nb
∑
n=1
δnbγnb
(
|Bn1|
2
− |Bn2|
2
)
+
+2Re
∞
∑
n=Nb+1
δnbγnb i Im
(
Bn1B
∗
n2 e−γnbl
)
}
,
(36)
Wc =
ωµ
2γqa
c
a
{
Nc
∑
n=1
δncγnc
(
|Cn1|
2
− |Cn2|
2
)
+
+2Re
∞
∑
n=Nc+1
δncγnc i Im
(
Cn1C
∗
n2 e−γncl
)
}
.
(37)
Тут Na, Nb, Nc – кiлькiсть бiжучих мод в обла-
стях A, B i C вiдповiдно. Першi доданки у ви-
разах (36), (37) визначають iнтенсивнiсть потоку
потужностi бiжучих мод, а другi – внесок неодно-
рiдних мод.
Результат падiння нульової моди на розрiз оче-
видний – вiдповiдно до властивостей поверхонь
хвилеводу i розрiзу, потiк її енергiї проходить в
областi B i C, роздiлившись на двi частини, про-
порцiйно розмiрам b i c. Вiдбита хвиля у цьому
випадку вiдсутня.
Розглянемо дифракцiю першої нормальної хви-
лi на розрiзi (q=1). При цьому хвильовий розмiр
областi A змiнюється в межах π<kta<2π, тобто
однорiдними у нiй будуть нульова i перша моди.
Згiдно з побудованим розв’язком весь дiапазон
змiни хвильового розмiру областi A природним чи-
ном дiлиться на два iнтервали:
60 М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
а б
Рис. 2. Залежностi енергетичних коефiцiєнтiв вiдбиття i проходження вiд хвильової величини kta:
а – коефiцiєнти вiдбиття Va i проходження Wd; б – коефiцiєнти проходження в областях B, C i D – Wb, Wc, Wd
1) В областях B i C однорiдними будуть лише
нульовi нормальнi хвилi. Тому їхнi хвильо-
вi розмiри не можуть перевищувати ktb<π i
ktc<π вiдповiдно. Оскiльки b=3a/4, c=a/4,
то для областi A цi обмеження виглядають
так: kta<4π/3 i kta<4π. Проте, оскiльки роз-
глянутi величини kta не перевищують 2π,
то перший iнтервал має бути визначено як
π<kta<4π/3.
2) В областi B однорiдними будуть нульова i пер-
ша моди, тобто маємо 4π/3 < kta < 2π. Заува-
жимо, що в областi C, як i ранiше, однорiдною
залишається тiльки нульова мода.
Хвильовi властивостi областi D повнiстю аналогi-
чнi до властивостей областi A.
На рис. 2, а зображено залежностi коефiцiєн-
тiв вiдбиття Va в областi A i проходження Wd
в область D першої моди вiд хвильового розмi-
ру kta=aω/ct. У розглянутому дiапазонi частот
чергуються дiлянки зростання й спадання коефi-
цiєнта проникнення. Як показують розрахунки,
при подальшому збiльшеннi хвильового розмiру
kta хiд кривих стає бiльш плавним i при kta≥7
область хвилеводу, яка мiстить трiщину, стає пра-
ктично звукопрозорою.
Звiсно, особливої уваги заслуговують випадки
повного вiдбиття першої нормальної хвилi, котра
набiгає на трiщину (Va =1). Згiдно з рис. 2, а, це
спостерiгається при kta≈4.74 i kta≈5.94. Цю си-
туацiю iлюструє рис. 3, на якому зображено роз-
подiл амплiтуди перемiщення в околi трiщини при
kta≈4.7365 (градацiї вiдтiнкiв вiд бiлого до чор-
ного вiдповiдають дiапазону модулiв перемiщення
вiд максимуму до нуля). З графiка видно, що хви-
Рис. 3. Поле амплiтуди перемiщення в околi трiщини
на частотi вiдсiкання (kta=4.74)
льове поле за трiщиною на цiй частотi практично
не збуджується.
Розрахунок амплiтудних множникiв для однорi-
дних мод в пiдобластях дає
|A0| = 0, |A1| = 1,
|B01| = |B02| = 0.23, |B11| = |B12| = 1.23,
|C01| = |C02| = 0.69, |D0| = |D1| = 0.
Звiдси випливає, що в областях A, B i C назустрiч
одна однiй поширюються хвилi з однаковими ам-
плiтудами i це призводить до утворення стоячих
хвиль. В областi A стояча хвиля формується пер-
шими модами, в областi B – нульовими i першими,
в областi C – нульовими. В областi D амплiтуди
бiжучих хвиль дорiвнюють нулю, поле утворює-
ться за рахунок неоднорiдних хвиль з номерами
М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура 61
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
а б
Рис. 4. Поле вектора iнтенсивностi в околi трiщини:
a – при kta=4.57; б – при kta=5.94
n>1 i локалiзується поблизу перерiзу x=b. Таким
чином, поле у хвилеводi з трiщиною на так званих
частотах вiдсiкання (kta≈4.74, kta≈5.94) можна
охарактеризувати як просторовий резонанс у хви-
леводi з трiщиною скiнченної довжини.
На рис. 2, б показанi залежностi коефiцiєнтiв
проходження в областi B, C i D вiд хвильо-
вої ширини kta. Очевидно, що при змiнi kta вiд
π до 2π спостерiгається складне спiввiдношення
мiж потоками енергiї в областях B i C. Так, при
π<kta≤5.8, за винятком вузької смуги, бiльша ча-
стина енергiї проходить крiзь область C, хоча вона
й вужча за область B. При kta>5.8 справедливо
Wb >Wc.
Iще бiльш цiкавою є поява на рис. 2, б дiля-
нок, для яких один з коефiцiєнтiв Wb або Wc стає
вiд’ємним. Це означає, що в однiй з областей B чи
C потiк енергiї поширюється у напрямку, зворо-
тному до напрямку поширення хвилi в областi A.
Такi ситуацiї iлюструє рис. 4, , на якому показано
поле вектора iнтенсивностi (середнього потоку по-
тужностi за перiод T =2π/ω) в околi трiщини хви-
леводу. Тут стрiлочки починаються в точках, для
яких проводився розрахунок, їхнi напрямки визна-
чають напрям потоку потужностi. Шуканий ве-
ктор iнтенсивностi обчислювався за вiдомою фор-
мулою [12]:
I = −
1
2
Re
[
σ ·
(
∂u
∂t
)∗]
= −
ω
2
Re [iσ ·u∗] , (38)
де σ – тензор напруження; u – вектор змiщення.
При розглядi плоскої задачi вектор iнтенсивно-
стi I ={I1, I3} має лише двi компоненти:
I1 =−
ω
2
Re [i σ12u
∗
2] , I3 =−
ω
2
Re [i σ32u
∗
2] , (39)
за якими й побудовано поле вектора I, показане на
рис. 4. Оскiльки виявилося, що абсолютнi значен-
ня вектора I можуть сильно змiнюватись вiд точ-
ки до точки, роблячи польову картину малоiнфор-
мативною, довжини побудованих стрiлочок вiдпо-
вiдають розподiлу логарифму модуля вектора iн-
тенсивностi, нормованого на свiй мiнiмум. Це до-
зволило суттєво вирiвняти довжини стрiлок, але,
звiсно, призвело до певної втрати iнформацiї.
Рис. 4, а вiдповiдає значенню kta=4.57 (див.
рис. 2, б), коли Wb <0, тобто потiк енергiї з обла-
стi A проходить крiзь область C, пiсля чого одна її
частина прямує в область D, а друга повертається
в B. На рис. 4, б (kta=5.94) показана ситуацiя, ко-
ли Wc <0, тобто вже потiк енергiї, який виходить
з областi B, подiляється на двi частини, що поши-
рюються в областях D i C вiдповiдно.
ВИСНОВКИ
Розглянуто задачу поширення нормальних SH-
хвиль у хвилеводi з розрiзом скiнченної довжи-
ни. За допомогою модифiкованого методу лишкiв
аналiтичної функцiї нескiнченну систему рiвнянь
вiдносно невiдомих амплiтудних коефiцiєнтiв зве-
дено до швидко збiжної допомiжної системи, яка
розв’язувалась чисельно. Вирази для амплiтуд ди-
фрагованих полiв представлено у виглядi збiжних
нескiнченних рядiв. На основi отриманих резуль-
татiв побудовано графiки залежностi енергети-
чних коефiцiєнтiв вiдбиття й проникнення в пiдо-
бластi вiд хвильової ширини хвилеводу kta.
Показано, що в дiапазонi π<kta<2π залежностi
енергетичних коефiцiєнтiв мають досить складний
характер, а саме:
• можна видiлити дiапазони змiни величини
kta, де коефiцiєнт вiдбиття Va бiльший за ко-
ефiцiєнт проходження Wd, i навпаки;
62 М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2013 – 2014. Том 16, N 1. С. 54 – 63
• iснують частоти, на яких область трiщини у
хвилеводi стає замкненою для падаючої хвилi,
тобто коефiцiєнт вiдбиття становить Va =1;
• поле вектора iнтенсивностi в околi трiщини
суттєво змiнюється в залежностi вiд хвильо-
вого розмiру kta, причому можуть спостерiга-
тись вiд’ємнi значення потокiв енергiї в обла-
стях B або C.
1. Семкiв М. Я. Дифракцiя нормальних SH-хвиль у
хвилеводi з розрiзом // Акуст. вiсн.– 2011.– 14,
№ 2.– С. 57–69.
2. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории
волноводов.– М.: МИР, 1974.– 328 с.
3. Сторожев В. И., Павлюшина Е. Ю. Нормаль-
ные упругие волны в волноводе из состыкованных
под углом анизотропных полуслоев.– Актуальнi
аспекти фiзико-механiчних дослiджень. Акустика
i хвилi: К.: Наук. думка, 2007.– 331 – 338 с.
4. Грiнченко В. Т., Вовк I. В., Маципура В. Т. Основи
акустики.– К.: Наук. думка, 2007.– 640 с.
5. Гончарова Г. Ю., Мацыпура В. Т. Распростране-
ние звука в волноводе с изломом // Акуст. вiсн.–
1998.– 1, № 2.– С. 57–64.
6. Городецкая Н. С. Дифракция волн Рэлея – Лэмба
на вертикальной границе в составном упругом вол-
новоде // Акуст. вiсн.– 2000.– 3, № 1.– С. 23–35.
7. Мацыпура В. Т. Взаимодействие волны с угловой
неоднородностью в волноводе // Электроника и
связь.– 1997.– 2, № 3.– С. 25–28.
8. Marcuritz N. Waveguide handbook.– New York:
Dover, 1964.– 423 p.
9. Marcuritz N., Felsen L. Radiation and scattering of
waves.– New York: IEEE Press, 1972.– 888 p.
10. Hurd R. A., Gruenberg H. H-plane bifurcation of
rectangular waveguides // Can. J. Phys.– 1954.– 32.–
P. 694–701.
11. Buyukaksoy A., Polat B. A bifurcated waveguide
problem // Bull. Tech. Univ. Istanbul.– 1999.– 51.–
P. 196–202.
12. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические
колебания и волны в упругих телах.– К.: Наук.
думка, 1981.– 284 с.
13. Викторов И. А. Физические основы применения
ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике.–
М.: Наука, 1966.– 168 с.
14. Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в
твердых телах.– М.: Наука, 1981.– 288 с.
15. Вайнштейн Л. А. Теория дифракции и метод
факторизации.– М.: Сов. радио, 1966.– 432 с.
16. Титчмарш Е. Теория функций.– М.: Наука, 1980.–
464 с.
М. Я. Семкiв, Г. М. Зражевський, В. Т. Маципура 63
|