Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей
В статье дано описание двух подходов, позволяющих применить метод частичных областей в тех случаях, когда смежные частичные области пересекаются. Сравнение эффективности подходов проведено на примере построения решения задачи о распространении плоской волны в круглом цилиндрическом волноводе со сфер...
Saved in:
| Date: | 2015 |
|---|---|
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2015
|
| Series: | Акустичний вісник |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116239 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей / И.В. Вовк, В.Т. Мацыпура, Я.П. Троценко // Акустичний вісник — 2015. —Т. 17, № 2. — С. 15-22. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-116239 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1162392017-04-23T03:03:11Z Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей Вовк, И.В. Мацыпура, В.Т. Троценко, Я.П. В статье дано описание двух подходов, позволяющих применить метод частичных областей в тех случаях, когда смежные частичные области пересекаются. Сравнение эффективности подходов проведено на примере построения решения задачи о распространении плоской волны в круглом цилиндрическом волноводе со сферической полостью. У статті дано опис двох підходів, які дозволяють застосувати метод часткових областей у тих випадках, коли суміжні часткові області перетинаються. Порівняння ефективності підходів проведено на прикладі побудови розв'язку задачі про поширення плоскої хвилі у круглому циліндричному хвилеводі зі сферичною порожниною. The paper deals with describing of two approaches allowing the application of a method of partial domains in the cases of intersecting adjacent subdomains. The efficiency of two approaches is compared on an example of construction of a solution for the problem on propagation of a plane wave in a circular cylindrical waveguide with a spherical cavity. 2015 Article Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей / И.В. Вовк, В.Т. Мацыпура, Я.П. Троценко // Акустичний вісник — 2015. —Т. 17, № 2. — С. 15-22. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116239 534.1 ru Акустичний вісник Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В статье дано описание двух подходов, позволяющих применить метод частичных областей в тех случаях, когда смежные частичные области пересекаются. Сравнение эффективности подходов проведено на примере построения решения задачи о распространении плоской волны в круглом цилиндрическом волноводе со сферической полостью. |
| format |
Article |
| author |
Вовк, И.В. Мацыпура, В.Т. Троценко, Я.П. |
| spellingShingle |
Вовк, И.В. Мацыпура, В.Т. Троценко, Я.П. Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей Акустичний вісник |
| author_facet |
Вовк, И.В. Мацыпура, В.Т. Троценко, Я.П. |
| author_sort |
Вовк, И.В. |
| title |
Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей |
| title_short |
Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей |
| title_full |
Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей |
| title_fullStr |
Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей |
| title_full_unstemmed |
Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей |
| title_sort |
сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2015 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116239 |
| citation_txt |
Сравнение двух подходов к решению волновых задач методом частичных областей при наличии пересекающихся областей / И.В. Вовк, В.Т. Мацыпура, Я.П. Троценко // Акустичний вісник — 2015. —Т. 17, № 2. — С. 15-22. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Акустичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT vovkiv sravneniedvuhpodhodovkrešeniûvolnovyhzadačmetodomčastičnyhoblastejprinaličiiperesekaûŝihsâoblastej AT macypuravt sravneniedvuhpodhodovkrešeniûvolnovyhzadačmetodomčastičnyhoblastejprinaličiiperesekaûŝihsâoblastej AT trocenkoâp sravneniedvuhpodhodovkrešeniûvolnovyhzadačmetodomčastičnyhoblastejprinaličiiperesekaûŝihsâoblastej |
| first_indexed |
2025-07-08T10:04:28Z |
| last_indexed |
2025-07-08T10:04:28Z |
| _version_ |
1837072718837579776 |
| fulltext |
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 2. С. 15 – 22
УДК 534.1
СРАВНЕНИЕ ДВУХ ПОДХОДОВ К РЕШЕНИЮ
ВОЛНОВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ
ПРИ НАЛИЧИИ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОБЛАСТЕЙ
И. В. ВО В К1, В. Т. МА Ц Ы П УР А2∗, Я. П. ТРО Ц ЕН К О2
1Институт гидромеханики НАН Украины
ул. Желябова, 8/4, 03680, ГСП, Киев-180, Украина
2Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко
ул. Владимирская, 64/13, 01601, ГСП, Киев, Украина
∗E-mail: mnivtt@gmail.com
Получено 26.06.2015
В статье дано описание двух подходов, позволяющих применить метод частичных областей в тех случаях, когда
смежные частичные области пересекаются. Сравнение эффективности подходов провдено на примере построения
решения задачи о распространении плоской волны в круглом цилиндрическом волноводе со сферической полостью.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: цилиндрический волновод, сферическая полость, метод частичных областей, закон сохра-
нения энергии
У статтi дано опис двох пiдходiв, якi дозволяють застосувати метод часткових областей у тих випадках, коли
сумiжнi частковi областi перетинаються. Порiвняння ефективностi пiдходiв проведено на прикладi побудови
розв’язку задачi про поширення плоскої хвилi у круглому цилiндричному хвилеводi зi сферичною порожниною.
КЛЮЧОВI СЛОВА: цилiндричний хвилевiд, сферична порожнина, метод часткових областей, закон збереження
енергiї
The paper deals with describing of two approaches allowing the application of a method of partial domains in the cases
of intersecting adjacent subdomains. The efficiency of two approaches is compared on an example of construction of a
solution for the problem on propagation of a plane wave in a circular cylindrical waveguide with a spherical cavity.
KEY WORDS: cylindrical waveguide, spherical cavity, method of partial domains, law of energy conservation
ВВЕДЕНИЕ
Как известно [1, 2], метод частичных областей
широко и эффективно используется при изучении
проблем, связанных с излучением и рассеивани-
ем волн различной природы. Основные результа-
ты, достигнутые с помощью этого метода, отно-
сятся к тем случаям, когда смежные частичные
области не пересекаются (т. е. имеют некую общую
границу). В случае же пересечения смежных обла-
стей (см., например, рис. 1) традиционные спосо-
бы применения указанного метода могут оказа-
ться неэффективными [3, 4].
Целью данной работы является описание двух
подходов, позволяющих применить метод части-
чных областей в тех случаях, когда смежные обла-
сти пересекаются. Сравнение эффективности пре-
дложенных походов проводится на примере по-
строения решения задачи о распространении пло-
ской волны в круглом цилиндрическом волноводе
со сферической полостью.
Рис. 1. Пример области S, состоящей из двух
пересекающихся областей S1 и S2:
S0 – общая подобласть для S1 и S2;
Γ1 – граница области S1;
Γ2 – граница области S2
c© И. В. Вовк, В. Т. Мацыпура, Я. П. Троценко, 2015 15
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 2. С. 15 – 22
Рис. 2. Геометрия волновода
1. ПОСТАНОВКА И ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕ-
НИЯ ЗАДАЧИ
Рассмотрим волновод, который состоит из двух
полубесконечных цилиндрических труб с круго-
вым сечением, соединенных посредством сфери-
ческой полости. На рис. 2 показано сечение вол-
новода, причем ось симметрии последнего лежит
в плоскости сечения. Радиус трубы обозначим как
R0, а радиус сферической полости – r0. Все по-
верхности волновода считаем акустически жестки-
ми. Внутренность волновода заполнена идеальной
сжимаемой жидкостью с плотностью ρ и скоро-
стью звука c.
Введем две системы координат: цилиндриче-
скую (x, R, ψ) и сферическую (r, θ, ψ) с общим на-
чалом в точке O. Направим ось x цилиндрической
системы координат вдоль оси трубы.
Пусть слева на сферическую полость набегает
плоская гармоническая волна, соответствующая
нулевой моде цилиндрического волновода, с часто-
той ω. В таком случае звуковое поле будет обла-
дать радиальной симметрией, т. е. не будет зави-
сеть от угловой координаты ψ. Задача состоит в
определении поля в волноводе.
Решение задачи будем проводить на основе ме-
тода частичных областей [1]. В соответствии с
ним вся область существования звукового поля
делится на три частичные области (см. рис. 2).
Область I – полубесконечная труба −∞<x≤−x0,
0≤R≤R0; область II – сферическая полость ра-
диуса r0; область III – полубесконечная труба
x0≤x<∞, 0≤R≤R0. Такое выделение подобла-
стей представляется вполне естественным, одна-
ко имеет одну особенность, не присущую традици-
онным случаям применения метода – частичные
области на рис. 2 пересекаются. Такая ситуация
требует нестандартного подхода к построению ре-
шения задачи. Здесь возможны два варианта, ко-
торые будут рассмотрены ниже.
Вариант 1. Поле давления в области I запишем
в виде суперпозиции мод цилиндрического волно-
вода:
pI = exp(ik(x + x0))+
+
∞
∑
n=0
AnJ0(βnR) exp(−iγn(x+ x0)),
(1)
где βn – корни уравнения J ′
0(βR0)=0 (штрих озна-
чает производную по полному аргументу от функ-
ции Бесселя нулевого порядка); γn =
√
k2−β2
n – по-
стоянные распространения; k=ω/c – волновое чис-
ло. Здесь и далее временной множитель exp(−iωt)
в решении опущен.
Первое слагаемое в формуле (1) соответствует
набегающей плоской волне с единичной амплиту-
дой. Второе слагаемое определяет волну, отражен-
ную от сферической полости.
Поле в области III определяет волну, прошед-
шую через сферическую полость:
pIII =
∞
∑
n=0
BnJ0(βnR) exp(iγn(x− x0)) . (2)
Поле давления в области II представим в виде
суперпозиции мод сферической полости:
pII =
∞
∑
n=0
EnPn(cos θ)
jn(kr)
j′n(kr0)
. (3)
Здесь Pn(cos θ) – полиномы Лежандра; jn(kr) –
сферические функции Бесселя.
Идея состоит в том, чтобы при построении ре-
шения в полной мере использовать поля pI и pII в
зоне пересечения областей I, II и, соответственно,
pII и pIII – в зоне пересечения областей II, III. Для
этого, как показано в работе [3], условия сопряже-
ния следует записать следующим образом:
• при R∈ [0, R0]
∂pI
∂x
+ αpI =
∂pII
∂x
+ αpII, x = −x0, (4)
∂pII
∂x
+ αpII =
∂pIII
∂x
+ αpIII, x = x0; (5)
• при r=r0
∂pII
∂r
=
∂pIII
∂r
, θ = [0, θ0],
0, θ = [θ0, π − θ0 ],
∂pI
∂r
, θ = [π − θ0, π].
(6)
16 И. В. Вовк, В. Т. Мацыпура, Я. П. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 2. С. 15 – 22
Условия сопряжения полей на плоских поверх-
ностях границы частичных областей I, II и II, III
(условия (4), (5)) представляют собой линейную
комбинацию давления и производной от давления
по координате x, т. е. по нормали к указанным по-
верхностям. Здесь константа α должна быть не-
вещественной – Im α 6= 0 [3]. Условие (6) задает
сопряжение производных давления по радиальной
координате на сферической поверхности границы
частичных областей.
Вариант 2. Во втором варианте изменим гео-
метрию частичных областей. Пусть область I –
полубесконечная труба −∞<x≤−x0, 0≤R≤R0;
область III – полубесконечная труба x0≤x<∞,
0≤R≤R0; а область II – сферическая полость ра-
диуса r0 за вычетом двух шаровых сегментов, ко-
торые располагаются внутри областей I и III. Поля
в областях I и III, как и в первом варианте, опре-
деляются выражениями (1) и (2).
Для данного разбиения поле в области II запи-
шем в виде двух слагаемых:
pII = p
(1)
II + p
(2)
II , (7)
где
p
(1)
II =
∞
∑
n=0
CnJ0(βnR) exp(iγn(x+ x0))+
+
∞
∑
n=0
DnJ0(βnR) exp(−iγn(x− x0)),
(8)
p
(2)
II =
∞
∑
n=0
EnPn(cos θ)
jn(kr)
j′n(kr0)
. (9)
Слагаемое p
(1)
II в формуле (7) представляет со-
бой совокупность мод круглого цилиндрическо-
го волновода, которая позволяет удовлетворить
условия сопряжения полей на границах x=∓x0,
0≤R≤R0. Второе слагаемое (p
(2)
II ) призвано обе-
спечить выполнение граничного условия на жес-
ткой поверхности сферической полости.
Поскольку центр сферической системы коор-
динат находится внутри области II, то угловые
функции в виде полиномов Лежандра должны
иметь целочисленные индексы – n=0, 1, 2, . . .Сле-
дует, однако, отметить, что физическая грани-
ца сферической полости представляет собой толь-
ко часть сферы, задаваемую диапазоном углов
θ0≤θ≤π! −θ0 , r=r0. Для того, чтобы реализо-
вать свойства полноты и ортогональности набо-
ра функций Pn(cos θ), следует продлить грани-
чные условия на “нефизические” участки границы
сферы – 0≤θ≤θ0 и π−θ0≤θ≤π, r=r0 [2]. Прин-
ципиально, что при этом граничные условия мы
продолжаем только для второго слагаемого p
(2)
II в
формуле (7). Вообще говоря, функция, задающая
граничное условие для решения p
(2)
II на “нефизиче-
ских” участках границы (0≤θ≤θ0 и π−θ0≤θ≤π,
r=r0), может быть выбрана произвольно [2]. По-
скольку поверхность сферической полости акусти-
чески жесткая, то целесообразно выбрать продол-
жение граничного условия на участках 0≤θ≤θ0 и
π−θ0≤θ≤π, r=r0 в виде равенства нулю произ-
водной функции p
(2)
II по радиальной координате.
Таким образом, условия сопряжения звуковых
полей на границах частичных областей и гранич-
ное условие на поверхности жесткой сферической
полости следует записать так:
• при R∈ [0, R0]
pI = pII, x = −x0, (10)
∂pI
∂x
=
∂pII
∂x
, x = −x0, (11)
pII = pIII, x = x0, (12)
∂pII
∂x
=
∂pIII
∂x
, x = x0, (13)
• при r=r0
∂pII
∂r
= 0, θ = [θ0, π − θ0],
∂p
(2)
II
∂r
= 0, θ = [0, θ0] ∪ [π − θ0, π].
(14)
Далее следует применить стандартную процеду-
ру перехода от функциональной системы уравне-
ний (4) – (6) или (10) – (14) к бесконечной системе
линейных алгебраических уравнений второго ро-
да, многочисленные описания которой можно най-
ти в монографии [1]. При этом для условий (4), (5)
и (10) – (13) используется ортогональность набо-
ра функций J0(βnR) на отрезке R∈ [0, R0], а для
условий (6) и (14) – ортогональность набора функ-
ций Pn(cos θ), θ=[0, π]. Для получения количе-
ственных оценок системы линейных алгебраиче-
ских уравнений решаются методом редукции.
В качестве критерия сравнительной оценки эф-
фективности предложенных выше подходов к ре-
шению задачи естественно выбрать выполнение
закона сохранения энергии. Таким образом, следу-
ет проверять насколько точно выполняется равен-
ство V +W =1. Здесь V и W – энергетические ко-
эффициенты отражения и прохождения плоской
И. В. Вовк, В. Т. Мацыпура, Я. П. Троценко 17
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 2. С. 15 – 22
волны при ее падении на сферическую полость,
т. е. отношения среднего потока мощности в отра-
женной и прошедшей волне соответственно к сре-
днему потоку мощности в падающей плоской вол-
не. В результате несложных преобразований легко
показать, что
V =
∞
∑
n=0
|An|
2(J0(βnR0))
2Re (γn),
W =
∞
∑
n=0
|Bn|
2(J0(βnR0))
2Re (γn).
(15)
Понятно, что в формулах (15) присутствуют толь-
ко однородные моды, для которых Re (γn)>0. Ка-
ждое слагаемое в этих суммах характеризует энер-
гию отдельной моды.
2. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Следует подчеркнуть, что в данной статье ис-
следуется только вопрос эффективности для двух
вариантов построения решения задачи без рас-
смотрения особенностей процесса распростране-
ния волны в волноводе со сферическим расшире-
нием. Авторы надеются посвятить такому анализу
отдельную публикацию.
Для начала рассмотрим результаты расчетов,
проведенных согласно первому варианту реше-
ния задачи. Невещественную константу положим
α= ia, где a – вещественная неотрицательная ве-
личина.
Выясним влияние параметра a на работу пер-
вого вычислительного алгоритма, контролируя
выполнение закона сохранения энергии. Рис. 3 ил-
люстрирует степень отличия суммы V +W от еди-
ницы при изменении a в широких пределах – от
10−1 до 108. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют волно-
вым радиусам трубы R0/λ=0.17, 0.7 и 1.7. Здесь
λ – длина волны; количество удерживаемых мод в
цилиндрической трубе равно N1 =20, а в сфериче-
ской полости – N2 =50. Для кривой 4 R0/λ состав-
ляет 1.7, а количество мод увеличено до N1 =33 и
N2 =70 соответственно.
На рис. 3 отношение радиуса сферической по-
лости к радиусу трубы намеренно выбрано доста-
точно большим – r0/R0=3. Как видно из графика,
уже при a>5 · 103 значение суммы энергетических
коэффициентов V +W стабилизируется. Для кри-
вых 1, 2, 3 оно равно 1.000000, 1.000036, 1.002838
соответственно, что является весьма хорошим ре-
зультатом. Рост погрешности с увеличением вол-
новых размеров волновода представляется впол-
не закономерным. Если при R0/λ=1.7 (кривая 4)
Рис. 3. Зависимость V +W
от величины константы a (r0/R0 =3):
1 – R0/λ=0.17; N1 =20, N2 =50;
2 – R0/λ=0.7; N1 =20, N2 =50;
3 – R0/λ=1.7; N1 =20, N2 =50;
4 – R0/λ=1.7; N1 =33, N2 =70
увеличить число мод до N1 =33, N2 =70, то зна-
чение суммы энергетических коэффициентов ста-
билизируется при величине V +W =1.001476. Это
свидетельствует о хорошей сходимости решения
при редукции бесконечной системы линейных ал-
гебраических уравнений.
Теперь посмотрим, как зависит точность выпол-
нения условия V +W =1 от изменения частоты.
На рис. 4 показаны величины V +W как функ-
ции волнового радиуса трубы R0/λ для трех ва-
риантов отношения радиусов сферической поло-
сти и трубы – r0/R0=1.2, 2 и 3. Диапазон ис-
следуемого изменения волнового радиуса составил
0.01≤R0/λ≤1.6 с шагом 0.028. Число удерживае-
мых мод N1 =20, N2 =50, при величине константы
a=4 · 104.
Как видно из графика, даже при относительно
большом r0/R0 =3 и значительном волновом ра-
диусе трубы R0/λ наблюдается достаточно высо-
кое качество выполнения закона сохранения энер-
гии. Однако здесь можно говорить о двух ин-
тервалах изменения величины R0/λ. На первом
из них (R0/λ<0.61) точность выполнения зако-
на сохранения энергии очень высока, а на вто-
ром R0/λ≥0.61) – несколько снижается. Это по-
ведение имеет достаточно естественное объясне-
ние. Как известно, волновые размеры первых ре-
зонансных радиусов жесткой трубы составляют
(R0/λ)рез =0.61, 1.117 и 1.619. Данные величины
определяют критические частоты для первой, вто-
рой и третьей мод в трубе соответственно. Для
нулевой моды, которая является плоской волной,
критическая частота в жесткой трубе равна ну-
лю. Таким образом, при возрастании R0/λ свыше
0.61, помимо нулевой моды, последовательно ста-
новятся однородными следующие высшие моды
цилиндрического волновода. Таким образом, не-
18 И. В. Вовк, В. Т. Мацыпура, Я. П. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 2. С. 15 – 22
Рис. 4. Частотные зависимости суммы коэффициентов V +W (вариант 1):
а – r0/R0 = 1.2, б – r0/R0 = 2, в – r0/R0 = 3
сколько худшее качество выполнения закона со-
хранения энергии в соответствующем диапазоне
частот объясняется более сложной структурой по-
ля в волноводе.
Теперь обратимся к результатам аналогичных
расчетов, проведенных согласно второму вариан-
ту решения задачи. На рис. 5 показаны часто-
тные зависимости суммы энергетических коэффи-
циентов V +W при тех же параметрах, что и на
рис. 4. Как видно, качество выполнения закона со-
хранения энергии в областиR0/λ>0.61 значитель-
но снизилось, особенно следует отметить наличие
сильных выбросов на некоторых частотах.
Можно предположить, что ухудшение качества
выполнения закона сохранения энергии связано
с особенностями задания граничных условий на
“нефизических” участках границы (0≤θ≤θ0 и
π−θ0≤θ≤π, r=r0). Для их анализа вернемся к
системе уравнений (10) – (14).
Напомним, что во втором варианте решения за-
дачи область II – это сферическая полость ради-
уса r0 за вычетом двух шаровых сегментов, ко-
торые располагаются внутри областей I и III. На
сферических поверхностях упомянутых сегментов
(0≤θ≤θ0 и π−θ0≤θ≤π, r=r0) продолжение гра-
ничных условий было выбрано в виде равенства
нулю производной по радиальной координате от
функции p
(2)
II , являющейся частью общего реше-
ния pII =p
(1)
II +p
(2)
II для области II. Поскольку на
жесткой поверхности сферической полости обну-
ляется именно производная ∂pII/∂r, то ∂p
(2)
II /∂r
здесь не может быть равна нулю. Таким обра-
зом, продолжение граничного условия на поверх-
ности 0≤θ≤θ0 и π−θ0≤θ≤π, r=r0, навязывае-
мое уравнением (14), приводит к скачку производ-
ной ∂p
(2)
II /∂r. По-видимому, это и является причи-
ной существенного ухудшения качества выполне-
ния закона сохранения энергии в данном случае.
Попробуем в какой-то степени уменьшить вно-
симый скачок производной, опираясь на следую-
щие рассуждения. Давление p и радиальная коле-
бательная скорость в гармонической волне vr свя-
заны между собой посредством удельного акусти-
ческого сопротивления среды ζ:
vr ≡
1
iωρ
∂p
∂r
=
p
ζ
.
Учитывая появление при дифференцировании
множителя ik= iω/c, имеем
1
iρc
∂p
∂(kr)
=
p
ζ
.
Конечно, величина ζ в звуковом поле волновода
априори неизвестна, однако можно положить, что
она пропорциональна величине ρc с некоторым ко-
эффициентом – ζ=ρc/β. Принимая во внимание
И. В. Вовк, В. Т. Мацыпура, Я. П. Троценко 19
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 2. С. 15 – 22
Рис. 5. Частотные зависимости суммы коэффициентов V +W (вариант 2):
а – r0/R0 = 1.2, б – r0/R0 = 2, в – r0/R0 = 3
сказанное, изменим уравнение (14) функциональ-
ной системы (10) – (14) следующим образом:
∂pII
∂r
=0, r=r0, θ=[θ0, π−θ0],
∂p
(2)
II
∂(kr)
= iβp
(2)
II , r=r0, θ=[0, θ0]∪[π−θ0, π].
(16)
Теперь в новой системе уравнений (10) – (13), (16)
для второго варианта решения задачи присутству-
ет дополнительный параметр β. Чтобы сориен-
тироваться в выборе его значения, будем иссле-
довать качество выполнения закона сохранения
энергии при заведомо неудовлетворительных си-
туациях. Для этого выберем волновые размеры
трубы и сферической полости, при которых на-
блюдаются сильные выбросы в частотной хара-
ктеристике (см. рис. 5). На рис. 6 показаны гра-
фики зависимости V +W от коэффициента β для
трех таких ситуаций. Можно заметить, что опти-
мальная величина β находится в окрестности 0.1.
Оптимизируя значение β при наиболее неблаго-
приятных ситуациях, можно надеяться, что и при
других волновых размерах данный его выбор не
ухудшит ситуацию.
Соответствующие расчеты для суммы V +W
при β=0.1 представлены на рис. 7. Заметим, что
здесь пределы изменения величины V +W выбра-
ны между 0.9 и 1.1 (на рис. 5 верхняя граница рав-
на 1.3). Сравнивая графики на рис. 5 и 7, можно
отметить, что:
1) сильные выбросы, которые присутствуют в
характеристиках рис. 5, исчезли;
2) во всем частотном диапазоне качество выпол-
нения закона сохранения энергии не ухудши-
лось.
Анализируя проведенные расчеты, можно ска-
зать, что при использовании метода частичных
областей в волновых задачах, для которых име-
ет место пересечение частичных областей, более
перспективен первый вариант решения задачи. В
то же время, второй вариант (с продолжением гра-
ничных условий на “нефизические” участки грани-
цы) незаменим в тех волновых задачах, где части-
чные области не пересекаются, однако продолже-
ние условий на “нефизические” участки границы
необходимо для того, чтобы обеспечить возмож-
ность воспользоваться полнотой и ортогонально-
стью соответствующего набора функций.
Таким примером может служить задача об
излучении звука системой пересекающихся цилин-
дров [2]. Граница области, вне которой рассма-
тривается звуковое поле, показана на рис. 8 (по-
20 И. В. Вовк, В. Т. Мацыпура, Я. П. Троценко
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 2. С. 15 – 22
Рис. 6. Зависимость суммы V +W (вариант 2) от величины коэффициента β:
1 – r0/R0 =1.2, R0/λ=0.989; 2 – r0/R0 =2, R0/λ=0.95; 3 – r0/R0 =3, R0/λ=1.0517
Рис. 7. Частотные зависимости суммы коэффициентов V +W (вариант 2, β =0.1):
а – r0/R0 = 1.2, б – r0/R0 = 2, в – r0/R0 = 3
ле рассматривается во внешности системы цилин-
дров). Для описания геометрии излучателя и по-
строения решения введены две полярные систе-
мы координат – (r1, θ1) с центром в точке O1
и (r2, θ2) с центром в точке O2. Излучающая
поверхность образована частями окружностей
r1 =a1, θ
(1)
0 ≤θ1≤2π−θ
(1)
0 и r2 =a2, −θ
(2)
0 ≤θ2≤θ
(2)
0 .
На них задана нормальная составляющая коле-
бательной скорости частиц vr(a1, θ1)=F1(θ1) и
vr(a2, θ2)=F2(θ2).
Звуковое поле в точке наблюдения состоит из
полей, излучаемых каждым цилиндром, причем
излучение каждого из них должно быть опреде-
лено с учетом многократного рассеяния звука на
общей поверхности. Поэтому поле давления пары
цилиндров можно определить как сумму давлений
p1 и p2:
p = p1 + p2 =
∞
∑
n=0
A(1)
n H(1)
n (kr1) cos(nθ1)+
+
∞
∑
n=0
A(2)
n H(1)
n (kr2) cos(nθ2),
(17)
где коэффициенты A
(1)
n и A
(2)
n выбираются так,
чтобы одновременно удовлетворить граничные
условия на поверхностях обоих цилиндров.
Для классического случая разнесенных цилин-
дров, когда граничные условия задаются на пол-
ных окружностях, процедура выполнения грани-
И. В. Вовк, В. Т. Мацыпура, Я. П. Троценко 21
ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2015. Том 17, N 2. С. 15 – 22
Рис. 8. Система пересекающихся круговых цилиндров
чных условий проста и приводит к бесконечной си-
стеме линейных алгебраических уравнений второ-
го рода [5]. Использование же выражения (17) в за-
даче о паре пересекающихся цилиндров не позво-
ляет напрямую воспользоваться соответствующим
набором функций cos(nθ), поскольку на штрихо-
вых участках окружностей, показанных на рис. 8,
граничные условия не определены, а сами эти
участки вообще не являются физическими грани-
цами области и находятся вне области существо-
вания звукового поля. В задаче об излучении зву-
ка парой пересекающихся цилиндров продолже-
ние граничных условий на “нефизические” учас-
тки границы – единственно возможный вариант
решения задачи в рамках метода частичных обла-
стей.
ВЫВОДЫ
1. В рамках метода частичных областей прове-
ден сравнительный анализ двух подходов к
решению задачи о распространении плоской
волны в круглом волноводе со сферической
полостью. Для данной задачи характерно на-
личие области пересечения частичных обла-
стей, на которые разбивается вся область су-
ществования звукового поля.
2. Установлено, что при решении волновых за-
дач методом частичных областей в тех слу-
чаях, когда частичные области пересекаются,
более перспективен первый подход решения
задачи с заданием части условий сопряже-
ния для линейных комбинаций давления и его
нормальной производной по координате x.
3. Второй подход решения задачи с приравнива-
нием нулю нормальной производной от части
решения на границе одной из подобластей не-
заменим, когда граничные условия продолжа-
ются на “нефизические” участки границы, ра-
сположенные вне области существования зву-
кового поля.
4. Показано, что рациональный выбор условий
на “нефизических” границах может суще-
ственно улучшить качество выполнения зако-
на сохранения энергии, особенно при исполь-
зовании второго подхода.
1. Гринченко В. Т., Вовк И. В., Мацыпура В. Т. Вол-
новые задачи акустики.– К.: Интерсервис, 2013.–
572 с.
2. Гринченко В. Т. Развитие метода решения задач
излучения и рассеяния звука в неканонических
областях // Гидромеханика.– 1996.– 70.– С. 27-–40.
3. Вовк И. В., Гомилко А. М., Городецкая Н. С. Об
особенностях применения метода частичных обла-
стей в волновых задачах // Акуст. ж.– 1995.– 41,
№ 3.– С. 399–404.
4. Вычислительные методы в электродинамике / Под
ред. Р. Миттры.– М.: Мир, 1977.– 486 с.
5. Шендеров Е. Л. Волновые задачи гидроакустики.–
Л.: Судостроение, 1972.– 348 с.
22 И. В. Вовк, В. Т. Мацыпура, Я. П. Троценко
|