«Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ

На основе теории возмущений В.Н. Попова, модифицированной для сильновзаимодействующей бозе-системы и свободной от инфракрасных расходимостей, получены поправки высших порядков к собственно энергетическим частям полевой теории сверхтекучести. Показано, что расчет этих поправок сводится к решению у...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2008
Main Authors:	Пашицкий, Э.А., Вильчинский, С.И., Чумаченко, А.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2008
Series:	Физика низких температур
Subjects:	Жидкий гелий
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116906
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	«Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ / Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 4-5. — С. 404–413. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-116906
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1169062017-05-19T03:02:54Z «Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ Пашицкий, Э.А. Вильчинский, С.И. Чумаченко, А.В. Жидкий гелий На основе теории возмущений В.Н. Попова, модифицированной для сильновзаимодействующей бозе-системы и свободной от инфракрасных расходимостей, получены поправки высших порядков к собственно энергетическим частям полевой теории сверхтекучести. Показано, что расчет этих поправок сводится к решению уравнений типа кинетических. На основе решений этих уравнений получены температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в сверхтекучей бозе-жидкости ⁴Не. Проведен расчет температурной зависимости плотности сверхтекучей компоненты бозе-жидкости ⁴Не на основе модели сверхтекучей компоненты как суперпозиции «подавленного» за счет взаимодействия одночастичного и интенсивного парного конденсатов. На основі теорії збурень В.М. Попова, модифікованої на випадок сильної взаємодії між бозонами та вільної від інфрачервоних розбіжностей, отримано поправки вищих порядків до власне енергетичних частин польової теорії надплинності. Показано, що розрахунок цих поправок зводиться до розв’язку рівнянь типу кінетичних. На основі розв’язків цих рівнянь отримано температурні поправки до швидкостей першого та другого звуків в надплинній бозе-рідині ⁴Не. Проведено розрахунок температурно ї залежності густини надплинної компоненти бозе-рідини ⁴Не на основі моделі надплинної компоненти як суперпозиції «подавленого» за рахунок взаємодії одночастинкового та інтенсивного парного конденсатів. Using the modified Popov perturbation theory for strongly correlated Bose systems, which is free from infrared divergencies, high-order perturbative corrections to the self-energy parts of the theory of superfluidity are obtained. The calculation of these high-order corrections reduces to the solution of the kinetic equations from whence the temperature corrections to the velocities of the first and second sounds in the superfluid Bose liquid ⁴Не are calculated. The temperature dependence of the superfluid component density is found using the theoretical model of superfluidity in which the superfluid component is considered as a mixture of the interaction depleted-single-particle and intensive pair condensates. 2008 Article «Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ / Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 4-5. — С. 404–413. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 67.25.D–;67.25.dk http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116906 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Жидкий гелий Жидкий гелий
spellingShingle	Жидкий гелий Жидкий гелий Пашицкий, Э.А. Вильчинский, С.И. Чумаченко, А.В. «Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ Физика низких температур
description	На основе теории возмущений В.Н. Попова, модифицированной для сильновзаимодействующей бозе-системы и свободной от инфракрасных расходимостей, получены поправки высших порядков к собственно энергетическим частям полевой теории сверхтекучести. Показано, что расчет этих поправок сводится к решению уравнений типа кинетических. На основе решений этих уравнений получены температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в сверхтекучей бозе-жидкости ⁴Не. Проведен расчет температурной зависимости плотности сверхтекучей компоненты бозе-жидкости ⁴Не на основе модели сверхтекучей компоненты как суперпозиции «подавленного» за счет взаимодействия одночастичного и интенсивного парного конденсатов.
format	Article
author	Пашицкий, Э.А. Вильчинский, С.И. Чумаченко, А.В.
author_facet	Пашицкий, Э.А. Вильчинский, С.И. Чумаченко, А.В.
author_sort	Пашицкий, Э.А.
title	«Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ
title_short	«Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ
title_full	«Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ
title_fullStr	«Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ
title_full_unstemmed	«Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ
title_sort	«инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии іі
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Жидкий гелий
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/116906
citation_txt	«Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ / Э.А. Пашицкий, С.И. Вильчинский, А.В. Чумаченко // Физика низких температур. — 2008. — Т. 34, № 4-5. — С. 404–413. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT pašickijéa infrakrasnyeosobennostivpolevojteoriisverhtekučestiitemperaturnyepopravkikskorostâmpervogoivtorogozvukovvgeliiíí AT vilʹčinskijsi infrakrasnyeosobennostivpolevojteoriisverhtekučestiitemperaturnyepopravkikskorostâmpervogoivtorogozvukovvgeliiíí AT čumačenkoav infrakrasnyeosobennostivpolevojteoriisverhtekučestiitemperaturnyepopravkikskorostâmpervogoivtorogozvukovvgeliiíí
first_indexed	2025-07-08T11:17:46Z
last_indexed	2025-07-08T11:17:46Z
_version_	1837077330677202944
fulltext	Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5, ñ. 404–413 «Èíôðàêðàñíûå» îñîáåííîñòè â ïîëåâîé òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè è òåìïåðàòóðíûå ïîïðàâêè ê ñêîðîñòÿì ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêîâ â ãåëèè ²² Ý.À. Ïàøèöêèé Èíñòèòóò ôèçèêè, ïð. Íàóêè, 46, ã. Êèåâ, 03028, Óêðàèíà Ñ.È. Âèëü÷èíñêèé, À.Â. ×óìà÷åíêî Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Òàðàñà Øåâ÷åíêî, Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò, ïð. Ãëóøêîâà, 2, ã. Êèåâ, 03022, Óêðàèíà E-mail: sivil@mail.univ.kiev.ua Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 6 äåêàáðÿ 2007 ã. Íà îñíîâå òåîðèè âîçìóùåíèé Â.Í. Ïîïîâà, ìîäèôèöèðîâàííîé äëÿ ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùåé áîçå-ñèñòåìû è ñâîáîäíîé îò èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé, ïîëó÷åíû ïîïðàâêè âûñøèõ ïîðÿäêîâ ê ñîáñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêèì ÷àñòÿì ïîëåâîé òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî ðàñ÷åò ýòèõ ïîïðà- âîê ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé òèïà êèíåòè÷åñêèõ. Íà îñíîâå ðåøåíèé ýòèõ óðàâíåíèé ïîëó÷åíû òåìïåðàòóðíûå ïîïðàâêè ê ñêîðîñòÿì ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêîâ â ñâåðõòåêó÷åé áîçå-æèäêîñòè 4 Íå. Ïðîâåäåí ðàñ÷åò òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû áîçå-æèäêîñòè 4 Íå íà îñíîâå ìîäåëè ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû êàê ñóïåðïîçèöèè «ïîäàâëåííîãî» çà ñ÷åò âçàèìîäåé- ñòâèÿ îäíî÷àñòè÷íîãî è èíòåíñèâíîãî ïàðíîãî êîíäåíñàòîâ. Íà îñíîâ³ òåîð³¿ çáóðåíü Â.Ì. Ïîïîâà, ìîäèô³êîâàíî¿ íà âèïàäîê ñèëüíî¿ âçàºìîä³¿ ì³æ áîçîíàìè òà â³ëüíî¿ â³ä ³íôðà÷åðâîíèõ ðîçá³æíîñòåé, îòðèìàíî ïîïðàâêè âèùèõ ïîðÿäê³â äî âëàñíå åíåðãåòè÷- íèõ ÷àñòèí ïîëüîâî¿ òåîð³¿ íàäïëèííîñò³. Ïîêàçàíî, ùî ðîçðàõóíîê öèõ ïîïðàâîê çâîäèòüñÿ äî ðîç- â’ÿçêó ð³âíÿíü òèïó ê³íåòè÷íèõ. Íà îñíîâ³ ðîçâ’ÿçê³â öèõ ð³âíÿíü îòðèìàíî òåìïåðàòóðí³ ïîïðàâêè äî øâèäêîñòåé ïåðøîãî òà äðóãîãî çâóê³â â íàäïëèíí³é áîçå-ð³äèí³ 4 Íå. Ïðîâåäåíî ðîçðàõóíîê òåìïåðà- òóðíî¿ çàëåæíîñò³ ãóñòèíè íàäïëèííî¿ êîìïîíåíòè áîçå-ð³äèíè 4 Íå íà îñíîâ³ ìîäåë³ íàäïëèííî¿ êîì- ïîíåíòè ÿê ñóïåðïîçèö³¿ «ïîäàâëåíîãî» çà ðàõóíîê âçàºìîä³¿ îäíî÷àñòèíêîâîãî òà ³íòåíñèâíîãî ïàð- íîãî êîíäåíñàò³â. PACS: 67.25.D– Ñâåðõòåêó÷àÿ ôàçà 4 Íå; 67.25.dk Âèõðè è òóðáóëåíòíîñòü. Êëþ÷åâûå ñëîâà: èíôðàêðàñíûå ðàñõîäèìîñòè, òåìïåðàòóðíûå ïîïðàâêè ê ñêîðîñòÿì çâóêà, òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû. 1. Ââåäåíèå Ïîñòðîåíèå ñòðîãîé ìèêðîñêîïè÷åñêîé òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè êâàíòîâûõ áîçå-æèäêîñòåé è, â ÷àñò- íîñòè, ñâåðõòåêó÷åãî (ÑÒ) ãåëèÿ (Íå ²²) ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ âñòðå÷àåòñÿ ñ öåëûì ðÿäîì ïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé, òàêèõ, íàïðèìåð, êàê «èíôðàêðàñíàÿ àíîìàëèÿ àíãàðìîíèçìà» [1], êîòî- ðàÿ ïðèâîäèò ê íåàíàëèòè÷íîñòè ñîáñòâåííûõ ýíåð- ãèé � ik p( ) ïðè p � 0 è îáðàùåíèþ â íóëü àíîìàëüíîé ñîáñòâåííîé ýíåðãèè: �12 0 0( ) � . Ýôôåêòèâíûé ìåòîä ïðåîäîëåíèÿ ïðîáëåìû èíôðà- êðàñíûõ îñîáåííîñòåé äèàãðàìì òåîðèè âîçìóùåíèé â ðàìêàõ ìèêðîñêîïè÷åñêîé òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè áîçå- æèäêîñòè 4He áûë ïðåäëîæåí Ïîïîâûì [2]. Ñ ïîìîùüþ ðàçäåëåíèÿ ôóðüå-êîìïîíåíò ïîëåâûõ ïåðåìåííûõ � íà ìåäëåííûå � s è áûñòðûå � f îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî èìïóëüñà q0 ñ ïîñëåäóþùèì êîíòèíóàëüíûì èíòåãðèðî- âàíèåì ïî áûñòðûì ïåðåìåííûì, â ðàáîòå [2] áûë ïîëó÷åí ýôôåêòèâíûé ïåðåíîðìèðîâàííûé ôóíêöèîíàë êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîãî äåéñòâèÿ Seff . Òåîðèÿ âîçìóùå- © Ý.À. Ïàøèöêèé, Ñ.È. Âèëü÷èíñêèé, À.Â. ×óìà÷åíêî, 2008 íèé ñ èñïîëüçîâàíèåì òàêîãî ôóíêöèîíàëà, çàïèñàííîãî â ïåðåìåííûõ ôàçû �( )q è àìïëèòóäû �( )q ãèäðîäèíà- ìè÷åñêèõ ïîëåâûõ ôóíêöèé, íå ñîäåðæèò èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíîé ïðè ðàñ- ÷åòå íèçêîýíåðãåòè÷åñêèõ ñâîéñòâ èññëåäóåìîé ñèñòåìû. Â ïðèáëèæåíèè ñëàáîíåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà â [2] ïîëó- ÷åíî âûðàæåíèå äëÿ çàòóõàíèÿ ñïåêòðà ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé è ïîêàçàíî, ÷òî ïðîöåäóðó íàõîæäåíèÿ ñóì- ìû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãëàâíûõ äèàãðàìì, ïîëó÷àåìûõ â ðàìêàõ ïåðåíîðìèðîâàííîé òåîðèè âîçìóùåíèé, ìîæ- íî ñâåñòè ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé òèïà êèíåòè- ÷åñêèõ. Ïîïîâûì [2] ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ×åïìåíà–Ýíñêî- ãà–Ãèëüáåðòà [3] áûëè íàéäåíû ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé è ïîêàçàíî, ÷òî â àêóñòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ýòè ðåøå- íèÿ ñîâïàäàþò ñ âûðàæåíèÿìè äëÿ ôóíêöèé Ãðèíà, ïî- ëþñà êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ñî ñêîðîñòÿìè ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêîâ â ãåëèè ²² ïðè êîíå÷íûõ òåìïå- ðàòóðàõ T � 0. Ïðè T � 0 ýòè ðåçóëüòàòû ñâîäÿòñÿ ê èçâåñ- òíûì ðåçóëüòàòàì Áåëÿåâà [4]. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî èñïîëüçîâàííàÿ â [2] ìîäåëü ñëàáîíåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà íå ñîâñåì àäåêâàòíà òàêîé ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùåé áîçå-ñèñòåìå, êàê ñâåðõòå- êó÷èé 4He. Ïîýòîìó âñå ðàñ÷åòû, ïðîâåäåííûå íà îñíî- âàíèè ðàçðàáîòàííîãî â [2] ìåòîäà íóæäàþòñÿ â óòî÷íå- íèè ïðè ïðèìåíåíèè ê îïèñàíèþ ñâîéñòâ Íå ²². Â ðàáîòàõ [5,6] íà îñíîâàíèè ïðåäëîæåííîãî â [2] ìåòîäà ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà óäàëîñü íàéòè íî- âûå ãèäðîäèíàìè÷åñêèå ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ áîçå-ñèñ- òåìû ñ ñèëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì è íà îñíîâàíèè ýòèõ ôóíêöèé Ãðèíà âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìó- ùåíèé ðàññ÷èòàòü ìíèìóþ ÷àñòü ñïåêòðà ýëåìåíòàð- íûõ âîçáóæäåíèé ñâåðõòåêó÷åãî 4He, îïðåäåëÿþùóþ èõ çàòóõàíèå. Ïðè ýòîì òåðìîäèíàìè÷åñêèå êîýôôè- öèåíòû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû Seff âûðàæàþòñÿ ÷åðåç èçìåðÿåìûå ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû, òà- êèå êàê ñêîðîñòè ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêîâ, ïëîòíîñòü ñèñòåìû�0 è ñæèìàåìîñòü êîíäåíñàòà d /d� 0 (ãäå — õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë ñèñòåìû). Â äàííîé ðàáîòå, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì è ðàçâèòèåì ðàáîò [5–10], èçëîæåíû îñíîâíûå èäåè ìå- òîäà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî áûñòðûì ïåðåìåííûì è ïðè- âåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïîïðàâîê ê ñîáñòâåííûì ýíåðãèÿì è ôóíêöèÿì Ãðèíà â ãèäðîäèíàìè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè, ïîëó÷åííûõ ïóòåì ñóììèðîâàíèÿ ëåñ- òíè÷íûõ äèàãðàìì âûcøèõ ïîðÿäêîâ ïåðåíîðìèðî- âàííîé òåîðèè âîçìóùåíèé. Ïðîâåäåííûå ðàñ÷åòû ïðè êîíå÷íûõ òåìïåðàòóðàõ ïîçâîëèëè âû÷èñëèòü òåìïåðàòóðíûå ïîïðàâêè ê ñêîðîñòÿì ïåðâîãî è âòî- ðîãî çâóêîâ, à òàêæå òåìïåðàòóðíóþ çàâèñèìîñòü ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû íà îñíîâàíèè ìîäåëè [8]. 2. Ïåðåíîðìèðîâàííàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé äëÿ ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùåé áîçå-ñèñòåìû Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòå [11], ñèñòåìó ñèëüíî- âçàèìîäåéñòâóþùèõ íåéòðàëüíûõ áîçîíîâ â îáüåìå V = L3 ñ ïåðèîäè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïðè òåìïåðàòóðå T ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíîãî êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîãî äåéñòâèÿ: S A J J d d x x x[ , , , , ] ( , ) ( , ) (* * � � � � � � � � � � � � � �� 0 3 , )x � � � �� ( , ) ( ( , )) ( , )x m i x x 1 2 2 A � �� 1 2 3 3 0 2 2d d x d yU x y x y � � � ( )\| ( , )\| \| ( , )\| � �� d d x x J x x J x � � � 3 0 { ( , ) ( , ) ( , ) ( , )},* * (1) ãäå — ìíèìîå âðåìÿ, èçìåíÿþùååñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 äî îáðàòíîé òåìïåðàòóðû � �1/k TB . Äàëåå îãðàíè÷èì- ñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî íèçêîòåìïåðàòóðíîãî ïðåäå- ëà � � � è áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî êîíñòàíòà Ïëàíêà � �1 è êîíñòàíòà Áîëüöìàíà k B �1. Áîçîííîå ïîëå � ( , )x ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèì âî âðåìåíè, à âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìè îïèñûâàåòñÿ êîðîòêîäåéñòâóþùèì äâóõ÷àñòè÷íûì ïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿU x y( ) . Âíåøíèå èñòî÷íèêè J x( , ), ( )x è A( , ) x íåîáõîäèìû äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñâÿçàííûõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ïóòåì ôóíêöèîíàëüíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà ñâîáîäíîé ýíåðãèè W J J S J J[ , , , ] ln exp( [ , , , , ]) .* * * * � � � �A A� �� (2) Äèôôåðåíöèðóÿ W ïî âíåøíèì èñòî÷íèêàì J x( , ) è J x* ( , ) , ìîæíî ïîëó÷èòü íîðìàëüíûå è àíîìàëüíûå îäíî÷àñòè÷íûå è äâóõ÷àñòè÷íûå ôóíêöèè Ãðèíà. Ïîñ- ëå îêîí÷àíèÿ ðàñ÷åòîâ èñòî÷íèêè J x( , ) , J x* ( , ) è A( , ) x ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ, à ôóíêöèÿ ( , )x ïðèðàâíèâàåòñÿ õèìè÷åñêîìó ïîòåíöèàëó ñèñòåìû � Îäíî÷àñòè÷íûå íîðìàëüíóþ è àíîìàëüíóþ ôóíêöèè Ãðèíà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: G x x x x F J x J x c11 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * � � � � � � � � � , (3) G x x x x F J x J x c12 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) , * * � � � � � � � � � ãäå x xi i c� � � � � � � � � � � � � � � �, , * * * . ßâëåíèå áîçå-êîíäåíñàöèè óäîáíî îïèñûâàòü ñ ïî- ìîùüþ ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèé ïîëåâûõ ïåðåìåííûõ «Èíôðàêðàñíûå» îñîáåííîñòè â ïîëåâîé òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 405 � � � � � � � � ( , ) ( ) ( , ), ( , ) ( ) / ( ) , * x x i x s s s � � �� 1 2 e q q q ��1 2/ ( ) , * ( , ),e i x s s s � � � �q q q (4) ãäå q — âîëíîâîé âåêòîð, � � �s s� 2 1 — ìàöóáàðîâ- ñêàÿ äèñêðåòíàÿ ìíèìàÿ ÷àñòîòà, s — öåëîå ïîëîæè- òåëüíîå ÷èñëî, � — çàíèìàåìûé ñèñòåìîé îáúåì. Ïîëåâûå ïåðåìåííûå äëÿ áîçå-ñèñòåìû ñ êîíäåíñà- òîì ââîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ [11]: � � � � � � � � ( ) ~( ) ( ) , ( ) ~ ( ) ( ) / , * * / , * q q q q q q � � � � � � 1 2 0 1 2 0 , (5) ãäå q s� ( , )� q — ÷åòûðåõìåðíûé âåêòîð ýíåðãèè è èì- ïóëüñà, — ïðîèçâîëüíàÿ âåëè÷èíà. Ïîñëå ïîäñòàíîâ- êè (5) â (1) äåéñòâèå ìîæåò áûòü ðàçäåëåíî íà êâàäðà- òè÷íóþ ïî ~� ÷àñòü è âîçìóùåíèå, áèêâàäðàòíîå ïî ~�. Êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîãî äåéñòâèÿ ñâÿçàíà ñ íåâîçìóùåííûìè ôóíêöèÿìè Ãðèíà S q q G q G q iQ q s� � �� ~ ( ) ~( ) ( ), ( )� � � 0 1 0 1 2 q . (6) Ïàðàìåòð ïîëó÷àåì èç óñëîâèÿ � � � �~( )� q 0 0, êî- òîðîå îáåñïå÷èâàåò îòñóòñòâèå ýëåìåíòàðíûõ äèàã- ðàìì òîëüêî ñ îäíîé âõîäÿùåé (âûõîäÿùåé) ëèíèåé. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà ñòàíîâèòñÿ ôóíêöèåé íå- îäíîðîäíîãî âíåøíåãî èñòî÷íèêà J J( ) è ñîâïàäàåò ñ êâàäðàòíûì êîðíåì èç ïëîòíîñòè êîíäåíñàòà n0 â ïðåäåëå J � 0 [11]. Ñòàíäàðòíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé, ïîñòðîåííàÿ íà îñíîâàíèè äåéñòâèÿ (1), ñîäåðæèò äèàãðàììû, ðàñ- õîäÿùèåñÿ ïðè èíòåãðèðîâàíèè ïî îáëàñòè ìàëûõ çíà÷åíèé ýíåðãèé è èìïóëüñîâ êâàçè÷àñòèö. Êàê óæå îò- ìå÷àëîñü, ìåòîä ïåðåíîðìèðîâêè òåîðèè âîçìóùåíèé, ïðåäëîæåííûé Ïîïîâûì, îñíîâàí íà ðàçäåëåíèè ôóðüå-îáðàçà ïîëåâûõ ïåðåìåííûõ � íà «ìåäëåííûå» � s è «áûñòðûå» � f . Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ïîëåâûõ ïåðåìåííûõ îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (4). Îñíîâíàÿ èäåÿ ìåòîäà ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì èíòåãðèðîâà- íèè ñíà÷àëà ïî «áûñòðûì», à ïîòîì ïî «ìåäëåííûì» ïî- ëåâûì ïåðåìåííûì ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëè÷íûõ ñõåì ïîñòðîåíèÿ òåîðèè âîçìóùåíèé íà êàæäîì èç ýòàïîâ. Êîíòèíóàëüíûé èíòåãðàë ïî «áûñòðûì» ïîëåâûì ïåðå- ìåííûì � exp{ } S d df f� � ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñóììà ñèñòåìû «áûñòðûõ» ÷àñòèö, îïè- ñûâàåìûõ ïîëåâûìè ïåðåìåííûìè � f â ìåäëåííî îñöèëëèðóþùåì ïîëå � s . Íà âòîðîì ýòàïå èíòåãðàëû (ñóììû) ïî èìïóëüñàì îêàçûâàþòñÿ îáðåçàííûìè íà íèæíåì ïðåäåëå, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðíûì äëÿ êàæäîé ñèñòåìû ïàðàìåòðîì q0. Òàêèì îáðàçîì ðå- øàåòñÿ ïðîáëåìà èíôðàêðàñíûõ ðàñõîäèìîñòåé. Â äàëü- íåéøåì îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì ââåäåíèå íîâûõ ïåðåìåí- íûõ — ïëîòíîñòè n x( , ) è ôàçû � ( , )x «ìåäëåííûõ» ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïîëåâûõ ïåðåìåííûõ: � � � � s s x n x i x x n x i ( , ) ( , ) exp [ ( , )]; ( , ) ( , ) exp [ ( � � x, )]. (7) Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî «áûñòðûì» ïåðåìåííûì ïîëó÷àåì ýôôåêòèâíîå «ãèäðîäèíàìè÷åñêîå» äåé- ñòâèå S h s s[ , ]� � , çàâèñÿùåå òîëüêî îò ìåäëåííûõ ïå- ðåìåííûõ [2]. Â òåðìèíàõ ïåðåìåííûõ n q( ) è �( )q ýòî äåéñòâèå èìååò ñëåäóþùèé âèä: S d q p m p qh d q s[ , ] ( ) ( ) (� � � � � � � � � � � �� 1 2 2 3 2 2 � q ! " # q) � � � � � � � � � $ % & 2 40 0 0 2 0 p q q p mn q qn s n n � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) q '& � � ( � � � �1 23 2 1 2 0 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) /� � � � � q q m q q q q q q , (8) ãäå �( ) ( ) ( )x n x n q� 0 0 , n q n0 0 0( ) � — ïëîòíîñòü êîí- äåíñàòà, îïðåäåëÿåìàÿ èç óñëîâèÿ pn0 0� , à êîýôôè- öèåíòû p p p n , , 0 è pn n0 0 îïðåäåëÿþòñÿ òåðìîäè- íàìè÷åñêèìè ïåðâûìè è âòîðûìè ïðîèçâîäíûìè îò äàâëåíèÿ p n S n /h( , ) ( , ) �0 0� � ïî õèìè÷åñêîìó ïî- òåíöèàëó è ïëîòíîñòè êîíäåíñàòà n0. Êâàäðàòè÷íàÿ ÷àñòü äåéñòâèÿ îïðåäåëÿåò íåâîçìóùåííûå ôóíêöèè Ãðèíà G0, à ÷ëåí òðåòüåãî ïîðÿäêà ïî ïîëåâûì ïåðå- ìåííûì ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê âîçìóùåíèå. Íà îñíîâàíèè âûðàæåíèÿ äëÿ êâàíòîâîìåõàíè÷åñ- êîãî äåéñòâèÿ (8), èñïîëüçóÿ ìåòîä ôóíêöèîíàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, â ïðåäåëå T � 0 è� � 0 ìîæíî ïîëó- ÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ ñâîáîäíûõ «ãèäðîäèíàìè÷åñ- êèõ» ôóíêöèé Ãðèíà â äëèííîâîëíîâîé îáëàñòè â ïðåäåëå ñëàáîíåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà [2]: G q g q g q g q g q0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) � � � �� p m p p p p mn s n s n s n n � � � q q 2 2 2 0 0 0 0 0 4 � � 1 D q( ) , (9) ãäå D q m p n p mn s( ) � � � � � � � � � � q q 2 2 0 0 2 2 2 4 � � � � � �( )p p p m p p p p p n n n s n n n n n 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 21 � q � � � � � � , (10) 406 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 Ý.À. Ïàøèöêèé, Ñ.È. Âèëü÷èíñêèé, À.Â. ×óìà÷åíêî 1 0 0 0 0 0 2 2 m p p p p p n m dn d dp d c p n n n n n n � � � � �, (11) (çäåñü c 2 — êâàäðàò ñêîðîñòè ïåðâîãî çâóêà, n — ïëîò- íîñòü ñèñòåìû). Íà îñíîâàíèè âûðàæåíèé (9), (10), à òàêæå ñîîòíî- øåíèÿ, êîòîðîå ñâÿçûâàåò ìåæäó ñîáîé òåðìîäè- íàìè÷åñêèå ïðîèçâîäíûå è îïðåäåëÿåò ñæèìàåìîñòü êîíäåíñàòà, p p nn n n 0 0 0 0� d d , (12) â ðàáîòå [5] ñ èñïîëüçîâàíèåì èíâàðèàíòíîñòè ñîîòíî- øåíèé îòíîñèòåëüíî ïðîöåäóðû ïåðåíîðìèðîâêè (ñì. ðàáîòó [11] ) áûëè ðàññ÷èòàíû «ãèäðîäèíàìè÷åñêèå» ôóíêöèè Ãðèíà äëÿ ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùåé áî- çå-ñèñòåìû: G q dn d dn d dn d s s s 0 0 2 2 0 0 1 ( ) � � � �� m n c cs 2 2 2 2� q � � � � � � � � � � � � � 1 0 0 1 4 1 0 0 0 00 p nn p n n n n . (13) Â äàëüíåéøåì ýòè ôóíêöèè áóäóò èñïîëüçîâàíû ïðè ðàñ÷åòàõ âêëàäîâ âûcøèõ ïîðÿäêîâ ïåðåíîðìèðîâàí- íîé òåîðèè âîçìóùåíèé â ñîáñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêèå ÷àñòè. 3. Ðåøåíèå êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèé â àêóñòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè Äëÿ ìèêðîñêîïè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ñèëüíîâçàèìîäåé- ñòâóþùåé áîçå-ñèñòåìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñõåìó òåî- ðèè âîçìóùåíèé [2], ïîçâîëÿþùóþ âû÷èñëèòü ôóíêöèè Ãðèíà G ñëàáîíåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà íèæå òî÷êè áîçå-êîíäåíñàöèè â ãèäðîäèíàìè÷åñêîé îáëàñòè (ïðè ìàëûõ ýíåðãèÿõ è èìïóëüñàõ). Èñïîëüçóÿ ìåòîä êîí- òèíóàëüíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, âûäåëèì ïîñëåäîâàòåëü- íîñòü äèàãðàìì òåîðèè âîçìóùåíèé, êîòîðûå äàþò îñíîâíîé âêëàä â ãèäðîäèíàìè÷åñêóþ àñèìïòîòèêó ôóíêöèé Ãðèíà. Èñêîìûå ïîïðàâêè îò âûcøèõ ïîðÿäêîâ òåîðèè âîçìóùåíèé ê ñîáñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêèì ÷àñ- òÿì � �� ( ), ( )q q è � ��( )q ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðîâîäÿ ñóììèðîâàíèå äèàãðàìì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1. Ïåðâîå äèàãðàììíîå ðàâåíñòâî âûðàæàåò ñîáñò- âåííî ýíåðãåòè÷åñêóþ ÷àñòü � ÷åðåç âêëàäû äèàã- ðàìì, ó êîòîðûõ íåëüçÿ îòäåëèòü âõîä è âûõîä ïóòåì ðàçðûâà äâóõ âíóòðåííèõ ëèíèé äèàãðàììû (ýòîò âêëàä îáîçíà÷åí ÷åðåç � ) ) è ïîëíóþ âåðøèííóþ ÷àñòü D. Âòîðîå ðàâåíñòâî íà ðèñ. 1 ïðåäñòàâëÿåò ñî- áîé óðàâíåíèå äëÿ âåðøèííîé ÷àñòè è îïðåäåëÿåò «ëåñòíè÷íîå» ïðèáëèæåíèå äëÿ íåïðèâîäèìîãî ÷åòû- ðåõïîëþñíèêà K . Âíóòðåííèì ëèíèÿì äèàãðàìì íà ðèñ. 1 ñîîòâåòñòâóþò ïîëíûå ôóíêöèè Ãðèíà � �g�� g�� è � �g�� , îïðåäåëÿåìûå ñîîòíîøåíèåì (13). Äëÿ êîíêðåòèçàöèè ñõåì, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1, íåîáõî- äèìî ïðîèçâåñòè ñóììèðîâàíèå ïî âñåâîçìîæíûì âíóòðåííèì ëèíèÿì äèàãðàìì. Âåðøèííûå ÷àñòè îò- ëè÷àþòñÿ ïî òèïàì ëèíèé, êîòîðûå ïðèñîåäèíåíû ê èõ âõîäó è âûõîäó. Âñåãî èìååòñÿ øåñòü ðàçëè÷íûõ âåðøèííûõ ÷àñòåé: D D�� , ,; ;D�� , ; D�� , ; D�� , ; D�� , (çäåñü ïåðâûå äâà èíäåêñà ó D óêàçûâàþò íà òî, êàêèå ëèíèè ïðèñîåäèíåíû ê âíóòðåííåìó âõîäó äèà- ãðàìì D, à ïîñëåäíèé — òèï ëèíèè, ïðèñîåäèíåííîé ê âíåøíåìó âûõîäó). Äàííûå äèàãðàììíûå ðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿþò ñî- áîé ãëàâíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèàãðàìì, íàõîæäå- íèå ñóììû êîòîðûõ, êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòå [2], ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé òèïà êèíåòè÷åñêèõ. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî òàêîé ìåòîä ðàáîòàåò è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ñóùåñòâåí- íî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû è íåëüçÿ ïðîèçâåñòè ðàçäå- ëåíèå ãàìèëüòîíèàíà ñèñòåìû íà îñíîâíóþ ÷àñòü è âîçìóùåíèå. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ ìíèìîé ÷àñòè ñïåêòðà ( )q [6] ( ) ( ) q q q1 2 2 3 0 2 2 1 2 9 1 128 1 � � � �� mc n dn d d d e 3 �+ � + + + 3 , , � � � n n2 3 2 1 2 3 1 2 3[ ( ) ( ) ]� ��+ �+ e e3 1 , (14) ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî âíóòðåííèì èìïóëüñàì è ñóììèðîâàíèÿ ïî âíóòðåííèì ÷àñòîòàì, ìîæíî ïîëó- ÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåìåíòîâ ñîáñòâåííî ýíåðãåòè- ÷åñêîé ìàòðèöû (ñì. Ïðèëîæåíèå). Ïåðåõîäÿ â óðàâíåíèÿõ îò ñóììèðîâàíèÿ ê èíòåã- ðèðîâàíèþ ïî ÷àñòîòàì, ñ ïîìîùüþ àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ â êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü ñ ñîîòâåòñòâó- þùåé çàìåíîé ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèÿõ (Ï.7) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòè óðàâíåíèÿ âõîäèò îïðåäåëåííàÿ îäèíàêîâàÿ êîìáèíàöèÿ âåðøèííûõ ôóíêöèé, êîòîðàÿ ñîäåðæèò ïðîèçâåäåíèå ïîëþñîâ òîëüêî äâóõ ôóíê- «Èíôðàêðàñíûå» îñîáåííîñòè â ïîëåâîé òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 407 D K D D D Ðèñ. 1. Äèàãðàììíûå ðàâåíñòâà äëÿ ñîáñòâåííî ýíåðãåòè- ÷åñêîé ÷àñòè è âåðøèííîé ôóíêöèè, êîòîðûå â ëåñòíè÷íîì ïðèáëèæåíèè ñâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì òèïà êèíåòè÷åñêèõ. öèé Ãðèíà è âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì ïðè ìà- ëûõ ïåðåäàâàåìûõ èìïóëüñàõ q: [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]x i x E i dx � � � - � + +q q q q q q1 1 1 1 1 1 * - 2�i Z , (15) ãäå Z E i� ( . � . � � � 2 21 1 1 1 1( ) ( ) , ( ) q q q q q + + + * 1 2 . (16) Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ýíåðãåòè÷åñêîé ïåðåìåí- íîé ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ êîìáèíàöèé âåðøèííûõ ôóíêöèé, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ âî âñåõ óðàâíåíèÿõ: h E Z mc n dn d D Di i( , , ) ( ), ,q q1 2 01 2 � ! " # � �� $ % & '& i D ic dn d Di i+ +�� 1 1 2 0 2 1 2 1 1 , ,q , (17) g E Z mc n i dn d D D D( , , ) ( ), , ,q q1 2 0 1 11 2 � � +�� / �� / �� / � ! " # � � � �� $ % & '& c dn d D2 0 2 1 2 1 1 + �� / q , . (18) Âûäåëåííûå êîìáèíàöèè h E( , , )q q1 è g E( , , )q q1 óäîâ- ëåòâîðÿþò ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé: [ ( )] ( ) ( ) , [ E n mc dn d h iI h m E . � � �� 2 1 1 1 2 0 1 1+ qq qq . � � �� 2 1 1 2 0 1 1+ +( )] ( ) ( ) .qq q n mc dn d g iI g (19) Çäåñü I h m n dn d d d( ) ( ) � � � �� 9 1 64 1 2 2 0 2 2 3 1 2 3 e �+ � + + +q q n n2 3 , , � � �[ ( ) ( )2 1 2 3 1 1 2 3� �+ e h h h � � � �+ ( ) ( )]1 2 3 1 1 2 3e h h h , (20) I g m n dn d d d( ) ( ) � � � �� 9 1 64 1 2 2 0 2 2 3 1 2 3 e �+ � + + +q q n n2 3 , , � � �[ ( ) ( )2 1 2 3 1 1 2 3� �+ e g g g � � �+ ( ) ( )]1 2 3 1 1 2 3e g g g , (21) ãäå h h E g g E ni i i i i i� � � ( , , ), ( , , ), ( ) ,q q q q e �+ 1 1 � � �0+ + + 12 3 4( ) ( )1 2 3 1 2 35 � 5 5q q q . Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ (19) ïî ñâîåé ñóòè ýêâèâà- ëåíòíû ëèíåàðèçèðîâàííûì êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíè- ÿì, â êîòîðûõ âûðàæåíèÿ I h( ) è I g( ) èãðàþò ðîëü èíòåãðàëîâ ñòîëêíîâåíèé, à íåîäíîðîäíûå ÷ëåíû ( )qq1 /m è + 0q1) ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ, îá- ðàùàþùèìè â íóëü èíòåãðàëû ñòîëêíîâåíèé. Çàìå- òèì, ÷òî ñèñòåìà (19) àíàëîãè÷íà ñèñòåìå óðàâíåíèé, ïîëó÷åííûõ â ðàáîòå [2] â ïðèáëèæåíèè ñëàáîíåèäå- àëüíîãî áîçå-ãàçà, íî ýòî ñõîäñòâî íîñèò ôîðìàëüíûé õàðàêòåð, òàê êàê ñòðóêòóðû âåðøèííûõ ôóíêöèé, à òàêæå ôóíêöèè Z, êîòîðûå âõîäÿò â îïðåäåëåíèå ôóíêöèé h è g, ñóùåñòâåííî îòëè÷íû â ñëó÷àå ñëàáî- íåèäåàëüíîãî áîçå-ãàçà è â ðàññìàòðèâàåìîì çäåñü ñëó÷àå ñèëüíî âçàèìîäåéñòâóþùåé áîçå-ñèñòåìû. Óðàâíåíèÿ (19) ìîæíî ðåøèòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä ×åïìåíà–Ýíñêîãà–Ãèëüáåðòà [3], ñîãëàñíî êîòîðîìó ðåøåíèå óðàâíåíèé (19) èùåòñÿ â âèäå ñóììû ëèíåé- íûõ êîìáèíàöèé èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ ( )qq1 /m è + ( )q1 è ìàëûõ ïî ñðàâíåíèþ ñ íèìè äîáàâîê �h è �g: h a b h g a b g� � � � � �+ � + �( ) ( ) , ( ) ( )q qq q qq1 1 1 1 1 . (22) Ïðåíåáðåãàÿ ìàëûìè ïîïðàâêàìè �h è �g â ñëó÷àå, êîãäà îíè íå âõîäÿò â èíòåãðàëüíûå ÷ëåíû, è èñïîëüçóÿ óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè èíòåãðàëîâ ñòîëêíîâåíèé è èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ ñ âåñîì exp [ ( )] [exp [ ( )] ] �+ �+ q q 1 1 21 , (23) ïîëó÷àåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå- íèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ â a a b b, , ,1 1. Â ðå- çóëüòàòå ïîëó÷àåì ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (19) â ïåðâîì (àêóñòè÷åñêîì) ïðèáëèæåíèè: h E m E u � �� 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 ++ + + q q q qq q ( ) ( ) ( ) ( ) , g E E u � �� + ++ ( ) ( )q q q qq q 2 1 2 2 1 2 2 2 , (24) ãäå u 2 1 2 2 4 3 � �� ++ + 3 q q , (25) 408 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 Ý.À. Ïàøèöêèé, Ñ.È. Âèëü÷èíñêèé, À.Â. ×óìà÷åíêî à äâîéíûå óãëîâûå ñêîáêè �� ... îçíà÷àþò èíòåãðèðî- âàíèå ñ âåñîì (23): �� A A d( ) exp [ ( )](exp [ ( )] ) exp [ q q q q1 1 1 2 11�+ �+ �+( )](exp [ ( )] )q q q1 1 2 11�+ d . (26) 4. Ðàñ÷åò ïîïðàâîê ê ñîáñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêèì ÷àñòÿì è ñêîðîñòÿì çâóêîâ Âûðàæåíèÿ äëÿ ñîáñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêèõ ÷àñòåé � � �� , , , è� �� â òåðìèíàõ ôóíêöèé h è g ïîëó÷à- þòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç âûðàæåíèé (Ï.1) è (Ï.6) (ñì. Ïðèëîæåíèå). Íàïðèìåð, äëÿ �� ïîñëå ïîäñòàíîâêè âñåõ ôóíêöèé Ãðèíà ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: �� 6� � � �� ( ,� T dn d c n d d P q 2 6 0 4 2 2 3 2 2( ) ( ) ( ) ( )q q q q q , � � �� ! " # � dn d D i D i i 0 2 2 2 3 2 3 � � �� [ ( ) ], , , � � � �� $ % & '& iD dn d i i iD i�� , ,( )0 2 2 3 2 3 . (27) Çäåñü íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî âåðøèííûå ôóíêöèè D�� , è D�� , ñîäåðæàò ýëåìåíòàðíûå íåâîçìóùåííûå ÷àñòè, êîòîðûå òàêæå äàþò âêëàä â ñîáñòâåííî ýíåðãå- òè÷åñêèå ÷àñòè. Ïîñëå ó÷åòà çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ÷àñ- òîò è àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ âíóòðåííåé ÷àñòî- òû â îáëàñòü äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèé, âåðøèííûå ôóíêöèè D îïÿòü ðàñïàäàþòñÿ íà D i è D e íà áåðåãàõ ðàçðåçîâ, ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ êîòîðûõ ïîëó÷àåì �� ( ) ( )qq qq1 1 m m Eh � - �� q q q q qq2 3 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 4( ) ( ) . � + � � m c n d m E m h (28) Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ äðóãèõ ñîáñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêèõ ÷àñòåé: �� q q qq2 2 2 1 4m E m h , � �� E n m g 2 0 1qq , � �� + � +� �� 1 4 5 4 0 2 2 1 n E g( ) . (29) Èñïîëüçóÿ íàéäåííóþ â ïåðâîì (àêóñòè÷åñêîì) ïðè- áëèæåíèè ñîáñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêóþ ìàòðèöó �( )q è èçâåñòíîå ñîîòíîøåíèå det [ ( , ) ( , )]G0 1 0 �q q� �� , ïîëó÷àåì â ÿâíîì âèäå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñïåêòðà: E c E cn n2 1 2 2 2 2 2 21 37 16 11 4 � � � �� 7 8 9 : ; < � � q q � � � � ( ) �� E c2 0 2 2 0q , (30) ãäå c m p m c un1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 3 4 3 � � � � �� ++ , , q q q + 2�� . Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì, èñïîëüçóÿ ýêñïå- ðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåííîå ïðè T � 0 ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñêîðîñòÿìè ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêîâ c c /2 1 3� , êîòîðûå ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â ñâåðõòåêó÷åì ãåëèè: E c n 1 2 1 2 21 29 16 ( ) ,q q� � � � �� E c n 2 2 1 2 2 3 1 33 8 ( )q q� � � �� . (31) Âòîðîå èç ýòèõ ðåøåíèé ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì, ïî- ëó÷åííûì â [1]. Ýòî âûðàæåíèå êà÷åñòâåííî ïðàâèëü- íî îïèñûâàåò òåìïåðàòóðíóþ çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè âòîðîãî çâóêà â èíòåðâàëå òåìïåðàòóð îò 0 äî 1 Ê, â êî- òîðîì, êàê èçâåñòíî [12], ýêñïåðèìåíòàëüíî íàéäåí- íàÿ ñêîðîñòü âòîðîãî çâóêà c2 èìååò ìèíèìóì. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ðàçðàáîòàííûé çäåñü ïîäõîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ áîçå-æèäêîñòè òîëüêî â îáëàñòè òåìïåðàòóð T = 1 Ê, ó÷èòûâàÿ ïðè ýòîì âêëàä òîëüêî îäíîãî òèïà êîëëåêòèâíûõ âîçáóæäåíèé — ôîíîíîâ. Äëÿ êîððåêòíîãî îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû ïðè òåìïåðàòóðàõ T > 1 Ê è îïðåäåëåíèÿ áî- ëåå òî÷íî òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè âòî- ðîãî çâóêà íåîáõîäèìà ìîäèôèêàöèÿ ïåðåíîðìèðî- âàííîé òåîðèè âîçìóùåíèé ñ ó÷åòîì âêëàäîâ äðóãèõ òèïîâ âîçáóæäåíèé (â ÷àñòíîñòè, ðîòîíîâ). 5. Ðàñ÷åò òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû áîçå-æèäêîñòè 4 He Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî ïðîèçâåñòè ðàñ÷åò òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû áî- çå-æèäêîñòè 4He. Ðàñ÷åò ïðîâåäåì íà îñíîâàíèè ïðåä- ëîæåííîé â [8–10] ñàìîñîãëàñîâàííîé ìèêðîñêî- ïè÷åñêîé ìîäåëè ñâåðõòåêó÷åé íåðåëÿòèâèñòñêîé áîçå-æèäêîñòè 4He ñ ïîäàâëåííûì çà ñ÷åò âçàèìîäåé- ñòâèÿ îäíî÷àñòè÷íûì áîçå–ýéíøòåéíîâñêèì êîíäåí- «Èíôðàêðàñíûå» îñîáåííîñòè â ïîëåâîé òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 409 ñàòîì è ñ èíòåíñèâíûì ïàðíûì êîãåðåíòíûì êîíäåí- ñàòîì, êîãåðåíòíàÿ ñóïåðïîçèöèÿ êîòîðûõ ñîñòàâëÿåò ìèêðîîñíîâó ñâåðõòåêó÷åé ïëîòíîñòè. Äëÿ ýòîãî ïîä- ñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèé Ãðèíà (13), è âûðàæåíèÿ äëÿ ñêîðîñòåé ïåðâîãî è âòî- ðîãî çâóêîâ (31) â ñîîòâåòñòâóþùèå ñîîòíîøåíèÿ, ïî- ëó÷åííûå â [8–10], è âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäëîæåííîé â òåõ æå ðàáîòàõ èòåðàöèîííîé ñõåìîé ðàñ÷åòà. Ïðè ýòîì ïàðíîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó áîçîíàìè âûáè- ðàåì â âèäå ðåãóëÿðèçèðîâàííîãî ïîòåíöèàëà Àçèçà [13], êîòîðûé íàèáîëåå òî÷íî îïèñûâàåò âçàèìîäå- éñòâèå ìåæäó àòîìàìè 4Íå: U r A r r r /r c rk k k A ( ) exp ( ) exp [ ( ) ] � � � � 2 0 2 2 6 2 6 0 2 1 � � = ? ! " & & # & & � � , , exp ( ) , , r r A r r c r r rk k k 0 2 2 6 2 6 0 2 0 � (32) ãäå A � (18443101 10 5, ,Ê � 10,43329537 � –1 , � � 2,27965105 � –2 , c6 1 36745214� (, Ê � 6 , c8 0 42123807� (, Ê � 8 , c10 0 17473318� (, Ê � 10 . Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ òåìïåðàòóðíîé çà- âèñèìîñòè ïëîòíîñòè ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû áî- çå-æèäêîñòè 4He â îáëàñòè òåìïåðàòóð îò íóëÿ äî òî÷- êè @-ïåðåõîäà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2. Â ìîäåëè [8] ñâåðõòåêó÷èé ïàðàìåòð ïîðÿäêà äëÿ T � 0 îïðåäåëåí ñëåäóþùèì îáðàçîì: ~ ( , ) ( ) ( ) ( ) � A A12 00 T T T T s s� � � � , (33) ãäå � � 0 3 12 12 1 1 121 2 2 2 ( ) ( ) ~ ( )T d V A D c c T B � � � � � � � �� p p p p cth c c T2 2 2p p cth � � � � � � 7 8 9 : ; <, (34) � � s T d V D c c T B c ( ) ( ) ~ ( )� � � � � � � � 1 2 2 23 12 1 1 12 2 p p p p p cth cth c T 2 2 p� � � � � � 7 8 9 : ; <, (35) à òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû îïðåäåëÿåòñÿ êàê � � s sT T V n T V n ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ ( ) � 7 8 9 : ; < A A0 1 0 1 0 , (36) ãäå ~ ( )V q — ôóðüå-îáðàç ïåðåíîðìèðîâàííîãî («ýêðà- íèðîâàííîãî») ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ. Ðàññ÷èòàííàÿ â ðàáîòå òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû â èíòåðâàëå òåìïåðàòóð T = 125, Ê êà÷åñòâåííî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëü- íî ïîëó÷åííîé çàâèñèìîñòüþ [14]. Ðàçëè÷èå ìåæäó ïîëó÷åííîé è ýêñïåðèìåíòàëüíîé êðèâûìè â èíòåðâà- ëå T > 125, Ê îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî èñïîëüçîâàííûå ïðè ðàñ÷åòàõ âûðàæåíèÿ äëÿ ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíê- öèé Ãðèíà (13) è ñêîðîñòåé çâóêîâ (31) ïîëó÷åíû â ïðåäåëå T � 0 è ôàêòè÷åñêè ó÷èòûâàþò âêëàä òîëüêî ôîíîííîé ÷àñòè ñïåêòðà ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé. 6. Çàêëþ÷åíèå Ìåòîä ðàñ÷åòà ñóììû äèàãðàìì òèïà ëåñòíè÷íûõ, ïîëó÷åííûõ â âûñøèõ ïîðÿäêàõ ïåðåíîðìèðîâàííîé «ãèäðîäèíàìè÷åñêîé» òåîðèè âîçìóùåíèé, áûë ïðåä- ëîæåí Ïîïîâûì [2]. Â äàííîé ðàáîòå íà îñíîâå ýòîãî ìåòîäà áûëà ðàññ÷èòàíà ñóììà äèàãðàìì òàêîãî òèïà äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîé êâàíòîâî-ïîëåâîé òåîðèè âîç- ìóùåíèé, ïîñòðîåííîé äëÿ ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþ- ùåé áîçå-ñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî áûëè âûâåäåíû óðàâíå- íèÿ òèïà êèíåòè÷åñêèõ è ïîëó÷åíû èõ ðåøåíèÿ. Íà 410 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 Ý.À. Ïàøèöêèé, Ñ.È. Âèëü÷èíñêèé, À.Â. ×óìà÷åíêî 1 2 3 4 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 T, K 2,17 K Ðèñ. 2. Òåìïåðàòóðíûå çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè ñâåðõòåêó÷åé êîìïîíåíòû áîçå-æèäêîñòè 4 Íå, ïîëó÷åííûå Ïàøèöêèì è Âèëü÷èíñêèì [8,9] íà îñíîâàíèè ìîäåëüíûõ ïîòåíöèàëîâ âçàèìîäåéñòâèÿ è ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ î ñêîðîñòè âòîðîãî çâóêà (êðèâàÿ 1); â äàííîé ðàáîòå (2); ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çà- âèñèìîñòü, ïîëó÷åííàÿ Àíäðîíèêàøâèëè [14] (3); ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé Ãèíçáóðãîì è Ñîáÿíèíûì [15] (4). îñíîâå ýòèõ ðåøåíèé ïðîâåäåíû ðàñ÷åòû òåìïåðàòóð- íûõ ïîïðàâîê ê ñêîðîñòÿì ïåðâîãî è âòîðîãî çâóêîâ. Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ñêîðîñòåé çâóêîâ ñîâïà- äàþò ñ ïîëó÷åííûìè â [2] (âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè ïåðâîãî çâóêà) è â [1] (âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè âòîðî- ãî çâóêà). Èñïîëüçóÿ ýòè ðåçóëüòàòû, â äàííîé ðàáîòå íà îñíîâå ìîäåëè Ïàøèöêîãî–Âèëü÷èíñêîãî [8] ïðîâåäåí ÷èñëåí- íûé ðàñ÷åò òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè ñâåðõ- òåêó÷åé êîìïîíåíòû ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîòåíöèàëà Àçèçà, êîòîðûé îòâå÷àåò ðåàëüíîìó âçàèìîäåéñòâèþ ìåæäó àòî- ìàìè 4Íå. Äëÿ ðàñ÷åòà òåìïåðàòóðíûõ çàâèñèìîñòåé òàê- æå áûëè èñïîëüçîâàíû ïîëó÷åííûå â ïðåäûäóùåé ðàáîòå [5] âûðàæåíèÿ äëÿ ìîäèôèöèðîâàííûõ ôóíêöèé Ãðèíà. Ïîëó÷åííàÿ òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü ñðàâíèâàåòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè [8] ñ èñïîëüçîâàíèåì ìîäåëüíûõ ïîòåíöèà- ëîâ âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû òàêæå ñðàâ- íèâàþòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè, ïîëó÷åííûìè Àíäðîíèêàøâèëè [14] è â ðàìêàõ òåîðèè Ãèíçáóðãà [15]. Îäèí èç àâòîðîâ (Ý.À.Ï.) âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ïðîãðàììå ÓÍÒÖ çà ÷àñòè÷íîå ôèíàíñèðîâàíèå äàí- íîé ðàáîòû (ïðîåêò ¹ 3718, 2007-9). 7. Ïðèëîæåíèå Âûðàæåíèÿ äëÿ ñîáñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêèõ ÷àñòåé è âåðøèííûõ ôóíêöèé â ïåðåìåííûõ ïëîòíîñòè è ôà- çû ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû íà îñíîâå ìîäèôèöèðîâàí- íîé òåîðèè âîçìóùåíèé [5]. Â ÷àñòíîñòè, âûðàæåíèÿ äëÿ ðàçíûõ ñîáñòâåííî ýíåðãåòè÷åñêèõ ÷àñòåé èìåþò âèä �� 6( ) ( ) ( ) ( , , ) , q T m d d q q q1 2 6 2 2 3 1 1 2 3 2 2 3 � ( ,� �q q q q , �[ ( , , ) ( , ) ( , ),D q q q g i g i�� 1 2 3 2 2 3 3q q � �D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )1 2 3 2 2 3 3q q � �D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )1 2 3 2 2 3 3q q � D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )]1 2 3 2 2 3 3q q , �� 6( ) ( ) ( ) ( , , ) , q T m d d q q q1 2 6 2 2 3 2 1 2 3 2 2 3 � ( ,� �q q q q1 , �[ ( , , ) ( , ) ( , ),D q q q g i g i�� 1 2 3 2 2 3 3q q � �D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )1 2 3 2 2 3 3q q � �D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )1 2 3 2 2 3 3q q � D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )]1 2 3 2 2 3 3q q , � �� 6( ) ( ) ( ) ( , , ) , q T m d d q q q1 2 6 2 2 3 3 1 2 3 2 2 3 � ( ,� �q q q q2 , �[ ( , , ) ( , ) ( , ),D q q q g i g i�� 1 2 3 2 2 3 3q q � �D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )1 2 3 2 2 3 3q q � �D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )1 2 3 2 2 3 3q q � D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )]1 2 3 2 2 3 3q q , � �� 6( ) ( ) ( ) ( , , ) , q T m d d q q q1 2 6 2 2 3 3 1 2 3 2 2 3 � ( ,� �q q q q2 , �[ ( , , ) ( , ) ( , ),D q q q g i g i�� 1 2 3 2 2 3 3q q � �D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )1 2 3 2 2 3 3q q � �D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )1 2 3 2 2 3 3q q � D q q q g i g i�� , ( , , ) ( , ) ( , )]1 2 3 2 2 3 3q q , (Ï.1) ãäå ïàðàìåòð 6 � �� ( , , ) [ ( ) ,q q q1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 � � �� q q q � � � � � � �� ( ) ( ) ], ,q q q q q q1 2 3 1 2 32 3 2 3 ôèêñèðóåò ñóùåñòâîâàíèå òîëüêî âîñüìè ýëåìåíòàð- íûõ âåðøèííûõ ÷àñòåé, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ëèøü íà- ïðàâëåíèåì âõîäÿùèõ è âûõîäÿùèõ ëèíèé, ïðèñîåäè- íåííûõ ê âåðøèíå. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ñðåäè íèõ ñóùåñòâóåò âñåãî ÷åòûðå òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷- íûõ âåðøèííûõ ôóíêöèè, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà èçìåíåíèåì íàïðàâëåíèÿ ðàçíûõ ëèíèé, ïðè- ñîåäèíåííûõ ê äèàãðàììå. Âûðàæåíèÿ (Ï.1) ñîäåðæàò âîñåìü ðàçíûõ âåðøèí- íûõ ôóíêöèé: D�� , , D�� , , D�� , , D�� , , D�� , , D�� , , D�� , è D�� , . Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì óðàâíå- íèÿ äëÿ âåðøèííûõ ôóíêöèé ñ ïðèñîåäèíåííîé âíåø- íåé �-ëèíèåé: D d T d d d d g q�� B� �� , ,( ) { ( )� � ,�� 3 9 1 2 3 2 1 2 1 2 3 q q q , � �[( ( ) ( ) ( ), ,g q g q D g q g D�� 2 3 2 � � �g q g q D g q g q D�� ( ) ( ) ( ) ( ) ], ,2 3 2 3 � �d g q g q g q D2 1 2 3�� ( )[ ( ) ( ) , � � �g q g q D g q g q D�� ( ) ( ) ( ) ( ), ,2 3 2 3 � g q g q D�� ( ) ( ) ]},2 3 , (Ï.2) D d T d d d d g q�� B� �� , ,( ) { ( )� � ,�� 3 9 1 2 3 2 1 2 1 2 3 q q q , � �[ ( ) ( ) ( ) ( ), ,g q g q D g q g q D�� 2 3 2 3 � � �g q g q D g q g q D�� ( ) ( ) ( ) ( ) ], ,2 3 2 3 � �d g q g q g q D2 1 2 3�� ( )[ ( ) ( ) , � � �g q g q D g q g q D�� ( ) ( ) ( ) ( ), ,2 3 2 3 � g q g q D�� ( ) ( ) ]},2 3 , (Ï.3) «Èíôðàêðàñíûå» îñîáåííîñòè â ïîëåâîé òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 411 D T d d d d g q�� B� �� , ,( ) { ( )� ,�� 3 9 1 2 3 2 1 2 1 2 3 q q q , � �[ ( ) ( ) ( ) ( ), ,g q g q D g q g q D�� 2 3 2 3 � �g q g q D g q g q D�� ( ) ( ) ( ) ( ) )]}, ,2 3 2 3 , D T d d d d g q�� B� �� , ,( ) { ( )� ,�� 3 9 1 2 3 2 1 2 1 2 3 q q q , � �[ ( ) ( ) ( ) ( ), ,g q g q D g q g q D�� 2 3 2 3 � � �g q g q D g q g q D�� ( ) ( ) ( ) ( ) ], ,2 3 2 3 � � �g q g q g q D g q g q D�� ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ), ,1 2 3 2 3 � � �g q g q D g q g q D�� ( ) ( ) ( ) ( ) )], ,2 3 2 3 � � �g q g q g q D g q g q D�� ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ), ,1 2 3 2 3 � �g q g q D g q g q D�� ( ) ( ) ( ) ( ) ], ,2 3 2 3 + � � �g q g q g q D g q g q D�� ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ), ,1 2 3 2 3 � �g q g q D g q g q D�� ( ) ( ) ( ) ( ) ]}, ,2 3 2 3 . (Ï.4) ãäå d — íåâîçìóùåííàÿ âåðøèííàÿ ÷àñòü, à gij — «ïîëíûå»’ ôóíêöèè Ãðèíà [5]: g mc n i c i �� ( ) ( ) ( ) q q q � 2 2 2 2 1 * , g i dn d m n i c i c i g�� ( ) ( ) ( ) q q q � � � �� 0 2 2 2 2 * , g dn d m n i c i c i �� ( ) ( ) ( ) ( ) q q q � � � �� 0 2 2 2 2 2 2 * . (Ï.5) Âûðàæåíèÿ äëÿ îñòàëüíûõ âåðøèííûõ ôóíêöèé ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç (Ï.1)–(Ï.4) ïóòåì çàìåíû ó âñåõ âåðøèííûõ ôóíêöèé âíåøíåé âûõîäÿùåé ëèíèè íà �-ëèíèþ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî òîëüêî âåðøèííûå ôóíêöèè, êîòîðûå èìåþò äâå ïðèñîåäèíåííûå �-ëè- íèè è îäíó �-ëèíèþ, èìåþò ýëåìåíòàðíóþ âåðøèí- íóþ ÷àñòü (ñì. âûðàæåíèå (8) äëÿ «ãèäðîäèíàìè÷åñ- êîãî» äåéñòâèÿ). Ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèé (Ï.5) â óðàâíåíèÿ (Ï.2)–(Ï.4) ïîëó÷àåì â ÿâíîì âèäå âûðàæåíèÿ äëÿ âåðøèííûõ ÷àñòåé. Äëÿ ïðèìåðà ïðèâåäåì âûðàæåíèå äëÿ âåðøèííîé ôóíêöèè D�� , : D i T mc n d d d�� , ( ) ( )� ( ,� 3 6 9 3 1 2 3 1 2 2 2 q q q q q , � � �� 6 � � � � � �� 1 2 3 0 3 2 , , , ,( ) ( ) ( )q P q dn d i D i D 7 8 9 � � � � �� : ; < < i dn d i i D D0 2 2 3 � � �� , , , (Ï.6) ãäå P q( ) — ïðîèçâåäåíèå ïîëþñíûõ ÷àñòåé ôóíêöèé Ãðèíà (Ï.5). Âåðøèííûå ÷àñòè, çàâèñÿùèå îò äâóõ ÷àñòîò — � è �1, ïîñëå àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ i z�1 � áóäóò îïðåäåëåíû íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñ äâóìÿ ðàçðå- çàìè Im z � 0 è Im z �� . Òîãäà óðàâíåíèÿ äëÿ âåðøèí- íûõ ôóíêöèé (Ï.6) ìîãóò áûòü òðàíñôîðìèðîâàíû â óðàâíåíèÿ äëÿ ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé âäîëü ðàçðåçîâ ôóíêöèé D z( , )� . Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç D e ãðàíè÷íûå çíà÷åíèÿ D íà âíåøíèõ áåðåãàõ ðàçðåçà Im ,z � �0 0� , à ÷åðåç D i — ãðàíè÷íûå çíà- ÷åíèÿ íà âíóòðåííèõ áåðåãàõ Im ,z � � 0 0� , çàïèøåì ïîëó÷àåìóþ èç óðàâíåíèÿ (Ï.6) ïîñëå åãî àíàëèòè÷åñ- êîãî ïðîäîëæåíèÿ âäîëü ðàçðåçîâ ñèñòåìó èç ÷åòûðåõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé D z( , )� : C � � � ,� �D x i x E i T i d d dye �� , ( , ) ( )2 1 23 2 2 q , [ ( ) ( ) ( ) ( ) ,g x y g y g y E n y E DA R R B e �� g x y g y g y E n y DA A A B e �� ( ) ( ) ( ) ( ) , �g x y g y g y E n y E DA R A B i �� ( ) ( ) ( ) ( ) , � g x y g y g y E n y DA R A B i �� ( ) ( ) ( ) ( ) ], , (Ï.7) D � � � ,� �D x i i x i T i d d dye �� , ( , ) ( )2 1 23 2 2 q , � [ ( ) ( ) ( ) ( ) ,g x y g y E g y n y DR R B e �� E � � g x y g y E g y n y E DR A A B e �� ( ) ( ) ( ) ( ) , � �g x y g y E g y n y DR A R B i �� ( ) ( ) ( ) ( ) , � � �g x y g y E g y n y E DR A A B i �� ( ) ( ) ( ) ( ) ], , (Ï.8) D � � � ,� �D x i x E T i d d dyi �� , ( , ) ( )2 1 23 2 2 q , [ ( ) ( ) ( ) ( ) ,g x y g y g y E n y E DA R R B e �� g x y g y g y E n y DR A A B e �� ( ) ( ) ( ) ( ) , �g x y g y g y E n y E DA R A B i �� ( ) ( ) ( ) ( ) , � g x y g y g y E n y DR R A B i �� ( ) ( ) ( ) ( ) ], . (Ï.9) 412 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 Ý.À. Ïàøèöêèé, Ñ.È. Âèëü÷èíñêèé, À.Â. ×óìà÷åíêî C � � � ,� �D x E x i T i d d dyi �� , ( , ) ( )2 1 23 2 2 q , � [ ( ) ( ) ( ) ( ) ,g x y g y E g y n y DA R R B e �� g x y g y E g y n y E DR A A B e �� ( ) ( ) ( ) ( ) , � �g x y g y E g y n y DA R A B i �� ( ) ( ) ( ) ( ) , � � �g x y g y E g y n y E DR R A B i �� ( ) ( ) ( ) ( ) ], (Ï.10) (çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ CD e i, è DD e i, , êîòî- ðûå óêàçûâàþò, îòíîñèòåëüíî êàêîãî èç áåðåãîâ ðàçðå- çà çàïèñàíî óðàâíåíèå äëÿ ôóíêöèé D e è D i , à g R è g A — çàïàçäûâàþùèå è îïåðåæàþùèå ôóíêöèè Ãðèíà, nB � � (exp )�+ 1 1 — ôóíêöèÿ áîçå-ðàñïðåäåëåíèÿ). Êàê áûëî ïîêàçàíî â [2], â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè â óðàâíåíèÿõ äëÿ ôóíêöèé D íà âíåøíèõ áåðåãàõ ðàçðåçîâ çíà÷åíèÿ D e ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíûìè ñîîòâåòñòâóþ- ùèì íåïðèâîäèìûì âåðøèííûì ÷àñòÿì — D de � è òîëüêî óðàâíåíèÿ äëÿ D i — âíóòðåííèõ çíà÷åíèé ôóíê- öèé D, áóäóò íåòðèâèàëüíûìè. Â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó- ÷àå èìååì D de �� , ,� � 0, ïîýòîìó íåòðèâèàëüíûìè îñòàþòñÿ òîëüêî óðàâíåíèÿ (Ï.9) è (Ï.10), êîòîðûå ïîñëå àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùåé çàìåíû ïåðåìåííûõ y y E� . � îêàçûâàþòñÿ èäåíòè÷íûìè: D x E i d d di �� , ( , ) ( )� ,� 1 2 2 3 2 q q q , � ,� dy n y E n yB B[ ( ) ( )] , �g x y g y E g y D y ER R A i �� ( ) ( ) ( ) ( , ), . (Ï.11) Îñíîâíîé âêëàä â äåéñòâóþùèå íà ôóíêöèè D i èí- òåãðàëüíûå îïåðàòîðû îïðåäåëÿåòñÿ îêðåñòíîñòÿìè áëèçêîðàñïîëîæåííûõ ñèíãóëÿðíîñòåé, èìåþùèõ õà- ðàêòåð ïîëþñîâ ôóíêöèé Ãðèíà. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî èíòåãðè- ðîâàíèåì ïî ñèíãóëÿðíîñòÿì, âûíîñÿ íåñèíãóëÿðíûå ôóíêöèè çà çíàê èíòåãðàëà. 1. Þ.À. Íåïîìíÿùèé, ÆÝÒÔ 85, 1244 (1983); òàì æå 89, 511 (1985). 2. Â.Í. Ïîïîâ, Êîíòèíóàëüíûå èíòåãðàëû â êâàíòîâîé òåî- ðèè ïîëÿ è ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå, Àòîìèçäàò, Ìîñêâà (1976). 3. S. Chapmanand, T.G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-Uniform Gases, Cambrige University Press (1952). 4. Ñ.T. Áåëÿåâ, ÆÝÒÔ 34, 417 (1958); òàì æå 34, 433 (1958). 5. A. Chumachenko, S. Vilchynskyy, and M. Weyrauch, J. Phys. Stad. 11, 200 (2007). 6. À. ×óìà÷åíêî, ÓÔÆ 52, 709 (2007). 7. Þ.À. Íåïîìíÿùèé, Ý.À. Ïàøèöêèé, ÆÝÒÔ 98, 178 (1990). 8. Þ.À. Íåïîìíÿùèé, Ñ.È. Âèëü÷èíñêèé, ÔÍÒ 27, 253 (2001). 9. E.A. Pashitskij, S.V. Mashkevich, and S.I. Vilchynskyy, Phys. Rev. Lett. 89, 075301 (2002). 10. E.A. Pashitskij, S.V. Mashkevich, and S.I. Vilchynskyy, J. Low Temp. Phys. 134, 851 (2004). 11. F. Pistolesi, C. Castellani, C. Di Castro, and G.C. Strinati, Phys. Rev. B69, 024513 (2004). 12. Â.Ï. Ïåøêîâ, ÆÝÒÔ 18, 951 (1948). 13. A.R. Janzen and R.A. Aziz, J. Chem. Phys. 103, 9626 (1995). 14. Ý.Ë. Àíäpîíèêàøâèëè, ÆÝÒÔ 16, 780 (1946). 15. Â.Ë. Ãèíçáóðã, À.À. Ñîáÿíèí, ÓÔÍ 120, 153 (1976). Infrared peculiarities in the field theory of superfluidity and temperature corrections to the first and second sounds velocities in helium II E.A. Pashitskij, S.I. Vilchinskyy, and A.V. Chumachenko Using the modified Popov perturbation theory for strongly correlated Bose systems, which is free from infrared divergencies, high-order perturbative corrections to the self-energy parts of the theory of superfluidity are obtained. The calculation of these high-order corrections reduces to the solution of the kinetic equations from whence the temperature cor- rections to the velocities of the first and second sounds in the superfluid Bose liquid 4 Íå are calcu- lated. The temperature dependence of the superfluid component density is found using the theoretical model of superfluidity in which the superfluid com- ponent is considered as a mixture of the interaction depleted-single-particle and intensive pair conden- sates. PACS: 67.25.D– Superfluid phase 4 He; 67.25.dk Vortices and turbulence. Keywords: infrared divergencies, temperature cor- rections to sound velocities, temperature depend- ence of superfluid component density. «Èíôðàêðàñíûå» îñîáåííîñòè â ïîëåâîé òåîðèè ñâåðõòåêó÷åñòè Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2008, ò. 34, ¹ 4/5 413

«Инфракрасные» особенности в полевой теории сверхтекучести и температурные поправки к скоростям первого и второго звуков в гелии ІІ

Institution

Similar Items