Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах

Описано явление двойного нелинейного резонанса в нелинейном осцилляторе общего вида. Результаты применяются для описания двойного нелинейного ферромагнитного резонанса в одноосном ферромагнетике. Обсуждается возможность появления подобного резонанса в системе биотоков головного мозга....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Бакай, А.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України 2010
Назва видання:	Физика низких температур
Теми:	К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117446
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах / А.С. Бакай // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 8-9. — С. 994–1000. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-117446
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1174462017-05-24T03:04:02Z Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах Бакай, А.С. К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара Описано явление двойного нелинейного резонанса в нелинейном осцилляторе общего вида. Результаты применяются для описания двойного нелинейного ферромагнитного резонанса в одноосном ферромагнетике. Обсуждается возможность появления подобного резонанса в системе биотоков головного мозга. Описано явище подвійного нелінійного резонансу в нелінійному осциляторі загального вигляду. Результати застосовано для опису подвійного нелінійного феромагнітного резонансу в одновісному феромагнетику. Розглянуто можливість появи подібного резонансу в системі біострумів головного мозку. The phenomenon of double nonlinear resonance in a nonlinear oscillator of a general type is described. The results are used to describe of the double nonlinear ferromagnetic resonance in a uniaxial ferromagnet. A possibility of the appearance of such a resonance in a system of brain biocurrents is considered. 2010 Article Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах / А.С. Бакай // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 8-9. — С. 994–1000. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 05.45.–a, 87.15.A– http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117446 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара
spellingShingle	К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара Бакай, А.С. Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах Физика низких температур
description	Описано явление двойного нелинейного резонанса в нелинейном осцилляторе общего вида. Результаты применяются для описания двойного нелинейного ферромагнитного резонанса в одноосном ферромагнетике. Обсуждается возможность появления подобного резонанса в системе биотоков головного мозга.
format	Article
author	Бакай, А.С.
author_facet	Бакай, А.С.
author_sort	Бакай, А.С.
title	Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах
title_short	Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах
title_full	Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах
title_fullStr	Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах
title_full_unstemmed	Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах
title_sort	двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах
publisher	Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
publishDate	2010
topic_facet	К 80-летию со дня рождения В.Г. Барьяхтара
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117446
citation_txt	Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах / А.С. Бакай // Физика низких температур. — 2010. — Т. 36, № 8-9. — С. 994–1000. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Физика низких температур
work_keys_str_mv	AT bakajas dvojnojnelinejnyjrezonansvferromagnetikahidrugihdinamičeskihsistemah
first_indexed	2025-07-08T12:14:19Z
last_indexed	2025-07-08T12:14:19Z
_version_	1837080891961114624
fulltext	© А.С. Бакай, 2010 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9, c. 994–1000 Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах А.С. Бакай Национальный научный центр «Харьковский физико-технический институт» ул. Академическая, 1, г. Харьков, 61108, Украина E-mail: bakai@kipt.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 22 января 2010 г. Описано явление двойного нелинейного резонанса в нелинейном осцилляторе общего вида. Результаты применяются для описания двойного нелинейного ферромагнитного резонанса в одноосном ферромагнети- ке. Обсуждается возможность появления подобного резонанса в системе биотоков головного мозга. Описано явище подвійного нелінійного резонансу в нелінійному осциляторі загального вигляду. Ре- зультати застосовано для опису подвійного нелінійного феромагнітного резонансу в одновісному феро- магнетику. Розглянуто можливість появи подібного резонансу в системі біострумів головного мозку. PACS: 05.45.–a Нелинейная динамика и хаос; 87.15.A– Теория, моделирование и компьютерное моделирование. Ключевые слова: нелинейный резонанс, феромагнитный резонанс, биотоки мозга. 1. Введение Во второй половине прошлого века в физике и дру- гих естественных науках значительное место заняли исследования явлений, обусловленных нелинейными динамическими и кинетическими процессами. В этом нет ничего удивительного, если учесть, что линейная динамика теряет применимость, как только отклонение от состояния устойчивого равновесия в известном смысле не мало и не затухает со временем. При потере равновесным состоянием устойчивости линейная ди- намика описывает начальный этап эволюции, но бес- полезна при поисках тех устойчивых состояний, в ко- торые система может со временем перейти. В давней работе, выполненной с В.Г. Барьяхтаром [1], исследо- ван специальный случай подобных явлений — пара- метрическая неустойчивость звуковых волн под дейст- вием переменного однородного магнитного поля в магнитоупругом твердом теле. Нами был получен кри- терий неустойчивости основного состояния тела и найдены амплитуды звуковых волн в асимптотически устойчивом динамическом состоянии. Несколько поз- же в близком подходе был рассмотрен нелинейный ферромагнитный резонанс [2]. В ту же пору нами об- суждались вопросы нелинейной динамики более слож- ных систем, но в силу сложившихся обстоятельств эти исследования не были завершены. Подготовка к изда- нию настоящего выпуска журнала «ФНТ» — хороший повод для того, чтобы вернуться к рассмотрению од- ной из обсуждавшихся ранее проблем, которая не ут- ратила своей актуальности до сих пор. Речь идет о не- линейной динамике электромагнитных ритмов мозга, которой Н. Винер уделил большое внимание [3]. Об- щим у разнообразных нелинейных явлений (к которым относится и нелинейная динамика альфа-ритма, обна- руженного при помощи электроэнцефалограмм) явля- ется применимость сравнительно простых математиче- ских моделей для их интерпретации. В одних случаях они позволяют достаточно полно описать динамику системы, как бывает в задачах о нелинейных коллек- тивных возбуждениях в твердом теле. В других случа- ях достигается качественное понимание природы на- блюдаемого явления или проверка различных гипотез. Только на это пока и можно рассчитывать при попытке применить ту или иную простую нелинейную динами- ческую модель для анализа такого сложного объекта как электромагнитная активность головного мозга. В настоящей публикации начнем с описания явле- ния двойного нелинейного резонанса в колебательной системе с амплитудно-модулированной периодической внешней силой (разд. 2). Ввиду очевидной общности выбранной модели это явление может проявиться в колебательных и волновых процессах разнообразной природы. В качестве примера ограничимся описанием Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 995 двойного нелинейного резонанса в ферромагнетике (разд. 3) и кратко обсудим возможность его проявле- ния в электромагнитных колебаниях мозга (разд. 4), отмечая важность этой проблемы и отдавая дань при- знания пионерским работам Винера в ее изучении. 2. Явление двойного нелинейного резонанса Рассмотрим движение нелинейного осциллятора под действием внешней силы ( )F t вблизи состояния покоя ( 0).u = Гамильтониан удобно представить в следующем виде: 4 1 4 1 1 ( ) ( ) 2 8 Η u u V u u F t u∗ ∗ ∗= ω + + + + к. с. (1) Здесь ,ω V — коэффициенты разложения потенци- альной энергии по степеням ,u .u∗ Кубические ангар- монизмы не включены в (1), поскольку они не дают вклада в динамику в низшем приближении асимптоти- ческих разложений, используемом ниже. Обозначение гамильтониана субиндексом «1» введено, чтобы отли- чать его от гамильтониана для медленных переменных 2( , ),a ϑ который будет получен ниже в результате ус- реднения. В пренебрежении слагаемыми четвертого порядка по u в 1Η осциллятор совершает свободные гармони- ческие колебания 0exp( )u a i t i≈ − ω + θ с амплитудой a и начальной фазой 0ϑ . Под действием резонансной периодической силы 0( ) e ,i tF t f −= v ,vω− << ω в ли- нейном приближении появляется решение, описываю- щее вынужденные колебания, exp ( ),u a i t i= − + ϑv с амплитудой a и фазой ,ϑ зависящими от 0.f Для учета диссипации введем диссипативную функцию D uu∗= γ (2) с коэффициентом ,γ который считается малым, .γ << ω В противном случае диссипация становится доминирующей и интересующие нас нелинейные эф- фекты подавляются. Нелинейный резонанс вида систем (1), (2) детально изучен [4–6]. Эти результаты успешно применялись для описания нелинейных резонансных явлений в раз- нообразных физических системах, включая динамику сплошных сред (систем с распределенными парамет- рами). Вследствие нелинейности отклика системы на действие внешней силы принцип суперпозиции дейст- вия отдельных составляющих внешней силы ( )F t не выполняется и задача (1), (2) не решается в общем виде. Поэтому каждый новый вид функции ( )F t может при- вести к качественным изменениям состояний движения. Рассмотрим динамику под влиянием амплитудно- модулированной периодической силы ( )0 1 1( ) cos e ,i tF t f f t −= + Ω v (3) считая частоту модуляции низкой, 1Ω ν .<< Как обычно, будем искать решение уравнений дви- жения, вытекающих из (1), (2), в виде exp ( ),u a i t i= − + ϑv (4) считая a и ϑ медленно меняющимися величинами, / , / 1.a aν ϑ ν << Подставив (4) в уравнения движения 1 , Ηu Di i i t u u∗ ∗ ∂∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ (5) произведем их усреднение по времени на одном пе- риоде 2, .t t π⎡ ⎤+⎢ ⎥ν⎣ ⎦ При усреднении коэффициентов уравнения a и ϑ считаются постоянными. В результате получим урав- нение известного вида i a t ∂⎛ ⎞+ γ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ( ) 02 0 1 1cos e ,i tV a a f f t Δ+ + Ω 0 .Δ = ω−ν (6) Ввиду медленности изменения амплитуды внеш- ней силы она также не претерпела изменений после усреднения. Полагая 0exp( ),a b i t= − Δ (7) получаем следующее уравнение: 2 0 0 1 1( cos ).i b V b b f f Ω t t ∂⎛ ⎞+ γ = −Δ + + +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (8) Переходя к вещественным переменным ,A b= [ ]θ arg 0 2πb ,= ∈ , имеем ( )0 1 1 2 1 1 0 cos sin , cos cos . dAA A f f Ω t dt f f td VA dt A ≡ = −γ − + ϑ + Ωϑ θ ≡ = Δ − − ϑ (9) Поскольку нас будет интересовать случай слабой дис- сипации и малой амплитудной модуляции, выясним особенности динамики системы (9) при 1 0,fγ = = а затем рассмотрим ее в общем случае. Для определен- ности рассмотрим случай 0V > , что не ограничивает общности задачи. А.С. Бакай 996 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 Рис. 1. Резонансные кривые ( )a−ν = ν и ( )a+ν = ν (жирные и штриховая линии). Тонкой линией показана скелетная кри- вая ( ).aν = ω 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 ×àñòîòà, �� –(a) ��(a) � �( ) À ì ï ë è òó ä à, ï ð î è çâ . ä . e При 1 0f = уравнения (9) не содержат зависящих явно от t коэффициентов и допускают достаточно полное качественное исследование с привлечением метода фазовой плоскости (см., например, [4,5]). Избе- гая ненужных повторений, приведем его наиболее важные для дальнейшего исследования результаты. При 0γ = система (9) является гамильтоновой с ка- ноническими переменными 2( , ).A ϑ Гамильтониан таков: 2Η = 2 2 0 0 1 2 cos . 2 VA A f⎛ ⎞−Δ + + ϑ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (10) Уравнения для неподвижных особых точек ( θ 0)A = = определяют так называемые резонансные кривые, устанавливающие зависимость амплитуды и фазы стационарных колебаний от амплитуды и часто- ты вынуждающей силы 0 sin 0;f ϑ = 2 0 0 cos 0. f VA A Δ − + ϑ = (11) Первое из этих уравнений имеет решения 0+ϑ = ϑ = и −ϑ = ϑ = π . Второе из уравнений (11) имеет только одно решение ( )pA A ν−= при −ϑ = ϑ , при всех значе- ниях частоты .ν При +ϑ = ϑ вещественных решений два, A ( )p ν+ и A ( ).s ν+ . Эти решения существуют при 2 :ν ν> 1/32 0V3 . 2 2 f ν∗ ⎛ ⎞ = ω+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (12) Уравнения для резонансных кривых удобно пред- ставить в разрешенном относительно ν виде: 2 0( ) . f ν ν A VA A±= = ω+ ± (13) Вид этих кривых представлен на рис. 1. Здесь тонкой сплошной линией изображена так называемая скелет- ная кривая 2ν VA= ω+ . Штриховой линией изображе- на ветвь кривой ( ),ν ν A−= на которой лежат значения амплитуд неустойчивых колебаний ( ).s pA ν Сплошны- ми жирными линиями показаны ветви ( )pA ν+ и ( ),pA ν− отвечающие устойчивым колебаниям с постоянной амплитудой. Упомянутая устойчивость неподвижной точки и динамика движения в ее малой окрестности определя- ются из линеаризованных в ее окрестности уравнений движения 0ηcosi ifξ = ϑ , η ,i i= α ξ (14) где i iA Aξ = − , iη = ϑ−ϑ , 2 02 cos ,i i i i f VA A α = + ϑ (15) индекс i нумерует особые точки. Квадраты собственных частот 2 0Ωi i f= −α положи- тельны при ( ).pA A ν±= При ( )sA A ν+= эта величина отрицательна. Таким образом, ветви ( ),p iA A ν±= ±ϑ = ϑ определяют положения эллиптических непод- вижных точек (центров), а ветвь ( )sA A ν+= , +ϑ = ϑ определяет неустойчивые гиперболические неподвиж- ные особые точки. Заметив, что уравнение 2 ( , ) constΗ A ϑ = (16) определяет фазовые траектории и позволяет найти ре- шения бездиссипативной системы при 1 0f = в инте- гралах, приведем фазовые портреты системы в основ- ной резонансной области при ω ω,ν − << представляющей для нас главный интерес (рис. 2,а). Обратим внимание на то, что сепаратриса области ос- цилляции фазы вокруг центра _ϑ = ϑ проходит через точки 0,A = π 2,/ϑ = 3π 2,/ являющиеся особыми точками второго из уравнений (9), и разделяет фазовые траектории с монотонным и осциллирующим измене- нием фазы .ϑ Ширина этой области по ,A являющаяся одной из важных характеристик нелинейного резонан- са, пропорциональна 1/3 0( / ) .f V Перейдем теперь к рассмотрению нелинейного ре- зонанса при 1γ, 0.f ≠ Наиболее интересен для различ- ных приложений случай слабой диссипации, когда γ << Ω .i Заметим, что это условие более сильное, чем условие проявлений обычного резонанса, γ << ω , по- скольку в нашем случае Ω << ω. При γ 0≠ и γ << Ωi центры становятся фокусами — асимптотически ус- тойчивыми неподвижными точками, а седловые точки (являясь грубыми) лишь незначительно смещаются. Фазовая картина в области основного резонанса при ,ν ν∗< ν ν∗> и 1 0f = показана на рис. 2,б. Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 997 Рис. 2. Фазовые портреты в переменных амплитуда–фаза в окрестности основного резонанса: (a) — бездиссипативной системы с эллиптической неподвижной точкой (центром); (б) — та же резонансная область при наличии диссипации, центр превращается в асимптотически устойчпвый фокус; (в) — та же резонансная область при наличии диссипации при выполнении условия двойного резонанса (23), фокус становится неустойчивым и фазовые траектории асимптоти- чески стремятся к устойчивому предельному циклу, ампли- туда которого определена уравнением (24). a á â 0 0 0 � 2�2�2� �� À � Из уравнений (9), (14) видно, что при амплитудной модуляции внешней силы коэффициенты уравнений, описывающих движение в окрестности устойчивого фокуса, периодически меняются со временем. Это при известных условиях может привести к параметриче- ской неустойчивости фокуса. Для выяснения этих ус- ловий рассмотрим уравнение движения в окрестности фокуса ф( , ).A− −ϑ Рассмотрение движения в окрестно- сти второго фокуса (когда он существует) проводится точно так же. Как и прежде, разложим уравнения в окрестности фокуса по отклонениям (ξ,η), но при этом учтем слагаемые вплоть до кубических. Это позволит найти уровень насыщения параметрической неустойчи- вости. В результате этой процедуры получаем: 2 2 3 - - 1 – 1η + γη +Ω (1 cosΩ )η Ω η 0 6 f t− − − −+ + = , (17) где 0 1 ф 0 1 . f f f fA − − − ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎜ ⎟α⎝ ⎠ (18) В уравнении (17) опущены квадратичные по +η сла- гаемые, которые не дают вклада в медленное измене- ние амплитуды и фазы колебаний величины η. Будем искать решение уравнения (17) в виде 1 1 1η [ exp( Ω / 2) exp( Ω / 2)] . 2 B i t B i t− − −= − + − (19) В результате подстановки (19) в (17) и последующе- го усреднения на периоде [ ]02π/Ωt,t + получим сле- дующее уравнение: 2 2 20 1 1 Ω Ω Ωγ 1Ω 0. 2 2 8 Ω Ω i B B B f B t ∗− + − − − − −− ⎡ ⎤∂⎛ ⎞+ − − − + =⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (20) Это уравнение имеет решение 0B− = при всех значе- ниях параметров γ и .f Чтобы найти другие решения, обратимся к вытекающим из (20) уравнениям для ста- ционарных амплитуды B− и фазы ψ arg .B− −= (γ sin 2ψ ) 0;B g− − −− = 2 1 Ω 2 ; Ω f g − − − = (21) 2 2 1 1 Ω1 1Ω Ω cos 2ψ 0. 2 8 Ω B g− − − − −− − − = Вещественные решения sin 2ψ γ /g− −= , (22) 2 2 2 2 1 1 Ω1Ω 2Ω γ 4 Ω B g− − − −= + ± − существуют при γ .g− < Это и есть условие наличия параметрического резонанса. Исследуя найденные решения на устойчивость, на- ходим, что решение 0B = неустойчиво, если 2 2 12Ω Ω γg+ − < − . (23) При этом существует устойчивое решение с 0B− ≠ , определяемое уравнениями (22) со знаком «–» перед корнем во втором из них: 2 2 21 12 4Ω 2Ω Ω γ Ω B g− − − − ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (24) Это уравнение определяет амплитуду устойчивого предельного цикла в окрестности потерявшего устой- чивость фокуса ( , ),A− −ϑ рис. 2,в. Положив 12Ω Ω ,− = получим характерную оценку величины амплитуды устойчивых колебаний: 2 2 1/44( γ ) .B g− −= − (25) Комбинируя (4), (7), (14) и (19), получаем выраже- ния, описывающие устойчивые колебания при обыч- ном и двойном резонансе: ( ) ( )( ) [ ξ( )]cos[ γ η( )] 2 u t u tx t A t νt t− − + = = + + ϑ + = 1 1Ω Ω sin ψ 2 2 B t A − − − − ⎡ α ⎤⎛ ⎞= − + ×⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 1Ωcos cos ψ . 2 t νt B− − − ⎡ ⎤⎛ ⎞× + ϑ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (26) А.С. Бакай 998 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 Рис. 3. Зависимость частоты колебаний амплитуды и фазы −Ω в окрестности устойчивой неподвижной точки от основной частоты вынуждающей силы при постоянной амплитуде .f 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 0,06 0,10 0,14 0,18 0,22 0,26 �� / Как видно, при двойном нелинейном резонансе имеет место амплитудная и частотная модуляции колебаний. Поскольку в интересующем нас случае 1,−ϑ << то с точностью до слагаемых 2( )O B− 1 1Ω Ω1( ) cos sin ψ 2 2 2 x t A νt B A ν t− − − − − ⎧ α ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= − + + + +⎨ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎣ ⎦⎩ 1 1Ω Ω sin ν ψ . 2 2 A t− − − ⎫α ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪+ − − − ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦⎭ (27) Таким образом, при двойном нелинейном резонансе в спектре вынужденных колебаний наряду с основной частотой ν появляются комбинированные гармоники 0Ω / 2ν ± с амплитудами 2 2 1/4~ ~ ( γ ) .B g− − − Полезно привести зависимость частоты Ω_ от ν в области главного резонанса (рис. 3). Как видно, Ω_ достигает минимума при / 0,A− −′∂α ∂ = т.е. при ( ) 1/3 0 4( / V ) .mA A f− −= = (28) При этом .*ν ν− < При 1Ω Ω−<< параметрический резонанс отсутст- вует, а амплитуда установившихся колебаний совер- шает медленные колебания с частотой 1Ω : 0 0 1 1 0 A ( ) ( ) ( ) cosΩ . f A t A f f t f − − − ∂ = + ∂ (29) При 1Ω Ω−>> влиянием амплитудной модуляции вынуждающей силы можно пренебречь. 3. Двойной нелинейный ферромагнитный резонанс Приведем уравнения движения магнитного момента под действием внешнего периодического магнитного поля в том виде, который использован в статье [2], но будем считать амплитуду поля периодически меняю- щейся с низкой частотой, как и в модели (1)–(3). Рассмотрим одноосный ферромагнетик в однород- ном переменном магнитном поле 1( ) 2 (1 cosΩ ) cos .x yh h ih H h h t νt± = ± = + = + (30) Поле направлено перпендикулярно оси анизотропии (ось z). Его частота ν близка к резонансной частоте, а амплитуда модулирована с частотой 1Ω ν<< и глуби- ной модуляции .h Циркулярные составляющие магнитного момента x ym m im± = ± удовлетворяют уравнению движения [2] 2 2 0γ ω 2 ( ),am m m ig M a H± ± ±= − +∓ ∓ (31) где 2 ;a m m+ −= 2 2 2 0 0ω ( ) ,a ag H M a W a⎡ ⎤′= + −⎢ ⎥⎣ ⎦ 0M — величина намагниченности; 0H — внутреннее постоянное магнитное поле; 2( )W a — плотность энергии анизотропии; g — гиромагнитное отношение; γ — коэффициент затухания однородной прецессии. Если искать решение уравнения (31) в виде ( ) exp ( ),m m b t ivt∗ + −= = − (32) то для амплитуды ( )b t получаем следующее уравнение: 2 2( ) ( , )i γ b a b f a t t ∂⎛ ⎞+ = Δ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ , (33) где 2 2 2 2 0 1 arg ; e ; ( ) ν ω ; ( ) (1 cosΩ ). i ab b a a f a ,t g M a h h t ϑϑ = = Δ = − = − + (34) Если в разложении величины ωa по степеням 2a сохранить только первые два слагаемые, а в разложе- нии 2( )f a ,t оставить только нулевое по 2a влагаемое (что оправдано ввиду предполагаемой малости вели- чины f), то мы приходим к уравнению вида (8) и мо- жем воспользоваться результатами исследования его решений. Несущественное отличие заключается в том, что постоянная V в случае уравнения (33) отрицатель- на. Это, однако, не меняет критерия существования двойного нелинейного резонанса и описания его ха- рактеристик. Что же касается обычного нелинейного ферромагнитного резонанса (при 0f = ), то его де- тальное исследование содержится в работе [2]. Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 999 Рис. 4. Схематическое изображение «мгновенного» спектра одной из возможных реализаций альфа-колебаний — верете- нообразного цуга; αω — среднее значение частоты альфа- колебаний. Боковые максимумы расположены при .± α −ω = ω = ω ± Ω � �� à�� 4. Возможность двойного нелинейного резонанса в электромагнитных колебаниях мозга С самого начала следует отметить, что электромаг- нитная активность мозга, в основе которой лежат сложные биохимические автоколебательные процессы, является составляющей физиологической активности организма. Их моделирование при помощи сравнитель- но простых динамических систем заведомо не может претендовать на полноту. Однако при существовании сравнительно простых стационарных колебательных режимов в отдельных участках мозга и их наблюдае- мых изменений под действием контролируемых внеш- них (по отношению к отдельному участку) воздейст- вий можно попытаться понять природу колебательного режима, привлекая ту или иную модель. Для опреде- ленности будем говорить об альфа-колебаниях коры головного мозга, характерные частоты которых лежат в интервале 8–13 Гц. Установлено, что альфа-колеба- ния инициируются находящимися в теле таламуса пейсмейкерами — автоколебательными ячейками, за- дающими ритмы и амплитуды электромагнитных ко- лебаний мозга [7]. Обнаружено, что спектр альфа-коле- баний коры перестраивается под действием внешних периодических (электростатических, световых и др.) воздействий. При этом форма спектра сходна с пред- ставленной на рис. 4. Вокруг основного центрального пика формируются боковые максимумы, отделенные от центрального пика провалами. Подобные «мгновенные» спектры альфа-колебаний участков коры формируются и без внешних воздействий, а сами колебания при этом приобретают форму веретенообразных цугов, т.е. ам- плитудно-модулированных пакетов. Винер уделил мно- го внимания объяснению природы спектров такого ви- да, основываясь на предположении о нелинейности альфа-колебаний (что надежно установлено), на свой- ствах отклика нелинейных систем на шумы и меха- низмах их саморегулирования [3]. При этом он выска- зал гипотезу о том, что альфа-ритмы выполняют сканирующую роль при поступлении в мозг сигналов от органов чувств, что служит упорядочению и накоп- лению поступающей информации. Эта гипотеза не на- шла позже должного подтверждения и была оспорена. Как мы могли убедиться, у нелинейных осциллято- ров, возбуждаемых периодической силой, возникает зависящая от амплитуды внешней силы и ангармониз- ма осциллятора частота колебаний амплитуды и фазы Ω вокруг равновесных значений. У системы нелиней- ных осцилляторов со случайно распределенными па- раметрами спектр частот Ω размыт вокруг их средних значений. Что касается механизма возбуждения коле- баний амплитуды и фазы, то они могут порождаться как случайными, нерегулярными кооперативными сиг- налами (шумами), так и амплитудно-модулирован- ными сигналами, поступающими от пейсмейкеров. В последнем случае может иметь место двойной нели- нейный резонанс. В пользу правдоподобности существования двойно- го нелинейного резонанса в ритмах мозга говорит тот факт, что явление параметрического возбуждения при- суще коллективным колебаниям мозга. Это явление обнаружено при изучении патологических пароксиз- мальных ритмов, при которых колебания малой ам- плитуды в коре головного мозга скачком переходят в колебания большой амплитуды на половинной частоте [8,9]. Поскольку возникновение при патологиях второ- го (параметрического) резонанса приводит к синхро- низации колебаний как на основной частоте, так и на некоторых низких частотах, то можно предположить, что излишняя синхронизация колебаний коры — не- желательное отклонением для нормального функцио- нирования головного мозга. Следует иметь в виду, что и нелинейный отклик участков коры, и автоколебания пейсмейкеров — со- ставляющие сложной самоорганизованной системы, что каждая из этих подсистем является открытой, а электромагнитная активность — кооперативной. По- этому простые модели и протекающие в них нелиней- ные явления (подобные двойному нелинейному резо- нансу) необходимы ввиду своей общности и «типич- ности», но не могут претендовать на какую-либо пол- ноту моделирования или служить основой для далеко идущих выводов. В обзоре [10] упоминаются различные типы устой- чивых динамических состояний электромагнитной активности мозга: фокусы, предельные циклы, торы и стохастические аттракторы. Найденный нами аттрак- тор является устойчивым двумерным тором. Это, ко- нечно, не исключает существования других устойчи- вых состояний при более сложных внешних силах (сигналах пейсмейкеров) и взаимодействиях соседних «осцилляторов» коры. А.С. Бакай 1000 Физика низких температур, 2010, т. 36, № 8/9 Заключение Двойной нелинейный резонанс — типичное ангар- моническое явление. Оно присуще системам различ- ной физической природы. Рассмотренные здесь фер- ромагнетик в однородном переменном магнитном поле и система биотоков мозга являются примерами про- стой (ферромагнетик) и сложной (биотоки мозга) ди- намической систем. То обстоятельство, что двойной нелинейный резонанс до сих пор не привлекал внима- ния исследователей (насколько мне известно), говорит о том, что пока не обнаружено систем и не создано устройств, в которых это явление играло бы домини- рующую роль. Следует еще раз отметить различие между «обыч- ными» нелинейными резонансами и описанным в на- стоящей работе двойным резонансом. В бездиссипатив- ной нелинейной системе, частота собственных колебаний которой зависит от амплитуды по некоторо- му закону ( ),aω при действии условно-периодической силы с частотами 1 2Ω ,Ω ,...,Ωm имеются резонансы при всех комбинированных частотах, таких, что 0 1 1Ω ... Ω 0m mK a K Kω( ) + + + = ( 0 ,..., mK K — целые числа). Как видно, таких резонансов и, соответственно, резонансных областей в фазовом пространстве имеется счетное множество. Важно, что в общем случае разме- ры резонансных областей весьма быстро уменьшаются с ростом кратности резонанса, 0 , m iK K=∑ так что от- носительная мера резонансных областей мала вместе с амплитудами внешних сил [11–13]. Затухание подавляет резонансы. В рассмотренной нами диссипативной модели (1), (2) при выбранных ограничениях на амплитуды и коэффициент затухания существует не более двух обычных резонансных об- ластей, где .a νω( ) = Второй из описанных резонансов не связан с соиз- меримостью собственной частоты aω( ) и частот внешней силы. Он обусловлен тем, что с устойчивым состоянием движения в резонансной области (ему со- ответствует центр на рис. 2,a) связана частота колеба- ний амплитуды и фазы 1/2Ω ~ ( ) .f− α Она и порождает свое множество резонансов, один из которых описан в настоящей статье и назван двойным нелинейным. Автор благодарен В.Г. Барьяхтару и Б.И. Иванову за полезные обсуждения. 1. А.С. Бакай, В.Г. Барьяхтар, ЖЭТФ 58, 1342 (1970). 2. А.И. Ахиезер, А.С. Бакай, УФЖ 13, 355 (1969). 3. Н. Винер, Нелинейные задачи в теории случайных процессов, Изд-во иностр. лит., Москва (1961). 4. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, Асимптотичес- кие методы в теории нелинейных колебаний, Физматгаз, Москва (1958). 5. А.С. Бакай, Дифференциальные уравнения 2, 479 (1966). 6. А.С. Бакай, Дифференциальные уравнения 2, 1428 (1966). 7. P. Andersen and S.A. Anderson, Physiological Basis of the Alpha-rythm, Appleton, N.-Y. (1968). 8. М.С. Гурфинкель, С.М. Осовец, Биофизика 8, 731 (1973). 9. С.М. Осовец, Д.А. Гинзбург, В.С. Гурфинкель и др. в кн.: Нелинейные волны, Стохастичность и турбулент- ность, М.И. Рабинович (ред.), ИПФ АН СССР, Горький (1980), стр. 172. 10. C.J. Stam, Clinical Neurophysiology 116, 2266 (2005). 11. А.Н. Колмогоров, ДАН СССР 98, 527 (1954). 12. В.И. Арнольд, УМН 18, 91 (1963). 13. I. Moser, Proc. Nat. Ac. Sci. USA 47, 1824 (1961). Double nonlinear resonance in ferromagnets and other dynamic systems А.S. Bakai The phenomenon of double nonlinear resonance in a nonlinear oscillator of a general type is described. The results are used to describe of the double nonli- near ferromagnetic resonance in a uniaxial ferromag- net. A possibility of the appearance of such a reson- ance in a system of brain biocurrents is considered. PACS: 05.45.–a Nonlinear dynamics and chaos; 87.15.A– Theory, modeling, and computer si- mulation. Keywords: nonlinear resonance, ferromagnetic re- sonance, brain biocurrents.

Двойной нелинейный резонанс в ферромагнетиках и других динамических системах

Репозитарії

Схожі ресурси