Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції

У статті запропоновано алгоритм диференціальної еволюції для найкращої рівномірної апроксимації функцій багатьох змінних. Наведені результати обчислювальних експериментів, які підтверджують його ефективність. Показані переваги алгоритму диференціальної еволюції порівняно з традиційними алгоритмами а...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автор:	Вакал, Л.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2017
Назва видання:	Математичні машини і системи
Теми:	Моделювання і управління
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117509
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції / Л.П. Вакал // Математичні машини і системи. — 2017. — № 1. — С. 90-96. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-117509
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1175092017-05-24T03:03:02Z Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції Вакал, Л.П. Моделювання і управління У статті запропоновано алгоритм диференціальної еволюції для найкращої рівномірної апроксимації функцій багатьох змінних. Наведені результати обчислювальних експериментів, які підтверджують його ефективність. Показані переваги алгоритму диференціальної еволюції порівняно з традиційними алгоритмами апроксимації. В статье предложен алгоритм дифференциальной эволюции для наилучшей равномерной аппроксимации функций многих переменных. Приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие его эффективность. Показаны преимущества алгоритма дифференциальной эволюции по сравнению с традиционными алгоритмами аппроксимации. It is proposed a differential evolution algorithm for best uniform approximation of many-variables functions. It is presented numerical experiments results confirming the algorithm efficiency. It is shown advantages of the differential evolution in comparison with the traditional approximation algorithms. 2017 Article Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції / Л.П. Вакал // Математичні машини і системи. — 2017. — № 1. — С. 90-96. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117509 519.6:004.021 uk Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Моделювання і управління Моделювання і управління
spellingShingle	Моделювання і управління Моделювання і управління Вакал, Л.П. Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції Математичні машини і системи
description	У статті запропоновано алгоритм диференціальної еволюції для найкращої рівномірної апроксимації функцій багатьох змінних. Наведені результати обчислювальних експериментів, які підтверджують його ефективність. Показані переваги алгоритму диференціальної еволюції порівняно з традиційними алгоритмами апроксимації.
format	Article
author	Вакал, Л.П.
author_facet	Вакал, Л.П.
author_sort	Вакал, Л.П.
title	Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції
title_short	Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції
title_full	Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції
title_fullStr	Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції
title_full_unstemmed	Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції
title_sort	апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Моделювання і управління
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/117509
citation_txt	Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції / Л.П. Вакал // Математичні машини і системи. — 2017. — № 1. — С. 90-96. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.
series	Математичні машини і системи
work_keys_str_mv	AT vakallp aproksimacíâfunkcíjbagatʹohzmínnihízzastosuvannâmalgoritmudiferencíalʹnoíevolûcíí
first_indexed	2025-07-08T12:23:04Z
last_indexed	2025-07-08T12:23:04Z
_version_	1837081441838563328
fulltext	90 © Вакал Л.П., 2017 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 1 УДК 519.6:004.021 Л.П. ВАКАЛ * АПРОКСИМАЦІЯ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ ІЗ ЗАСТОСУВАННЯМ АЛГОРИТМУ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ЕВОЛЮЦІЇ * Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, Київ, Україна Анотація. У статті запропоновано алгоритм диференціальної еволюції для найкращої рівномір- ної апроксимації функцій багатьох змінних. Наведені результати обчислювальних експериментів, які підтверджують його ефективність. Показані переваги алгоритму диференціальної еволюції порівня- но з традиційними алгоритмами апроксимації. Ключові слова: алгоритм диференціальної еволюції, функція багатьох змінних, найкраща рівномірна апроксимація. Аннотация. В статье предложен алгоритм дифференциальной эволюции для наилучшей равно- мерной аппроксимации функций многих переменных. Приведены результаты вычислительных экспе- риментов, подтверждающие его эффективность. Показаны преимущества алгоритма дифференци- альной эволюции по сравнению с традиционными алгоритмами аппроксимации. Ключевые слова: алгоритм дифференциальной эволюции, функция многих переменных, наилучшая равномерная аппроксимация. Abstract. It is proposed a differential evolution algorithm for best uniform approximation of many- variables functions. It is presented numerical experiments results confirming the algorithm efficiency. It is shown advantages of the differential evolution in comparison with the traditional approximation algo- rithms. Keywords: differential evolution algorithm, many- variables function, best uniform approximation. 1. Вступ Найкращі рівномірні (чебишовські) наближення функцій використовують для виконання розрахунків у багатьох областях науки і техніки [1 11]. Для випадку функцій однієї змін- ної створено ефективні алгоритми наближення лінійними апроксимантами (многочленами, узагальненими поліномами та ін.), а також деякими типами нелінійних апроксимантів [1, 3, 10, 12]. Алгоритмічний арсенал для апроксимації функцій багатьох змінних є значно скро- мнішим. Знайти найкраще наближення у багатовимірному випадку досить складно, відпо- відні алгоритми використовують чисельні методи, які мають значну обчислювальну тру- домісткість як самих розрахунків, так і підготовки даних. У статті для найкращого рівномірного наближення функції багатьох змінних пропону- ється алгоритм диференціальної еволюції (ДЕ). Він ґрунтується на моделюванні процесу створення, модифікації та відбору кращих розв’язків (у термінах алгоритму ДЕ − векторів) з метою появи нових, ще кращих варіантів розв’язання задачі. Алгоритм ДЕ простий у реа- лізації та використанні (містить мало параметрів, що потребують підбору), легко розпара- лелюється. 2. Постановка задачі Нехай 1 2 1{ ( , , , )}m k k k lk kD X x x x множина точок l -вимірного простору, ( )f X за- дана на D функція, клас функцій 1 2{ ( ; , , , )}nX a a a , де na,,a,a 21 параметри. За- дача найкращої зваженої (з ваговою функцією ( ) 0w X ) рівномірної апроксимації фор- мулюється таким чином. Необхідно знайти величину ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 1 91 1minmax ( ) ( ; , , ) ( ) k k k n k X D f X X a a w X (1) і функцію * * 1( ; , , )nX a a з класу , для якої * * 1max ( ) ( ; , ) ( ) k k k n k X D f X X a a w X . (2) Величина і функція * * 1( ; , , )nX a a називаються відповідно похибкою та апрок- симантом найкращого рівномірного (чебишовського, мінімаксного) наближення. При ( ) 1w X маємо задачу найкращого абсолютного наближення, при ( ) 1 ( )w X f X най- кращого відносного наближення. Єдиність апроксиманта найкращого рівномірного наближення для функції багатьох змінних у загальному випадку не доведена. В залежності від функції ( )f X , класу і об- ласті D апроксимант найкращого наближення може бути один або таких апроксимантів може бути багато [1]. Методи й алгоритми наближення функцій багатьох змінних розроблені в основному для випадку, коли апроксимант залежить від параметрів 1, , na a лінійно, наприклад, є узагальненим поліномом 1 1 ( ; , , ) ( ) n n j j j X a a a X (3) за системою базисних функцій 1( ), , ( )nX X . Найбільшого поширення на практиці для знаходження апроксимантів вигляду (3) набув підхід, який полягає у зведенні задачі найкращого рівномірного наближення до задачі лінійного програмування [1, 13 16]. Крім того, для побудови узагальненого полінома (3) можна застосовувати методи мінімізації опуклих функцій, зокрема, метод узагальненого градієнтного спуску, та інші методи без використання похідних функції [17, 18]. Для випадку, коли параметри 1, , na a входять в апроксимант нелінійно, алгоритми найкращого рівномірного наближення розроблені переважно для апроксимації раціональ- ними дробами. Зокрема, декілька алгоритмів дробово-раціонального наближення функцій багатьох змінних [19, 20] створено на основі методу диференціальної корекції для функції однієї змінної [21], в якому розв’язання задачі нелінійної апроксимації зводиться до послі- довного розв’язання задач лінійного програмування. Кожний з алгоритмів багатовимірної апроксимації має свої переваги й недоліки, але водночас спільним для них є вузька спеціалізація, тобто наближення апроксимантами тіль- ки певного класу, а також громіздкість чисельної реалізації. Тому актуальна задача ство- рення універсальних і водночас ефективних та нескладних у реалізації алгоритмів найкра- щої рівномірної апроксимації функцій багатьох змінних. У статті пропонується підхід, згідно з яким параметри апроксиманта найкращого рів- номірного наближення для функції багатьох змінних знаходяться за допомогою методу дифе- ренціальної еволюції як розв’язок задачі оптимізації 1 min, [ ( ) ( ; , , )] ( ) , , 1, , 0. k k n k i f X X a a w X X D k m (4) 92 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 1 3. Диференціальна еволюція Метод ДЕ, запропонований Р. Сторном і К. Прайсом [22], служить для знаходження глоба- льного оптимуму недиференційовних, нелінійних, мультимодальних функцій багатьох змінних і належить до прямих методів оптимізації, тобто в ході його роботи потрібно об- числювати лише значення цільової функції (критерію оптимізації), але не її похідних. Еволюційний процес в алгоритмі ДЕ організовано таким чином. Спочатку з викори- станням випадкових чисел генерується деяка множина векторів (покоління популяції), які представляють собою можливі розв’язки задачі оптимізації. Далі на кожній ітерації алго- ритму (епосі еволюційного процесу) створюється нове покоління. Для кожного вектора старого покоління, який називається базовим вектором, генерується мутантний вектор з використанням трьох інших випадкових векторів і операцій додавання та віднімання їхніх координат. Над мутантним вектором виконується операція схрещування, в ході якої деякі його координати заміщуються координатами базового вектора. Отриманий після схрещу- вання вектор називається пробним. Якщо він виявляється кращим за базовий вектор (зна- чення цільової функції покращилось), то в новому поколінні базовий вектор замінюється на пробний, у протилежному випадку базовий вектор зберігається в новому поколінні. Та- ке правило гарантує незмінність розміру популяції в процесі роботи алгоритму. На кожній ітерації для контролю швидкості пошуку оптимального розв’язку визначається кращий ве- ктор покоління. Умовами завершення еволюційного процесу (закінчення алгоритму) мо- жуть бути, наприклад, досягнення задовільного значення критерію оптимізації, вичерпан- ня заданого максимального числа поколінь та ін. У цілому алгоритм ДЕ представляє собою одну з можливих «неперервних» модифі- кацій генетичного алгоритму. Водночас він має суттєву особливість, яка багато в чому ви- значає його властивості. Як джерело шуму при мутації в алгоритмі ДЕ застосовується не зовнішній генератор випадкових чисел, а «внутрішній», реалізований як різниця між випа- дково вибраними векторами поточної популяції. Завдяки цьому алгоритм може динамічно моделювати особливості рельєфу функції, що оптимізується, підлаштовуючи під них роз- поділ «вбудованого» джерела шуму. Саме цим пояснюється здатність алгоритму швидко проходити складні яри, забезпечуючи ефективність навіть у випадку складного рельєфу. Для знаходження найкращих рівномірних наближень функцій багатьох змінних пропонується такий алгоритм диференціальної еволюції. 1. Генерується початкове покоління векторів 1( , , )i i niV v v , Npi ,1 , де Np – ро- змір популяції (один з параметрів налаштування алгоритму). Координати jiv , 1,j n , ко- жного вектора – випадкові числа з проміжку 1 2[ , ]num num (за умовчанням 11num , 12num ). 2. Для базового вектора iV ( 1, )i Np зі старого покоління вибирається три випад- кових вектори , ,b c dV V V ( )b c d i , і створюється мутантний вектор bV ~ за правилом ( )b b c dV V Fm V V , де Fm – деяка додатна дійсна стала з проміжку ]2,0[ , яка називається силою мутації і є параметром алгоритму. Сила мутації Fm визначає амплітуду збурень, які вносяться в век- тор bV зовнішнім шумом. 3. Обчислюються координати пробного вектора iU за формулою ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 1 93 , якщо rand(0,1) , якщо rand(0,1) jb rand j i j i rand v Cr j j u v Cr j j , де (0,1)rand – випадкове число з інтервалу (0,1) , Cr задана ймовірність схрещування (ще один параметр алгоритму ДЕ), з якою нащадок iU спадкує спотворену мутацією гене- тичну ознаку від вектора bV . 4. Для кожного вектора iV обчислюється цільова функція F : 1 1 ( ) max ( ) ( ; , , ) ( )i k k i ni k k m F V f X X v v w X , 1,i Np , (5) і для включення в нове покоління вибирається той з векторів iU і iV , значення цільової функції якого менше. Такий оператор вибору гарантує, що найкраще значення цільової функції не буде пропущено, що приводить до швидкої збіжності алгоритму. 5. Алгоритм завершує еволюційний процес, якщо виконується одна з умов: значення цільової функції найкращого вектора покоління менше заданого ; вичерпано максимальне число поколінь популяції maxp ; відбувається стагнація еволюційного процесу, тобто відносний розкид значень ці- льової функції в популяції менше заданої величини : 1, 1,1, max ( ) min ( ) min ( )i i i i Np i Npi Np F V F V F V . За умовчанням 1210 , 200maxp , 410 . Якщо жодна з перелічених умов не виконується, то відбувається перехід до п. 2. Зазначимо, що через стохастичний характер алгоритму ДЕ для отримання прийнят- ного результату потрібно зробити декілька запусків алгоритму. За результатами тестування алгоритму рекомендовані значення сили мутації Fm лежать у діапазоні [0,4; 0,6] , а ймовірності схрещування Cr в інтервалі [0,8;1] . Алгоритм ДЕ легко адаптується для знаходження найкращих середньоквадратичних наближень функцій декількох змінних, а також найкращих наближень за принципом міні- мізації суми модулів різниць значень функції та апроксиманта. Для цього слід лише відпо- відним чином змінити формулу (5) для обчислення цільової функції. 4. Результати обчислювальних експериментів Для перевірки ефективності запропонованого алгоритму виконано серію обчислювальних експериментів по наближенню функцій багатьох змінних апроксимантами різних класів. Отримані похибки наближення та значення параметрів найкращих апроксимантів порів- нювались з відповідними величинами, знайденими за спеціалізованими алгоритмами най- кращої рівномірної апроксимації. Далі наведено декілька прикладів апроксимації за допо- могою алгоритму ДЕ. Приклад 1. Потрібно знайти узагальнені поліноми вигляду (3), які є найкращими аб- солютними рівномірними наближеннями на множині точок трикутника 1 0x y (крок сітки за обома змінними 0,2) для функцій 2 x y e , 2 2x y , cos sinx y і 2 cosy x . Для знаходження найкращих апроксимантів вигляду (3) застосовано алгоритм ДЕ з та- кими значеннями вхідних параметрів: розмір популяції 50Np , сила мутації 0,4Fm , ймовірність схрещування 0,9Cr , число точок сітки m 21, число запусків алгоритму 10 94 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 1 (значення , maxp , – за умовчанням). Результати апроксимації наведено в табл. 1, де чис- ло координат n дорівнює кількості шуканих параметрів апроксимантів. Для порівняння виконано також наближення вказаних функцій за допомогою алго- ритму найкращої рівномірної апроксимації (НРА) функцій декількох змінних узагальне- ним поліномом [16], в якому використовується зведення до задачі лінійного програмуван- ня і розв’язання її модифікованим симплекс-методом. Як свідчать дані табл. 1, похибки наближення, отримані за алгоритмом ДЕ, практично збігаються з похибками, знайденими за допомогою значно складнішого алгоритму НРА. Таблиця 1. Апроксимація функцій двох змінних в області 1 0x y Функція Апроксимант Похибка апроксимації за алгоритмом НРА Похибка апроксимації за алгоритмом ДЕ n базисні функції 2 yx e 3 1, x, y 0,104425 0,104425 22 yx 4 1, x+y, xy, x 2 +y 2 0,035091 0,035091 yx sincos 10 1, x, y, x 2 , xy, y 2 , x 3 , x 2 y, xy 2 , y 3 0,001758 0,001758 xy cos2 11 x, x 2 , xy, y 2 , x 3 , x 2 y, xy 2 , x 4 , x 3 y, x 2 y 2 , xy 3 0,000188 0,0001886 Приклад 2. Необхідно наблизити функцію 2 2( )( , ) x yf x y e на множині точок квадрата {( , ) : 1 0,2( 1), 1 0,2( 1), 1,11, 1,11}i j i jD x y x i y j i j дробом 0 2 22 1 2 ( , ) 1 p q pq p q s t st s t a x y R x y b x y . Для знаходження найкращого абсолютного рівномірного наближення заданої функції ( , )f x y апроксимантом 22( , )R x y застосовано алгоритм ДЕ з такими вхідними значеннями: число координат векторів n 11, розмір популяції 50Np , сила мутації 0,4Fm , ймовір- ність схрещування 0,9Cr , число точок сітки m 121, число запусків алгоритму 10 (зна- чення інших параметрів – за умовчанням). Отримано такі результати: 6 6 2 6 2 22 6 5 2 6 2 1,00766685 0,20 10 0,64 10 0,33931027 0,49 10 0,34028471 ( , ) 1 0,76 10 0,12 10 0,78624649 0,65 10 0,78346175 x y x xy y R x y x y x xy y , 0,007667 . Для порівняння, найкращий рівномірний апроксимант 7 7 2 6 2 22 7 7 2 6 2 1,00766664 0,6 10 0,5 10 0,34077789 0,16 10 0,33881802 ( , ) 1 0,2 10 0,2 10 0,78194464 0,20 10 0,78776077 x y x xy y R x y x y x xy y , знайдений за допомогою алгоритму НРА раціональними дробами [19], апроксимує задану функцію з похибкою 0,007666 . Приклад 3. В експерименті досліджувалась залежність між продуктивністю фільтра ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 1 95 z (в кг рідини на м 2 ) і величиною вакууму y (в мм рт. ст.) при різних значеннях розміру x (у см) часток осаду, що промивався на фільтрі [23]. Необхідно підібрати емпіричну фор- мулу, що наближає наведені в табл. 2 дані з найменшою відносною похибкою. Таблиця 2. Експериментальні дані продуктивності фільтра Розмір часток (у см) Величина вакууму (в мм рт. ст.) 0,250 0,313 0,344 0,375 0,438 0,500 50 3144 4847 5883 6998 9535 12537 75 3811 4847 7205 8579 11680 15073 100 4402 6853 8320 9986 13486 17616 125 4976 7662 9302 11075 15073 19694 Слід зазначити, що задача побудови емпіричних формул, які найкращим чином ап- роксимують експериментальні дані (дані спостережень, дослідів і т.д.), часто виникає при вивченні різних фізичних явищ і процесів. Ще Лаплас сформулював важливе в методоло- гічному плані твердження, що тільки наближення за критерієм найкращої рівномірної ап- роксимації (1) дозволяють строго ставити і вирішувати питання про те, чи вкладаються отримані дані в емпіричну формулу того або іншого типу [1]. Аналіз даних табл. 2 по кожній змінній окремо показав, що для наближення функції продуктивності фільтра z доцільно взяти нелінійну емпіричну формулу вигляду b cz a x y , де , ,a b c невідомі параметри. Для їх визначення застосовано алгоритм ДЕ і отримано емпіричну формулу 1,9936 0,49967012,258z x y , яка наближає дані з табл. 2 з відно- сною похибкою 0,825 %. Оскільки показники степенів x і y у формулі близькі до 2 і 0,5 відповідно, то для апроксимації зручніше скористатися формулою yxa~z 2 . За алгори- тмом ДЕ знайдено оптимальне значення a~ 7057,508. Відносна похибка наближення на- ведених у табл. 2 даних емпіричною формулою 27057,508z x y не перевищує 0,893 %. 5. Висновки У роботі запропоновано алгоритм диференціальної еволюції для знаходження оптимальних (за критерієм мінімуму рівномірного відхилення) значень параметрів апроксимантів. Резуль- тати обчислювальних експериментів підтвердили ефективність алгоритму для наближення функцій багатьох змінних. Основними перевагами алгоритму ДЕ, порівняно з традиційними алгоритмами найкращої рівномірної апроксимації, є універсальність (наближення лінійни- ми і нелінійними апроксимантами різних типів), відсутність потреби у використанні чисе- льних методів, простота реалізації, а також можливість застосування (після незначної мо- дифікації) для апроксимації функцій за іншими критеріями, наприклад, за критерієм міні- муму квадратичного відхилення. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения / Ремез Е.Я. – Киев: Наукова думка, 1969. – 623 с. 2. Ланнэ А.А. Оптимальный синтез линейных электрических цепей / Ланнэ А.А. – М.: Связь, 1969. – 293 с. 3. Попов Б.А. Приближение функций для технических приложений / Б.А. Попов, Г.С. Теслер. – Ки- ев: Наукова думка, 1980. – 352 с. 4. Вакал Л.П. Аналітична обробка даних на основі чебишовської апроксимації / Л.П. Вакал, 96 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 1 А.О. Каленчук-Порханова // Математичні машини і системи. – 2006. – № 2. – С. 15 – 24. 5. Каленчук-Порханова А.А. Наилучшая чебышевская аппроксимация для сжатия численной ин- формации / А.А. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Компьютерная математика. – 2009. – № 1. – С. 99 – 107. 6. Вакал Л.П. Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських на- ближень / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. – 2010. – № 9. – С. 47 – 53. 7. Каленчук-Порханова А.О. Застосування найкращої чебишовської апроксимації для моделювання деяких фізичних процесів / А.О. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Математичне та комп’ютерне моделювання. – (Серія «Технічні науки»). – 2010. – № 4. – С. 111 – 118. 8. Вакал Л.П. Использование чебышевских приближений при решении смешанных задач для урав- нений в частных производных / Л.П. Вакал, А.А. Каленчук-Порханова, Е.С. Вакал // Вестник ХНТУ. – 2011. – № 3 (42). – С. 119 – 123. 9. Вакал Л.П. Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь / Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. – 2011. – № 10. – С. 78 – 84. 10. Чебишовське наближення термометричної характеристики германієвого мікросенсора / П.С. Малачівський, В.Ф. Мітін, В.В. Холевчук [та ін.] // Відбір і обробка інформації. – 2013. – Вип. 39. – С. 76 – 81. 11. Вакал Є. Найкраща апроксимація ядра інтегрального рівняння Фредгольма з використанням генетичного алгоритму / Є. Вакал, Ю. Вакал, Л. Вакал // Вісник Київського університету. Матема- тика. Механіка. – 2016. – Вип. 2 (36). – С. 17 – 22. 12. Каленчук-Порханова А.А. Пакет программ аппроксимации функций / А.А. Каленчук- Порханова, Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі та системи. – 2008. – № 7. – С. 32 – 38. 13. Зуховицкий С.И. Алгорифм для решения чебышевской задачи приближения в случае конечной системы несовместных линейных уравнений / С.И. Зуховицкий // ДАН. – 1951. – Т. 79, № 4. – С. 561 – 564. 14. Александренко В.Л. Алгоритм построения приближѐнного равномерно-наилучшего решения системы несовместных линейных уравнений / В.Л. Александренко // Алгоритмы и алгоритмиче- ские языки. – 1968. – Вып. 3. – С. 57 – 74. 15. Кондратьев В.П. Алгоритм наилучшего приближения функций многих переменных / В.П. Кон- дратьев // Программы оптимизации (приближение функций). – 1972. – Вып. 3. – С. 20 – 48. 16. Каленчук-Порханова А.О. Побудова найкращих рівномірних наближень функцій багатьох змінних / А.О. Каленчук-Порханова, Л.П. Вакал // Комп’ютерні засоби, мережі і системи. – 2007. – № 6. – С. 141 – 148. 17. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач / Васильев Ф.П. – М.: Изд-во МГУ, 1974. – 374 с. 18. Малоземов В.Н. Наилучшее равномерное приближение функций нескольких аргументов / В.Н. Малоземов // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1970. – Т. 10, № 3. – С. 575 – 586. 19. Петрак Л.В. Приближение функций многих переменных рациональными дробями / Л.В. Петрак // Программы оптимизации (приближение функций). – 1975. – Вып. 6. – С. 130 – 144. 20. Kaufman E.H. Uniform rational approximation on functions of several variables / E.H. Kaufman, G.D. Taylor // Int. J. Numer. Math. Eng. – 1976. – Vol. 9, N 2. – P. 297 – 323. 21. Cheney E.W. Two new algorithms for rational approximation / E.W. Cheney, H.L. Loeb // Numer. Math. – 1961. – Vol. 3, N 1. – P. 72 – 75. 22. Storn R. Differential evolution – a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces / R. Storn, K. Price // Journal of Global Optimization. – 1997. – Vol. 11. – P. 341 – 359. 23. Батунер Л.П. Математические методы в химической технике / Л.П. Батунер, М.Е. Позин. – Л.: Химия, 1968. – 823 с. Стаття надійшла до редакції 27.12.2016 http://www.irbis-nbuv.gov.ua/cgi-bin/irbis_nbuv/cgiirbis_64.exe?Z21ID=&I21DBN=UJRN&P21DBN=UJRN&S21STN=1&S21REF=10&S21FMT=JUU_all&C21COM=S&S21CNR=20&S21P01=0&S21P02=0&S21P03=IJ=&S21COLORTERMS=1&S21STR=%D0%9661280

Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції

Репозитарії

Схожі ресурси