Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки
В рамках модели сильной связи проведены численные расчеты одноэлектронных спектров длинных неупорядоченных двухкомпонентных линейных цепочек и определена общая структура спектра. Показано, что в области локализованного уровня спектр имеет четкую иерархию и свойства самоподобия, характерные для фракт...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2011
|
| Назва видання: | Физика низких температур |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118635 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки / М.А. Иванов, В.С. Молодид , Ю.В. Скрипник // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 8. — С. 879–888. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-118635 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1186352017-05-31T03:09:46Z Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки Иванов, М.А. Молодид, В.С. Скрипник, Ю.В. Низкоразмерные и неупорядоченные системы В рамках модели сильной связи проведены численные расчеты одноэлектронных спектров длинных неупорядоченных двухкомпонентных линейных цепочек и определена общая структура спектра. Показано, что в области локализованного уровня спектр имеет четкую иерархию и свойства самоподобия, характерные для фракталов. Определено распределение интервалов между уровнями внутри квазинепрерывного спектра и показано, что это распределение носит случайный экспоненциальный характер без провала в области малых интервалов. Найдено изменение общего вида плотности состояний в квазинепрерывной области спектра. Показано, что появляются серии особенностей, состоящих из резонансных минимумов и максимумов, которые сгущаются к краям зоны. С ростом разности энергетических уровней компонент такие особенности постепенно превращаются в запрещенные зоны с ширинами, линейно зависящими от концентрации. Установлено, что положения этих особенностей не зависят от параметров компонент и их концентрации, а определяются собственными энергиями коротких цепочек атомов основного компонента. Найдена также общая структура спектра при соизмеримой концентрации разных атомов. У рамках моделі сильного зв'язку проведено чисельні розрахунки одноелектронних спектрів довгих неупорядкованих двокомпонентних лінійних ланцюжків та визначено загальну структуру спектра. Показано, що в області локалізованого рівня спектр має чітку ієрархію та властивості самоподоби, які характерні для фракталів. Визначено розподіл інтервалів між рівнями усередині квазінеперервного спектра та показано, що цей розподіл носить випадковий експонентний характер без провалу в області малих інтервалів. Знайдено зміну загального виду щільності станів у квазінеперервній області спектра. Показано, що з'являються серії особливостей, що складаються із резонансних мінімумів і максимумів, які згущаються до країв зони. З ростом різниці енергетичних рівнів компонент такі особливості поступово перетворюються в заборонені зони із ширинами, які лінійно залежать від концентрації. Установлено, що положення цих особливостей не залежать від параметрів компонентів і їх концентрації, а визначаються власними енергіями коротких ланцюжків атомів основного компонента. Знайдено також загальну структуру спектра при порівнянній концентрації різних атомів. Within the tight-binding model, numerical calculations of one-electron spectra of long disordered binary linear chains are performed, and the general structure of the resulting spectrum is determined. It is shown that in the domain of localized level the spectrum has a clear hierarchy and posesses self-similarity properties typical of fractals. The distribution of interlevel intervals inside the quasi-continuous spectrum is shown to have a random, exponential character without a gap in the area of small intervals. It is found that the general form of the density of states in the quasicontinuous region of the spectrum is changed. There appear a series of features, consisting of resonance minima and maxima, the positions of which are clustering at the band edges. With increasing the difference between the components energy levels, the minima are gradually transformed into forbidden bands, widths of which are in linear dependence on concentration. It is established that the positions of these features do not depend on the parameters of the components and their concentrations, but they are determined by the self energies of short chains of atoms of the main component. The overall structure of the spectrum at comparable concentrations of different atoms is also found. 2011 Article Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки / М.А. Иванов, В.С. Молодид , Ю.В. Скрипник // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 8. — С. 879–888. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 73.22.–f, 71.23.–k, 71.55.–i http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118635 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| spellingShingle |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы Низкоразмерные и неупорядоченные системы Иванов, М.А. Молодид, В.С. Скрипник, Ю.В. Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки Физика низких температур |
| description |
В рамках модели сильной связи проведены численные расчеты одноэлектронных спектров длинных неупорядоченных двухкомпонентных линейных цепочек и определена общая структура спектра. Показано, что в области локализованного уровня спектр имеет четкую иерархию и свойства самоподобия, характерные для фракталов. Определено распределение интервалов между уровнями внутри квазинепрерывного спектра и показано, что это распределение носит случайный экспоненциальный характер без провала в области малых интервалов. Найдено изменение общего вида плотности состояний в квазинепрерывной области спектра. Показано, что появляются серии особенностей, состоящих из резонансных минимумов и максимумов, которые сгущаются к краям зоны. С ростом разности энергетических уровней компонент такие особенности постепенно превращаются в запрещенные зоны с ширинами, линейно зависящими от концентрации. Установлено, что положения этих особенностей не зависят от параметров компонент и их концентрации, а определяются собственными энергиями коротких цепочек атомов основного компонента. Найдена также общая структура спектра при соизмеримой концентрации разных атомов. |
| format |
Article |
| author |
Иванов, М.А. Молодид, В.С. Скрипник, Ю.В. |
| author_facet |
Иванов, М.А. Молодид, В.С. Скрипник, Ю.В. |
| author_sort |
Иванов, М.А. |
| title |
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки |
| title_short |
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки |
| title_full |
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки |
| title_fullStr |
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки |
| title_full_unstemmed |
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки |
| title_sort |
электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Низкоразмерные и неупорядоченные системы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/118635 |
| citation_txt |
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки / М.А. Иванов, В.С. Молодид , Ю.В. Скрипник // Физика низких температур. — 2011. — Т. 37, № 8. — С. 879–888. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT ivanovma élektronnyjspektrneuporâdočennojbinarnojlinejnojcepočki AT molodidvs élektronnyjspektrneuporâdočennojbinarnojlinejnojcepočki AT skripnikûv élektronnyjspektrneuporâdočennojbinarnojlinejnojcepočki |
| first_indexed |
2025-07-08T14:21:39Z |
| last_indexed |
2025-07-08T14:21:39Z |
| _version_ |
1837088898694512640 |
| fulltext |
© М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник, 2011
Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8, c. 879–888
Электронный спектр неупорядоченной бинарной
линейной цепочки
М.А. Иванов, В.С. Молодид , Ю.В. Скрипник
Институт металлофизики им. Г.В. Курдюмова НАН Украины, пр. Вернадского, 36, г. Киев, 03142, Украина
E-mail: ivanov@imp.kiev.ua
Статья поступила в редакцию 24 декабря 2010 г.
В рамках модели сильной связи проведены численные расчеты одноэлектронных спектров длинных
неупорядоченных двухкомпонентных линейных цепочек и определена общая структура спектра. Показа-
но, что в области локализованного уровня спектр имеет четкую иерархию и свойства самоподобия, ха-
рактерные для фракталов. Определено распределение интервалов между уровнями внутри квазинепре-
рывного спектра и показано, что это распределение носит случайный экспоненциальный характер без
провала в области малых интервалов. Найдено изменение общего вида плотности состояний в квазине-
прерывной области спектра. Показано, что появляются серии особенностей, состоящих из резонансных
минимумов и максимумов, которые сгущаются к краям зоны. С ростом разности энергетических уровней
компонент такие особенности постепенно превращаются в запрещенные зоны с ширинами, линейно за-
висящими от концентрации. Установлено, что положения этих особенностей не зависят от параметров
компонент и их концентрации, а определяются собственными энергиями коротких цепочек атомов ос-
новного компонента. Найдена также общая структура спектра при соизмеримой концентрации разных
атомов.
У рамках моделі сильного зв'язку проведено чисельні розрахунки одноелектронних спектрів довгих
неупорядкованих двокомпонентних лінійних ланцюжків та визначено загальну структуру спектра. Пока-
зано, що в області локалізованого рівня спектр має чітку ієрархію та властивості самоподоби, які харак-
терні для фракталів. Визначено розподіл інтервалів між рівнями усередині квазінеперервного спектра та
показано, що цей розподіл носить випадковий експонентний характер без провалу в області малих інтер-
валів. Знайдено зміну загального виду щільності станів у квазінеперервній області спектра. Показано, що
з'являються серії особливостей, що складаються із резонансних мінімумів і максимумів, які згущаються
до країв зони. З ростом різниці енергетичних рівнів компонент такі особливості поступово пере-
творюються в заборонені зони із ширинами, які лінійно залежать від концентрації. Установлено, що по-
ложення цих особливостей не залежать від параметрів компонентів і їх концентрації, а визначаються
власними енергіями коротких ланцюжків атомів основного компонента. Знайдено також загальну струк-
туру спектра при порівнянній концентрації різних атомів.
PACS: 73.22.–f Электронная структура наноразмерных материалов и аналогичных систем;
71.23.–k Электронная структура неупорядоченных твердых тел;
71.55.–i Примеси и энергетические уровни дефектов.
Ключевые слова: модель сильной связи, одноэлектронный спектр, плотность состояний, запрещенная зона.
1. Введение
В наших предыдущих работах [1–5] исследована
структура колебательного спектра неупорядоченных
изотопических цепочек, состоящих из атомов двух
сортов. При этом основное отличие от более ранних
работ Дина [6] состояло в том, что количество элемен-
тов цепочки выбиралось макроскопически большим
(вплоть до N = 1010), что позволило получить целый
ряд принципиально новых результатов. В частности,
было показано, что в окрестности локального уровня,
при не слишком высокой концентрации одной из ком-
понент, структура спектра не только имеет сложный
иерархический характер, что согласуется с работами
других авторов, начиная с работ И.М. Лифшица [7,8],
но и обладает свойствами самоподобия, характерными
М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник
880 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8
для фрактала. Другой важной особенностью спектра
таких неупорядоченных систем оказался тот факт, что
внутри квазинепрерывной области спектра вблизи на-
бора фиксированных частот, положения которых не
зависят от концентрации и массы атомов второго типа,
возникают характерные особенности. При этом по ме-
ре роста величины возмущения и концентрации ука-
занных атомов в этих областях сначала возникают
провалы, а затем формируются запрещенные зоны.
Положения указанных особенностей в значительной
степени коррелируют с положением частот с нулевой
плотностью состояний, впервые отмеченных в работах
[9,10]. Проанализированы и другие особенности коле-
бательного спектра неупорядоченных цепочек, вклю-
чая характер распределения частот в области непре-
рывного спектра.
В настоящей работе сделана попытка рассмотреть
аналогичные вопросы для одноэлектронных спектров
неупорядоченных цепочек в рамках однозонной моде-
ли сильной связи. При этом будем полагать, что атомы
разного сорта различаются значениями атомных уров-
ней, а интегралы перескока не зависят от сорта атома.
Не в последнюю очередь, благодаря своей простоте,
выбранная модель широко используется в физике не-
упорядоченных систем. Хорошо известно, что она спо-
собна служить надежным базисом для теоретического
описания основных эффектов, вызванных наличием
беспорядка замещения в системе, по крайней мере, на
качественном уровне. Обычно неизменность интегра-
лов перекрытия в данной модели объясняется присут-
ствием исключительно изовалентных примесей заме-
щения. Однако изменение потенциала на узле может
быть обусловлено не только соответствующими ато-
мами замещения, но и наличием добавочного примес-
ного атома, который образует химическую связь с од-
ним из атомов цепочки. В этом случае межатомные
интегралы перескока для электронов должны оставать-
ся практически прежними. При этом само возмущение
может считаться одноузельным и соответствующим
простому сдвигу потенциала, если привносимые в сис-
тему вместе с добавочным атомом характерные энерге-
тические уровни находятся вдали от рассматриваемой
электронной зоны. Применительно к низкоразмерным
системам, локальный сдвиг атомного уровня может
также происходить из-за кулоновского взаимодействия
с заряженной примесью, находящейся в подложке, на
которой находится данный низкоразмерный объект.
Можно рассматривать и другие многочисленные меха-
низмы смещения узельных потенциалов, связанные с
изменением структуры, состава подложки или трех-
мерной матрицы, которые содержат выделенную це-
почку. Такого типа модель может быть использована
также для описания транспорта электронов в длинных
биологических молекулах, в которых присутствуют
радикалы разного сорта.
Учитывая вышесказанное, гамильтониан неупоря-
доченной системы можно записать в виде
1
1
1
† †
0
,
( 1)
1
2i i ii i
i i i
i i
a a T a aε
= ±
= +∑ ∑H , (1)
где †
ia , ia — операторы рождения и уничтожения
электронов на узле i , потенциал 0iε = , если узел i
занят атомом 1-го типа, и 1i Eε = , если узел занят ато-
мом 2-го типа, 0T — интеграл перескока между бли-
жайшими соседними атомами внутри цепочки, кото-
рый считается не зависящим от распределения атомов
и для простоты принят равным единице. В результате
спектр идеальной цепочки, состоящей из N атомов
одного сорта с потенциалом 0iε = , имеет вид
/ ( 1)cos ( ),m Nm,NE π += ( 1, 2... )m N= , (2)
т.е. лежит в интервале ( 1;1)− .
Как и в работах [1–5], для расчетов будет использо-
ван метод Дина [11,12], который позволяет эффектив-
но (с точки зрения затрат расчетного времени) нахо-
дить электронные спектры даже для макроскопически
длинных неупорядоченных цепочек.
Как обычно, анализ проведен сначала для случая
малых концентраций атомов одного из сортов. При
этом в области локальных уровней, где ситуация слабо
отличается от колебательного спектра, более подробно
проанализированы вопросы, связанные с фрактальным
характером спектра. Основное же внимание уделено
исследованию особенностей структуры спектра внутри
квазинепрерывной области. А именно: анализу по-
ложений и характера особенностей, возникающих в
области квазинепрерывного спектра, а также зависи-
мости ширин возникающих запрещенных зон от кон-
центрации и потенциала атомов второго типа.
2. Область локального уровня при малой
концентрации одной из компонент
Как уже отмечалось, начнем рассмотрение спектра
со случая, когда концентрация c одной из компонент
мала. Для определенности будем считать, что такими
примесями являются атомы с потенциалом 1i Eε = . На
рис. 1 представлен характерный вид спектров неупоря-
доченной цепочки при различных значениях 1 0E > и
концентрации 0, 2c = . Тонкой пунктирной линией на
этом, как и на последующих рисунках, показан спектр
идеальной цепочки, состоящей только из атомов ос-
новного типа с 0iε = , который описывается извест-
ным выражением
2
0 ( ) 1 ( 1 )E Eρ π= − . (3)
Как видно на рис. 1, спектр неупорядоченной це-
почки состоит из квазинепрерывной области, энергии
которой соответствуют диапазону идеального спектра,
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки
Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8 881
и области локальных уровней, находящихся справа от
нее (далее всюду будем полагать, что 1 0E > , посколь-
ку при 1 0E < область локальных уровней лежала бы
слева от основной зоны, а вся картина при тех же зна-
чениях 1E была бы просто зеркальным отображением
относительно вертикальной оси). Для рассматриваемой
на этом рисунке все же сравнительно низкой концен-
трации примесных атомов и при небольших значениях
потенциала примеси 1E (рис. 1,а) зона квазинепрерыв-
ного спектра по своей форме напоминает исходную
зону идеальной цепочки. Однако даже в этом случае
спектр не является гладкой функцией: на нем хорошо
различимы серии минимумов и максимумов, интен-
сивность которых растет по мере роста потенциала
примеси (рис. 1,б и рис. 1,в). Структура этих не-
однородностей детально будет проанализирована ни-
же, а сначала кратко рассмотрим плотность состояний
в окрестности локального уровня ( 1 1E > ).
Здесь спектр состоит из центрального, наиболее ин-
тенсивного уровня, который соответствует изолиро-
ванной примеси c энергией locE , определяемой из ре-
шения уравнения
1
1
1
loc loc0
2
1 loc loc
1 11
cos ( )
1 ( 1) .
m,Nm
E
E dx
N E E E x
E E E
π
= = =
− −
= − >
∑ ∫
(4)
Такой центральный уровень является точкой сгу-
щения для других, менее интенсивных, уровней, энер-
гии которых соответствуют двум взаимодействующим
примесным центрам. Те, в свою очередь, являются точ-
ками сгущения для уровней кластера из трех взаимо-
действующих примесей и так далее. Такая фрактало-
подобная структура была подробно описана в наших
предыдущих работах [2,3] для колебательного спектра
одномерной неупорядоченной цепочки.
Проведенные в настоящей работе численные расче-
ты показывают, что общая структура как электронного,
так и колебательного спектра в окрестности локально-
го уровня в значительной степени аналогична. Поэто-
му в настоящей работе будут подробно рассмотрены
только некоторые ранее не рассмотренные вопросы,
связанные со свойствами самоподобия электронного
спектра в области локальных уровней. При этом сна-
чала отметим, что для электронного спектра, как и для
колебательного, его структура в окрестности локаль-
ной моды остается неизменной при всех изменениях
масштаба, доступных для вычисления. Так, на рис. 2
представлена окрестность локального уровня, отве-
чающего 1 3E = ( loc 3,162E ) при изменениях мас-
штаба на двенадцать порядков. Хорошо видно, что при
этом общий вид спектров действительно остается не-
изменным: имеется центральный уровень и сгущаю-
щиеся к нему боковые уровни, имеющие примерно
одинаковую относительную интенсивности и взаимное
–1 0 1 2 3 4
E
а
б
в
1,5
–1 0 1 2 3 4
E
1,5
–1 0 1 2 3 4
E
ρ( )E
ρ( )E
ρ( )E
1,5
Рис. 1. Общий вид электронного спектра одномерной неупо-
рядоченной цепочки. Пунктирной линией показан спектр
идеальной цепочки. Концентрация примеси 0, 2c = , потен-
циал примеси 1E : 1 (а); 2 (б); 3 (в).
Рис. 2. Спектр в окрестности локального уровня, отвечающе-
го 1 3E = , выполненный в различных масштабах. Концен-
трация атомов второго сорта: 0, 2c = . Число разбиений на
каждом из представленных участков равно 200.
3
7·10
4
0
–0,16 0,160
–5·10
–6
5·10
–6
0
3·10
10
–2·10
–12
2·10
–12
E E– loc
E E– loc
E E– loc
ρ
(
)
E
ρ
(
)
E
ρ
(
)
E
М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник
882 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8
расположение между собой. Такое поведение можно
описать следующим законом подобия. Рассмотрим
некоторую область спектра по обе стороны от энергии
локального уровня locE шириной 0Δ и разобьем ее на
0n равных частей (в данной работе всегда 0 200n = ).
Найдем число уровней, попадающих в каждый такой
участок, что, собственно, и показано на рис. 2, и опре-
делим отношение числа уровней 1 0( )I Δ , попадающих
в два центральных участка этой области, к общему
числу уровней в области 0Δ – 0 0( )I Δ . Несмотря на то,
что сами величины 1 0( )I Δ и 0 0( )I Δ сильно зависят от
0Δ , их отношение, как видно из примера, представ-
ленного на рис. 3,а, практически не зависит от 0Δ при
изменении последнего на 11 порядков.
Следующим шагом, который можно сделать для
описания фракталоподобного поведения спектра вбли-
зи локального уровня, является определение зависимо-
сти 0 0( )I Δ (или 1 0( )I Δ ) от ширины выбранной облас-
ти 0Δ . Показатель β в степенной зависимости 0 0( )I Δ
от 0Δ :
0 0 0( ) ( )I A βΔ Δ= ⋅ (5)
в определенной мере может служить характеристикой
размерности рассматриваемого здесь фрактала. На
рис. 3,б опять в виде примера показана в двойном ло-
гарифмическом масштабе зависимость 0 0( )I Δ от 0Δ
для случая примесных атомов с энергией 1 3E = и
концентрацией 0,1c = . Видно, что во всем весьма ши-
роком интервале изменения 0Δ показатель β (наклон
этой зависимости) оказывается примерно постоянным
и равным с . Согласно выполненным здесь расчетам,
этот показатель зависит как от концентрации приме-
сей, так и от энергии 1E , и лежит в интервале 0 1.β< <
Зависимости величины β от концентрации в двойном
логарифмическом масштабе показаны на рис. 3,в для
трех значений энергии 1E : 1,0; 3,0;10,0 . Видно, что с
ростом энергии примесного атома величина β умень-
шается, а ее зависимость от концентрации всегда носит
линейный характер, по крайней мере, до 0, 25c ≈ . Для
проверки общности полученных результатов в работе
проведен расчет значений показателя β и для некото-
рых парных уровней спектра, которые, как отмечалось
выше, также служат точками сгущений уровней более
низкого ранга. Полученные значения β для трех зна-
чений параметров примесной системы приведены на
рис. 3,в в виде более крупных точек. Видно, что с дос-
таточной степенью точности значения показателя β
для основного и парного пиков совпадают. Этот по-
следний результат еще раз свидетельствует об универ-
сальности фрактального поведения спектра вблизи
локального уровня.
3. Структура спектра в области исходной зоны
3.1. Статистика распределения уровней внутри
непрерывного спектра
Совершенно другую структуру имеет спектр внутри
исходной зоны. Для идеальной цепочки все энергети-
ческие уровни на макроскопическом интервале спектра
(на котором изменением плотности состояний можно
пренебречь) расположены на одинаковом расстоянии
друг от друга 0EΔ :
0 01 ( ( ))E N EΔ ρ= , (6)
где N — количество атомов в цепочке. Для неупоря-
доченной цепочки весьма важную роль играет функция
( )p EΔ , которая описывает статистическое распреде-
ление расстояний между двумя соседними уровнями.
Рис. 3. Фрактальные характеристики электронного спектра
вблизи локального уровня и показатель степени β в выраже-
нии (5). Зависимости отношения 1 0( )I Δ / 0 0( )I Δ (а) и ве-
личины 0 0( )I Δ (б) от 0Δ при 1 3E = и 0,1c = . Зависимость
показателя β , отвечающего центральному пику, от концен-
трации при разных значениях потенциала примеси 1E : 1 (+),
3 (×), 10 ( ) (крупные символы отвечают парным уровням) (в).
β
с
0,01 0,1 1,00,001
0,01
0,1
1
0
0,5
10
7
10
6
1
1
10
–4
10
–4
10
–8
10
–8
10
–12
10
–12
Δ0
Δ0
I
I
1
0
/
10
5
а
б
в
1,0
I 0
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки
Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8 883
Очевидно, что для идеальной цепочки на некотором
макроскопическом интервале, относительно узком по
сравнению с шириной спектра всей цепочки, распреде-
ление ( )p EΔ является δ-функцией:
0( ) ( )p E E EΔ δ Δ Δ= − .
Рассмотрим теперь, как изменяется поведение
функции ( )p EΔ по мере увеличения концентрации
одной из компонент. Численные расчеты показывают,
что наличие даже весьма малого количества примесей,
вплоть до одной примеси на многомиллионную цепоч-
ку, кардинально меняет характер этого распределения.
Так, на рис. 4,а представлена гистограмма распределе-
ния расстояний между соседними уровнями на некото-
ром достаточно произвольном участке спектра цепоч-
ки, состоящей из 810N = атомов и содержащей всего
одну примесь (число разбиений вдоль оси абсцисс на
участке 70 2 10EΔ< < ⋅ составляет 50, а по оси орди-
нат отложено число уровней, попавших в одну такую
ячейку). Как хорошо видно, распределение даже в этом
случае уже не является δ-образным пиком, как для иде-
альной цепочки, но имеет достаточно большую шири-
ну и в какой-то мере оказывается симметричным отно-
сительно среднего расстояния между уровнями. При
дальнейшем увеличении количества примесей пик
распределения постепенно смещается в сторону мень-
ших значений EΔ , приближаясь к экспоненциальному
распределению с максимумом при 0EΔ = , характерно-
му для случайно распределенных уровней (рис. 4,б,в).
Наконец, при внесении в рассматриваемую цепочку
из 810 атомов двадцати и большего числа примесей
(рис. 4,г) распределение ( )p EΔ является практически
таким, которое отвечает случайному распределению
для одномерных систем:
ch 0
0
1( ) exp ( / )p E E E
E
Δ Δ Δ
Δ
= − . (7)
Как простой критерий случайности распределения
можно выбрать величину q :
0
0
( )
E
q p E d E
Δ
Δ Δ= ∫ .
Для полностью случайного распределения ch ( )p EΔ
значение ch (1 1/ ) 0,63q e= − . Если применить этот
критерий для оценки случайности распределений на
рис. 4, то получим 1 0, 49q = для одной примеси
(рис. 4,а); 2 0,53q = для двух примесей (рис. 4,б);
4 0,57q = для четырех (рис. 4,в) и 20 0,61q = для два-
дцати примесей (рис. 4,г).
Отметим здесь, что отсутствие «запрещенной» об-
ласти в распределении ( )p EΔ при 0EΔ → даже для
цепочек с очень малым количеством примесей отвеча-
ет наличию вырожденных или почти вырожденных
состояний спектра. Это указывает на то, что в рассмат-
риваемой неупорядоченной цепочке все состояния яв-
ляются локализованными, поскольку именно для таких
состояний взаимодействие, во всяком случае на дале-
ких расстояниях между центрами локализации, являет-
ся пренебрежимо малым.
Рис. 4. Распределение расстояний между соседними уровня-
ми в интервале энергий 0,25–0,25008E = ; 1 3E = ; число
атомов в цепочке 810N = . Кружками показаны численные
значения, пунктирной линией — рассчитанные аналитиче-
ски, вертикальной пунктирной — среднее расстояние (соот-
ветствует идеальной цепочке). Одна примесь (а); две приме-
си (б); четыре примеси (в); двадцать примесей (г).
7·10
4
7·10
4
7·10
4
7·10
4
2·10
–7
2·10
–7
2·10
–7
0
0
0
p
(
)
Δ
E
p
(
)
Δ
E
p
(
)
Δ
E
p
(
)
Δ
E
ΔE
ΔE
ΔE
а
б
в
г
2·10
–7
0
ΔE
М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник
884 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8
3.2. Особенности функции распределения в области
квазинепрерывного спектра
Если же рассматривать область квазинепрерывного
спектра в целом, то при относительно малой концен-
трации атомов второго сорта спектр в этой области, в
основном, повторяет спектр исходной идеальной це-
почки, однако в нем появляются серии особенностей в
энергетической зависимости величины плотности со-
стояний. При этом расчеты показывают, что положе-
ния этих особенностей не зависят ни от концентрации,
ни от величины возмущения, вносимого атомами вто-
рого сорта. В то же время интенсивности особенно-
стей, естественно, растут с увеличением как концен-
трации, так и величины потенциала примесных атомов.
При внесении в цепочку атомов примесей со срав-
нительно небольшим потенциалом 1 1E < в спектре
появляются серии неоднородностей, каждая из кото-
рых представляет собой рядом расположенные провал
и пик (рис. 5,а). Положения этих особенностей, как
уже отмечалось, не зависят от параметров примеси.
Амплитуды провалов также не зависят от концентра-
ции примесей, но их ширины растут с увеличением
концентрации. Наиболее интенсивными такие особен-
ности оказываются в центре зоны, вблизи 0E = . С
ростом значений потенциала возмущений 1E амплиту-
ды провалов увеличиваются, однако пока 1 1E < всю-
ду в квазинепрерывной области плотность состояний
остается ненулевой. Наконец, наступает момент, когда
указанные амплитуды становятся настолько больши-
ми, что на месте неоднородности постепенно начинает
открываться запрещенная зона. При этом по мере рос-
та 1E такая зона впервые появляется в центре исход-
ной зоны вблизи 0E = . Как раз такой случай показан
на рис. 5,б для 1 1,0E = и 1 / 5c = . Видно, что при дан-
ном значении 1E запрещенная зона в области вблизи
0E = , по-видимому, только-только раскрылась, а ши-
рина участка с ( ) 0Eρ = весьма мала, так что ее опре-
деление даже для цепочек с N = 1010 не очень надежно.
При дальнейшем увеличении параметра 1E открывает-
ся все большее число запрещенных зон, причем такое
раскрытие наступает сразу для серий линий. Так на
рис. 5,б,в представлено формирование еще двух серий
запрещенных зон.
3.3. Положение особенностей внутри
квазинепрерывного спектра
Представляет интерес определить значения энергий,
которые отвечают положениям особенностей в квази-
непрерывном спектре. Исходя из аналогии с рассмот-
ренным в предыдущей работе [4] колебательным спек-
тром линейной неупорядоченной цепочки, можно
предположить, что и в данном случае при 1c << ука-
занные особенности будут находиться вблизи энергий,
отвечающих спектрам разных относительно коротких
упорядоченных изолированных цепочек, которые со-
стоят только из атомов с потенциалом 0iε = . Нетруд-
но показать, что уровни энергии m,nE такой короткой
идеальной изолированной цепочки, состоящей из n
атомов, определяются тем же выражением (2) только с
заменой N на n . Таким образом, все n уровней в
рассматриваемой цепочке являются невырожденными.
Ниже для анализа нам будет удобно записать энер-
гетический спектр идеальной цепочки в несколько
ином виде:
, cos
1k n
kE
n
π⎛ ⎞= ± ⎜ ⎟⎝ ⎠+
, (8)
где целочисленный индекс k теперь определен в об-
ласти 1 ( 1) / 2k n≤ ≤ + . При такой записи каждому зна-
чению k , кроме ( 1) / 2k n= + , отвечают два симмет-
ричных относительно 0E = уровня, а для нечетных
Рис. 5. Электронный спектр одномерной неупорядоченной
цепочки внутри исходной зоны. Тонкими вертикальными
линиями показаны энергии, отвечающие указанным значени-
ям чисел n и k . Концентрация примеси 0, 2c = , потенциал
примеси 1E : 0,7 (а); 1 (б); 2 (в); 3 (г).
–1 0 1
2
–1 0 1
–1 0 1
–1 0 1
E
2
E
2
E
2
E
а
б
в
г
ρ( )E
ρ( )E
ρ( )E
ρ( )E
k
n
= 1
= 2
k = 1
n = 3
k
n
= 1
= 4
k
n
= 1
= 2
k
n
= 1
= 3
k
n
= 1
= 4
k
n
= 1
= 2
k
n
= 1
= 3
k
n
= 1
= 4
k
n
= 1
= 2
k
n
= 1
= 3
k
n
= 1
= 4
k
n
= 2
= 4
k
n
= 2
= 4
k
n
= 2
= 6
k
n
= 2
= 6
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки
Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8 885
значений n имеет место также невырожденный уро-
вень с энергией , 0k nE = , отвечающий значению
( 1) / 2k n= + .
Отметим, что выражения (2) и (8) при 1n можно
сравнить с известным выражением для спектра длинной
идеальной цепочки, состоящей из N атомов, с цик-
лическими граничными условиями Борна–Кармана [13]:
1
11
2
cos , / 2 / 2m ,N
m
E N m N
N
π⎛ ⎞= − ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
. (9)
При этом, как в (2) и (8), спектр идеальной цепочки
лежит в интервале от –1 до 1, однако, в отличие от (2),
(8), здесь каждый уровень оказывается двукратно вы-
рожденным. Такое различие для достаточно длинной
цепочки не сказывается на величине плотности со-
стояний, но для определения положений особенностей
спектра неупорядоченной цепочки, которые отвечают
уровням энергии коротких цепочек, такое различие
становится принципиально важным. Как показывают
результаты численных расчетов, энергии всех упомяну-
тых выше особенностей в спектрах неупорядоченных
цепочек со всей доступной для вычисления точностью
отвечают именно тем значениям, которые следуют из
(2), (8).
Основываясь на результатах численного экспери-
мента, можно предложить следующее описание дина-
мики открытия запрещенных зон в спектре неупорядо-
ченной цепочки при увеличении потенциала 1E
примесных атомов. Первой (с ростом 1E ), начинает
формироваться особенность вблизи энергии , 0k nE =
( 1k = , 1n = ), на месте которой при 1 1,0E > образует-
ся первая запрещенная зона (рис. 5,а). Далее при
1 2,0E > вблизи энергий ,k nE , определенных в (8), как
в области 0E > , так и 0E < , формируется уже серия
запрещенных зон с одним значением индекса 1k = и
разными значениями 2n ≥ , т.е. отвечающих макси-
мальным (по модулю) энергиям идеальных цепочек
различной длины. Характер возникающего спектра и
положения некоторых энергий этой серии с соответст-
вующими значениями чисел k и n показаны на
рис. 5,б. При дальнейшем увеличении потенциала
примеси возникает все большее число запрещенных
зон. Так, при выполнении условия 1 3,0E > открывает-
ся следующая серия, отвечающая 2k = и 4n ≥
(рис. 5,в). Здесь можно отметить, что положение осо-
бенностей с 2k = и нечетными значениями n совпа-
дают с положением особенностей, отвечающих серии с
1k = , и они маскируются на этом фоне.
4. Структура неоднородностей внутри зоны
В более крупном масштабе структура спектра в ок-
рестности особых энергий представлена на рис. 6. Так,
на рис. 6,а можно видеть как изменяется форма осо-
бенности с энергией , 0k nE = ( 1k = , 2n = ) с увели-
чением потенциала примеси. А именно, при 1 0,5E =
виден четкий максимум в области 0E > и неглубокий
минимум в области 0E < . При 1 1,0E = наблюдается
практически симметричный провал с нулевой плотно-
стью состояний посередине и, наконец, при 1 2,0E =
наблюдается уже сформированная запрещенная зона,
которая расположена в области 0E > . Аналогичная
картина, как видно на рис. 6,б, имеет место и для осо-
бенности с энергией , 0,5k nE = ( 1k = , 2n = ). Однако
запрещенная зона для этой энергии открывается при
большем значении потенциала примеси, а именно при
1 1,5E ≈ .
Рассмотрим теперь более подробно характер рас-
крытия запрещенной области, т.е. возникновения об-
ласти с нулевой плотностью состояний. Соответст-
вующие расчеты момента «касания» дном провала
Рис. 6. Структура электронного спектра в окрестности осо-
бенностей. Концентрация примеси 0,1c = . Область вблизи
энергии , 0k nE = , отвечающей 1k = , 1n = , потенциал при-
меси 1E : 0,5 (1); 1,0 (2); 2,0 (3) (а). Область вблизи энергии
, 0,5k nE = , отвечающей 1k = , 2n = , 1E : 1,0 (1); 1,5 (2); 2,0
(3) (б). Та же область, 1E : 1,45 (1); 1,47 (2); 1,5 (3) (в).
–0,05 0 0,05
0,8
0,45 0,50 0,55
0,8
0,497 0,500 0,503
0,02
E
E
E
а
б
в
ρ
(
)
E
ρ
(
)
E
ρ
(
)
E
1
1
1
2
2
2
3
3
3
М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник
886 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8
нулевой оси вблизи энергии , 0,5k nE = при приближе-
нии потенциала возмущения 1E к значению 1,5 пред-
ставлены на рис. 6,в. Как видно на этом рисунке (кри-
вая 1), при 1 1,45E = спектр имеет еще не нулевой
минимум, расположенный в области энергий несколь-
ко меньших номинального положения особенности
, 0,5k nE = . При 1 1,47E = (рис. 6,в, кривая 2) на чис-
ленно рассчитанном спектре уже явно видна область с
нулевой плотностью состояний, однако внутри нее все
же «проскакивают» отдельные уровни. Положения
этих уровней зависят от реализации распределения
атомов разного сорта в цепочке, поэтому можно пред-
положить, что в термодинамическом пределе плот-
ность состояний в данной области имеет хотя и весьма
малое, но все же не нулевое значение. И только при
1 1,50E = (рис. 6,в, кривая 3) наблюдается уже четко
сформированная запрещенная зона, не зависящая от
реализации цепочки. Таким образом, момент открытия
запрещенной зоны с помощью численных расчетов
может быть найден только с некоторой степенью точ-
ности.
Представляет интерес проследить зависимость мо-
мента образования запрещенной зоны от потенциала
примеси 1E для особенностей с различными значения-
ми чисел k и n . На рис. 7 точками представлены ре-
зультаты численных расчетов соответствующих значе-
ний 1 ( , )E k n для двух первых серий особенностей,
которые отвечают индексам 1k = и 2k = и различ-
ным значениям чисел n . Точки, которые соответству-
ют одной серии, соединены гладкой кривой линией с
указанием соответствующего значения k . Для серии
2k = указаны данные только для четных значений n ,
так как положения особенностей, которые соответст-
вуют нечетным n в этом случае совпадают с поло-
жениями особенностей для первой серии. На рис. 7
видно, что с ростом значения n и, соответственно,
величины ,k nE для формирования запрещенной зоны
необходим все больший потенциал примеси. Для серии
с 1k = соответствующие значения 1E лежат в интер-
вале от 1 до 2. Этот последний результат отличается от
рассмотренного в работе [5], где особенности, отве-
чающие одной серии, возникали при практически оди-
наковых значениях потенциала возмущений, вносимо-
го примесями.
При превышении потенциалом примеси 1E соот-
ветствующего критического значения 1 ( , )E k n в об-
ласти ,k nE E≥ формируется запрещенная зона (см.
рис. 6,а,б), ширина которой растет с ростом разницы
1 1 ( , )E E k n− . Зависимость ширины запрещенной зоны
Δ от величины 1 1 ( , )E E k n− представлена на рис. 8,а
для особенности с энергией 1,2 0,5E = ( 1k = , 2n = )
при двух значениях концентраций атомов второго сор-
та. Здесь видно, что в двойном логарифмическом мас-
штабе точки графика с достаточной точностью ложат-
ся на прямую линию. Для обеих выбранных
концентраций наклон α этих линий оказался одинако-
вым ( 0,33α ≈ ), что означает одинаковую степенную
зависимость Δ от 1,2E E− .
Рассмотрим также зависимость ширины запрещен-
ной зоны Δ от концентрации. Для той же особенности
1,2 0,5E = при двух фиксированных значениях вели-
чины 1 1 ( , )E E k n− такая зависимость представлена на
рис. 8,б. Видно, что во всех случаях, как и следовало
ожидать, эта зависимость оказывается практически
линейной.
Остановимся кратко на характере возникающих
особенностей спектра в области отрицательных энер-
гий (при положительных значениях потенциала воз-
мущения 1E ). Можно отметить тот факт, что возни-
кающие здесь особенности имеют в значительной мере
такой же вид, что и в области 0E > , включая тот факт,
что при тех же значениях индексов k и n критические
значения потенциалов открытия запрещенной зоны
0 4 8 12 16
2
E1
n
4
2
1
Рис. 7. Значения потенциала примеси 1E , при которых про-
исходит появление запрещенных зон вблизи энергий ,k nE ,
определенных в (8), для разных значений индексов k и n
при k : 1 (1), 2 (2).
Рис. 8. Зависимость полуширины запрещенной зоны Δ , от-
вечающей особенности с индексами 1k = , 2n = , от потен-
циала примеси при c : 0,2 (1), 0,1 (2) (а); от концентрации
примеси при 1E : 4 (1), 1,54 (2) (б).
−2 −1 0 1
−2
−1
−3
0 0,1 0,2
0,015
0,3
lg ( − )E E1,2
lg
(
Δ
)
Δ
c
1
2
1
2
а
б
Электронный спектр неупорядоченной бинарной линейной цепочки
Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8 887
1 ( , )E k n не меняются. Именно такое поведение, в част-
ности, обусловливает преимущество выбора система-
тики особенностей в виде (8), а не (2), поскольку ин-
дексы, описывающие спектр изолированной цепочки,
оказываются одними и теми же как в области 0E > ,
так и в области 0E < . Однако, несмотря на то, что,
согласно (8), все энергетические уровни особенностей
расположены симметрично относительно 0E = , вся
зона квазинепрерывного спектра неупорядоченной
цепочки все же не является строго зеркально симмет-
ричной относительно этой точки (см. рис. 1). В этом
смысле можно отметить тот факт, что при 1 0E > за-
прещенные зоны всегда находятся в области больших
энергий относительно соответствующих значений
,k nE , т.е. формируются со стороны локального уровня.
5. Случай соизмеримых концентраций обеих
компонент
Для того, чтобы продемонстрировать возможности
используемого здесь метода расчета спектров в данном
разделе кратко рассмотрим случай, когда концентра-
ция обеих компонент в неупорядоченной цепочке со-
измерима, а именно рассмотрим случай 0,5с ≈ . Об-
щий вид спектра при такой концентрации и различных
значениях потенциалов 1E атомов второго типа пред-
ставлен на рис. 9 (еще раз напомним, что потенциал
атомов первого типа остается неизменным и равным
нулю). Тонкими линиями на этом рисунке показаны
спектры двух идеальных цепочек, состоящих из атомов
только первого и второго типов соответственно. Как
видно на рисунке, в случае, когда разница потенциалов
атомов разного сорта относительно невелика (см.
рис. 9,а, отвечающий 1 0,5E = ), вид результирующего
спектра в какой-то степени повторяет исходную зону,
но с достаточно размытыми краями. Однако с ростом
значения 1E характер спектра существенно меняется.
Действительно, уже при 1 1E = (рис. 9,б), картина
спектра становится принципиально другой. В этом
случае край спектра одной невозмущенной зоны сов-
падает с уже сформированной запрещенной зоной в
области центра другой зоны, и в результате образуют-
ся два провала с раскрытием относительно узких за-
прещенных зон в областях энергий 0E = и 1E = . При
дальнейшем увеличении потенциала 1E спектр стано-
вится все более структурированным, состоящим из
большого количества пиков и запрещенных зон (рис. 9,в,
1 2E = ). Наконец, при достаточно больших значениях
потенциала 1E (см. рис. 9,г, 1 3E = ), когда невоз-
мущенные зоны уже не пересекаются, в спектре не-
упорядоченной цепочки присутствуют две очень силь-
но структурированные области на месте исходных зон,
разделенные широкой запрещенной зоной.
6. Заключение
Представленные в настоящей работе результаты
численных расчетов одноэлектронных спектров неиде-
альных бинарных линейных цепочек демонстрируют
широкие возможности использования метода Дина для
исследования тонких особенностей разного типа спек-
тров неупорядоченных линейных объектов весьма
большой (макроскопической) длины, порядка или пре-
вышающей 810 элементов.
Показано, что при малой концентрации одной из
компонент электронный спектр, как и колебательный
[2], в области локального уровня имеет четкую иерар-
хию и обладает свойствами самоподобия, характерны-
ми для фракталов. А именно, при всех доступных в
расчетах изменениях масштаба (порядка 1210 ) общий
вид спектра вблизи этих мод остается неизменным:
Рис. 9. Структура электронного спектра при одинаковой
концентрации обеих компонент ( 0,5c = ) и следующих зна-
чениях потенциала 1E атомов второго сорта: 0,5 (а); 1,0 (б);
2,0 (в); 3,0 (г).
–1 0 1 2 3 4
–1 0 1 2 3 4
1,5
–1 0 1 2 3 4
1,5
–1 0 1 2 3 4
1,5
E
E
E
E
а
б
в
г
1,5
ρ
(
)
E
ρ
(
)
E
ρ
(
)
E
ρ
(
)
E
М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник
888 Физика низких температур, 2011, т. 37, № 8
имеет место центральная мода, к которой сгущаются
линии меньшей интенсивности.
Возможность определения для цепочек макроско-
пической длины положения отдельных уровней внутри
квазинепрерывного спектра позволила определить ста-
тистику распределения уровней в этой области. При
этом оказывается, что внесение даже одной примеси
полностью нарушает эквидистантность уровней, свой-
ственную идеальным цепочкам. С дальнейшим ростом
концентрации примеси распределение энергетических
интервалов между двумя соседними модами принима-
ет экспоненциальный характер без провала в области
малых интервалов, что отвечает хаотическому распре-
делению уровней и локализованному характеру соот-
ветствующих состояний.
Наличие атомов разного типа существенно меняет и
общий вид квазинепрерывной области спектра. Здесь
возникает достаточно сложная структура, состоящая из
серий резонансных минимумов и максимумов, поло-
жение которых сгущается к краям зоны. Такая струк-
тура все более отчетливо проявляется с увеличением
разности потенциалов атомов обоих типов, а именно,
по мере роста этой разности провалы в плотности со-
стояний последовательно превращаются в запрещен-
ные зоны, ширины которых линейно зависят от кон-
центрации атомов второго сорта. Показано, что поло-
жения указанных особенностей спектра не зависят ни
от величины разности потенциалов компонент, ни от
их концентрации (если одна из них мала), а определя-
ются собственными энергиями коротких изолирован-
ных идеальных цепочек, состоящих из атомов основ-
ного типа. В работе также проиллюстрирована общая
структура спектра при соизмеримой концентрации
обеих компонент.
В дальнейшем представляется интересным продол-
жить численные исследования электронных спектров
длинных неупорядоченных линейных цепочек. В част-
ности, рассмотреть, как влияет на характер особенно-
стей в квазинепрерывной области не только различие
положения исходных потенциалов компонент, но и
параметров перескоков электрона между ними.
Авторы выражают благодарность Государственной
целевой научно-технической программе Украины
«Нанотехнологии и наноматериалы» № 1.1.1.3-4/10-Д
за поддержку.
1. М.А. Иванов, Ю.В. Скрипник, В.С. Молодид, ФНТ 30,
217 (2004) [Low Temp. Phys. 30, 159 (2004)].
2. М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник, ФНТ 30,
1086 (2004) [Low Temp. Phys. 30, 815 (2004)].
3. М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник, Метал-
лофизика и новейшие технологии 27, 19 (2005).
4. М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник, ФНТ 32,
887 (2006) [Low Temp. Phys. 32, 676 (2006)].
5. М.А. Иванов, В.С. Молодид, Ю.В. Скрипник, ФНТ 34,
734 (2008) [Low Temp. Phys. 34, 583 (2008)].
6. P. Dean, Rev. Mod. Phys. 44, 127 (1972).
7. И.М. Лифшиц, ЖЭТФ 44, 1723 (1963).
8. И.М. Лифшиц, УФН 83, 617 (1964).
9. J. Hori, Prog. Theor. Phys. 31, 940 (1964).
10. H. Matsuda, Prog. Theor. Phys. 31, 161 (1964).
11. P. Dean, Proc. R. Soc. London A254, 507 (1960).
12. P. Dean, Proc. R. Soc. London A260, 263 (1961).
13. A.A. Maradudin, E.W. Montroll, and G.H. Weiss, Theory of
Lattice Dynamics in the Harmonic Approximation,
Academic Press, New York (1963).
Electronic spectrum of the disordered binary
linear chain
M.A. Ivanov, V.S. Molodid, and Yu.V. Skripnik
Within the tight-binding model, numerical calcula-
tions of one-electron spectra of long disordered binary
linear chains are performed, and the general structure
of the resulting spectrum is determined. It is shown
that in the domain of localized level the spectrum has
a clear hierarchy and posesses self-similarity proper-
ties typical of fractals. The distribution of interlevel in-
tervals inside the quasi-continuous spectrum is shown
to have a random, exponential character without a gap
in the area of small intervals. It is found that the ge-
neral form of the density of states in the quasi-
continuous region of the spectrum is changed. There
appear a series of features, consisting of resonance
minima and maxima, the positions of which are clus-
tering at the band edges. With increasing the differ-
ence between the components energy levels, the mi-
nima are gradually transformed into forbidden bands,
widths of which are in linear dependence on concen-
tration. It is established that the positions of these fea-
tures do not depend on the parameters of the compo-
nents and their concentrations, but they are determined
by the self energies of short chains of atoms of the
main component. The overall structure of the spectrum
at comparable concentrations of different atoms is also
found.
PACS: 73.22.–f Electronic structure of nanoscale
materials and related systems;
71.23.–k Electronic structure of disordered
solids;
71.55.–i Impurity and defect levels.
Keywords: tight-binding model, one-electron spect-
rum, density of states, band-gap.
|