Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием

Исследованы условия возникновения хаотических колебаний в осцилляторе Дуффинга с высоко- и низкочастотным возбуждением. Проведено сравнение аналитических критериев возникновения хаоса, полученных с помощью методов Мельникова и повторного усреднения, с результатами численного эксперимента. Установлен...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2000
Hauptverfasser:	Ваврив, Д.М., Шигимага, Д.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2000
Schriftenreihe:	Радиофизика и радиоастрономия
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122195
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием / Д.М. Ваврив, Д.В. Шигимага // Радиофизика и радиоастрономия. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 256-264. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-122195
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1221952017-06-30T03:02:56Z Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием Ваврив, Д.М. Шигимага, Д.В. Исследованы условия возникновения хаотических колебаний в осцилляторе Дуффинга с высоко- и низкочастотным возбуждением. Проведено сравнение аналитических критериев возникновения хаоса, полученных с помощью методов Мельникова и повторного усреднения, с результатами численного эксперимента. Установлено хорошее соответствие вышеуказанных результатов. Показано, что при аддитивном воздействии низко- и высокочастотных колебаний на осциллятор Дуффинга может происходить существенное взаимодействие таких колебаний. Досліджено умови виникнення хаотичних коливань у осциляторі Дуфінга з високо- та низькочастотним зовнішнім збудженням. Здійснено порівняння аналітичних критеріїв виникнення хаосу, одержаних за допомогою методів Мельникова та повторного усереднення, з результатами чисельного експерименту. Виявлено хорошу відповідність вищевказаних результатів. Показано, що при адитивному зовнішньому впливі на осцилятор Дуфінга низько- та високочастотних коливань може відбуватися суттєва взаємодія таких коливань. Conditions for chaos onset in Duffing oscillator with high- and low-frequency external excitation are examined. The analytical results obtained by Melnikov technique and repeated averaging technique are compared with ones obtained from numerical experiment. A good correspondence of the above results is proved. It is shown that an essential interaction of low- and high-frequency oscillations can occur in the case of their additive external forcing on Duffing oscillator. 2000 Article Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием / Д.М. Ваврив, Д.В. Шигимага // Радиофизика и радиоастрономия. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 256-264. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1027-9636 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122195 621.373.12.01 ru Радиофизика и радиоастрономия Радіоастрономічний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исследованы условия возникновения хаотических колебаний в осцилляторе Дуффинга с высоко- и низкочастотным возбуждением. Проведено сравнение аналитических критериев возникновения хаоса, полученных с помощью методов Мельникова и повторного усреднения, с результатами численного эксперимента. Установлено хорошее соответствие вышеуказанных результатов. Показано, что при аддитивном воздействии низко- и высокочастотных колебаний на осциллятор Дуффинга может происходить существенное взаимодействие таких колебаний.
format	Article
author	Ваврив, Д.М. Шигимага, Д.В.
spellingShingle	Ваврив, Д.М. Шигимага, Д.В. Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием Радиофизика и радиоастрономия
author_facet	Ваврив, Д.М. Шигимага, Д.В.
author_sort	Ваврив, Д.М.
title	Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием
title_short	Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием
title_full	Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием
title_fullStr	Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием
title_full_unstemmed	Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием
title_sort	хаос в осцилляторе дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate	2000
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122195
citation_txt	Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием / Д.М. Ваврив, Д.В. Шигимага // Радиофизика и радиоастрономия. — 2000. — Т. 5, № 3. — С. 256-264. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Радиофизика и радиоастрономия
work_keys_str_mv	AT vavrivdm haosvoscillâtoreduffingasvysokočastotnyminizkočastotnymvnešnimvozdejstviem AT šigimagadv haosvoscillâtoreduffingasvysokočastotnyminizkočastotnymvnešnimvozdejstviem
first_indexed	2025-07-08T21:18:58Z
last_indexed	2025-07-08T21:18:58Z
_version_	1837115155488440320
fulltext	Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3, стр. 256-264 © Д. М. Ваврив, Д. В. Шигимага, 2000 УДК 621.373.12.01 Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием Д. М. Ваврив, Д. В. Шигимага Радиоастрономический институт НАН Украины 61002, г. Харьков, ул. Краснознаменная, 4 Статья поступила в редакцию 6 июля 2000 г. Исследованы условия возникновения хаотических колебаний в осцилляторе Дуффинга с высоко- и низ- кочастотным возбуждением. Проведено сравнение аналитических критериев возникновения хаоса, полу- ченных с помощью методов Мельникова и повторного усреднения, с результатами численного экспери- мента. Установлено хорошее соответствие вышеуказанных результатов. Показано, что при аддитивном воздействии низко- и высокочастотных колебаний на осциллятор Дуффинга может происходить существен- ное взаимодействие таких колебаний. Досліджено умови виникнення хаотичних коливань у осциляторі Дуфінга з високо- та низькоча- стотним зовнішнім збудженням. Здійснено порівняння аналітичних критеріїв виникнення хаосу, одер- жаних за допомогою методів Мельникова та повторного усереднення, з результатами чисельного експери- менту. Виявлено хорошу відповідність вищевказаних результатів. Показано, що при адитивному зовнішнь- ому впливі на осцилятор Дуфінга низько- та високочастотних коливань може відбуватися суттєва взаємодія таких коливань. Введение Работа посвящена исследованию уравнения Дуффинга tFtFxxxxx ω′+Ω′=γ ′′+β ′′−ω+μ′+ coscos0 322 0 (1) Ω>>ω≈ω 0 , где F ′ω, и 0, F ′Ω – частоты и амплитуды внешне- го воздействия; 0ω – собственная частота осцил- лятора; ′μ − затухание, а ′′β и ′′γ − коэффициент нелинейности. Простейшая физическая модель, ко- торая описывается этим уравнением, представляет собой последовательный колебательный контур с нелинейной емкостью и двумя источниками пере- менного напряжения с частотами ω и Ω . Это урав- нение достаточно хорошо изучено для случая ре- зонансов: 0ω=ω mn , где …,2,1, =mn [1-6]. Обычно предполагается, что если на осцилля- тор действует внешняя сила, частота которой мно- го меньше собственной частоты осциллятора, то это воздействие можно рассматривать как квази- стационарное. Аналогичная ситуация возникает при изучении взаимодействия двух осцилляторов, собственная частота одного из которых много меньше соб- ственной частоты другого, когда этим взаимодей- ствием обычно пренебрегалось. Однако выпол- ненные недавно исследования доказывают, что при определенных условиях взаимодействие низ- ко- и высокочастотных колебаний может быть су- щественным и приводит к возникновению хаоти- ческих колебаний. Впервые это было продемон- стрировано в работе [7], где рассматривалась ди- намика параметрически возбуждаемой балки на кронштейне. В работе [8] теоретически и экспе- риментально изучены вынужденные колебания двух связанных нелинейной емкостью контуров с существенно (на несколько порядков) отличающи- мися частотами. В этой системе были обнаруже- ны перекачка энергии из высокочастотного кон- тура в низкочастотный, а также хаотические ко- лебания в широком диапазоне изменения управ- ляющих параметров. Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3 Хаос в осцилляторе Дуффинга с высоко- и низкочастотным внешним воздействием 257 На основании приведенных примеров можно заключить, что при анализе динамики и устой- чивости нелинейных физических систем нельзя в общем случае пренебрегать как низкочастотны- ми составляющими внешнего воздействия, так и низкочастотными модами системы. В силу этого известные решения многих задач теории нели- нейных динамических систем требуют пересмот- ра и уточнения с учетом указанных выше обсто- ятельств. В данной работе приводятся результаты анали- тического и численного исследования осциллято- ра Дуффинга (1) с высокочастотным и низкочас- тотным внешними воздействиями. Приведены кри- терии возникновения хаотических колебаний в (1), полученные из анализа стационарных состояний усредненной системы, а также с помощью мето- дов Мельникова и повторного усреднения [9]. Най- денные аналитические критерии возникновения хаоса сравниваются с результатами численных эк- спериментов. Учет низкочастотного воздействия и основные уравнения Введем в системе (1) безразмерное время 0ω⋅=τ t , а также произведем замену переменных ετ ε −= cos2 0F yx . Тогда (1) примет вид: ( ) ′ ′+ μ + − β + γ = ντ − μ ετ + ε ′ ′+ − β + γ ετ − ε 2 3 0 20 2 2 cos 2 sin 1 2 3 cos Fy y y y y F F y y ( )′ ′ ′− −β + γ ετ + γ ετ ε ε 2 3 2 30 0 4 63 cos cos F F y , (2) где 02 ,′μ = μ ω 2 0 ,′ ′′β = β ω 2 0 ,′ ′′γ = γ ω 2 000 ω′= FF , 2 0ω′= FF , 0ωΩ=ε и 0 .ν = ω ω Точки над пе- ременными означают дифференцирование по вре- мени τ. Решение уравнения (2) будем искать в виде ( )ϕ+νττ= cos)(ay . После применения процедуры усреднения получа- ем следующую систему уравнений: = −μ − ϕ ϕ = Δ + γ + β ετ + γ ετ − ϕ2 2 sin , cos 2 cos 2 cos a a P Pa B B a (3) где ν = 2 FP , 2 0 ε = F B , ν β′ =β , ν γ′ =γ , 2 21 2 . 2 B− νΔ = + γ ν Исследуем стационарные состояния систе- мы (3) при условии, что низкочастотное воздей- ствие отсутствует (B = 0). В этом случае харак- теристическое уравнение системы (3) имеет вид: ( )( )⎡ ⎤λ + μλ + μ + Δ + γ Δ + γ =⎣ ⎦ 2 2 2 22 3 0.a a Его решения: ( )( )λ = −μ ± − Δ + γ Δ + γ2 2 1,2 3a a . Для существования стационарных состояний системы типа “седло” необходимо, чтобы ( )( ) .3 222 μ−<γ+Δγ+Δ aa (4) Приравнивая правые части уравнений (3) нулю, при В = 0 имеем: ( ) .22222 Paa =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ γ+Δ+μ (5) Из (4) или (5) можно получить следующее ус- ловие существования “седел” в системе: 2 2 3 3 P μ> μ γ . (6) Кроме того, при достаточно большом значении Р “седла” существуют в следующем интервале: Д. М. Ваврив, Д. В. Шигимага Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3258 ( ) 2 1 / 322P P ⎛ ⎞ − γ ≤ Δ ≤ − γ⎜ ⎟μ⎝ ⎠ . (7) Из этого выражения видно, что если γ>0, то значения расстройки Δ, при которых существуют седловые состояния , всегда отрицательны . Условия (6) и (7) существования “седел” в си- стеме являются необходимыми условиями возник- новения хаотических колебаний при наличии со- ответствующего возмущения. Параметры возму- щения, при которых может происходить хаотиза- ция системы, приближенно находятся в следую- щем разделе при помощи метода Мельникова. Уравнения движения на сепаратрисе и метод Мельникова Преобразуем систему уравнений (3) к более удобному виду при помощи замены переменных ϕ= cosau и sina= ϕv : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 , cos 2 cos 2 . u u u B B u B B u P ⎡= −μ − Δ + γ + +⎣ ⎤+β ετ + γ ετ⎦ ⎡= −μ + Δ + γ + +⎣ ⎤+β ετ + γ ετ −⎦ v v v v v (8) При B = μ = 0 система (8) преобразуется к виду: ( ) ( ) 2 2 2 2 ,u u u u P ⎡ ⎤= − Δ + γ +⎣ ⎦ ⎡ ⎤= Δ + γ + −⎣ ⎦ v v v v (9) и имеет следующий гамильтониан [10, с. 182]: ( ) ( )22 2 2 2 4 2 H u u Puγ Δ= + + + −v v . (10) Типичный фазовый портрет системы (9) изоб- ражен на рис. 1. При 0> γ Δ−≡δ и P > 0 на фазо- вом портрете существует гомоклиническая петля (сепаратриса), выходящая и входящая в седло с координатами suu = и v = 0. Здесь su – мини- мальный средний по модулю (из трех) действи- тельный корень уравнения 0 4 3 =−δ− fuu ss , (11) где γ = Pf 4 . Далее из (10) и (11) находим уравне- ние сепаратрисы: ( )22 2 2 s su u fu fu= δ − ± δ − − +v . (12) Здесь знак “–” соответствует участку сепарат- рисы от точки А1 до точки A2 по малой петле, а “+” – участку по большой петле (см. рис. 1). Для того чтобы определить уравнение движе- ния на сепаратрисе, решим систему (9), исполь- зуя (12) (см. [1]): ( ) ( ) ( ) ( )[ ]τ′+−δτ′+=τ′ SuS f uu ss 221 , (13) Рис. 1. Типичный фазовый портрет гамильтоновой системы (9) на плоскости (u, v) при следующих па- раметрах: γ = 0.4, P = 2, Δ = −5 и различных началь- ных условиях. Точка su – седловая -4 4 -4 0 4 v u A1 A2 us Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3 Хаос в осцилляторе Дуффинга с высоко- и низкочастотным внешним воздействием 259 где ( ) bq bq S −τ′ − =τ′ ch2 1 22 ; ( )02 τ−τγη=τ′ ; ( )24 sub −δ−= ; sfuq 22 −±= ; 4 2 2 2 bfus −−=η . Здесь τ0 – на- чальный момент времени. Подставляя (13) в (12), получаем ( )2 2 2 su u S ′+ = ± τv . (14) Уравнения (12) и (13) представляют собой урав- нения движения на сепаратрисе для невозмущен- ной системы (9). Далее перейдем непосредственно к методу Мельникова. Выпишем для системы (8) величину ( )01 τΔ , которая определяет расстояние между ус- тойчивым и неустойчивым многообразиями в се- чении Пуанкаре: ( ) ( )1 0 1 0 0 1 d ,RQ R Q +∞ −∞ Δ τ = − τ∫ (15) где ( ) ( ) 2 2 0 2 2 0 2 1 2 1 , , cos 2 cos 2 , cos 2 cos 2 . R u Q u u P R u B B Q B B u ⎡ ⎤= − Δ + γ +⎣ ⎦ ⎡ ⎤= Δ + γ + −⎣ ⎦ ⎡ ⎤= −μ − β ετ + γ ετ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= −μ + β ετ + γ ετ⎣ ⎦ v v v v v (16) Подставляя в (15) выражения (16) и используя (13) и (14), после интегрирования получим: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 8 arctg 3 2 sin2 sh arccos sign sh 2 2 q b B b q q ⎡ ⎤⎛ ⎞+Δ τ = μ − η +⎢ ⎥⎜ ⎟η⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ⎡ ⎤ετ ⎛ ⎞π ε β σ+ − +⎜ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ γ πσ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ( ) ( ) 0sin 2 2 sh arccos sh bB q ⎞⎡ ⎤ετ ⎛ ⎞ + σ − ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎟πσ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎠ , (17) где 4 .σ = ε γη Окончательное условие пересечения многооб- разий, следующее из (17), имеет вид: 2 2 23 1 32 4 4 M B K K L B⎛ ⎞≤ ± + ×⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )22 2 2 2 2 32 1 , 64 K K L B L B − ± + × − (18) где 2 sh arccos ; sh( / 2) 2 bK q ⎡ ⎤⎛ ⎞πβε σ= −⎢ ⎥⎜ ⎟γ πσ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 4 sh arccos ; sign sh bL q q ⎡ ⎤⎛ ⎞πε= σ −⎢ ⎥⎜ ⎟πσ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 8 arctg 3 . 2 q bM ⎡ ⎤⎛ ⎞+= μ δ − η⎢ ⎥⎜ ⎟η⎝ ⎠⎣ ⎦ Это условие позволяет достаточно точно пред- сказывать области управляющих параметров, в ко- торых возможно появление хаотических колебаний. Применение метода Мельникова предполагает близость рассматриваемой системы к гамильтоно- вой. Для этого необходимо, чтобы характерное время возмущения ~ 1/pτ ε было меньше време- ни релаксации системы ~ 1/rτ μ , т. е., чтобы ε≤μ . Однако, как показывают численные эксперименты, это условие не является слишком жестким. Индуцированные “седла” и сценарии возникновения хаоса Седловые состояния в исследуемой системе могут возникать и вследствие внешнего воздей- ствия. Такие седловые состояния называются индуцированными [9]; они также могут являть- ся причиной возникновения хаотических коле- баний. Исследуем основные резонансы систе- мы, которые могут приводить к возникновению в ней индуцированных седловых состояний. Первые высшие резонансы определяются сле- дующими условиями: Д. М. Ваврив, Д. В. Шигимага Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3260 2 1 2 2 n nν − ε ε= ν − ≈ , (19) 1 22 2 ≈ε+ν=ε+ν nn , (20) где 1, 2, 3.n= Отметим, что случаи n = 1 и n = 3 соответствуют бифуркации удвоения периода, а случай n = 1 соответствует тангенциальной би- фуркации в системе. Для исследования резонансов применим проце- дуру усреднения к системе (2) на произвольной частоте 'ν . В результате приходим к следующей системе уравнений: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 sin ' , cos 2 cos 2 cos ' . u u u B B P u B B u P ⎡= −μ − Δ + γ + + β ετ +⎣ ⎤+ γ ετ − ν − ν τ⎦ ⎡= −μ + Δ + γ + + β ετ +⎣ ⎤+ γ ετ − ν − ν τ⎦ v v v v v (21) Для изучения резонансов (19) и (20) при n=1 выберем частоту ν′ равной соответственно ν − ε/2 и ν + ε/2, а также введем новые переменные: ( )τν−ν ν−ν += 'cos ' PuU и ( )sin ' ' PV = − ν − ν τ ν − ν v . После вышеуказанных преобразований систе- мы (21) получаем следующие уравнения относи- тельно новых переменных U и V: 22 2cos cos 2 2 P PU U U ⎡ ⎛ετ ετ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢= −μ − Δ + γ +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ε ε⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎣ ∓ ∓ 2 22 sin cos 2 cos 2 2 PV B B ⎤⎞ετ⎛ ⎞ ⎥+ − + β ετ + γ ετ ×⎟⎜ ⎟ ⎟ε ⎥⎝ ⎠ ⎠ ⎦ 2 sin , 2 PV ετ⎛ ⎞× −⎜ ⎟ε⎝ ⎠ 22 2sin cos 2 2 P PV V U ⎡ ⎛ετ ετ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢= −μ − + Δ + γ +⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ε ε⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎣ ∓ 2 22 sin cos 2 cos 2 2 PV B B ⎤⎞ετ⎛ ⎞ ⎥+ − + β ετ + γ ετ ×⎟⎜ ⎟ ⎟ε ⎥⎝ ⎠ ⎠ ⎦ 2 cos . 2 PU ετ⎛ ⎞×⎜ ⎟ε⎝ ⎠ ∓ (22) Здесь знак “–” соответствует резонансу (19), а знак “+” – резонансу (20). Усредним эту систему на час- тоте ε/2. В результате получим одну и ту же систе- му уравнений для изучения резонансов (19) и (20): ( ) ( ) .8 ,8 22 2 2 22 2 2 UVUPVV VVUPUU ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +γ+ ε γ+Δ+μ−= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +γ+ ε γ+Δ−μ−= (23) Бифуркации удвоения периода в системе (21) должны соответствовать устойчивые нетри- виальные состояния равновесия в системе (23). Исследуем эту систему на предмет устойчивос- ти. Стационарные состояния системы находятся из уравнения: 22 2 2 2 2 8 0,P a a ⎡ ⎤⎛ ⎞γ⎢ ⎥μ + Δ+ +γ =⎜ ⎟ε⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (24) где 2 2 .a U V= + Из (24) следует, что в этой системе возможны только тривиальные состо- яния равновесия a = 0, так как состояние равновесия 22 2 2 2 8P a ⎛ ⎞γΔ + + γ = −μ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ не может быть реализовано. Численные эксперименты показали возмож- ность перехода к хаосу через серию бифуркаций удвоения периода (см. рис. 2), следовательно, вы- шеуказанной бифуркации должны соответствовать Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3 Хаос в осцилляторе Дуффинга с высоко- и низкочастотным внешним воздействием 261 другие резонансные соотношения, а именно (19) и (20) при n = 3. Исследуя их аналогично предыду- щим, получим следующую систему усредненных уравнений: 2 2 2 8 3 3 ( ) 9 4 ( ) , P BU U B U V V ⎡ γ= −μ − Δ + + β − γ +⎢ ε π⎣ ⎤ + γ + ⎥ ⎦ (25) 2 2 2 8 3 3 ( ) 9 4 2 3 4( ) . 5 7 P BV V B BP BU V U ⎡ γ= −μ + Δ + + β − γ +⎢ ε π⎢⎣ ⎤ β γ⎛ ⎞+ γ + ± +⎥ ⎜ ⎟επ ⎝ ⎠⎥⎦ Здесь знак “+” соответствует резонансу (19), а знак “–” – резонансу (20). Стационарные состояния этой системы находятся из следующего уравнения: ( ) = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ γ+γ−β π + ε γ+Δ+μ 2 2 2 2 2 4 33 9 8 aaBBP 2 42 3 5 7 BBP⎡ ⎤β γ⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟επ ⎝ ⎠⎣ ⎦ , (26) а их устойчивость определяется из характеристи- ческого уравнения ( ) ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ×⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ γ+γ−β π +Δ+μ+μλ+λ 222 4 332 aBB ( ) 23 3 3 0, 4 B B a ⎤⎛ ⎞ × Δ + β − γ + γ =⎥⎜ ⎟⎜ ⎟π ⎥⎝ ⎠⎦ имеющего решения: ( ) ( ) 2 1,2 1 / 2 2 3 3 4 3 3 3 . 4 B B a B B a ⎡ ⎛ ⎞ λ = −μ ± ⎢− Δ + β − γ + γ ×⎜ ⎟⎜ ⎟π⎢ ⎝ ⎠⎣ ⎤⎛ ⎞ × Δ + β − γ + γ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟π ⎥⎝ ⎠⎦ Рис. 2. Переход к хаосу через серию бифуркаций удвое- ния периода при β = 0.1, γ =0.1, μ = 0.01, Р = 0.1, Δ = −3.6, ε = 0.05: а) предельный цикл при B=4.57; б) предельный цикл с удвоенным периодом при B=4.58; в) хаос при B=4.59 Д. М. Ваврив, Д. В. Шигимага Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3262 Отсюда следует условие возникновения в систе- ме “седел” (25): ( ) ×⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ γ+γ−β π + ε γ+Δ 2 2 4 33 9 8 aBBP ( ) 2 2 28 3 3 3 9 4 P B B a ⎛ ⎞γ× Δ + + β − γ + γ < μ⎜ ⎟⎜ ⎟ε π⎝ ⎠ . (27) Уравнения (26) и (27) являются условиями воз- никновения бифуркации удвоения периода в системе (21). Рассмотрим теперь случай резонанса n = 2. Вы- берем ν′ равной соответственно ε−ν и ε+ν и введем такую же замену переменных U и V, как и в (22). После применения процедуры повторно- го усреднения на частоте ε получаем систему уравнений: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 2 . 2 PU U U V V P BPV V U V U ⎡ ⎤γ= −μ − Δ + + γ +⎢ ⎥ε⎣ ⎦ ⎡ ⎤γ β= −μ + Δ + + γ +⎢ ⎥ εε⎣ ⎦ ∓ (28) Здесь “–” соответствует уравнению (19), а “+” − уравнению (20). Из анализа устойчивости этой системы нахо- дим следующие условия для резонансов (19) и (20) при n = 2 в системе (21): 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ ε β= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ γ+ ε γ+Δ+μ BPaaP , (29) .322 22 2 2 2 2 2 μ−<⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ γ+ ε γ+Δ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ γ+ ε γ+Δ aPaP (30) Этим резонансам соответствует сценарий пере- хода к хаосу, показанный на рис. 3. Как видно из рисунков 4 и 5, области резонансов (19) и (20) при n = 2 и бифуркации удвоения периода существенно перекрываются, что означает возможность перехо- да к хаосу при близких управляющих параметрах как через серию бифуркаций удвоения периода, так и в результате разрушения седло-узловых состоя- ний, возникающих после тангенциальной бифурка- ции. Этот факт подтверждается численными экспе- риментами, которые показали, что при изменении одного из управляющих параметров (в данном слу- чае амплитуды низкочастотного внешнего воздей- ствия B), когда остальные параметры фиксирова- ны, могут наблюдаться различные сценарии пере- хода к хаосу (см. рис. 2, 3). По-видимому, сценарии, показанные на рис. 2, 3, представляют собой различ- ные случаи разрушения гомоклинической петли точ- ки типа седло-фокус. Кроме того, из этих рисунков видно, что даже простые периодические движения в системе имеют очень сложную структуру. Рис. 3. Переход к хаосу без бифуркации удвоения перио- да при β = 0.1, γ =0.1, μ = 0.01, Р = 0.1, Δ = −3.6, ε = 0.05: а) предельный цикл при B=4.42; б) хаос при B=4.43 Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3 Хаос в осцилляторе Дуффинга с высоко- и низкочастотным внешним воздействием 263 Для доказательства применимости получен- ных аналитических выражений (18), (26), (27), а также (29), (30) приведем результаты числен- ного моделирования. На рис. 4 и 5 приведены результаты числен- ного моделирования и расчета областей хаотичес- ких колебаний, полученные с помощью методов Мельникова (18) и повторного усреднения (26), (27) и (29), (30) на плоскостях параметров ( )εB и ( )ΔB соответственно. Области хаоса, най- денные из результатов численного интегрирова- ния уравнений (8), отмечены крестиками, а об- ласть, полученная из критерия Мельникова, – сплошной линией; граница первой бифуркации удвоения периода показана штриховой линией, а граница возникновения тангенциальной бифурка- ции – пунктирной. Кроме того, на рис. 5 также приведена область возможных хаотических коле- баний, полученная путем прямого численного мо- делирования уравнений (8). Видно, что результа- ты расчета областей хаоса, полученные из крите- рия Мельникова, хорошо согласуются с результа- тами численного моделирования. На рис. 2, 3 по- казаны различные сценарии перехода к хаосу, ре- ализуемые в данной системе. Рис. 2 демонстри- рует переход к хаосу через серию бифуркаций уд- воения периода, а на рис. 3 показан переход к хаосу без серии бифуркаций удвоения периода. Заключение Результаты работы показывают, что при адди- тивном воздействии низко- и высокочастотных ко- лебаний на осциллятор Дуффинга может происхо- дить существенное взаимодействие этих колеба- ний. В результате такого взаимодействия наблю- дается возникновение хаотических колебаний уже в квазилинейном режиме возбуждения. В резуль- тате применения метода Мельникова и метода по- вторного усреднения получены аналитические кри- терии возникновения хаотических колебаний. Ус- тановлено хорошее соответствие результатов чис- ленного эксперимента и полученных аналитичес- ких критериев. Работа была выполнена при поддержке ЕС в рамках контракта IC15CT980509. Литература 1. Д. М. Ваврив, В. Б. Рябов. Радиотехника и электрони- ка. 1991, 36, №11, с. 2148-2155. 2. C. Holmes and P. Holmes. J. Sound Vib. 1981, 78, p. 161. 3. J. Miles. Appl. Phys. and Math. Sci. 1984, 81, No. 6, pр. 3919-3926. 4. А. Б. Белогорцев, Д. М. Ваврив, О. А. Третьяков. ЖЭТФ. 1987, 94, №4, с. 1316-1321. Рис. 4. Область хаоса на плоскости параметров (ε, В) при β = 0.1, γ = 0.1, P = 0.1, Δ = −3.6 и μ = 0.01. Граница, полученная методом Мельникова , показана сплошной линией. Области хаоса, найденные в резуль- тате численного эксперимента, показаны крестика- ми. Граница первой бифуркации удвоения периода по- казана штриховой линией, а линия резонансов (19) и (20) при n = 2 отмечена пунктиром Рис. 5. Область хаоса на плоскости параметров (Δ, В) при β = 0.1, γ = 0.1, P = 0.1, ε = 0.08 и μ = 0.01. Граница, полученная методом Мельникова, показана сплошной линией. Верхняя граница существования в системе “седел”, полученная из (7), показана штрих- пунктирной линией при Δ = –0.2. Хорошо видно совпа- дение этой линии с одной из ветвей кривой, полученной методом Мельникова Д. М. Ваврив, Д. В. Шигимага Радиофизика и радиоастрономия, 2000, т. 5, №3264 5. А. Б. Белогорцев, Д. М. Ваврив, Б. А. Калугин. ЖТФ. 1987, 57, №3, с. 559-561. 6. D. M. Vavriv, V. B. Ryabov, S. A. Sharapov, and H. M. Ito. Physical Review E. 1996, 53 , No. 1, pp. 103-114. 7. A. H. Nayfeh, S. A. Nayfeh, and B. Balachandran. In Nonlinearity and Chaos in Engineering Dynamics, J. M. T. Thompson and S. R. Bishop, Eds., John Wiley & Sons Ltd., 1994, pp. 39-58. 8. D. V. Shygimaga, D. M. Vavriv, and V. V. Vinogradov. IEEE Transactions on Circuits and Systems. 1998, 45, No. 12, pp. 1255-1260. 9. А. Д. Грищенко, Д. М. Ваврив. ЖТФ. 1997, 67. №10, с. 1-7. 10. J. M. Guckenheimer and P. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields. N. Y., Springer-Verlag, 1983, 400 рр. Chaos in Duffing Oscillator with High- and Low-Frequency External Forcing D. М. Vavriv, D. V. Shygimaga Conditions for chaos onset in Duffing oscillator with high- and low-frequency external excitation are examined. The analytical results obtained by Melni- kov technique and repeated averaging technique are compared with ones obtained from numerical ex- periment. A good correspondence of the above re- sults is proved. It is shown that an essential interac- tion of low- and high-frequency oscillations can occur in the case of their additive external forcing on Duffing oscillator.

Хаос в осцилляторе Дуффинга с высокочастотным и низкочастотным внешним воздействием

Institution

Ähnliche Einträge