О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента

О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента

Получены достаточно простые точные выражения для коэффициентов Клебша-Гордана с магнитными квантовыми числами 0 и 1 для физических значений угловых моментов. На основе этих выражений вычислены асимптотики коэффициентов Клебша-Гордана и проведено их сравнение с известными в литературе. Результаты име...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2002
Hauptverfasser: Брюховецкий, А.С., Пазынин, Л.А.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Радіоастрономічний інститут НАН України 2002
Schriftenreihe:Радиофизика и радиоастрономия
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122303
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента / А.С. Брюховецкий, Л.А. Пазынин // Радиофизика и радиоастрономия. — 2002. — Т. 7, № 1. — С. 74-80. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-122303
record_format dspace
spelling irk-123456789-1223032017-07-03T03:02:44Z О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента Брюховецкий, А.С. Пазынин, Л.А. Получены достаточно простые точные выражения для коэффициентов Клебша-Гордана с магнитными квантовыми числами 0 и 1 для физических значений угловых моментов. На основе этих выражений вычислены асимптотики коэффициентов Клебша-Гордана и проведено их сравнение с известными в литературе. Результаты имеют значение для исследования асимптотического поведения рассеянного поля в соответствующих сферически симметричных задачах электродинамики. Одержано достатньо прості точні вирази для коефіцієнтів Клебша-Гордана з магнітними квантовими числами 0 та 1 для фізичних значень кутових моментів. На основі цих виразів обчислені асимптотики коефіцієнтів Клебша-Гордана для великих значень моментів і проведено їх порівняння з існуючими у літературі. Результати мають значення для дослідження асимптотичної поведінки розсіяного поля у відповідних сферично симетричних задачах електродинаміки. Sufficiently simple exact expressions are obtained for the Clebsch-Gordan coefficients with magnetic numbers 0 and 1 for the physical angular momentum values. On the basis of these expressions the asymptotics of such coefficients are calculated and a comparison with the results available from literature is performed. The results are of importance for the analysis of asymptotic behaviour of scattered fields in relevant electromagnetic problems having spherical symmetry. 2002 Article О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента / А.С. Брюховецкий, Л.А. Пазынин // Радиофизика и радиоастрономия. — 2002. — Т. 7, № 1. — С. 74-80. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-9636 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122303 621.371.162; 530.1:51-72 ru Радиофизика и радиоастрономия Радіоастрономічний інститут НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Получены достаточно простые точные выражения для коэффициентов Клебша-Гордана с магнитными квантовыми числами 0 и 1 для физических значений угловых моментов. На основе этих выражений вычислены асимптотики коэффициентов Клебша-Гордана и проведено их сравнение с известными в литературе. Результаты имеют значение для исследования асимптотического поведения рассеянного поля в соответствующих сферически симметричных задачах электродинамики.
format Article
author Брюховецкий, А.С.
Пазынин, Л.А.
spellingShingle Брюховецкий, А.С.
Пазынин, Л.А.
О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента
Радиофизика и радиоастрономия
author_facet Брюховецкий, А.С.
Пазынин, Л.А.
author_sort Брюховецкий, А.С.
title О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента
title_short О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента
title_full О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента
title_fullStr О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента
title_full_unstemmed О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента
title_sort о коэффициентах клебша-гордана в комплексной j-плоскости. i. физические значения углового момента
publisher Радіоастрономічний інститут НАН України
publishDate 2002
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/122303
citation_txt О коэффициентах Клебша-Гордана в комплексной j-плоскости. I. Физические значения углового момента / А.С. Брюховецкий, Л.А. Пазынин // Радиофизика и радиоастрономия. — 2002. — Т. 7, № 1. — С. 74-80. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series Радиофизика и радиоастрономия
work_keys_str_mv AT brûhoveckijas okoéfficientahklebšagordanavkompleksnojjploskostiifizičeskieznačeniâuglovogomomenta
AT pazyninla okoéfficientahklebšagordanavkompleksnojjploskostiifizičeskieznačeniâuglovogomomenta
first_indexed 2025-07-08T21:27:55Z
last_indexed 2025-07-08T21:27:55Z
_version_ 1837115718092455936
fulltext Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹1, ñ. 74-80 © À. Ñ. Áðþõîâåöêèé, Ë. À. Ïàçûíèí, 2002 ÓÄÊ 621.371.162; 530.1:51-72 Î êîýôôèöèåíòàõ Êëåáøà-Ãîðäàíà â êîìïëåêñíîé j-ïëîñêîñòè. I. Ôèçè÷åñêèå çíà÷åíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà À. Ñ. Áðþõîâåöêèé, Ë. À. Ïàçûíèí Èíñòèòóò ðàäèîôèçèêè è ýëåêòðîíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Óêðàèíà, 61085, ã. Õàðüêîâ, óë. Àê. Ïðîñêóðû, 12 Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 10 èþëÿ 2001 ã. Ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íî ïðîñòûå òî÷íûå âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Êëåáøà-Ãîðäàíà ñ ìàã- íèòíûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè 0 è 1 äëÿ ôèçè÷åñêèõ çíà÷åíèé óãëîâûõ ìîìåíòîâ. Íà îñíîâå ýòèõ âûðàæåíèé âû÷èñëåíû àñèìïòîòèêè êîýôôèöèåíòîâ Êëåáøà-Ãîðäàíà è ïðîâåäåíî èõ ñðàâ- íåíèå ñ èçâåñòíûìè â ëèòåðàòóðå. Ðåçóëüòàòû èìåþò çíà÷åíèå äëÿ èññëåäîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñ- êîãî ïîâåäåíèÿ ðàññåÿííîãî ïîëÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íûõ çàäà÷àõ ýëåê- òðîäèíàìèêè. Îäåðæàíî äîñòàòíüî ïðîñò³ òî÷í³ âèðàçè äëÿ êîåô³ö³ºíò³â Êëåáøà-Ãîðäàíà ç ìàãí³òíèìè êâàí- òîâèìè ÷èñëàìè 0 òà 1 äëÿ ô³çè÷íèõ çíà÷åíü êóòîâèõ ìîìåíò³â. Íà îñíîâ³ öèõ âèðàç³â îá÷èñëåí³ àñèìïòîòèêè êîåô³ö³ºíò³â Êëåáøà-Ãîðäàíà äëÿ âåëèêèõ çíà÷åíü ìîìåíò³â ³ ïðîâåäåíî ¿õ ïîð³âíÿí- íÿ ç ³ñíóþ÷èìè ó ë³òåðàòóð³. Ðåçóëüòàòè ìàþòü çíà÷åííÿ äëÿ äîñë³äæåííÿ àñèìïòîòè÷íî¿ ïîâåä³íêè ðîçñ³ÿíîãî ïîëÿ ó â³äïîâ³äíèõ ñôåðè÷íî ñèìåòðè÷íèõ çàäà÷àõ åëåêòðîäèíàì³êè. Ââåäåíèå Êîýôôèöèåíòû Êëåáøà-Ãîðäàíà (ÊÊÃ) ãðóïïû ñèììåòðèè 2SU èìåþò ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòîâ â çàäà÷àõ ðàññåÿíèÿ âîëí è ÷àñòèö, îáëàäàþùèõ ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèåé. Ïîýòîìó âû÷èñëå- íèþ ÊÊà è èçó÷åíèþ èõ ñâîéñòâ ïîñâÿùåíî áîëüøîå ÷èñëî ðàáîò. Îäíàêî â îïðåäåëåííîì ñìûñëå çàêîí÷åííîé ìîæíî ñ÷èòàòü òîëüêî êëàññè÷åñêóþ òåîðèþ ÊÊÃ, ñâÿçàííóþ ñ ðàç- ëîæåíèåì ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé ãðóï- ïû âðàùåíèé òðåõìåðíîãî âåùåñòâåííîãî ïðîñòðàíñòâà íà íåïðèâîäèìûå êîìïîíåíòû. Îñîáîå ìåñòî â òåîðèè ÊÊà çàíèìàåò ïðî- äîëæåíèå èõ íà êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ óãëî- âîãî ìîìåíòà (j-ïëîñêîñòü) â ñâÿçè ñ èññëåäî- âàíèåì àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ðàññåÿí- íîãî âîëíîâîãî ïîëÿ ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ óãëîâîãî ìîìåíòà. Äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ òàêîé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ âïåðâûå ïðåä- ëîæèë Âàòñîí [1], è â òåîðèè äèôðàêöèè âîëí ýòîò ìåòîä ïîëó÷èë íàçâàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Âàòñîíà.  êâàíòîâîé òåîðèè ðàññåÿíèÿ åãî îáû÷íî íàçûâàþò ìåòîäîì Âàòñîíà-Ðåäæå [2]. Ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðíûõ ïîëåé â ôîðìå øàðîâûõ âåêòîðîâ (òåíçîðíûõ ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê) â ñïèðàëüíîì áàçèñå [3, ñ. 186] ñî- äåðæèò ÊÊà âèäà 1 2 1 2( , , ; , , ),C l l l m m m (1) ãäå 2 1,l = 1 0,m = 2 0, 1,...,m = ± 1 2,m m m= + li � óãëîâûå ìîìåíòû (âåñà ïðåäñòàâëåíèé), mi � èõ ïðîåêöèè íà ïîëÿðíóþ îñü (ìàãíèòíûå êâàíòîâûå ÷èñëà). Çäåñü è äàëåå ìû èñïîëüçó- åì îáîçíà÷åíèÿ ÊÊÃ, ïðèíÿòûå â [4]. Ðàññåÿíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ñëó÷àé- íûõ íåðîâíîñòÿõ ñôåðû [5] ïðèâîäèò ê ïðîèç- âîëüíûì öåëûì ïîëîæèòåëüíûì (ôèçè÷åñêèì) çíà÷åíèÿì 2l â (1). Ïîýòîìó íàñ èíòåðåñîâàëî ïðîäîëæåíèå ÊÊà íà êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ 1,l 2,l l (êîòîðûå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ñîîòâåòñòâåí- Î êîýôôèöèåíòàõ Êëåáøà-Ãîðäàíà â êîìïëåêñíîé j-ïëîñêîñòè. I. Ôèçè÷åñêèå çíà÷åíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà 75Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹1 íî 1,j 2,j j) ïðåæäå âñåãî äëÿ äâóõ íàáîðîâ ìàã- íèòíûõ êâàíòîâûõ ÷èñåë 1 2 0m m= = è 1 1,m = 2 0,m = õàðàêòåðèçóþùèõ âûøåóïîìÿíóòîå ðàñ- ñåÿíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí [5]. Ïðîäîëæåíèå ÊÊà â êîìïëåêñíóþ j-ïëîñêîñòü: ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ è àñèìïòîòèêè äëÿ 1,j 2 ,j 1j ? Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â ýôôåêòèâíûõ êîýô- ôèöèåíòàõ îòðàæåíèÿ ñôåðè÷åñêèõ âîëí äëÿ êî- ðîòêîâîëíîâîãî ðàññåÿíèÿ íà ìåëêîìàñøòàáíûõ íåðîâíîñòÿõ áîëüøîé ñôåðû, êîãäà 1,l 2,l 1,l ? ïîêàçàë, ÷òî àñèìïòîòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ÊÊà äëÿ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé óãëîâîãî ìîìåíòà [4] ñîäåðæàò íåòî÷íîñòè. Òàêèå æå íå- òî÷íîñòè, êàê îêàçàëîñü, ñîäåðæàòñÿ è â �êëàñ- ñè÷åñêîì ïðåäåëå� Áðóøàðà è Òîëõóêà [6], âîñ- ïðîèçâåäåííîì â ñïðàâî÷íèêå [3, ñ. 224-225]. Äëÿ êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé óãëîâîãî ìî- ìåíòà ñâåäåíèÿ îá àñèìïòîòèêàõ ÊÊà â èçâå- ñòíîé íàì ëèòåðàòóðå [3, 7-9] îòñóòñòâóþò. Ïîýòîìó öåëüþ ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ, âî-ïåðâûõ, ïîëó÷åíèå òî÷íûõ ïðîñòûõ âûðàæåíèé 1 2 1 2( , , ; , , )C l l l m m m äëÿ ìàãíèòíûõ êâàíòîâûõ ÷èñåë 1 1,m = 2 0m = è 1 2 0m m= = â îáëàñòè öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ (ôèçè÷åñêèõ) çíà÷å- íèé óãëîâîãî ìîìåíòà è íà èõ îñíîâå ñîîò- âåòñòâóþùèõ àñèìïòîòèê ïðè ýòèõ çíà÷åíè- ÿõ; âî-âòîðûõ, îáîáùåíèå àíàëîãè÷íûõ ðå- çóëüòàòîâ äëÿ êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé óãëîâî- ãî ìîìåíòà 1,j 2,j j. Öåëûå ïîëîæèòåëüíûå (ôèçè÷åñêèå) çíà÷åíèÿ l1, l2, l Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé ôèçè÷åñêèõ çíà÷åíèé 1,l 2,l l. Èçâåñòíî [3, ñ. 213, ôîð- ìóëà (32); 4, ñ. 185], ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðè 1 2 0m m= = ÊÊà èìååò ïðîñòîé âèä îäíî- ÷ëåííîé ôîðìóëû 1 2 0 äëÿ ïîëóöåëîãî , ( , , ;0,0,0) äëÿ öåëîãî , g C l l l G g  =   (2) ãäå 1 2( ) 2,g l l l= + + 1 2(2 1)(2 2 )!(2 2 )!(2 2 )! ( 1) (2 1)! g l l g l g l g l G g − + − − −= − × + 1 2 ! . ( )!( )!( )! g g l g l g l × − − − Äëÿ ìàãíèòíûõ êâàíòîâûõ ÷èñåë 1 1,m = 2 0m = èçâåñòíû âûðàæåíèÿ ÊÊà â âèäå ìíî- ãî÷ëåííîé ñóììû [3], ÷èñëî ñëàãàåìûõ â êî- òîðîé ïðîïîðöèîíàëüíî çíà÷åíèÿì 1,l 2,l l, ÷òî íå ïîçâîëÿeò ñäåëàòü íàäëåæàùèå àñèìï- òîòè÷åñêèå îöåíêè. Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî 1 2( , , ;1,0,1)C l l l ìîæ- íî âûðàçèòü ÷åðåç 1 2( , , ;0,0,0)C l l l â ñëó÷àå öåëîãî g è ÷åðåç 1 2( 1, 1, 1;0,0,0)C l l l− − − â ñëó- ÷àå ïîëóöåëîãî g, ñâåäÿ òàêèì îáðàçîì çàäà÷ó ê àñèìïòîòè÷åñêîé îöåíêå 1 2( , , ;0,0,0)C l l l ëèáî 1 2( 1, 1, 1 ;0,0,0).C l l l− − − Äëÿ öåëîãî g òàêàÿ ïðîöåäóðà îòíîñèòåëü- íî ïðîñòî îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñïðàâåä- ëèâûõ äëÿ ôèçè÷åñêèõ çíà÷åíèé il ðåêóððåí- òíûõ ñîîòíîøåíèé [4, ñ. 190, ôîðìóëû (5), (6)]: 1 1 1 2 2 2( 1) ( , , ;0,0,0) ( 1)l l C l l l l l+ + + × 1 2 1 2( , , ;1, 1,0) ( 1) ( , , ;1,0,1),C l l l l l C l l l× − = + (3) [ ]1 1 2 2 1 2( 1) ( 1) ( 1) ( , , ;0,0,0)l l l l l l C l l l+ + + − + + [1 1 2 2 1 2( 1) ( 1) ( , , ;1, 1,0)l l l l C l l l+ + + − + ]1 2( , , ; 1,1,0) 0,C l l l+ − = (4) è ñîîòíîøåíèÿ ñèììåòðèè [4, ñ. 182] 1 2 1 2 1 2( , , ; 1,1,0) ( 1) ( , , ;1, 1,0).l l lC l l l C l l l− −− = − − (5) Îòñþäà ïðè öåëîì g: 1 2 1 1 2( , , ;1,0,1) ( , , ;0,0,0),C l l l A C l l l= (6) À. Ñ. Áðþõîâåöêèé, Ë. À. Ïàçûíèí 76 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹1 ãäå 1 1 2 2 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) . 2 ( 1) ( 1) l l l l l l A l l l l + + + − += + + (7) Ïðè ïîëóöåëîì g àíàëîãè÷íàÿ ïðîöåäóðà ãîðàçäî áîëåå òðóäîåìêàÿ. Ñîãëàñíî [4, ñ. 194, ôîðìóëà (12)] ìîæíî çàïèñàòü: ( )1 2 1 2, , ;1,0 ( , , ;1,0,1)l l l C l l lα = 1 2 1 2( , , ;0,0) ( , , ;0,0,0)l l l C l l l′ ′ ′ ′ ′ ′= α − 1 2 1 2( , , ;2,0) ( , , ;2,0,2)l l l C l l l′ ′ ′ ′ ′ ′−α + ( )1 2 1 2, , ;0,1 ( , , ;0,1,1)l l l C l l l′ ′ ′ ′ ′ ′+α − 1 2 1 2( , , ;2, 1) ( , , ;2, 1,1)l l l C l l l′ ′ ′ ′ ′ ′−α − − + ( )1 2 1 2, , ;1,1 ( , , ;1,1,2)l l l C l l l′ ′ ′ ′ ′ ′+α − 1 2 1 2( , , ;1, 1) ( , , ;1, 1,0),l l l C l l l′ ′ ′ ′ ′ ′−α − − (8) ãäå ( )1 2 1 2, , ; ,l l l m mα = 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 ( )!( )! (2 1)( )!( )!( )! l l l l l l l l m l m l m  + − + −= × + + − + 1/2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 ( )!( 1)! , ( )!( )!( )! l l l l l l l m l m m l m m − + + + +× − + + − −  (9) a 1.i il l′ = − Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå ðåêóðpåíò- íîé ôîðìóëû (4) (ïðè 1 1,m = 2 0m = è 1 1,m = 2 1),m = − ôîðìóëû (5) (ïðè 1 2 1m m= = è 1 1,m = 2 0)m = è ñîîòíîøåíèÿ (6) ñ èñïîëüçî- âàíèåì ðåçóëüòàòîâ [4, ñ. 190, ôîðìóëà (4)] ïî- çâîëÿåò ïîëó÷èòü ñëåäóþùóþ çàâèñèìîñòü: 1 2 1 2( , , ;1,0,1) ( 1, 1, 1;0,0,0),C l l l C l l lγ = β − − − (10) ãäå 1 2 1 1 2 1 1 (2 1)( 1) ! ! ! (2 1)( 1)( 1) l l l l ll l l l l l l  + + + −γ = × − + + 1 2 1 2 1 2( )( )( )l l l l l l l l l× + − + − − + × 1/ 2 1 2 1 2( 1)( ) ,l l l l l l  × + + + + +   (11) 1 2 3 1 2 , 2( 1)!( 1)!( 1)! s s s l l l + +β = − − − (12) 1 1 2 1 2 1 ( 1)( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) l l ll l s ll l l  − + +−= + + + +  2 1 2 2 1 1 2 ( 1)( 1)( 1) ( 1) 1 , ( 1) 1 l l ll l l l l l ll l l l  − + +− ++ − + + − + +  (13) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) l l l l l l l s ll l l  − − − − + += − − + + +  1 1 2 2 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) l l l l ll l − − −+ × + 2 1 2 2 2 ( 1)( 1) ( 1) 1 , 1 l l l l l l l l l  − + + +× − + + − +  (14) 2 1 2 2 1 1 1 3 2 1 2 . ( 1) l l l ll l l l s l l + + − −= + (15)  ðåçóëüòàòå äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèõ ïðå- îáðàçîâàíèé äëÿ ñóììû 1 2 3is s s s= + +∑ ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( )( )( ) ( 1)( 1)i l l l l l l l l l s ll l l l + − + − − += × + +∑ 1 2 1 2( 1)( 1).l l l l l l× + + + + + − (16) Î êîýôôèöèåíòàõ Êëåáøà-Ãîðäàíà â êîìïëåêñíîé j-ïëîñêîñòè. I. Ôèçè÷åñêèå çíà÷åíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà 77Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹1 Ïðè ýòîì èç (10) äëÿ ïîëóöåëûõ g èìååì: 1 2 2 1 2( , , ;1,0,1) ( 1, 1, 1;0,0,0),C l l l A C l l l= − − − (17) ãäå 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1/ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( )( )( ) ( 1)( 1) ( 1)( 1) . ( ) l A l l l l l l l l l l ll l l l l l l l l l l l  += × − + − + − − +× × + + + + + + + −× + +  Âûðàæåíèÿ (6) è (17) îçíà÷àþò, ÷òî 1 2( , , ;1,0,1)C l l l äëÿ ôèçè÷åñêèõ çíà÷åíèé ìî- ìåíòîâ 1,l 2,l l òîæå ñâîäèòñÿ ê îäíî÷ëåííîé ôîðìóëå. Äîñòàòî÷íî ïðîñòûå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ (2), (12) è (17) ïîçâîëÿþò ëåãêî ïî- ëó÷èòü èõ àñèìïòîòèêè ïðè 1 2, , 1.l l l ? Åñëè âûðàçèòü ôàêòîðèàëû ÷åðåç Ã-ôóíê- öèþ è âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé Ñòèðëèíãà [10, ñ. 62] 1 2( ) 2 ,z zz e z− −Γ ≅ π arg ,z < π (18) òî äëÿ âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (2) ñîìíîæèòåëåé ïîëó÷èì àñèìïòîòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ: 1 4 1 2! ( 1) 2 , (2 1)! (2 2) gg g gg g − − Γ + π= ≅  + Γ +   1 2 1 2 (2 2 )!(2 2 )!(2 2 )! ( )!( )!( )! g l g l g l g l g l g l − − − ≅ − − − ( ) [ ] 1 23 1 4 1 2 2 . ( ) ( ) ( ) g l l l g l g l g l − + + ≅ π − π − π − Ïîäñòàíîâêà èõ â ôîðìóëó (2) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó: ( )1 2 0 äëÿ ïîëóöåëîãî , ( , , ;0,0,0) 1 äëÿ öåëîãî . g l g C l l l l g S −  =  − π (19) Âåëè÷èíà S, âõîäÿùàÿ â ôîðìóëó (19), ìî- æåò áûòü çàïèñàíà â îäíîé èç ñëåäóþùèõ ïÿòè ôîðì: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 ( )( )( )( )S l l l l l l l l l l l l= + + + − − + + − = 2 2 2 2 1 1 2 1 4 ( ) ( )l l l l l l   = + − − − =    ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 2l l l l l l l l l l   = − − − + − − =    ( )22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 4l l l l l = − − − =   ( )4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 2 3 1 4 2 .l l l l l l l l l= − − − + + + (20) Ó ðàçíûõ àâòîðîâ ýòà âåëè÷èíà ìîæåò ïðèñóò- ñòâîâàòü â îäíîé èç âûøåïðèâåäåííûõ ôîðì, òîæäåñòâåííîñòü êîòîðûõ, íà ïåðâûé âçãëÿä, íå î÷åâèäíà. Èñõîäÿ èç (19), íåòðóäíî çàïèñàòü àñèìï- òîòèêó äëÿ 1 2( 1, 1, 1;0,0,0)C l l l− − − ïðè ïîëó- öåëûõ g: 1 2 1 2( 1, 1, 1;0,0,0) ( 1) ,g l l C l l l S − −− − − ≅ − π (21) 1 2( , , 1).l l l ? Àñèìïòîòèêè (19) è (21) ÿâëÿþòñÿ èñõîä- íûìè äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé îöåíêè ôîðìóë (6) è (17). Äëÿ îöåíêè (6) ïîëó÷èì ïðè öåëîì g: 1 2 1 1 2( , , ;1,0,1) ( , , ;0,0,0),C l l l AC l l l≅ (22) 1 2( , , 1),l l l ? À. Ñ. Áðþõîâåöêèé, Ë. À. Ïàçûíèí 78 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹1 ãäå 1 2( , , ;0,0,0)C l l l îïðåäåëÿåòñÿ íèæíåé ÷àñ- òüþ ôîðìóëû (19), à 1A � åñòü àñèìïòîòè÷åñ- êîå ïðèáëèæåíèå äëÿ (7): 2 2 2 1 2 1 1 . 2 l l l A ll + −≈ (23) Äëÿ ïîëóöåëûõ g èç (17) àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïîëó÷èì: 1 2 2 1 2( , , ;1,0,1) ( 1, 1, 1;0,0,0),C l l l A C l l l≈ − − − (24) 1 2, , 1,l l l ? ãäå 1 2( 1, 1, 1;0,0,0)C l l l− − − îïðåäåëÿåòñÿ ôîð- ìóëîé (21), à 2 1 2 . S A ll ≈ (25) Ñðàâíåíèå ñ èçâåñòíûìè àñèìïòîòèêàìè Ñðàâíèì ïîëó÷åííûå àñèìïòîòèêè ñ èìåþ- ùèìèñÿ â ëèòåðàòóðå.  ìîíîãðàôèè [4, ñ. 229] ïðèâåäåíî àñèìïòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå, êîòî- ðîå â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ âûãëÿäèò ñëåäóþ- ùèì îáðàçîì (ôîðìóëà Âèëåíêèíà): ( ) 1 422 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) 2 , 4 ( , , ;0,0,0) åñëè ; 0, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå; g l l l l ll l C l l l l l l l l − − π    − −   ≈ − < < +      (26) è íå çàâèñèò îò ìàãíèòíûõ êâàíòîâûõ ÷èñåë 1,m 2.m Åñëè ó÷åñòü, ÷òî â çíàìåíàòåëå (26) ñòîèò âûðàæåíèå äëÿ 2 S (ñì. (20)), òî (26) îòëè÷àåòñÿ îò (19) èëè (21) â 2 ðàç. Äëÿ ïî- ëóöåëûõ g îöåíêà (26) ïðèíöèïèàëüíî íåâåð- íà, â ýòîì ñëó÷àå 1 2( , , ;0,0,0) 0.C l l l ≡ Äëÿ ìàã- íèòíûõ êâàíòîâûõ ÷èñåë 1 1,m = 2 0,m = îò- ëè÷èå (26) îò (22) èëè (24) åùå áîëüøå: â 12A èëè 22A ðàç ñîîòâåòñòâåííî.  ôîðìóëàõ Áðóøàðà è Òîëõóêà [6] (ñì. òàêæå [3, ñ. 225]) çàâèñèìîñòü îò ìàãíèòíûõ êâàíòîâûõ ÷èñåë 1m è 2m ñîäåðæèòñÿ â íåñó- ùåñòâåííûõ 2~ ( )O l − ÷ëåíàõ ðàçëîæåíèÿ. Ïðè 1 2 0m m= = ôîðìóëà äëÿ 1 2( , , ;0,0,0),C l l l ïî- ëó÷åííàÿ â [3, ñ. 225, ôîðìóëà (20)], îòëè÷àåò- ñÿ îò ôîðìóëû Âèëåíêèíà (26) íåñóùåñòâåí- íûì 1~ ( )O l− ÷ëåíîì â àñèìïòîòèêå (âåëè÷è- íà 2 1l + âìåñòî 2 )l , è ýòîé ðàçíèöåé ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîýòîìó íåòî÷íîñòü áóäåò òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è ó ôîðìóëû (26). Ïîëóêëàññè÷åñêàÿ ôîðìóëà Ïîíçàíî è Ðåä- æå* [11], ïðèâåäåííàÿ â [3, ñ. 223] èìååò âèä: 22 1 1 2 1 2 2 1 ( , , ; , , ) ( 1) l l m l C l l l m m m S + + + +≈ − × π [ ]1 1 2 2 3 3 2 1 1 2cos 4 ,j j j m m× θ + θ + θ − ϕ + ϕ + π (27) ãäå 1 1 1 2,j l≡ + 2 2 1 2,j l≡ + 3 1 2,j l≡ + 3 ,m m= − ( )4 4 4 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 4 S j j j j j j j j j= − − − + + + + ( ) 1/ 2 2 2 2 1 2 3 2 1 3 3 1 24 ,j m m j m m j m m + + +  (28) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos , 4 i l i i k l i i i i l i k l j m m j j j j m j j j j j + − + θ =  − − − +  *Íå èìåÿ âîçìîæíîñòè îçíàêîìèòüñÿ ñ ðàáîòîé [11], ìû ïîëüçîâàëèñü åå ðåçóëüòàòàìè, èçëîæåííûìè â [3]. Î êîýôôèöèåíòàõ Êëåáøà-Ãîðäàíà â êîìïëåêñíîé j-ïëîñêîñòè. I. Ôèçè÷åñêèå çíà÷åíèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà 79Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹1 ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 21 cos , 2 i k l k l i k k i l j j j m m j m j m − − − ϕ = − − à èíäåêñû j, k, l îáðàçóþò öèêëè÷åñêóþ ïåðå- ñòàíîâêó èç 1, 2, 3. Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå (28) ñ òî÷íîñòüþ äî íåñóùåñòâåííûõ äëÿ àñèìïòîòèêè ÷ëåíîâ ( )1~ O j − ñîâïàäàeò ñ îäíîé èç ôîðì (20). Äëÿ 1 2 0m m m= = = âûðàæåíèå äëÿ S 2 [3, ñ. 224, ôîðìóëà 45] ñîäåðæèò îïå÷àòêó: â ïåðâîé ñêîá- êå äîëæíî áûòü 3/2 âìåñòî 5/2. Òîãäà ýòî âû- ðàæåíèå ïåðåõîäèò â ïåðâóþ ôîðìó ñîîòíî- øåíèÿ (20). Ïðè ýòîì ( )1 cos ~ ,i O j −θ ( )1 ~ 2 ,i O j −θ π + ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 1 2 2 2 2 3 13 1 cos (1). 22 1 1 j j j j j j O j jj j − − + −ϕ = ≈ − − −  ðåçóëüòàòå äëÿ 1 2 0m m= = àðãóìåíò êîñè- íóñà â ôîðìóëå (27) 1 2 3 1 2 34 ( 1 2) ,j j j l l l1 2 3Φ = θ + θ + θ + π = + + + π 2 2 +11 2 1 ( 1) cos cos ð = ( 1) , 2 2 g gl l l+ + + −Φ = − − à ÊÊà ñîîòâåòñòâåííî èìååò âèä [3, ñ. 224, ôîðìóëà (18)]: 2 2 1 2 2 1 1 ( 1) ( , , ;0,0,0) ( 1) , 2 2 g l g l l C l l l S − − + + −≈ − π (29) è îòëè÷àåòñÿ îò (19) àñèìïòîòè÷åñêè íåñóùå- ñòâåííûìè ÷ëåíàìè. Äëÿ ìàãíèòíûõ êâàíòîâûõ ÷èñåë 1 1,m = 2 0m = ( )2 1 2 2( ) . 2 l l l O j −π Φ ≈ + + + π + ϕ +   (30)  ñëó÷àå öåëûõ g: 2cos ( 1) cos .gΦ = − ϕ Ïðè ýòîì (m = 1) 22 2 1 1 2 2 2 1 ( , , ;1,0,1) ( 1) ( 1) cos 2 l l gl C l l l s + + ++= − − ϕ = π 2 1 2cos ( , , ;0,0,0).C l l l= − ϕ (31) Çäåñü 2 2 2 1 2 2 1 cos . 2 l l l ll + −− ϕ ≈ (32) Ñîâïàäåíèå (32) ñ 1A èç (23) î÷åâèäíî, à ñëå- äîâàòåëüíî, (31) ñîâïàäàåò ñ àñèìïòîòèêîé òî÷íîãî âûðàæåíèÿ (22). Äëÿ ïîëóöåëûõ çíà- ÷åíèé g 1 2 2cos cos ( ) 2 l l l π Φ = − + + + ϕ =   1 2( 1) 2 2( 1) sin ,l l l+ + −= − ϕ (33) ïðè ýòîì 2 1 2 sin . S ll ϕ ; (34) Òîãäà èç (27) 22 2 1 2 1 2 2 2 1 ( , , ;1,0,1) ( 1) ( 1) sin 2 l l gl C l l l S + + −+− − ϕ = π ; 1 2 2 1 2 1 2 ( 1) sin ( 1, 1, 1;0,0,0).g l l S C l l l S ll − −= − ϕ − − − π ; (35) Ñðàâíåíèå (35) ñ ôîðìóëîé (24) ñ ó÷åòîì (25) ïîêàçûâàåò ïîëíîå ñîâïàäåíèå îñíîâíûõ ÷ëå- íîâ àñèìïòîòè÷åñêèõ çíà÷åíèé 1 2( , , ;1,0,1),C l l l À. Ñ. Áðþõîâåöêèé, Ë. À. Ïàçûíèí 80 Ðàäèîôèçèêà è ðàäèîàñòðîíîìèÿ, 2002, ò. 7, ¹1 äàâàåìûõ ïîëóêëàññè÷åñêîé ôîðìóëîé Ïîíçà- íî è Ðåäæå, è çíà÷åíèé, ïîëó÷åííûõ íàìè èç òî÷íûõ ôîðìóë (6) è (17). Ëèòåðàòóðà 1. G. N. Watson. Proc. Roy. Soc. 1918, A95, pp. 83-99. 2. T. Regge. Nuovo Cimento. 1959, 14, No. 5, pp. 951- 976. 3. Ä. À. Âàðøàëîâè÷, À. Í. Ìîñêàëåâ, Â. Ê. Õåð- ñîíñêèé. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ óãëîâîãî ìîìåíòà. Ëå- íèíãðàä, Íàóêà, 1975, 439 ñ. 4. Í. ß. Âèëåíêèí. Ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè è òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï. Ìîñêâà, Íàóêà, 1991, 588 ñ. 5. A. S. Bryukhovetski, L. A. Pazynin. J. Electromagn. Waves Appl. (JEWA). 1991, 5, No. 8, pp. 897-907. 6. P. J. Brussard, H. A. Tolhoek. Physica. 1957, 23, No. 10, pp. 955-971. 7. ß. À. Ñìîðîäèíñêèé, Ë. À. Øåëåïèí. ÓÔÍ. 1972, 106, ¹1, ñ. 3-45. 8. Ë. À. Øåëåïèí. Òðóäû ÔÈÀÍ ÑÑÑÐ èì. Ï. Í. Ëå- áåäåâà. Ìîñêâà, Íàóêà, 1973, 70, ñ. 3-119. 9. À. Ó. Êëèìûê. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû è êîýôôè- öèåíòû Êëåáøà-Ãîðäàíà ïðåäñòàâëåíèé ãðóïï. Êèåâ, Íàóêîâà äóìêà, 1979, 304 ñ. 10. Ã. Áåéòìåí, À. Ýðäåéè. Âûñøèå òðàíñöåíäåíò- íûå ôóíêöèè, ò. 1. Ìîñêâà, Íàóêà, 1973, 296 ñ. 11. G. Ponzano, T. Regge. Spectrogcopic and group theoretical methods in physics. Amsterdam, Nort- Holland Publ. Co., 1968, pp. 1-58. On Clebsch-Gordan Coefficients in Complex j-Plane. I. Physical Values of an Angular Momentum A. S. Bryukhovetski, L. A. Pazynin Sufficiently simple exact expressions are ob- tained for the Clebsch-Gordan coefficients with magnetic numbers 0 and 1 for the physical angu- lar momentum values. On the basis of these ex- pressions the asymptotics of such coefficients are calculated and a comparison with the results avail- able from literature is performed. The results are of importance for the analysis of asymptotic be- haviour of scattered fields in relevant electromag- netic problems having spherical symmetry.

Ähnliche Einträge