О движении тела на подвесе

В [1] дана постановка задачи о движении тела на подвесе, приближенная к описанному опыту [2, с. 99-100]. предложена математическая модель экспериментальной установки, учитывающая диссипацию, неизбежную в реальном объекте, и наличие двигателя. На основе этой работы в [3] изучен переход к установившем...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2003
Main Authors: Лесина, М.Е., Харламов, А.П.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2003
Series:Механика твердого тела
Online Access:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123718
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:О движении тела на подвесе / М.Е. Лесина, А.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 71-79. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-123718
record_format dspace
spelling irk-123456789-1237182017-09-10T03:03:11Z О движении тела на подвесе Лесина, М.Е. Харламов, А.П. В [1] дана постановка задачи о движении тела на подвесе, приближенная к описанному опыту [2, с. 99-100]. предложена математическая модель экспериментальной установки, учитывающая диссипацию, неизбежную в реальном объекте, и наличие двигателя. На основе этой работы в [3] изучен переход к установившемуся движению тела из его начального состояния, в котором центр масс тела и концевые точки подвеса находились на одной вертикали. В [4] найдены зависимости установившейся конфигурации системы от угловой скор<х:ти ротора двигателя. В данной работе дана постановка задачи о движении тела на подвесе, осуществленного посредством жесткого стержня и двух шарниров Гука. Получены кинематические соотношения, динамические уравнения, рассмотрены стационарные движения тела на подвесе. 2003 Article О движении тела на подвесе / М.Е. Лесина, А.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 71-79. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123718 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В [1] дана постановка задачи о движении тела на подвесе, приближенная к описанному опыту [2, с. 99-100]. предложена математическая модель экспериментальной установки, учитывающая диссипацию, неизбежную в реальном объекте, и наличие двигателя. На основе этой работы в [3] изучен переход к установившемуся движению тела из его начального состояния, в котором центр масс тела и концевые точки подвеса находились на одной вертикали. В [4] найдены зависимости установившейся конфигурации системы от угловой скор<х:ти ротора двигателя. В данной работе дана постановка задачи о движении тела на подвесе, осуществленного посредством жесткого стержня и двух шарниров Гука. Получены кинематические соотношения, динамические уравнения, рассмотрены стационарные движения тела на подвесе.
format Article
author Лесина, М.Е.
Харламов, А.П.
spellingShingle Лесина, М.Е.
Харламов, А.П.
О движении тела на подвесе
Механика твердого тела
author_facet Лесина, М.Е.
Харламов, А.П.
author_sort Лесина, М.Е.
title О движении тела на подвесе
title_short О движении тела на подвесе
title_full О движении тела на подвесе
title_fullStr О движении тела на подвесе
title_full_unstemmed О движении тела на подвесе
title_sort о движении тела на подвесе
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2003
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123718
citation_txt О движении тела на подвесе / М.Е. Лесина, А.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 71-79. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series Механика твердого тела
work_keys_str_mv AT lesiname odviženiitelanapodvese
AT harlamovap odviženiitelanapodvese
first_indexed 2025-07-09T00:08:00Z
last_indexed 2025-07-09T00:08:00Z
_version_ 1837125790164058112
fulltext ��������� �� ������� ��� �������������� !�#"�$ �&%�')( *+(#"��+,)� �- �� � �!�/.10324�5� � 687:9<;>=�?�@ =�A B© C>D�D =�@FEHGJI:GLKNM O�P4Q4RTSVUWGYXZGL[\R ]_^LR `3a�b cedFfhgWi I3j gNglk I1KWUmjNUnX c3dFf IpoqI rts uwv&x>y�z&y|{�}�~w��y�z�}����+yL��y�x>y�����}�x&���+����z+���5���w�>y�z&y�{�}�x&����~w����{+�������&�+����z�z&y�����}�{��&~�y�z�z�}�� ��}�{��)����s �+��~��������u�����v���{����wx��&}�����z&yp�!y������!y���������~w�+y���� }�x&�w�& p¡��+~¢{������&� ��z���y��& �z�}�£¤��~w��y�z�}����������¥�������)��y�¦4§�y��hx&�&~�~w��{&y�¨���¦8�z����������w��z��¥¦F�5����y��& �z�}���}���©����������&�ªz&y��&�������Vx&����«wy����w�+����¬�y�}�~wz�}�����¡���}�£ª�&y���}����W�ªs ­�v �����¥���wzª{������w®�}�xª���~w��y�z�}�������¯8��� ��~°�5x����+����z���¦±���w�>y����|��«�}�z&y��&y��& �z�}�«�}�~w}�~w��}���z��+���¥���¥}���}���}��h¨���z����3�!y�~�~L���w�>y����¥}�z�¨������)���}������\{�}�x&����~�yqz&y�®�}�x&�+�&�&~w :z&yh}�x&z�}�£²�����������+y��&���³r´s µ�v4z&y�£+x&�wz��¶��y����&~w�&� }�~w���²��~w��y�z�}�������¯8��£&~°�¤�¥}�z&·|�+�«��¥�&y�¨����¸~w�&~w����� �¹}��1�+«°�&}���}�£:~w�¥}���}�~w���:��}���}��&y�x&����«wy����w�+����r±x>y�z�z�}�£:�&y���}�����x>y�z&y1{�}�~w��y�z�}����+y���y�x>y����:}x&���+����z����8���w�>y4z&y_{�}�x&����~w����}�~w�¥§8��~w�����&��z�z�}�«�}_{�}�~w���wx>~w����}�������~¢����}�«�}|~w��������z+���Vx&����®�¯�y���z�����}��4º��¥�+y���»|}���&�¥����z�������z����!y���������~w�����4~w}�}���z�}�¯8�wz��+����x&��z&y�� ������~w�����)�¥�&y���z���z��+�����&y�~�~�� }�������z��²~w��y�¨���}�z&y���z��)��x&���+����z��+����w�>y�z&y�{�}�x&����~w��� ¼tP4Q4M�`3R ½ P4¾4M O�¿4P4M#O�a�a�½ Q4a�ÀFM�Q4P_Á�G³Â8Ã>Ä&Ã�Å�ÆTÇ�È É�Ê�ËÍÌ:È Î Ï�Ð\Ñ:Ò�Ó�Ï�Ô Ê�Æ È É�Ê�Õ�Ã>Ä�Ö�×�Õ Å�Î\Ø�Ï�Ã&Ä�ÙÕ Å�Ñ�Ó ÊÍÚ�Ñ�È Û�Ä&Ã�Ê�Ö!ÐTÇ Ü+Ä>Ó Æ Ê�Ô Ö�Ê�Õ#Õ!Ä:Õ Ê�Ô Å¥Ú�Ñ�È�Ý�Õ Å�ÉÞÅ�Ï�Õ Å�Ñ�Ä>Õ È È²Ã>Ä>ÓTÇ�ß�Ã�ŸÅ�Ï�×hÆ Å>Ã�Å�Æ!Ä:Ñ�Ê�Æ�Ã�È Ó Ä�Ö�×&ÙÕ!Ä�@�ÂàÒ�Ã�Å�ÎtÅ�Ï�×�Ë�Õ Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ Õ Å¤Ï�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ!ÄhÔ Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�×�Ñ�Õ Ê�á:Õ Ê�Û�Å¤Ó Å�Ö�×�â!ÄhÔ Ê�Æ Ñ�Å�Û�ŸáhÄ>Æ Õ È Æ!ĸãTØ Ó�Ä�Çâ Ê�Õ�Ã�Æ�Ó�Å>Ã�Å�Æ Å�Û�Å O0 Õ!Ä+ä�Å¥Ú�È�Ã�Ï�Ð�Õ!Ä1Ø Ô Å�É|Ð Õ�Ø�Ã�Å�ΤÑ�Ê�Æ�Ã�È Ó�Ä�Ö�ÈT@�å3Æ È Ö�Å�ÝhÊ�Õ Õ æ�Î¤Ñ O0 Ê�Ú�È Õ È ß Õ æ�ÎÑ�Ê�Ó�Ã�Å�ÆNç 1 Ø Ó Ä&Ü¥æ�Ñ�Ä>Ê�òÕ!Ä>Ô Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È ÊpÒ�Ã�Å�ÎNÑ�Ê�Æ�Ã�È Ó Ä�Ö�ÈTÇ�Ô Æ Å>Ã�È Ñ�Å�Ô Å&Ö�Å�Ý�Õ Å�ʪÕ!Ä>Ô Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È ËèÑ�Ê�Ó ÙÃ�Å�Æ!ÄNéëêWØ�Ï�Ó�Å�Æ Ê�Õ È�йܥÊ�É�Õ Å�Û�ÅWÔ Æ È�Ã+Ð�ÝhÊ�Õ È�ÐT@Lå3Æ È Ö�Å�ÝhÊ�Õ Õ æ�Î¹Ñ O0 Ñ�Ê�Ó�Ã�Å�ƹç 2 Ô Æ È Õ!Ä�Ú Ö�Ê�Ý�È�ÃÔ Ö�Å�Ï�Ó Å�Ï�Ã�È#Ñ�Õ Ê�á:Õ Ê�Û�ŸÓ�Å&Ö�×�â!ÄqÈ\Å�Æ�Ã�Å�Û�Å�Õ!Ä�Ö�Ê�Õ\Ó²ç 1 Ç�Äqç 3 = ç 1 × ç 2 @ Â�ìªÅ�Æ É�È Æ Å�Ñ�Ä>Õ Õ æ�βÃ&Ä>Ó È ÉÅ�í�Æ!Ä&Ü¥Å�É�í�Ä&Ü¥È Ï O0 ç 1 ç 2 ç 3 î Õ!ÄtÆ È Ï�Ø Õ Ó Ê²Å�Õ¹È�Ü¥Å�í�Æ!Ä&ÝhÊ�Õ¹Ï�Õ!Ä+ß!Ä�Ö�Å�É�ÑtÃ�Å�ß Ó�Ê O ï Å�Ó Ä&Ü¥æ�Ñ�Ä>Ê�Ã�Ï�ÐÕ Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ Õ Å�Ï�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ Õ æ�É¶ÏªÆ Å>Ã�Å�Æ Å�ÉÞÚ�Ñ�È Û�Ä&Ã�Ê�Ö!ÐTÇ�Ñ�Æ!Ä&ÌhÄ>ËÍÌ:È É�Ï�ÐNÏ3Ø Û�Ö�Å�Ñ�Å�ÎtÏ�Ó�Å�Æ Å�Ï�Ã�×�Ë ð)ñ�òwó�ô°õZô°ó�ô�ö�÷¢ø õVù Ω = Ω ç 1. (1)ú Ï�×¹Ñ�Õ�Ø�Ã�Æ Ê�Õ Õ Ê�Û¥ÅûÓ�Å&Ö�×�â!ÄëÔ Ê�Æ Ñ�Å�Û�ÅëáhÄ>Æ Õ È Æ!ĹãTØ�ÙÓ�ĸÛ�Å�Æ È�Ü¥Å>Õ�Ã>Ä�Ö�×�Õ!Ä�dzĸÊ�Û�Å�Ô Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�×�Ï�Å�Ï�Ã>Ä>Ñ&Ö!Ð Ê�òÏÔ Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�×�ËüÑ�Õ Ê�á:Õ Ê�Û�ÅWÓ�Å&Ö�×�â!Ä#Ø Û�Å&Ö α, ç 2 Ø Ó Ä&Ü¥æ�ÙÑ�Ä>Ê�êÕ!Ä>Ô Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È Ê�Ö�È Õ È È¸Ô Ê�Æ Ê�Ï�Ê�ß Ê¥Õ È�ФÒ�Ã�È ä¸Ô Ö�Å�Ï�ÙÓ Å�Ï�Ã�Ê�ÎT@�ý�Ê�Ó�Ã�Å�Æ ç ′ 1 = ç 1 cos α + ç 2 sin α (2) Ô Æ È Õ!Ä�Ú Ö�Ê�Ý�È�Ã�Ô Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�ÈWÑ�Õ�Ø�Ã�Æ Ê�Õ Õ Ê�Û�ŲÓ�Å&Ö�×�â!Ä�Ç!Ä ç ′ 2 = − ç 1 sin α + ç 2 cos α (3) Å�Æ�Ã�Å�Û�Å�Õ!Ä�Ö�Ê�ÕpÒ�Ã�Å�ÎpÔ Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�ÈT@ ú í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß!Ä&Ð�Ú Ö!ЪÊ�Ú�È ÙÕ Å�Å�í�Æ!Ä&Ü¥È�Ð�ç ′ 3 = ç 3 ÇVÔ Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�ÉHí�Ä&Ü¥È Ï O0 ç ′ 1 ç ′ 2 ç ′ 3 ÇÕ Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ Õ ÅÍÏ�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ Õ æ�ÎpÏ�Ñ�Õ�Ø�Ã�Æ Ê�Õ Õ È ÉWÓ�Å&Ö�×�â Å�É#áhÄ>Æ ÙÕ È Æ!ĤãTØ Ó Ä�@ 61Û�Ö�Å�Ñ�Ä�ÐtÏ�Ó Å�Æ Å�Ï�Ã�פÒ�Ã�Å�Û�Å�í�Ä&Ü¥È Ï¥Ä ωα = α• ç ′ 3 . (4) þ ? ÿ¸ù �4ù��8÷�ô°ó��>ñ����8ù ��ù� |ñ� �>ñ�ø���� ý�Õ�Ø�Ã�Æ Ê�Õ Õ Ê�Ê1Ó�Å&Ö�×�â ÅqÔ Ê�Æ Ñ�Å�Û�ÅpáhÄ>Æ Õ È Æ!ÄpÕ Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ Õ Å:Ï�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ ÅpÏÍÑ�Õ�Ø�Ã�Æ Ê�Õ Õ!È ÉûÓ�Å&Ö�×�â Å�ɹÑ>Ã�Å�Æ Å�Û�ÅáhÄ>Æ Õ È Æ!ĤãTØ Ó�ÄhÝhÊ�Ï�Ã�Ó È É¶Ï�Ã�Ê�Æ�Ý�Õ Ê�É Ô Æ Ê�Õ Ê�í�Æ Ê�Ý�È É�Å�ÉVÄ�Ö�Å�Î#ÉVÄ>Ï�Ï�æ3@��LÅ�ß Ó�Ä O ê²â Ê�Õ�Ã�ÆNÓ�Å&Ö�Ê�âÑ>Ã�Å>Æ Å�Û�ÅWáhÄ>Æ Õ È Æ!ÄWÈ l > 0 êZÆ!Ä>Ï�Ï�Ã�Å+Ð Õ È Ê#Å>à O Ú�Å O0 @|ýèÃ�Å�ß Ó�Ê O Ñ�Ñ>Ê�Ú�Ê�É/í�Ä&Ü¥È Ï O ç ′ 1 ç ′ 2 ç ′ 3 ÇÔ!Ä>Æ!Ä+Ö Ö�Ê�Ö�×�Õ æ�Î:í�Ä&Ü¥È Ï�Ø O0 ç ′ 1 ç ′ 2 ç ′ 3 @&Â�Å¥Ú�Ê�Æ�ݸÄ&ÌhÄ&ЪÃ�Å�ß Ó�Ø O Å�Ï�×ÍÑ�Õ Ê�á:Õ Ê�Û�Å1Ó�Å&Ö�×�â!ÄÍÑ>Ã�Å�Æ Å>Û�ÅÍáhÄ>Æ ÙÕ È Æ!ĸãTØ Ó�Ä¸È É�Ê�Ê�Ã�Õ!Ä>Ô Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È Ê � ′ 2 = − ç ′ 1 sin γ + ç ′ 2 cos γ, (5) ÄhÑ�Ê�Ó�Ã�Å�Æ � ′ 3 Ï�Å�Ñ�É�Ê�Ì:Ê�ÕNϪç ′ 3 È#Ñ�É�Ê�Ï�Ã�ÊqÏ � ′ 1 = ç ′ 1 cos γ + ç ′ 2 sin γ (6) Å�í>Æ!Ä&Ü�Ø�Ê�Ã�Ô Æ È Ö�Å+ÝhÊ�Õ Õ æ�ÎNÑ O í�Ä&Ü¥È Ï O � ′ 1 � ′ 2 � ′ 3 @ 61Û�Ö�Å�Ñ�Ä&Ð#Ï�Ó Å�Æ Å�Ï�Ã�פÒ�Ã�Å�Û�Å�í�Ä&Ü¥È Ï¥Ä ωγ = γ• ç ′ 3 . (7) ÂëÑ�Õ Ê�á:Õ È ÉZÓ Å&Ö�×�â Å�É±Õ Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ Õ Å3Ï�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ Å�Ã�Ê�Ö�Å Ç�â Ê�Õ�Ã�ÆhÉVÄ>Ï�Ï C Ó�Å>Ã�Å�Æ Å�Û�Å3Ô Æ È Õ!Ä�Ú Ö�Ê�Ý�È�Ã3Ô Ö�Å�Ï�ÙÓ�Å�Ï�Ã�ÈNÑ�Õ Ê�á:Õ Ê�Û�ŲÓ�Å&Ö�×�â!Ä�@��|Ä>Ï�Ï�Ã�Å+Ð Õ È ÊpÅ>à C Ú�Å O Å�í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß È É�ß Ê�Æ Ê�Ü a > 0 ÈtÑ�Ñ�Ê�Ú�Ê�É�Ñ�Ê�Ó�Ã�Å�Æ ��� = a = a � 1. (8) 61Û�Å&ÖÞÉ�Ê�ݸÚ!ØZÕ!Ä>Ô Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È�Ð!É�ÈëÊ�Ú�È Õ È ß Õ æ�ä¹Ñ�Ê�Ó�Ã�Å�Æ Å�Ñ � 1 È � ′ 1 Å>í�Å>Ü¥Õ!Ä�ß È É ß Ê�Æ Ê�Ü ε Ç_Ô Å&Ö³Ä>Û�Ä&ÐTÇß�Ã�Å � 1 Ô Æ È Õ!Ä�Ú Ö�Ê�Ý�È�Ã�Ô Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�È O � ′ 1 � ′ 3 Ç�Ã>Ä>Ótß�Ã�Å � 1 = � ′ 1 cos ε − � ′ 3 sin ε. (9) 61Û�Ö�æ γ È ε Ñ�æ�í�Æ!Ä>Õ æ�Ã&Ä>ÓTÇ�ß�Ã�Å\Õ!Ä>Ô Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È Ê � ′ 2 Å�Ï�ȱÑ�Õ Ê�á:Õ Ê�Û�Å#Ó�Å&Ö�×�â!Ä�Å�Æ�Ã�Å�Û�Å�Õ!Ä�Ö�×�Õ Å²Ó � 1 ÇÈëÏ¤Õ È É�É�Å+ÝhÊ�ÃNí�æ�Ã�×WÏ�Å�Ñ�É�Ê�Ì:Ê�Õ ÅWÕ!Ä>Ô Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È Ê � 2 Õ Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ Õ ÅWÏ�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ Õ Å�Û�ÅWϸÃ�Ê�Ö�Å�É�í�Ä&Ü¥È Ï¥Ä C � 1 � 2 � 3 Ç!Û�Ú�Ê � 3 = � 1 × � 2 Ç!È#Ô Å�Ò�Ã�Å�É|Ø � 3 = � ′ 1 sin ε + � ′ 3 cos ε, (10) ωε = ε• � 2. (11)61Û�Ö�Å�Ñ�Ä&Ð#Ï�Ó�Å�Æ Å�Ï�Ã�פÃ�Ê�Ö³Ä ω = ω1 � 1 + ω2 � 2 + ω3 � 3 (12)Ê�Ï�Ã�×�Ï�Ø É�ÉVĸÏ�Ó Å�Æ Å�Ï�Ã�Ê�Î î ? ï Ç î�� ï Ç î þ ï Ç î ?�? ï ω = Ω ç 1 + α• ç ′ 3 + γ• ç ′ 3 + ε• � 2. (13) ý�Ñ�Ê�Ú�Ê�É�Ø Û�Å&Ö β = α + γ (14)Å>Ã�Ó Ö�Å>Õ Ê�Õ È�ÐNÅ�Ï�È CO Ã�Ê�ֳĸÅ>Ã¤È Ú!Ø�Ì:Ê�ÎWÑ�Ñ�Ê�Æ�ä#Ñ�Ê�Æ�Ã�È Ó Ä�Ö�ÈT@Â¶Ø ß Ê�Ã�Å�É î C�ï Ç î = ï Ç î ; ï Ç î�� ï Ç î�� ï Ç î ? D�ï Ç î ? C�ï ê î ? � ï ω1 = Ω cos ε cos β − β• sin ε, ω2 = −Ω sin β + ε•, ω3 = Ω sin ε cos β + β• cos ε. (15) ý�Ê�Ó�Ã�Å>Æ é = −g ç 1 (16) þ C �! ��ó#"5÷$��ó�óqö�÷$�>ñ%�>ñ'&(� �+÷�ôw÷ È É�Ê�Ê�Ã²Ñ¸Õ Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ Õ Å�Ï�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ Õ Å�É�Ï1Ã�Ê�Ö�Å�ɶí�Ä&Ü¥È Ï�ÊªÓ Å�É�Ô Å�Õ Ê�Õ�Ã�æ gi ) é = g1 � 1 + g2 � 2 + g3 � 3, g1 = −g cos ε cos β, g2 = g sin β, g3 = −g sin ε cos β. (17) �|Ä>Ó¸Ó Ä>Ó¤Ñ�Ê�Ó�Ã�Å�Ƥé�Ï�Å+ä�Æ!Ä>Õ�Ð Ê�ÃqÕ!Ä>Ô Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È Ê5ÑªÔ Æ Å�Ï�Ã�Æ!Ä>Õ Ï�Ã�Ñ�Ê>Ç�Ã�ÅpÈ�Ü¥É�Ê�Õ Ê�Õ È Ê�Ê�Û�ŪÕ!Ä>Ô Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È�ÐÔ Å¤Å>Ã�Õ Å>á:Ê�Õ È ËèÓ#Ã�Ê�Ö!Ø#Å�Ô È Ï�æ�Ñ�Ä>ËÍÃ¤Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È�Ð é • + ω × é = * È#Ü¥Õ!Ä+ß È�Ã�Ç g• 1 = ω3g2 − ω2g3, g• 2 = ω1g3 − ω3g1, g• 3 = ω2g1 − ω1g2. (18)å3Å�Õ!Ä�Ú�Å�í�È�Ã�Ï�ÐtÈ#Ô Æ Ê�Ú�Ï�Ã>Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ È ÊqÑ�Ê�Ó�Ã�Å�Æ!Ä!+ = l ç ′ 1 Ѥí�Ä&Ü¥È Ï�Ê C � 1 � 2 � 3 ) + = l1 � 1 + l2 � 2 + l3 � 3. Â Ø ß Ê�Ã�Å�É î ; ï Ç î�� ï Ç î�� ï Ç î ? D�ï Ç î ? � ï l1 = l cos ε cos(β − α), l2 = −l sin(β − α), l3 = l sin ε cos(β − α). (19) Â8Ã�Ê�Æ�ÝhÊ�Õ × O0O È É�Ê�Ê�à O0 Õ Ê�Ô Å¥Ú�Ñ�È�Ý�Õ Å�ΤÃ�Å�ß Ó Å�ÎTÇ�ÄpÊ�Û�ÅqØ Û�Ö�Å�Ñ�Ä&вÏ�Ó�Å�Æ Å�Ï�Ã�×-,HÏ�Ø É�ÉVÄ Ω ç 1È α• ç ′ 3 @�å3Å�Ò�Ã�Å�É|Ø#Ï�Ó Å�Æ Å�Ï�Ã�׸Ã�Å�ß Ó È O . = (Ω ç 1 + α• ç ′ 3 ) × (−l ç ′ 1 ). (20) Â�Ó Å�Æ Å�Ï�Ã�×0/ëâ Ê�Õ�Ã�Æ!ĤÉVÄ>Ï�Ï C Ô Æ Ê�Ú�Ï�Ã>Ä>Ñ�È É¶Æ!Ä&Ü�Ö�Å+ÝhÊ�Õ È Ê�ɶѸí�Ä&Ü¥È Ï�Ê C � 1 � 2 � 3 ) / = υ1 � 1 + υ2 � 2 + υ3 � 3, (21) ÈtÏ�Ó�Å�Æ Å�Ï�Ã�×�Ô Æ È Õ!Ä�Ú Ö�Ê�ݸÄ&Ì:Ê�ÎtÃ�Ê�Ö!Ø\Ã�Å�ß Ó È O Ô Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É�ѸÑ�È Ú�Ê . = / + ω × ��� . (22) 11Ü î C>D�ï Ç î C ? ï Ç î A ï Ç î ? � ï Ï�Ö�Ê�Ú!Ø�Ê�à / + aω × � 1 = + × (−Ω é + α•g ç ′ 3 )/g. Â Ø ß Ê�Ã�Å�É î C ? ï Ç î ?�; ï Ç î ? þ ï Ç î�� ï Ç î ? D�ï υ1 = Ω(g2l3 − g3l2)/g + α•l2 cos ε, υ2 = −aω3 + Ω(g3l1 − g1l3)/g − α•(l3 sin ε + l1 cos ε), υ3 = aω2 + Ω(g1l2 − g2l1)/g + α•(l2 sin ε).ý�Õ Å�Ï�È É�ѤÒ�Ã�ÈNÑ�æ�Æ!Ä�ݸÊ�Õ È�Ð î ?�; ï Ç î ? þ ï Ç î ? � ï υ1 = l[−α• cos ε sin(β − α) + Ω sin ε sin α], υ2 = −a(β• cos ε + Ω sin ε sin β) − lα• cos(β − α), (23) υ3 = a(ε• − Ω sin β) − lΩ cos ε sin α − lα• sin ε sin(β − α). þ = ÿ¸ù �4ù��8÷�ô°ó��>ñ����8ù ��ù� |ñ� �>ñ�ø���� d P4Q4R `3P4¾4M O�¿4P4M32)]4R b�Q4M�Q4P_Á�G54tÅ�É�Ê�Õ�ÃhÓ Å&Ö�È ß Ê�Ï�Ã�Ñ�ÄpÚ�Ñ�È�ÝhÊ�Õ È�Ð�Ã�Ê�Ö³Ä:Å>Ã�Õ Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ Å O0Å�í>Å>Ü¥Õ!Ä�ß È É76 0 6 0 = ∫∫∫ S (−l ç ′ 1 + 8 ′) × ( . + ω × 8 ′)dm = = −l ç ′ 1 × m . − l ç ′ 1 × (ω × m 8 c) − . × m 8 c + ∫∫∫ S 8 ′ × (ω × 8 ′)dm, 6 0 = ml ç ′ 1 × (ω × a � 1 − . ) + . × ma � 1 + Iklωk � l. (24) 4tÅ�É�Ê�Õ�Ã�Ó�Å&Ö�È ß Ê�Ï�Ã�Ñ�ÄhÚ�Ñ�È�ÝhÊ�Õ È�Ð\Ã�Ê�ֳĤÅ>Ã�Õ Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ Å O Å�í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß È É96 6 = ∫∫∫ S 8 ′ × (( . + ω × 8 ′)dm = 8 c × m . + Iklωk � l, 6 = ma . × � 1 + Iklωk � l. (25)Â Ø ß Ê�Ã�Å�É î C�C�ï Ç î C ? ï Ç î A ï È É�Ê�Ê�É . × � 1 = (υ3 − aω2) � 2 − (υ2 + aω3) � 3. ý�Ê�Ó�Ã�Å>Æ:6 Ô Æ Ê�Ú�Ï�Ã&Ä>Ñ�È ÉûÆ!Ä&Ü�Ö�Å+ÝhÊ�Õ È Ê�ɹѪí�Ä&Ü¥È Ï�Ê C � 1 � 2 � 3 : 6 = G1 � 1 +G2 � 2 +G3 � 3 Ç�Ȥí>Ø¥Ú�Ê�ÉÏ�ß È�Ã&Ä&Ã�פÃ�Æ Ê�Ã�×�Ë-Å�Ï�פÛ�Ö³Ä>Ñ�Õ Å�Î I23 = I31 = 0 Ç Ã�Å�Û�Ú³Ä G1 = I1ω1 + I12ω2, G2 = I2ω2 + I12ω1 + ma(υ3 − aω2), G3 = I3ω3 −ma(υ2 + aω3). (26) 11Ü�ÉVÊ�Õ Ê�Õ È ÊqÑ�ŸÑ�Æ Ê�É�Ê�Õ È;6 È;6 0 Ú³Ä>Õ ÅhØ Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È�Ð É�È d 6 dt = −ma × ( é − ν / ), (27) d 6 0 dt = < + m( é − ν / )( + + a), (28) Û�Ú�Ê < êNÉ�Å�É�Ê�Õ�ÃtÏ�È Ö¹Æ Ê¥Ä>Ó â È ÈTÇ m é × ( + + a), −mν / × ( + + a) êNÉ�Å�É�Ê�Õ�Ã�æ<Ï�È ÖëÃ+Ð�ÝhÊ�Ï�Ã�ÈëÈÏ�È Ö�æ Ï�Å�Ô Æ Å>Ã�È Ñ&Ö�Ê�Õ È�ÐNÏ�Æ Ê�Ú�æ Ï�Å�Å>Ã�Ñ�Ê�Ã�Ï�Ã�Ñ�Ê�Õ Õ!Å @>=TÄ>Ô È�á:Ê�É Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È Ê î C þ ï ѸÓ�Å�É�Ô Å�Õ Ê�Õ�Ã>Ä�ä G• 1 + ω2G3 − ω3G2 = 0, G• 2 + ω3G1 − ω1G3 = ma(g3 − νυ3), G• 3 + ω1G2 − ω2G1 = −ma(g2 − νυ2)È#Ñ�Õ Ê�Ï�Ê�ɶѸÒ�Ã�ÈtØ Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È�Ð#Ü¥Õ!Ä+ß Ê�Õ È�Ð î C � ï ) I1ω • 1 + (I3 − I2)ω2ω3 + I12(ω • 2 − ω3ω1) − ma(υ2ω2 + υ3ω3) = 0, (29) (I2 −ma2)ω• 2 + I12(ω • 1 +ω2ω3)+ (I1 − I3 +ma2)ω3ω1 +ma(υ• 3 +υ2ω1) = ma(g3 − νυ3), (30) (I3 −ma2)ω• 3 + I12(ω 2 1 −ω2 2 ) + (I2 − I1 −ma2)ω1ω2 −ma(υ• 2 − υ3ω1) = −ma(g2 − νυ2). (31)Â�Æ!Ä&Ñ�Õ È Ñ�Ä&ÐtÑ�æ�Æ!Ä&ÝhÊ�Õ È�Ð î C � ï Ç î C ; ï Ç î C�C�ï Ç�Ü+Ä>É�Ê�ß!Ä>Ê�É5Ç!ß�Ã�Å 6 0 = 6 − m( + × / ). þ � �! ��ó#"5÷$��ó�óqö�÷$�>ñ%�>ñ'&(� �+÷�ôw÷ ý�É�Ê�Ï�Ã�Å î C A ï É�Å+Ý�Õ ÅhÜ+Ä>Ô È Ï¥Ä&Ã�פÃ�Ê�Ô Ê�Æ ×�Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È Ê m d( / × + ) dt = < + m( é − ν / ) × + , È�ܪÓ�Å>Ã�Å�Æ Å�Û�ŸÅ�Ô Æ Ê�Ú�Ê�Ö�È É É�Å�É�Ê�Õ�øÏ�È ÖNÆ Ê¥Ä>Ó â È ÈT@�Â�Å�Å>Ã�Õ Å>á:Ê�Õ È�Ð î ? þ ï Ç î ?�; ï Å�í�Æ!Ä&ÌhÄ>ËÍÃhØ Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�ÙÕ È�Ð î ?+A ï ÑhÃ�Å�ݸÚ�Ê�Ï�Ã�Ñ�Ä�@³ý Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È�Ð î C � ï ê î =�? ï Ñ�Õ Å�Ï�È É Ü¥Õ!Ä+ß Ê�Õ È�Ð î ?�; ï Ç î C = ï È#Ô Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É I1β •• sin ε − I12ε •• = F1(α •, β•, ε•; α, β, ε), (32) I2ε •• − I12β •• sin ε − malα•• sin ε sin(β − α) = F2(α •, β•, ε•; α, β, ε), (33) I3β •• + malα•• cos(β − α) = F3(α •, β•, ε•; α, β, ε), (34)Û�Ú�Ê F1 = −I1(ε •β• cos ε + Ωε• sin ε cos β + Ωβ• cos ε sin β) + (I3 − I2)(ε •− −Ω sin β)(β• cos ε + Ω sin ε cos β) + I12(β • sin ε − Ω cos ε cos β)(β• cos ε+ +Ω sin ε cos β) − I12Ωβ• cos β + mal{(β• cos ε + Ω sin ε cos β)[α• sin ε sin(β − α)+ +Ω cos ε sin α] + α•(ε• − Ω sin β) cos(β − α)}, (35) F2 = I2Ωβ• cos β + I12(ε •β• cos ε + Ωε• sin ε cos β + Ωβ• cos ε sin β)+ +I12(−ε• + Ω sin β)(β• cos ε + Ω sin ε cos β) + (I1 − I3)(β • sin ε− −Ω cos ε cos β)(β• cos ε + Ω sin ε cos β) + mal[ε•α• cos ε sin(β − α)+ +α•(β• − α•) sin ε cos(β − α) − Ωε• sin ε sin α + Ωα• cos ε cos α− −(β• sin ε − Ω cos ε cos β)α• cos(β − α)] − mga sin ε cos β+ +maν[−a(ε• − Ω sin β) + lα• sin ε sin(β − α) + lΩ cos ε sin α], (36) F3 = I3(ε •β• sin ε − Ωε• cos ε cos β − Ωβ• sin ε sin β) + (I2 − I1)(ε • − Ω sin β)(β• sin ε− −Ω cos ε cos β) + I12(ε • − Ω sin β)2 − I12(β • sin ε − Ω cos ε cos β)2 − mga sin β+ +mal{α•(β• − α•) sin(β − α) + (−β• sin ε + Ω cos ε cos β)[α• sin ε sin(β − α)+ +Ω cos ε sin α]} − maν[a(β• cos ε + Ω sin ε cos β) + lα• cos(β − α)]. (37)61Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È�Ð î = C�ï ê î = � ï Ï�Ö!Ø�ݸÄ&ÃhÚ Ö!ÐtÅ�Ô Æ Ê�Ú�Ê�Ö�Ê�Õ È�ÐtØ Û�Ö�Å�Ñ α, β, γ @oq½�R@?4P4a�Q4R ]4QBA¸M-C|b�PEDFM�Q4P_Át½ M�^LR¸Q4R0F4aGC|b�M O�M�G�å1Ø�Ï�Ã�× α, β, ε Ï�Å¥ä�Æ!Ä>Õ�Ð ËÍÃ1Ô Å�Ï�Ã�Å+Ð Õ Õ æ�ÊÜ¥Õ!Ä�ß Ê�Õ È�ÐTÇ Ã�Å�Û�Ú³Ä α• = β• = ε• = 0, α•• = β•• = ε•• = 0. HpÊ�Ñ�æ�ʪß!Ä>Ï�Ã�È#Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È Î î = C�ï ê î = � ï Ô Æ ÈtÒ�Ã�Å�É�Å�í�Æ!Ä&ÌhÄ>ËÍÃ�Ï�ÐtѸÕ�Ø¥Ö�× Ç�ÄhÔ Æ!Ä&Ñ�æ�ʪß!Ä>Ï�Ã�È î =�; ï êî = þ ï Ã>Ä>Ó�Å�Ñ�æ [(I2 − I3) sin β − I12 cos ε cos β + mal cos ε sin α]Ω2 sin ε cos β = 0, (38) [(I1 − I3) cos ε cos β − I12 sin β]Ω2 sin ε cos β + mga sin ε cos β− −maνΩ(a sin β + l cos ε sin α) = 0, (39) [(I1 − I2) cos ε sin β cos β + I12(cos 2 ε cos2 β − sin2 β)]Ω2 + mga sin β+ þ ; ÿ¸ù �4ù��8÷�ô°ó��>ñ����8ù ��ù� |ñ� �>ñ�ø���� +ma2νΩ sin ε cos β − malΩ2 cos2 ε cos β sin α = 0. (40)Â�Å>Å>Ã�Õ Å>á:Ê�Õ È!Ê î =�A ï Ô Å�Ó�Ä�Ü¥æ�Ñ�Ä>Ê�Ã�Ç�ß�Ã�ÅpÚ Ö!Ð�Õ!Ä�ä�Å+ݸÚ�Ê�Õ È�Ð²Ô Å>Ó�ÄpÕ ÊÍÅ�Ô Æ Ê�Ú�Ê�Ö�Ê�Õ Õ æ�ä α, β, ε Ô Å>Ã�Æ Ê�Ùí>Ø�Ê�Ã�Ï�ÐNÆ!Ä&Ü�Ö�È ß!Ä&Ã�פÃ�Æ ÈtÑ�Ä>Æ È!Ä>Õ�Ã>Ä ) sin ε = 0, (41) cos β = 0, (42) (I2 − I3) sin β − I12 cos ε cos β + mal cos ε sin α = 0. (43) �LÄ>Ï�Ï�É�Å>Ã�Æ È É�Ï�Õ!Ä+ß!Ä�Ö³ÄtÑ�Ä>Æ È!Ä>Õ�à î�� ? ï Ç cos ε = ±1 @�7ªÖ!ÐëÅ�Ô Æ Ê�Ú�Ê�Ö�Ê�Õ Õ Å�Ï�Ã�ȹÑ�æ�í�Ê�Æ Ê�É cos ε = 1 î cos ε = −1 Æ!Ä>Ï�Ï�ÉVÄ&Ã�Æ È Ñ�Ä>Ê�Ã�Ï�ÐWÄ>Õ!Ä�Ö�Å�Û�È ß Õ Å ï ÈtÑ�Õ Ê�Ï�Ê�É¶È ä#Ñ î = � ï Ç î�� D�ï ) a sin β + l sin α = 0, (44) [(I1 − I2) sin β cos β + I12(cos 2 β − sin2 β)]Ω2 + mga sin β − malΩ2 cos β sin α = 0. (45) 13Ï�Ó Ö�Ë�ß!Ä&ÐtÈ�Ü î��(� ï Ç î�� ; ï sin α Ç!Ô Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É [(I1 − I2 + ma2) sin β cos β + I12(cos 2 β − sin2 β)]Ω2 + mga sin β = 0. (46) I�Ï�Ö�È I12 = 0 Ç�Ã�Å [(I1 − I2 + ma2) cos β + mga] sin β = 0,È\Ã�Å�Û�Ú³ÄhÖ�È í�Å sin β = 0,Ö�È í�Å (I1 − I2 + ma2)Ω2 cos β + mga = 0. I�Ï�Ö�È#ÝhÊ I12 6= 0 Ç Ã�ŤÅ�í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß!Ä&Ð tg(β/2) = u Ç Ü+Ä>Ô È�á:Ê�É î��J� ï ѸÑ�È Ú�Ê Φ(u) = I12u 4 + 2 [mga Ω2 − (I1 − I2 + ma2) ] u3 − 6I12u 2+ +2 [mga Ω2 + (I1 − I2 + ma2) ] u + I12 = 0. (47) K3Ê�Ø ÉVÄ�Ö!Ð�ФÅ�í>Ì:Õ Å�Ï�Ã�ÈTÇ�É�Å+ݸÊ�ÉFÏ�ß È�Ã&Ä&Ã�× I12 > 0 @�61Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È ÊÍß Ê�Ã�Ñ�Ê�Æ�Ã�Å�βÏ�Ã�Ê�Ô Ê¥Õ È²Å&Ã�Õ Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö�×&ÙÕ Å u È É�Ê�Ê�Ã�Ç)Ô Å²Ó Æ!Ä>Î Õ Ê�ÎZÉ�Ê�Æ Ê>dzÚ�Ñ�ĸÚ�Ê�Î Ï�Ã�Ñ�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ æ�äFÓ�Å�Æ Õ�ÐTdzÃ&Ä>Ó±Ó�Ä>Ó Φ(±∞) = ∞, Φ(0) = = I12 > 0, Φ(−1) = −4I12 − 4mga/Ω2 < 0 @ �LÄ>Ó È É Å�í�Æ!Ä&Ü¥Å�É�Ç�Ú Ö!Ð#Ñ�Ä>Æ È!Ä>Õ�Ã>Ä î�� ? ï Ï�Ã>Ä>â È Å�Õ!Ä>Æ Õ æ�Ê3Ú�Ñ�È�ݸÊ�Õ È�Ð\Ã&Ä>Ó Å�Ñ�æ ) Ô Æ È I12 = 0 ε = 0, β = 0, α = 0 È Ö�È ε = 0, cos β0 = − mga (I1 − I2 + ma2)Ω2 , sin α0 = −a l sin β0 Ô Æ ÈtÅ�Û�Æ!Ä>Õ È ß Ê�Õ È È Ω2 > ∣ ∣ ∣ mga I1 + ma2 − I2 ∣ ∣ ∣ @ I�Ï�Ö�È#ÝhÊ I12 6= 0 Ç ε = 0, β = βk, sin αk = −a l sin βk, Û�Ú�Ê βk = 2arctg uk, uk ê¸Ú�Ê�Î Ï�Ã�Ñ�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ æ�ÎWÓ�Å�Æ Ê�Õ ×¸Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È�Ð î�� þ ï @ þ � �! ��ó#"5÷$��ó�óqö�÷$�>ñ%�>ñ'&(� �+÷�ôw÷ ýàÏ�Ö!Ø ß!Ä>Ê î�� C�ï È�Ü î = � ï Ç î�� D�ï Ô Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É mga − I12Ω 2 = 0, maνΩ(±a + l cos ε sin α) = 0 È Ö�È Ω2 = mga I12 , cos ε sin α = ∓a l @ �|Ä>Ï�Ï�É�Å>Ã�Æ È É¶Ñ�Ä>Æ È!Ä>Õ�à î�� = ï @!å1Ø�Ï�Ã�× cos ε = 0, (48) Ã�Å�Û�Ú³Ä (I2 − I3) sin β = 0 Ç Å>Ã�Ó�Ø+Ú³ÄhÖ�È í�Å sin β = 0 Ç Ö�È í�Å I2 = I3. (49) ý�Õ Ê�Ï�Ê�É î�� A ï Ç î��J� ï Ñ î = � ï Ç î�� D�ï ÈtÔ Å&Ö!Ø ß È É (mga − I12Ω 2 sin β) cos β − ma2νΩ sin β = 0, (50) (mga − I12Ω 2 sin β) sin β + ma2νΩ cos β = 0, (51)Å>Ã�Ó�Ø+Ú³Ä mga − I12Ω 2 sin β = 0, ma2νΩ = 0 ÈFÊ�Ï�Ö�È ν 6= 0 Ç)Ï�È Ï�Ã�Ê�ÉVÄ î ; D�ï Ç î ; ? ï Æ Ê�á:Ê�Õ È ÎëÕ ÊÈ É�Ê�Ê�Ã�@7ªÖ!Ð#Ã�Æ Ê�Ã�×�Ê�Û�Å�Ñ�Ä>Æ È!Ä>Õ�Ã>ĸÈ�Ü î =�A ï Õ!Ä�ä�Å¥Ú�È É mal cos ε sin α = I12 cos ε cos β − (I2 − I3) sin β, (52) ĸÈ�Ü î = � ï Ç î�� D�ï Ô Æ ÈtÒ�Ã�Å�É�Å�Ô Æ Ê�Ú�Ê�Ö!Ð Ê�É ma2(1 − cos2 ε cos2 β) + I12 sin β cos ε cos β − (I2 − I3) sin2 β = 0, (53) [(I1 − I3) cos ε cos β − I12 sin β]Ω2 sin β + mga sin β + ma2νΩ sin ε cos β = 0. (54)ý�Ñ�Ê�Ú�Ê�ɶí�Ê�Ü¥Æ!Ä&Ü¥É�Ê�Æ Õ æ�ÊpÔ!Ä>Æ!Ä>É�Ê�Ã�Æ æ Ak = Ik ma2 (k = 1, 2, 3), A12 = I12 ma2 , σ2 = g aΩ2 , ν∗ = ν Ω , Õ Å�Ñ�æ�ÊªÔ Ê�Æ Ê�É�Ê�Õ Õ æ5Ê w = cos ε cos β, u = sin β È#Ü+Ä>Ô È�á:Ê�É�Ã�Ê�Ô Ê�Æ ×�Ï�Å�Å>Ã�Õ Å>á:Ê�Õ È�Ð î ;>= ï Ç î ; � ï w2 − A12uw + (A2 − A3)u 2 − 1 = 0, (55) [(A1 −A3) 2u2 + ν2 ∗ ]w2 + 2(A1 −A3)(σ 2 −A12u)u2w + (A12u− σ2)2u2 + ν2 ∗ (u2 − 1) = 0. (56) 13Ï�Ó Ö�Ë�ß!Ä&ÐtÈ�Ü î ;�; ï Ç î ; � ï w Ç Ô Å&Ö!Ø ß È É�Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È Êªá:Ê�Ï�Ã�Å�ÎNÏ�Ã�Ê�Ô Ê�Õ ÈWÅ>Ã�Õ Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ Å u u2{[(A1 − A3) 2(A3 − A2) + A2 12 ]u2 − 2A12σ 2u + (A1 − A3) 2 + (A3 − A2)ν 2 ∗ + σ4 + ν2 ∗ }2+ +{A12[(A1 − A3) 2 − 2(A1 − A3)]u 2 + 2(A1 − A3)σ 2u+ (57) +A12ν 2 ∗ }{[A3 12 + 2(A1 − A3)(A3 − A2)A12]u 4 − 2[A2 12 + (A1 − A3)(A3 − A2)]σ 2u3+ +A12[2(A1 − A3) + σ4 + ν2 ∗ ]u2 − 2(A1 − A3)σ 2u − A12ν 2 ∗ } = 0. þ>þ ÿ¸ù �4ù��8÷�ô°ó��>ñ����8ù ��ù� |ñ� �>ñ�ø���� ú í>Å>Ü¥Õ!Ä�ß È É P6(u) É�Õ Å�Û�Å>ß Ö�Ê�ÕTÇ�Ï�Ã�Å+Ð�Ì:È Î\Ñ3Ö�Ê�Ñ�Å�βß!Ä>Ï�Ã�È î ; þ ï @G�LÄ>Ó�Ó Ä>Ó�Ñ P6(u) Ó�Å�Ò�ìªìªÈ â È Ê�Õ�ÃÔ Æ È u6 Æ!Ä>Ñ�Ê�Õ [(A1 − A3) 2(A3 − A2) − A2 12 (A1 − A3 − 1)]2 > 0,ÄhÏ�Ñ�Å�í�Å¥Ú�Õ æ�Îtß Ö�Ê�Õ −A2 12 ν4 ∗ < 0,Ã�ÅqÒ�Ã�ÅqÅ>Ü¥Õ!Ä�ß!Ä>Ê�Ã+Ç ß�Ã�ÅqØ Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È Ê î ; þ ï È É�Ê�Ê�Ã�Ç�Ô ÅpÓ Æ!Ä>Î Õ Ê�βÉ�Ê�Æ Ê>Ç�Ú�Ñ�Ä1Ú�Ê�Î Ï�Ã�Ñ�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ æ�ä\Ó�Å�Æ Õ�ÐT@å3Æ È u = ±1 É�Õ Å�Û�Å�ß Ö�Ê�ÕNÔ Æ È Õ È ÉVÄ>Ê�Ã�Ï�Ö�Ê�Ú!Ø ËÍÌhÈ ÊpÜ¥Õ!Ä+ß Ê�Õ È�Ð ) P6(1) = (A3 − A2 + 1)2[(A1 − A3) 2 + ν2 ∗ ]2 + {2(A3 − A2 + 1)[A12 − σ2 + A12(A1 − A3)]+ +A2 12 (A12 − σ2)}(A12 − σ2)[ν2 ∗ + (A1 − A3) 2] + (A12 − σ2)2{(A12 − σ2)2− −2A12(A1 − A3)(A12 − σ2) − 4(A1 − A3) 2(A3 − A2 + 1)}È P6(−1) = (A3 − A2 + 1)2[(A1 − A3) 2 + ν2 ∗ ]2 + {−2(A3 − A2 + 1)[A12(A1 − A3 + 1)]+ +A2 12 (A12 − σ2)}(−A12 − σ2)[ν2 ∗ + (A1 − A3) 2] + (A12 + σ2)2{(A12 + σ2)2− −2A12(A1 − A3)(A12 + σ2) − 4(A1 − A3) 2(A3 − A2 + 1)}. �LÄ>Ï�Ï�ÉVÄ&Ã�Æ È Ñ�Ä&Ð�È ä Ó Ä>Ó Ó Ñ�Ä�Ú�Æ!Ä&Ã�Õ æ�ÊtÃ�Æ Ê�ä�ß Ö�Ê¥Õ æ�Å>Ã�Õ Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö³×�Õ Å (A1 − A3) 2 + ν2 ∗ Ç|Ü+Ä>Ô È�á:Ê�ÉÚ�È Ï�Ó Æ È É�È Õ!Ä>Õ�Ã�æ Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È Î P6(1) = 0 È P6(−1) = 0 ) [A2 12 + 4(A3 − A2 + 1)](A12 − σ2)2[A12(A12 − σ2) + 2(A1 − A3)(A3 − A2 + 1)]2 È [A2 12 + 4(A3 − A2 + 1)](A12 + σ2)2[A12(A12 + σ2) + 2(A1 − A3)(A3 − A2 + 1)]2. I�Ï�Ö�È A2 12 +4(A3−A2+1) < 0 Ç�Ã�Å3Ô Æ È u = ±1 É�Õ Å�Û�Å�ß Ö�Ê�Õ P6(u) Ô Æ È Õ È ÉVÄ>Ê�ÃªÔ Å&Ö�Å�Ý�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ æ�ÊÜ¥Õ!Ä+ß Ê�Õ È�ÐTÇ�ÈTÇ Ï�Ö�Ê�Ú�Å�Ñ�Ä&Ã�Ê�Ö�×�Õ Å Ç ÑqÈ Õ�Ã�Ê�Æ Ñ�Ä�Ö�Ê î Ù�?�Ç�? ï Ï�Ø�Ì:Ê�Ï�Ã�Ñ>Ø�Ê�Ã�Ç Ô Å:Ó Æ!Ä>Î Õ Ê�Î\É�Ê�Æ Ê>Ç�Ú�Ñ�ÄqÓ�Å�Æ Õ�Ð u∗ 1 , u∗ 2 Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È�Ð î ; þ ï @ý�Ñ�Ê�Ú�Ê�ɶÅ�í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß Ê�Õ È Ê tg(ε/2) = z È#Ü+Ä>Ô È�á:Ê�É�Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È Ê î ; � ï [(σ2 − A12 sin β) − (A1 − A3) cos β]z2 sin β + 2ν∗z cos β+ +[σ2 − A12 sin β + (A1 − A3) cos β] sin β = 0. I�Û�ÅNÚ�È Ï�Ó Æ È É�È Õ!Ä>Õ�à D/4 = [(A1 − A3) 2u2 + ν2 ∗ ](1 − u2) − (A12u − σ2)2u2 Ô Æ È u = 0Ô Å&Ö�Å+Ý�È�Ã�Ê�Ö�Ê�ÕTÇ)Ô Æ È u = ±1 Å>Ã�Æ È â!Ä&Ã�Ê�Ö³Ê�ÕTÇ4IJÓ�Å�Ò�ìªìªÈ â È Ê�Õ�ÃtÔ Æ È u4 Å>Ã�Æ È â!Ä&Ã�Ê�Ö�Ê�Õ)@4ÂVÖ�Ê�Ú�Å�Ñ�Ä�ÙÃ�Ê�Ö�×>Õ Å ÇTÏ�Ø�Ì:Ê�Ï�Ã�Ñ>Ø�Ê�Ã#È Õ�Ã�Ê�Æ Ñ�Ä�Ö (ũ1, ũ2) ∈ (−1, 1) Ç�Ñ�Ó Å>Ã�Å�Æ Å�É D/4 > 0 @LI�Ï�Ö�ÈNä�Å>Ã+бí�æ/Å¥Ú�È ÕÈ�Ü1Ó Å�Æ Õ Ê�Î u∗ 1 , u∗ 2 ∈ (ũ1, ũ2) Ç Ï�È Ï�Ã�Ê�ÉVÄhØ Æ!Ä&Ñ�Õ Ê�Õ È Î î ;>= ï Ç î ; � ï Ï�Å�Ñ�É�Ê�Ï�Ã�Õ!Ä�@!å3Æ È²Ò�Ã�Å�ÉÞØ Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È Êî ; C�ï Å�Ô Æ Ê�Ú�Ê�Ö�È�Ã�Ø Û�Å&Ö α @ý Û�Ö³Ä>Ñ�Õ æ�ätÅ�Ï�Ð ä A12 = 0 Ç Ø Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È�Ð î ; C�ï Ç î ;�; ï Ç î ; � ï Ï�Å�Å>Ã�Ñ�Ê�Ã�Ï�Ã�Ñ>Ê¥Õ Õ Å�Ô Æ È Õ È ÉVÄ>ËÍÃ�Ñ�È Ú cos ε sin α = a l (A3 − A2) sin β, w2 + κu2 − 1 = 0, (58) [(A1 − A3) 2u2 + ν2 ∗ ]w2 + 2(A1 − A3)σ 2u2w + σ4u2 + ν2 ∗ (u2 − 1) = 0, (59) þ A �! ��ó#"5÷$��ó�óqö�÷$�>ñ%�>ñ'&(� �+÷�ôw÷ Û�Ú�Ê κ = A2 − A3 @61Æ!Ä>Ñ�Õ Ê�Õ È�Ð î ;&A ï Ç î ; � ï È É�Ê�ËÍÃ�Å�í>Ì:È ÎtÓ Å>Æ Ê�Õ × w = √ 1 − κu2 (60) Ô Æ È#Ø�Ï�Ö�Å�Ñ�È È [(A1 − A3) 2(1 − κu2) + (1 − κ)ν2 ∗ + σ4]2 − 4(A1 − A3) 2σ4(1 − κu2) = 0, Å>Ã�Ó�Ø+Ú³Ä (A1 − A3) 2(1 − κu2) = (σ2 ± √ κ − 1ν∗) 2. (61)å3Æ È A1 6= A3 È�Ü î�� D�ï Ç î�� ? ï Ñ�æ�Ã�Ê�Ó Ä>ËÍÃ�Ø�Ï�Ö�Å�Ñ�È�Ð κu2 < 1, κ > 1, u2 = 1 κ [ 1 − (σ2 ± √ κ − 1ν∗ A1 − A3 )2 ] < 1. 1-Õ!Ä>Ó�Å�Õ Ê�âTÇ!Ô Æ È A12 = 0, A3 = A1 È�Ü î =�A ï ê î�� D�ï Ô Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É Ω2 = g2 a2ν2(A2 − A1 − 1) , A2 − A1 > 1, sin2 β < 1 κ , sin ε = −aκ l sin β cos β √ 1 − κ sin2 β . �|Ä>Ó È É Å�í�Æ!Ä&Ü¥Å�É�Ç�Ô Å&Ö!Ø ß Ê�Õ æ Ø�Ï�Ö�Å�Ñ�È�ÐàÏ�Ø�Ì:Ê�Ï�Ã�Ñ�Å�Ñ�Ä>Õ È�дÏ�Ã>Ä>â È Å�Õ!Ä>Æ Õ æ8äàÚ�Ñ�È�ÝhÊ�Õ È Î Ã�Ê�Ö³ÄÕ!Ä¤Ô Å+Ú�Ñ�Ê�Ï�ÊªÚ Ö!ÐNÃ�Æ Ê�äNÑ�Å>Ü¥É�Å+Ý�Õ æ�ätÑ�Ä>Æ È!Ä>Õ�Ã�Å�Ñ @!7ªÖ!ÐtÓ�Ä&ݸÚ�Å�Û�ŤÈ�ÜqÕ È ätØ Ó Ä&Ü+Ä>Õ æ Ü+Ä>Ñ�È Ï�È É�Å�Ï�Ã�ÈØ Û�Ö�Å�Ñ α, β, ε Å>äÔ!Ä>Æ!Ä>É�Ê�Ã�Æ Å�Ñ�Ï�È Ï�Ã�Ê�É�æ3@ u��'MON$PRQ(NTSVUXWOY'ZG[BZJ\±~w}�}���������~w��������¡��+~w{������&� ��z�����~w�¥§8��~w�����¥¦4§8�+®Í����}�����£�x&���+�8��z��+�1���w�>y�z&y�{�}�x&����~w�%]^] _3�w®¥y�z����¥y���������x&}�«�}����w�>y���`3u����^a��R`5r��){��>�cbedgf�f�h¢�#`ji4�&�^b�� u�u�u���+�'k%lVQ m�n oqp^m�rtsOZvuwZ�»|�����+�>y�x&z��)�8��y�x>y����p� �w®�y�z��������Jx|z����+�(_3�w®¥y�z����¥yÍ�¥{����¥«��¥®ª�p}���~w}��&¦4��z�}Í��������x&�T®���w� �#`y_h� z&¬�y��¥�+y���u��^a^b��R`�µ&u�b�~��­��|{O}Toqm�n N|~-Z@�5Z ��MON$PRQ(NTSVUXW�sOZ�Y�Z�»|�����w®�}�xª�q~w��y�¨���}�z&y���z�}�� ��x&���+���wz���¦ë���w�>y5z&y5{�}�x&����~w��]^]|_3�w®�y�z����+y��������x&}�«�}����w�>y��#`3u����^a��R`5r��){��>�cbjdgf�f�h¢�#`ji4��u�u�uw� u��^�¥�µ&�|{O}Toqm�n NV~-Z(�5Z �GMON$PRQ(NTSVUXW�sOZ�Y�Z�\t{��+�wx&�w�& �z��T®5~w��y�¨���}�z&y���z��T®�x&���+�8��z��+�+®����w�>yVz&y�{�}�x&����~w��]^]�� y��q����� `3u��������R`5r��){��>�ca��R`ji4�(�Xa�� ��µ&� ������÷$����ó��e�>ñX� ù>ö�÷��#� ù��#� � ö$� ��� � öV&� >ó���� ù�ø�ñ¥ö�÷¢ø�ñ¥ö�ó���ó3ó3ø³÷��+ñX��ó���ó��V�B�7�v�� �ñ�ó���õ��R������÷$��� »|}��&�¥����z�}�u��+� ��µ&� ��­ þ �