О движении тела на подвесе
В [1] дана постановка задачи о движении тела на подвесе, приближенная к описанному опыту [2, с. 99-100]. предложена математическая модель экспериментальной установки, учитывающая диссипацию, неизбежную в реальном объекте, и наличие двигателя. На основе этой работы в [3] изучен переход к установившем...
Saved in:
Date: | 2003 |
---|---|
Main Authors: | , |
Format: | Article |
Language: | Russian |
Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
Series: | Механика твердого тела |
Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123718 |
Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Cite this: | О движении тела на подвесе / М.Е. Лесина, А.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 71-79. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-123718 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1237182017-09-10T03:03:11Z О движении тела на подвесе Лесина, М.Е. Харламов, А.П. В [1] дана постановка задачи о движении тела на подвесе, приближенная к описанному опыту [2, с. 99-100]. предложена математическая модель экспериментальной установки, учитывающая диссипацию, неизбежную в реальном объекте, и наличие двигателя. На основе этой работы в [3] изучен переход к установившемуся движению тела из его начального состояния, в котором центр масс тела и концевые точки подвеса находились на одной вертикали. В [4] найдены зависимости установившейся конфигурации системы от угловой скор<х:ти ротора двигателя. В данной работе дана постановка задачи о движении тела на подвесе, осуществленного посредством жесткого стержня и двух шарниров Гука. Получены кинематические соотношения, динамические уравнения, рассмотрены стационарные движения тела на подвесе. 2003 Article О движении тела на подвесе / М.Е. Лесина, А.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 71-79. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123718 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
В [1] дана постановка задачи о движении тела на подвесе, приближенная к описанному опыту [2, с. 99-100]. предложена математическая модель экспериментальной установки, учитывающая диссипацию, неизбежную в реальном объекте, и наличие двигателя. На основе этой работы в [3] изучен переход к установившемуся движению тела из его начального состояния, в котором центр масс тела и концевые точки подвеса находились на одной вертикали. В [4] найдены зависимости установившейся конфигурации системы от угловой скор<х:ти ротора двигателя. В данной работе дана постановка задачи о движении тела на подвесе, осуществленного посредством жесткого стержня и двух шарниров Гука. Получены кинематические соотношения, динамические уравнения, рассмотрены стационарные движения тела на подвесе. |
format |
Article |
author |
Лесина, М.Е. Харламов, А.П. |
spellingShingle |
Лесина, М.Е. Харламов, А.П. О движении тела на подвесе Механика твердого тела |
author_facet |
Лесина, М.Е. Харламов, А.П. |
author_sort |
Лесина, М.Е. |
title |
О движении тела на подвесе |
title_short |
О движении тела на подвесе |
title_full |
О движении тела на подвесе |
title_fullStr |
О движении тела на подвесе |
title_full_unstemmed |
О движении тела на подвесе |
title_sort |
о движении тела на подвесе |
publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
publishDate |
2003 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123718 |
citation_txt |
О движении тела на подвесе / М.Е. Лесина, А.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 71-79. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
series |
Механика твердого тела |
work_keys_str_mv |
AT lesiname odviženiitelanapodvese AT harlamovap odviženiitelanapodvese |
first_indexed |
2025-07-09T00:08:00Z |
last_indexed |
2025-07-09T00:08:00Z |
_version_ |
1837125790164058112 |
fulltext |
��������� ��
�������
���
�������������� !�#"�$ �&%�')( *+(#"��+,)�
�-
�� � �!�/.10324�5� �
687:9<;>=�?�@ =�A
B© C>D�D =�@FEHGJI:GLKNM O�P4Q4RTSVUWGYXZGL[\R
]_^LR
`3a�b
cedFfhgWi I3j gNglk I1KWUmjNUnX c3dFf IpoqI
rts uwv&x>y�z&y|{�}�~w��y�z�}����+yL��y�x>y�����}�x&���+����z+���5���w�>y�z&y�{�}�x&����~w����{+�������&�+����z�z&y�����}�{��&~�y�z�z�}��
��}�{��)����s �+��~��������u�����v���{����wx��&}�����z&yp�!y������!y���������~w�+y����
}�x&�w�& p¡��+~¢{������&�
��z���y��& �z�}�£¤��~w��y�z�}����������¥�������)��y�¦4§�y��hx&�&~�~w��{&y�¨���¦8�z����������w��z��¥¦F�5����y��& �z�}���}���©����������&�ªz&y��&�������Vx&����«wy����w�+����¬�y�}�~wz�}�����¡���}�£ª�&y���}����W�ªs �v
�����¥���wzª{������w®�}�xª���~w��y�z�}�������¯8���
��~°�5x����+����z���¦±���w�>y����|��«�}�z&y��&y��& �z�}�«�}�~w}�~w��}���z��+���¥���¥}���}���}��h¨���z����3�!y�~�~L���w�>y����¥}�z�¨������)���}������\{�}�x&����~�yqz&y�®�}�x&�+�&�&~w :z&yh}�x&z�}�£²�����������+y��&���³r´s µ�v4z&y�£+x&�wz��¶��y����&~w�&�
}�~w���²��~w��y�z�}�������¯8��£&~°�¤�¥}�z&·|�+�«��¥�&y�¨����¸~w�&~w�����
�¹}��1�+«°�&}���}�£:~w�¥}���}�~w���:��}���}��&y�x&����«wy����w�+����r±x>y�z�z�}�£:�&y���}�����x>y�z&y1{�}�~w��y�z�}����+y���y�x>y����:}x&���+����z����8���w�>y4z&y_{�}�x&����~w����}�~w�¥§8��~w�����&��z�z�}�«�}_{�}�~w���wx>~w����}�������~¢����}�«�}|~w��������z+���Vx&����®�¯�y���z�����}��4º��¥�+y���»|}���&�¥����z�������z����!y���������~w�����4~w}�}���z�}�¯8�wz��+����x&��z&y��
������~w�����)�¥�&y���z���z��+�����&y�~�~��
}�������z��²~w��y�¨���}�z&y���z��)��x&���+����z��+����w�>y�z&y�{�}�x&����~w���
¼tP4Q4M�`3R
½
P4¾4M O�¿4P4M#O�a�a�½
Q4a�ÀFM�Q4P_Á�G³Â8Ã>Ä&Ã�Å�ÆTÇ�È
É�Ê�ËÍÌ:È
Î
Ï�Ð\Ñ:Ò�Ó�Ï�Ô
Ê�Æ
È
É�Ê�Õ�Ã>Ä�Ö�×�Õ
Å�Î\Ø�Ï�Ã&Ä�ÙÕ
Å�Ñ�Ó ÊÍÚ�Ñ�È
Û�Ä&Ã�Ê�Ö!ÐTÇ
Ü+Ä>Ó
Æ
Ê�Ô Ö�Ê�Õ#Õ!Ä:Õ
Ê�Ô
Å¥Ú�Ñ�È�Ý�Õ
Å�ÉÞÅ�Ï�Õ
Å�Ñ�Ä>Õ
È
ȲÃ>Ä>ÓTÇ�ß�Ã�ŸÅ�Ï�×hÆ
Å>Ã�Å�Æ!Ä:Ñ�Ê�Æ�Ã�È
Ó Ä�Ö�×&ÙÕ!Ä�@�ÂàÒ�Ã�Å�ÎtÅ�Ï�×�Ë�Õ
Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ
Õ
ŤÏ�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ!ÄhÔ Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�×�Ñ�Õ
Ê�á:Õ
Ê�Û�Å¤Ó Å�Ö�×�â!ÄhÔ
Ê�Æ
Ñ�Å�Û�ŸáhÄ>Æ
Õ
È
Æ!ĸãTØ Ó�Ä�Çâ
Ê�Õ�Ã�Æ�Ó�Å>Ã�Å�Æ
Å�Û�Å
O0
Õ!Ä+ä�Å¥Ú�È�Ã�Ï�Ð�Õ!Ä1Ø Ô
Å�É|Ð
Õ�Ø�Ã�Å�ΤÑ�Ê�Æ�Ã�È
Ó�Ä�Ö�ÈT@�å3Æ
È Ö�Å�ÝhÊ�Õ
Õ
æ�ΤÑ
O0
Ê�Ú�È
Õ
È
ß
Õ
æ�ÎÑ�Ê�Ó�Ã�Å�ÆNç
1
Ø Ó Ä&Ü¥æ�Ñ�Ä>Ê�òÕ!Ä>Ô
Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È
ÊpÒ�Ã�Å�ÎNÑ�Ê�Æ�Ã�È
Ó Ä�Ö�ÈTÇ�Ô
Æ
Å>Ã�È
Ñ�Å�Ô
Å&Ö�Å�Ý�Õ
Å�ʪÕ!Ä>Ô
Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È
ËèÑ�Ê�Ó ÙÃ�Å�Æ!ÄNéëêWØ�Ï�Ó�Å�Æ
Ê�Õ
È�йܥÊ�É�Õ
Å�Û�ÅWÔ
Æ
È�Ã+Ð�ÝhÊ�Õ
È�ÐT@Lå3Æ
È Ö�Å�ÝhÊ�Õ
Õ
æ�ιÑ
O0
Ñ�Ê�Ó�Ã�Å�ƹç
2
Ô
Æ
È
Õ!Ä�Ú
Ö�Ê�Ý�È�ÃÔ Ö�Å�Ï�Ó Å�Ï�Ã�È#Ñ�Õ
Ê�á:Õ
Ê�Û�ŸÓ�Å&Ö�×�â!ÄqÈ\Å�Æ�Ã�Å�Û�Å�Õ!Ä�Ö�Ê�Õ\Ó²ç
1
Ç�Äqç
3 =
ç
1 ×
ç
2
@
Â�ìªÅ�Æ
É�È
Æ
Å�Ñ�Ä>Õ
Õ
æ�βÃ&Ä>Ó
È
ÉÅ�í�Æ!Ä&Ü¥Å�É�í�Ä&Ü¥È
Ï
O0
ç
1
ç
2
ç
3 î Õ!ÄtÆ
È
Ï�Ø Õ
Ó Ê²Å�Õ¹È�Ü¥Å�í�Æ!Ä&ÝhÊ�Õ¹Ï�Õ!Ä+ß!Ä�Ö�Å�É�ÑtÃ�Å�ß
Ó�Ê O ï Å�Ó Ä&Ü¥æ�Ñ�Ä>Ê�Ã�Ï�ÐÕ
Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ
Õ
Å�Ï�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ
Õ
æ�ɶϪÆ
Å>Ã�Å�Æ
Å�ÉÞÚ�Ñ�È
Û�Ä&Ã�Ê�Ö!ÐTÇ�Ñ�Æ!Ä&ÌhÄ>ËÍÌ:È
É�Ï�ÐNÏ3Ø Û�Ö�Å�Ñ�Å�ÎtÏ�Ó�Å�Æ
Å�Ï�Ã�×�Ë
ð)ñ�òwó�ô°õZô°ó�ô�ö�÷¢ø
õVù
Ω = Ω
ç
1. (1)ú Ï�×¹Ñ�Õ�Ø�Ã�Æ
Ê�Õ
Õ
Ê�Û¥ÅûÓ�Å&Ö�×�â!ÄëÔ
Ê�Æ
Ñ�Å�Û�ÅëáhÄ>Æ
Õ
È
Æ!ĹãTØ�ÙÓ�ĸÛ�Å�Æ
È�Ü¥Å>Õ�Ã>Ä�Ö�×�Õ!Ä�dzĸÊ�Û�Å�Ô Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�×�Ï�Å�Ï�Ã>Ä>Ñ&Ö!Ð
Ê�òÏÔ Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�×�ËüÑ�Õ
Ê�á:Õ
Ê�Û�ÅWÓ�Å&Ö�×�â!Ä#Ø Û�Å&Ö
α,
ç
2
Ø Ó Ä&Ü¥æ�ÙÑ�Ä>Ê�êÕ!Ä>Ô
Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È
Ê�Ö�È
Õ
È
ȸÔ
Ê�Æ
Ê�Ï�Ê�ß
Ê¥Õ
È�ФÒ�Ã�È ä¸Ô Ö�Å�Ï�ÙÓ Å�Ï�Ã�Ê�ÎT@�ý�Ê�Ó�Ã�Å�Æ
ç
′
1
=
ç
1 cos α +
ç
2 sin α (2)
Ô
Æ
È
Õ!Ä�Ú
Ö�Ê�Ý�È�Ã�Ô Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�ÈWÑ�Õ�Ø�Ã�Æ
Ê�Õ
Õ
Ê�Û�ŲÓ�Å&Ö�×�â!Ä�Ç!Ä
ç
′
2
= − ç 1 sin α +
ç
2 cos α (3)
Å�Æ�Ã�Å�Û�Å�Õ!Ä�Ö�Ê�ÕpÒ�Ã�Å�ÎpÔ Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�ÈT@ ú í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß!Ä&Ð�Ú
Ö!ЪÊ�Ú�È ÙÕ
Å�Å�í�Æ!Ä&Ü¥È�Ð�ç
′
3
=
ç
3
ÇVÔ
Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�ÉHí�Ä&Ü¥È
Ï
O0
ç
′
1
ç
′
2
ç
′
3
ÇÕ
Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ
Õ
ÅÍÏ�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ
Õ
æ�ÎpÏ�Ñ�Õ�Ø�Ã�Æ
Ê�Õ
Õ
È
ÉWÓ�Å&Ö�×�â
Å�É#áhÄ>Æ ÙÕ
È
Æ!ĤãTØ Ó Ä�@ 61Û�Ö�Å�Ñ�Ä�ÐtÏ�Ó Å�Æ
Å�Ï�Ã�פÒ�Ã�Å�Û�Å�í�Ä&Ü¥È
촀
ωα = α•
ç
′
3
. (4)
þ ?
ÿ¸ù �4ù��8÷�ô°ó��>ñ����8ù ��ù� |ñ�
�>ñ�ø����
ý�Õ�Ø�Ã�Æ
Ê�Õ
Õ
Ê�Ê1Ó�Å&Ö�×�â
ÅqÔ
Ê�Æ
Ñ�Å�Û�ÅpáhÄ>Æ
Õ
È
Æ!ÄpÕ
Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ
Õ
Å:Ï�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ
ÅpÏÍÑ�Õ�Ø�Ã�Æ
Ê�Õ
Õ!È
ÉûÓ�Å&Ö�×�â
Å�ɹÑ>Ã�Å�Æ
Å�Û�ÅáhÄ>Æ
Õ
È
Æ!ĤãTØ Ó�ÄhÝhÊ�Ï�Ã�Ó
È
ɶÏ�Ã�Ê�Æ�Ý�Õ
Ê�É Ô
Æ
Ê�Õ
Ê�í�Æ
Ê�Ý�È
É�Å�ÉVÄ�Ö�Å�Î#ÉVÄ>Ï�Ï�æ3@��LÅ�ß
Ó�Ä
O
ê²â
Ê�Õ�Ã�ÆNÓ�Å&Ö�Ê�âÑ>Ã�Å>Æ
Å�Û�ÅWáhÄ>Æ
Õ
È
Æ!ÄWÈ
l > 0
êZÆ!Ä>Ï�Ï�Ã�Å+Ð
Õ
È
Ê#Å>Ã
O
Ú�Å
O0
@|ýèÃ�Å�ß
Ó�Ê
O
Ñ�Ñ>Ê�Ú�Ê�É/í�Ä&Ü¥È
Ï
O
ç
′
1
ç
′
2
ç
′
3
ÇÔ!Ä>Æ!Ä+Ö
Ö�Ê�Ö�×�Õ
æ�Î:í�Ä&Ü¥È
Ï�Ø
O0
ç
′
1
ç
′
2
ç
′
3
@&Â�Å¥Ú�Ê�Æ�ݸÄ&ÌhÄ&ЪÃ�Å�ß
Ó�Ø
O
Å�Ï�×ÍÑ�Õ
Ê�á:Õ
Ê�Û�Å1Ó�Å&Ö�×�â!ÄÍÑ>Ã�Å�Æ
Å>Û�ÅÍáhÄ>Æ ÙÕ
È
Æ!ĸãTØ Ó�ĸÈ
É�Ê�Ê�Ã�Õ!Ä>Ô
Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È
Ê
� ′
2
= − ç ′
1
sin γ +
ç
′
2
cos γ, (5)
ÄhÑ�Ê�Ó�Ã�Å�Æ � ′
3
Ï�Å�Ñ�É�Ê�Ì:Ê�ÕNϪç
′
3
È#Ñ�É�Ê�Ï�Ã�ÊqÏ
� ′
1
=
ç
′
1
cos γ +
ç
′
2
sin γ (6)
Å�í>Æ!Ä&Ü�Ø�Ê�Ã�Ô
Æ
È Ö�Å+ÝhÊ�Õ
Õ
æ�ÎNÑ
O
í�Ä&Ü¥È
Ï
O � ′
1
� ′
2
� ′
3
@
61Û�Ö�Å�Ñ�Ä&Ð#Ï�Ó Å�Æ
Å�Ï�Ã�פÒ�Ã�Å�Û�Å�í�Ä&Ü¥È
촀
ωγ = γ•
ç
′
3
. (7)
ÂëÑ�Õ
Ê�á:Õ
È
ÉZÓ Å&Ö�×�â
Å�ɱÕ
Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ
Õ
Å3Ï�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ
Å�Ã�Ê�Ö�Å
Ç�â
Ê�Õ�Ã�ÆhÉVÄ>Ï�Ï
C
Ó�Å>Ã�Å�Æ
Å�Û�Å3Ô
Æ
È
Õ!Ä�Ú
Ö�Ê�Ý�È�Ã3Ô Ö�Å�Ï�ÙÓ�Å�Ï�Ã�ÈNÑ�Õ
Ê�á:Õ
Ê�Û�ŲÓ�Å&Ö�×�â!Ä�@��|Ä>Ï�Ï�Ã�Å+Ð
Õ
È
ÊpÅ>Ã
C
Ú�Å
O
Å�í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß
È
É�ß
Ê�Æ
Ê�Ü
a > 0
ÈtÑ�Ñ�Ê�Ú�Ê�É�Ñ�Ê�Ó�Ã�Å�Æ
���
= a = a � 1. (8)
61Û�Å&ÖÞÉ�Ê�ݸÚ!ØZÕ!Ä>Ô
Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È�Ð!É�ÈëÊ�Ú�È
Õ
È
ß
Õ
æ�ä¹Ñ�Ê�Ó�Ã�Å�Æ
Å�Ñ �
1
È � ′
1
Å>í�Å>Ü¥Õ!Ä�ß
È
É ß
Ê�Æ
Ê�Ü
ε
Ç_Ô
Å&Ö³Ä>Û�Ä&ÐTÇß�Ã�Å �
1
Ô
Æ
È
Õ!Ä�Ú
Ö�Ê�Ý�È�Ã�Ô Ö�Å�Ï�Ó�Å�Ï�Ã�È
O � ′
1
� ′
3
Ç�Ã>Ä>Ótß�Ã�Å
�
1 = � ′
1
cos ε − � ′
3
sin ε. (9)
61Û�Ö�æ
γ
È
ε
Ñ�æ�í�Æ!Ä>Õ
æ�Ã&Ä>ÓTÇ�ß�Ã�Å\Õ!Ä>Ô
Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È
Ê � ′
2
Å�Ï�ȱÑ�Õ
Ê�á:Õ
Ê�Û�Å#Ó�Å&Ö�×�â!Ä�Å�Æ�Ã�Å�Û�Å�Õ!Ä�Ö�×�Õ
Å²Ó �
1
ÇÈëϤÕ
È
É�É�Å+ÝhÊ�ÃNí�æ�Ã�×WÏ�Å�Ñ�É�Ê�Ì:Ê�Õ
ÅWÕ!Ä>Ô
Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È
Ê �
2
Õ
Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ
Õ
ÅWÏ�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ
Õ
Å�Û�ÅWϸÃ�Ê�Ö�Å�É�í�Ä&Ü¥È
촀
C � 1
�
2
�
3
Ç!Û�Ú�Ê �
3 = �
1 × �
2
Ç!È#Ô
Å�Ò�Ã�Å�É|Ø
�
3 = � ′
1
sin ε + � ′
3
cos ε, (10)
ωε = ε• � 2. (11)61Û�Ö�Å�Ñ�Ä&Ð#Ï�Ó�Å�Æ
Å�Ï�Ã�פÃ�Ê�Ö³Ä
ω = ω1
�
1 + ω2
�
2 + ω3
�
3 (12)Ê�Ï�Ã�×�Ï�Ø É�ÉVĸÏ�Ó Å�Æ
Å�Ï�Ã�Ê�Î î ? ï Ç î�� ï Ç î þ ï Ç î ?�? ï
ω = Ω
ç
1 + α•
ç
′
3
+ γ•
ç
′
3
+ ε• � 2. (13)
ý�Ñ�Ê�Ú�Ê�É�Ø Û�Å&Ö
β = α + γ (14)Å>Ã�Ó Ö�Å>Õ
Ê�Õ
È�ÐNÅ�Ï�È
CO
Ã�Ê�ֳĸÅ>Ã¤È Ú!Ø�Ì:Ê�ÎWÑ�Ñ�Ê�Æ�ä#Ñ�Ê�Æ�Ã�È
Ó Ä�Ö�ÈT@妯 ß
Ê�Ã�Å�É î C�ï Ç î = ï Ç î ; ï Ç î�� ï Ç î�� ï Ç î ? D�ï Ç î ? C�ï ê î ? � ï
ω1 = Ω cos ε cos β − β• sin ε, ω2 = −Ω sin β + ε•, ω3 = Ω sin ε cos β + β• cos ε. (15)
ý�Ê�Ó�Ã�Å>Æ é
= −g
ç
1 (16)
þ C
�! ��ó#"5÷$��ó�óqö�÷$�>ñ%�>ñ'&(� �+÷�ôw÷
È
É�Ê�Ê�òѸÕ
Ê�È�Ü¥É�Ê�Õ
Õ
Å�Ï�Ñ>Ð�Ü+Ä>Õ
Õ
Å�É�Ï1Ã�Ê�Ö�Å�ɶí�Ä&Ü¥È
Ï�ÊªÓ Å�É�Ô
Å�Õ
Ê�Õ�Ã�æ
gi )
é
= g1
�
1 + g2
�
2 + g3
�
3,
g1 = −g cos ε cos β, g2 = g sin β, g3 = −g sin ε cos β. (17)
�|Ä>Ó¸Ó Ä>Ó¤Ñ�Ê�Ó�Ã�Å�Ƥé�Ï�Å+ä�Æ!Ä>Õ�Ð
Ê�ÃqÕ!Ä>Ô
Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È
Ê5ѪÔ
Æ
Å�Ï�Ã�Æ!Ä>Õ
Ï�Ã�Ñ�Ê>Ç�Ã�ÅpÈ�Ü¥É�Ê�Õ
Ê�Õ
È
Ê�Ê�Û�ŪÕ!Ä>Ô
Æ!Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È�ÐÔ
ŤÅ>Ã�Õ
Å>á:Ê�Õ
È
ËèÓ#Ã�Ê�Ö!Ø#Å�Ô
È
Ï�æ�Ñ�Ä>ËÍÃ¤Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È�Ð
é
• + ω × é = *
È#Ü¥Õ!Ä+ß
È�Ã�Ç
g•
1
= ω3g2 − ω2g3, g•
2
= ω1g3 − ω3g1, g•
3
= ω2g1 − ω1g2. (18)å3Å�Õ!Ä�Ú�Å�í�È�Ã�Ï�ÐtÈ#Ô
Æ
Ê�Ú�Ï�Ã>Ä>Ñ&Ö�Ê�Õ
È
ÊqÑ�Ê�Ó�Ã�Å�Æ!Ä!+
= l
ç
′
1
Ѥí�Ä&Ü¥È
Ï�Ê
C � 1
�
2
�
3 )
+
= l1
�
1 + l2
�
2 + l3
�
3.
Â Ø ß
Ê�Ã�Å�É î ; ï Ç î�� ï Ç î�� ï Ç î ? D�ï Ç î ? � ï
l1 = l cos ε cos(β − α), l2 = −l sin(β − α), l3 = l sin ε cos(β − α). (19)
Â8Ã�Ê�Æ�ÝhÊ�Õ
×
O0O
È
É�Ê�Ê�Ã
O0
Õ
Ê�Ô
Å¥Ú�Ñ�È�Ý�Õ
Å�ΤÃ�Å�ß
Ó Å�ÎTÇ�ÄpÊ�Û�ÅqØ Û�Ö�Å�Ñ�Ä&вÏ�Ó�Å�Æ
Å�Ï�Ã�×-,HÏ�Ø É�ÉVÄ
Ω
ç
1È
α•
ç
′
3
@�å3Å�Ò�Ã�Å�É|Ø#Ï�Ó Å�Æ
Å�Ï�Ã�׸Ã�Å�ß
Ó
È
O
.
= (Ω
ç
1 + α•
ç
′
3
) × (−l
ç
′
1
). (20)
Â�Ó Å�Æ
Å�Ï�Ã�×0/ëâ
Ê�Õ�Ã�Æ!ĤÉVÄ>Ï�Ï
C
Ô
Æ
Ê�Ú�Ï�Ã>Ä>Ñ�È
ɶÆ!Ä&Ü�Ö�Å+ÝhÊ�Õ
È
Ê�ɶѸí�Ä&Ü¥È
Ï�Ê
C � 1
�
2
�
3 )
/
= υ1
�
1 + υ2
�
2 + υ3
�
3, (21)
ÈtÏ�Ó�Å�Æ
Å�Ï�Ã�×�Ô
Æ
È
Õ!Ä�Ú
Ö�Ê�ݸÄ&Ì:Ê�ÎtÃ�Ê�Ö!Ø\Ã�Å�ß
Ó
È
O
Ô
Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É�ѸÑ�È Ú�Ê
.
=
/
+ ω × ���
. (22)
11Ü î C>D�ï Ç î C ? ï Ç î A ï Ç î ? � ï Ï�Ö�Ê�Ú!Ø�Ê�Ã
/
+ aω × �
1 =
+ × (−Ω
é
+ α•g
ç
′
3
)/g.
Â Ø ß
Ê�Ã�Å�É î C ? ï Ç î ?�; ï Ç î ? þ ï Ç î�� ï Ç î ? D�ï
υ1 = Ω(g2l3 − g3l2)/g + α•l2 cos ε,
υ2 = −aω3 + Ω(g3l1 − g1l3)/g − α•(l3 sin ε + l1 cos ε),
υ3 = aω2 + Ω(g1l2 − g2l1)/g + α•(l2 sin ε).ý�Õ
Å�Ï�È
É�ѤÒ�Ã�ÈNÑ�æ�Æ!Ä�ݸÊ�Õ
È�Ð î ?�; ï Ç î ? þ ï Ç î ? � ï
υ1 = l[−α• cos ε sin(β − α) + Ω sin ε sin α],
υ2 = −a(β• cos ε + Ω sin ε sin β) − lα• cos(β − α), (23)
υ3 = a(ε• − Ω sin β) − lΩ cos ε sin α − lα• sin ε sin(β − α).
þ =
ÿ¸ù �4ù��8÷�ô°ó��>ñ����8ù ��ù� |ñ�
�>ñ�ø����
d P4Q4R
`3P4¾4M O�¿4P4M32)]4R
b�Q4M�Q4P_Á�G54tÅ�É�Ê�Õ�ÃhÓ Å&Ö�È
ß
Ê�Ï�Ã�Ñ�ÄpÚ�Ñ�È�ÝhÊ�Õ
È�Ð�Ã�Ê�Ö³Ä:Å>Ã�Õ
Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ
Å
O0Å�í>Å>Ü¥Õ!Ä�ß
È
É76
0
6
0 =
∫∫∫
S
(−l
ç
′
1
+ 8 ′) × (
.
+ ω × 8 ′)dm =
= −l
ç
′
1
× m
. − l
ç
′
1
× (ω × m 8 c) −
. × m 8 c +
∫∫∫
S
8 ′ × (ω × 8 ′)dm,
6
0 = ml
ç
′
1
× (ω × a � 1 −
.
) +
. × ma � 1 + Iklωk
�
l. (24)
4tÅ�É�Ê�Õ�Ã�Ó�Å&Ö�È
ß
Ê�Ï�Ã�Ñ�ÄhÚ�Ñ�È�ÝhÊ�Õ
È�Ð\Ã�Ê�ֳĤÅ>Ã�Õ
Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ
Å
O
Å�í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß
È
É96
6
=
∫∫∫
S
8 ′ × ((
.
+ ω × 8 ′)dm = 8 c × m
.
+ Iklωk
�
l,
6
= ma
. × �
1 + Iklωk
�
l. (25)Â Ø ß
Ê�Ã�Å�É î C�C�ï Ç î C ? ï Ç î A ï È
É�Ê�Ê�É
. × �
1 = (υ3 − aω2)
�
2 − (υ2 + aω3)
�
3.
ý�Ê�Ó�Ã�Å>Æ:6 Ô
Æ
Ê�Ú�Ï�Ã&Ä>Ñ�È
ÉûÆ!Ä&Ü�Ö�Å+ÝhÊ�Õ
È
Ê�ɹѪí�Ä&Ü¥È
Ï�Ê
C � 1
�
2
�
3 :
6
= G1
�
1 +G2
�
2 +G3
�
3
Ç�Ȥí>Ø¥Ú�Ê�ÉÏ�ß
È�Ã&Ä&Ã�פÃ�Æ
Ê�Ã�×�Ë-Å�Ï�פÛ�Ö³Ä>Ñ�Õ
Å�Î
I23 = I31 = 0
Ç
Ã�Å�Û�Ú³Ä
G1 = I1ω1 + I12ω2, G2 = I2ω2 + I12ω1 + ma(υ3 − aω2), G3 = I3ω3 −ma(υ2 + aω3). (26)
11Ü�ÉVÊ�Õ
Ê�Õ
È
ÊqÑ�ŸÑ�Æ
Ê�É�Ê�Õ
È;6 È;6
0
Ú³Ä>Õ
ÅhØ Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È�Ð
É�È
d
6
dt
= −ma × (
é − ν
/
), (27)
d
6
0
dt
= < + m(
é − ν
/
)(
+
+ a), (28)
Û�Ú�Ê < êNÉ�Å�É�Ê�Õ�ÃtÏ�È Ö¹Æ
Ê¥Ä>Ó
â
È
ÈTÇ m é × (
+
+ a), −mν
/ × (
+
+ a)
êNÉ�Å�É�Ê�Õ�Ã�æ<Ï�È ÖëÃ+Ð�ÝhÊ�Ï�Ã�ÈëÈÏ�È Ö�æ Ï�Å�Ô
Æ
Å>Ã�È
Ñ&Ö�Ê�Õ
È�ÐNÏ�Æ
Ê�Ú�æ Ï�Å�Å>Ã�Ñ�Ê�Ã�Ï�Ã�Ñ�Ê�Õ
Õ!Å
@>=TÄ>Ô
È�á:Ê�É Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È
Ê î C þ ï ѸÓ�Å�É�Ô
Å�Õ
Ê�Õ�Ã>Ä�ä
G•
1
+ ω2G3 − ω3G2 = 0,
G•
2
+ ω3G1 − ω1G3 = ma(g3 − νυ3),
G•
3
+ ω1G2 − ω2G1 = −ma(g2 − νυ2)È#Ñ�Õ
Ê�Ï�Ê�ɶѸÒ�Ã�ÈtØ Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È�Ð#Ü¥Õ!Ä+ß
Ê�Õ
È�Ð î C � ï )
I1ω
•
1
+ (I3 − I2)ω2ω3 + I12(ω
•
2
− ω3ω1) − ma(υ2ω2 + υ3ω3) = 0, (29)
(I2 −ma2)ω•
2
+ I12(ω
•
1
+ω2ω3)+ (I1 − I3 +ma2)ω3ω1 +ma(υ•
3
+υ2ω1) = ma(g3 − νυ3), (30)
(I3 −ma2)ω•
3
+ I12(ω
2
1
−ω2
2
) + (I2 − I1 −ma2)ω1ω2 −ma(υ•
2
− υ3ω1) = −ma(g2 − νυ2). (31)Â�Æ!Ä&Ñ�Õ
È
Ñ�Ä&ÐtÑ�æ�Æ!Ä&ÝhÊ�Õ
È�Ð î C � ï Ç î C ; ï Ç î C�C�ï Ç�Ü+Ä>É�Ê�ß!Ä>Ê�É5Ç!ß�Ã�Å
6
0 =
6 − m(
+ × /
).
þ �
�! ��ó#"5÷$��ó�óqö�÷$�>ñ%�>ñ'&(� �+÷�ôw÷
ý�É�Ê�Ï�Ã�Å î C A ï É�Å+Ý�Õ
ÅhÜ+Ä>Ô
È
Ï¥Ä&Ã�פÃ�Ê�Ô
Ê�Æ
×�Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È
Ê
m
d(
/ × +
)
dt
= < + m(
é − ν
/
) × +
,
È�ܪÓ�Å>Ã�Å�Æ
Å�Û�ŸÅ�Ô
Æ
Ê�Ú�Ê�Ö�È
É É�Å�É�Ê�Õ�øÏ�È ÖNÆ
Ê¥Ä>Ó
â
È
ÈT@�Â�Å�Å>Ã�Õ
Å>á:Ê�Õ
È�Ð î ? þ ï Ç î ?�; ï Å�í�Æ!Ä&ÌhÄ>ËÍÃhØ Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�ÙÕ
È�Ð î ?+A ï ÑhÃ�Å�ݸÚ�Ê�Ï�Ã�Ñ�Ä�@³ý Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È�Ð î C � ï ê î =�? ï Ñ�Õ
Å�Ï�È
É Ü¥Õ!Ä+ß
Ê�Õ
È�Ð î ?�; ï Ç î C = ï È#Ô
Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É
I1β
•• sin ε − I12ε
•• = F1(α
•, β•, ε•; α, β, ε), (32)
I2ε
•• − I12β
•• sin ε − malα•• sin ε sin(β − α) = F2(α
•, β•, ε•; α, β, ε), (33)
I3β
•• + malα•• cos(β − α) = F3(α
•, β•, ε•; α, β, ε), (34)Û�Ú�Ê
F1 = −I1(ε
•β• cos ε + Ωε• sin ε cos β + Ωβ• cos ε sin β) + (I3 − I2)(ε
•−
−Ω sin β)(β• cos ε + Ω sin ε cos β) + I12(β
• sin ε − Ω cos ε cos β)(β• cos ε+
+Ω sin ε cos β) − I12Ωβ• cos β + mal{(β• cos ε + Ω sin ε cos β)[α• sin ε sin(β − α)+
+Ω cos ε sin α] + α•(ε• − Ω sin β) cos(β − α)}, (35)
F2 = I2Ωβ• cos β + I12(ε
•β• cos ε + Ωε• sin ε cos β + Ωβ• cos ε sin β)+
+I12(−ε• + Ω sin β)(β• cos ε + Ω sin ε cos β) + (I1 − I3)(β
• sin ε−
−Ω cos ε cos β)(β• cos ε + Ω sin ε cos β) + mal[ε•α• cos ε sin(β − α)+
+α•(β• − α•) sin ε cos(β − α) − Ωε• sin ε sin α + Ωα• cos ε cos α−
−(β• sin ε − Ω cos ε cos β)α• cos(β − α)] − mga sin ε cos β+
+maν[−a(ε• − Ω sin β) + lα• sin ε sin(β − α) + lΩ cos ε sin α], (36)
F3 = I3(ε
•β• sin ε − Ωε• cos ε cos β − Ωβ• sin ε sin β) + (I2 − I1)(ε
• − Ω sin β)(β• sin ε−
−Ω cos ε cos β) + I12(ε
• − Ω sin β)2 − I12(β
• sin ε − Ω cos ε cos β)2 − mga sin β+
+mal{α•(β• − α•) sin(β − α) + (−β• sin ε + Ω cos ε cos β)[α• sin ε sin(β − α)+
+Ω cos ε sin α]} − maν[a(β• cos ε + Ω sin ε cos β) + lα• cos(β − α)]. (37)61Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È�Ð î = C�ï ê î = � ï Ï�Ö!Ø�ݸÄ&ÃhÚ
Ö!ÐtÅ�Ô
Æ
Ê�Ú�Ê�Ö�Ê�Õ
È�ÐtØ Û�Ö�Å�Ñ α, β, γ
@oq½�R@?4P4a�Q4R
]4QBA¸M-C|b�PEDFM�Q4P_Át½
M�^LR¸Q4R0F4aGC|b�M O�M�G�å1Ø�Ï�Ã�×
α, β, ε
Ï�Å¥ä�Æ!Ä>Õ�Ð
ËÍÃ1Ô
Å�Ï�Ã�Å+Ð
Õ
Õ
æ�ÊÜ¥Õ!Ä�ß
Ê�Õ
È�ÐTÇ
Ã�Å�Û�Ú³Ä
α• = β• = ε• = 0, α•• = β•• = ε•• = 0.
HpÊ�Ñ�æ�ʪß!Ä>Ï�Ã�È#Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È
Î î = C�ï ê î = � ï Ô
Æ
ÈtÒ�Ã�Å�É�Å�í�Æ!Ä&ÌhÄ>ËÍÃ�Ï�ÐtѸÕ�Ø¥Ö�×
Ç�ÄhÔ
Æ!Ä&Ñ�æ�ʪß!Ä>Ï�Ã�È î =�; ï êî = þ ï Ã>Ä>Ó�Å�Ñ�æ
[(I2 − I3) sin β − I12 cos ε cos β + mal cos ε sin α]Ω2 sin ε cos β = 0, (38)
[(I1 − I3) cos ε cos β − I12 sin β]Ω2 sin ε cos β + mga sin ε cos β−
−maνΩ(a sin β + l cos ε sin α) = 0, (39)
[(I1 − I2) cos ε sin β cos β + I12(cos
2 ε cos2 β − sin2 β)]Ω2 + mga sin β+
þ ;
ÿ¸ù �4ù��8÷�ô°ó��>ñ����8ù ��ù� |ñ�
�>ñ�ø����
+ma2νΩ sin ε cos β − malΩ2 cos2 ε cos β sin α = 0. (40)Â�Å>Å>Ã�Õ
Å>á:Ê�Õ
È!Ê î =�A ï Ô
Å�Ó�Ä�Ü¥æ�Ñ�Ä>Ê�Ã�Ç�ß�Ã�ÅpÚ
Ö!Ð�Õ!Ä�ä�Å+ݸÚ�Ê�Õ
È�вÔ
Å>Ó�ÄpÕ
ÊÍÅ�Ô
Æ
Ê�Ú�Ê�Ö�Ê�Õ
Õ
æ�ä α, β, ε
Ô
Å>Ã�Æ
Ê�Ùí>Ø�Ê�Ã�Ï�ÐNÆ!Ä&Ü�Ö�È
ß!Ä&Ã�פÃ�Æ
ÈtÑ�Ä>Æ
È!Ä>Õ�Ã>Ä )
sin ε = 0, (41)
cos β = 0, (42)
(I2 − I3) sin β − I12 cos ε cos β + mal cos ε sin α = 0. (43)
�LÄ>Ï�Ï�É�Å>Ã�Æ
È
É�Ï�Õ!Ä+ß!Ä�Ö³ÄtÑ�Ä>Æ
È!Ä>Õ�à î�� ? ï Ç cos ε = ±1
@�7ªÖ!ÐëÅ�Ô
Æ
Ê�Ú�Ê�Ö�Ê�Õ
Õ
Å�Ï�Ã�ȹÑ�æ�í�Ê�Æ
Ê�É
cos ε = 1
î cos ε = −1
Æ!Ä>Ï�Ï�ÉVÄ&Ã�Æ
È
Ñ�Ä>Ê�Ã�Ï�ÐWÄ>Õ!Ä�Ö�Å�Û�È
ß
Õ
Å ï ÈtÑ�Õ
Ê�Ï�Ê�É¶È ä#Ñ î = � ï Ç î�� D�ï )
a sin β + l sin α = 0, (44)
[(I1 − I2) sin β cos β + I12(cos
2 β − sin2 β)]Ω2 + mga sin β − malΩ2 cos β sin α = 0. (45)
13Ï�Ó Ö�Ë�ß!Ä&ÐtÈ�Ü î��(� ï Ç î�� ; ï sin α
Ç!Ô
Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É
[(I1 − I2 + ma2) sin β cos β + I12(cos
2 β − sin2 β)]Ω2 + mga sin β = 0. (46)
I�Ï�Ö�È
I12 = 0
Ç�Ã�Å
[(I1 − I2 + ma2) cos β + mga] sin β = 0,È\Ã�Å�Û�Ú³ÄhÖ�È
í�Å
sin β = 0,Ö�È
í�Å
(I1 − I2 + ma2)Ω2 cos β + mga = 0.
I�Ï�Ö�È#ÝhÊ
I12 6= 0
Ç
Ã�ŤÅ�í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß!Ä&Ð
tg(β/2) = u
Ç
Ü+Ä>Ô
È�á:Ê�É î��J� ï ѸÑ�È Ú�Ê
Φ(u) = I12u
4 + 2
[mga
Ω2
− (I1 − I2 + ma2)
]
u3 − 6I12u
2+
+2
[mga
Ω2
+ (I1 − I2 + ma2)
]
u + I12 = 0. (47)
K3Ê�Ø ÉVÄ�Ö!Ð�ФÅ�í>Ì:Õ
Å�Ï�Ã�ÈTÇ�É�Å+ݸÊ�ÉFÏ�ß
È�Ã&Ä&Ã�×
I12 > 0
@�61Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È
ÊÍß
Ê�Ã�Ñ�Ê�Æ�Ã�Å�βÏ�Ã�Ê�Ô
Ê¥Õ
ȲÅ&Ã�Õ
Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö�×&ÙÕ
Å
u
È
É�Ê�Ê�Ã�Ç)Ô
ŲÓ
Æ!Ä>Î
Õ
Ê�ÎZÉ�Ê�Æ
Ê>dzÚ�Ñ�ĸÚ�Ê�Î
Ï�Ã�Ñ�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ
æ�äFÓ�Å�Æ
Õ�ÐTdzÃ&Ä>Ó±Ó�Ä>Ó
Φ(±∞) = ∞, Φ(0) =
= I12 > 0, Φ(−1) = −4I12 − 4mga/Ω2 < 0
@
�LÄ>Ó
È
É Å�í�Æ!Ä&Ü¥Å�É�Ç�Ú
Ö!Ð#Ñ�Ä>Æ
È!Ä>Õ�Ã>Ä î�� ? ï Ï�Ã>Ä>â
È
Å�Õ!Ä>Æ
Õ
æ�Ê3Ú�Ñ�È�ݸÊ�Õ
È�Ð\Ã&Ä>Ó Å�Ñ�æ ) Ô
Æ
È I12 = 0
ε = 0, β = 0, α = 0
È Ö�È
ε = 0, cos β0 = − mga
(I1 − I2 + ma2)Ω2
, sin α0 = −a
l
sin β0
Ô
Æ
ÈtÅ�Û�Æ!Ä>Õ
È
ß
Ê�Õ
È
È
Ω2 >
∣
∣
∣
mga
I1 + ma2 − I2
∣
∣
∣
@
I�Ï�Ö�È#ÝhÊ
I12 6= 0
Ç
ε = 0, β = βk, sin αk = −a
l
sin βk,
Û�Ú�Ê
βk = 2arctg uk, uk
ê¸Ú�Ê�Î
Ï�Ã�Ñ�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ
æ�ÎWÓ�Å�Æ
Ê�Õ
×¸Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È�Ð î�� þ ï @
þ �
�! ��ó#"5÷$��ó�óqö�÷$�>ñ%�>ñ'&(� �+÷�ôw÷
ýàÏ�Ö!Ø ß!Ä>Ê î�� C�ï È�Ü î = � ï Ç î�� D�ï Ô
Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É
mga − I12Ω
2 = 0, maνΩ(±a + l cos ε sin α) = 0
È Ö�È
Ω2 =
mga
I12
, cos ε sin α = ∓a
l
@
�|Ä>Ï�Ï�É�Å>Ã�Æ
È
ɶÑ�Ä>Æ
È!Ä>Õ�à î�� = ï @!å1Ø�Ï�Ã�×
cos ε = 0, (48)
Ã�Å�Û�Ú³Ä
(I2 − I3) sin β = 0
Ç
Å>Ã�Ó�Ø+Ú³ÄhÖ�È
í�Å
sin β = 0
Ç Ö�È
í�Å
I2 = I3. (49)
ý�Õ
Ê�Ï�Ê�É î�� A ï Ç î��J� ï Ñ î = � ï Ç î�� D�ï ÈtÔ
Å&Ö!Ø ß
È
É
(mga − I12Ω
2 sin β) cos β − ma2νΩ sin β = 0, (50)
(mga − I12Ω
2 sin β) sin β + ma2νΩ cos β = 0, (51)Å>Ã�Ó�Ø+Ú³Ä
mga − I12Ω
2 sin β = 0, ma2νΩ = 0
ÈFÊ�Ï�Ö�È
ν 6= 0
Ç)Ï�È
Ï�Ã�Ê�ÉVÄ î ; D�ï Ç î ; ? ï Æ
Ê�á:Ê�Õ
È
ÎëÕ
ÊÈ
É�Ê�Ê�Ã�@7ªÖ!Ð#Ã�Æ
Ê�Ã�×�Ê�Û�Å�Ñ�Ä>Æ
È!Ä>Õ�Ã>ĸÈ�Ü î =�A ï Õ!Ä�ä�Å¥Ú�È
É
mal cos ε sin α = I12 cos ε cos β − (I2 − I3) sin β, (52)
ĸÈ�Ü î = � ï Ç î�� D�ï Ô
Æ
ÈtÒ�Ã�Å�É�Å�Ô
Æ
Ê�Ú�Ê�Ö!Ð
Ê�É
ma2(1 − cos2 ε cos2 β) + I12 sin β cos ε cos β − (I2 − I3) sin2 β = 0, (53)
[(I1 − I3) cos ε cos β − I12 sin β]Ω2 sin β + mga sin β + ma2νΩ sin ε cos β = 0. (54)ý�Ñ�Ê�Ú�Ê�ɶí�Ê�Ü¥Æ!Ä&Ü¥É�Ê�Æ
Õ
æ�ÊpÔ!Ä>Æ!Ä>É�Ê�Ã�Æ
æ
Ak =
Ik
ma2
(k = 1, 2, 3), A12 =
I12
ma2
, σ2 =
g
aΩ2
, ν∗ =
ν
Ω
,
Õ
Å�Ñ�æ�ʪÔ
Ê�Æ
Ê�É�Ê�Õ
Õ
æ5Ê
w = cos ε cos β, u = sin β
È#Ü+Ä>Ô
È�á:Ê�É�Ã�Ê�Ô
Ê�Æ
×�Ï�Å�Å>Ã�Õ
Å>á:Ê�Õ
È�Ð î ;>= ï Ç î ; � ï
w2 − A12uw + (A2 − A3)u
2 − 1 = 0, (55)
[(A1 −A3)
2u2 + ν2
∗
]w2 + 2(A1 −A3)(σ
2 −A12u)u2w + (A12u− σ2)2u2 + ν2
∗
(u2 − 1) = 0. (56)
13Ï�Ó Ö�Ë�ß!Ä&ÐtÈ�Ü î ;�; ï Ç î ; � ï w
Ç
Ô
Å&Ö!Ø ß
È
É�Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È
ʪá:Ê�Ï�Ã�Å�ÎNÏ�Ã�Ê�Ô
Ê�Õ
ÈWÅ>Ã�Õ
Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ
Å
u
u2{[(A1 − A3)
2(A3 − A2) + A2
12
]u2 − 2A12σ
2u + (A1 − A3)
2 + (A3 − A2)ν
2
∗
+ σ4 + ν2
∗
}2+
+{A12[(A1 − A3)
2 − 2(A1 − A3)]u
2 + 2(A1 − A3)σ
2u+
(57)
+A12ν
2
∗
}{[A3
12
+ 2(A1 − A3)(A3 − A2)A12]u
4 − 2[A2
12
+ (A1 − A3)(A3 − A2)]σ
2u3+
+A12[2(A1 − A3) + σ4 + ν2
∗
]u2 − 2(A1 − A3)σ
2u − A12ν
2
∗
} = 0.
þ>þ
ÿ¸ù �4ù��8÷�ô°ó��>ñ����8ù ��ù� |ñ�
�>ñ�ø����
ú í>Å>Ü¥Õ!Ä�ß
È
É
P6(u)
É�Õ
Å�Û�Å>ß Ö�Ê�ÕTÇ�Ï�Ã�Å+Ð�Ì:È
Î\Ñ3Ö�Ê�Ñ�Å�βß!Ä>Ï�Ã�È î ; þ ï @G�LÄ>Ó�Ó Ä>Ó�Ñ P6(u)
Ó�Å�Ò�ìªìªÈ
â
È
Ê�Õ�ÃÔ
Æ
È
u6
Æ!Ä>Ñ�Ê�Õ
[(A1 − A3)
2(A3 − A2) − A2
12
(A1 − A3 − 1)]2 > 0,ÄhÏ�Ñ�Å�í�Å¥Ú�Õ
æ�Îtß Ö�Ê�Õ
−A2
12
ν4
∗
< 0,Ã�ÅqÒ�Ã�ÅqÅ>Ü¥Õ!Ä�ß!Ä>Ê�Ã+Ç ß�Ã�ÅqØ Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È
Ê î ; þ ï È
É�Ê�Ê�Ã�Ç�Ô
ÅpÓ
Æ!Ä>Î
Õ
Ê�βÉ�Ê�Æ
Ê>Ç�Ú�Ñ�Ä1Ú�Ê�Î
Ï�Ã�Ñ�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ
æ�ä\Ó�Å�Æ
Õ�ÐT@å3Æ
È
u = ±1
É�Õ
Å�Û�Å�ß Ö�Ê�ÕNÔ
Æ
È
Õ
È
ÉVÄ>Ê�Ã�Ï�Ö�Ê�Ú!Ø ËÍÌhÈ
ÊpÜ¥Õ!Ä+ß
Ê�Õ
�Р)
P6(1) = (A3 − A2 + 1)2[(A1 − A3)
2 + ν2
∗
]2 + {2(A3 − A2 + 1)[A12 − σ2 + A12(A1 − A3)]+
+A2
12
(A12 − σ2)}(A12 − σ2)[ν2
∗
+ (A1 − A3)
2] + (A12 − σ2)2{(A12 − σ2)2−
−2A12(A1 − A3)(A12 − σ2) − 4(A1 − A3)
2(A3 − A2 + 1)}È
P6(−1) = (A3 − A2 + 1)2[(A1 − A3)
2 + ν2
∗
]2 + {−2(A3 − A2 + 1)[A12(A1 − A3 + 1)]+
+A2
12
(A12 − σ2)}(−A12 − σ2)[ν2
∗
+ (A1 − A3)
2] + (A12 + σ2)2{(A12 + σ2)2−
−2A12(A1 − A3)(A12 + σ2) − 4(A1 − A3)
2(A3 − A2 + 1)}.
�LÄ>Ï�Ï�ÉVÄ&Ã�Æ
È
Ñ�Ä&Ð�È ä Ó Ä>Ó Ó
Ñ�Ä�Ú�Æ!Ä&Ã�Õ
æ�ÊtÃ�Æ
Ê�ä�ß Ö�Ê¥Õ
æ�Å>Ã�Õ
Å�Ï�È�Ã�Ê�Ö³×�Õ
Å
(A1 − A3)
2 + ν2
∗
Ç|Ü+Ä>Ô
È�á:Ê�ÉÚ�È
Ï�Ó
Æ
È
É�È
Õ!Ä>Õ�Ã�æ Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È
Î
P6(1) = 0
È
P6(−1) = 0 )
[A2
12
+ 4(A3 − A2 + 1)](A12 − σ2)2[A12(A12 − σ2) + 2(A1 − A3)(A3 − A2 + 1)]2
È
[A2
12
+ 4(A3 − A2 + 1)](A12 + σ2)2[A12(A12 + σ2) + 2(A1 − A3)(A3 − A2 + 1)]2.
I�Ï�Ö�È
A2
12
+4(A3−A2+1) < 0
Ç�Ã�Å3Ô
Æ
È
u = ±1
É�Õ
Å�Û�Å�ß Ö�Ê�Õ
P6(u)
Ô
Æ
È
Õ
È
ÉVÄ>Ê�êÔ
Å&Ö�Å�Ý�È�Ã�Ê�Ö�×�Õ
æ�ÊÜ¥Õ!Ä+ß
Ê�Õ
È�ÐTÇ�ÈTÇ Ï�Ö�Ê�Ú�Å�Ñ�Ä&Ã�Ê�Ö�×�Õ
Å
Ç
ÑqÈ
Õ�Ã�Ê�Æ
Ñ�Ä�Ö�Ê î Ù�?�Ç�? ï Ï�Ø�Ì:Ê�Ï�Ã�Ñ>Ø�Ê�Ã�Ç
Ô
Å:Ó
Æ!Ä>Î
Õ
Ê�Î\É�Ê�Æ
Ê>Ç�Ú�Ñ�ÄqÓ�Å�Æ
Õ�Ð
u∗
1
, u∗
2
Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È�Ð î ; þ ï @ý�Ñ�Ê�Ú�Ê�ɶÅ�í�Å>Ü¥Õ!Ä+ß
Ê�Õ
È
Ê
tg(ε/2) = z
È#Ü+Ä>Ô
È�á:Ê�É�Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È
Ê î ; � ï
[(σ2 − A12 sin β) − (A1 − A3) cos β]z2 sin β + 2ν∗z cos β+
+[σ2 − A12 sin β + (A1 − A3) cos β] sin β = 0.
I�Û�ÅNÚ�È
Ï�Ó
Æ
È
É�È
Õ!Ä>Õ�Ã
D/4 = [(A1 − A3)
2u2 + ν2
∗
](1 − u2) − (A12u − σ2)2u2
Ô
Æ
È
u = 0Ô
Å&Ö�Å+Ý�È�Ã�Ê�Ö�Ê�ÕTÇ)Ô
Æ
È
u = ±1
Å>Ã�Æ
È
â!Ä&Ã�Ê�Ö³Ê�ÕTÇ4IJÓ�Å�Ò�ìªìªÈ
â
È
Ê�Õ�ÃtÔ
Æ
È
u4
Å>Ã�Æ
È
â!Ä&Ã�Ê�Ö�Ê�Õ)@4ÂVÖ�Ê�Ú�Å�Ñ�Ä�ÙÃ�Ê�Ö�×>Õ
Å
ÇTÏ�Ø�Ì:Ê�Ï�Ã�Ñ>Ø�Ê�Ã#È
Õ�Ã�Ê�Æ
Ñ�Ä�Ö
(ũ1, ũ2) ∈ (−1, 1)
Ç�Ñ�Ó Å>Ã�Å�Æ
Å�É
D/4 > 0
@LI�Ï�Ö�ÈNä�Å>Ã+бí�æ/Å¥Ú�È
ÕÈ�Ü1Ó Å�Æ
Õ
Ê�Î
u∗
1
, u∗
2
∈ (ũ1, ũ2)
Ç Ï�È
Ï�Ã�Ê�ÉVÄhØ Æ!Ä&Ñ�Õ
Ê�Õ
È
Î î ;>= ï Ç î ; � ï Ï�Å�Ñ�É�Ê�Ï�Ã�Õ!Ä�@!å3Æ
ȲÒ�Ã�Å�ÉÞØ Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È
Êî ; C�ï Å�Ô
Æ
Ê�Ú�Ê�Ö�È�Ã�Ø Û�Å&Ö α
@ý Û�Ö³Ä>Ñ�Õ
æ�ätÅ�Ï�Ð ä
A12 = 0
Ç
Ø Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È�Ð î ; C�ï Ç î ;�; ï Ç î ; � ï Ï�Å�Å>Ã�Ñ�Ê�Ã�Ï�Ã�Ñ>Ê¥Õ
Õ
Å�Ô
Æ
È
Õ
È
ÉVÄ>ËÍÃ�Ñ�È Ú
cos ε sin α =
a
l
(A3 − A2) sin β,
w2 + κu2 − 1 = 0, (58)
[(A1 − A3)
2u2 + ν2
∗
]w2 + 2(A1 − A3)σ
2u2w + σ4u2 + ν2
∗
(u2 − 1) = 0, (59)
þ A
�! ��ó#"5÷$��ó�óqö�÷$�>ñ%�>ñ'&(� �+÷�ôw÷
Û�Ú�Ê
κ = A2 − A3
@61Æ!Ä>Ñ�Õ
Ê�Õ
È�Ð î ;&A ï Ç î ; � ï È
É�Ê�ËÍÃ�Å�í>Ì:È
ÎtÓ Å>Æ
Ê�Õ
×
w =
√
1 − κu2 (60)
Ô
Æ
È#Ø�Ï�Ö�Å�Ñ�È
È
[(A1 − A3)
2(1 − κu2) + (1 − κ)ν2
∗
+ σ4]2 − 4(A1 − A3)
2σ4(1 − κu2) = 0,
Å>Ã�Ó�Ø+Ú³Ä
(A1 − A3)
2(1 − κu2) = (σ2 ±
√
κ − 1ν∗)
2. (61)å3Æ
È
A1 6= A3
È�Ü î�� D�ï Ç î�� ? ï Ñ�æ�Ã�Ê�Ó Ä>ËÍÃ�Ø�Ï�Ö�Å�Ñ�È�Ð
κu2 < 1, κ > 1, u2 =
1
κ
[
1 −
(σ2 ±
√
κ − 1ν∗
A1 − A3
)2
]
< 1.
1-Õ!Ä>Ó�Å�Õ
Ê�âTÇ!Ô
Æ
È
A12 = 0, A3 = A1
È�Ü î =�A ï ê î�� D�ï Ô
Å&Ö!Ø ß!Ä>Ê�É
Ω2 =
g2
a2ν2(A2 − A1 − 1)
, A2 − A1 > 1, sin2 β <
1
κ
, sin ε = −aκ
l
sin β cos β
√
1 − κ sin2 β
.
�|Ä>Ó
È
É Å�í�Æ!Ä&Ü¥Å�É�Ç�Ô
Å&Ö!Ø ß
Ê�Õ
æ Ø�Ï�Ö�Å�Ñ�È�ÐàÏ�Ø�Ì:Ê�Ï�Ã�Ñ�Å�Ñ�Ä>Õ
È�дÏ�Ã>Ä>â
È
Å�Õ!Ä>Æ
Õ
æ8äàÚ�Ñ�È�ÝhÊ�Õ
È
Î Ã�Ê�Ö³ÄÕ!ĤÔ
Å+Ú�Ñ�Ê�Ï�ʪÚ
Ö!ÐNÃ�Æ
Ê�äNÑ�Å>Ü¥É�Å+Ý�Õ
æ�ätÑ�Ä>Æ
È!Ä>Õ�Ã�Å�Ñ
@!7ªÖ!ÐtÓ�Ä&ݸÚ�Å�Û�ŤÈ�ÜqÕ
È ätØ Ó Ä&Ü+Ä>Õ
æ Ü+Ä>Ñ�È
Ï�È
É�Å�Ï�Ã�ÈØ Û�Ö�Å�Ñ
α, β, ε
Å>äÔ!Ä>Æ!Ä>É�Ê�Ã�Æ
Å�Ñ�Ï�È
Ï�Ã�Ê�É�æ3@
u��'MON$PRQ(NTSVUXWOY'ZG[BZJ\±~w}�}���������~w��������¡��+~w{������&�
��z�����~w�¥§8��~w�����¥¦4§8�+®Í����}�����£�x&���+�8��z��+�1���w�>y�z&y�{�}�x&����~w�%]^]
_3�w®¥y�z����¥y���������x&}�«�}����w�>y���`3u����^a��R`5r��){��>�cbedgf�f�h¢�#`ji4�&�^b�� u�u�u���+�'k%lVQ
m�n
oqp^m�rtsOZvuwZ�»|�����+�>y�x&z��)�8��y�x>y����p�
�w®�y�z��������Jx|z����+�(_3�w®¥y�z����¥yÍ�¥{����¥«��¥®ª�p}���~w}��&¦4��z�}Í��������x&�T®���w� �#`y_h� z&¬�y��¥�+y���u��^a^b��R`�µ&u�b�~����|{O}Toqm�n
N|~-Z@�5Z ��MON$PRQ(NTSVUXW�sOZ�Y�Z�»|�����w®�}�xª�q~w��y�¨���}�z&y���z�}��
��x&���+���wz���¦ë���w�>y5z&y5{�}�x&����~w��]^]|_3�w®�y�z����+y��������x&}�«�}����w�>y��#`3u����^a��R`5r��){��>�cbjdgf�f�h¢�#`ji4��u�u�uw� u��^�¥�µ&�|{O}Toqm�n
NV~-Z(�5Z �GMON$PRQ(NTSVUXW�sOZ�Y�Z�\t{��+�wx&�w�& �z��T®5~w��y�¨���}�z&y���z��T®�x&���+�8��z��+�+®����w�>yVz&y�{�}�x&����~w��]^]�� y��q�����
`3u��������R`5r��){��>�ca��R`ji4�(�Xa�� ��µ&�
������÷$����ó��e�>ñX� ù>ö�÷��#� ù��#�
� ö$�
���
� öV&�
>ó���� ù�ø�ñ¥ö�÷¢ø�ñ¥ö�ó���ó3ó3ø³÷��+ñX��ó���ó��V�B�7�v��
�ñ�ó���õ��R������÷$��� »|}��&�¥����z�}�u��+� ��µ&� ��
þ �
|