Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел
Рассматривается задача о гашении вынужденных колебаний звеньев манипулятора с помощью управляемого движения симметричных роторов, расположенных в шарнирах манипулятора. Показано, что для систем заданного класса непосредственная компенсация динамических реакций в шарнирах манипулятора, вызванных внеш...
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123755 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел / И.А. Болграбская, В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 189-193. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123755 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237552017-09-10T03:04:13Z Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел Болграбская, И.А. Щербак, В.Ф. Рассматривается задача о гашении вынужденных колебаний звеньев манипулятора с помощью управляемого движения симметричных роторов, расположенных в шарнирах манипулятора. Показано, что для систем заданного класса непосредственная компенсация динамических реакций в шарнирах манипулятора, вызванных внешним воздействием, невозможна. Для стабилизации положения равновесия тел основной конструкции предлагается алгоритм синтеза управляемого движения роторов двигателей, заданный в форме статической обратной связи. 2004 Article Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел / И.А. Болграбская, В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 189-193. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123755 62-50 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается задача о гашении вынужденных колебаний звеньев манипулятора с помощью управляемого движения симметричных роторов, расположенных в шарнирах манипулятора. Показано, что для систем заданного класса непосредственная компенсация динамических реакций в шарнирах манипулятора, вызванных внешним воздействием, невозможна. Для стабилизации положения равновесия тел основной конструкции предлагается алгоритм синтеза управляемого движения роторов двигателей, заданный в форме статической обратной связи. |
| format |
Article |
| author |
Болграбская, И.А. Щербак, В.Ф. |
| spellingShingle |
Болграбская, И.А. Щербак, В.Ф. Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел Механика твердого тела |
| author_facet |
Болграбская, И.А. Щербак, В.Ф. |
| author_sort |
Болграбская, И.А. |
| title |
Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел |
| title_short |
Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел |
| title_full |
Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел |
| title_fullStr |
Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел |
| title_full_unstemmed |
Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел |
| title_sort |
синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123755 |
| citation_txt |
Синтез стабилизирующего управления в задаче гашения вынужденных колебаний системы тел / И.А. Болграбская, В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 189-193. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT bolgrabskaâia sintezstabiliziruûŝegoupravleniâvzadačegašeniâvynuždennyhkolebanijsistemytel AT ŝerbakvf sintezstabiliziruûŝegoupravleniâvzadačegašeniâvynuždennyhkolebanijsistemytel |
| first_indexed |
2025-07-09T00:12:41Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:12:41Z |
| _version_ |
1837126090181574656 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 62-50
c©2004. È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Â.Ô. Ùåðáàê
ÑÈÍÒÅÇ ÑÒÀÁÈËÈÇÈÐÓÞÙÅÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß Â ÇÀÄÀ×Å
ÃÀØÅÍÈß ÂÛÍÓÆÄÅÍÍÛÕ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÑÈÑÒÅÌÛ ÒÅË
Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î ãàøåíèè âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé çâåíüåâ ìàíèïóëÿòîðà ñ ïîìîùüþ óïðàâ-
ëÿåìîãî äâèæåíèÿ ñèììåòðè÷íûõ ðîòîðîâ, ðàñïîëîæåííûõ â øàðíèðàõ ìàíèïóëÿòîðà. Ïîêàçàíî, ÷òî
äëÿ ñèñòåì çàäàííîãî êëàññà íåïîñðåäñòâåííàÿ êîìïåíñàöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðåàêöèé â øàðíèðàõ ìàíè-
ïóëÿòîðà, âûçâàííûõ âíåøíèì âîçäåéñòâèåì, íåâîçìîæíà. Äëÿ ñòàáèëèçàöèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
òåë îñíîâíîé êîíñòðóêöèè ïðåäëàãàåòñÿ àëãîðèòì ñèíòåçà óïðàâëÿåìîãî äâèæåíèÿ ðîòîðîâ äâèãàòåëåé,
çàäàííûé â ôîðìå ñòàòè÷åñêîé îáðàòíîé ñâÿçè.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ãàøåíèåì âûíóæ-
äåííûõ êîëåáàíèé äëÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñïåöèàëüíîãî âèäà: ñèñòåìà ñîñòîèò èç n
òâåðäûõ òåë, ñîåäèíåííûõ îäíîñòåïåííûìè âðàùàòåëüíûìè øàðíèðàìè, ê êîòîðûì,
äîïîëíèòåëüíî ê òåëàì îñíîâíîé êîíñòðóêöèè, ïðèêðåïëåíû ñèììåòðè÷íûå ðîòîðû. Â
ðàáîòàõ [1,2] ïðåäëîæåí ñïîñîá ãàøåíèÿ êîëåáàíèé äëÿ ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë,
âûçâàííûõ âíåøíåé âîçìóùàþùåé ñèëîé, â êîòîðîì äëÿ êîìïåíñàöèè âíåøíèõ âîçäåé-
ñòâèé èñïîëüçóåòñÿ ñâîéñòâî äèíàìè÷åñêîé "èçáûòî÷íîñòè". Ñîãëàñíî ýòîìó ñïîñîáó
ïðåäëàãàåòñÿ ââåñòè â êîíñòðóêöèþ äîïîëíèòåëüíûå òåëà (ãàñèòåëè êîëåáàíèé), êîòî-
ðûå ìîãóò ñîâåðøàòü óïðàâëÿåìîå äâèæåíèå. Ïðè ýòîì çàêîí óïðàâëåíèÿ âûáèðàåòñÿ
òàêèì, ÷òîáû äâèæåíèå îñíîâíîé ñèñòåìû òåë áûëî èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî âíåø-
íèõ âîçìóùåíèé.  ÷àñòíîñòè, ïîêàçàíî, ÷òî åñëè êàæäîå èç òåë ñèñòåìû ñíàáæåíî
óïðàâëÿåìûì ãàñèòåëåì, òî äëÿ ëþáîãî âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ñ îãðàíè÷åííîé àìïëè-
òóäîé, êîîðäèíàòû òî÷åê êðåïëåíèÿ øàðíèðîâ è çàêîíû èõ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ
ìîãóò áûòü íàéäåíû èç óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ äëÿ ÷àñòè ïåðåìåííûõ ðàñøèðåííîé ñè-
ñòåìû. Âûïîëíåíèå ýòèõ óñëîâèé îáåñïå÷èâàåò ñóùåñòâîâàíèå ðåæèìîâ äâèæåíèé äëÿ
êîòîðûõ òåëà îñíîâíîé ñèñòåìû ïîêîÿòñÿ, à êîëåáàíèÿ ñîâåðøàþò ëèøü äîïîëíèòåëü-
íûå òåëà.
Ìîäåëè ñèñòåì, â êîòîðûõ ñòðóêòóðíî ìîæíî âûäåëèòü n îñíîâíûõ è n âñïîìîãà-
òåëüíûõ òåë, õàðàêòåðíû äëÿ ìíîãèõ ìåõàíè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé.  ÷àñòíîñòè, ïðàêòè-
÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ëþáîãî ìåõàíèçìà, êèíåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü êîòîðîãî çàäàíà â âèäå
îòêðûòîé öåïè èç n òåë (ìàíèïóëÿòîðû, ïîäúåìíûå êðàíû, ñïóòíèêè ñ ðàçâîðà÷èâàå-
ìûìè íà îðáèòå àíòåííàìè, ïðèáîðíûìè øòàíãàìè è ïð.) ïðåäïîëàãàåò èñïîëüçîâàíèå
äâèãàòåëåé, îáåñïå÷èâàþùèõ ïåðåìåùåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ çâåíüåâ. Ó÷åò èíåðöèàëü-
íûõ õàðàêòåðèñòèê äâèãàòåëåé, ïîäàòëèâîñòü ïðè ïåðåäà÷å óñèëèé ê ýëåìåíòàì îñíîâ-
íîãî ìåõàíèçìà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî â ïîëíîé äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè ðàññìàòðèâàåìîé
ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû äâèãàòåëè äîëæíû áûòü ïðîìîäåëèðîâàíû êàê n îòäåëüíûõ òåë.
 äàííîé ðàáîòå èçó÷àåòñÿ çàäà÷à óïðàâëÿåìîãî ãàøåíèÿ êîëåáàíèé äëÿ ìîäåëè
ìàíèïóëÿòîðà, ïðåäñòàâëåííîé â âèäå îòêðûòîé êèíåìàòè÷åñêîé öåïè èç n òâåðäûõ
òåë, ñîåäèíåííûõ îäíîñòåïåííûìè âðàùàòåëüíûìè øàðíèðàìè. Ìàíèïóëÿòîð ñíàáæåí
ýëåêòðîäâèãàòåëÿìè, îáåñïå÷èâàþùèìè ïåðåìåùåíèå çâåíüåâ. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
ýëåêòðîäâèãàòåëè ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîãóò áûòü ïðîìîäåëèðîâàíû â
âèäå îñåñèììåòðè÷íûõ ðîòîðîâ, îñè âðàùåíèÿ êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ îñÿìè âðàùåíèÿ
189
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Â.Ô. Ùåðáàê
ñîîòâåòñòâóþùèõ øàðíèðîâ. Öåíòðû ìàññ ðîòîðîâ ðàñïîëîæåíû íà ñîâìåñòíûõ îñÿõ
âðàùåíèÿ òåë ñèñòåìû è ðîòîðîâ äâèãàòåëåé. Ïîäàòëèâîñòü â ìåõàíèçìàõ ïåðåäà÷è
óñèëèé ïðåäñòàâèì â âèäå ëèíåéíîé óïðóãîé ñâÿçè ìåæäó ðîòîðàìè äâèãàòåëåé è çâå-
íüÿìè ìàíèïóëÿòîðà. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïîëîæåíèå âñåé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì
îáîáùåííûõ êîîðäèíàò çâåíüåâ êèíåìàòè÷åñêîé öåïè q1 = (q11, q12, ..., q1n) è âåêòîðîì
q2 = (q21, q22, ..., q2n) ïîëîæåíèé ðîòîðîâ. Òàê êàê óïðàâëÿþùèé ìîìåíò âîçíèêàåò â
ýëåêòðîäâèãàòåëÿõ, òî ïåðåìåííûå q1 ñîîòâåòñòâóþò ïàññèâíûì çâåíüÿì ìàíèïóëÿòîðà,
à q2 � àêòèâíûì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî ïîëíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü îïèñûâàåòñÿ
n òåëàìè îñíîâíîé êîíñòðóêöèè è n âñïîìîãàòåëüíûìè óïðàâëÿåìûìè òåëàìè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ñõâàò ìàíèïóëÿòîðà äåéñòâóåò ïåðåìåííîå âíåøíåå âîçäåé-
ñòâèå Q(t). Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü âëèÿíèå ýòîãî âîçìóùåíèÿ íà äâèæåíèå çâåíüåâ
ìàíèïóëÿòîðà çà ñ÷åò äâèæåíèé âñïîìîãàòåëüíûõ òåë.  îòëè÷èå îò ìîäåëåé, ðàññìîò-
ðåííûõ â [1, 2], äëÿ ñèñòåì çàäàííîãî êëàññà íå âûïîëíÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î âîçìîæ-
íîñòè ïðîèçâîëüíîãî êðåïëåíèÿ öåíòðîâ ìàññ äîïîëíèòåëüíûõ òåë. Ïîýòîìó âîçíèêàåò
âîïðîñ î äèíàìè÷åñêîé êîìïåíñàöèè ðåàêöèé â øàðíèðàõ çâåíüåâ ìàíèïóëÿòîðà, âû-
çâàííûõ âîçäåéñòâèåì Q(t), ñ ïîìîùüþ óïðàâëÿåìîãî äâèæåíèÿ ðîòîðîâ äâèãàòåëåé.
2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Òàê êàê âñïîìîãàòåëüíûå òåëà â ðàññìàòðèâàåìîé ìî-
äåëè ÿâëÿþòñÿ îñåñèììåòðè÷íûìè òåëàìè âðàùåíèÿ, òî èíåðöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè
âñåé êîíñòðóêöèè, à òàêæå ìîìåíòû ñèë òÿæåñòè è âíåøíèõ âîçäåéñòâèé, äåéñòâóþùèå
â øàðíèðàõ ìàíèïóëÿòîðà, íå çàâèñÿò îò îáîáùåííûõ êîîðäèíàò q2. Ñ ó÷åòîì ýòîãî
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, çàïèñàííûå â ôîðìå Ëàãðàíæà, èìåþò ñëåäóþùóþ ñòðóêòóðó
çàâèñèìîñòåé êîýôôèöèåíòîâ îò ïåðåìåííûõ ñèñòåìû:
M1(q1)q̈1 +M2(q1)q̈2 + C(q1, q̇1)q̇1 + Γ(q1) +K(q1 − q2) = Q(t),
M2
T (q1)q̈1 +M3q̈2 + C(q1, q̇1)q̇1 + Γ(q1)K(q2 − q1) = τ (t),
(1)
ãäå Q(t) = (Q1(t), Q2(t), ..., Qn(t)) � âåêòîð ïðîåêöèé âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ íà îñè øàð-
íèðîâ, τ � âåêòîð óïðàâëÿþùèõ ìîìåíòîâ, ðàçâèâàåìûõ äâèãàòåëÿìè ìàíèïóëÿòîðà,
K = diag(k1, ..., kn) � äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà æåñòêîñòåé óïðóãèõ ñîåäèíåíèé â øàðíè-
ðàõ, ìàòðèöà M1(q1) õàðàêòåðèçóåò èíåðöèàëüíûå ïàðàìåòðû òåë îñíîâíîé êîíñòðóê-
öèè, à ìàòðèöà M2(q1) � èíåðöèàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó îñíîâíûìè è âñïîìî-
ãàòåëüíûìè òåëàìè ñèñòåìû, M3 � äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà îñåâûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè
ïðèñîåäèíåííûõ ðîòîðîâ, ìàòðèöà C îïèñûâàåò êîððèîëèñîâû ñèëû è ñèëû òðåíèÿ â
øàðíèðàõ, à ìàòðèöà Γ � âåêòîð ìîìåíòîâ ñèë òÿæåñòè. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äâèãàòåëü
i-ãî çâåíà çàêðåïëåí íà òåëå ñ íîìåðîì i− 1, ïîëó÷àåì, ÷òî ìàòðèöà M2(q1) èìååò âèä
M2 =
0 α12(q11) α13(q11, q12) . . . α1n(q11, . . . , q1n−1)
0 0 α23(q12) . . . α2n(q12, . . . , q1n−1)
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . αn−1n(q1n−1)
0 0 0 . . . 0
 ðàáîòàõ [1, 2] óïðàâëåíèå τ âûáèðàåòñÿ èç óñëîâèé, îáåñïå÷èâàþùèõ íóëåâóþ
äèíàìèêó ñèñòåìû (1), â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî q1(t) ÿâëÿåòñÿ âûõîäîì ñèñòåìû (1), à
τ � âõîäîì. Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåæèìà äâèæåíèÿ îñíîâíîé ñèñòåìû
òåë, èíâàðèàíòíîãî ê âíåøíèì âîçäåéñòâèÿì. Äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, çàïèñàííûõ
â ôîðìå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà, ïðåäëîæåííàÿ ñõåìà ãàøåíèÿ êîëåáàíèé
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäóþùèõ ýòàïîâ:
190
Ñèíòåç ñòàáèëèçèðóþùåãî óïðàâëåíèÿ
1) Ôèêñèðóåòñÿ çíà÷åíèå q1(t) ≡ q0
1 = const è çàïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ íóëåâîé
äèíàìèêè
M2(q
0
1)q̈2 + Γ(q0
1) +K(q0
1 − q2) = Q(t),
M3q̈2 + Γ(q0
1) +K(q2 − q0
1) = τ (t).
(2)
2) Èç ïåðâîé ãðóïïû óðàâíåíèé (2) îïðåäåëÿåòñÿ çàâèñèìîñòü q̈2 îò Q(t)
q̈2 = −M−1
2 (q0
1)[Γ(q0
1) +K(q0
1 − q2)−Q(t)]. (3)
3) Ïîäñòàíîâêà íàéäåííîãî âûðàæåíèÿ âî âòîðóþ ãðóïïó óðàâíåíèé (2), îïèñûâà-
þùèõ äâèæåíèå âñïîìîãàòåëüíûõ òåë, îïðåäåëÿåò èñêîìûé çàêîí óïðàâëåíèÿ â âèäå
íåëèíåéíîé àëãåáðàè÷åñêîé îáðàòíîé ñâÿçè
τ (t) = −M3M
−1
2 (q0
1)[Γ(q0
1) +K(q0
1 − q2)−Q(t)] + Γ(q0
1) +K(q2 − q0
1). (4)
Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî âîçìóùàþùåãî âîçäåéñòâèÿ Q(t) êîýô-
ôèöèåíòû ñèë òðåíèÿ â øàðíèðàõ ìàíèïóëÿòîðà ìîãóò áûòü âûáðàíû òàêèìè, ÷òî ïî-
ëó÷åííîå ìíîãîîáðàçèå ðåøåíèé q1(t) ≡ q0
1 ÿâëÿåòñÿ ïðèòÿãèâàþùèì äëÿ ñèñòåìû (1)
ñ óïðàâëåíèåì (4).
 íàøåì ñëó÷àå ìàòðèöà M2(q1) âûðîæäåíà è çàêîí óïðàâëåíèÿ (4) íå ìîæåò
áûòü ðåàëèçîâàí. Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîé îáðàòíîé
ñâÿçè, ñòàáèëèçèðóþùåé ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) â îêðåñòíîñòè èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðà-
çèÿ q1(t) ≡ q0
1 = const.
3. Ñâåäåíèå çàäà÷è óñïîêîåíèÿ êîëåáàíèé ê çàäà÷å îòñëåæèâàíèÿ. Ðàñ-
ñìîòðèì ïëîñêèé ìàíèïóëÿòîð ñ äâóìÿ çâåíüÿìè, êîòîðûå ïðèâîäÿòñÿ â äâèæåíèå ñ
ïîìîùüþ äâóõ äâèãàòåëåé, çàêðåïëåííûõ ñîîòâåòñòâåííî â îñíîâàíèè ìàíèïóëÿòîðà è
â øàðíèðå, ñîåäèíÿþùåì ïåðâîå è âòîðîå çâåíî. Äâèãàòåëè ìîäåëèðóþòñÿ êàê ñèì-
ìåòðè÷íûå òåëà âðàùåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ óïðàâëÿåìûìè çâåíüÿìè ïîñðåäñòâîì ëèíåé-
íûõ ïðóæèí. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âñåé êîíñòðóêöèè èìåþò âèä (1), ãäå âåëè÷èíû
q1 = (q11, q12), q2 = (q21, q22) îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå çâåíüåâ è ðîòîðîâ äâèãàòåëåé ñîîò-
âåòñòâåííî, ìàòðèöà èíåðöèè
M(q) =
(
M1(q1) M2
MT
2 M3
)
ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé. ÌàòðèöàM2, õàðàêòåðèçóþùàÿ
èíåðöèàëüíóþ âçàèìîñâÿçü ìåæäó çâåíüÿìè è äâèãàòåëÿìè, èìååò âèä
M2 =
(
0 m12
0 0.
)
Ïðîâåäåì ÷àñòè÷íóþ ëèíåàðèçàöèþ óðàâíåíèé (1), ââîäÿ íîâîå óïðàâëåíèå u ñ
ïîìîùüþ îáðàòíîé ñâÿçè
τ =−MT
2 M
−1
1 (q1)[C(q1, q̇1)q̇1 +K(q1 − q2) + Γ(q1)−Q(t)]+
+ C(q1, q̇1)q̇1 +K(q2 − q1) + Γ(q1) + [M3 −MT
2 M
−1
1 (q1)M2]u.
(5)
191
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Â.Ô. Ùåðáàê
Òîãäà ñèñòåìà (1) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå
q̈1 = −M−1
1 (q1)[C(q1, q̇1)q̇1 + Γ(q1) +K(q1 − q2)−Q(t)]−M−1
1 M2u,
q̈2 = u.
(6)
Ïåðåïèøåì ñèñòåìó (6)
q̈1 = J(q1, q̇1) +M−1
1 (Kq2 −M2u),
q̈2 = u,
(7)
ãäå J(q1, q̇1) = (J1, J2)
T = −M−1
1 (q1)(C(q1, q̇1)q̇1 + Γ(q1) + Kq1 − Q(t)). Îáîçíà÷èì
ýëåìåíòû ìàòðèöû M−1
1 (q1) ÷åðåç αi(q1)
M−1
1 =
(
α1(q1) α2(q1)
α2(q1) α3(q1).
)
Ïóñòü â îòñóòñòâèå âíåøíèõ âîçìóùåíèé ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâå-
ñèÿ q0
1 = (q0
11, q
0
12),q
0
2 = (q0
21, q
0
22). Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñèíòåçà óïðàâëåíèé u1, u2 òàêèõ,
÷òîáû ïðè ïîÿâëåíèè âîçìóùåíèé Q(t) (Q(0) = 0) ðàâíîâåñèå îòíîñèòåëüíî ÷àñòè ïå-
ðåìåííûõ q0
1 = (q0
11, q
0
12) ñîõðàíÿëîñü. Íà ïåðâîì øàãå âûáåðåì óïðàâëåíèå u2 òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû
q̈11 = q12 − q0
12. (8)
Äëÿ ýòîãî èç ðàâåíñòâà J1(q1, q̇1) + (α1(q1), α2(q1))(Kq2 −M2u) = q12 − q0
12 îïðåäåëÿåì
u2(q, q̇) =
1
α1(q1)m12
[J1(q1, q̇1) + (α1(q1), α2(q1))Kq2 − q12 + q0
12]. (9)
 ðåçóëüòàòå ñèñòåìà (7) ïðåîáðàçóåòñÿ ê òðåóãîëüíîìó âèäó
q̈11 = q12 − q0
12,
q̈12 = f1(q1, q̇1) + h1(q1)q22,
q̈22 = f2(q1, q̇1, q22) + h2q21,
q̈21 = u1,
(10)
ãäå
f1 = J2(q1, q̇1) +
α2(q1)
α1(q1)
[q12 − q0
12 − J1(q1, h1 = [α3(q1)−
α2
2(q1)
α1(q1)
]k2, q̇1)],
f2 =
1
α1(q1)m12
[J1(q1, q̇1)− q12 + q0
12 + α2(q1)k2q22], h2 =
k1
m12
.
(11)
Ïîëàãàÿ â (10) q1(t) ≡ q0
1 çàïèøåì ñîîòíîøåíèÿ, õàðàêòåðèçóþùèå íóëåâóþ äè-
íàìèêó ñèñòåìû. Äëÿ óäîáñòâà çàïèñè ââåäåì âåêòîð x ∈ R4, êîìïîíåíòû êîòîðîãî
ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû x1 = q22, x2 = q̇22, x3 = q21, x4 = q̇21. Èç (10) ïîëó÷àåì, ÷òî ýòè
ïåðåìåííûå äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ëèíåéíîé ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ
íóëåâûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
ẋ1 = x2, ẋ2 = ψ(t) + bx1 + h2x3, dotx3 = x4, ẋ4 = v (12)
192
Ñèíòåç ñòàáèëèçèðóþùåãî óïðàâëåíèÿ
è òîæäåñòâó x1 ≡ ϕ(t). Â ôîðìóëå (12) b = ak2α2(q
0
1), ϕ(t) = f1(t,q
0
1, 0)h−1
1 (q0
1),
ψ(t) = a[J1(t,q
0
1, 0)− q0
12], a = [m12α1(q
0
1)]
−1, v = u1.
Äàëåå çàäà÷ó ñèíòåçà óïðàâëåíèé, îáåñïå÷èâàþùèõ íóëåâóþ äèíàìèêó äëÿ îñíîâ-
íîé ñèñòåìû òåë ïðè äåéñòâèèQ(t), áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ óïðàâ-
ëåíèÿ v, ïðè êîòîðîì çíà÷åíèÿ âûõîäà ñèñòåìû (12) � ïåðåìåííîé x1(t) � ñõîäÿòñÿ ê
çíà÷åíèÿì çàäàííîé ôóíêöèè âðåìåíè limx1(t) = ϕ(t).
Ïðîâåäåì ðÿä óïðîùàþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Â ñèëó ëèíåéíîñòè ñèñòåìû (12) åå
ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ ðåøåíèé ñèñòåìû xv è xψ, ñîîòâåòñòâó-
þùèõ ñëó÷àÿì, êîãäà 1) ψ ≡ 0 è 2)v ≡ 0 : x = xv+xψ. Ïîñêîëüêó ðåøåíèå xψ íå çàâèñèò
îò óïðàâëåíèÿ, òî äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïåðâûé ñëó÷àé, çàìåíèâ ôóíêöèþ
âðåìåíè, êîòîðóþ äîëæåí îòñëåæèâàòü âûõîä ñèñòåìû, íà ôóíêöèþ ϕ(t)−xψ1 (t). Êðîìå
òîãî, ñäåëàåì íåâûðîæäåííóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ â ñèñòåìå (12), ïðèâîäÿùóþ åå ê êà-
íîíè÷åñêîìó òðåóãîëüíîìó âèäó. Ñîõðàíÿÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåìû è ïðîãðàììû
äâèæåíèÿ âûõîäà ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó îòñëåæèâàíèÿ:
Íàéòè óïðàâëåíèå v òàêîå, ÷òî
ẋ1 = x2, ẋ2 = x3, ẋ3 = x4, ẋ4 = v, (13)
è limx1(t) = ϕ(t).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äîïîëíèòåëüíî ê äàííûì î çíà÷åíèÿõ ñèë Qi(t), ïîëó÷àåìûõ ñ
ïîìîùüþ ñèëîâûõ äàò÷èêîâ â øàðíèðàõ ìàíèïóëÿòîðà, èçâåñòíû èëè ìîãóò áûòü îöåíå-
íû ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè çíà÷åíèÿ èõ ïðîèçâîäíûõ Q(j)
i (t), i = 1, 2; j = 1, 4.
Òîãäà ïî ýòèì äàííûì ïîñëå ïðîâåäåíèÿ îïèñàííûõ âûøå ïðåîáðàçîâàíèé ìîãóò áûòü
íàéäåíû çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ψ(t), ϕ(i)(t), i = 0, 4.  ñîîòâåòñòâèè ñî ñòàíäàðòíîé òåõíè-
êîé òåîðèè àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ, óïðàâëåíèå, ãàðàíòèðóþùåå ýêñïîíåíöè-
àëüíîå ñòðåìëåíèå âûõîäà ñèñòåìû (13) ê ôóíêöèè ϕ(t), èìååò âèä
v = ϕ(4) +
∑
fiei, (14)
ãäå ei = xi − ϕ(i−1), i = 1, 4 è êîýôôèöèåíòû fi òàêîâû, ÷òî âñå êîðíè ïîëèíîìà λ4+
+f1λ
3 + f2λ
2 + f3λ+ f4 èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè.
Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíîé ïðîáëåìîé ðåàëèçàöèè ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà ãàøå-
íèÿ êîëåáàíèé äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà ÷èñëåííîãî
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè Q(t), çíà÷åíèÿ êîòîðîé èçâåñòíû ïî ðåçóëüòàòàì èçìåðå-
íèé. Èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëåííàÿ îöåíêà ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè îò èçìåðÿåìîãî ñèãíàëà
ñîïðÿæåíà ñ áîëüøèìè âû÷èñëèòåëüíûìè ïîãðåøíîñòÿìè. Îäíèì èç âîçìîæíûõ ñïî-
ñîáîâ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå âîçìóùåíèÿ â âèäå êîíå÷íîé ñóì-
ìû ãàðìîíèê, ÷àñòîòû è àìïëèòóäû êîòîðûõ äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû ïî èìåþùåéñÿ
èíôîðìàöèè. Âîïðîñàì ïîñòðîåíèÿ àäàïòèâíûõ ìåòîäîâ ãàøåíèÿ êîëåáàíèé áóäóò ïî-
ñâÿùåíû ñëåäóþùèå ïóáëèêàöèè.
1. Êîâàëåâ À. Ì., Áîëãðàáñêàÿ È.À., ×åáàíîâ Ä.À., Ùåðáàê Â. Ô. Ãàøåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé
â ñèñòåìå ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë // Ïðèêë. ìåõàíèêà. - 2003. � � 3. � C. 47-59.
2. Bolgrabskaya I.A., Shcherbak V.F Damping of manipulator forced oscillations as control problem for
underactuated multibody systems // Synergies between information processing and automotion: Proc.
of 49 intern. kolloq. (27.-30.09.2004). � Ilmenau: Shaker Verlag Aachen, 2004. � V.1. � P. 424-429.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
shvf@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 12.09.04
193
|