Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем

Проводится выявление и аналитическое обоснование общих русловий идентифицируемости дискретных стационарных систем с простыми модами на основе анализа общего выражения отклика рассматриваемого класса систем с жордановой формой матрицы состояния. Доказывается, что наибольшую информативность по отношен...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Губарев, В.Ф., Жуков, А.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2009
Теми:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12393
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем / В.Ф. Губарев, А.О. Жуков // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 1. — С. 100-115. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-12393
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-123932013-02-13T02:45:13Z Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем Губарев, В.Ф. Жуков, А.О. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Проводится выявление и аналитическое обоснование общих русловий идентифицируемости дискретных стационарных систем с простыми модами на основе анализа общего выражения отклика рассматриваемого класса систем с жордановой формой матрицы состояния. Доказывается, что наибольшую информативность по отношению к возбуждаемым модам имеет прямоугольный импульс либо периодическое возбуждение в зависимости от добротности колебательного контура. Проводиться виявлення та аналітичне обґрунтування загальних умов ідентифікованості дискретних стаціонарних систем з простими модами на основі аналізу загального виразу відгуку даного класу систем із жордановою формою матриці стану. Доводиться, що найбільшу інформативність по відношенню до збуджуваних мод має прямокутний імпульс або періодичне збудження залежно від добротності коливального контуру. The article is devoted to revelation and analytical validation of general condition for identification of discrete stationary systems with simple modes using analysis of the response common expression for the systems with the state matrix in the Jourdan form. It has been established that a rectangular impulse or periodic excitation are the most informative signals in relation to the excited modes depending on the oscillation circuit quality. 2009 Article Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем / В.Ф. Губарев, А.О. Жуков // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 1. — С. 100-115. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12393 681.513 ru Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Губарев, В.Ф. Жуков, А.О. Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем
description	Проводится выявление и аналитическое обоснование общих русловий идентифицируемости дискретных стационарных систем с простыми модами на основе анализа общего выражения отклика рассматриваемого класса систем с жордановой формой матрицы состояния. Доказывается, что наибольшую информативность по отношению к возбуждаемым модам имеет прямоугольный импульс либо периодическое возбуждение в зависимости от добротности колебательного контура.
format	Article
author	Губарев, В.Ф. Жуков, А.О.
author_facet	Губарев, В.Ф. Жуков, А.О.
author_sort	Губарев, В.Ф.
title	Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем
title_short	Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем
title_full	Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем
title_fullStr	Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем
title_full_unstemmed	Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем
title_sort	исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12393
citation_txt	Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем / В.Ф. Губарев, А.О. Жуков // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2009. — № 1. — С. 100-115. — Бібліогр.: 7 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gubarevvf issledovanieuslovijidentificiruemostipriiterativnojidentifikaciidiskretnyhstacionarnyhsistem AT žukovao issledovanieuslovijidentificiruemostipriiterativnojidentifikaciidiskretnyhstacionarnyhsistem
first_indexed	2025-07-02T14:31:28Z
last_indexed	2025-07-02T14:31:28Z
_version_	1836545935081996288
fulltext	© В.Ф. Губарев, А.О. Жуков, 2009 100 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 1 УДК 681.513 ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ ПРИ ИТЕРАТИВНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ В.Ф. ГУБАРЕВ, А.О. ЖУКОВ Проводится выявление и аналитическое обоснование общих условий идентифицируемости дискретных стационарных систем с простыми мо- дами на основе анализа общего выражения отклика рассматриваемого класса систем с жордановой формой матрицы состояния. Доказывается, что наи- большую информативность по отношению к возбуждаемым модам имеет пря- моугольный импульс либо периодическое возбуждение в зависимости от доб- ротности колебательного контура. ВВЕДЕНИЕ В настоящее время в теории идентификации многомерных динамических систем наиболее актуальными и малоисследованными являются задачи сис- темной идентификации в условиях ограниченной неопределенности исход- ных данных [3]. Для решения такого класса задач наиболее целесообразно применять итеративный подход, разработанный в [1, 2] для систем c непре- рывным временем. В условиях отсутствия дополнительной априорной ин- формации о каких-либо вероятностных характеристиках шума восстановить полную модель рассматриваемой системы в принципе невозможно. Порядок же предельной по сложности аппроксимирующей модели определяется в первую очередь уровнем возмущений и структурой входных сигналов, ис- пользуемых для возбуждения системы [4, 6]. В случае применения итерати- вного метода принципиальной является проблема обнаружения условий, при которых могут быть восстановлены те или иные моды системы, а также их совокупности. Цель данной статьи — обоснование общих условий иден- тифицируемости устойчивых дискретных стационарных систем с простыми модами. ОБЩИЙ ВИД ОТКЛИКА МНОГОМЕРНОЙ ДИСКРЕТНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ПРОСТЫМИ МОДАМИ Для обеспечения наиболее удобного и простого вывода общих условий идентифицируемости будем работать с моделью, являющейся дискретным аналогом исходной непрерывной модели линейной стационарной системы в пространстве состояний ⎩ ⎨ ⎧ ++= ++= . , η ξ DuCxy BuAxx (1) Дифференциальное уравнение состояния может быть представлено в интегральном виде с помощью формулы Коши Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации … Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 1 101 ( ) ( ) ( ) ττξττ ττ dedBuexetx t At t AttA ∫∫ −− ++= 00 0 )()( . Следовательно, отклик системы ( ) ( ) )()()( 0 0 twtDudBueCxeCty t AttA +++= ∫ − τττ , где результирующий шум, приведенный к выходу системы, имеет вид ( ) ηττξτ += ∫ − dCetw t At 0 )()( . На основе выражения )(tx осуществим временную дискретизацию ис- ходной непрерывной во времени модели (1) при произвольном входном управляющем воздействии. Для произвольного периода дискретизации T имеем ( ) ( ) ( ) ττξττ ττ dedBuexekTxx kT AkT kT AkTkTA k ∫∫ −− ++== 00 0 )()( , ( ) ( ) =++= ∫∫ + −+ + −++ + Tk ATk Tk ATkTAk k dedBuexex )1( 0 ))1(( )1( 0 ))1(( 0 )1( 1 ττξττ ττ ( ) ( ) + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= ∫∫ −− ττξττ ττ dedBuexee kT AkT kT AkTkTATA 00 0 )()( ( ) ( ) =++ ∫∫ + −+ + −+ Tk kT ATk Tk kT ATk dedBue )1( ))1(( )1( ))1(( ττξττ ττ ( ) ( )∫∫ −++−++= T A T A k TA dTkedTkBuexe 00 )1()1( ττξττ ττ . При достаточно малом значении величины шага квантования T управ- ляющее воздействие )(tu можно аппроксимировать кусочно-постоянным сигналом, т.е. ( ) kutu ≈ , ( )TktkT 1+<≤ , ( Ν∈k ). Следовательно, имеет место приближенная формула ( ) k T A T A uBdedTkBue ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≈−+ ∫∫ 00 )1( τττ ττ . Поскольку здесь рассматриваются лишь системы с ненулевыми собст- венными значениями, то матрица A 1− всегда существует и имеет место формула ( )BIeABeABde TATA T A −== −−∫ 1 0 1 0 \|ττ τ . В.Ф. Губарев, А.О. Жуков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 1 102 Таким образом, дискретным аналогом исходной непрерывной модели (1) является модель ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++= ++=+ , ,1 kkkk kkkk uDCxy uBxAx η ξ (2) где ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = )( )( )2( )1( n k i k k k k x x x x x , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = )( )( )2( )1( m k p k k k k u u u u u , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = )( )( )2( )1( l k q k k k k y y y y y , ( )⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −≈ = − , , 1 BIeAB eA TA TA (3) ( )∫ −+= T A k dTke 0 )1( ττξξ τ . При возбуждении системы импульсом, кусочно-постоянным на интер- валах дискретизации, полученная приближенная формула для вычисления матрицы B становится аналитически точной и справедливо выражение ∑∑ = − − − = − ++= k s sk s sk k s sk k AuBAxAx 1 1 1 1 0 ξ . Следовательно, kk k s sk sk k wuDuBACxACy +++= ∑ = − − 1 1 0 . Причем k k s sk s k ACw ηξ += ∑ = − − 1 1 . При этом неопределенность предполагается ограниченной по амплиту- де, т. е. \|\| wwk ≤ . Далее матрицу состояния A будем считать представленной в канони- ческой форме Жордана, ибо в этом случае обеспечиваются возможности: • легко вычислить соответствующие экспоненциалы матрицы состоя- ния системы, а также наиболее простыми соотношениями выразить коэф- фициенты разложения отклика через элементы матриц B и C ; • реализовать итеративный метод последовательного восстановления каждой моды, независимо от других мод исследуемой системы. Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации … Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 1 103 Используя полученный дискретный аналог непрерывной модели, най- дем разложение отклика системы с простыми модами по собственным функциям оператора, характеризующего идентифицируемую систему. Для системы с n простыми действительными собственными числами, очевидно, имеют место следующие формулы для модели с непрерывным временем: ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n A λ λ λ … … … 00 00 00 2 1 , ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nmnn m m bbb bbb bbb B 21 22221 11211 , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nlll n n ccc ccc ccc C 21 22221 11211 , ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = lmll m m ddd ddd ddd D 21 22221 11211 . Из формул (3) следует, что в дискретном времени ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nT T T e e e A λ λ λ … … … 00 00 00 2 1 , т.е. iT i e λλ = , ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− −−− −−− = n T nm n T n n T n T m TT T m TT nnn ebebeb ebebeb ebebeb B λλλ λλλ λλλ λλλ λλλ λλλ 111 111 111 21 2 2 2 22 2 21 1 1 1 12 1 11 222 111 , т.е. i T ijij iebb λ λ 1− = , откуда ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = − − = = − − = = − − k s m p p sknp s n nk n k s m p p skp sk k s m p p skp sk k ubx ubx ubx x 1 1 )(1)( 0 1 1 )( 2 1 2 )2( 02 1 1 )( 1 1 1 )1( 01 λλ λλ λλ , В.Ф. Губарев, А.О. Жуков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 1 104 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ++ ++ = ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑ ∑ ∑∑∑ ∑ = = = = = − − = = = = = − − = = = = = − − n i n i k s m p m p p klp p sk s iipli ik ili n i n i k s m p m p p kp p sk s iipi ik ii n i n i k s m p m p p kp p sk s iipi ik ii k udubcxc udubcxc udubcxc y 1 1 1 1 1 )()(1)( 0 1 1 1 1 1 )( 2 )(1 2 )( 02 1 1 1 1 1 )( 1 )(1 1 )( 01 λλ λλ λλ . С целью упрощения дальнейшего изложения положим 00 =x и 0=D . Допустим, что возбуждение идентифицируемой системы осуществляется лишь по ее p -му входу, тогда как остальные входы тождественно равны нулю. В этом случае приведенные выше выражения вектора состояния сис- темы и ее отклика примут следующий вид: ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = − − = − − = − − = − − = − − = − − k s p sk Ts n T np k s p sk Ts T p k s p sk Ts T p k s p sk s nnp k s p sk s p k s p sk s p k ueeb ueeb ueeb ub ub ub x n n 1 )()1( 1 )()1( 2 2 1 )()1( 1 1 1 )(1 1 )(1 22 1 )(1 11 1 1 1 2 2 1 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = − − = = − − = = − − = = − − = = − − = = − − n i k s p sk Ts i T pli n i k s p sk Ts i T ipi n i k s p sk Ts i T ipi n i k s p sk s iipli n i k s p sk s iipi n i k s p sk s iipi k ueebc ueebc ueebc ubc ubc ubc y i i i i i i 1 1 )()1( 1 1 1 )()1( 2 1 1 )()1( 1 1 1 )(1 1 1 )(1 2 1 1 )(1 1 1 1 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ . Итак, при возбуждении лишь p -го входа идентифицируемой системы и нулевых значениях остальных входов, на каждом из ее q -х выходов будем наблюдать некоторый сигнал, детерминированная часть которого определя- ется выражением )( 1 1 )1()( 1 p sk n i k s Ts i T ipqi q k ueebcy i i − = = −∑ ∑− = λ λ λ , ),1( lq = . (4) Как видно из полученной формулы, при возбуждении лишь p -го входа системы в структуру q -го выхода входят элементы q -й вектор-строки )( 21:, qnqqq cccc = матрицы C и p -го вектор-столбца ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = np p p p b b b b 2 1 : матрицы B. Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации … Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 1 105 Для системы с n парами простых комплексно-сопряженных собствен- ных чисел ),(,),,( * 11 nn λλλλ имеем ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = * * 1 1 :, np np p p p b b b b b , )( ** 11:, qnqnqqq CcCcc = . Введем следующие обозначения : i ipqii iebcz λ λτ 1− = , ni ,1=∀ , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = )2( )1( Im Re ii ii zz zz , ⎩ ⎨ ⎧ = = ii ii βλ αλ Im Re , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = )2( )1( Im Re ipip ipip bb bb , ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = )2( )1( Im Re qiqi qiqi cc cc . Исходя из формулы (4), =+= ∑∑∑∑ = − − == − − = k s p sk Ts n i i k s p sk Ts n i i q k uezuezy ii 1 )()1( 1 * 1 )()1( 1 )( λλ == − − = = ∑∑ )()1( 1 1 Re2 p sk Ts i n i k s uez iλ ( ) )( 1 )2()1( 1 )1( ))1sin(())1cos((2 p sk n i iiii k s Ts uTszTsze i − = = −∑∑ −−−= ββα , где ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ −+ + == −− + == .)cossin(1Im ,)sincos(1Re )2()2()1( 22 )2( )1()2()1( 22 )1( iiiii T ii ii iiiii T ii ii TTezz TTezz i i γβγβγ βα γβγβγ βα α α При этом ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −+−== −+−== .)()(Im ,)()(Re )2()2()1()1()2()1()1()2()2( )2()1()1()2()2()2()1()1()1( ipqiipqiiipqiipqiiipqiii ipqiipqiiipqiipqiiipqiii bcbcbcbcbc bcbcbcbcbc βαλγ βαλγ ipqiiii bcλγγ =+ )()( )2()1( . Введя для каждой пары комплексно-сопряженных мод ),( ii λλ вспомо- гательный параметр iϕ , удовлетворяющий соотношениям ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = , )()( sin , )()( cos 2)2(2)1( )2( 2)2(2)1( )1( ii i i ii i i γγ γ ϕ γγ γ ϕ В.Ф. Губарев, А.О. Жуков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 1 106 получаем ( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −+= −+= .sin)(sin ,cos)(cos )2( )1( iii T i ipqi i iii T i ipqi i Te bc z Te bc z i i ϕβϕ λ ϕβϕ λ α α Исходя из приведенных выше формул, окончательно запишем следую- щее выражение отклика системы с простыми комплексно-сопряженными модами: ∑ = ×= n i i ipqiq k bc uy 1 )( 2 λ ( ) )( 1 )1( )1((cos)(cos p sk k s ii Ts ii sT uTsesTe ii − = −∑ −+−+× βϕβϕ αα , (5) где u — ограничение на максимально допустимую абсолютную величину управляющего воздействия )( uu p k ≤ , которое часто возникает в практиче- ских задачах и обусловлено имеющимися в распоряжении экспериментатора ограниченными ресурсными возможностями по управлению, а также потен- циальной возможностью возникновения нелинейных эффектов в системе вследствие нарушения допустимого порога по управлению, что приводит к невозможности описания динамики системы линейной аппроксимирующей моделью ]1,1[ )( )( −∈= u u u p kp k . Заметим, что формула (4) отклика системы с простыми действитель- ными модами при 0=iβ , 1cos ±=iϕ и отсутствии числового коэффициен- та 2 может рассматриваться в качестве частного случая формулы (5). УСЛОВИЯ ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТИ ОТДЕЛЬНО РАССМАТРИВАЕМОЙ ПАРЫ КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫХ МОД Исследуем необходимые условия идентифицируемости i -й пары комплекс- но-сопряженных мод. ( )∑ = − − −+−+= k s p skii Ts ii sT i iiq ki uTsesTe cb uy ii 1 )()1()( , )1((cos)(cos2 βϕβϕ λ αα . При наличии ограниченной по абсолютной величине неопределенности и отсутствии дополнительной априорной информации о каких-либо ее веро- ятностных характеристиках полезными для идентификации являются, оче- видно, лишь те участки суммарного отклика системы, в которых детерми- нированная часть сигнала по своей абсолютной величине существенно превосходит максимально допустимую величину неопределенности w . По- Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации … Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 1 107 этому слишком малая величина коэффициента i ipqi bc ug λ = , при которой отклик по своей абсолютной величине становится сравнимым с величиной шума w , приведет к физической невозможности восстановления i -й моды на q -м выходе. Таким образом, необходимыми условиями идентифицируемости моды являются ее управляемость )0( ≠ipb и наблюдаемость )0( ≠qic . Заметим, что мода, ненаблюдаемая на одном выходе, может оказаться наблюдаемой на другом. Для системы с простыми действительными модами необходимые усло- вия идентифицируемости аналогичны рассмотренному выше случаю ком- плексно-сопряженных мод. Кроме того, идентифицируемость моды потенциально может быть улучшена за счет выбора информативного по отношению к ней управляю- щего воздействия, при котором отклик данной моды в суммарном отклике рассматриваемой системы существенно превысит по абсолютной величине максимально допустимый уровень неопределенности w . В сущности, задача выбора информативного возбуждающего воздейст- вия при ограничениях 1)( ≤p ku является задачей линейного программиро- вания. Следовательно, максимум )(q iky может достигаться лишь на множе- стве угловых точек допустимого гиперкуба, когда выполняются условия ,1 uuks s ==∀ . Неравенство треугольника для выражения y ki , показывает, что наибо- лее благоприятным для максимизации отклика по абсолютной величине яв- ляется лишь тот случай, когда последовательность косинусов, а значит, и управлений, являются знакочередующимися. Поскольку аргументы косину- сов соседних слагаемых отличаются друг от друга на величину iTβ , для обеспечения чередования знаков косинусов период дискретизации T целе- сообразно выбирать из условия πβ =iT , т. е. i T β π = . При этом в случае использования периодического знакочередующегося возбуждения достигается следующее абсолютное значение отклика: 1exp 1exp 1expcos2 ** ,1 −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ == i i i i i i i i ii ki k cb uyY β α π β α π β α πϕ λ . При использовании же прямоугольного импульса достигается меньшее абсолютное значение отклика В.Ф. Губарев, А.О. Жуков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 1 108 1expcos2 * 2 −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = i i i i ii k cb uY β α πϕ λ , 12 YY < . Учитывая отрицательность величины iα очевидно, что при плохой добротности колебаний, когда 1>> β α , получаем 21 YY ≈ . Следовательно, применение периодического знакочередующегося возбуждения не дает су- щественного выигрыша при низкой добротности колебаний. В случае же действительной моды, когда 0=iβ и 1cos =iϕ , выбор ве- личины T не влияет на знаки слагаемых отклика, и, следовательно, в случае чисто экспоненциальных систем наиболее информативным является прямо- угольный импульс максимально допустимой в условиях идентификацион- ного эксперимента амплитуды u и длительности k . ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−= = − − ).,,,(),,,( ),,,,(),,,( *** 1 * 1 * 0 **** 1 * 1 * 0 uuuuuu uuuuuu k k Достигаемое при этом максимальное значение модуля отклика опреде- ляется, очевидно, формулой i ii k kT i ii ki cb ue cb uy i λλ λ *** , 1 ⎯⎯⎯ →⎯−= +∞→ . Отметим, что хотя в случае высокой добротности колебаний наиболее информативным является периодическое возбуждение, на практике, тем не менее, использование его невозможно, ибо оно предполагает знание неиз- вестного априори параметра iβ . Таким образом, в любых случаях иденти- фикационный эксперимент целесообразно начинать с применения прямо- угольного импульса максимально возможной амплитуды и длительности. Далее, по мере уточнения оценок неизвестных параметров может приме- няться периодическое знакочередующееся возбуждение. Перейдем к исследованию проблемы идентифицируемости совокупно- сти мод. Необходимость ее исследования обусловлена тем, что, даже если некоторые отдельно рассматриваемые моды исследуемой системы и удовле- творяют установленным выше условиям идентифицируемости, в общем от- клике системы за счет его аддитивной структуры, моды с близкими собст- венными числами могут стать трудно различимыми и рассматриваться как одна мода. В самом деле, сумма двух пар комплексно-сопряженных мод с близки- ми собственными числами представима в следующем виде: +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ∑∑ = − − = − − k s p sk Ts k s p sk Tsq k uezuezy ii 1 )()1(* 1 1 )()1( 1 λλ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ∑∑ = − ∆+− = − ∆+− k s p sk Ts k s p sk Ts uezuez iiii 1 )()()1( 2 1 )()()1( 2 λλλλ Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации … Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 1 109 +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++= ∑∑ = − − = − − k s p sk Ts k s p sk Ts uezzuezz ii 1 )()1( 2 * 1 1 )()1( 21 * )()( λλ )()1( 2 1 )1( !2 11)(Re)1(2 p ski Ts i k s uTsezTs i − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +∆−+∆−+ ∑ λλ λ . Как видно из приведенного выражения, отклик двух пар комплексно- сопряженных мод представим в виде суммы двух сигналов. Первый сигнал соответствует паре мод ),( * ii λλ , а второй — приращениям собственных чи- сел и при малом значении величины iλ∆ становится не различимым на фо- не шума. ОПИСАНИЕ МЕТОДА ИТЕРАТИВНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ В [1, 2] разработаны и обоснованы основные процедуры метода итератив- ной идентификации многомерных стационарных линейных систем с непре- рывным временем. Основная идея предложенного метода состоит в восста- новлении аппроксимирующей модели через последовательность субмоделей, составляющих отдельные части искомой модели. Метод итера- тивной идентификации предполагает восстановление матрицы A в блочно- диагональной жордановой форме. Если возбуждающие воздействия пода- ются отдельно на каждый r -й вход при нулевых значениях остальных, то отклик системы на m -м выходе можно представить в виде уравнения (∑∑∫ = = − +− − − = P p j t p r mpj j m n p tf j tty 1 1 0 )1( 1 )( )(cos )!1( )()( τβτγ ) +−+ − τττβ τα duetf r t p r mpj p )()(sin )()2( )()()()( )!1( )( 0 1 1 1 )( twtudduet j g mrmrr t t j Q q n q r mpj q qp ++− − + −− = = ∫∑ ∑ + τττ τγ . В данном выражении первый интеграл соответствует модам системы с комплексно-сопряженными собственными значениями pp iβα ± кратности pn , а второй — определяет моды с действительными собственными числа- ми qγ кратности qpn + . Процедура идентификации осуществляется в два этапа. На первом этапе по экспериментальным данным следует найти при- ближенную точечную или множественную оценку первой группы парамет- ров — собственных значений субмодели ),,( ppp γβα и их кратностей ),( qpp nn + . Эти параметры полностью определяют жорданову форму мат- рицы A . При этом каждое из rm× уравнений для )()( ty r m можно использо- вать независимо на основе данных последовательности экспериментов, в которых возбуждение системы производится отдельно на каждом входе при В.Ф. Губарев, А.О. Жуков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 1 110 нулевом сигнале на остальных. Поскольку параметры первой группы явля- ются общими для всех уравнений, то могут применяться различные проце- дуры усреднения как при приближенной точечной, так и при множествен- ной их оценке. На втором этапе осуществляется восстановление второй группы пара- метров — коэффициентов разложения )()2()1( ,, r mpj r mpj r mpj gff по собственным функциям ядра системы, а также коэффициента mrd . Зная эти коэффициен- ты, с помощью легко устанавливаемых уравнений связи нетрудно вычис- лить матрицы DCB ,, исходной модели, т.е. установить конкретную модель в пространстве состояний. Благодаря жордановой форме, каждая клетка которой определяет свои временные характеристики объекта, появляется возможность независимого восстановления отдельных частей модели. Для конкретного объекта субмо- дель может содержать одну или несколько жордановых клеток. При про- стых собственных значениях субмодель может быть одномодовой или со- держать кластер мод с близкими собственными характеристиками переходного процесса. Размерности субмоделей могут быть различными. Допускается также присутствие одних и тех же мод в разных субмоделях. Определение параметров субмодели означает идентификацию соответст- вующих блоков матриц CBA ,, , а также отдельных элементов матрицы D . Таким образом, из последовательности субмоделей можно восстано- вить модель, предельная сложность которой определяется средним уровнем возмущений и структурой входных сигналов, используемых для возбужде- ния системы. Подчеркнем, что итеративный подход позволяет получать ре- гуляризованные решения задач идентификации, согласованные с точностью исходных данных. Это особенно важно при идентификации многомерной системы по приближенным данным, когда проявляется некорректность, су- щественно влияющая на точность оценивания параметров модели. ПРИМЕНЕНИЕ 4SID-МЕТОДА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ СУБМОДЕЛИ И ЕЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ Для выполнения первого этапа метода итеративной идентификации, т.е. оп- ределения размерности субмодели и ее собственных значений, можно вос- пользоваться подходом, широко применяемым в методах подпространства состояний (4SID-methods) [7], которые базируются на классической теории реализаций [5]. Суть 4SID-метода сводится к следующему. Введем обозначения. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = −+ + T k T k T k u u u ku 1 1)( α , ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = −+ + T k T k T k y y y ky 1 1)( α , где k — дискретное время; α — произвольное целое число, превышающее предполагаемый порядок системы n . Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации … Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 1 111 Тогда )()( kuxky k αα Φ+Γ= , где αΓ — матрица наблюдаемости ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =Γ −1α α CA CA C ; Φα — нижняя блочно-треугольная теплицева матрица импульсных реакций системы ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =Φ − DCBBCA DCB D … … 2 0 00 α α . Очевидно, что сигналы ku и ky при 1,1 −+= αNk могут быть описа- ны матричным уравнением UXY αα Φ+Γ= , где блочные ганкелевы матрицы входов и выходов имеют вид ( ))()2()1( NuuuU …= , ( ))()2()1( NyyyY …= , и траектория состояния системы )( 21 NxxxX …= . Введем матрицу ортогонального проектирования на нуль-пространство матрицы U . UUUUI TT U T 1)( −⊥ −=Π . Поскольку 0=⊥ TU UΠ , то ⊥⊥ Γ== TT UU XYY ΠΠ α defˆ , т.е., применив к мат- рице выходов Y преобразование ортогонального проектирования ⊥ TU Π , мы фактически удаляем часть выхода, не связанную с состоянием системы. Далее 4SID-метод предполагает использование сингулярного разложе- ния (SVD-преобразования) матрицы Ŷ . TQSVY =ˆ , где Q и V — ортогональные матрицы; S — диагональная матрица с не- возрастающим порядком сингулярных чисел на диагонали. Матрицу S следует рассматривать как блочно диагональную матрицу вида ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = n s S S S 0 0 В.Ф. Губарев, А.О. Жуков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 1 112 где матрица Ss имеет на своей диагонали существенные сингулярные чис- ла, т.е. числа, соответствующие модам субмодели. Матрица nS представля- ет моды, не вошедшие в субмодель, а также имеющиеся в системе шумы. Соответствующее блочное разбиение выполняется также для матриц Q и V : )( ns QQQ = )( ns VVV = В качестве критерия указанного разбиения используется, как правило, свойство значительного превосходства существенных сингулярных чисел над шумовыми. Выполним разложение матрицы sŶ в произведение двух любых полно- ранговых матриц, например, )()(ˆ 2/12/1 T sssss VSSQY = Поскольку в соответствии с теорией реализации любое разложение матрицы sŶ в произведение двух полноранговых матриц первым сомножи- телем представляет матрицу наблюдаемости, а вторым — матрицу X для некоторого базиса пространства состояний, то в качестве оценки матрицы Γ можно взять выражение 2/1ˆ ss SQ=Γ Из матрицы наблюдаемости легко получить систему уравнений для оп- ределения матрицы субмодели sA jsj A :21:1 ˆˆ Γ=Γ − где j:2Γ̂ получено из Γ̂ исключением первого блока, соответствующего матрице C ; матрица 1:1 ˆ −Γ j формируется аналогично из Γ̂ путем исключения последнего блока. Пример. Пусть идентифицируемая система содержит три моды, харак- теризующиеся следующими параметрами: Спектр системы с не- прерывным временем Спектр системы с дис- кретным временем ib ic 0,09531 −=λ 90910,1 =λ 1 1 0,19062 −=λ 82640,2 =λ 1 1 0,38123 −=λ 68300,3 =λ 1 1 Результат работы алгоритма при уровне шума 010,=ε приведен на ри- сунке. Отметим, что применение преобразования ортогонального проектиро- вания к матрице выходов осуществляет выделение переходного процесса из общего сигнала системы. Верификация данной гипотезы сводится к провер- ке возможности переупорядочивания строк и столбцов матрицы ⊥= TU YR Π таким образом, чтобы обеспечить монотонное убывание модулей элементов данной матрицы по строкам и столбцам. Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации … Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 1 113 С данной целью проведем вычислительный эксперимент для системы с матрицей Сингулярные числа отклика Сингулярные числа профильтрованного сигнала Оценки параметров 4,7196e+002 9,8971e-001 9,5696e-001 9,1439e-001 8,7695e-001 8,0457e-001 6,9750e-001 6,4418e-001 6,3755e-001 102 3,8709e+001 8,5821e-001 8,5694e-001 8,4130e-001 7,9460e-001 7,2783e-001 6,9626e-001 6,7718e-001 6,6540e-001 3,8709e+001 8,5821e-001 8,5694e-001 8,4130e-001 7,9460e-001 7,2783e-001 6,9626e-001 6,7718e-001 6,6540e-001 4,9840e-001 9,01 =λ 9457,011 =bc 83,02 =λ 8956,022 =bc 68,03 =λ 0524,133 =bc Настраиваемый параметр Ход работы алгоритма итеративной идентификации В.Ф. Губарев, А.О. Жуков ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2009, № 1 114 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = 30 02 A , откуда ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 0498,00 01353,0 A , ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 5 4 b , т.е. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 5837,1 7293,1 b ( )12=c . Пусть, например, ганкелева матрица управлений имеет вид –0,4571 –0,4953 0,7515 0,4746 –0,7270 –0,9765 0,7878 –0,6017 –0,4953 0,7515 0,4746 –0,7270 –0,9765 0,7878 –0,6017 –0,4026 0,7515 0,4746 –0,7270 –0,9765 0,7878 –0,6017 –0,4026 0,3229 0,4746 –0,7270 –0,9765 0,7878 –0,6017 –0,4026 0,3229 –0,4312 =U –0,7270 –0,9765 0,7878 –0,6017 –0,4026 0,3229 –0,4312 –0,0616 Тогда ганкелева матрица реакций системы примет вид 0 –2,3049 –2,7477 3,4876 2,7668 –3,3603 –5,2835 3,3943 –2,3049 –2,7477 3,4876 2,7668 –3,3603 –5,2835 3,3943 –2,6746 –2,7477 3,4876 2,7668 –3,3603 –5,2835 3,3943 –2,6746 –2,3152 3,4876 2,7668 –3,3603 –5,2835 3,3943 –2,6746 –2,3152 1,3731 =Y 2,7668 –3,3603 –5,2835 3,3943 –2,6746 –2,3152 1,3731 –2,0292 =R 4 6 8 2 7 3 1 5 1 –1,8561 0,8711 –0,0535 2,9621 –0,4436 –2,8029 –4,9781 1,5296 2 –0,2026 0,0941 –0,0064 0,3211 –0,0426 –0,3024 –0,5403 0,1566 3 –0,0250 0,0115 –0,0008 0,0395 –0,0049 –0,0371 –0,0665 0,0187 4 –0,0033 0,0015 –0,0001 0,0051 –0,0006 –0,0048 –0,0087 0,0024 5 –0,0004 0,0002 –0,0000 0,0007 –0,0001 –0,0006 –0,0012 0,0003 Или 1 2 3 4 5 6 7 8 1 –4,9781 2,9621 –2,8029 –1,8561 1,5296 0,8711 –0,4436 –0,0535 2 –0,5403 0,3211 –0,3024 –0,2026 0,1566 0,0941 –0,0426 –0,0064 3 –0,0665 0,0395 –0,0371 –0,0250 0,0187 0,0115 –0,0049 –0,0008 4 –0,0087 0,0051 –0,0048 –0,0033 0,0024 0,0015 –0,0006 –0,0001 5 –0,0012 0,0007 –0,0006 –0,0004 0,0003 0,0002 –0,0001 –0,0000 Полученные результаты убедительно свидетельствуют в пользу того, что для возбуждения системы нецелесообразно применять управляющее воздействие в виде случайной последовательности, ибо после применения преобразования ортогонального проектирования на ядро матрицы U из об- щего сигнала системы выделяется сигнал, похожий на переходный процесс. Поэтому вместо применения случайного возбуждения значительно проще выделять переходный процесс путем возбуждения системы прямоугольным импульсом. ВЫВОДЫ 1. В результате анализа выражения отклика дискретной линейной ста- ционарной динамической системы с простыми модами, представленного в виде разложения по фундаментальной системе собственных функций ее яд- Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации … Системні дослідження та інформаційні технології, 2009, № 1 115 ра, установлены общие условия идентифицируемости как для отдельно взя- тых мод, так и для совокупности нескольких мод исследуемого класса сис- тем. 2. Показано, что самой плохой идентифицируемостью обладают моды, соответствующие малым абсолютным значениям коэффициентов управляе- мости и наблюдаемости, большим абсолютным значениям собственных чи- сел, а также моды с близкими собственными значениями и близкими по мо- дулю, но противоположными по знаку коэффициентами разложения. 3. Доказано, что для возбуждения системы в качестве входного управ- ляющего воздействия наиболее целесообразно применять не случайную по- следовательность типа белого шума, используемую в традиционных мето- дах идентификации, а прямоугольный импульс для чисто экспоненциальных систем или осциллирующих систем с плохой добротностью колебаний, либо периодическое знакочередующееся возбуждение для осциллирующих сис- тем с хорошей добротностью колебаний. 4. Установлено, что жорданова структура матрицы A позволяет выде- лять переходный процесс без применения преобразования ортогонального проектирования, используемого в 4SID-методе, путем возбуждения системы прямоугольным импульсом. ЛИТЕРАТУРА 1. Губарев В.Ф., Тигунов П.А. Об особенностях идентификации многомерных не- прерывных систем по данным с ограниченной неопределенностью // Про- блемы управления и информатики. — 2006. — № 1–2. — С. 231–246. 2. Губарев В.Ф. Метод итеративной идентификации многомерных систем по не- точным данным. Часть 1. Теоретические основы // Проблемы управления и информатики. — 2006. — № 5. — С. 16–31. 3. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гарантированные ре- зультаты в задачах управления и идентификации. — Киев: Наук.думка, 2006. — 264 с. 4. Кунцевич В.М. О точности построения аппроксимирующих моделей при огра- ниченных помехах измерений // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 5. — С. 125–133. 5. Kailath T. Linear Systems. — N.J.: Prentice-Hall, 1980. — 270 p. 6. Ninness B., Goodwin G. Estimation of the model quality //Automatica. — 1995. — 31, № 12. — Р. 1771–1797. 7. Van Overschee P., De Moor B. Subspace identification for linear systems. — Dordrecht (Netherlands): Kluwer Academic Publishers, 1996. — 157 p. Поступила 18.07.2007

Исследование условий идентифицируемости при итеративной идентификации дискретных стационарных систем

Репозитарії

Схожі ресурси