Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I
Исследуются норменные подгруппы одномерных формальных групп высоты редукции больше или равной три над кольцом целых локального или квазилокального поля.
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124078 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I / Н.М. Глазунов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 87-98. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124078 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1240782017-09-20T03:03:25Z Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I Глазунов, Н.М. Исследуются норменные подгруппы одномерных формальных групп высоты редукции больше или равной три над кольцом целых локального или квазилокального поля. Дослiджено норменi пiдгрупи одновимiрних формальних груп висоти редукцiї бiльше або рiвнiй трьом над кiльцем цiлих локального або квазiлокального поля. Norm subgroups of one-dimensional formal groups of height reduction greater or equal three defined over integer ring of local or quasi-local field are investigated. 2012 Article Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I / Н.М. Глазунов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 87-98. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124078 513.6 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуются норменные подгруппы одномерных формальных групп высоты редукции больше или равной три над кольцом целых локального или квазилокального поля. |
| format |
Article |
| author |
Глазунов, Н.М. |
| spellingShingle |
Глазунов, Н.М. Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Глазунов, Н.М. |
| author_sort |
Глазунов, Н.М. |
| title |
Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I |
| title_short |
Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I |
| title_full |
Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I |
| title_fullStr |
Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I |
| title_full_unstemmed |
Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I |
| title_sort |
квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. i |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124078 |
| citation_txt |
Квазилокальные поля классов эллиптических кривых и формальные группы. I / Н.М. Глазунов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 87-98. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT glazunovnm kvazilokalʹnyepolâklassovélliptičeskihkrivyhiformalʹnyegruppyi |
| first_indexed |
2025-07-09T00:48:50Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:48:50Z |
| _version_ |
1837128363015143424 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 513.6
c©2012. Н.М. Глазунов
КВАЗИЛОКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ КЛАССОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
КРИВЫХ И ФОРМАЛЬНЫЕ ГРУППЫ. I.
Исследуются норменные подгруппы одномерных формальных групп высоты редукции больше или
равной три над кольцом целых локального или квазилокального поля.
Ключевые слова: локальная теория полей классов, высота редукции формальной группы, группа
Галуа, группы ветвления, норменный гомоморфизм, норменная подгруппа.
1. Введение. В [1, 2] построены основы локальной теории полей классов эл-
липтических кривых. Автору настоящей работы О.Н. Введенским было предложено
исследовать ситуацию с обобщением классического вычисления кондуктора локаль-
ной теории полей классов на одномерные формальные группы высоты редукции ≥ 3
(для одномерных формальных групп высоты редукции 2 эта задача решена в [1]).
Поставленная задача была решена автором, а результаты кратко изложены в [3]. В
настоящей работе содержится доказательство этих результатов.
Основные понятия и результаты, связанные с линейными алгебраическими груп-
пами и формальными группами изложены в [2, 4, 5]. Поэтому в работе представлен
только необходимый для понимания исследуемой проблематики математический ап-
парат: теории локальных полей (п. 2), теории алгебраических групп и конечных
групповых схем (п. 3), теории квазиалгебраических и проалгебраических групп (п.
4). Результаты автора, связанные с вычислением аналога кондуктора локальной тео-
рии полей классов для одномерных формальных групп высоты редукции больше,
чем 2 изложены в п. 5 (случай одномерных формальных групп высоты редукции 2
исследован О.Н. Введенским в [6]).
2. Локальные поля. Поле K называется локальным [7], если оно полно в то-
пологии, определяемой его показателем νK и если его поле вычетов конечно. Далее
предполагается, что показатель νK нормализован, т.е. гомоморфизм ν∗K → Z сюръ-
ективен. Такие поля имеют следующую структуру. Поле K характеристики ноль
является конечным расширением p-адического поля Qp, которое есть пополнение
поля рациональных чисел относительно p-адического показателя. Если [K : Qp] = n,
то n = ef , где f – степень класса вычетов (т.е. f = [k : Fp]) и e = νK(p). Поле K
характеристики p > 0 изоморфно полю k((T )) формальных степенных рядов, где
T – униформизирующий параметр.
Пусть L – конечное расширение локального поля K, l и k – их поля вычетов,
p = char k, а eL/K – индекс ветвления L над K. Расширение L/K называется:
1) неразветвленным, если eL/K = 1, а расширение l/k сепарабельно;
2) слабо разветвленным, если p - eL/K , а расширение l/k сепарабельно;
в) дико разветвленным, если eL/K = [L : K] = (char k)s (s ≥ 1).
Обозначим через Tr(L/K) и Norm L/K, соответственно, след и норму расшире-
87
Н.М. Глазунов
ния L/K (будем использовать запись Tr(L) и Norm L, если ясно, о каком расшире-
нии идет речь), а через Knr – максимальное неразветвленное расширение поля K (в
фиксированном алгебраическом замыкании Ω поля K) с полем вычетов kS , которое
является алгебраическим замыканием поля k.
Локальное поле с алгебраически замкнутым полем вычетов называют квазило-
кальным [1].
Лемма 1. Если локальное поле K содержит примитивный корень ξp p-й сте-
пени из единицы, то νK(ξp − 1) = e
p−1 , где e = νK(p), а p = char k.
Доказательство. Если ξp – примитивный корень p-й степени из единицы, то
ξp
p − 1 = 0 и ξp есть корень неприводимого над K многочлена xp−1 + · · · + x + 1.
Тогда ξp
p − 1 – корень многочлена (x + 1)p−1 + · · · + (x + 1) + 1 = xp−1 + pP (x) + p,
где P (x) – многочлен степени не выше p− 2. Значение показателя p на корне такого
многочлена равно e
p−1 , т.е. νK(ξp − 1) = e
p−1 . ¤
Следствие 1. Если локальное поле K содержит примитивный корень p-й сте-
пени из единицы, то e = νK(p) делится на p− 1.
Пусть L/K – конечное расширение Галуа с группой Галуа G(L/K) (будем ис-
пользовать запись G, если это не вызывает недоразумений), а OK – кольцо целых
поля K. Определим группы ветвления Gi (i = −1, 0, 1, . . . ) равенством
Gi = {σ ∈ G|νL(σa− a) ≥ i + 1 для всех a ∈ OL}.
Нетрудно проверить, что: 1) группы Gi являются нормальными делителями
группы G; 2) G−1 = G; 3) существует такое число m, что Gi+1 ⊂ Gi для всех
i = −1, 0, 1, . . . , m− 2 и Gm = 1.
Нижняя и верхняя (Эрбрановская) нумерация групп ветвления может быть за-
дана следующим образом. Пусть x (x ≥ −1) – вещественная переменная. Нижнюю
нумерацию определим равенством Gx = Gl, где l = dxe. Обозначим через gi порядок
группы Gi. Рассмотрим функцию
ϕ(x) =
{
x, если − 1 ≤ x ≤ 0
1
g0
(g1 + · · ·+ gm + (x−m)gm+1) , если x ≥ 0, где m = bxc .
Функция ϕ(x) непрерывна и строго возрастает. Следовательно, существует обрат-
ная функция ψ(y) (y ≥ −1). Верхнюю нумерацию групп ветвления определим ра-
венством Gϕ(x) = Gψ(y), где y = ϕ(x) и x = ψ(y).
Обозначим через πK – униформизирующий элемент поля K (т.е. νK(πK) = 1), а
через mK = πK · OK – максимальный идеал кольца OK .
Пусть L/K – дико разветвленное расширение простой степени p. Определим
дифференту D расширения L/K равенством
D = (f ′(πL)), (1)
где f(x) – минимальный многочлен для πL над K. Отметим, что
D ⊂ A · D−1 ⇔ Tr(D) ⊂ A, (2)
88
Поля классов эллиптических кривых
где A – дробный идеал в OK , а D – дробный идеал в OL.
Пусть m = νL(σπL − πL) − 1, где σ – образующий элемент группы G(L/K).
Тогда f ′(πL) =
∏
σ 6=1
(πL − σπL) и νL(f ′(πL)) = (m + 1)(p − 1). Отсюда вытекает, что
D = (π(m+1)(p−1)
L ).
Лемма 2. Для всех n ≥ 0 истинно равенство
Tr(πn
L · OL) = π
y0(n)
K · OK ,
где y0(n) = b (m+1)(p−1)+n
p c.
Доказательство. Положим D = πn
L · OL и D−1 = π
−(m+1)(p−1)
L · OL для идеалов
из (2). Вычислим x в равенстве A = πx
L · OL так, чтобы выполнялось равенство
πn
L · OL = πx
L · OL · π−(m+1)(p−1)
L · OL. (3)
Равенство (3) истинно при x = (m + 1)(p− 1) + n. Учитывая, что Tr(πn
L) ∈ OK и
νL(πK) = e, получаем Tr(πn
L · OL) = π
b (m+1)(p−1)+n
p
c
K · OK . ¤
Обозначим через F (mL) − Gal(L/K) модуль, задаваемый n-мерным групповым
законом F (X, Y ) на произведении mL × · · · ×mL︸ ︷︷ ︸
n раз
максимальных идеалов кольца OL
любого конечного расширения Галуа L поля K. Определим гомоморфизм N модуля
FL в FK формулой N(a) = (a +F σsa) +F · · ·+F σsa, где a +F b – сложение точек в
соответствии с групповой структурой модуля FL, a, b ∈ mL, G = Gal(L/K), σs ∈ G и
[G : 1] = s.
Пусть p = char k, e = νK(p) (отметим, что e = ∞, если характеристика поля
K равна p > 0, и e – положительное число в противном случае), L/K – расши-
рение Галуа простой степени q, а f(x, y) – одномерный групповой закон над OK .
Предположим, что p > 0.
Лемма 3. Если Πs ∈ πs
L · OL и s ≥ 1, то
N(Πs) ≡ Tr(Πs) +
∞∑
n=1
cn(Norm Πs)n(modTr(π2s
L · OL)), (4)
где cn ∈ OK – коэффициенты в p-й итерации группового закона.
Доказательство. Отметим, что:
1) если f(x, y) – одномерный групповой закон над кольцом OK , то p-я итерация
[p]f [T ] имеет вид
[p]f [T ] = p(T + . . . ) +
∞∑
i=1
ciT
pi
, (5)
где многоточие обозначает неизвестные степени больше 1;
2) если в разложение в ряд выражения t1 +f t2 +f · · · +f tn входит одночлен
tα1
1 . . . t
αq
q , то входят и одночлены t
αδ(1)
1 . . . t
αδ(q)
q , где δ – произвольная перестановка
чисел 1, . . . , q.
89
Н.М. Глазунов
Пусть G = Gal(L/K). Если ω = r1 +r2σ + · · ·+rqσ
q – элемент групповой алгебры
Z[G], то положив Πω
s = Πr1
s (σΠs)
r2 . . . (σq−1Πs)
rq , получим
N(Πs) = Πs +f σΠs +f · · ·+f σq−1Πs =
∑
(r1,...,rq)
dr1,...,rqΠ
ω
s ,
где dr1,...,rq ∈ OK и суммирование идет по соответствующим ω. В силу симметрии, в
разложение N(Πs) вместе с dr1,...,rqΠω
s входят и dr1,...,rqΠσiω
s (i = 1, . . . , q − 1). А так
как из
σiω = ω, (6)
где i – одно из чисел 1, . . . , q − 1 вытекает, что ω = n(1 + σ + · · ·+ σq−1), то
N(Πs) =
∞∑
n=1
dn(Norm Πs)n +
∑
ω
dr1,...,rqTr(Π
ω
s ), (7)
где суммирование идет по ω, не удовлетворяющим равенству (6).
Если r1 + . . . rq > 1, то Tr(Πω
s ) ⊂ Tr(π2s
L · OK). Следовательно,
N(Πs) ≡ Tr(Πs) +
∞∑
n=1
dn(Norm Πs)n(modTr(π2s
L · OK)). (8)
Покажем, что в качестве dn можно взять cn из (5). Действительно, как cn, так и
dn определены с точностью до mod p. Для cn это вытекает из (5). Так как
pg(Norm Πs)n = Tr(g(Norm Πs)n) ∈ Tr(π2s
L · OL) (g ∈ OK),
а члены из N(Πs), входящие в Tr(π2s
L ·OL), дают сумму p(b2T
2+b3T
3+. . . ) (b2, b3, · · · ∈
OK), то в (8) можно заменить dn на cn. ¤
Замечание 1. В [6] такая лемма доказана для случая одномерных групповых
законов, соответствующих эллиптическим кривым.
3. Алгебраические группы и групповые схемы. Рассмотрим основные по-
нятия, относящиеся к классу многообразий, порождаемых приведенными отделимы-
ми гладкими схемами (X,OX) конечного типа над алгебраически замкнутым полем
[8]. Приведенность означает, что для открытых множеств U ⊂ X кольца OX(U) не
имеют нильпотентных элементов, а отделимость схемы определяется через понятия
произведения и замкнутости схем. Произведение схем определяется как произведе-
ние объектов в категории схем, а в терминах морфизмов схем над базисной схемой S
(например, если S – алгебраически замкнутое поле) – как расслоеное произведение
этих морфизмов. Морфизм схем ϕ : Y → X называют замкнутым вложением, если
каждая точка x ∈ X имеет такую аффинную окрестность U , что схема ϕ−1(U) аф-
финна и гомоморфизм ψU : OX(U) → OY (ϕ−1(U)) эпиморфен. В категории схем над
S определен морфизм (1, 1) : X → X×SX, который называют диагональю. Схему X
называют замкнутой, если морфизм ее диагонали – замкнутое вложение, и схемой
над кольцом R, если задан морфизм схем X → Spec R. Схему X над кольцом R
90
Поля классов эллиптических кривых
называют схемой конечного типа над R, если она имеет такое конечное покрытие
X =
⋃
Ui (Ui = SpecAi), что все Ai – алгебры конечного типа над R. Так как любое
кольцо есть алгебра над кольцом Z, то любая схема является схемой над Z.
Исследование алгебраических уравнений и алгебраических групп в конечных
полях может быть охарактеризовано следующим образом [9]. Пусть X – схема ко-
нечного типа над Z. Точку x схемы X называют замкнутой, если соответствующий
ей идеал jx максимален. Пусть X̃ – множество замкнутых точек схемы X, N(x) –
число элементов поля вычетов k(x) в точке x ∈ X̃, а X0 – алгебраическое многообра-
зие над полем Fq (q = pn). А. Гротендик определил для любого числа l 6= p = char k
группы l-адических когомологий H i(X,Ql) и l-адических когомологий с компакт-
ным носителем [9], которые совпадают, если X – собственное многообразие. Пусть
F – морфизм Фробениуса, отображающий точку (x1, . . . , xn) в точку (xq
1, . . . , x
q
n), а
F ∗ – геометрический Фробениус, определяемый по F при поднятии F до морфизма
схем. Точки многообразий являются неподвижными точками отображения F ∗.
Конечной групповой схемой [10,11] называют групповую схему, локально свобод-
ную ранга m над R. Такая групповая схема G определяется пучком локально свобод-
ных алгебр A ранга m над R. Структура групповой схемы задается гомоморфизмами
µ : A → ⊗RA, ε : A → R и автоморфизмом i : A → A, задающими, соответственно,
групповой закон, единицу и взятие обратного элемента, которые удовлетворяют из-
вестным аксиомам [4,9]. Если в алгебраической группе (или в групповой схеме) G
фиксирована групповая структура S, то пишут GS .
4. Квазиалгебраические и проалгебраические группы. Далее все группы,
если не оговорено противное, предполагаются коммутативными. В настоящем раз-
деле через K обозначено совершенное поле (алгебраически замкнутое поле), через
p – его характеристическая экспонента. Все многообразия считаем определенными
над K.
Известно, что в категории алгебраических групп над K существуют морфизмы,
не являющиеся морфизмами в смысле алгебраических групп (т.е. категория алгеб-
раических групп аддитивная, но не абелева).
Пример 1. Пусть K = k – алгебраически замкнутое поле характеристики p > 0.
Топологические пространства алгебраических групп X и Y (они обозначаются теми
же буквами) задаются условием X = Y = k. Пусть групповая операция каждой из
групп задана отображением µ(x, y) = x + y (x, y ∈ k). Рассмотрим гомоморфизм
ϕ : X → Y алгебраических групп X и Y , определяемый формулой ϕ(x) = xp.
Как точечное отображение он взаимно-однозначен и как отображение абстракт-
ных групп является изоморфизмом. Но как регулярное отображение многообра-
зий изоморфизмом не является, так как соответствующий ему гомоморфизм колец
ϕ∗ : k[Y ] → k[X], ϕ∗(T ) = T p, k[X] = k[Y ] = k[T ] не является изоморфизмом.
Понятие квазиалгебраической группы [12] объединяет в один класс алгебраи-
ческие группы, между которыми существуют биекции, которые могут и не быть
изоморфизмами алгебраических групп.
Пусть GS – алгебраическая группа и O – пучок функций на GS . Если q = pn
(n ∈ Z), то обозначим через Oq пучок, сечения которого открытыми множествами
91
Н.М. Глазунов
U ∈ G – q-е степени сечений пучка O над U . Положим Op−∞ =
⋃
n∈Z
Opn . Если q ≥ 1,
то соответствующее пучку Oq многообразие Gq – алгебраическая группа.
Пусть G – группа. Если S – структура алгебраической группы на G, совместимая
со структурой группы, то через GS обозначают соответствующую алгебраическую
группу, а через TS и OS – соответственно, топологию и пучок колец. В предполо-
жении, что под «морфизмом» понимается регулярное отображение алгебраических
групп, истинно следующее утверждение ([12], стр. 6).
Предложение 1. Пусть S1 и S2 – структуры алгебраической глуппы на G, сов-
местимые со структурой группы. Следующие условия эквивалентны:
(i) существует такая структура S3, что тождественные отображения S3 → S1 и
S3 → S2 – морфизмы;
(ii) существует такая структура S4, что тождественные отображения S1 → S4 и
S2 → S4 – морфизмы;
(iii) для произвольной положительной степени q числа p тождественное отобра-
жение GS1 → GS2 – морфизм алгебраических групп.
(iv) TS1 = NS2 и Op−∞
S1
= Op−∞
S2
.
Пусть G – абстрактная группа, а S1 и S2 – структуры алгебраической группы на
G, совместимые со структурой группы G. Говорят, что S1 и S2 эквивалентны, если
они удовлетворяют условиям предложения 1. Квазиалгебраической группой, соот-
ветствующей группе G, называют класс эквивалентных структур алгебраической
группы на G, совместимых со структурой группы G. Если G – квазиалгебраическая
группа, то структуру алгебраической группы на G, выбранную из класса эквива-
лентных структур алгебраической группы на G, называют совместимой с квазиал-
гебраической структурой на G.
Истинно следующее утверждение ([12], стр. 8).
Предложение 2. Пусть G и G′ – квазиалгебраические группы и f : G → G′
гомоморфизм групп в теоретико-множественном смысле. Следующие условия экви-
валентны:
a) на G и G′ существуют такие структуры S и S′ алгебраических групп, совме-
стимые с квазиалгебраическими структурами, что f : G → G′ – регулярное отобра-
жение алгебраических групп;
b) отображение f непрерывно, и если ϕ – сечение пучка Op−∞
G′ над открытым
множеством U ′, то ϕ ◦ f – сечение пучка Op−∞
G над открытым множеством f−1(U ′);
c) график отображения f есть замкнутая подгруппа в G×G′.
Если G и G′ – квазиалгебраические группы, то морфизмом из G в G′ называют
гомоморфизм f : G → G′, удовлетворяющий условиям предложения 2. Объекты –
квазиалгебраические группы, а также морфизмы между ними, удовлетворяют из-
вестным теоретико-категорийным свойствам [10]. Тем самым определена категория
квазиалгебраических групп QGK , которая является абелевой по построению.
Замечание 2. Определение квазиалгебраической группы может быть следую-
щим образом дано и в терминах групповых схем. Расширяем категорию алгебраи-
92
Поля классов эллиптических кривых
ческих групп до категории групповых схем над K. Так как мы рассматриваем толь-
ко коммутативные группы, то ограничимся категорией коммутативных групповых
схем CGK над K. Пусть H,G ∈ CGK и ϕ : H → G чисто несепарабельная изогения из
H в G. Назовем H и G эквивалентными, если существует групповая схема F ∈ CGK
и чисто несепарабельные изогении ψ : F → H и τ : F → G. Квазиалгебраической
группой является класс эквивалентных групповых схем.
Пример 2. По всякой алгебраической группе G можно каноническим образом
определить квазиалгебраическую группу Gp−∞ , структурным пучком которой яв-
ляется пучок Op−∞
G .
Проалгебраической группой называют группу G и такое непустое семейство C ее
подгрупп, что для каждого H ∈ C множество G/H имеет структуру квазиалгебра-
ической группы, причем выполнены следующие четыре аксиомы:
П1. Если H, H ′ ∈ C, то H ∩H ′ ∈ C.
П2. Пусть H ∈ C. Подгруппа H ′, содержащая H и лежащая в C есть прообраз
замкнутой подгруппы из G/H.
П3. Если H, H ′ ∈ C и H ⊂ H ′, то G/H → G/H ′ – морфизм квазиалгебраических
групп.
П4. Естественное отображение G → lim← G/H – биекция G на проективный предел
групп G/H (H ∈ C).
Пример 3.
1. Любую квазиалгебраическую группу G можно каноническим образом наде-
лить структурой проалгебраической группы: в качестве C достаточно выбрать мно-
жество замкнутых подгрупп группы G. Для каждого H ∈ C фактор-группа G/H
имеет структуру квазиалгебраической группы, причем аксиомы П1-П4 выполнены.
2. Пусть G – компактная вполне несвязная топологическая группа, а C – мно-
жество открытых полугрупп в G. Если H ∈ C, то фактор-группа G/H – конечная,
и следовательно, является квазиалгебраической группой размерности ноль [10]. Ак-
сиомы П1-П4 выполнены. Такую проалгебраическую группу называют проалгебра-
ической группой размерности ноль.
Пусть G1 и G2 – проалгебраические группы с полными определяющими множе-
ствами C1 и C2. Морфизмом из G1 в G2 называют такой гомоморфизм f : G1 → G2,
что для каждого H2 ∈ C2 имеет место f−1(H2) ∈ C1 и отображение из G1/f−1(H2)
в G2/H2, определяемое по f , является морфизмом квазиалгебраических групп. По-
лученная таким способом категория PGK проалгебраических групп над K является
абелевой категорией [12]. Она эквивалентна прокатегории Pro(QGk).
Пусть G – квазиалгебраическая группа. Обозначим через G0 связную компоненту
единичного элемента группы G. Далее G0 называется просто связной компонентой
группы G. Пусть G – проалгебраическая группа с полным определяющим множе-
ством C. Для H ∈ C связная компонента (G/H)0 фактор-группы G/H является
замкнутой подгруппой в G/H, и если H ′ ⊂ H, то образ G/H ′ в G/H – это (G/H)0.
Поэтому можно положить G/G0 = lim← (G/H)/(G/H)0. Фактор-группа G/G0 обозна-
чается через π0(G) и называется 0-й гомотопической группой проалгебраической
93
Н.М. Глазунов
группы G.
Операция факторизации π0(G) = G/G0 определяет функтор π0 : PGK → PG0
K
из категории PGK в категорию PG0
K проалгебраических групп размерности ноль.
Левые производные функторы функтора π0 будем называть i-ми гомотопическими
группами проалгебраической группы G и обозначать πi(G) (наличие в категории
PGK достаточного числа проективных объектов делает такое определение коррект-
ным). Фундаментальной группой группы G называют первую гомотопическую груп-
пу π1(G).
Группу G ∈ PGK называют: 1) связной, если G = G0; 2) односвязной, если
π0(G) = 0. В [12] доказаны следующие утверждения.
Предложение 3. Если G – проалгебраическая группа размерности ноль, то
πi(G) = 0 для всех i ≥ 1.
Предложение 4. Пусть G ∈ PGK . Существуют такие связная и односвязная
проалгебраическая группа G и морфизм u : G → G, что ядро и коядро u – про-
алгебраические группы размерности ноль. Пара (G, u) единственна с точностью до
изоморфизма.
Пара (G, u) называется универсальной накрывающей группы G.
Замечание 3. Взятие универсальной накрывающей определяет ковариантный
функтор «универсальное накрытие» из категории PGK в категорию связных одно-
связных проалгебраических групп.
Рассмотрим вычисление фундаментальной группы в простейших случаях.
Пусть G ∈ PGK . Для каждого n ∈ Z отображение x → nx (x ∈ G) являет-
ся эндоморфизмом G, который будем обозначать n : G → G. Истинно следующее
утверждение.
Лемма 4. Пусть G – связная проалгебраическая группа, а n ∈ Z взаимно просто
с p = char K. Тогда морфизм n : G → G сюръективен.
Пусть nG – ядро отображения n : G → G, т.е. nG – подгруппа G, образованная
такими x ∈ G, что nx = 0. Истинно следующее утверждение ([12], стр. 45).
Предложение 5. Пусть G – связная проалгебраическая группа, а l – простое
число. Предположим, что морфизм l : G → G сюръективен. Тогда l-я компонента
π1(G)l группы π1(G) проективна и фактор-группа π1(G)l/lπ1(G)l изоморфна группе
lG.
Следствие 2. В условиях предложения 5 предположим, что lG изоморфна
Z/lZJ , где J – произвольное множество индексов. Тогда π1(G)l изоморфна (Zl)J .
Следствие 3. Пусть G ∈ PGK и l – простое, отличное от характеристики
поля K. Тогда π1(G)l = 0 при i ≥ 2 и π1(G) изоморфна произведению групп Zl.
5. Теорема об ограниченности снизу норменных подгрупп. В настоящем
разделе рассматриваются одномерные формальные группы любой натуральной вы-
соты больше или равной 3, определенные над кольцом целых локального или квази-
локального поля.
Пусть L/K – конечное расширение Галуа локального или квазилокального поля
K с группой Галуа G, f(x, y) – одномерный групповой закон над кольцом целых OK
94
Поля классов эллиптических кривых
поля K. На максимальном идеале mL кольца целых OL любого конечного расши-
рения Галуа L поля K формальная группа f определяет f(mL)–G-модуль, который
будем обозначать fL.
Если K – квазилокальное поле и L/K – конечное расширение Галуа, то на группе
fL можно навести структуру проалгебраической группы. Обозначим такую группу
через f̃L, а ее фундаментальную группу – через π1(f̃L).
Определение. Пусть K – локальное (соответственно, квазилокальное) поле. Под-
группа P ⊂ fK (соответственно, P ′ ⊂ π1(f̃K)) называется норменной, если суще-
ствует такое конечное расширение Галуа L/K, что P = NL/K(fL) (соответственно,
P ′ = NL/K(π1(f̃L))).
Теорема. Для любого расширения Галуа L/K с такой группой Галуа G, что
Gn = {1} и любой одномерной формальной группы f высоты редукции больше или
равной 3, определенной над кольцом целых OK локального (соответственно, ква-
зилокального) поля K имеет место включение
NL/K(fL) ⊃ fn
K (соответственно, NL/K(π1(f̃L)) ⊃ π1(f̃K
n
)). (9)
Доказательство. Для всех действительных s ≥ −1 положим fs
L = f dse. Пусть
ϕL/K и ψL/K – соответствующие расширению L/K функции, задающие, соответ-
ственно, верхнюю и нижнюю нумерации групп ветвления. Рассмотрим циклическое
расширение L/K простой степени. Имеет место следующая лемма.
Лемма 5. Пусть n ≥ 1 и циклическое расширение Галуа M/K простой степени
локального (соответственно, квазилокального) поля таково, что Gn = {1}. Тогда
для всех действительных s ≥ ψM/K(n) имеет место включение
NG(f s
M ) = f
ϕM/K(s)
K (соответственно, NG(π1(f̃M
s
)) = π1(f̃K
ϕM/K(s)
)). (10)
Доказательство. Пусть M/K неразветвлено (в этом случае, очевидно, K не
является квазилокальным полем). Тогда ϕM/K(x) = x для всех действительных
x ≥ −1 и следует использовать фильтрацию Лютц (отметим, что здесь ΠM = ΠR),
что и доказывает лемму.
Пусть M/K – чисто слабо разветвленное расширение. Для нижней фильтрации
G получаем: G = G0 и G1 = G2 = · · · = {1}.
Если [G0 : 1] = [M : K] = q, то ϕM/K(x) = q−1x и ψM/K(x) = qx для всех
действительных x ≥ 0. Нужно показать, что
NG(fs
M ) = f
s
q
K (11)
при s ≥ ψM/K(n) = qn.
Норменный гомоморфизм NM/K : fM → fK индуцирует для всех действитель-
ных r ≥ 1 изоморфизмы
f
ψM/K(r)
M /f
ψM/K(r)+1
M ' f r
K/f r+1
K . (12)
95
Н.М. Глазунов
Доказательство (12) аналогично рассуждениям, приведенным в [6].
Из (12) вытекает, что
NG
(
f
ψM/K( τ
q
)−(q−1)
M
)
=
(
f
ψM/K( τ
q
)
M
)
= f
τ
q
K = f
s
q
K ,
где τ = dse. А так как ψM/K( τ
q )− (q − 1) ≤ ψM/K( τ
q ), то
NG(f τ
M ) = NG(f s
M ) = f
τ
q
K = f
s
q
K ,
т.е. равенство (11) истинно.
Пусть M/K – чисто дикое разветвленное расширение Галуа простой степени, а
m – номер последней нетривиальной группы ветвления расширения M/K. Тогда
ψM/K(x) =
{
x, если 0 ≤ x < m
m + p(x−m), если x ≥ m
(x ∈ R).
Так как GψM/K(n) = Gn = {1}, то ψM/K(n) ≥ m + 1. Покажем что для всех
действительных s ≥ ψM/K(n) имеет место равенство
NG(f s
M ) = f
1
p
(s−m)+m
K . (13)
Из результатов, полученных в работе [6], вытекает, что норменный гомоморфизм
NL/K : fM → fK индуцирует для всех целых r > m изоморфизм (12). Следователь-
но, для всех s ≥ ψM/K(n)
f
1
p
(s−m)+m
K = NG
(
f
ψL/K( 1
p
(s−m)+m)
L
)
= NG
(
f
ψL/K( 1
p
(s−m)+m)−(p−1)
L
)
.
Из
ψL/K
(
1
p
(s−m) + m
)
≥ τ ≥ ψL/K
(
1
p
(s−m) + m
)
− (p− 1),
вытекает, что
NG(f τ
L) = NG(fs
L) = f
1
p
(s−m)+m
K = f
ϕL/K(s)
K ,
т.е. равенство (13) истинно.
В условиях леммы 5 для простого циклического расширения M/K легко прове-
рить связность ядра эпиморфизма NG : f̃M
s → f̃K
ϕM/K(s)
проалгебраических групп.
Отсюда получаем эпиморфизм
NG
(
π1(f̃M
s
)
)
= π1
(
f̃K
ϕM/K(s)
)
. (14)
Эпиморфность (14) завершает доказательство леммы. ¤
96
Поля классов эллиптических кривых
Теперь достаточно доказать теорему для локального поля (в случае квазилокаль-
ного поля та же схема доказательства, но возникают дополнительные громоздкие
выкладки). Доказательство проведем индукцией по числу простых множителей в
степени произвольного конечного расширения Галуа L/K, воспользовавшись разре-
шимостью групп Галуа локальных полей.
Выделим в L/K циклическое подрасширение L1/K простой степени. Получим
тогда башню полей с соответствующими группами Галуа G и h:
K − L1 − L, G = G(L/K), h = G(L/L1), G/h = G(L1/K).
По индукции можно считать, что утверждение леммы 5 доказано для этажа L/L1
башни. Так как Gn = {1}, то по теореме Эрбрана (G/h)n = {1}. Следовательно, для
всех действительных s ≥ ψL1/K(n)
NG/h(fs
L1
) = f
ϕL1/K(s)
K . (15)
Используя верхнюю и нижнюю нумерации групп ветвления, получим
hϕL/K(n) = hψL/L1
(ψL1/K(n)) = hψL/K(n) ⊂ Gn = {1}.
Так как n ≥ 1, то ψL1/K(n) ≥ 1, причем ψL1/K(n) – целое. Следовательно, по
предположению индукции для всех действительных s ≥ ψL/L1
(ψL1/K(n)) истинно
равенство (роль n в условиях леммы 5 играет ψL1/K(n))
Nh(fs
L) = f
ϕL/L1
(n)
L1
. (16)
Из (16) вытекает, что для любого действительного числа Σ ≥ ψL1/K(n) истинно
равенство Nh(fΣ
L ) = f
ϕL/L1
(Σ)
L1
. А так как ϕ – строго возрастающая функция, то
ϕL/L1
(Σ) = ϕL/L1
(ψL/K(n)) = ψL1/K(n).
Применяя (15), получим
NG/h
(
f
ϕL/L1
(Σ)
L
)
= f
ϕL1/K(ϕL/L1
(Σ))
K = fϕL/K(Σ) = NG(fΣ
L ).
Следовательно,
NG(f) = NG(f1) ⊃ NG(f
ψL/K(n)
L ) = fϕL/K(ψL/K(n)) = fn
K ,
что и требовалось доказать. ¤
1. Введенский О.Н. О локальных «полях классов» эллиптических кривых // Изв. АН СССР.
Сер. матем. – 1973. – № 1. – С. 20-88.
2. Введенский О.Н. Об «универсальных нормах» формальных групп, определенных над кольцом
целых чисел локального поля // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1973. – № 4. – С. 737-751.
97
Н.М. Глазунов
3. Глазунов Н.М. Про «норменi пiдгрупи» одновимiрних формальних груп визначених над кiль-
цем цiлих локального поля // Доповiдi АН УРСР. Серiя А. – 1973. – № 11. – С. 965-968.
4. Борель А. Линейные алгебраические группы. – М.: Мир, 1972. – 269 с.
5. Demazur M. Lectures on p-divisible groups. – Berlin: Springer-Verlag, 1972. – 280 p.
6. Введенский О.Н. Двойственность в эллиптических кривых над локальным полем. I. // Изв.
АН СССР. Сер. матем. – 1964. – № 5. – С. 1091-1112.
7. Агебраическая теория чисел. – М.: Мир, 1969. – 483 с.
8. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. – Т. 2. – М.: Наука, 1988. – 304 с.
9. Deligne P. La conjecture de Weil // Publ. Math. IHES. – 1974. – P. 273-307.
10. Милн Дж. Этальные когомологии. – М.: Мир, 1983. – 392 с.
11. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры. – М.: Наука, 1988. – 416 с.
12. Serre J.-P. Groups proalgebriques // Publ. Math. IHES. – 1960. – № 7. – 65 p.
N.M. Glazunov
Quasi-local class fields of elliptic curves and formal groups. I.
Norm subgroups of one-dimensional formal groups of height reduction greater or equal three defined over
integer ring of local or quasi-local field are investigated.
Keywords: local class field theory, the height of reduction of formal group, Gallous group, ramification
groups, norm homomorphsm, norm subgroup.
М.М. Глазунов
Квазiлокальнi поля класiв елiптичних кривих та формальнi групи. I.
Дослiджено норменi пiдгрупи одновимiрних формальних груп висоти редукцiї бiльше або рiвнiй
трьом над кiльцем цiлих локального або квазiлокального поля.
Ключовi слова: локальна теорiя полiв класiв, висота редукцiї формальної групи, група Галуа,
групи розгалуження, нормений гомоморфiзм, нормена пiдгрупа.
Национальный авиационный ун-т, Киев
glanm@yahoo.com
Получено 31.05.12
98
|