Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций
Изучаются функции с нулевыми искаженными средними по окружностям фиксированных радиусов. Найдена характеризация решений уравнения (∂f/∂z)(z) - (z/4)f(z) = 0 в терминах указанных интегральных средних....
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124112 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 63-68. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124112 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241122017-09-21T03:02:58Z Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. Изучаются функции с нулевыми искаженными средними по окружностям фиксированных радиусов. Найдена характеризация решений уравнения (∂f/∂z)(z) - (z/4)f(z) = 0 в терминах указанных интегральных средних. Вивчаються функцiї з нульовими викривленими середнiми по колах фiксованих радiусiв. Знайдено характеризацiю розв’язкiв рiвняння (∂f/∂z)(z) - (z/4)f(z) = 0 у термiнах зазначених iнтегральних середнiх. Functions with zero twisted means over circles of fixed radii are studied. A characterization of solutions of the equation (∂f/∂z)(z) - (z/4)f(z) = 0 in terms of the above means is founded. 2012 Article Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 63-68. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124112 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучаются функции с нулевыми искаженными средними по окружностям фиксированных радиусов. Найдена характеризация решений уравнения (∂f/∂z)(z) - (z/4)f(z) = 0 в терминах указанных интегральных средних. |
| format |
Article |
| author |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| spellingShingle |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| author_sort |
Волчков, В.В. |
| title |
Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций |
| title_short |
Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций |
| title_full |
Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций |
| title_fullStr |
Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций |
| title_full_unstemmed |
Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций |
| title_sort |
теоремы типа мореры для обобщенных аналитических функций |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124112 |
| citation_txt |
Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 63-68. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT volčkovvv teoremytipamorerydlâobobŝennyhanalitičeskihfunkcij AT volčkovvitv teoremytipamorerydlâobobŝennyhanalitičeskihfunkcij |
| first_indexed |
2025-07-09T00:51:33Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:51:33Z |
| _version_ |
1837128530893209600 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 517.5
c©2012. В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
ТЕОРЕМЫ ТИПА МОРЕРЫ ДЛЯ
ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Изучаются функции с нулевыми искаженными средними по окружностям фиксированных радиу-
сов. Найдена характеризация решений уравнения ∂f
∂z
(z) − z
4
f(z) = 0 в терминах указанных инте-
гральных средних.
Ключевые слова: теоремы типа Мореры, искаженная свертка, группа Гейзенберга.
1. Введение. Характеризация голоморфных функций в терминах различных
интегральных условий изучалась многими авторами. В ряде работ последних лет
рассматривался случай, когда контуры интегрирования в интегральном условии
конгруэнтны (относительно некоторой группы) одному или нескольким фиксиро-
ванным контурам. Указанный аспект теорем типа Мореры тесно связан с известной
проблемой Помпейю (см. [1-5] и имеющуюся там библиографию).
В данной работе изучаются классы функций, удовлетворяющих условиям вида
∫
|w|=r
f(z − w)e
i
2
Im(zw)dw = 0, (1)
где r является фиксированным числом или принадлежит заданному двухэлемент-
ному множеству. Интерес к уравнению (1) обусловлен тем, что оно тесно связано
с CR-функциями на группе Гейзенберга Hn, которая широко используется в раз-
личных областях математики. Ряд достаточных условий для CR-функций на Hn
был установлен в [6], [7]. Наличие экспоненты в (1) препятствует простой связи
между Помпейю и Морера свойствами на Hn, которая существует в обычной ев-
клидовой ситуации. В связи с этим, доказательство теорем типа Мореры на Hn
требует значительных усилий. В [6] авторы существенно используют тауберову тео-
рему для подалгебры радиальных функций из L1(Hn), принадлежащую Хуланики и
Риччи [8]. Доказательства в [7] опираются на спектральную теорию, развитую Cтри-
харцем в [9]. Соответственно, все результаты в [6], [7] носят глобальный характер и
включают ограничения на рост функции на бесконечности.
Принципиальное отличие данной работы состоит в том, что уравнение (1) изу-
чается здесь локально, а именно для f ∈ C(BR), где BR = {z ∈ C : |z| < R},
R ∈ (r,∞). В этом случае получено описание функций с условием (1), доказана
теорема единственности, а также найдена характеризация решений уравнения
Df(z) :=
∂f
∂z
(z)− z
4
f(z) = 0 (2)
в терминах указанных интегральных средних (см. теоремы 1-3). Отметим, что ре-
шения уравнения (2) можно рассматривать как класс обобщенных аналитических
63
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
функций в смысле Векуа [10]. Таким образом, теорема 3 является теоремой типа
Мореры для указанного класса функций. Методы доказательства теорем 1-3 осно-
ваны на теории трансмутационных операторов на фазовом пространстве группы
Гейзенберга, развитой авторами в [5].
2. Основные результаты. Пусть G – область комплексной плоскости C, A и
B – функции, определенные в G. Следуя [10], обозначим A(A,B, G) совокупность
локально интегрируемых в G функций, удовлетворяющих уравнению
∂f
∂z
+ Af + Bf = 0.
Элементы A(A,B, G) называются обобщенными аналитическими функциями в смыс-
ле Векуа. В указанной терминологии нас будет интересовать характеризация обоб-
щенных аналитических функций класса A(−z/4, 0, BR).
Интегральные средние в (1) тесно связаны с собственными функциями диффе-
ренциального оператора
L =
1
4
|z|2Id +
(
z
∂
∂z
− z
∂
∂z
)
−∆,
где Id – тождественный оператор, ∆ – оператор Лапласа на C. Сформулируем сна-
чала аналог классической теоремы о среднем для таких функций.
Для λ ∈ C, m ∈ Z, t > 0 положим
φλ,m(t) = t|m|e−t2/4
1F1
(
m + |m|+ 1− λ2
2
; |m|+ 1;
t2
2
)
,
где 1F1 – вырожденная гипергеометрическая функция Куммера [11, гл. 6]. Отметим,
что функции Φλ,m(z) = φλ,m(ρ)eimϕ, где ρ, ϕ – полярные координаты точки z ∈ C,
удовлетворяют уравнению
LΦλ,m = λ2Φλ,m.
Кроме того, нетрудно убедиться, что Lf = −f , если f принадлежит ядру оператора
D.
Предложение 1. Пусть f ∈ C(BR), Lf = λ2f в BR и r ∈ (0, R). Тогда в круге
BR−r имеет место равенство
∫
|w|=r
f(z − w)e
i
2
Im(zw)dw = −2πriφλ,−1(r)(Df)(z). (3)
Пусть Mr(BR) – множество функций f ∈ C(BR), удовлетворяющих уравнению (1)
при |z| < R − r. Равенство (3) показывает, что важную роль в структуре класса
Mr(BR) играют нули λ целой функции φλ,−1(r). Следующее утверждение дает де-
тальную информацию об этих нулях.
64
Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций
Предложение 2.
(i) Функция φλ,−1(r) имеет бесконечно много нулей λ. Все нули φλ,−1(r) являют-
ся вещественными, простыми и расположены симметрично относительно
точки λ = 0.
(ii) Пусть λl = λl(r) (l ∈ N) – последовательность всех положительных нулей
φλ,−1(r), занумерованных в порядке возрастания, и пусть 0 < a 6 r 6 b <
+∞. Тогда
rλl = π
(
5
4
+ l + j(r)
)
+
(
r3
12
− r − 3
4r
)
1
2λl
+ O
(
1
λ3
l
)
,
где j(r) – целое число, не зависящее от l, а постоянные в O зависят только
от a, b.
(iii) Пусть N(r) =
{
λ > 0 : φλ,−1(r) = 0
}
, λ, µ ∈ N(r) и λ 6= µ. Тогда
∫ r
0
%φλ,−1(%)φµ,−1(%)d% = 0.
(iv) Предположим, что v ∈ L[0, r] и
∫ r
0
%v(%)φλ,−1(%)d% = 0
для всех λ ∈ N(r). Тогда v = 0.
Перейдем теперь к описанию гладких функций класса Mr(BR). Представим функ-
цию f ∈ C∞(BR) в виде ряда Фурье
f(z) =
∞∑
m=−∞
fm(z),
где
fm(z) =
1
2π
∫ 2π
0
f(ρeiθ)e−imθdθ eimϕ.
Теорема 1. Пусть f ∈ C∞(BR). Тогда для того, чтобы f ∈ Mr(BR), необходи-
мо и достаточно, чтобы при всех m ∈ Z имели место равенства
fm(z) = cmzme|z|
2/4 +
∑
λ∈N(r)
dλΦλ,m(z), (4)
где cm, dλ – константы, удовлетворяющие условиям: 1) cm = 0 при m < 0; 2) dλ =
O(λ−c) при λ → +∞ для любого фиксированного c > 0.
Указанное условие на dλ влечет сходимость ряда (4) в пространстве C∞(BR). От-
метим, что аналогичное разложение справедливо для всех функций класса Mr(BR).
65
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
При этом коэффициенты dλ растут не быстрее фиксированной степени λ, а ряд (4)
сходится в смысле распределений.
Доказательство теоремы 1 существенно опирается на следующую теорему един-
ственности для класса Mr(BR).
Теорема 2.
(i) Пусть f ∈ Mr(BR) и f = 0 в Br+ε для некоторого ε > 0. Тогда f = 0 в BR.
(ii) Если f ∈ (Mr ∩ C∞)(BR) и f = 0 в Br, то f = 0 в BR.
(iii) Для любого m ∈ N существует ненулевая функция f ∈ (Mr∩Cm)(BR) такая,
что f = 0 в Br.
(iv) Для любого ε ∈ (0, r) существует ненулевая функция f ∈ (Mr ∩ C∞)(BR)
такая, что f = 0 в Br−ε.
Это утверждение является аналогом известного результата Ф. Йона для функций
с условием (1) (см. [12]).
Теорема 1 позволяет получить характеризацию решений уравнения Df = 0 в
терминах интегральных средних (1) по окружностям двух фиксированных радиусов.
Пусть r1, r2 ∈ (0, R), r1 6= r2. Определим Mr1,r2(BR) = Mr1(BR) ∩Mr2(BR). Для
целого s > 0 (или для s = ∞) положим M s
r1,r2
(BR) = Mr1,r2(BR)∩Cs(BR). Свойства
Mr1,r2(BR) существенно зависят от наличия общих элементов у множеств N(r1) и
N(r2), а также от скорости сближения элементов этих множеств на бесконечности.
Обозначим N(r1, r2) = N(r1)∩N(r2) и пусть Ω – множество пар (r1, r2), для которых
выполнено следующее условие: при любом c > 0 существует λ ∈ N(r1) такое, что
|φλ,−1(r2)| < (1 + λ)−c. Очевидно, что (r1, r2) ∈ Ω, если N(r1, r2) 6= ∅. Перечислим
некоторые свойства множеств N(r1, r2) и Ω.
Предложение 3.
(i) При любом r1 > 0 множество {r2 > 0 : N(r1, r2) 6= ∅} является счетным и
всюду плотным на (0,∞).
(ii) При любом r1 > 0 пересечение множества {r2 > 0 : (r1, r2) ∈ Ω} с любым
интервалом (a, b) ⊂ (0,∞) является несчетным.
(iii) При любом r1 > 0 множество {r2 > 0 : (r1, r2) ∈ Ω} имеет нулевую лебегову
меру на (0,∞).
(iv) Если (r1, r2) ∈ Ω и N(r1, r2) = ∅, то число r1/r2 иррационально.
Следующий результат является локальной теоремой типа Мореры для функций
класса A(−z/4, 0, BR).
Теорема 3.
(i) Если r1 + r2 < R, N(r1, r2) = ∅ и f ∈ Mr1,r2(BR), то Df = 0.
66
Теоремы типа Мореры для обобщенных аналитических функций
(ii) Если r1 + r2 = R, N(r1, r2) = ∅ и f ∈ M∞
r1,r2
(BR), то Df = 0.
(iii) Если r1 + r2 = R, N(r1, r2) = ∅, (r1, r2) ∈ Ω и f ∈ Mr1,r2(BR), то Df = 0.
(iv) Если r1+r2 = R, (r1, r2) /∈ Ω, то для любого целого s > 0 существует функция
f ∈ M s
r1,r2
(BR)\A(−z/4, 0, BR).
(v) Если r1 + r2 > R, то существует функция f ∈ M∞
r1,r2
(BR)\A(−z/4, 0, BR).
(vi) Если N(r1, r2) 6= ∅, то существует вещественно-аналитическая функция
f ∈ Mr1,r2(BR)\A(−z/4, 0, BR).
Предложение 3 показывает, что все ситуации, описанные в теореме 3, реализу-
ются при подходящих r1, r2.
Утверждения (iv), (ii) и (vi) теоремы 3 позволяют сделать вывод о характере до-
пустимой гладкости функций класса Mr1,r2(BR)\A(−z/4, 0, BR). В частности, мак-
симальная гладкость (вещественная аналитичность) у таких функций возможна в
случае N(r1, r2) 6= ∅. При условиях утверждения (iv) возможна любая конечная
гладкость, и этот результат не может быть улучшен (см. утверждение (ii)). В осталь-
ных случаях (то есть, когда N(r1, r2) = ∅ и r1 +r2 > R), вопрос о точной характери-
стике максимальной гладкости функций класса Mr1,r2(BR)\A(−z/4, 0, BR) решается
в терминах теории квазианалитических классов функций.
Теорема 4. Пусть R > r2 > r1 > 0. Тогда выполнены следующие утверждения.
(i) Если N(r1, r2) = ∅, f ∈ M∞
r1,r2
(BR) и существует последовательность {Mq}∞q=0
положительных чисел такая, что
∞∑
j=1
(
inf
q>j
M1/q
q
)−1
= ∞ (5)
и
sup
z∈Br1
∣∣∣∣
(
∂
∂z
)α1
(
∂
∂z
)α2
f
∣∣∣∣ 6 Mα1+α2 (6)
для всех α1, α2 ∈ Z+, то Df = 0.
(ii) Если r1+r2 > R, то для любой последовательности {Mq}∞q=0 положительных
чисел такой, что
∞∑
j=1
(
inf
q>j
M1/q
q
)−1
< ∞,
существует функция f ∈ M∞
r1,r2
(BR)\A(−z/4, 0, BR), удовлетворяющая усло-
вию
sup
z∈BR
∣∣∣∣
(
∂
∂z
)α1
(
∂
∂z
)α2
f
∣∣∣∣ 6 Mα1+α2
для всех α1, α2 ∈ Z+.
67
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
Согласно известной теореме Данжуа-Карлемана, условия (5) и (6) означают, что
f принадлежит квазианалитическому классу функций в круге Br1 . При N(r1, r2) 6=
∅ первое утверждение теоремы 4 неверно (см. утверждение (vi) теоремы 3).
Относительно других локальных вариантов теоремы типа Мореры см. [4], [5] и
библиографию к этим работам.
1. Беренстейн К.А., Струппа Д. Комплексный анализ и уравнения в свертках // Итоги науки и
техн. Соврем. пробл. матем. Фундамент. направления. – Т. 54. – М.: ВИНИТИ, 1989. – С. 5-111.
2. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Approximation by solutions of partial
differential equations / ed. Fuglede B. et. al. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992. –
P. 185-194.
3. Zalcman L. Supplementary bibliography to ‘A bibliographic survey of the Pompeiu problem’ //
Contemp. Math. / Radon Transform and Tomography. – 2001. – V. 278. – P. 69-74.
4. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Dordrecht: Kluwer Academic Publi-
shers, 2003. – 454 pp.
5. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces
and the Heisenberg Group. – London: Springer-Verlag, 2009. – 671 pp.
6. Agranovsky M., Berenstein C., Chang D.C. Morera theorem for holomorphic Hp spaces in the
Heisenberg group // J. Reine Angew. Math. – 1993. – V. 443. – P. 49-89.
7. Thangavelu S. Spherical means and CR functions on the Heisenberg group // J. Analyse Math. –
1994. – V. 63. – P. 255-286.
8. Hulanicki A., Ricci F. A Tauberian theorem and tangential convergence for boundary harmonic
functions on balls in Cn // Invent. Math. – 1980. – V. 62. – P. 325-331.
9. Strichartz R. Lp harmonic analysis and Radon transform on the Heisenberg group // J. Funct. Anal.
– 1991. – V. 96. – P. 350-406.
10. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959. – 628 с.
11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, I. М.: Наука, 1973. – 294 с.
12. Йон Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям
с частными производными. М.: ИЛ, 1958. – 158 c.
V.V. Volchkov, Vit. V. Volchkov
Morera type theorems for generalized analytic functions.
Functions with zero twisted means over circles of fixed radii are studied. A characterization of solutions
of the equation ∂f
∂z
(z)− z
4
f(z) = 0 in terms of the above means is founded.
Keywords: Morera type theorems, twisted convolution, Heisenberg group.
В.В. Волчков, Вiт. В. Волчков
Теореми типу Морери для узагальнених аналiтичних функцiй.
Вивчаються функцiї з нульовими викривленими середнiми по колах фiксованих радiусiв. Знайдено
характеризацiю розв’язкiв рiвняння ∂f
∂z
(z)− z
4
f(z) = 0 у термiнах зазначених iнтегральних середнiх.
Ключовi слова: теореми типу Морери, викривлена згортка, група Гейзенберга.
Донецкий национальный ун-т
valeriyvolchkov@gmail.com
Получено 27.11.12
68
|