Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора
Рассмотрена задача параметрической идентификации нелинейной модели химического реактора. Особенностью задачи является нелинейность представления в уравнении одного из идентифицируемых параметров. Применение метода наименьших квадратов сводит задачу к нахождению корней нелинейной системы....
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124134 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора / В.Н. Ткаченко, О.В. Тубольцева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 235-242. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124134 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241342017-09-21T03:03:13Z Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора Ткаченко, В.Н. Тубольцева, О.В. Рассмотрена задача параметрической идентификации нелинейной модели химического реактора. Особенностью задачи является нелинейность представления в уравнении одного из идентифицируемых параметров. Применение метода наименьших квадратов сводит задачу к нахождению корней нелинейной системы. Розглянуто задачу параметричної iдентифiкацiї нелiнiйної моделi хiмiчного реактора. Особливiстю задачi є нелiнiйнiсть подання в рiвняннi одного з iдентифiкованих параметрiв. Застосування методу найменших квадратiв зводить задачу до знаходження коренiв нелiнiйної системи. The problem of parametric identification of nonlinear models of chemical reactors. The peculiarity of the problem is the representation of non-linearity in the equation of one of the identifiable parameters. Application of the least squares method reduces the problem to finding roots of nonlinear systems. 2012 Article Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора / В.Н. Ткаченко, О.В. Тубольцева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 235-242. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124134 66.023:681.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача параметрической идентификации нелинейной модели химического реактора. Особенностью задачи является нелинейность представления в уравнении одного из идентифицируемых параметров. Применение метода наименьших квадратов сводит задачу к нахождению корней нелинейной системы. |
| format |
Article |
| author |
Ткаченко, В.Н. Тубольцева, О.В. |
| spellingShingle |
Ткаченко, В.Н. Тубольцева, О.В. Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Ткаченко, В.Н. Тубольцева, О.В. |
| author_sort |
Ткаченко, В.Н. |
| title |
Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора |
| title_short |
Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора |
| title_full |
Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора |
| title_fullStr |
Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора |
| title_full_unstemmed |
Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора |
| title_sort |
идентификация параметров нелинейной модели химического реактора |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124134 |
| citation_txt |
Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора / В.Н. Ткаченко, О.В. Тубольцева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 235-242. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT tkačenkovn identifikaciâparametrovnelinejnojmodelihimičeskogoreaktora AT tubolʹcevaov identifikaciâparametrovnelinejnojmodelihimičeskogoreaktora |
| first_indexed |
2025-07-09T00:53:47Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:53:47Z |
| _version_ |
1837128671049023488 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 66.023:681.5
c©2012. В.Н. Ткаченко, О.В. Тубольцева
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ
ХИМИЧЕСКОГО РЕАКТОРА
Рассмотрена задача параметрической идентификации нелинейной модели химического реактора.
Особенностью задачи является нелинейность представления в уравнении одного из идентифициру-
емых параметров. Применение метода наименьших квадратов сводит задачу к нахождению корней
нелинейной системы.
Ключевые слова: химический реактор,нелинейная модель, параметрическая идентификация,
метод наименьших квадратов.
1. Введение. Для создания новых технологий производства нанодисперсных
порошков функциональных материалов и технологий специальных химических ре-
активов необходима разработка математических моделей, адекватно описывающих
физико-химические процессы, происходящие на различных стадиях процесса. Иден-
тификация параметров позволяет производить подстройку модели к реальному про-
цессу, используя наблюдаемые данные.
2. Построение модели. В качестве математической модели реактора прини-
мается система [1], состоящая из уравнений материального и теплового баланса:
dCx
dt
= −ACn
x e−
E
RT +
q
V
Cx0
dT
dt
=
AH
c1ρ1
Cn
x e−
E
RT − hS
c1ρ1V
(T − TC)− c2ρ2q
c1ρ1V
(T − TB)
, (1)
где t время, Cx – текущая концентрация реагента и T – температура реакционной
системы, R – универсальная газовая постоянная, A – предэкспоненциальный мно-
житель уравнения Аррениуса, n – порядок реакции, E – энергия активации, Cx0 –
концентрация раствора подаваемого реагента, q – объемная скорость подачи реаген-
та, V – объем реакционной системы, S – поверхность теплопередачи, h – коэффици-
ент теплопередачи, H – энтальпия реакции, c1 и c2 – теплоемкости, соответственно,
системы и раствора подаваемого реагента, ρ1 и ρ2 – плотности реакционной систе-
мы и раствора подаваемого реагента, TC и TB – температуры внутренней стенки
реактора и раствора подаваемого реагента.
Для системы, моделирующей процесс растворения железа в азотной кислоте,
значения параметров представлены в таблице 1.
Динамика данного процесса представлена изменениями концентрации железа
(рис. 1) и температуры раствора (рис. 2).
235
В.Н. Ткаченко, О.В. Тубольцева
Таблица 1. Параметры исследуемой системы
Физические величины Значения
парамет-
ров
Единицы изме-
рения
Предэкспоненциальный множитель уравне-
ния Аррениуса, A
1000 м3/(кг · c)
Порядок реакции, n 1,5
Универсальная газовая постоянная, R 8,31 Дж/(моль ·K)
Энергия активации, E 15000 Дж/моль
Коэффициент теплопередачи, h 18 Дж/(м2 · c ·K)
Объемная скорость подачи реагента,q 0,001 м3/c
Объем реакционной системы, V 0,229074 м3
Концентрация раствора подаваемого реаген-
та, Cx0
30 кг/м3
Теплоемкость системы, c1 4100 Дж/(кг ·K)
Теплоемкость раствора подаваемого реаген-
та, c2
4100 Дж/(кг ·K)
Плотность реакционной системы, ρ1 1200 кг/м3
Плотность раствора подаваемого реагента,
ρ2
1020 кг/м3
Энтальпия системы, H 300000 Дж/моль
Поверхность теплопередачи, S 1,178097 м2
Температура внутренней стенки реактора,
TC
300 K
Температура раствора подаваемого реаген-
та, TB
330 K
Рис. 1. Концентрация
236
Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора
Рис. 2. Температура
3. Идентификация параметров модельной системы. Пусть значения ве-
личин A, q, V, Cx0 , c1, ρ1, c2, ρ2, S, TC , TB, H известны. Энергия активации E и
коэффициент теплопередачи h – неизвестные параметры, которые будем идентифи-
цировать методом наименьших квадратов. Для нелинейной системы (1) проведем
идентификацию вектора параметров
ā = (E, h),
учитывая, что параметр E – входит нелинейно, а параметр h – линейно.
Для упрощения записи системы (1) обозначим:
C = Cx, α =
q
V
Cx0 , η =
H
c1ρ1
, β =
S
c1ρ1V
, γ =
c2ρ2q
c1ρ1V
, (2)
тогда система (1), с учетом (2), примет вид:
dC
dt
= −ACne−
E
RT + α
dT
dt
= ηACne−
E
RT − hβ(T − TC)− γ(T − TB)
. (3)
Выполним конечно-разностную аппроксимацию системы (3) с постоянным шагом
∆ по времени t:
Ci+1 = Ci + ∆
(
−ACn
i e
− E
RTi + α
)
Ti+1 = Ti + ∆
(
ηACn
i e
− E
RTi − hβ(Ti − TC)− γ(Ti − TB)
) , (4)
массивы Ci и Ti есть измерения концентрации и температуры в i-й момент време-
ни, где i = 1,M + 1, M – количество интервалов на временной оси и также число
итераций в (4).
Тогда невязка конечно-разностных уравнений определяется следующим образом:
237
В.Н. Ткаченко, О.В. Тубольцева
J =
M∑
i=1
{[
Ci+1 − Ci + ∆(ACn
i e
− E
RTi − α)
]2
+
+
[
Ti+1 − Ti −∆
(
ηACn
i e
− E
RTi − hβ(Ti − TC)− γ(Ti − TB)
)]2
}
. (5)
Определим необходимые условия экстремума функционала (5)
∂J
∂E
= 0
∂J
∂h
= 0
.
Продифференцировав (5) по компонентам вектора ā = (E, h), получим
∂J
∂E
= 2
M∑
i=1
[(
Ci+1 − Ci + ∆(ACn
i e
− E
RTi − α)
)(
−∆ACn
i
RTi
e
− E
RTi
)
+
+
(
Ti+1 − Ti + ∆(β(Ti − TC)h + γ(Ti − TB)− ηACn
i e
− E
RTi )
) ∆ηACn
i
RTi
e
− E
RTi
]
,
∂J
∂h
= 2
M∑
i=1
(
Ti+1 − Ti + ∆(β(Ti − TC)h + γ(Ti − TB)− ηACn
i e
− E
RTi )
)
∆β(Ti − TC).
Найдем параметры E, h как решения системы
M∑
i=1
[(
Ci+1 − Ci + ∆(ACn
i e
− E
RTi − α)
)(
−∆ACn
i
RTi
e
− E
RTi
)
+
+
(
Ti+1 − Ti + ∆(β(Ti − TC)h + γ(Ti − TB)− ηACn
i e
− E
RTi )
) ∆ηACn
i
RTi
e
− E
RTi
]
= 0,
M∑
i=1
(
Ti+1 − Ti + ∆(β(Ti − TC)h + γ(Ti − TB)− ηACn
i e
− E
RTi )
)
∆β(Ti − TC) = 0.
Сократим на ∆2A
/
R > 0 и на β∆2 > 0, соответственно, первое и второе уравнение,
получим систему
M∑
i=1
(
α− Ci+1 − Ci
∆
+
(
Ti+1 − Ti
∆
+ γ(Ti − TB)
)
η
)
Cn
i
Ti
e
− E
RTi−
− (1 + η2)A
M∑
i=1
C2n
i
Ti
e
− 2E
RTi + βη
M∑
i=1
(Ti − TC)Cn
i
Ti
e
− E
RTi h = 0,
M∑
i=1
(
Ti+1 − Ti
∆
+ γ(Ti − TB)− ηACn
i e
− E
RTi
)
(Ti − TC)+
+ βh
M∑
i=1
(Ti − TC)2 = 0.
(6)
238
Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора
Исключим переменную h, выразив из второго уравнения системы (6),
h =
M∑
i=1
[(
ηACn
i e
− E
RTi − Ti+1 − Ti
∆
− γ(Ti − TB)
)
(Ti − TC)
](
β
M∑
i=1
(Ti − TC)2
)−1
(7)
и подставим (7) в первое уравнение системы (6)
M∑
i=1
Cn
i
Ti
e
− E
RTi
(
Ci − Ci+1
∆
+
η(Ti+1 − Ti)
∆
+ α + ηγ(Ti − TB)− (1 + η2)ACn
i e
− E
RTi
)
+
+
M∑
i=1
(Ti − TC)
Ti
Cn
i e
− E
RTi
{ M∑
i=1
[(
Ti − Ti+1
∆
− γ(Ti − TB)
)
(Ti − TC)
]
+ (8)
+ηA
M∑
i=1
(Ti − TC)Cn
i e
− E
RTi
}
η
(
M∑
i=1
(Ti − TC)2
)−1
= 0.
Полученное уравнение вида f(E) = 0 решим численными методами. Можно вы-
числять при помощи стандартных методов решения нелинейных уравнений. В част-
ности, метод Ньютона (метод касательных) весьма эффективен для решения по-
добных задач, поскольку обеспечивает квадратичную сходимость: число значащих
цифр результата удваивается на каждой итерации.
Будем считать, что уравнение f(E) = 0 на отрезке [a; b] имеет изолированный
корень E∗ (f(a) · f(b) < 0, f(E) и f ′(E) – непрерывные, f ′(E) сохраняет знак на
[a; b]).
В качестве решения примем Ek – k-тое приближение корня, для которого вы-
полнено косвенное условие
|Ek −Ek−1| < ε,
где ε – необходимая точность.
Для начального приближения E0 = a (или E0 = b) проверим условие
f(E0) · f ′′(E0) > 0.
Следующее приближение корня будем искать в виде
Ek+1 = Ek − f(Ek)
f ′(Ek)
, k = 0, 1, 2, . . .
Найдем производные аналитически:
f ′(E) =
1
R
M∑
i=1
[(Ci+1 − Ci
∆
− η(Ti+1 − Ti)
∆
− α−
− ηγ(Ti − TB)
)Cn
i
T 2
i
e
− E
RTi + 2(1 + η2)A
C2n
i
T 2
i
e
− 2E
RTi
]
−
239
В.Н. Ткаченко, О.В. Тубольцева
−
[
M∑
i=1
(Ti − TC)
T 2
i
Cn
i e
− E
RTi ·
M∑
i=1
(
Ti − Ti+1
∆
− γ(Ti − TB) + ηACn
i e
− E
RTi
)
(Ti − TC)+
+ηA ·
M∑
i=1
(
(Ti − TC)Cn
i
Ti
e
− E
RTi
)2
]
· η
R
(
M∑
i=1
(Ti − TC)2
)−1
,
f ′′(E) =
−1
R2
M∑
i=1
[(Ci+1 − Ci
∆
− η(Ti+1 − Ti)
∆
− α−
− ηγ(Ti − TB) + 4A(1 + η2) · Cn
i e
− E
RTi
)Cn
i
T 3
i
e
− E
RTi
]
+
+
[
M∑
i=1
(Ti − TC)
T 3
i
Cn
i e
− E
RTi
M∑
i=1
(
(Ti − TC)
(
Ti − Ti+1
∆
− γ(Ti − TB) + ηACn
i e
− E
RTi
))
+
+ηA
M∑
i=1
((
1 + 2e−
E
RTi
) (Ti − TC)2C2n
i
T 3
i
e
− E
RTi
)]
η
R2
(
M∑
i=1
(Ti − TC)2
)−1
.
Идентификацию параметров проведем при различных уровнях зашумления на-
блюдаемых значений концентрации и температуры. Прежде всего рассмотрим слу-
чай отсутствия шума, когда в качестве наблюдаемых значений рассматриваются мо-
дельные значения, полученные выше (рис.1, 2). В таблице 2 представлены итерации
последовательного приближения Ek – значений параметра E и hk – соответству-
ющие значения параметра h, а также значения невязки при данных параметрах.
Невязка J(Ek, hk) убывает до нулевого значения.
Таблица 2. Идентификация с заданной точностью ε = 0, 0000001
№ Значение пара-
метра E
Значение парамет-
ра h
Невязка J(E, h)
1 10000.000000000 -18233.489193736248 8.7706888048496676200
2 11155.047805304 -10416.159012178454 2.8663550007603522100
3 12250.686062206 -5697.175216713754 0.8599138246718196500
4 13247.485017380 -2878.319129638247 0.2208374339611106900
5 14082.230987621 -1246.210002875800 0.0420732587373657100
6 14667.796384066 -386.948752184523 0.0043167807092513100
7 14943.480587566 -47.145965994726 0.0001117201255012500
8 14997.950806219 15.663731256128 0.0000001436816410300
9 14999.990235510 17.988872135607 0.0000000000032597100
10 14999.999965361 17.999960524200 0.0000000000000000400
11 14999.999999877 17.999999860215 0.0000000000000000000
12 15000.000000000 17.999999999531 0.0000000000000000000
13 15000.000000000 18.000000000024 0.0000000000000000000
240
Идентификация параметров нелинейной модели химического реактора
Отметим, что истинные значения параметров E = 15000 и h = 18 совпадают с
полученными значениями с точностью 0, 0000000001 каждый.
4. Идентификация с шумом. Следующим этапом проведем идентификацию
параметров на основе данных, имеющих зашумление типа белый шум. Зашумлять
будем либо наблюдаемые значения концентрации, либо значения температуры, а
также оба варианта. Кроме того, рассмотрим различные уровни шума, попытаемся
определить максимально допустимые СКО белого шума, при которых идентифика-
ция параметров является корректной.
В таблице 3 представлены результаты идентификации при различных уровнях
СКО шума по концентрации и по температуре, 1 и 2 столбец, соответственно. При
начальном значении параметра E0 = 10000 рассчитаны значения параметра E,
значения параметра h и соответствующие значения невязки, полученные на 20-й
итерации (так как с заданной точностью ε = 0, 0000001, необходимо минимум 13
итераций). Значение математического ожидания равно 0.
Значения невязки малы во всех рассмотренных случаях. Наибольшие значения
наблюдаются в строках № 2, 3 и 8, 9, когда по Сх CKO от значения 0,05 и выше.
Результаты идентификации отличаются от реальных таким образом, что
по E:
δ = 15.602293981 (строка 2),
δ = 13.372034174(стр. 3),
δ = 15.603741021 (стр. 8),
δ = 15.602446730 (стр. 9)
и, соответственно, наибольшие значения отклонений параметра h:
δ = 17.725260009756 (стр. 2),
δ = 15.279996147415 (стр.3),
δ = 22.825040866441 (стр. 8),
δ = 18.263590579086 (стр. 9).
Отметим, что неточности аппаратуры значительно ниже уровня шумов рассмот-
ренных вычислительных экспериментов.
Таблица 3. Идентификация с шумом
№ СКО
шума
по Cx
СКО
шума
по T
Полученное зна-
чение параметра
E
Значение пара-
метра h
Невязка
J(E, h)
1 0.01 — 14998.240926003 15.994611018873 0.00000815851
2 0.05 — 15015.602293981 35.725260009756 0.00063737248
3 0.1 — 14986.627965826 2.720003852585 0.00047365726
4 — 0.0001 15000.000187324 18.664291731223 0.00000000260
5 — 0.0005 15000.001438087 23.099780934269 0.00000015330
6 — 0.001 15000.000151804 18.538330577543 0.00000000171
7 0.01 0.0001 14998.241113196 16.658902751210 0.00000816114
8 0.05 0.0005 15015.603741021 40.825040866441 0.00063752425
9 0.1 0.001 15015.602446730 36.263590579086 0.00063737403
241
В.Н. Ткаченко, О.В. Тубольцева
5. Выводы. В работе рассмотрена задача идентификации параметров нелиней-
ной модели химического реактора. Задача решена методом наименьших квадратов,
который сводит задачу к решению системы нелинейных уравнений относительно
идентифицируемых параметров. Выполнены вычислительные эксперименты реше-
ния задачи при различных шумовых воздействиях на измеряемые переменные со-
стояния. В условиях отсутствия шумов измерения задача параметрической иден-
тификации решается практически точно, с увеличением интенсивности шумовых
воздействий ошибки решения остаются в пределах, приемлемых для практического
использования. Показаны значения шумов, при которых смещения решений дости-
гают значительных величин.
1. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов работы химических реакторов. – М.:
Химия, 1981. – 198 с.
2. Тубольцева О.В., Раков В.Ф. Анализ математической модели химического реактора полунепре-
рывного действия для исследования устойчивости. – Науковi працi Донецького нацiонального
технiчного унiверситету. Серiя: "Обчислювальна технiка та автоматизацiя". – 2011. – 20 (182).
– С. 66–73
3. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния.
– М.: Мир, 1975. – 681 c.
V.N. Tkachenko, O.V. Tuboltseva
Identification of Parameters for non linear model by chemical reactor.
The problem of parametric identification of nonlinear models of chemical reactors. The peculiarity of
the problem is the representation of non-linearity in the equation of one of the identifiable parameters.
Application of the least squares method reduces the problem to finding roots of nonlinear systems.
Keywords: chemical reactor, a nonlinear model, parametric identification, the method of least squares.
В.М. Ткаченко, О.В. Тубольцева
Iдентифiкацiя параметрiв нелiнiйної моделi хiмiчного реактора.
Розглянуто задачу параметричної iдентифiкацiї нелiнiйної моделi хiмiчного реактора. Особливiстю
задачi є нелiнiйнiсть подання в рiвняннi одного з iдентифiкованих параметрiв. Застосування мето-
ду найменших квадратiв зводить задачу до знаходження коренiв нелiнiйної системи.
Ключовi слова: хiмiчний реактор, нелiнiйна модель, параметрична iдентифiкацiя, метод най-
менших квадратiв.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
tkachenko@iamm.ac.donetsk.ua
olga.tuboltseva@mail.ru
Получено 30.05.12
242
|