О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом
Рассмотрено уравнение Шредингера для водородоподобного атома с кулоновским потенциалом. Найдены собственные значения и функции в условиях поворотно-инвариантной граничной задачи во внешности шара....
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124180 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом / В.П. Бурский, А.А. Зарецкая // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 66-71. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124180 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1241802017-09-23T03:03:20Z О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом Бурский, В.П. Зарецкая, А.А. Рассмотрено уравнение Шредингера для водородоподобного атома с кулоновским потенциалом. Найдены собственные значения и функции в условиях поворотно-инвариантной граничной задачи во внешности шара. Розглянуто рiвняння Шредiнгера для воднеподiбного атома з кулонiвським потенцiалом. Знайдено власнi значення i функцiї в умовах поворотно-iнварiантної граничної задачi у зовнiшностi кулi. We consider the Schr¨odinger equation of hydrogen-type atom with Coulomb potential. The eigen-value and eigen-function are found in the case of swing-invariant boundary value problem. 2013 Article О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом / В.П. Бурский, А.А. Зарецкая // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 66-71. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124180 517.954 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрено уравнение Шредингера для водородоподобного атома с кулоновским потенциалом. Найдены собственные значения и функции в условиях поворотно-инвариантной граничной задачи во внешности шара. |
| format |
Article |
| author |
Бурский, В.П. Зарецкая, А.А. |
| spellingShingle |
Бурский, В.П. Зарецкая, А.А. О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Бурский, В.П. Зарецкая, А.А. |
| author_sort |
Бурский, В.П. |
| title |
О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом |
| title_short |
О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом |
| title_full |
О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом |
| title_fullStr |
О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом |
| title_full_unstemmed |
О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом |
| title_sort |
о спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора шрёдингера с кулоновским потенциалом |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124180 |
| citation_txt |
О спектре и собственных функциях оператора общей эквивариантной граничной задачи во внешности шара для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциалом / В.П. Бурский, А.А. Зарецкая // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 66-71. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT burskijvp ospektreisobstvennyhfunkciâhoperatoraobŝejékvivariantnojgraničnojzadačivovnešnostišaradlâoperatorašrëdingeraskulonovskimpotencialom AT zareckaâaa ospektreisobstvennyhfunkciâhoperatoraobŝejékvivariantnojgraničnojzadačivovnešnostišaradlâoperatorašrëdingeraskulonovskimpotencialom |
| first_indexed |
2025-07-09T00:58:30Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:58:30Z |
| _version_ |
1837128984591073280 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 27
УДК 517.954
c©2013. В.П. Бурский, А.А. Зарецкая
О СПЕКТРЕ И СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЯХ ОПЕРАТОРА
ОБЩЕЙ ЭКВИВАРИАНТНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
ВО ВНЕШНОСТИ ШАРА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЁДИНГЕРА
С КУЛОНОВСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ
Рассмотрено уравнение Шредингера для водородоподобного атома с кулоновским потенциалом.
Найдены собственные значения и функции в условиях поворотно-инвариантной граничной задачи
во внешности шара.
Ключевые слова: граничная задача, уравнение Шредингера.
1. Введение. В данной работе найден спектр излучения водородоподобного ато-
ма с ядром нетривиального радиуса, который понимается как спектр оператора из
названия статьи. Как правило, на решение уравнения Шредингера, то есть на вол-
новую функцию, накладывают два ограничения – ограниченность в нуле и финит-
ность на бесконечности ([7]). В настоящей статье на волновую функцию не ставятся
ограничения в нуле, вместо этого поставлена некоторая поворотно-инвариантная
граничная задача во внешности шара радиуса r0. В других случаях, например, для
нелинейных эволюционных уравнений Шредингера, краевые задачи были изучены
во множестве работ ([1]–[2], [6], [8]–[9]). В данной работе рассмотрена внешняя об-
щая эквивариантная граничная задача для уравнения Шредингера с кулоновским
потенциалом и получены собственные значения, то есть энергии излучения, и соот-
ветствующие собственные функции поставленной задачи. Отметим, что полученные
значения энергий совпадают с энергиями излучения атома с ядром точечного раз-
мера.
2. Основной результат. Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера для
частицы с массой M в поле кулонова потенциала с общей граничной задачей во
внешности шара K = {x ∈ R3, |x| < r0}:
(4(x, y, z) +
2M
~2
(
µ2
r
+ E))ψ(r, ϕ, θ) = 0, (1)
Aψ|∂K + Bψ′ν |∂K = 0. (2)
Здесь −µ2
r – потенциал, E – собственные значения, ~ – постоянная Дирака,
ψ(r, ϕ, θ) – искомая волновая функция. Будем предполагать, что граничная зада-
ча (2) инвариантна относительно поворотов шара.
Рассмотрим квазирегулярное представление T : G → GL(L2(Sn−1)),
[T (g)f ] (ξ) = f(g−1ξ), f(ξ) ∈ L2(Sn−1), g ∈ G группы Ли G = SO(3). Как известно
([4], [5]), всякий линейный оператор в L2(S2), перестановочный со всеми операто-
рами T (g) квазирегулярного представления, является свёрточным. Будем поэтому
66
О спектре и собственных функциях оператора Шрёдингера
рассматривать граничные задачи вида
α ∗ ψ|∂K + β ∗ ψ′ν |∂K = 0. (3)
Здесь α, β – некоторые функции на сфере ∂K.
Найдем общее решение уравнения (1). Пусть в полярных координатах решение
представляется в виде
ψ(r, ϕ, θ) = Ĉ
∞∑
l=0
l∑
m=−l
Rl,m(r)Yl,m(ϕ, θ), (4)
где Rl,m(r) – неизвестная радиальная функция, а
Yl,m =
1√
2π
eimϕ(−1)m
√
2l + 1
2
(l −m)!
(l + m)!
Pm
l (cos θ) (5)
– сферические функции, собственные функции оператора квадрата момента импуль-
са с собственными значениями l(l + 1), l = 0, 1, 2..∞, Pm
l (cos θ) – присоединённые
многочлены Лежандра. При подстановке (4) в (1) получаем следующее уравнение
на радиальную часть волновой функции:
R′′
l,m +
2
r
R′
l,m + Rl,m(− 1
r2
l(l + 1) +
1
r
2Mµ2
~2
+
2ME
~2
) = 0. (6)
Будем искать решение уравнения (6) явно. Для этого сделаем замену в уравнении
(6):
Rl,m(ρ) = R̂l,m(ρ)ρle−ρ/2, ρ = 2nr. (7)
И для удобства введем обозначение
√
−2ME
~2
= n, (8)
будем рассматривать случай E < 0. Приходим к следующему уравнению:
R̂′′
l,mρ + R̂′
l,m(2l + 2− ρ) + R̂l,m(
Mµ2
n~2
− l + 1) = 0. (9)
Последнее уравнение – вырожденное гипергеометрическое уравнение с первым
параметром −Mµ2
n~2 + l − 1 и со вторым параметром 2l + 2. Поэтому в терминах
вырожденных гипергеометрических функций первого и второго рода получим
R̂l,m(ρ) = C1(l, m)ρle−ρ/2Φ(l − Mµ2
n~2
− 1, 2l + 2, ρ)+
+C2(l, m)ρle−ρ/2ρ−2l−1Ψ(−l − Mµ2
n~2
− 2,−2l, ρ).
(10)
67
В.П. Бурский, А.А. Зарецкая
Исследуем поведение радиальной части волновой функции на бесконечности,
используя уравнение (6). Пусть r принимает большие значения, тогда в уравнении
(6) можно пренебречь некоторыми слагаемыми, а именно теми, которые умножаются
на 1
r или на 1
r2 . Получим уравнение R′′+ 2ME
~2 R = 0, которое имеет одно финитное на
бесконечности решение R = e−nr. Значит, решение уравнения (6) на бесконечности
должно вести себя примерно как e−nr. Это значит, что функция Ψ(−l − Mµ2
n~2 −
2,−2l, ρ) из (10) не должна расти на бесконечности слишком быстро. Однако, как
известно ([3]), вырожденная гипергеометрическая функция растет как экспонента
своего аргумента.
Для того, чтобы вырожденная гипергеометрическая функция первого рода в
(10) не испортила поведения радиальной функции на бесконечности, нужно чтобы
первый параметр был бы целым отрицательным
Φ(α, β, z) = 1 +
α
β
z
1!
+
α(α + 1)
β(β + 1)
z2
2!
+
α(α + 1)(α + 2)
β(β + 1)(β + 2)
z3
3!
+ ... (11)
Как видно из определения вырожденной гипергеометрической функции (11), если
первый параметр α будет целым отрицательным, то начиная с некоторого момента
все слагаемые в ряде обнулятся и, таким образом, функция превратится в полином,
а значит, будет иметь не очень большой рост на бесконечности. Обозначим целое
отрицательное значение первого параметра первой вырожденной гипергеометриче-
ской функции в (10) −Mµ2
n~2 + l − 1 = −k + l − 1. Ясно, что k, главное квантовое
число, может быть любым целым положительным числом, k ≥ l − 1, k > 0. Значит,
n = Mµ2
~2k
.
Посмотрим, как ведет себя функция Ψ(−l − k − 2,−2l, x) на бесконечности ([3])
Ψ(−l − k − 2,−2l, x) ≈
≈
N∑
p=0
(−1)p (−l − k − 2)p(−k + l − 1)p
p!
xk−l−p + O(|x|k−l−N−1).
(12)
Из последнего равенства видно, что функция на бесконечности ведет себя как по-
лином.
Возвращаясь к (8) можно увидеть, что значения энергий будут таковы:
Ek =
−Mµ4
2~2k2
, k = 1..∞. (13)
Замечание. Отметим, что в данном случае энергия обратно-пропорционально
зависит от квадрата главного квантового числа, так же как и в случае ограничен-
ности волновой функции в нуле.
Полином, полученный из вырожденной гипергеометрической функции первого
рода, связан с полиномами Лагерра. Решение (10) с помощью полиномов Лагерра
68
О спектре и собственных функциях оператора Шрёдингера
можно переписать так:
R̂l,m(ρ) = C1(l, m)ρle−ρ/2 (k − l + 1)!
(2l + 2)k−l+1
L2l+1
k−l+1(ρ)+
+C2(l, m)ρle−ρ/2ρ−2l−1Ψ(−l − Mµ2
n~2
− 2,−2l, ρ).
(14)
Вернемся к общей граничной задаче
ψ|∂K ∗ α + ψ′ν |∂K ∗ β = 0. (15)
Пусть
α =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
αm
l Yl,m, β =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
βm
l Yl,m (16)
– функции, разложенные в ряды Фурье, ∗ – свертка на ∂K.
ψk|∂K =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
am
k,lYl,m, ψ′kν |∂K =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
bm
k,lYl,m, (17)
то есть
ψk|∂K ∗ α =
∞∑
l=0
l∑
m=−l
am
k,lα
1
l Yl,m. (18)
Граничная задача (15) в терминах коэффициентов Фурье для каждого k запишется
в виде
am
k,lα
1
l + bm
k,lβ
1
l = 0. (19)
При этом
am
k,l = R̂k,l,m|ρ=ρ0 , bm
k,l =
1
ρ0
∂R̂k,l,m(ρ)
∂ρ
∣∣∣∣∣
ρ=ρ0
, (20)
am
k,l = C1(k, l, m)ρ2l+3
0 Φ(l − k − 1, 2l + 2, ρ0)+
+ C2(k, l,m)ρ2
0Ψ(−k − l − 2,−2l, ρ0),
(21)
bm
k,l = C1(k, l, m)ρ2l+1
0 (lΦ(l − k − 1, 2l + 2, ρ0)− 1/2ρ0Φ(l − k − 1, 2l + 2, ρ0)+
+ρ0
l − k − 1
2l + 2
Φ(l − k, 2l + 3, ρ0)) + C2(k, l, m)((−l − 1)Ψ(−k − l − 2,−2l, ρ0)−
−1/2ρ0Ψ(−k − l − 2,−2l, ρ0) + ρ0(l + k + 2)Ψ(−k − l − 1,−2l + 1, ρ0)).
(22)
Граничная задача, таким образом, может быть записана так:
69
В.П. Бурский, А.А. Зарецкая
{C1(k, l,m)ρ2l+3
0 Φ(l − k − 1, 2l + 2, ρ0) + C2(k, l, m)ρ2
0Ψ(−k − l − 2,−2l, ρ0)}α1
l +
+{C1(k, l, m)ρ2l+1
0 (lΦ(l − k − 1, 2l + 2, ρ0)− 1/2ρ0Φ(l − k − 1, 2l + 2, ρ0)+
+ρ0
l − k − 1
2l + 2
Φ(l − k, 2l + 3, ρ0)) + C2(k, l, m)((−l − 1)Ψ(−k − l − 2,−2l, ρ0)−
−1/2ρ0Ψ(−k − l − 2,−2l, ρ0) + ρ0(l + k + 2)Ψ(−k − l − 1,−2l + 1, ρ0))}β1
l = 0.
(23)
Будем считать, что C2(k, l,m) ≡ 1, так равенство (15) можно разделить и умно-
жить на любое число. Из последнего равенства можем выразить C1(k, l,m)
C1(k, l, m) = − ((−l − 1)Ψ(−k − l − 2,−2l, ρ0)− 1/2ρ0Ψ(−k − l − 2,−2l, ρ0) +(
ρ2l+1
0 lΦ(l − k − 1, 2l + 2, ρ0)− 1/2ρ2l+2
0 Φ(l − k − 1, 2l + 2, ρ0) +
+ ρ0(l + k + 2)Ψ(−k − l − 1,−2l + 1, ρ0))β1
l + ρ2
0Ψ(−k − l − 2,−2l, ρ0)α1
l
+ ρ2l+2
0
l−k−1
2l+2 Φ(l − k, 2l + 3, ρ0)
)
β1
l + ρ2l+3
0 Φ(l − k − 1, 2l + 2, ρ0)α1
l
.
(24)
Теперь оставшуюся неизвестную константу Ĉ(k, l, m) находим из нормировочного
условия ∫ ∞
ρ0
|ψk(ρ, ϕ, θ)|2ρdρ = 1. (25)
Теорема. Собственные значения и соответствующие собственные функции
задачи (1), (2) в вышеизложенных обозначениях, выглядят следующим образом:
Ek =
−Mµ4
2~2k2
, k = 1..∞,
ψk(r, ϕ, θ) = Ĉ
k∑
l=0
l∑
m=−l
(C1(k, l, m)(2nr)le−nrΦ(l − k − 1, 2l + 2, 2nr)+
+(2nr)−l−1e−nrΨ(−l − k − 2,−2l, 2nr))Yl,m(ϕ, θ).
1. Бибиков П.Н., Тарасов В.О. Краевая задача для нелинейного уравнения Шредингера // Теор.
и мат. физика. – 1989. – Вып. 3. – С. 334–346.
2. Бикбаев Р.Ф., Итс А.Р. Алгеброгеометрические решения краевой задачи для нелинейного урав-
нения Шредингера // Мат. заметки. – 1989. – Вып. 5. – С. 3–9.
3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция.
Функции Лежандра. – М.: Наука, 1965. – 296 с.
4. Бурский В.П. Методы исследования граничных задач. – Киев.: Наукова думка, 2002. – 315 с.
5. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп. – М.: Наука, 1991. – 576 с.
6. Владимиров М.В. Разрешимость смешанной задачи для нелинейного уравнения Шрёдингера
// Мат. сборник. – 1986. – Вып. 4. – С. 520–536.
7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория. – М.: Наука, 1989. – 757 с.
70
О спектре и собственных функциях оператора Шрёдингера
8. Мазепа Е.А. Краевые задачи для стационарного уравнения Шредингера на римановых много-
образиях // Сибирский математический журнал. – 2002. – Вып. 3. – С. 591–599.
9. Махмудов Н.М. Разрешимость краевых задач для уравнения Шредингера с чисто мнимым
коэффициентом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. –
2011. – Вып. 1. – С. 31–38.
V.P. Burskii, A.A. Zaretskaya
On the spectrum and eigenfunctions of the equivariant general boundary value problem
outside the sphere for the Schrödinger operator with Coulomb potential.
We consider the Schrödinger equation of hydrogen-type atom with Coulomb potential. The eigen-value
and eigen-function are found in the case of swing-invariant boundary value problem.
Keywords: boundary value problem, the Schrödinger equation.
В.П. Бурський, А.О. Зарецька
Про спектр i власнi функцiї оператора загальної еквiварiантної граничної задачi у
зовнiшностi кулi для оператора Шредiнгера з кулонiвським потенцiалом.
Розглянуто рiвняння Шредiнгера для воднеподiбного атома з кулонiвським потенцiалом. Знайдено
власнi значення i функцiї в умовах поворотно-iнварiантної граничної задачi у зовнiшностi кулi.
Ключовi слова: гранична задача, рiвняння Шредiнгера.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
seerall@mail.ru
Получено 12.12.13
71
|