Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов
Дослiджено задачу оптимального керування процесами, якi описуються заданими на часовому променi (−∞, 0] лiнiйними еволюцiйними рiвняннями без початкових умов. Доведено iснування та єдинiсть оптимального керування, а також отримано спiввiдношення, якi його характеризують. Для деякого звуження дослiдж...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Нелинейные граничные задачи |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124279 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов / М. Бокало // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 1-14. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124279 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242792017-10-01T17:28:13Z Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов Бокало, М. Дослiджено задачу оптимального керування процесами, якi описуються заданими на часовому променi (−∞, 0] лiнiйними еволюцiйними рiвняннями без початкових умов. Доведено iснування та єдинiсть оптимального керування, а також отримано спiввiдношення, якi його характеризують. Для деякого звуження дослiджуваної задачi її розв’язок знаходиться з iнтегрального рiвняння Фредгольма другого роду з необмеженим промiжком iнтегрування, яке можна розв’язувати методом послiдовних наближень. 2010 Article Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов / М. Бокало // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 1-14. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 0236-0497 MSC (2000): 45B05, 45N05, 47D06, 49J20, 49J27, 49K20 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124279 uk Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Дослiджено задачу оптимального керування процесами, якi описуються заданими на часовому променi (−∞, 0] лiнiйними еволюцiйними рiвняннями без початкових умов. Доведено iснування та єдинiсть оптимального керування, а також отримано спiввiдношення, якi його характеризують. Для деякого звуження дослiджуваної задачi її розв’язок знаходиться з iнтегрального рiвняння Фредгольма другого роду з необмеженим промiжком iнтегрування, яке можна розв’язувати методом послiдовних наближень. |
| format |
Article |
| author |
Бокало, М. |
| spellingShingle |
Бокало, М. Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов Нелинейные граничные задачи |
| author_facet |
Бокало, М. |
| author_sort |
Бокало, М. |
| title |
Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов |
| title_short |
Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов |
| title_full |
Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов |
| title_fullStr |
Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов |
| title_full_unstemmed |
Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов |
| title_sort |
задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124279 |
| citation_txt |
Задача оптимального керування еволюційними системами без початкових умов / М. Бокало // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 1-14. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Нелинейные граничные задачи |
| work_keys_str_mv |
AT bokalom zadačaoptimalʹnogokeruvannâevolûcíjnimisistemamibezpočatkovihumov |
| first_indexed |
2025-07-09T01:10:19Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:10:19Z |
| _version_ |
1837129710271725568 |
| fulltext |
14 Нелинейные граничные задачи 20, 14-27 (2010)
c©2010. М. Бокало
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ
ЕВОЛЮЦIЙНИМИ СИСТЕМАМИ БЕЗ ПОЧАТКОВИХ УМОВ
Дослiджено задачу оптимального керування процесами, якi описуються заданими на
часовому променi (−∞, 0] лiнiйними еволюцiйними рiвняннями без початкових умов. Дове-
дено iснування та єдинiсть оптимального керування, а також отримано спiввiдношення, якi
його характеризують. Для деякого звуження дослiджуваної задачi її розв’язок знаходиться
з iнтегрального рiвняння Фредгольма другого роду з необмеженим промiжком iнтегрування,
яке можна розв’язувати методом послiдовних наближень.
Ключовi слова: еволюцiйне рiвняння, оптимальне керування, задача без початкових
умов
MSC (2000): 45B05, 45N05, 47D06, 49J20, 49J27, 49K20
Вступ.
Теорiя оптимального керування детермiнованими системами (див. [5]) опи-
рається на такi вихiднi положення:
1) керування v вибирається з деякої множини U∂ (множина допустимих
керувань), що є пiдмножиною простору U (простору керувань);
2) стан y(v) керованої системи визначається для вибраного керування v як
розв’язок рiвняння
Λy(v) = Θ(v), (1)
де Λ – заданий оператор, який визначається керованою системою (Λ – "модель"
системи), Θ(v) – задана функцiя;
3) спостереження z(v) визначається як певна функцiя стану y(v);
4) функцiя вартостi J : U → R задається за допомогою деякої числової
функцiї (z, v) → Φ(z, v) ≥ 0 на "просторi спостережень" та просторi (множинi)
допустимих керувань за законом
J(v) = Φ(z(v), v), v ∈ U ( або v ∈ U∂ ). (2)
Задача оптимального керування детермiнованими системами полягає у
вiдшуканнi керування u ∈ U∂ такого, що
J(u) = inf
v∈U∂
J(v). (3)
Будь-яке таке значення u називається оптимальним керуванням.
В теорiї оптимального керування вирiшують такi проблеми:
(i) отримати умови iснування глобального мiнiмуму функцiоналу J ;
Задача оптимального керування еволюцiйними системами без початкових умов 15
(ii) вивчити структуру i властивостi рiвнянь, якi виражають цi умови (в
них повинна брати участь "модель" Λ);
(iii) скласти конструктивний алгоритм чисельного знаходження апрокси-
мацiй оптимального керування u.
Побудова теорiї оптимального керування детермiнованими системами за-
лежить вiд моделi Λ. Ця теорiя у випадку, коли Λ є звичайним диференцiаль-
ним оператором, викладена в монографiї [1] та iнших працях. Але в багато-
чисельних прикладних задачах через складнiсть керованих систем в якостi Λ
розглядається оператор з частинними похiдними. Iншими словами, дослiджу-
ються системи, для яких стан y(v) визначається як розв’язок диференцiально-
го рiвняння з частинними похiдними, що задовольняє певнi крайовi умови, а у
випадку еволюцiйних рiвнянь, ще i початкову умову [2, 4, 5, 6, 7].
Тут ми розглядаємо проблему оптимального керування еволюцiйними си-
стемами, стан яких визначається заданими на часовому промiжку (−∞, 0] ево-
люцiйними рiвняннями першого порядку за часовою змiнною в гiльбертових
просторах. Тодi початковий момент спiвпадає з −∞ i стандартну початкову
умову ставити не можна, а потрiбно її замiнити, наприклад, на обмеження по-
ведiнки розв’язку при t → −∞. Тому ми кажемо, що розглядаються еволюцiйнi
системи без початкових умов. Достатньо повний огляд результатiв стосовно за-
дачi без початкових умов для рiзноманiтних еволюцiйних рiвнянь можна знай-
ти в [8]. Вiдмiтимо, що конкретними реалiзацiями еволюцiйних рiвнянь, якi
розглядаються в данiй роботi, є, наприклад, диференцiальнi рiвняння пара-
болiчного типу.
Тут доведено iснування єдиного розв’язку задачi оптимального керування
системами, що описуються еволюцiйними рiвняннями без початкових умов, у
випадку фiнального спостереження. Також отриманi спiввiдношення, якi ха-
рактеризують оптимальне керування. В одному частковому випадку знаход-
ження оптимального керування зведено до розв’язування iнтегрального рiв-
няння Фредгольма другого роду з необмеженим промiжком iнтегрування, роз-
в’язок якого можна знайти методом послiдовних наближень.
1. Вихiднi положення.
Нехай V i H – гiльбертовi простори над полем дiйсних чисел з вiдповiдно
скалярними добутками (·, ·)V i (·, ·) та нормами ‖ · ‖V i | · |. Припустимо, що
простiр V неперервно i щiльно вкладається в H (тобто, V є пiдмножиною H,
замикання V за нормою H збiгається з H та iснує стала λ∗ > 0 така, що
|v| ≤ λ∗‖v‖V для будь-якого v ∈ V ).
Нехай a(·, ·) : V × V → R – бiлiнiйна форма, яка володiє властивостями
симетричностi:
a(v,w) = a(w, v), v, w ∈ V,
16 М. Бокало
V −коерцитивностi:
a(v, v) ≥ α‖v‖2
V , v ∈ V (α = const > 0 ),
i неперервностi:
|a(v,w)| ≤ β‖v‖V ‖w‖V , v, w ∈ V (α ≤ β = const ).
Визначимо оператор A : D(A) → H за таким правилом. Нехай D(A) := {v ∈
V
∣
∣ |a(v,w)| ≤ cv|w|, w ∈ V (cv – стала, яка залежить вiд v)}. Отож, якщо v ∈
D(A), то вiдображення V ∋ w → a(v,w) ∈ R однозначно продовжується до
лiнiйного неперервного функцiоналу на H. Звiдси за теоремою Рiса отримуємо
iснування для кожного v ∈ D(A) єдиного елемента Av ∈ H такого, що
(Av,w) = a(v,w), w ∈ V. (4)
Очевидно, оператор A є лiнiйним, симетричним:
(Av,w) = (v,Aw), v, w ∈ D(A), (5)
i V −коерцитивним
(Av, v) ≥ α‖v‖2
V , v ∈ D(A). (6)
Зi сказанного випливає (див., наприклад, [10, Chapter IV]), що A – замкне-
ний оператор в H (тобто володiє властивiстю: якщо {vm}∞m=1 – послiдовнiсть
елементiв з D(A) i елементи v,w ∈ H такi, що vm −→
m→∞
v i Avm −→
m→∞
w в H, то
v ∈ D(A) i Av = w) та вкладення D(A) ⊂ H є щiльним.
Введемо на D(A) скалярний добуток
(v,w)D(A) = (v,w) + (Av,Aw), v, w ∈ D(A),
який породжує норму графiка
‖v‖2 := |v|2 + |Av|2, v ∈ D(A). (7)
Оскiльки оператор A є замкненим, то простiр D(A) з введеним скалярним до-
бутком є гiльбертовим. Також зi сказанного випливає, що D(A) неперервно i
щiльно вкладається в H.
Як доведено, наприклад, в [10, Chapter IV], оператор −A : D(A) → H є
генератором аналiтичної пiвгрупи {T (τ) ≡ e−τA
∣
∣ τ ≥ 0} операторiв з L(H) i
e−τAv =
∞
∑
m=1
e−λmτ (v, vm) vm, v ∈ H, τ ≥ 0, (8)
Задача оптимального керування еволюцiйними системами без початкових умов 17
де {λm}∞m=1, {vm}∞m=1 – послiдовностi вiдповiдно дiйсних чисел та елементiв з
D(A) такi, що
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ... ≤ λm ≤ ...,
Avm = λmvm, m ∈ N,
{vm}∞m=1 – ортонормована база в H.
Очевидно, для кожного m ∈ N число λm – власне значення (взяте стiльки разiв,
яка його кратнiсть), а vm – власний елемент оператора A, вiдповiдний λm.
На пiдставi рiвностi Парсеваля з (8) отримаємо
|e−τAv|2 =
∞
∑
m=1
e−2λmτ |(v, vm)|2 ≤
≤ e−2λ1τ
∞
∑
m=1
|(v, vm)|2 = e−2λ1τ |v|2, v ∈ H, τ ≥ 0,
звiдки маємо оцiнку
‖e−τA‖L(H) ≤ eω0τ , τ ≥ 0, де ω0 := −λ1 < 0. (9)
Введемо ще деякi позначення. Нехай P – який-небудь промiжок числової
осi, а X – гiльбертiв простiр зi скалярним добутком (·, ·)X i нормою ‖ · ‖X . Пiд
C(P ;X) розумiтимемо лiнiйний простiр, складений з функцiй, якi визначенi на
P, приймають значення в X та є неперервними. Через L2(P ;X) позначатимемо
гiльбертiв простiр вимiрних (класiв) функцiй f : P → X, для яких |f(·)| ∈
L2(P ), зi скалярним добутком
((f, g)) :=
∫
P
(f(t), g(t))X dt.
Пiд L2,loc(P ;X) розумiтимемо лiнiйний простiр вимiрних (класiв) функцiй, якi
визначенi на P, приймають значення в X i їх звуження на довiльний вiдрiзок
[t1, t2] ⊂ P належать простору L2([t1, t2];X).
Через W 1
2 (P ;X) позначатимемо гiльбертiв простiр функцiй f ∈ L2(P ;X),
якi мають узагальненi похiднi f ′ в сенсi D′( intP ;X) (intP – внутрiшнiсть про-
мiжку P ) з простору L2(P ;X), зi скалярним добутком
(f, g)W 1
2
(P ;X) :=
∫
P
{(f(t), g(t))X + (f ′(t), g′(t))X} dt.
Пiд W 1
2,loc
(P ;X) розумiтимемо лiнiйний простiр вимiрних (класiв) функцiй, якi
визначенi на P, приймають значення в X i їх звуження на довiльний вiдрiзок
[t1, t2] ⊂ P належать простору W 1
2 ([t1, t2];X). Вiдомо [3], що W 1
2,loc
(P ;X) ⊂
C(P ;X).
18 М. Бокало
Далi через L(X,Y ), де X,Y – банаховi простори, позначається банахiв
простiр лiнiйних неперервних операторiв, якi дiють на X i приймають значення
в Y , з операторною нормою ‖ · ‖L(X,Y ).
Нехай S := (−∞, 0]. Розглянемо задачу без початкових умов для еволю-
цiйного рiвняння: для заданої функцiї f ∈ L2(S;H) знайти функцiю y : S → H
таку, що
y′(t) + Ay(t) = f(t), t ∈ S , (10)
y ∈ L2(S;H). (11)
Цю задачу коротко називатимемо задачею (10),(11). Зауважимо, що вона є
задачею P2 з роботи [8] при µ = 0, q = 2 та з −A замiсть A.
Згiдно з [8] слабким розв’язком задачi (10),(11) називають функцiю y ∈
C(S;H) ∩ L2(S;H), яка задається формулою
y(t) = Lf(t) :=
∫ t
−∞
e−(t−s)Af(s) ds, t ∈ S.
Пiд L2−значним розв’язком задачi (10),(11) розумiють функцiю y∈W 1
2,loc
(S;H)
∩L2,loc(S;D(A)) ∩ L2(S;H), яка задовольняє рiвняння (10) майже всюди на S.
З теореми 2.9 роботи [8] випливає, що задача (10),(11) має слабкий розв’язок.
Якщо ж f ∈ L2(S;D(A)), то на пiдставi теореми 2.20 роботи [8] слабкий розв’язок
задачi (10),(11) є єдиним її L2−значним розв’язком, причому вiн належить про-
стору C(S;D(A)).
2. Формулювання задачi та основних результатiв.
Нехай U – гiльбертiв простiр керувань зi скалярним добутком (·, ·)U i нор-
мою | · |U ; B ∈ L(U ;L2(S;H)) – деякий оператор. Через B∗ : L2(S;H) → U
позначимо оператор, спряжений до оператора B, тобто (B∗f, v)U = ((f,Bv))
для будь-яких f ∈ L2(S;H), v ∈ U. Нагадаємо, що через ((·, ·)) позначається
скалярний добуток в L2(S;H).
Припускаємо, що для кожного керування v ∈ U стан системи визначається
як слабкий розв’язок задачi без початкових умов
dy(t; v)
dt
+ Ay(t; v) = g(t) + Bv(t), t ∈ S, (12)
y(v) ∈ L2(S;H), (13)
де g ∈ L2(S;H) – задана функцiя, Bv(t) := (Bv)(t), t ∈ S.
Нехай N ∈ L(U) – симетричний i коерцитивний оператор, тобто (Nv,w)U =
(v,Nw)U i (Nv, v)U ≥ ν‖v‖2
U для будь-яких v,w ∈ U, де ν = const > 0.
Введемо функцiонал
J(v) = |y(0; v) − z0|2 + (Nv, v)U , v ∈ U,
Задача оптимального керування еволюцiйними системами без початкових умов 19
де y(·; v) – розв’язок задачi (12),(13), z0 – який-небудь елемент з H.
Нехай U∂ – опукла замкнена пiдмножина U . Розглянемо задачу опти-
мального керування: знайти функцiю u ∈ U∂ (оптимальне керування) таку, що
виконується (3). Далi цю задачу коротко називатимемо задачею (3).
Дослiдження однозначної розв’язностi задачi (3) є основною метою нашої
роботи. Сформулюємо її основнi результати.
Теорема 1. Задача (3) має єдиний розв’язок (оптимальне керування) i вiн
характеризується нерiвнiстю
(
y(0;u) − z0, y(0; v) − y(0;u)
)
+
(
Nu, v − u
)
U
≥ 0 ∀v ∈ U∂ . (14)
Теорема 2. Нехай z0 ∈ D(A), g ∈ L2(S;D(A)), B(U∂) ⊂ L2(S;D(A)). Тодi
оптимальне керування в задачi (3) характеризується спiввiдношеннями
dy(t)
dt
+ Ay(t) = g(t) + Bu(t), t ∈ S, (15)
−dp(t)
dt
+ Ap(t) = 0, t ∈ S; p(0) = y(0) − z0, (16)
(
B∗p + Nu, v − u
)
U
≥ 0 ∀v ∈ U∂ , (17)
y ∈ W 1
2 (S;H) ∩ L2(S;D(A)), p ∈ C1(S;H) ∩ C(S;D(A)) ∩ L2(S;H), u ∈ U∂ .
(18)
Наслiдок 1. Нехай виконуються умови теореми 2 i, крiм того, U=L2(S;D(A)),
B = I (I – тотожнiй оператор), Nv = νv, v ∈ U(ν = const > 0), U∂ = U . Тодi
розв’язок задачi оптимального керування еволюцiйною системою без почат-
кових умов (3) є розв’язком iнтегрального рiвняння
νu(t)) +
∫
S
e(t+s)Au(s) ds = etAz0 −
∫
S
e(t+s)Ag(s) ds, t ∈ S, (19)
(etA := e−|t|A, t ∈ S) та навпаки, причому для ν > (2λ1)
−1 рiвняння (19)
можна розв’язати методом послiдовних наближень.
3. Доведення основних результатiв.
Доведення теореми 1. При доведеннi суттєво будемо опиратися на таке
вiдоме (див. [5, теорема 1.3]) твердження.
Твердження 1. Нехай v → J(v) : U → R – строго опуклий i дифе-
ренцiйовний функцiонал, який у випадку, коли U∂ – необмежена множина,
задовольняє умову
J(v) → +∞ при ‖v‖U → +∞, v ∈ U∂ . (20)
20 М. Бокало
Тодi iснує єдиний розв’язок (оптимальне керування) задачi (3) i вiн характе-
ризується варiацiйною нерiвнiстю
J ′(u) · (v − u) ≥ 0 ∀ v ∈ U∂ . (21)
Перевiримо виконання умов твердження 1 у нашому випадку. Для цього
перш за все покажемо, що оператор v → y(0; v) : U → H є афiнним i неперерв-
ним. Справдi, з означення слабкого розв’язку задачi (12), (13) маємо
y(0; v) = L(g + Bv)(0) =
∫
S
esAg(s) ds +
∫
S
esABv(s) ds =
= Lg(0) + LBv(0) ≡ g0 + Mv, v ∈ U, (22)
де g0 := Lg(0) ≡
∫
S esAg(s) ds – елемент H, а M : U → H, де Mv := LBv(0) ≡
∫
S esABv(s) ds, v ∈ U, – лiнiйний оператор.
Доведемо, що оператор M є неперервним. Справдi, використовуючи (9),
для довiльного v ∈ U маємо
|Mv| = |LBv(0)| =
∣
∣
∣
∣
∫
S
esABv(s) ds
∣
∣
∣
∣
≤
∫
S
e−ω0s|Bv(s)| ds ≤
≤
(
∫
S
e−2ω0s ds
)1/2(∫
S
|Bv(s)|2 ds
)1/2
= (2|ω0|)−1||Bv||L2(S;H) ≤
≤ (2λ1)
−1||B||L(U ;L2(S;H))||v||U ,
звiдки випливає те, що нам потрiбно.
Тепер переконаємося, що функцiонал J є строго опуклим. Нехай u,w ∈ U
– довiльнi i рiзнi. Маємо
2(Nv,w)U < (Nv, v)U + (Nw,w)U . (23)
Справдi, з коерцитивностi i симетричностi оператора N випливає
0 < ν||v − w||2U ≤ (N(v − w), v − w)U = (Nv, v)U − 2(Nv,w)U + (Nw,w)U ,
звiдки маємо (23).
Тепер на пiдставi (22), (23), симетричностi оператора N i опуклостi функ-
цiонала | · |2 : H → R для будь-якого α ∈ (0, 1) маємо
J(αv+(1−α)w) = |y(0;αv+(1−α)w)−z0|2+(N(αv+(1−α)w), αv+(1−α)w)U =
= |α(g0 + Mv − z0) + (1 − α)(g0 + Mw − z0)|2+
+α2(Nv, v)U + 2α(1 − α)(Nv,w)U + (1 − α)2(Nw,w)U <
Задача оптимального керування еволюцiйними системами без початкових умов 21
< α|g0 + Mv − z0|2 + (1 − α)|g0 + Mw − z0|2 + α(Nv, v)U + (1 − α)(Nw,w)U =
= αJ(v) + (1 − α)J(w),
що i доводить строгу опуклiсть функцiонала J.
Доведемо, що функцiонал J є диференцiйовним i знайдемо його диферен-
цiал. Нехай v, h ∈ U – довiльнi. Тодi, враховуючи (22), маємо
J(v+h)−J(v) = |y(0; v+h)−z0|2+(N(v+h), v+h)U −|y(0; v)−z0|2−(Nv, v)U =
= |g0 + Mv − z0 + Mh|2 − |g0 + Mv − z0|2 + 2(Nv, h)U + (Nh, h)U =
= 2(g0 + Mv − z0,Mh) + 2(Nv, h)U + |Mh|2 + (Nh, h)U .
Звiдси випливає, що функцiонал J є диференцiйовним i його диференцiал
J ′(v)h = 2(y(0; v) − z0,Mh) + 2(Nv, h)U , v, h ∈ U. (24)
Умова (20) для функцiонала J випливає з коерцитивностi оператора N.
Отже, ми переконалися, що виконуються умови твердження 1, а значить, iснує
єдиний розв’язок u ∈ U∂ задачi (3) i вiн характеризується нерiвнiстю (21).
Згiдно з (24) нерiвнiсть (21) має вигляд
(y(0;u) − z0,M(v − u)) + (Nu, v − u)U ≥ 0 ∀v ∈ U∂ . (25)
На пiдставi означення M маємо
M(v − u) = LB(v − u)(0) =
∫
S
esA(Bv − Bu)(s)ds = y(0; v) − y(0;u),
звiдки та з (25) випливає нерiвнiсть (14). �
Доведення теореми 2. Перш за все зауважимо, що на пiдставi теореми 2.20
роботи [8] при наших припущеннях для будь-якого v ∈ U∂ слабкий розв’язок
задачi (12), (13) є єдиним її L2−значним розв’язком, причому y(v) ∈ W 1
2 (S;H)∩
L2(S;D(A)) ∩ C(S;D(A)).
Введемо в розгляд спряжений стан p(t), t ∈ S, як розв’язок задачi
−dp(t)
dt
+ Ap(t) = 0, t ∈ S, (26)
p(0) = y(0;u) − z0, (27)
p ∈ C1(S;H) ∩ C(S;D(A)) ∩ L2(S;H). (28)
Доведемо, що задача (26) – (28) має єдиний розв’язок. Для цього зробимо
замiну змiнних τ = −t i покладемо S̃ := [0;+∞), p̃(τ) := p(−τ), τ ∈ S̃. У
результатi одержимо задачу
dp̃(τ)
dτ
+ Ap̃(τ) = 0, τ ∈ S̃, (29)
22 М. Бокало
p̃(0) = p0 := y(0;u) − z0, (30)
p̃ ∈ C1(S̃;H) ∩ C(S̃;D(A)) ∩ L2(S̃;H). (31)
Покажемо, що задача (29) – (31) має єдиний розв’язок. Для цього зауважимо,
що задача вiдшукання функцiї p̃ ∈ C(S̃;H)∩C1((0,+∞);H)∩C((0,+∞);D(A))),
яка задовольняє рiвняння (29) на променi (0,+∞) та початкову умову (30), є
не що iнше, як задача Кошi для рiвняння (29) в класичнiй постановцi. З тео-
рiї пiвгруп (див., наприклад [9, 10]) i того, що p0 ∈ D(A), випливає iснування
єдиної функцiї p̃ ∈ C1(S̃;H) ∩ C(S̃;D(A))), яка задовольняє рiвняння (29) на
S̃, умову (30) та має зображення
p̃(τ) = e−τAp0, τ ≥ 0. (32)
Звiдси та з нерiвностi (9) маємо
|p̃(τ)| ≤ eω0τ |p0|, τ ≥ 0,
звiдки видно, що p̃ ∈ L2(S̃;H).
Отож, ми довели iснування єдиного розв’язку задачi (29) – (31), а значить,
i однозначну розв’язнiсть задачi (26) – (28) та зображення (див. (32)) розв’язку
цiєї задачi у виглядi
p(t) = etA(y(0;u) − z0), t ∈ S. (33)
Нехай p – розв’язок задачi (26) – (28) i t0 < 0 – довiльне. Для кожного
t ∈ [t0, 0] домножимо скалярно рiвнiсть (26) на y(t; v) − y(t;u) i проiнтегруємо
отриману рiвнiсть за t вiд t0 до 0 :
0 = −
0
∫
t0
(
dp(t)
dt
, y(t; v) − y(t;u)
)
dt +
0
∫
t0
(Ap(t), y(t; v) − y(t;u))dt. (34)
Використовуючи формулу iнтегрування частинами, отримаємо
−
0
∫
t0
(
dp(t)
dt
, y(t; v)−y(t;u)
)
dt =−(p(0), y(0; v)−y(0;u))+(p(t0), y(t0; v)−y(t0;u))+
+
0
∫
t0
(
p(t),
dy(t; v)
dt
− dy(t;u)
dt
)
dt. (35)
На пiдставi симетричностi оператора A маємо
0
∫
t0
(Ap(t), y(t; v) − y(t;u))dt =
0
∫
t0
(p(t), Ay(t; v) − Ay(t;u))dt. (36)
Задача оптимального керування еволюцiйними системами без початкових умов 23
Пiдставивши (35) i (36) в (34) та врахувавши (12) i (27), пiсля простих
перетворень отримаємо
(
y(0;u)−z0, y(0; v)−y(0;u)
)
=
(
p(t0), y(t0; v)−y(t0;u)
)
+
0
∫
t0
(
p(t), B(v−u)(t)
)
dt.
(37)
З (33) випливає, що |p(t0)| → 0 при t0 → −∞, а з того, що y(·; v) ∈
W 1
2 (S;H), маємо |y(t0; v)| → 0 при t0 → −∞. Зi сказаного, враховуючи, що
p i B(v − u) належать L2(S;H), випливає можливiсть граничного переходу в
(37) при t0 → −∞. У результатi цього переходу отримаємо
(y(0;u) − z0, y(0; v) − y(0;u)) = ((p,B(v − u))), (38)
де, як було ранiше сказано, ((·, ·)) – скалярний добуток в L2(S;H).
Звiдси та з (14) маємо нерiвнiсть, яка характеризує оптимальне керування
((p,B(v − u))) + (Nv, v − u)U ≥ 0 ∀v ∈ U∂ .
З цiєї нерiвностi, якщо врахувати означення оператора B∗, отримаємо (17).
Отже, пiдсумовуючи сказане, приходимо до висновку про правильнiсть нашої
теореми. �
Доведення наслiдку 1. З теореми 2 на пiдставi додаткових припущень на-
шого твердження випливає, що оптимальне керування u характеризується спiв-
вiдношеннями
dy(t)
dt
+ Ay(t) = g(t) + u(t), t ∈ S, (39)
−dp(t)
dt
+ Ap(t) = 0, t ∈ S, p(0) = y(0) − z0, (40)
p(t) + νu(t) = 0, t ∈ S, (41)
y ∈ W 1
2 (S;H) ∩ L2(S;D(A)),
p ∈ C1(S;H) ∩ C(S;D(A)) ∩ L2(S;H), u ∈ L2(S;D(A)).
(42)
В системi спiввiдношень (39) – (42) виключимо функцiю p, використавши (41):
dy(t)
dt
+ Ay(t) = g(t) + u(t), t ∈ S, (43)
−du(t)
dt
+ Au(t) = 0, t ∈ S; u(0) = −1
ν
(
y(0) − z0
)
, (44)
y ∈ W 1
2 (S;H) ∩ L2(S;D(A)), u ∈ C1(S;H) ∩ C(S;D(A)) ∩ L2(S;D(A)). (45)
24 М. Бокало
Тепер виключимо iз спiввiдношень (43) – (45) функцiю y, використовуючи
теорiю пiвгруп лiнiйних обмежених операторiв з L(H). При цьому використо-
вуватимемо введену вище пiвгрупу {T (τ) ≡ e−τA
∣
∣ τ ≥ 0}.
Перш за все вiдмiтимо, що функцiю y ∈ W 1
2 (S,H) ∩ L2(S,D(A)), яка за-
довольняє рiвняння (43), можна трактувати, як L2−значний розв’язок задачi
(12), (13) з B = I, v = u, а отже (див. [8, теорема 2.20]), її можна записати у
виглядi
y(t) =
∫ t
−∞
T (t − s)g(s) ds +
∫ t
−∞
T (t − s)u(s) ds, t ∈ S. (46)
Звiдси отримаємо
y(0) =
∫ 0
−∞
T (−s)g(s) ds +
∫ 0
−∞
T (−s)u(s) ds. (47)
Отже, ми приходимо до висновку, що оптимальне керування u, тобто розв’язок
задачi (3), характеризується спiввiдношеннями
(44), (47) та u ∈ C1(S;H) ∩ C(S;D(A)) ∩ L2(S;D(A)).
Спростимо цi спiввiдношення. Для цього зробимо в них замiну змiнних τ = −t
i покладемо
S̃ := [0,+∞); ũ(τ) := u(−τ), g̃(τ) := g(−τ) ∀τ ∈ S̃.
У результатi отримаємо спiввiдношення
dũ(τ)
dτ
+ Aũ(τ) = 0, τ ∈ S̃; ũ(0) = −1
ν
(
y(0) − z0
)
, (48)
y(0) =
∫ +∞
0
T (s)ũ(s) ds +
∫ +∞
0
T (s)g̃(s) ds. (49)
ũ ∈ C1(S̃,H) ∩ C(S̃,D(A)) ∩ L2(S̃,D(A)). (50)
На основi теорiї пiвгруп [9, 10] легко довести, що цi спiввiдношення є рiвно-
сильними спiввiдношенням
ũ(τ) = −1
ν
T (τ)
(
∫ +∞
0
T (s)ũ(s) ds +
∫ +∞
0
T (s)g̃(s) ds − z0
)
, τ ∈ S̃, (51)
ũ ∈ L2(S̃,D(A)). (52)
Справдi, нехай ũ є розв’язком задачi (51),(52). Тодi
∫ +∞
0
T (s)ũ(s) ds +
∫ +∞
0
T (s)g̃(s) ds − z0 ∈ D(A),
Задача оптимального керування еволюцiйними системами без початкових умов 25
а отже, з рiвностi (51) випливає, що ũ належить C1(S̃,H) ∩ C(S̃,D(A)) i задо-
вольняє (48), (49). Це означає, що для ũ є правильними спiввiдношення (48)
– (50). Правильнiсть оберненого твердження легко перевiряється через зобра-
ження розв’язкiв за допомогою пiвгруп.
Тепер зауважимо, що рiвнiсть (51) можна записати у виглядi
ũ(τ) = −1
ν
(
∫ +∞
0
T (τ +s)ũ(s) ds+
∫ +∞
0
T (τ +s)g̃(s) ds−T (τ)z0
)
, τ ∈ S̃. (53)
Рiвняння (53) є iнтегральним рiвнянням Фредгольма другого роду, але з
необмеженим промiжком iнтегрування. Покажемо, що розв’язок ũ∈L2(S̃;D(A))
цього рiвняння можна знайти методом послiдовних наближень. Для цього спо-
чатку запишемо це рiвняння у виглядi операторного рiвняння i доведемо, що
при ν > (2λ1)
−1 до цього рiвняння можна застосувати теорему Банаха про
iснування нерухомої точки оператора стиску.
Введемо оператор
G : L2(S̃;D(A)) → L2(S̃;D(A)),
значення якого на довiльному елементi q ∈ L2(S̃;D(A)) задається за правилом
(Gq)(τ) = −1
ν
(
∫ +∞
0
T (τ + s)q(s) ds+
+
∫ +∞
0
T (τ + s)g̃(s) ds − T (τ)z0
)
, τ ∈ S̃. (54)
Покажемо, що це означення оператора є коректним, тобто переконаємося, що
для будь-якого елемента q ∈ L2(S̃;D(A)) маємо Gq ∈ L2(S̃;D(A)).
Нехай q – довiльний елемент простору L2(S̃;D(A)). Зауважимо, що для
будь-якого τ ∈ S̃ маємо T (τ +s)q(s) ∈ D(A) для майже всiх s ∈ S̃ i T (τ +·)q(·) ∈
L2(S̃;D(A)). Легко переконатися, що для довiльних τ ∈ S̃ i майже всiх s ∈ S̃
правильним є такий ланцюжок нерiвностей (через ‖ · ‖ позначається, як було
ранiше сказано, норма в D(A) (див. (7))):
‖T (τ + s)q(s)‖2 = |T (τ + s)q(s)|2 + |AT (τ + s)q(s)|2 ≤ ‖T (τ + s)‖2
L(H)|q(s)|2+
+‖T (τ + s)‖2
L(H)|Aq(s)|2 ≤ ‖T (τ + s)‖2
L(H)‖q(s)‖2,
тобто
‖T (τ + s)q(s)‖ ≤ ‖T (τ + s)‖L(H)‖q(s)‖. (55)
Аналогiчно
‖T (τ + s)g̃(s)‖ ≤ ‖T (τ + s)‖L(H)‖g̃(s)‖, ‖T (τ)z0‖ ≤ ‖T (τ)‖L(H)‖z0‖ (56)
26 М. Бокало
для всiх τ ∈ S̃ та майже всiх s ∈ S̃.
Отож, для довiльного τ ∈ S̃ i майже кожного s ∈ S̃, використовуючи (9),
(55), (56) i позначення µ := −ω0 ≡ λ1 > 0, отримаємо оцiнки
ν ‖Gq(τ)‖ ≤
∥
∥
∥
∫ +∞
0
T (τ + s)q(s) ds
∥
∥
∥
+
∥
∥
∥
∫ +∞
0
T (τ + s)g̃(s) ds
∥
∥
∥
+
∥
∥
∥
T (τ)z0
∥
∥
∥
≤
≤
∫ +∞
0
‖T (τ + s)‖L(H)‖q(s)‖ ds +
∫ +∞
0
‖T (τ + s)‖L(H)‖g̃(s)‖ ds + e−µτ‖z0‖ ≤
≤ e−µτ
∫ +∞
0
e−µs‖q(s)‖ ds + e−µτ
∫ +∞
0
e−µs‖g̃(s)‖ ds + e−µτ‖z0‖ ≤
≤
[(
∫ +∞
0
e−2µs ds
)1/2(∫ +∞
0
‖q(s)‖2ds
)1/2
+
+
(
∫ +∞
0
e−2µs ds
)1/2(∫ +∞
0
‖g̃(s)‖2 ds
)1/2
+ ‖z0‖
]
e−µτ ≤
≤
[
(2µ)−1/2‖q‖
L2
(
S̃;D(A)
) + (2µ)−1/2‖g̃‖
L2
(
S̃;D(A)
) + ‖z0‖
]
e−µτ , τ ∈ S̃. (57)
Звiдси випливає, що Gq ∈ L2(S̃;D(A)).
Тепер вiдмiтимо, що рiвняння (53), враховуючи (54), можна записати у
виглядi
ũ = Gũ. (58)
Доведемо, що при ν > (2µ)−1 оператор G є оператором стиску. Справдi,
для будь-яких q1, q2 ∈ L2(S̃;D(A)) i довiльного τ ∈ S̃, враховуючи (55), маємо
‖Gq1(τ) − Gq2(τ)‖ ≤ 1
ν
∫ +∞
0
‖T (τ + s)‖L(H)‖q1(s) − q2(s)‖ ds ≤
≤ e−µτ
ν
∫ +∞
0
e−µs‖q1(s) − q2(s)‖ ds ≤
≤ e−µτ
ν
(
∫ +∞
0
e−2µs ds
)1/2(∫ +∞
0
‖q1(s) − q2(s)‖2 ds
)1/2
=
=
e−µτ
ν
√
2µ
‖q1 − q2‖L2(S̃;D(A)),
звiдки
‖Gq1 − Gq2‖L2(S̃;D(A)) ≤
≤ 1
ν
√
2µ
(
∫ +∞
0
e−2µτdτ
)1/2
‖q1 − q2‖L2(S̃;D(A)) =
Задача оптимального керування еволюцiйними системами без початкових умов 27
=
1
2νµ
‖q1 − q2‖L2(S̃;D(A)),
тобто
‖Gq1 − Gq2‖L2(S̃;D(A)) ≤ (2νµ)−1‖q1 − q2‖L2(S̃;D(A)). (59)
З (59) випливає, що при ν > (2µ)−1 оператор G є оператором стиску, а
отже, до рiвняння (58) можна застосувати теорему Банаха про iснування неру-
хомої точки оператора стиску. Звiдси отримуємо iснування єдиного елемента
ũ ∈ L2(S̃;D(A)), який є розв’язком рiвняння (58), а отже, i рiвняння (53), яке є
рiвносильним рiвнянню (51). Тепер залишилося тiльки повернутися в рiвняннi
(53) до змiнної t замiсть τ, чим i завершити доведення даного твердження. �
1. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления – М.: Наука ,
1969.
2. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределёнными параметрами
– М.: Наука, 1975.
3. Гаевский Х. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциаль-
ные уравнения - М: Мир,1978.
4. Згуровский М.З. Прикладные методы анализа и управления нелинейными про-
цессами и полями - К.: Наукова думка, 2004.
5. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с
частными производными– М.: Мир , 1972.
6. Balakrishnan V. Semigroup theory and control theory – Washington, 1965.
7. Bermudez A. Some applications of optimal control theory of distributed systems //
Control, optimasation and calculus of variations. – 2002. – V.8. – P.195-218.
8. Bokalo M., Lorenzi A. Linear evolution first-order problems without initial conditions
// Milan Journal of Mathematics. – 2009. – V. 77. – 437-494.
9. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations
– Springer-Verlag, New York, 1983.
10. Showalter R.E. Hilbert space methods for partial differential equations – Monographs
and studies in mathematics (Monographs in differential equations), Volume 1, Pitman,
London, 1977.
Львiвський нацiональний унiверситет
iменi Iвана Франка, Україна
mm.bokalo@gmail.com
Отримано 8.02.11
|