Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області
За допомогою принципу Шаудера, дослiджено характер поведiнки розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi для квазiлiнiйної параболiчної системи бiля межi областi....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Нелинейные граничные задачи |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124288 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області / О. Чмир // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 129-151. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124288 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1242882017-10-01T17:33:39Z Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області Чмир, О. За допомогою принципу Шаудера, дослiджено характер поведiнки розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi для квазiлiнiйної параболiчної системи бiля межi областi. 2010 Article Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області / О. Чмир // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 129-151. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 0236-0497 MSC (2000): 35N10, 70H06 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124288 uk Нелинейные граничные задачи Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
За допомогою принципу Шаудера, дослiджено характер поведiнки розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi для квазiлiнiйної параболiчної системи бiля межi областi. |
| format |
Article |
| author |
Чмир, О. |
| spellingShingle |
Чмир, О. Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області Нелинейные граничные задачи |
| author_facet |
Чмир, О. |
| author_sort |
Чмир, О. |
| title |
Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області |
| title_short |
Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області |
| title_full |
Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області |
| title_fullStr |
Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області |
| title_full_unstemmed |
Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області |
| title_sort |
поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124288 |
| citation_txt |
Поведінка розв'язку узагальненої нормальної крайової задачі для квазілінійної параболічної системи біля межі області / О. Чмир // Нелинейные граничные задачи: сб. науч. тр. — 2010. — Т. 20. — С. 129-151. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. |
| series |
Нелинейные граничные задачи |
| work_keys_str_mv |
AT čmiro povedínkarozvâzkuuzagalʹnenoínormalʹnoíkrajovoízadačídlâkvazílíníjnoíparabolíčnoísistemibílâmežíoblastí |
| first_indexed |
2025-07-09T01:11:15Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:11:15Z |
| _version_ |
1837129925214076928 |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 20, 129-151 (2010) 129
c©2010. О. Чмир
ПОВЕДIНКА РОЗВ’ЯЗКУ УЗАГАЛЬНЕНОЇ НОРМАЛЬНОЇ
КРАЙОВОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНОЇ ПАРАБОЛIЧНОЇ
СИСТЕМИ БIЛЯ МЕЖI ОБЛАСТI
За допомогою принципу Шаудера, дослiджено характер поведiнки розв’язку узагаль-
неної нормальної крайової задачi для квазiлiнiйної параболiчної системи бiля межi областi
Ключовi слова: узагальнена крайова задача, квазiлiнiйна параболiчна система, узагаль-
нена функцiя, ваговий функцiйний простiр, неперервний оператор, компактна множи-
на, теорема Шаудера про нерухому точку.
MSC (2000): 35N10, 70H06
Вступ. Iснує багато праць, в яких проводилось дослiдження розв’язностi,
а саме iснування та єдинiсть розв’язку крайових задач для квазiлiнiйних елiп-
тичних i параболiчних рiвнянь з даними iз простору Lp, p ≥ 1 та iз простору
Соболєва Wm
p , m ∈ N, p > 1. Огляд таких результатiв наведено у статтi [1].
Основнi результати в цьому напрямку отриманi Браудером Ф.I. (Browder F.E.),
Вiшиком М.I., Дубинським Ю.А. та iншими вченими.
Розв’язнiсть крайових задач для параболiчних лiнiйних систем диферен-
цiальних рiвнянь дослiджувалась у працях С.Д. Ейдельмана, С. Д. Iвасишена,
В.А. Солоннiкова та їх учнiв (див., наприклад, [2], [3, c. 12], [4]-[7]).
У багатьох працях (див., наприклад, [8]-[13]), дослiджується iснування
розв’язкiв крайових задач для напiвлiнiйних параболiчних рiвнянь та систем
рiвнянь вигляду (ui)t −△ui = f(u1, ..., un) як локальних ([8]), так i глобальних
([9]), їх властивостi.
Iснування та зображення розв’язку узагальненої крайової задачi для лiнiй-
ної параболiчної системи диференцiальних рiвнянь отримано в [14, c. 140], [15].
У данiй статтi розглядається узагальнена нормальна крайова задача для
квазiлiнiйної параболiчної системи та дослiджено характер поведiнки її розв’яз-
ку бiля межi областi, тобто доведено iснування розв’язку цiєї задачi у спецiаль-
них пiдпросторах вагового L1-простору.
1. Основнi позначення, формулювання задачi та допомiжнi
твердження.
Нехай n ∈ N, Ω – обмежена область в R
n з межею S = ∂Ω класу C∞,
0 < T < +∞, Q = Ω × (0, T ], Σ = S × (0, T ].
Використовуватимемо позначення: p, b ∈ N, m def
= bp, α – мультиiндекс
з компонентами (α1, ..., αn), αi ∈ Z+, i = 1, n, |α| = α1 + ... + αn – довжина
130 О. Чмир
мультиiндексу α, Dα ≡ Dα
x = ∂|α|
∂x
α1
1 ·...·∂xαn
n
; ||x − y|| =
√
n∑
i=1
|xi − yi|2 – евклi-
дова вiдстань в R
n, P = (x, t), M = (y, τ), db(P,M) = |PM |b = db(x, t; y, τ) =√
||x− y||2 + |t− τ |
1
b – параболiчна вiдстань в R
n+1;A(x, t,Dx)=
∑
|α|≤2b
aα(x, t)D α,
aα(x, t) – квадратнi порядку p матрицi з нескiнченно диференцiйовними на Q
елементами; Ip – одинична матриця порядку p; L(x, t,Dx,
∂
∂t) ≡(Ip
∂
∂t−A(x, t,Dx))
– параболiчний диференцiальний оператор [3, c. 12];bj α(x, t) (j = 1,m, |α| ≤ rj)
– матрицi-рядки довжини p з нескiнченно диференцiйовними на Σ елементами,
де 0 ≤ rm ≤ ... ≤ r1 ≤ 2b − 1. Припускаємо, що система крайових диферен-
цiальних виразiв Bj(x, t,Dx) =
∑
|α|≤rj
bj α(x, t)D α, j = 1,m є нормальною на Σ
([3, c. 178]) i задовольняє умову Лопатинського ([3, c. 15]).
Надалi вважатимемо, що довiльна вектор-функцiя F належить до функ-
цiйного простору [X]p, якщо кожна її компонента Fi, i = 1, p належить до X.
Якщо всi компоненти матриць-функцiй чи вектор-функцiй Г(x, t) мають
порядок O(vκ(x, t)), κ ∈ R, (x, t) ∈ Q при v(x, t) → 0, то писатимемо Г(x, t) =
O(vκ(x, t)) при v(x, t) → 0.
Згiдно з [3, c. 178], [5] iснують крайовi диференцiальнi вирази B̂j, Cj , Ĉj
типу Bj, j = 1,m порядкiв вiдповiдно r̂j , mj , m̂j , такi, що rj + m̂j = mj + r̂j =
2b− 1 i правильна формула Ґрiна
∫
Q
[v⊤(Lu) − (L∗v)⊤u] dxdt =
m∑
j=1
∫
Σ
[(B̂jv)(Cju) − (Ĉjv)(Bju)] dSdt+
+
∫
Ω
v⊤(x, t)u(x, t)|t=T
t=0 dx для довiльних u, v ∈ [C∞(Q)]p,
де L∗ = −(Ip
∂
∂t + A∗), A∗ – формально спряжений диференцiальний оператор
до диференцiального оператора A, символ ”⊤” означає транспонування.
Використовуватимемо такi функцiйнi простори:
D(Q) = C∞(Q), D(Σ) = C∞(Σ), D(Ω) = C∞(Ω);
D0(Q) = {ϕ ∈ D(Q) : ∂k
∂tk
ϕ | t=T = 0, k = 0, 1, . . . }, D0(Σ) = {ϕ ∈ D(Σ) :
∂k
∂tk
ϕ | t=T = 0, k = 0, 1, . . . }, D0(Ω) = {ϕ ∈ D(Ω) : Bjϕ |S = 0, j = 1,m},
W l
1, loc(Q) = {v ∈ L1
loc(Q) : ∂α0
∂tα0D
αv ∈ L1
loc(Q), |α| + 2bα0 ≤ l}, l ∈ N.
Позначатимемо через (D0(Σ))
′
, (D0(Ω))
′
– простори лiнiйних неперервних
функцiоналiв вiдповiдно на просторах функцiй D0(Σ), D0(Ω), через (ϕ,F )1
– значення узагальненої вектор-функцiї F ∈ [(D0(Σ))′]p на основнiй вектор-
функцiї ϕ ∈ [D0(Σ)]p, через (ϕ,F )2 – значення F ∈ [(D0(Ω))′]p на ϕ ∈ [D0(Ω)]p,
а пiд s(F ) розумiтимемо максимальний iз порядкiв сингулярностей компонент
узагальненої вектор-функцiї F ([16, c. 123]).
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 131
Нехай l ∈ N, l ≤ 2b − 1, а M(l) – кiлькiсть мультиiндексiв α таких, що
|α| ≤ l. Позначимо через ∂lu = (u, ux1 , ...,D
αu, ...), |α| ≤ l матрицю розмiрно-
стi p ×M(l), компонентами якої є компоненти вектор-функцiї u та їх похiднi
за просторовими змiнними до порядку l. Пiд Mp×M(l) розумiтимемо простiр
матриць розмiрностi p×M(l).
Розглянемо узагальнену нормальну крайову задачу для квазiлiнiйної па-
раболiчної системи
L(x, t,Dx,
∂
∂t
)u(x, t) = F0(x, t, ∂lu(x, t)), (x, t) ∈ Q, (1)
Bj(x, t,Dx)u(x, t) |Σ= Fj(x, t), j = 1,m, (x, t) ∈ Σ, (2)
u|t=0 = Fm+1(x), x ∈ Ω, (3)
де u – шукана вектор-функцiя (матриця-стовпець висоти p), F0, Fm+1 (матрицi-
стовпцi висоти p), Fj (j = 1,m) – заданi функцiї.
Надалi припускатимемо, що
1)F0(x, t, z) (z = (z(0,...,0), z(1,0,...,0), ..., zα, ...)) − вектор-функцiя,
визначена в Q× Mp×M(l), зi значеннями в R
p,
2)Fj ∈ (D0(Σ))′, 0 ≤ s(Fj) ≤ qj, 1 ≤ j ≤ m,
3)Fm+1 ∈ [(D0(Ω))′]p, 0 ≤ s(Fm+1) ≤ qm+1.
(4)
Нехай ̺1(x) (x ∈ Ω) – нескiнченно диференцiйовна невiд’ємна функцiя, яка
додатна в Ω, має порядок вiдстанi d(x) вiд точки x до S бiля S та ̺1(x) ≤ 1,
x ∈ Ω;
̺2(t) (t ∈ (0, T ]) – нескiнченно диференцiйовна невiд’ємна функцiя, яка
має порядок t при t→ 0 i, крiм того, ̺2(t) ≤ 1, t ∈ (0, T ];
̺(x, t) = min{̺1(x); [̺2(t)]
1
2b }, (x, t) ∈ Q.
Введемо функцiйнi простори:
[Xk(Q)]p = {ψ ∈ [D0(Q)]p : ψ(·, 0) ∈ [D0(Ω)]p, B̂jψ |Σ = 0, j = 1,m,L∗ψ(x, t) =
= O(̺k(x, t)), ̺(x, t) → 0};
Mp
k, l(Q) = {v∈ [W l
1,loc(Q)]p : ||v||k, l =
∑
|γ|≤l
∫
Q
̺k+|γ|(x, t)|Dγv(x, t)|p dxdt < +∞},
де k ∈ R, |v|p =
p∑
j=1
|vj|.
Зауваження. У [14, c. 136-137] доведено, що [Xk(Q)]p непорожний при k ≥ 0.
Припустимо, що
k > k0
def
= max
1≤j≤m+1
{qj+2b−rj−(j)}+n−1, де (j) =
{
0, j = m+ 1
1, 1 ≤ j ≤ m,
rm+1 = 2b.
Зауважимо, що k0 ≥ n− 1 при qj ≥ 0, j = 1,m+ 1.
132 О. Чмир
Означення 1. Розв’язком задачi (1)-(3) називається вектор-функцiя u ∈
Mp
k, l(Q) така, що
∫
Q
(L∗ψ)⊤u dxdt =
∫
Q
ψ⊤(x, t)F0(x, t, ∂lu(x, t)) dxdt +
m∑
j=1
(Ĉjψ,Fj(x, t))1+
+(ψ(·, 0), Fm+1(·))2 для довiльної ψ ∈ [Xk(Q)]p.
У [3, c. 16, 120], [6], [15], [17] дослiджено матрицю Ґрiна G =(G0, G1, ..., Gm)
задачi (1)-(3), де G0(x, t; y, τ) – квадратна матриця порядку p, визначена в
точках (x, t; y, τ) ∈ Q × Q при (x, t) 6= (y, τ), вектор-функцiї Gj(x, t; y, τ), j =
1,m довжини p визначенi в точках (x, t; y, τ) ∈ Q × Σ при (x, t) 6= (y, τ) та
Gj(x, t; y, τ) = [Ĉj(y, τ,Dy)G0(x, t; y, τ)]
⊤, j = 1,m. З цих результатiв випливає,
що
1) Gj(x, t; y, τ) = 0 при t < τ , j = 0,m;
2) для будь-яких мультиiндексiв α0, α iснують додатнi сталi Ĉα0, α такi, що
|
∂α0
∂tα0
Dα
xGj(x, t; y, τ)| ≤ Ĉα0, α[db(x, t; y, τ)]
−n−2b+rj+(j)−|α|−2bα0 , j = 0,m; (5)
3) для довiльних α, |α| < 2b, iснують додатнi сталi C̃α такi, що
∫
Q
|Dα
xG0(x, t; y, τ)|p dxdt ≤ C̃α для довiльних (y, τ) ∈ Q.
Подiбно до результатiв [18, 19] доведено таку властивiсть матрицi G0.
Лема 1. Нехай (x, t) ∈ Q, r > −1, α, α0 – довiльнi мультиiндекси. Тодi
∂α0
∂tα0
Dα
x
∫
Q
G0(x, t; y, τ)̺
r(y, τ) dydτ =
=
O([̺1(x)]
r+1−n−|α|−2bα0 + 1) при d(x) → 0,
O([̺2(t)]
r+2b−n−|α|−2bα0
2b + 1) при t → 0,
O(1) всерединi областi Q.
Введемо позначення: gj(x, t) = (Gj(x, t; ∗, ·), Fj (∗, ·))1, j = 1,m,
gm+1(x, t) = (G0(x, t; ∗, 0), Fm+1(∗))2, h(x, t) =
m+1∑
j=1
gj(x, t),
(Hv)(x, t) =
t∫
0
dτ
∫
Ω
G0(x, t; y, τ)F0(y, τ, ∂lv(y, τ)) dy,
(H1v)(x, t) = (Hv)(x, t) + h(x, t).
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 133
Використовуючи властивостi узагальнених функцiй скiнченого порядку
сингулярностi ([16, с. 123-134]) та оцiнки похiдних матрицi Ґрiна, як у [20]
одержуємо такi леми.
Лема 2. Нехай F1, ..., Fm ∈ (D0(Σ))′, Fm+1 ∈ [(D0(Ω))′]p, 0 ≤ s(Fj) ≤ qj,
j = 1,m+ 1. Тодi
1) ∂α0
∂tα0D
αgj(x, t) = O([̺(x, t)]−(n+qj+2b−rj−(j)+|α|+2bα0)) при ̺(x, t) → 0 для до-
вiльних α0, α, j = 1,m+ 1;
2) h ∈ Mp
k, l(Q) для будь-якого k > k0 а саме, iснує додатна стала C1 така, що
||h||k, l = C1 < +∞.
Лема 3. Нехай r ≥ 0. Тодi для довiльного ε > 0 iснує η = η(ε) > 0 таке, що
для довiльної пiдобластi V ⊂ Q, мiра якої m(V ) менша за η, i будь-якої точки
(y, τ) ∈ Q виконується нерiвнiсть
∫
V
̺r(x, t) · |Dγ
xG0(x, t; y, τ)|p dxdt < ε, |γ| ≤ l.
У просторi Mp
k, l(Q) розглянемо систему iнтегро-диференцiальних рiвнянь
v = Hv + h. (6)
Як у статтi [21] та у [14, c. 28] для елiптичного випадку, з використанням
спецiальних властивостей матрицi Ґрiна ([14, c. 168], [15]) та теореми Фубiнi
([22, c. 24]), доводиться, що вектор-функцiя u є розв’язком задачi (1)-(3) тодi
i лише тодi, коли вона є розв’язком системи iнтегро-диференцiальних рiвнянь
(6) у просторi Mp
k, l(Q).
2. Поведiнка розв’язку задачi бiля межi областi.
Знайдемо характер поведiнки розв’язку задачi (1)-(3) бiля межi областi
залежно вiд порядкiв сингулярностей узагальнених функцiй Fj , j = 1,m+ 1 з
правою частиною F0, що задовольняє умови
|F0(x, t, z)|p ≤
l∑
s=0
As
∑
|γ|=s
|zγ |
p̂s
p +A, (x, t) ∈ Q, zγ ∈ Mp×M(l),
|F0(x, t, z
1) − F0(x, t, z
2)|p ≤ B
l∑
s=0
∑
|γ|=s
|z1
γ − z2
γ |
p̂s
p , (x, t) ∈ Q, z1
γ , z
2
γ ∈ Mp×M(l),
p̂s ∈ (0, 1), As, A, B − невiд’ємнi сталi, s = 0, l. (7)
У роботi [23] при F0 вигляду (7) з p̂s ∈ (0, 1
s+n), s = 0, l, функцiях Fj ,
j = 1,m+ 1, що задовольняють (4), отримано iснування розв’язку задачi (1)-(3)
у просторi Mp
k, l(Q), де max
1≤j≤m+1
{qj +2b−rj−(j)}−1+n < k < min
s: As 6=0
0≤s≤l
{−s−1+ 1
p̂s
}.
134 О. Чмир
При µ1, µ2 ∈ R− ∪ {0} введемо норму
||v; ∂Q||µ1, µ2 =
∑
|ς|≤l
max{ sup
(y,τ)∈Q1
[̺1(y)]
−(µ1−|ς|) · |D ςv(y, τ)|p ;
sup
(y,τ)∈Q2
[̺2(τ)]
−
µ2−|ς|
2b · |D ςv(y, τ)|p ; sup
(y,τ)∈Q3
|D ςv(y, τ)|p}
де Q1 = {(x, t) ∈ Q : ̺(x, t) = ̺1(x) та d(x) ≤ ε0
2 },Q
2 = {(x, t) ∈ Q : ̺(x, t) =
2b
√
̺2(t) та t ≤ ε0
2 }, Q
3 = Q \ {Q1 ∪Q2}, ε0 ∈ (0, 1] – таке задане число, що
паралельна до S поверхня Sε0 є класу C∞, i функцiйний простiр
Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q) =
{
v ∈ [C l(Q)]p : [̺1(y)]
−(µ1−|ς|) ·D ςv(y, τ) ∈ [C(Q)]p,
[̺2(τ)]
−
µ2−|ς|
2b ·D ςv(y, τ) ∈ [C(Q)]p, |ς| ≤ l (||v; ∂Q||µ1, µ2 < +∞)
}
.
Оскiльки для v ∈ Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q) при k + µ1 > −1, k + µ2 > −2b
||v||k, l =
∑
|γ|≤l
∫
Q
[̺(y, τ)]k+|γ| · |Dγv(y, τ)|p dydτ ≤
∑
|γ|≤l
[∫
Q1
[̺1(y)]
k+µ1×
× sup
(y,τ)∈Q1
([̺1(y)]
−(µ1−|γ|)·|Dγv(y, τ)|p) dydτ+
∫
Q2
[̺2(τ)]
k+µ2
2b · sup
(y,τ)∈Q2
([̺2(τ)]
−
µ2−|γ|
2b ×
×|Dγv(y, τ)|p) dydτ +
∫
Q3
sup
(y,τ)∈Q3
(|Dγv(y, τ)|p) dydτ
]
= C̃
′′
1
∫
Q1
[̺1(y)]
k+µ1 dydτ+
+C̃
′′
2
∫
Q2
[̺2(τ)]
k+µ2
2b dydτ + C̃
′′
3
∫
Q3
dydτ ≤ Ĉ · (C̃
′′
1 + C̃
′′
2 + C̃
′′
3 ) < +∞,
де Ĉ – додатна стала , C̃
′′
i = C̃
′′
i (v) < +∞, i = 1, 3,
то Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q) ⊂ Mp
k, l(Q) при k > max{−µ1 − 1; −µ2 − 2b}.
Нехай Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q) = {v ∈ Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q) : ||v; ∂Q||µ1, µ2 ≤ C̃} –
замкнена куля радiуса C̃ у просторi Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q).
Лема 4. Якщо вектор-функцiя F0 задовольняє (7) при p̂s ∈ (0, 1
s+n), s = 0, l
та
max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s−
1
p̂s
} < µ1 ≤ min
s: As 6=0
0≤s≤l
{
1 − n− sp̂s
1 − p̂s
},
max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s −
2b
p̂s
} < µ2 ≤ min{ min
s: As 6=0
0≤s≤l
{
2b − n− sp̂s
1 − p̂s
}; 0}, (8)
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 135
то iснує стала K̃0 > 0 така, що при всiх C̃ > K̃0 оператор H вiдображає
Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q) в себе.
Доведення. Знайдемо оцiнку Dς(Hv) при v ∈ Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q), |ς| ≤ l.
Маємо
|Dς(Hv)(x, t)|p ≤
t∫
0
dτ
∫
Ω
|Dς
xG0(x, t; y, τ)|p · (
l∑
s=0
As
∑
|γ|=s
|Dγv(y, τ)|p̂s
p +A) dy.
Використовуючи лему ?? при (µ1 − s)p̂s > −1, (µ2 − s)p̂s > −2b, s = 0, l,
знаходимо
|Dς(Hv)(x, t)|p ≤
l∑
s=0
AsC̃
′
ς,(µ1−s)p̂s
(C̃
′′
1 ) p̂s
(
[̺1(x)]
(µ1−s)p̂s+1−n−|ς| + 1
)
+A
′
≤
≤ [̺1(x)]
µ1−|ς|
[ l∑
s=0
AsC̃
′
ς,(µ1−s)p̂s
(C̃
′′
1 ) p̂s
(
[̺1(x)]
µ1(p̂s−1)−sp̂s+1−n+[̺1(x)]
−(µ1−|ς|)
)
+
+A
′
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|)
]
, (x, t) ∈ Q1;
|Dς(Hv)(x, t)|p ≤
l∑
s=0
AsC̃
′
ς,
(µ2−s)p̂s
2b
(C̃
′′
2 ) p̂s
(
[̺2(t)]
(µ2−s)p̂s+2b−n−|ς|
2b + 1
)
+A
′
≤
≤ [̺2(t)]
µ2−|ς|
2b
[ l∑
s=0
AsC̃
′
ς,
(µ2−s)p̂s
2b
(C̃
′′
2 ) p̂s
(
[̺2(t)]
µ2(p̂s−1)−sp̂s+2b−n
2b + [̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b
)
+
+A
′
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b
]
, (x, t) ∈ Q2;
|Dς(H1v)(x, t)|p ≤
l∑
s=0
AsC̃
′
ς,0(C̃
′′
3 ) p̂s +A
′
, (x, t) ∈ Q3,
де A
′
= A · C̃ς . При виконаннi умов (8)
{
µ1 > s− 1
p̂s
µ1 ≤ −n−1+s·p̂s
1−p̂s
та
{
µ2 > s− 2b
p̂s
µ2 ≤ −n−2b+s·p̂s
1−p̂s
,
s = 0, l,
знаходимо ||Hv; ∂Q||µ1, µ2 ≤ R1, (x, t) ∈ Q, де R1 =
l∑
s=0
AsC̃
′
s ( max
1≤i≤3
C̃
′′
i )p̂s +A
′
,
C̃
′
s = max
|ς|≤l
{C̃
′
ς,(µ1−s)p̂s
, C̃
′
ς,
(µ2−s)p̂s
2b
, C̃
′
ς,0}.
136 О. Чмир
Зауважимо, що при p̂s ∈ (0, 1), s = 0, l iснує стала K̃0 > 0 така, що R1 ≤
max
1≤i≤3
C̃
′′
i = C̃ при C̃ > K̃0. Отже, за умов (8) при p̂s ∈ (0, 1
s+n), s = 0, l, C̃ > K̃0
оператор H : Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q) → Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q). �
Лема 5. Нехай Fj ∈ (D0(Σ))′, Fm+1 ∈ [(D0(Ω))′]p, 0 ≤ s(Fj) ≤ qj, j = 1,m+ 1
та µ1 ≤ −k0−1, µ2 ≤ −k0−1. Тодi h ∈ Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q), а саме, iснує додатна
стала R2 така, що ||h; ∂Q||µ1, µ2 ≤ R2 < +∞.
Доведення. За властивостями матрицi G0 та узагальнених функцiй маємо
h ∈ [C∞(Q)]p, а отже, D ςh ∈ [C(Q)]p. За лемою 2
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ·D ςh(x, t) = O([̺1(x)]
−µ1+|ς|−(n+qj+2b−rj−(j)+|ς|))
при d(x) → 0,
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·D ςh(x, t) = O([̺2(t)]
−
µ2−|ς|+n+qj+2b−rj−(j)+|ς|
2b )
при t→ 0, а отже,
[̺1(y)]
−(µ1−|ς|) ·D ςh ∈ [C(Q)]p, [̺2(τ)]
−
µ2−|ς|
2b ·D ςh ∈ [C(Q)]p
при −µ1 + |ς| − (n + qj + 2b − rj − (j) + |ς|) ≥ 0, −µ2−|ς|+n+qj+2b−rj−(j)+|ς|
2b ≥ 0,
тобто µ1 ≤ −k0 − 1 та µ2 ≤ −k0 − 1.
Знайдемо оцiнки |Dςh|p, |ς| ≤ l. Використовуючи лему 2, знаходимо
|Dςh(x, t)|p ≤ C̃1
m+1∑
j=1
[̺1(x)]
−(n+qj+2b−rj−(j)+|ς|) =
= C̃1[̺1(x)]
µ1−|ς|
m+1∑
j=1
[̺1(x)]
−(n+qj+2b−rj−(j)+µ1), (x, t) ∈ Q1;
|Dςh(x, t)|p ≤ C̃2
m+1∑
j=1
[̺2(t)]
−
n+qj+2b−rj−(j)+|ς|
2b =
= C̃2[̺2(t)]
µ2−|ς|
2b
m+1∑
j=1
[̺2(t)]
−
n+qj+2b−rj−(j)+µ2
2b , (x, t) ∈ Q2;
|Dςh(x, t)|p ≤ C̃3, (x, t) ∈ Q3,
де C̃1, C̃2, C̃3 – додатнi сталi.
При виконаннi умови µ1 ≤ min
1≤j≤m+1
{−(n+ qj + 2b− rj − (j))} = −k0 − 1 та
µ2 ≤ −k0 − 1, одержуємо ||h; ∂Q||µ1, µ2 ≤ max
1≤i≤3
C̃i = R2. �
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 137
Лема 6. Нехай p̂s ∈ (0, 1
s+n), s = 0, l, max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s− 1
p̂s
} < µ1 < min
s: As 6=0
0≤s≤l
{1−n−sp̂s
1−p̂s
},
max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s− 2b
p̂s
} < µ2 < min{ min
s: As 6=0
0≤s≤l
{2b−n−sp̂s
1−p̂s
}, 0}, µ1p̂s−µ2 > sp̂s+n−1, µ2p̂s−µ1 >
sp̂s +n−2b. Тодi для довiльного ε > 0 iснує η = η(ε) > 0 таке, що для довiльної
пiдобластi V ⊂ Q, мiра якої m(V ) < η, для довiльних (x, t) ∈ Q1∪Q2 та |ς| ≤ l,
виконується
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ·
∫
V ∩Q1
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ < ε, (9)
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·
∫
V ∩Q1
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ < ε, (10)
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ·
∫
V ∩Q2
[̺2(τ)]
(µ2−s)p̂s
2b · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ < ε (11)
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·
∫
V ∩Q2
[̺2(τ)]
(µ2−s)p̂s
2b · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ < ε (12)
та для довiльних (x, t) ∈ Q та |ς| ≤ l, виконується
∫
V ∩Q3
|Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ < ε. (13)
Доведення. Доведемо виконання (9) та (10). Нехай V – довiльна пiдобласть
в Q,
(x, t) ∈ Q1 – довiльна точка, а σ ∈ (0, ε0
2 ) – яке-небудь число. Враховуючи
оцiнки (5) похiдних матрицi G0 та лему 1 при (µ1 − s)p̂s > −1, матимемо
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ·
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)<σ}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ ≤
≤ C̃
′
ς, (µ1−s)p̂s
· [̺1(x)]
−(µ1−|ς|) · (1 + [̺1(x)]
(µ1−s)p̂s+1−n−|ς|) ≤
≤ C
′
(µ1−s)p̂s
·(σ−(µ1−|ς|)+σµ1(p̂s−1)−sp̂s+1−n) ≤ 2C
′
(µ1−s)p̂s
·σµ1(p̂s−1)−sp̂s+1−n, (14)
де C
′
(µ1−s)p̂s
= max
|ς|≤l
C̃
′
ς, (µ1−s)p̂s
. Зауважимо, що µ1(p̂s − 1) − sp̂s + 1 − n > 0,
s = 0, l.
138 О. Чмир
Нехай ε ∈ (0, 1) – довiльно вибране. Зафiксуємо його. З (14) випливає, що
при
σ0 = σ0(ε) = min{
(
ε
4C
′
(µ1−s)p̂s
) 1
µ1(p̂s−1)−sp̂s+1−n
, ε0
2 }, для всiх ς, |ς| ≤ l
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|)
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)<σ0}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ <
ε
2
.
Враховуючи оцiнки похiдних матрицi G0 i те, що в областi Q1
̺(y, τ) = ̺1(y) та ||x − y||2 + |t − τ |
1
b ≥ ||x − y||2 ≥ d2(y) ≥ C
′
̺2
1(y), де C
′
> 0,
при довiльнiй пiдобластi V областi Q такiй, що m(V ) < ε
2Ĉ ′′ · σ
(s−µ1)p̂s+n+l
0 ,
Ĉ
′′
= max
|ς|≤l
Ĉς(C
′
)−(n+|ς|), для всiх ς, |ς| ≤ l та (x, t) ∈ Q1 матимемо
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ·
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)≥σ0}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ ≤
≤ Ĉς · (C
′
)−(n+|ς|) · [̺1(x)]
−(µ1−|ς|)
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)≥σ0}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s−n−|ς| dydτ ≤
≤ Ĉς · (C
′
)−(n+|ς|) ·
m(V )
σ
(s−µ1)p̂s+n+|ς|
0
≤
Ĉ
′′
σ
(s−µ1)p̂s+n+l
0
·m(V ) <
ε
2
,
а отже, iснує
η1 = η1(ε) = ε
2Ĉ
′′ · σ
(s−µ1)p̂s+n+l
0 =
= ε
2Ĉ
′′ ·
(
min{
(
ε
4C
′
(µ1−s)p̂s
) 1
µ1(p̂s−1)−sp̂s+1−n
, ε0
2 }
)(s−µ1)p̂s+n+l
таке, що при m(V ) < η1(ε) та (x, t) ∈ Q1
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ·
∫
(y,τ)∈V ∩Q1
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ ≤
≤ [̺1(x)]
−(µ1−|ς|)
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)<σ0}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ+
+[̺1(x)]
−(µ1−|ς|)
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)≥σ0}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s ·|Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 139
Нехай (x, t) ∈ Q2 – довiльна точка, тобто [̺2(t)]
1
2b < ̺1(x), σ ∈ (0, ε0
2 ).
Враховуючи оцiнки (5) похiдних матрицi G0 та лему 1 при (µ1 − s)p̂s > −1,
матимемо
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)<σ}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ ≤
≤ C̃
′
ς, (µ1−s)p̂s
· [̺1(x)]
−(µ2−|ς|) · (1 + [̺1(x)]
(µ1−s)p̂s+1−n−|ς|) ≤
≤ C
′
(µ1−s)p̂s
· (σ−(µ2−|ς|) + σµ1 p̂s−µ2−sp̂s+1−n) ≤ 2C
′
(µ1−s)p̂s
· σµ1p̂s−µ2−sp̂s+1−n.
Зауважимо, що µ1p̂s − µ2 − sp̂s + 1 − n > 0, s = 0, l.
Звiдси випливає, що при σ1 = σ1(ε) = min{
(
ε
4C
′
(µ1−s)p̂s
) 1
µ1p̂s−µ2−sp̂s+1−n
, ε0
2 },
для всiх ς, |ς| ≤ l
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)<σ1}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ <
ε
2
.
Враховуючи оцiнки похiдних матрицi G0 i те, що в областi Q1
̺(y, τ) = ̺1(y) та ||x − y||2 + |t − τ |
1
b ≥ C
′
̺2
1(y), при довiльнiй пiдобластi V
областi Q такiй, що m(V ) < ε
2Ĉ ′′ · σ
(s−µ1)p̂s+n+l
1 , для всiх ς, |ς| ≤ l та (x, t) ∈ Q2
матимемо
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)≥σ1}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ ≤
≤ Ĉς · (C
′
)−(n+|ς|) · [̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)≥σ1}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s−n−|ς| dydτ ≤
≤ Ĉς · (C
′
)−(n+|ς|) ·
m(V )
σ
(s−µ1)p̂s+n+|ς|
1
≤
Ĉ
′′
σ
(s−µ1)p̂s+n+l
1
·m(V ) <
ε
2
,
а отже, iснує
η2 = η2(ε) = ε
2Ĉ ′′ · σ
(s−µ1)p̂s+n+l
1 =
= ε
2Ĉ ′′ ·
(
min{
(
ε
4C
′
(µ1−s)p̂s
) 1
µ1p̂s−µ2−sp̂s+1−n
, ε0
2 }
)(s−µ1)p̂s+n+l
таке, що при m(V ) < η2(ε) та (x, t) ∈ Q2
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·
∫
(y,τ)∈V ∩Q1
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ ≤
140 О. Чмир
≤ [̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)<σ1}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ+
+[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·
∫
(y,τ)∈{V ∩Q1:̺1(y)≥σ1}
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s ·|Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Проводячи подiбнi мiркування, матимемо: для довiльного ε > 0
iснує
η3 =η3(ε) =
ε
2Ĉ ′′′
(
min{
( ε
4C
′
(µ2−s)p̂s
2b
) 1
min{−
µ1−|ς|
2b
;
µ2p̂s−µ1−sp̂s+2b−n
2b
} ,
ε0
2
}
) (s−µ2)p̂s+n+l
2b
таке, що при m(V ) < η3(ε) та (x, t) ∈ Q1
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ·
∫
(y,τ)∈V ∩Q2
[̺2(τ)]
(µ2−s)p̂s
2b · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ < ε
при (µ2−s)p̂s
2b > −1, µ2p̂s−µ1−sp̂s+2b−n
2b > 0, s = 0, l, а також
iснує η4 = η4(ε) = min{
(
ε
4C
′
(µ2−s)p̂s
2b
) 1
min{−
µ2−|ς|
2b
;
µ2(p̂s−1)−sp̂s+2b−n
2b
} , ε0
2 }
(s−µ2)p̂s+n+l
2b
таке, що при m(V ) < η4(ε) та (x, t) ∈ Q2
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·
∫
(y,τ)∈V ∩Q2
[̺2(τ)]
(µ2−s)p̂s
2b · |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dydτ < ε
при (µ2−s)p̂s
2b > −1, µ2(p̂s−1)−sp̂s+2b−n
2b > 0, s = 0, l.
За властивостями матрицi Ґрiна та рiвномiрної збiжностi iнтегралiв за
заданим ε > 0 можна вказати η5 = η5(ε) > 0 (η5 не залежить вiд точки (x, t) ∈
Q) таке, що для довiльної пiдобластi V ⊂ Q, мiра якоїm(V ) < η5, для довiльних
|ς| ≤ l виконується (13). При η < min{η1; η2; η3; η4; η5} виконуються всi оцiнки
(9)-(13). �
Теорема 1.Нехай виконуються припущення (4), вектор-функцiя F0 задоволь-
няє (7) при p̂s ∈ (0; 1
s+n), s = 0, l, max
1≤j≤m+1
{qj −rj − (j)} < min
s: As 6=0
0≤s≤l
{ 1
p̂s
−s}−n−2b,
max{ max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s−
1
p̂s
}; −k − 1} < µ1 ≤ −k0 − 1,
max{ max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s −
2b
p̂s
}; −k − 2b} < µ2 ≤ −k0 − 1.
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 141
µ1p̂s − µ2 > sp̂s + n− 1, µ2p̂s − µ1 > sp̂s + n− 2b,
2bµ1p̂s − µ2 > 2bsp̂s, s = 0, l.
Тодi iснує розв’язок u ∈ Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q) задачi (1)-(3), який при µ1 > −k − 1,
µ2 > −k − 2b належить до простору Mp
k, l(Q), де
max
1≤j≤m+1
{qj + 2b− rj − (j)} − 1 + n < k < min
s: As 6=0
0≤s≤l
{−s− 1 + 1
p̂s
}.
Доведення. Використаємо теорему Шаудера. З умов теореми щодо µ1 та
µ2 випливає виконання умов лем 4, 5 щодо µ1 та µ2. З оцiнок, одержаних при
доведеннi лем 4 та 5, випливає iснування сталої K̃0 > 0 такої, що для довiль-
них v ∈ Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q) та p̂s ∈ (0, 1), s = 0, l матимемо ||H1v; ∂Q||µ1, µ2 ≤
l∑
s=0
AsC̃
′
s (C̃)p̂s + A
′
+ R2 ≤ C̃ при C̃ > K̃0. Звiдси та iз лем 4, 5 одержуємо,
що при p̂s ∈ (0; 1
s+n), s = 0, l, C̃ > K̃0 оператор H1 : Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q) →
Mp
µ, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q), а множина {H1v : v ∈ Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q)} – рiвномiрно об-
межена.
Покажемо, що множина {H1v : v ∈ Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q)} – одностайно
неперервна, тобто для довiльного ε > 0 iснує δ = δ(ε) > 0 таке, що для
довiльних(z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| < δ, |z0| < δ та довiльних v ∈ Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q)
||(H1v)(x+ z, t+ z0) − (H1v)(x, t); ∂Q||µ1, µ2 ≤
≤
∑
|ς|≤l
max{sup
(x,t)∈Q1 |[̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|)Dς(Hv)(x+ z, t+ z0)
−[̺1(x)]
−(µ1−|ς|)Dς(Hv)(x, t)|p;
sup
(x,t)∈Q2
|[̺2(t+ z0)]
−
µ2−|ς|
2b Dς(Hv)(x+ z, t+ z0) − [̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b Dς(Hv)(x, t)|p;
sup
(x,t)∈Q3
|Dς(Hv)(x+ z, t+ z0) −Dς(Hv)(x, t)|p}+
+
∑
|ς|≤l
max{ sup
(x,t)∈Q1
|[̺1(x+z)]−(µ1−|ς|)Dςh(x+z, t+z0)−[̺1(x)]
−(µ1−|ς|)Dςh(x, t)|p;
sup
(x,t)∈Q2
|[̺2(t+ z0)]
−
µ2−|ς|
2b Dςh(x+ z, t+ z0) − [̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b Dςh(x, t)|p;
sup
(x,t)∈Q3
|Dςh(x+ z, t+ z0) −Dςh(x, t)|p} < ε (15)
Вважаємо
[̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|) = 0, [̺2(t+ z0)]
−
µ2−|ς|
2b = 0,
142 О. Чмир
[̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|) ·Dς
xG0(x+ z, t+ z0; y, τ) = 0,
[̺2(t+ z0)]
−
µ2−|ς|
2b ·Dς
xG0(x+ z, t+ z0; y, τ) = 0,
[̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|) ·Dς(Hv)(x + z, t+ z0) = 0,
[̺2(t+ z0)]
−
µ2−|ς|
2b ·Dς(Hv)(x+ z, t+ z0) = 0,
[̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|) ·Dςh(x+ z, t+ z0) = 0,
[̺2(t+ z0)]
−
µ2−|ς|
2b ·Dςh(x+ z, t+ z0) = 0, |ς| ≤ l,
якщо (x+ z, t+ z0) /∈ Q.
Зафiксуємо ε > 0. З доведення леми 5 випливає, що
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ·D ςh(x, t) ∈ [C(Q)]p,
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b ·D ςh(x, t) ∈ [C(Q)]p|ς| ≤ l.
Тому iснує δ
′
= δ
′
(ε) > 0 таке, що для довiльних (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| < δ
′
,
|z0| < δ
′
, |ς| ≤ l виконується
∑
|ς|≤l
max{ sup
(x,t)∈Q1
|[̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|)Dςh(x+ z, t+ z0)− [̺1(x)]
−(µ1−|ς|)Dςh(x, t)|p;
sup
(x,t)∈Q2
|[̺2(t+ z0)]
−
µ2−|ς|
2b Dςh(x+ z, t+ z0) − [̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b Dςh(x, t)|p;
sup
(x,t)∈Q3
|Dςh(x+ z, t+ z0) −Dςh(x, t)|p} <
ε
2
.
Розглянемо для довiльних (x, t) ∈ Q1 та довiльних v ∈ Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q)
I 1(x, t; z, z0) =
= |[̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|)Dς(Hv)(x+ z, t+ z0) − [̺1(x)]
−(µ1−|ς|)Dς(Hv)(x, t)|p ≤
≤
t∫
0
dτ
∫
Ω
|[̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|)Dς
xG0(x+ z, t+ z0; y, τ)−
−[̺1(x)]
−(µ1−|ς|)Dς
xG0(x, t; y, τ)|p|F0(y, τ, ∂lv(y, τ))|p dy+
+[̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|) ·
t+z0∫
t
dτ
∫
Ω
|Dς
xG0(x+ z, t+ z0; y, τ)|p×
×|F0(y, τ, ∂lv(y, τ))|p dy = I 1
1 (x, t; z, z0) + I 1
2 (x, t; z, z0).
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 143
Нехай ĝς, 1(x, t; y, τ)
def
= [̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ·Dς
xG0(x, t; y, τ).
Вектор-функцiя F0(x, t, z) визначена в Q× Mp×M(l) та задовольняє умови
(7). Тодi при (x, t) ∈ Q1 матимемо
I1
1 (x, t; z, z0) ≤
≤
∫
Q1
|ĝς, 1(x+ z, t+ z0; y, τ)− ĝς, 1(x, t; y, τ)|p
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 [̺1(y)]
µ1−s)p̂s +A
)
dydτ+
+
∫
Q2
|ĝς, 1(x+ z, t+ z0; y, τ)− ĝς, 1(x, t; y, τ)|p
( l∑
s=0
As(C̃
′′
2 [̺2(τ)]
µ2−s
2b )p̂s +A
)
dydτ+
+
∫
Q3
|ĝς, 1(x+ z, t+ z0; y, τ) − ĝς, 1(x, t; y, τ)|p
( l∑
s=0
As(C̃
′′
3 )p̂s +A
)
dydτ =
= I1
11(x, t; z, z0) + I1
12(x, t; z, z0) + I1
13(x, t; z, z0).
Нехай η1,1 > 0 – досить мале i довiльне число, Q1
η1,1
– пiдобласть областi
Q1 така, що dist(Q1
η1,1
,Σ) ≥ η1,1 > 0. Розглянемо при (x, t) ∈ Q1
I1
11(x, t; z, z0) =
∫
Q1\Q1
η1,1
(|ĝς, 1(x+ z, t+ z0; y, τ) − ĝς, 1(x, t; y, τ)|p) ×
×
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s · [̺1(y)]
(µ1−s)p̂s +A
)
dydτ +
∫
Q1
η1,1
(|ĝς, 1(x+ z, t+ z0; y, τ) − ĝς, 1(x, t; y, τ)|p) ×
×
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s · [̺1(y)]
(µ1−s)p̂s +A
)
dydτ = I 1
111(x, t; z, z0) + I 1
112(x, t; z, z0).
Нехай δ0 > 0 – фiксоване число. За заданим δ0 > 0 вибираємо число
η1,1 <
ε0
2 таке, щоб m(Q1 \Q1
η1,1
) ≤ δ0 та
η1,1 < min{
( ε
24C̃ς ·
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s +A
)
) 1
min
0≤s≤l
{(µ1−s)p̂s}−µ1
,
( ε
24A
)− 1
µ1 }.
За лемами 3 та 6 iснує δ0 = δ0(ε) > 0, iснує вiдповiдне η1,1 > 0 такi, що
для довiльних (x, t) ∈ Q1 та (z, z0) ∈ R
n+1 таких, що (x+ z, t+ z0) ∈ Q1,
∫
Q1\Q1
η1,1
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s |ĝς, 1(x, t; y, τ)|p dydτ <
ε
48Ã1
, (16)
144 О. Чмир
∫
Q1\Q1
η1,1
|ĝς, 1(x, t; y, τ)|p dydτ <
ε
48Ã1
, (17)
∫
Q1\Q1
η1,1
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s |ĝς, 1(x+ z, t+ z0; y, τ)|p dydτ <
ε
48Ã1
, (18)
∫
Q1\Q1
η1,1
|ĝς, 1(x+ z, t+ z0; y, τ)|p dydτ <
ε
48Ã1
, (19)
де Ã1 =
l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s +A. Тодi з (16), (17), (18), (19) при (x, t) ∈ Q1
I 1
111(x, t; z, z0) ≤
∫
Q1\Q
η1
1,1
(|ĝς, 1(x+ z, t+ z0; y, τ)|p + |ĝς, 1(x, t; y, τ)|p) ×
×
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s · [̺1(y)]
(µ1−s)p̂s +A
)
dydτ ≤ ε
24 , а отже,
sup
(x,t)∈Q1
I 1
111(x, t; z, z0) <
ε
24
.
Нехай ĝ
′
ς, 11(x, t; y, τ)
def
= ĝς, 1(x, t; y, τ) ·
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s · [̺1(y)]
(µ1−s)p̂s +A
)
.
Виберемо 0 < η1,2 <
η1,1
2 . Для довiльної (x, t) ∈ Q1
η1,1
2
та числа η1,2 визна-
чимо множини U1
η1,2
(x, t)
def
= {(y, τ) ∈ Q1
η1,1
: ||x− y|| ≤ η1,2, |t− τ | ≤ η2b
1,2}.
Обчислимо m(U1
η1,2
(x, t)) =
∫
U1
η1,2
(x,t)
dydτ =
∫
||x−y||≤η1,2
dy ·
∫
|t−τ |≤η2b
1,2
dτ =
2σn · ηn+2b
1,2 , де σn – площа поверхнi сфери одиничного радiуса в R
n. Якщо
вибрати η1,2 < min{
η1,1
2 ; ( δ0
2σn
)
1
n+2b }, то m(U1
η1,2
(x, t)) < δ0. Тодi з (16), (17), (18),
(19) для довiльних (x, t) ∈ Q1 та (z, z0) ∈ R
n+1 таких, що (x+ z, t+ z0) ∈ Q1
∫
U1
η1,2
(x,t)
|ĝ
′
ς, 11(x, t; y, τ)|p dydτ <
ε
72
, (20)
∫
U1
η1,2
(x,t)
|ĝ
′
ς, 11(x+ z, t+ z0; y, τ)|p dydτ <
ε
72
. (21)
Виберемо δ1,1 < min{δ0;
η1,2
2 }. При (x, t) ∈ Q1
η1,1
2
, (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| ≤
δ1,1(<
1
4η1,1), |z0| ≤ δ1,1(<
1
4η1,1) маємо (x+ z, t+ z0) ∈ Q
1
η1,1
4
. При (x, t) ∈ Q1
η1,1
4
,
(y, τ) ∈ Q1
η1,1
\ U1
η1,2
(x, t),
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 145
||x− y|| ≥ η1,2, |t− τ | ≥ η2b
1,2, а отже, (x, t) 6= (y, τ). Тому матриця ĝς, 1(x, t; y, τ)
рiвномiрно неперервна в V = {(x, t; y, τ) :(x, t) ∈ Q1
η1,1
4
, (y, τ) ∈ Q1
η1,1
\U1
η1,2
(x, t)}.
Тодi iснує
δ1,2 = δ1,2(ε) ∈ (0, δ1,1] таке, що для довiльних (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| < δ1,2,
|z0| < δ1,2, (x, t) ∈ Q1
η1,1
2
⊂ Q1
η1,1
4
, (y, τ) ∈ Q1
η1,1
\ U1
η1,2
(x, t) при (µ1 − s)p̂s > −1,
s = 0, l виконується
|ĝς, 1(x+ z, t+ z0; y, τ) − ĝς, 1(x, t; y, τ)|p <
ε
72A1
1
, де
A1
1 =
∫
Q1
η1,1
\U1
η1,2
(x,t)
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s [̺1(y)]
(µ1−s)p̂s +A
)
dydτ , а тодi
∫
Q1
η1,1
\U1
η1,2
(x,t)
|ĝ
′
ς, 11(x+ z, t+ z0; y, τ) − ĝ
′
ς, 11(x, t; y, τ)|p dydτ <
<
ε
72A1
1
∫
Q1
η1,1
\U1
η1,2
(x,t)
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s [̺1(y)]
(µ1−s)p̂s +A
)
dydτ ≤
ε
72
. (22)
Отже, при (x, t) ∈ Q1
η1,1
2
iз (20), (21), (22) випливає iснування δ1,2 = δ1,2(ε) >
0 такого, що для довiльних (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| < δ1,2, |z0| < δ1,2
I 1
112(x, t; z, z0) =
∫
Q1
η1,1
|ĝ
′
ς, 11(x+ z, t+ z0; y, τ) − ĝ
′
ς, 11(x, t; y, τ)|p dydτ ≤
≤
∫
U1
η1,2
(x,t)
|ĝ
′
ς, 11(x, t; y, τ)|p dydτ +
∫
U1
η1,2
(x,t)
|ĝ
′
ς, 11(x+ z, t+ z0; y, τ)|p dydτ +
+
∫
Q1
η1,1
\U1
η1,2
(x,t)
|ĝ
′
ς, 11(x+ z, t+ z0; y, τ) − ĝ
′
ς, 11(x, t; y, τ)|p dydτ <
ε
24 , а отже,
sup
(x,t)∈Q1
η1,1
2
I 1
112(x, t; z, z0) <
ε
24
. (23)
При (x, t) ∈ Q1 \Q1
η1,1
2
, (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| ≤ δ1,1(<
η1,1
4 ), |z0| ≤ δ1,1(<
η1,1
4 )
буде (x + z, t + z0) ∈ Q1 \Q1
3η1,1
4
⊂ Q1 або (x + z, t + z0) /∈ Q1. За рiвномiрною
неперервнiстю матрицi ĝς, 1(x, t; y, τ) на замкненiй множинi V1 = (Q1 \Q1
3η1,1
4
)×
Q1
η1,1
, враховуючи, що −(µ1 − |ς|) ≥ 0, [̺1(x)]
−(µ1−|ς|) ≤ 1, одержуємо: iснує
δ1,3 = δ1,3(ε) ∈ (0, δ1,1] таке, що для довiльних (x, t) ∈ Q1 \Q1
η1,1
2
⊂ Q1 \Q1
3η1,1
4
,
(y, τ) ∈ Q1
η1,1
(z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| < δ1,3, |z0| < δ1,3 виконується |ĝς, 1(x + z, t +
146 О. Чмир
z0; y, τ) − ĝς, 1(x, t; y, τ)|p <
ε
24A1
2
, де
A1
2 =
∫
Q1
η1,1
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s · [̺1(y)]
(µ1−s)p̂s +A
)
dydτ,
звiдки
sup
(x,t)∈Q1\Q1
η1,1
2
(x+z,t+z0)∈Q1
I 1
112(x, t; z, z0) ≤
≤ ε
24A1
2
∫
Q1
η1,1
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s · [̺1(y)]
(µ1−s)p̂s +A
)
dydτ = ε
24 .
Для тих точок (x, t) ∈ Q1 \Q1
η1,1
2
, (y, τ) ∈ Q1
η1,1
, (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| < δ1,1,
|z0| < δ1,1, для яких (x+ z, t+ z0) /∈ Q1, матимемо
sup
(x,t)∈Q1\Q1
η1,1
2
(x+z,t+z0)/∈Q1
I 1
112(x, t; z, z0) ≤
≤ sup
(x,t)∈Q1\Q1
η1,1
2
(x+z,t+z0)/∈Q1
∫
Q1
η1,1
|ĝς, 1(x, t; y, τ)|p
( l∑
s=0
As(C̃
′′
1 )p̂s · η
(µ1−s)p̂s
1,1 +A
)
dydτ ≤
≤ C̃ς ·
( l∑
s=0
η
(µ1−s)p̂s−(µ1−|ς|)
1,1 · As(C̃
′′
1 )p̂s +A · η
−(µ1−|ς|)
1,1
)
≤ ε
24 ,
де остання нерiвнiсть виконується згiдно з вибором числа η1,1. Зауважимо, що
при µ1 ≤ min
s: As 6=0
0≤s≤l
{1−n−sp̂s
1−p̂s
} також (µ1 − s)p̂s − (µ1 − |ς|) > 0.
Показано, що iснує δ̃1 = min{δ1,2; δ1,3} > 0 таке, що для довiльних (x, t) ∈
Q1, (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| < δ̃1, |z0| < δ̃1 I1
11(x, t; z, z0) <
ε
12 .
Подiбно можна показати, що для довiльного ε > 0 iснує δ̃2 > 0 таке, що
для довiльних (x, t) ∈ Q1, (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| < δ̃2, |z0| < δ̃2 I1
12(x, t; z, z0) <
ε
12 ,
а також iснує δ̃3 > 0 таке, що для довiльних (x, t) ∈ Q1, (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| < δ̃3,
|z0| < δ̃3, I1
13(x, t; z, z0) <
ε
12 .
Розглянемо
I1
2 (x, t; z, z0) = [̺1(x+ z)]−(µ1−|ς|)
t+z0∫
t
dτ
∫
Ω
|Dς
xG0(x+ z, t+ z0; y, τ)|p×
×|F0(y, τ, ∂lv(y, τ))|p dy.
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 147
Проводячи подiбнi мiркування та враховуючи, що m(Ω×(t, t+z0)) = m(Ω)·
|z0|, за лемою 6 одержуємо: iснує δ̃4 = δ̃4(ε) > 0 таке, що для довiльних (z, z0) ∈
R
n+1, ||z|| < δ̃4, |z0| < δ̃4 та довiльних v ∈ Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q)
sup
(x,t)∈Q1
I 1
2 (x, t; z, z0) <
ε
4
.
Отже, iснує δ̂1 = min{δ̃1; δ̃2; δ̃3; δ̃4} > 0 таке, що для довiльних (z, z0) ∈
R
n+1, ||z|| < δ̂1, |z0| < δ̂1 виконується
sup
(x,t)∈Q1
I1(x, t; z, z0) <
ε
2
.
Подiбно проводимо оцiнки iнтегралiв при (x, t) ∈ Q2 та (x, t) ∈ Q3 i до-
водимо iснування δ̂2, δ̂3 > 0 таких, що для довiльних (z, z0) ∈ R
n+1, ||z|| <
min{δ̂2; δ̂3}, |z0| < min{δ̂2; δ̂3} виконується
sup
(x,t)∈Q2
I2(x, t; z, z0) <
ε
2
та
sup
(x,t)∈Q3
I 3(x, t; z, z0) <
ε
2
.
Зауважимо, що при оцiнюваннi iнтеграла I 2, коли (x, t) ∈ Q2, (y, τ) ∈ Q1
виникає додаткова умова (µ1 − s)p̂s − µ2
2b > 0, s = 0, l, а коли (x, t) ∈ Q2,
(y, τ) ∈ Q2 – умова µ2 < min
s: As 6=0
0≤s≤l
{− sp̂s
1−p̂s
}.
Отже, множина {H1v : v ∈ Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q)} – одностайно неперервна.
Таким чином, оператор H1 є компактним на Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q).
Покажемо, що H1 – неперервний оператор на Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q).
Знайдемо оцiнку Dς(H1v − H1w) при v, w ∈ Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q), |ς| ≤ l.
Маємо
|Dς(H1v −H1w)|p ≤
≤
t∫
0
dτ
∫
Ω
|Dς
xG0(x, t; y, τ)|p · B
l∑
s=0
∑
|γ|=s
|Dγv(y, τ) −Dγw(y, τ)|p̂s
p dy.
Використовуючи лему 1 при (µ1 − s)p̂s > −1, (µ2 − s)p̂s > −2b, s = 0, l,
знаходимо
t∫
0
dτ
∫
Ω
|Dς
xG0(x, t; y, τ)|p ·B
l∑
s=0
∑
|γ|=s
|Dγv(y, τ) −Dγw(y, τ)|p̂s
p dy ≤
148 О. Чмир
≤ B
l∑
s=0
∑
|γ|=s
t∫
0
dτ
∫
Ω
[̺1(y)]
(µ1−|γ|)p̂s |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p×
×( sup
(y,τ)∈Q1
[̺1(y)]
−(µ1−|γ|)|Dγv(y, τ)−Dγw(y, τ)|p)
p̂s dy ≤ B
l∑
s=0
||v−w; ∂Q||p̂s
µ1, µ2
×
×
t∫
0
dτ
∫
Ω
[̺1(y)]
(µ1−s)p̂s |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p dy ≤ B
l∑
s=0
||v − w; ∂Q||p̂s
µ1, µ2
×
×C̃
′
ς,(µ1−s)p̂s
(
[̺1(x)]
(µ1−s)p̂s+1−n−|ς| + 1
)
, (x, t) ∈ Q1;
t∫
0
dτ
∫
Ω
|Dς
xG0(x, t; y, τ)|p · B
l∑
s=0
∑
|γ|=s
|Dγv(y, τ) −Dγw(y, τ)|p̂s
p dy ≤
≤ B
l∑
s=0
∑
|γ|=s
t∫
0
dτ
∫
Ω
[̺2(τ)]
(µ2−|γ|)p̂s
2b |Dς
xG0(x, t; y, τ)|p×
×( sup
(y,τ)∈Q2
[̺2(τ)]
−
µ2−|γ|
2b |Dγv(y, τ) −Dγw(y, τ)|p)
p̂s dy ≤ B
l∑
s=0
||v − w; ∂Q||p̂s
µ1, µ2
×
×C̃
′
ς,
(µ2−s)p̂s
2b
(
[̺2(t)]
(µ2−s)p̂s+2b−n−|ς|
2b + 1
)
, (x, t) ∈ Q2;
t∫
0
dτ
∫
Ω
|Dς
xG0(x, t; y, τ)|p · B
l∑
s=0
∑
|γ|=s
|Dγv(y, τ) −Dγw(y, τ)|p̂s
p dy ≤
≤ B
l∑
s=0
∑
|γ|=s
t∫
0
dτ
∫
Ω
|Dς
xG0(x, t; y, τ)|p( sup
(y,τ)∈Q3
|Dγv(y, τ) −Dγw(y, τ)|p)
p̂s dy ≤
≤ BC̃ς
l∑
s=0
||v − w; ∂Q||p̂s
µ1, µ2
, (x, t) ∈ Q3.
При v, w ∈ Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q)
||H1v −H1w; ∂Q||µ1, µ2 =
∑
|ς|≤l
max{ sup
(x,t)∈Q1
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|)|Dς(H1v −H1w)|p;
sup
(x,t)∈Q2
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b |Dς(H1v −H1w)|p; sup
(x,t)∈Q3
|Dς(H1v −H1w)|p} ≤
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 149
≤
∑
|ς|≤l
max{ sup
(x,t)∈Q1
[̺1(x)]
−(µ1−|ς|)×
×B
l∑
s=0
||v − w; ∂Q||p̂s
µ1, µ2
C̃
′
ς,(µ1−s)p̂s
(
[̺1(x)]
(µ1−s)p̂s+1−n−|ς| + 1
)
;
sup
(x,t)∈Q2
[̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b B
l∑
s=0
||v − w; ∂Q||p̂s
µ1, µ2
C̃
′
ς,
(µ2−s)p̂s
2b
(
[̺2(t)]
(µ2−s)p̂s+2b−n−|ς|
2b + 1
)
;
sup
(x,t)∈Q3
BC̃ς
l∑
s=0
||v − w; ∂Q||p̂s
µ1, µ2
} ≤ B
l∑
s=0
||v − w; ∂Q||p̂s
µ1, µ2
∑
|ς|≤l
max{ sup
(x,t)∈Q1
C̃
′
ς,(µ1−s)p̂s
(
[̺1(x)]
µ1(p̂s−1)−sp̂s+1−n + [̺1(x)]
−(µ1−|ς|)
)
;
sup
(x,t)∈Q2
C̃
′
ς,
(µ2−s)p̂s
2b
(
[̺2(t)]
µ2(p̂s−1)−sp̂s+2b−n
2b + [̺2(t)]
−
µ2−|ς|
2b
)
; C̃ς}.
Звiдси, враховуючи умови на µ1, µ2 випливає, що H1 неперервний оператор в
Mp
µ1, µ2, l, C̃
(Q, ∂Q).
За теоремою Шаудера та за умов лем 4, 5, 6, система iнтегро-диферен-
цiальних рiвнянь (6) має розв’язок u ∈ Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q).
Запишемо умови на µ1, µ2 (окрiм умов, якi зв’язують цi величини) та
умови, що Mp
µ1, µ2, l(Q, ∂Q) ⊂ Mp
k, l(Q):
max{ max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s− 1
p̂s
};−k − 1} < µ1 ≤ min{ min
s: As 6=0
0≤s≤l
{1−n−sp̂s
1−p̂s
}; −k0 − 1},
max{ max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s− 2b
p̂s
};−k − 2b} < µ2 ≤
≤ min{ min
s: As 6=0
0≤s≤l
{2b−n−sp̂s
1−p̂s
}; min
s: As 6=0
0≤s≤l
{− sp̂s
1−p̂s
}; −k0 − 1}.
(24)
При p̂s ∈ (0, 1
n+2b+s+ max
1≤j≤m+1
{qj−rj−(j)} ), s = 0, l умови (24) виконуються.
Розглянемо
1−n−sp̂s
1−p̂s
+ k0 + 1 = 2−n+k0−p̂s(s+k0+1)
1−p̂s
> 1−n+k0
1−p̂s
> 0, оскiльки p̂s <
1
s+k0+1 та
k0 ≥ n − 1; 2b−n−sp̂s
1−p̂s
+ k0 + 1 = 2b−n+k0−p̂s(s+k0+1)
1−p̂s
> 2b−n+k0−1
1−p̂s
> 2b−2
1−p̂s
> 0, так
як p̂s <
1
s+k0+1 , k0 ≥ n−1 та b ∈ N; − sp̂s
1−p̂s
+k0 +1 = k0+1−p̂s(s+k0+1)
1−p̂s
> k0
1−p̂s
> 0,
так як p̂s <
1
s+k0+1 та k0 ≥ n− 1.
Отже, нерiвностi щодо µ1, µ2 набувають вигляду
max{ max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s−
1
p̂s
}; −k − 1} < µ1 ≤ −k0 − 1,
150 О. Чмир
max{ max
s: As 6=0
0≤s≤l
{s −
2b
p̂s
}; −k − 2b} < µ2 ≤ −k0 − 1.
З цих нерiвностей одержуємо умову
max
1≤j≤m+1
{qj − rj − (j)} < min
s: As 6=0
0≤s≤l
{
1
p̂s
− s} − n− 2b,
яка зв’язує порядки сингулярностей крайових, початкової функцiй iз власти-
востями F0(x, t, z), що задовольняє (7). �
Таким чином, у статтi розглянуто нормальну крайову задачу для ква-
зiлiнiйної параболiчної системи, коли заданi на параболiчнiй межi функцiї є
узагальненими з просторiв типу D′. Використовуючи властивостi матрицi Ґрi-
на цiєї задачi та теорему Шаудера про нерухому точку, встановлено характер
поведiнки розв’язку цiєї задачi бiля межi областi.
1. Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого по-
рядка // УМН. – 1968. –Т. 23, № 1(139). – С. 45 – 90.
2. Iвасишен С.Д. Iнтегральне зображення розв’язкiв загальних параболiчних крайових за-
дач i коректна розв’язнiсть у просторах зростаючих функцiй // Доп. АН УРСР. Сер. А.
– 1973.– № 7. – C. 596 – 599.
3. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач.– К.: Выща школа. –
1990. – 200 с.
4. Эйдельман С.Д. Параболические системы. – М.: Наука. – 1964. – 443 с.
5. Ивасишен С.Д. Сопряженные операторы Грина. Обобщенные решения параболических
граничных задач с нормальными граничными условиями // ДАН СССР. – 1971. – Т.197,
№ 2. – С. 261 – 264.
6. Эйдельман С.Д., Ивасишен С.Д. Исследование матрицы Грина однородной параболиче-
ской граничной задачи // Труды Моск. мат. о-ва. – 1970.– Т. 23. – С. 179 – 234.
7. Солонников В.А. О матрицах Грина для параболических краевых задач.//Зап. науч. се-
минаров ЛОМИ АН СССР. – 1969. – Т. 14. – С.256 – 287.
8. Sun Ren-bin. Local existence and blow-up for degenerate parabolic systems // J. Xiamen Univ.
Natur. Sci. – 2003. – Vol. 42, № 2. – p. 148 – 149.
9. Duan Zhi-wen, Zhou Li. Global and blow-up solutions for non-linear degenerate parabolic
system // Math. Meth. Appl. Sci. – 2003. – Vol. 26, № 7. – p. 557 – 587.
10. Wang Ling-zhi. Boundedness and blow-up behavior for generalized heat-conduction system //
Chin. J. Eng. Math. – 2003. – Vol. 20, № 2. – p. 46 – 52.
11. Li Huiling, Wang Mingxin. Blow-up rate for a semilinear parabolic system // J. Southeast
Univ. –2002. – Vol. 18, № 1. – p. 99 – 102.
12. Wang Mingxin. Blow-up rate for a semilinear reaction diffusion system // Comput. and Math.
Appl. – 2002. – Vol. 44, №5 - 6. – p. 573 – 585.
13. Boccardo L., Gallouёt Th. Non-linear elliptic and parabolic equations involving measure data//J.
Funct. Anal. – 1989. – Vol. 87. – p. 149 – 169.
14. Лопушанська Г.П. Крайовi задачi у просторi узагальнених функцiй D
′
. – Львiв: Вид-во
Львiв. нац. ун-ту iм. I. Франка, 2002. – 285 с.
15. Лопушанская Г. П. О решении с помощью матрицы Грина параболической граничной
задачи в пространстве обобщённых функций // Укр. мат. журн. – 1986. – Т. 38, № 6. – С.
795 – 798.
16. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
Поведiнка розв’язку узагальненої нормальної крайової задачi 151
17. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Про деякi властивостi спряжених операторiв Ґрiна пара-
болiчної крайової задачi // Наук. вiсник Чернiв. ун-ту: зб. наук. пр. Математика. Чернiвцi
ЧДУ. – 2004. – Вип. 191-192. – С. 82 – 88.
18. Лопушанська Г. П. Про розв’язок параболiчної граничної задачi iз сильними степеневими
особливостями в правих частинах // Математичнi Студiї. – 2001. – Т. 15, № 2. – С. 179 –
190.
19. Ивасишен С.Д. О композиции параболических ядер // Укр. мат. журн. – 1980. – Т. 32,
№ 1. – С. 35 – 45.
20. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Узагальненi крайовi значення розв’язкiв рiвняння ut =
△u + F0(x, t, u) // Математичнi Студiї. – 2004. – Т.22, № 1. – С.45 – 56.
21. Чмир О.Ю. Про формулювання узагальненої крайової задачi для пiвлiнiйного параболiч-
ного рiвняння // Вiсник Львiв. ун-ту. Серiя мех.-мат. – 2003. – Вип. 62. – С. 134 – 143.
22. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, Гл. ред. ф.-м. лит. –
1988. – 512 с.
23. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Iснування та регулярнiсть розв’язкiв узагальненої нор-
мальної крайової задачi для квазiлiнiйних параболiчних систем // Математичний вiсник
НТШ – 2005. – Т. 2. – С. 123 – 134.
Львiвський державний унiверситет
безпеки життєдiяльностi,
вул. Клепарiвська, 35, 79000, Львiв, Україна
o chmyr@yahoo.com
Отримано 8.02.11
|