Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области

Для cистемы Бенара рассматривается задача оптимального граничного управления течением вязкой несжимаемой жидкости в обобщенной ячейке Куэтта. Предложена концепция асимптотически субоптимальных управлений в такой задаче и установлена иx структура, когда перфорация цилиндрической области соответствует...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Гоцуленко, В.В., Когут, П.И.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Український математичний вісник
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124368
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области / В.В. Гоцуленко, П.И. Когут // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 436-474. — Бібліогр.: 39 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124368
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1243682017-09-25T03:02:57Z Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области Гоцуленко, В.В. Когут, П.И. Для cистемы Бенара рассматривается задача оптимального граничного управления течением вязкой несжимаемой жидкости в обобщенной ячейке Куэтта. Предложена концепция асимптотически субоптимальных управлений в такой задаче и установлена иx структура, когда перфорация цилиндрической области соответствует критическому случаю. 2009 Article Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области / В.В. Гоцуленко, П.И. Когут // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 436-474. — Бібліогр.: 39 назв. — рос. 1810-3200 2000 MSC. 35Q30, 49J20, 35B27, 35B40 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124368 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Для cистемы Бенара рассматривается задача оптимального граничного управления течением вязкой несжимаемой жидкости в обобщенной ячейке Куэтта. Предложена концепция асимптотически субоптимальных управлений в такой задаче и установлена иx структура, когда перфорация цилиндрической области соответствует критическому случаю.
format	Article
author	Гоцуленко, В.В. Когут, П.И.
spellingShingle	Гоцуленко, В.В. Когут, П.И. Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области Український математичний вісник
author_facet	Гоцуленко, В.В. Когут, П.И.
author_sort	Гоцуленко, В.В.
title	Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области
title_short	Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области
title_full	Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области
title_fullStr	Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области
title_full_unstemmed	Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области
title_sort	субоптимальное граничное управление системой бенара в цилиндрически перфорированной области
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124368
citation_txt	Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области / В.В. Гоцуленко, П.И. Когут // Український математичний вісник. — 2009. — Т. 6, № 4. — С. 436-474. — Бібліогр.: 39 назв. — рос.
series	Український математичний вісник
work_keys_str_mv	AT goculenkovv suboptimalʹnoegraničnoeupravleniesistemojbenaravcilindričeskiperforirovannojoblasti AT kogutpi suboptimalʹnoegraničnoeupravleniesistemojbenaravcilindričeskiperforirovannojoblasti
first_indexed	2025-07-09T01:19:56Z
last_indexed	2025-07-09T01:19:56Z
_version_	1837130315079876608
fulltext	Український математичний вiсник Том 6 (2009), № 4, 436 – 474 Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области Владимир В. Гоцуленко, Петр И. Когут (Представлена А. Е. Шишковым) Аннотация. Для cистемы Бенара рассматривается задача опти- мального граничного управления течением вязкой несжимаемой жидкости в обобщенной ячейке Куэтта. Предложена концепция асимптотически субоптимальных управлений в такой задаче и уста- новлена иx структура, когда перфорация цилиндрической области соответствует критическому случаю. 2000 MSC. 35Q30, 49J20, 35B27, 35B40. Ключевые слова и фразы. Субоптимальное управление, систе- ма Бенара, сходимость в переменных пространствах, вариационная сходимость, усредненная задача. Введение Задачам оптимального управления системами гидродинамическо- го типа посвящена достаточно обширная литература (см., напр., [2,18–20,22,23,33]). Однако, как показано в [22], даже в случае глад- ких допустимых управлений численная реализация систем оптималь- ности в таких задачах является достаточно нетривиальной пробле- мой. Одной из причин такой ситуации есть нелинейность объекта управления. Однако, не менее важным фактором выступает геоме- трия области, где изучается гидродинамический процесс. Пожалуй, в наибольшей степени это касается задач оптимального управления такими системами в густо перфорированных областях и областях с быстроосциллирующей границей. В связи с этим становится актуаль- ной проблема разработки методов построения законов субоптималь- ного управления такими процессами. Статья поступила в редакцию 29.05.2009 ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 437 Ячейка Куэтта является классическим модельным объектом для изучения многих задачи гидродинамики. Вместе с тем свойства те- чения жидкости в ячейке Куэтта с несколькими внутренними ци- линдрами фактически не изучены. В особенности это относится к течению вязкой несжимаемой жидкости с учетом изменения темпе- ратурного поля (так называемая задача Бенара). Известно, что при увеличении числа внутренних цилиндров в ячейке Куэтта, компью- терное моделирование управляемого движения жидкости станови- тся практически несостоятельным. Это обусловлено тем, что размер- ность системы нелинейных алгебраических уравнений, полученных вследствие дискретизации исходных уравнений типа Навье–Стокса, столь велика, что их решение становится затруднительным даже на современных ЭВМ. Указанное обстоятельство в еще большей степе- ни усложняет проблему нахождения оптимальных законов управле- ния такими объектами. Поэтому, данная работа ставит своей целью (на примере системы Бенара) получить закон управления, который бы обеспечивал не только требуемую близость к оптимальным хара- ктеристикам, но и имел бы достаточно простую структуру с точки зрения его практической реализации. Основу предлагаемого подхода составляет изучение асимптотического поведения рассматриваемой задачи оптимального управления, когда количество внутренних ци- линдров в обобщенной ячейке Куэтта неограниченно возрастает, а их диаметры стремятся к нулю. 1. Предварительные данные Прежде всего формализуем понятие обобщенной ячейки Куэтта в R 3. Пусть Ω̃ —ограниченное открытое множество в R 2 с достаточно гладкой границей ∂Ω̃. Пусть Ỹ = [−1/2, 1/2)2, и пусть Q — компа- ктное подмножество в Ỹ с гладкой границей ∂Q, причем 0 ∈ intQ, A = B(0, r0) — открытый шар с центром в нуле и радиусом r0 < 1/2. При этом будем считать, что Q ⊂⊂ A. Пусть {ε} — последователь- ность положительных чисел вида ε = N−1, где N → ∞. Введем в рассмотрение следующие множества:    Θε = {k = (k1, k2) ∈ Z 2 : ε(rεQ + k) ⊂⊂ Ω̃}; T̃k ε = ε(rεQ + k), k ∈ Θε; T̃ε = ⋃ k∈Θε T̃k ε , Tε = T̃ε × [0, ℓ]; Ω̃ε = Ω̃ \ T̃ε, Ωε = Ω̃ε × (0, ℓ). 438 Субоптимальное граничное управление... Ясно, что Ωε = Ω \ [⋃ k∈Θε ε(rεQ + k) × [0, ℓ] ] , где Ω = Ω̃ × (0, ℓ). Здесь ℓ — высота ячейки Куэтта, rε — “поперечный размер” тон- ких цилиндров. Всюду далее открытое множество Ωε в R 3, пе- риодически перфорированное тонкими цилиндрами Tk ε = T̃k ε × [0, ℓ], будем называть обобщенной ячейкой Куэтта. Поскольку ка- ждый из цилиндров Tk ε получен в результате действия преобра- зования ε–гомотетии по первым двум координатам, т.е. Tk ε = {(x1, x2, x3) : (x1, x2) ∈ ε(rεQ + k), 0 ≤ x3 ≤ ℓ}, то периодом перфора- ции множества Ωε служит ячейка Λ = εỸ × [0, ℓ]. Обозначим через Γε— границу области Ωε, тогда Γε = Γ1 ε ⋃ Γ2 ε ⋃ Γ3 ⋃ k∈Θε ∂̃Tk ε , где Γ1 ε = Ω̃ε × {0}, Γ2 ε = Ω̃ε × {ℓ}, Γ3 = ∂Ω̃ × [0, ℓ], ∂̃Tk ε — боковая поверхность цилиндра Tk ε . Пусть всюду далее через C и Ci будем обозначать константы, не зависящие от параметра ε. Для любого подмножества E ⊂ R n обозначим через \|E\| его n-мерную меру Лебега Ln(E). Символом \|∂E\|H будем обозначать (n − 1)-мерную меру Хаусдорфа многообра- зия ∂E в R n. Также будем использовать стандартные обозначения для лебеговых пространств Lp(Ω) и пространств Соболева Hm(Ω) (см. [1]). Пусть L2 0(Ω) = { q ∈ L2(Ω) : ∫ Ω q dx = 0 } с нормой ‖p‖2 L2 0 (Ω) = ∫ Ω ( p(x) − ∫ Ω p(x) dx )2 dx, и пусть также L2(Ω, dµ) — банахово про- странство функций, интегрируемых на Ω по мере µ. В случае, когда µ — мера Лебега, будем использовать стандартное обозначение L2(Ω). Емкостью (гармонической) множества E ⊂ Ω называется вели- чина cap(E, Ω), которая определяется как инфимум ∫ Ω \|∇y\|2 dx по всем функциям y ∈ H1 0 (Ω) таким, что y ≥ 1 почти всюду в E. Пусть Mb(Ω) — пространство всех ограниченных борелевых мер на Ω. Через M+ 0 (Ω) обозначим его подмножество, состоящее из неотрицательных мер µ на Ω таких, что µ(B) = 0 для любого множества B ⊆ Ω с cap(B,Ω) = 0, и µ(B) = inf{µ(U) : U — квази открыто, B ⊆ U} для любого борелевого подмножества B ⊆ Ω. Пространство распре- делений D′(Ω) есть двойственным к пространству C∞ 0 (Ω). При любом m ≥ 0, через Hm 0 (Ω) будем обозначать замыкание множества C∞ 0 (Ω) в норме Hm(Ω). Тогда двойственным к нему есть H−m(Ω) = (Hm 0 (Ω))∗. Каноническое спаривание пространства Hs(Ω) (s > 0) и сопряжен- ного с ним, обозначим стандартным образом 〈·, ·〉H−s(Ω);Hs(Ω). Про- странство следов H l(∂Ω) определяется как сужение на границу мно- жества Ω функций из пространства H l+1/2(Ω) (см. [36]). Для вектор- нозначных функций соответствующие пространства будем обозна- В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 439 чать как: Lr(Ω), Hm(Ω), Hl(∂Ω), Hm 0 (Ω), и C∞ 0 (Ω). Пусть u : R N → R N — произвольная вектор-функция. Тогда градиентом функции u есть N ×N -мерный тензор: ∇u = (∂ui/∂xj)1≤i,j≤N , а тензорное прои- зведение двух N × N -мерных тензоров A = (aij) и B = (bij) будем определять как A : B = tr ( tAB ) = ∑ 1≤i,j≤N aijbij . Далее введем следующие пространства соленоидальных вектор- ных полей: C∞ 0,sol(Ω) = { y ∈ C∞ 0 (Ω) : div y = 3∑ i=1 ∂yi ∂xi = 0 в Ω } , Hm sol(Ω) = { y ∈ Hm(Ω) : ∇ · y = 0, ∫ ∂Ω y · n dH2 = 0 } , Hm 0,sol(Ω) = замыкание множества C∞ 0,sol(Ω) в Hm(Ω)-норме. Тут для случая, когда m = 0, выражение ∫ ∂Ω y · n dH2 следует пони- мать как результат дуального спаривания в 〈 H−1/2(∂Ω);H1/2(∂Ω) 〉 распределения y · n ∈ H−1/2(∂Ω) и функции ϕ ≡ 1 ∈ H1/2(∂Ω). Пространства Hm sol(Ω) и Hm 0,sol(Ω) предполагаются нормирован- ными относительно нормы пространства Hm(Ω). Определим опера- тор дивергенции стандартным образом: 〈div y, ϕ〉H−1(Ω);H1 0 (Ω) = − ∫ Ω y · ∇ϕ dx, ∀ϕ ∈ H1 0 (Ω). (1.1) Пусть H(div, Ω) = { y ∈ L2(Ω) : div y ∈ L2(Ω) } . Будем использовать следующую лемму об интегрировании функций из пространства H(div, Ω) (см. [36]). Лемма 1.1. Пусть w ∈ H(div, Ω). Тогда (w · n)\|∂Ω ∈ H−1/2(∂Ω) и 〈w · n, v〉H−1/2(∂Ω);H1/2(∂Ω) = ∫ Ω v div w dx+ ∫ Ω w ·∇v dx ∀ v ∈ H1(Ω). (1.2) И в завершение данного раздела, введем в рассмотрение следу- ющие би- и трилинейные формы, ассоциированные с уравнением Навье–Стокса aε (y,v) = ∫ Ωε ∇y : ∇v dx ∀y,v ∈ H1 (Ωε) , 440 Субоптимальное граничное управление... bε (y, q) = − ∫ Ωε q div y dx ∀y ∈ H1 (Ωε) , ∀ q ∈ L2 (Ωε) , cε (y,v,w) = ∫ Ωε (y · ∇)v · w dx ∀y,v,w ∈ H1 (Ωε) . 2. Постановка задачи оптимального управления Пусть z∂ ε ∈ L2(Ω) и b ∈ H1(Ω) — заданные функции, где ма- лый параметр ε принимает фиксированное значение. В качестве объе- кта управления выступает процесс протекания вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрически перфорированной области Ωε с условием прилипания на боковой грани цилиндра Ω. Обозначим через yε ве- ктор скорости течения, pε — давление жидкости, θε — ее температуру. Предполагается, что скорость течения на входе и выходе цилиндра Ωε является заданной, а процесс протекания жидкости, с учетом влия- ния температурных процессов, подчиняется закону Бенара–Рэлея [5]. Задача управления состоит в нахождении таких граничных значений скорости αε = ( αε 1, . . . , α ε Jε ) на боковых гранях тонких цилиндров Tk ε = {(x1, x2, x3) : (x1, x2) ∈ ε(rεQ + k), 0 ≤ x3 ≤ ℓ} ∀k ∈ Θε (за счет их осевого вращения), при которых поле скоростей в Ωε обладало бы заданными свойствами (в частности, наследовало бы свойства, близ- кие к заданному распределению z∂ ε ). Основываясь на результатах работы [5], примем следующую мате- матическую модель установившегося движения жидкости в области Ωε: −∆yε + (yε · ∇)yε = −∇pε + θε −→e3, (2.1) div yε = 0, (2.2) −∆θε + (yε · ∇) θε = yε · −→e3 (2.3) с краевыми условиями yε\|Γ1 ε = y1 ε , yε\|Γ2 ε = y2 ε , yε\|Γ3 = 0, (2.4) yε\| ∂̃T kj ε = αε kj , θε\| ∂̃T kj ε = b\| ∂̃T kj ε (j = 1; Jε), (2.5) θε\|Γ1 ε = 0, θε\|Γ2 ε = 0, θε\|Γ3 = b\|Γ3 . (2.6) Формализуем понятие решения указанной краевой задачи. Определение 2.1. Будем говорить, что функции (yε, pε, θε) ∈ H1 (Ωε) × L2 0 (Ωε) × H1 (Ωε) являются слабым решением краевой за- В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 441 дачи (2.1)–(2.6), если: aε (yε,v) + cε (yε,yε,v) + bε (yε, pε) = ∫ Ωε θε (−→e3 · v ) dx ∀v ∈ H1 0 (Ωε), bε (yε, q) = 0 ∀ q ∈ L2 0 (Ωε) , ∫ Ωε ∇θε · ∇ϕ dx + ∫ Ωε (yε · ∇θε)ϕ dx = ∫ Ωε (−→e3 · yε ) ϕ dx ∀ϕ ∈ H1 0 (Ωε) и при этом выполняются краевые условия (2.4)–(2.6). Следуя рассуждениям, приведенным в работах [36] и [5], можно показать, что краевая задача (2.1)–(2.6) разрешима в смысле опреде- ления 2.1, если только b ∈ H1(Ω; Γ1 ∪ Γ2) = { ϕ ∈ H1(Ω) : ϕ\|Γ1∪Γ2 } , где Γ1 = Ω̃×0 и Γ2 = Ω̃×ℓ и αε kj ∈ H1/2(∂̃T kj ε ) при всех j = 1, 2, . . . , Jε. Пусть γ > 0 — a priori заданная величина. Будем говорить, что векторное поле граничных скоростей αε = (αε k1 , . . . , αε kJε ) яв- ляется допустимым, если найдется вектор-функция u ∈ H1 sol(Ωε) ∩ H2(Ω) (так называемый прототип граничных управлений) такая, что ‖u‖H2(Ω) ≤ γ и при этом u\|Γ1 ε = y1 ε , u\|Γ2 ε = y2 ε , u\|Γ3 = 0, u\| ∂̃T kj ε = αε kj , ∀ j = 1, . . . , Jε, где y1 ε = y∗ ε ∣∣ Γ1 ε , y2 ε = y∗ ε ∣∣ Γ2 ε , y∗ ε ∈ H2 (Ω) ∩ H1 sol (Ωε) , y∗ ε ⇀ y∗ слабо в H2 (Ω) . Обозначим через U ε ∂ множество всех допустимых управлений при фиксированном ε, т.е. U ε ∂ =    αε = ( αε k1 , . . . , αε kJε ) ∣∣∣∣∣∣∣ αε k = u ∣∣ ∂̃Tk ε ∀k ∈ Θε, ∀u ∈ H1 sol (Ωε) ∩ H2 (Ω) , ‖u‖H2(Ω) ≤ γ, u ∣∣ Γ1 ε = y1 ε , u ∣∣ Γ2 = y2 ε , u ∣∣ Γ3 ε = 0    . (2.7) В этом случае результат о разрешимости краевой задачи (2.1)–(2.6) можно уточнить в следующей редакции (см., напр., [12]): 442 Субоптимальное граничное управление... Теорема 2.1. Пусть b ∈ H1(Ω), αε ∈ U ε ∂, и uε ∈ H1 sol(Ωε)∩H2(Ω) — прототип управляющего воздействия. Тогда найдется тройка фун- кций (yε, pε, θε) ∈ [ H1 sol (Ωε) ∩ H2 (Ωε) ] × [ H1 (Ωε) ∩ L2 0 (Ωε) ] × H1 (Ωε) такая, что (yε, pε, θε) есть слабым решением задачи (2.1)–(2.6) и при этом yε − uε ∈ H1 0,sol (Ωε) , θ − b\|Ωε ∈ H1 0 (Ωε) . Введем в рассмотрение множество Ξε =    (αε,yε, pε, θε) ∣∣∣∣∣∣∣ αε ∈ U ε ∂ , θε − b ∈ H1 0 (Ωε) , yε − uε ∈ H1 0,sol (Ωε) , (yε, pε, θε) ∈ H1 sol (Ωε) × L2 0 (Ωε) × H1 (Ωε) — слабое решение задачи (2.1)–(2.6)    (2.8) и сформулируем задачу оптимального управления: найти функции( α0 ε,y 0 ε , p 0 ε, θ 0 ε ) ∈ Ξε такие, что Pε : Iε ( α0 ε,y 0 ε , p 0 ε, θ 0 ε ) = inf (αε,yε,pε,θε)∈Ξε Iε (αε,yε, pε, θε) , (2.9) где функционал стоимости имеет вид Iε (αε,yε, pε, θε) = ∫ Ωε ∣∣yε − z∂ ε ∣∣2dx + β ε rε Jε∑ j=1 ∫ ∂̃T kj ε ∣∣αε kj ∣∣2dH2. (2.10) Здесь β > 0 — весовой коэффициент. Всюду далее множество Ξε бу- дем называть множеством допустимых решений в задаче (2.9). Как следует из определения множества Ξε и апприорных оценок для сла- бых решений задачи Бенара (2.1)–(2.6) (см. [5]), множество Ξε рав- номерно ограничено и замкнуто, относительно произведения слабых топологий в пространствах H1/2(∂̃Tε) × H1 (Ωε) × L2(Ωε) × H1(Ωε), а функционал стоимости полунепрерывен снизу в указанной тополо- гии. Следовательно (см. [18]), задача оптимального управления (2.9) разрешима тогда и только тогда, когда Ξε 6= ∅. В связи с этим всюду далее будем предполагать, что Ξε 6= ∅ при всех ε > 0. В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 443 Кроме того, заметим, что решение краевой задачи (2.1)–(2.6), во- обще говоря, не единственно при фиксированном граничном управ- лении. Поэтому, будем считать, что на множествах Ξε задано би- нарное отношение эквивалентности 〈L; Ξε〉 по следующему правилу: (αε,yε, pε, θε)L (α̂ε, ŷε, p̂ε, θ̂ε), если только αε = α̂ε. 3. Формализм сингулярных мер С целью дальнейшего анализа задачи оптимального управления (2.8)–(2.10), используем аппарат сингулярных мер, предложенный в работе [38] (см., также, [11, 12]). Введем в рассмотрение следующее множество Qr = {rx ∈ R 2 : ∀x ∈ Q}, где 0 < r < 1 — фиксиро- ванный параметр. Рассмотрим на R 2 нормированную периодическую меру Бореля ηr 0 с ячейкой периодичности Ỹ = [−1/2, 1/2)2. Будем предполагать, что ηr 0 равномерно распределена на множестве ∂Qr и пропорциональна одномерной хаусдорфовой мере H1 на R 1. Ясно, что ηr 0(Ỹ \∂Qr) = 0. Введем в рассмотрение также меру dηr = dηr 0 × dx3 на Y = [−1/2, 1/2)2 × [0, 1), носителем которой выступает множество ∂Qr × [0, 1). Тогда для любой непрерывной функции g имеет место равенство ∫ Y g dηr = 1∫ 0 ∫ Ỹ g dx3 dηr 0 = [ H2 (∂Qr × [0, 1)) ]−1 ∫ ∂Qr×[0,1) g dH2. Поскольку H2 (∂Qr × [0, 1)) = H1 (∂Qr) = rH1 (∂Q), то далее будем использовать обозначение \|∂Q\|H = H1 (∂Q). В результате, r ∫ Y gdηr = r 1∫ 0 ∫ Ỹ g dx3dηr 0 = \|∂Q\|−1 H ∫ ∂Qr×[0,1) g dH2. (3.1) Для любого борелевого множества B ⊂ R 3 положим ηr ε (B) = ε3ηr(ε−1B), где r = rε (limε→0 rε = 0). Тогда, как легко проверить, имеем: ∫ εY dηr ε = ε3 ∫ Y dηr =ε3. Следовательно, dηr ε ⇀ dx в пространстве мер Бореля [38], что озна- чает lim ε→0 ∫ R3 ϕ dηr ε = ∫ R3 ϕ dx ∀ϕ ∈ C∞ 0 ( R 3 ) . (3.2) 444 Субоптимальное граничное управление... Замечание 3.1. Мера ηr ε принадлежит классу M+ 0 (Ω), который со- стоит из неотрицательных мер Бореля η на Ω таких, что для любо- го борелевого множества B ⊆ Ω справедливо η(B) = 0 ∀B ⊂ Ω : cap (B,Ω) = 0 и η(B) = inf{η(U) : U — квази открыто, B ⊆ U}. Отметим также, что если η ∈ M+ 0 (Ω), то любая функция из H1(Ω) интегрируема по мере η, а значит, пространство H1(Ω) ∩ L2(Ω, dη) является корректно заданным (см. [14]). Используя приведенное выше замечание, перепишем выражение βε rε Jε∑ j=1 ∫ ∂̃T kj ε ∣∣αε kj ∣∣2dH2 в следующей, более удобной для дальнейших рассуждений, форме: βε rε Jε∑ j=1 ∫ ∂̃T kj ε ∣∣αε kj ∣∣2 dH2 = βε2 \|∂Q\|H Jε∑ j=1 1∫ 0 ∫ ε(Ỹ +kj) \|uε\| 2 dηrε 0 (x′ ε ) dx3 = βε3 \|∂Q\|H Jε∑ j=1 1∫ 0 ∫ ε(Y +kj) \|uε\| 2 dηrε (x ε ) = β \|∂Q\|H ∫ Ω \|uε\| 2 dηrε ε , (3.3) где uε — прототип вектора управлений αε = (αε k1 , . . . , αε kJε ). Замечание 3.2. Любое допустимое управление αε = (αε k1 , . . . , αε kJε ) можно интерпретировать, согласно представлению (3.3), как элемент пространства L2 (Ω, dηrε ε ). Пусть uε ∈ H1 sol (Ωε)∩H2 (Ω) — произволь- но фиксированный прототип для вектора αε. Тогда, в силу компа- ктности вложения H2 (Ω) ⊂ C (Ω), имеем uε ∈ C (Ω). Следовательно, uε является ηrε ε − измеримой функцией. Определение 3.1. Пусть (αε,yε, pε, θε) ∈ Ξε — произвольное допу- стимое решение для задачи (2.9). Тогда набор (uε, y̌ε, p̌ε, θ̌ε) ∈ Xε будем называть прототипом (αε,yε, pε, θε) для задачи (P̂ε), если uε — прототип вектора управлений αε ∈ U ∂ ε , а (y̌ε, p̌ε, θ̌ε) — В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 445 некоторое продолжение функций (yε, pε, θε) на всю область Ω, т.е. (y̌ε, p̌ε, θ̌ε)\|Ωε = (yε, pε, θε). Здесь Xε = [H1 sol(Ωε) ∩ H2(Ω) ∩ L2(Ω, dηrε ε )] × [H1 sol(Ωε) ∩ H1(Ω))] × [L2 0(Ω) ∩ L2 0(Ωε)] × H1(Ω). Замечание 3.3. Так как множество Ωε является сильно связным (см. [31]), то существует линейный оператор продолжения Pε : H1 (Ωε) → H1 (Ω) и константа C > 0, независящая от ε, такие, что ‖Pεyε‖H1(Ω) ≤ C ‖yε‖H1(Ωε) ∀yε ∈ H1 (Ωε). Поэтому в дальнейшем будем полагать y̌ε = Pεyε. Поскольку продолжения функций pε и θε на классы H1(Ω) и L2 0(Ω), соответственно, являются достаточно специфичными, во- спользуемся идеями работ [3,10]. Всюду далее будем обозначать через ∼ оператор продолжения нулем на цилиндры T kj ε . Пусть {−→ek}k=1,2,3 — канонический ортонормированный базис в R 3. Введем ряд вспомога- тельных гипотез. Пусть найдутся тройка (wε k, q ε k, µk) (1 ≤ k ≤ 3), ωε, µ, и линейный оператор Rε ∈ L ( H1 (Ω) ,H1 (Ωε) ) , такие, что: (H1) wε k ∈ H1(Ω), qε k ∈ L2 0(Ω), µk ∈ W−1,∞(Ω), µ ∈ W−1,∞ (Ω); (H2) ∇ · wε k = 0 в Ω и wε k = 0 на Tε; (H3) wε k ⇀ −→e k в H1(Ω), и qε k ⇀ 0 в L2 0(Ω); (H4) ∀vε ∈ H1(Ω) и ∀v ∈ H1(Ω) таких, что vε ⇀ v в H1(Ω) и vε = 0 на Tε, справедливо: lim ε→0 〈∇qε k − ∆wε k, ϕvε〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) = 〈µk, ϕv〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) , ∀ϕ ∈ C∞ 0 (Ω); (H5) если y ∈ H1 0(Ωε), то Rε (χεy) = y в Ωε, если ∇ · y = 0 в Ω, то ∇ · (Rε y) = 0 в Ωε, и при этом ‖Rε y‖H1 0 (Ωε) ≤ C‖y‖H1 0 (Ω), где константа C не зависит от ε; (H6) ωε ∈ H1(Ω), ωε = 0 на T kj ε ( j = 1; Jε ) ; (H7) ωε ⇀ 0 слабо в H1(Ω); (H8) ∀ υε ∈ H1(Ω) и ∀ υ ∈ H1(Ω) таких, что υε ⇀ υ в H1(Ω) и υε = 0 на Tε, справедливо: lim ε→0 〈−∆ωε, ϕ υε〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) = 〈µ, ϕ υ〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) , ∀ϕ ∈ C∞ 0 (Ω). 446 Субоптимальное граничное управление... Замечание 3.4. В дальнейшем будет показано, что для задачи (2.8)– (2.10) приведенные выше гипотезы выполняются. Заметим также, что естественным следствием гипотез (H1)–(H5) является существование линейного оператора Pε ∈ L(L2 0(Ωε); L 2 0(Ω)) такого, что (см., напр., [35]): 〈∇ [Pεqε] ,w〉H−1(Ω);H1 0 (Ω) = 〈∇qε, Rεw〉H−1(Ωε);H1 0 (Ωε) , ∀w ∈ H1 0(Ω), (3.4) (i) Pεqε = qε в L2 0(Ωε), (ii) ‖Pεqε‖L2 0 (Ω) ≤ C‖qε‖L2 0 (Ωε), (iii) ‖∇ [Pεqε] ‖H−1(Ω) ≤ C‖∇qε‖H−1(Ωε), где константа C не зависит от выбора qε и ε. Идентификация мер µk для различного класса задач в перфо- рированных областях проводилась многими авторами, см., напр. [3, 9, 10,31,33]. Однако, первые результаты в этом направлении были получены в работе [31]. 4. Сходимость в переменном пространстве Xε Характерной чертой изучаемой задачи граничного оптималь- ного управления (P̂ε) является зависимость базового пространс- тва решений X ε от малого параметра ε. В связи с этим на- помним основные понятия сходимости в переменных пространс- твах и их свойства, следуя работам [7, 38] (см. также [30]). Пусть {ηr ε}ε>0 — произвольное семейство периодических мер Бореля. Пусть{ ur ε ∈ L2(Ω, dηr ε) } — произвольная ограниченная последовательность функций, т.е. lim supε→0 ∫ Ω \|ur ε\| 2 dηr ε < +∞. Будем говорить, что: 1. ur ε ⇀ u в L2(Ω, dηr ε), если u ∈ L2(Ω) и limε→0 ∫ Ω ur εϕ dηr ε =∫ Ω uϕ dx для любой функции ϕ ∈ C∞ 0 (Ω); 2. ur ε → u в L2(Ω, dηr ε), если u ∈ L2(Ω) и limε→0 ∫ Ω ur ε · wr ε dηr ε =∫ Ω u · w dx для всех wr ε ⇀ w в L2(Ω, dηr ε). Имеют место следующие свойства указанной сходимости (см. [38]): (a) Критерий компактности : всякая ограниченная последова- тельность в L2(Ω, dηr ε) компактна относительно слабой сходи- мости; В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 447 (b) Свойство слабой полунепрерывности снизу : если ur ε ⇀ u в L2(Ω, dηr ε), то lim inf ε→0 ∫ Ω \|ur ε\| 2 dηr ε ≥ ∫ Ω \|u\|2 dx. (4.1) Пусть χε — характеристическая функция области Ωε. Тогда, в силу периодичности Ωε, справедливо следующее представление χε(x) = χr ε(x) = χr (x ε ) , где χr(x) = { 1, x ∈ Y \ [Qr × [0, 1)] , 0, x ∈ Qr × [0, 1) = rQ × [0, 1). Поскольку dηr ε := χε(x)dx есть мерой Радона, то для любого бореле- вого множества B ⊂ R 3 можна записать ηr ε(B) = ε3ηr(ε−1B), где ηr — Y -периодическая мера Бореля в R 3, которая равномерно распределе- на на многообразии Y \ [Qr × [0, 1)] и пропорциональна здесь мере Лебега L3, т.е. ∫ Y dηr = \|Ỹ \ Qr\|L2 = \|Ỹ \|L2 − r2 \|Q\|L2 = 1 − r2 \|Q\|L2 . Таким образом, dηr ⇀ dx при r → 0, и lim ε→0 ∫ Ω ϕχε dx = lim ε→0 ∫ Ω ϕχr(ε) (x ε ) dx = \|Y \| ∫ Ω ϕ dx = ∫ Ω ϕ dx (4.2) для любой функции ϕ ∈ C∞ 0 (Ω). Следующий результат является прямым следствием определения сильной сходимости в L2(Ω, χε dx) и соотношения (4.2). Лемма 4.1. χε → 1 при ε → 0 как в L2(Ω), так и в L2(Ω, χε dx). Формализуем понятие сходимости для последовательностей вида {(αε,yε, pε, θε) ∈ Ξ ε}ε>0. С этой целью введем следующие понятия: Определение 4.1. Будем говорить, что последовательность управлений {αε ∈ Uε}ε>0 wa-сходится к функции a0, если найдется последовательность ее прототипов {uε ∈ H2(Ω) ∩ L2(Ω, dη r(ε) ε )}ε>0, слабо сходящаяся к a0 в H2(Ω). Определение 4.2. Будем говорить, что последовательность управлений {αε ∈ Uε}ε>0 wb-сходится к функции b0 ∈ L2(Ω), если найдется последовательность ее прототипов {uε ∈ H2(Ω) ∩ L2(Ω, dη r(ε) ε )}ε>0, которая сходится к b0 слабо в L2(Ω, dηr ε), т.е. lim sup ε→0 ‖uε‖L2(Ω,dηr ε) < +∞ и ur ε ⇀ b0 в L2(Ω, dηr ε). (4.3) 448 Субоптимальное граничное управление... Лемма 4.2. Из любой последовательности допустимых управлений {αε ∈ Uε}ε>0 можно извлечь подпоследовательность, для которой ее wa− и wb−пределы совпадают почти всюду в Ω. Доказательство. Пусть {uε ∈ H2(Ω)∩L2(Ω, dη r(ε) ε )}ε>0 — произволь- ная последовательность прототипов допустимых управлений. В силу ее ограниченности в H2(Ω), найдется элемент a0 ∈ H2(Ω) и подпосле- довательность {uε}ε>0 (сохраним для нее тот же индекс) такие, что uε ⇀ a0 в H2(Ω) при ε → 0. Далее, согласно теореме вложения Соболева, имеем: a0 ∈ C(Ω) и uε → u0 в C(Ω). Следовательно, lim sup ε→0 ∫ Ω \|uε\| 2 dηr ε ≤ 2 lim sup ε→0 ∫ Ω \|uε − a0\| 2dηr ε + 2 lim sup ε→0 ∫ Ω \|a0\| 2dηr ε ≤ 2 lim sup ε→0 ‖uε − a0‖ 2 C(Ω) ηr ε ( Ω ) + 2 ‖a0‖ 2 C(Ω) ηr ε ( Ω ) = 2 ‖a0‖ 2 C(Ω) ηr ε ( Ω ) . Поскольку последовательность {uε}ε>0 ограничена в L2(Ω, dηr ε), то согласно приведеному выше критерию компактности в L2(Ω, dηr ε), можем утверждать: найдется элемент b0 ∈ L2(Ω) такой, что (пе- реходя при необходимости к подпоследовательности) uε ⇀ b0 в L2(Ω, dηr ε). С другой стороны, для любой функции ϕ ∈ C∞ 0 (Ω), имеем ∫ Ω ϕ (a0 − b0) dx ≤ ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ϕa0 dx − ∫ Ω ϕa0 dηr ε ∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ϕ (a0 − uε) dηr ε ∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ϕuε dηr ε − ∫ Ω ϕb0 dx ∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ϕa0 dx − ∫ Ω ϕa0 dηr ε ∣∣∣∣∣ + ‖uε − a0‖C(Ω) ∫ Ω \|ϕ\| dηr ε + ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ϕuε dηr ε − ∫ Ω ϕb0 dx ∣∣∣∣∣ = I1 + I2 + I3. (4.4) Так как dηr ε ⇀ dx и (ϕa0) ∈ C0(Ω), получаем I1 → 0 при ε → 0. Следуя аналогичным рассуждениям, находим, что I2 → 0 и I3 → 0 В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 449 при ε → 0. В результате, учитывая (4.3), из соотношения (4.4) оконча- тельно получаем: ∫ Ω ϕ (a0 − b0) dx = 0 ∀ϕ ∈ C∞ 0 (Ω). Таким образом, a0 = b0 почти всюду в Ω, что и требовалось доказать. Как следствие, приходим к следующим утверждениям. Лемма 4.3. Пусть {αε ∈ Uε}ε>0 — некоторая последовательность допустимых граничных управлений. Тогда слабые пределы в H2(Ω) любых слабо сходящихся последовательностей ее прототипов { u(1) ε ∈ H2(Ω) ∩ L2(Ω, dηr(ε) ε ) } ε>0 и { u(2) ε ∈ H2(Ω) ∩ L2(Ω, dηr(ε) ε ) } ε>0 совпадают. Лемма 4.4. Любая последовательность допустимых грани- чных управлений {αε ∈ Uε}ε>0 предкомпактна относительно wa-сходимости. Более того, любая ее wa-предельная точка прина- длежит множеству U = { u ∈ H2(Ω) : ‖u‖H2(Ω) ≤ γ } . (4.5) Согласно замечанию 3.3, для любой ограниченной последователь- ности функций { yε ∈ H1(Ωε) } ε>0 найдутся операторы продолжения Pε : H1(Ωε) → H1(Ω) и константа C, независящая от ε, такие, что ‖y̆ε = (Pεyε)‖H1(Ω) ≤ C ‖yε‖H1(Ωε) для любого ε > 0. Предполо- жим, что имеются две последовательности {y̆ (1) ε = P (1) ε (yε)}ε>0 и {y̆ (2) ε = P (2) ε (yε)}ε>0 такие, что y̆ (1) ε ⇀ y∗ 1 и y̆ (2) ε ⇀ y∗ 2 в H1(Ω). Тогда, используя результат леммы 4.1 и переходя к пределу в равенстве ∫ Ω χεy̆ (1) ε ϕ dx = ∫ Ω χε y̆ (2) ε ϕ dx, ∀ϕ ∈ H1(Ω) при ε → 0, получим ∫ Ω y∗ 1ϕ dx = ∫ Ω y∗ 2ϕ dx ∀ϕ ∈ H1(Ω). Таким образом, y∗ 1 = y∗ 2. Принимая данное обстоятельство во внимание, введем следующее понятие. 450 Субоптимальное граничное управление... Определение 4.3. Будем говорить, что последовательность допу- стимых решений {(αε,yε, pε, θε) ∈ Ξ ε}ε>0 w-сходится к (u,y, p, θ) ∈ H2(Ω)×H1(Ω)×L2 0(Ω)×H1(Ω) в переменном пространстве X ε при ε → 0 (в символьной записи, (αε,yε, pε, θε) w −→ (u,y, p, θ)), если най- дется последовательность ее прототипов {(uε, y̆ε, p̆ε, θ̆ε) ∈ Ξ̂ ε}ε>0, которая сходится к (u,y, p, θ) в следующем смысле: (i) uε wa−→ u в H2(Ω); (ii) p̆ε ⇀ p в L2 0(Ω); (iii) y̆ε ⇀ y в H1(Ω); (iv) θ̆ε ⇀ θ в H1(Ω). Установим следующий результат: Теорема 4.1. Пусть {(αε,yε, pε, θε) ∈ Ξ ε}ε>0 — последователь- ность допустимых решений задачи Pε. Тогда найдется подпоследо- вательность {(αε′ ,yε′ , pε′ , θε′)}ε′>0 и четверка (u,y, p, θ) ∈ H2(Ω) × H1(Ω) × L2 0(Ω) × H1(Ω) такие, что : u ∈ U, (αε′ ,yε′ , pε′ , θε′) w −→ (u,y, p, θ), и y − u ∈ H1 0,sol(Ω). (4.6) Доказательство. Для заданной последовательности допустимых ре- шений рассмотрим последовательность ее прототипов { (uε, y̆ε, p̆ε, θ̆ b ε) ∈ Ξ̂ ε } ε>0 , (4.7) которая построена по правилу: y̆ε = yε на Ωε и y̆ε = uε на Tε, p̆ε = Pε(pε), а функции θ̆b ε ∈ H1(Ω) определены как θ̆b ε = θε на Ωε и θ̆b ε = b на Tε. Здесь Pε ∈ L(L2 0(Ωε); L 2 0(Ω)) — оператор про- должения, отмеченный в замечании 3.4. Поскольку yε ∈ H1 sol(Ωε) и uε ∈ H1 sol(Ωε) ∩ H2(Ω), то при таком продолжении имеем y̆ε − uε ∈ H1 0,sol(Ωε) ∩ H1 0(Ω). Как следует из определения множества Ξε и априорных оценок для слабых решений задачи Бенара (2.1)–(2.6) (см. [5]), последова- тельность {(αε,yε, pε, θε) ∈ Ξ ε}ε>0 равномерно ограничена в X ε. Сле- довательно, будет ограниченной, а значит и слабо предкомпактной в H2(Ω) × H1(Ω) × L2 0(Ω) × H1(Ω), последовательность ее прототипов (4.7). Пусть (u,y, p, θ) ∈ H2(Ω)×H1(Ω)×L2 0(Ω)×H1(Ω) — ее слабый предел. Покажем, что y − u ∈ H1 0,sol(Ω). Учитывая, что div : H1 0(Ωε) 7→ L2(Ωε)/R = { g ∈ L2(Ωε) : ∫ Ωε g(x) dx = 0 } , В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 451 приходим к справедливости включения yε − uε ∈ H(div , Ωε) ∀ ε. Та- ким образом, 0 = ∫ Ωε ϕ div(yε − uε) dx = − ∫ Ωε (yε − uε) · ∇ϕ dx, ∀ϕ ∈ C∞ 0 (R3), ∀ ε > 0. (4.8) Принимая во внимание лемму 1.1, можем записать ∫ Ω ϕ χε div (y̆ε − uε) dx = − ∫ Ω χε(y̆ε − uε) · ∇ϕ dx, ∀ϕ ∈ C∞ 0 (R3). Поскольку div [y̆ε − uε] = div [χε(y̆ε − uε)] = χε div(y̆ε − uε), отсюда находим χε(y̆ε − uε) ∈ H(div, Ω). В результате, переходя в (4.8) к пределу при ε → 0 и учитывая при этом лемму 4.1, получим 0 = lim ε→0 ∫ Ω χε(y̆ε − uε) · ∇ϕ dx = ∫ Ω (y − u)∇ϕ dx, ∀ϕ ∈ C∞ 0 (R3). Следовательно, (y−u) ∈ H1 0,sol(Ω), что и требовалось установить. 5. Определение субоптимальных управлений Как было отмечено во введении, численное решение задачи опти- мального управления (2.8)–(2.10) при малых значениях параметра ε практически несостоятельно. Поэтому возникает естественная необ- ходимость в построении таких законов управления в задаче Берна- ра, при которых ее характеристики были бы в определенном смысле близкими к оптимальным. В связи с этим, введем следующее поня- тие. Определение 5.1. Будем говорить, что функция α sub ε = (αsub k1 , αsub k2 , . . . , αsub kJε ) является асимптотически субоптимальным управлением для задачи (Pε), если αsub kj ∈ H1/2(∂̃T kj ε ), ∫ ∂̃T kj ε n · αsub kj dH2 = 0, ∀ j = 1, . . . , Jε, (5.1) и при этом для любого δ > 0 найдется ε0 > 0 такое, что ∣∣∣ inf (αε,yε,pε)∈Ξε Iε(αε,yε, pε, θε) − Iε(α sub ε ,y sub ε , p sub ε , θ sub ε ) ∣∣∣ < δ, ∀ ε < ε0, (5.2) 452 Субоптимальное граничное управление... где через (y sub ε , p sub ε , θ sub ε ) = ( yε(α sub ε ), p sub ε (α sub ε ), θ sub ε (α sub ε ) ) обозначено соответствующее решение краевой задачи (2.1)–(2.6). В основу построения субоптимальных управлений положим под- ход, основанный на вариационной сходимости задач условной мини- мизации (см. [8,15,25–27,33]). С этой целью изучим асимптотическое поведение задачи (Pε) при ε → 0, представив ее при различных зна- чениях параметра ε в форме следующей последовательности задач условной минимизации: {〈 inf (αε,yε,pε,θε)∈Ξε Iε(αε,yε, pε, θε) 〉 ; ε > 0 } . (5.3) Определение 5.2. Будем говорить, что задача условной миними- зации 〈 inf (u,y,p,θ)∈Ξ0 I0(u,y, p, θ) 〉 (5.4) является вариационным w−пределом последовательности (5.3) при ε → 0, если имеют место следующие свойства: (1) из того, что последовательность {(αk,yk, pk, θk)}k∈N w-схо- дится к (u,y, p, θ) при k → ∞ и для нее существует последо- вательность значений {εk} параметра {ε} такая, что εk → 0 при k → ∞ и (αk,yk, pk, θk) ∈ Ξεk для всех k ∈ N, следует (u,y, p, θ) ∈ Ξ0, I0((u,y, p, θ) ≤ lim inf k→∞ Iεk (αk,yk, pk, θk); (5.5) (2) для любого набора функций (u,y, p, θ) ∈ Ξ0 найдется последова- тельность допустимых решений {(αε,yε, pε, θε) ∈ Ξε}ε>0 та- кая, что (αε,yε, pε, θε) w −→ (u,y, p, θ) и I0(u,y, p, θ) ≥ lim sup ε→0 Iε(αε,yε, pε, θε). (5.6) Основные свойства w-предельной задачи (5.4) представлены в сле- дующей теореме (см. [11,12,28,29]) В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 453 Теорема 5.1. Пусть (5.4) есть вариационным w−пределом после- довательности (5.3). Пусть также { (α0 ε,y 0 ε , p 0 ε , θ 0 ε ) ∈ Ξε } ε>0 после- довательность оптимальных решений задач Pε. Тогда существует набор (u0,y0, p 0, θ 0) ∈ Ξ0 такой, что (α0 ε,y 0 ε , p 0 ε , θ 0 ε ) w −→ (u0,y0, p 0, θ 0), (5.7) inf (u,y,p,θ)∈Ξ0 I0(u,y, p, θ) = I0 ( u0,y0, p 0, θ 0 ) = lim ε→0 inf (αε,yε,pε,θε)∈Ξε Iε(αε,yε, pε, θε). (5.8) Далее будет показано, что любое оптимальное решение для w- предельной задачи (5.4) может быть взято в качестве основы для построения субоптимального управления в смысле определения 5.1. 6. Теорема сходимости Цель данного раздела состоит в изучении асимптотического по- ведения решений краевой задачи (2.1)–(2.6) при ε → 0. Везде далее будем предполагать выполненными гипотезы (H1)–(H8). Обозначим через µkj составляющие вектор-функций µk ∈ W−1,∞(Ω) (1 ≤ k ≤ 3), существование которых оговорено в гипотезе (Н1). Начнем с ряда вспомогательных результатов. Лемма 6.1. µij ∈ Mb(Ω), ∀ i, j : (1 ≤ i, j ≤ 3). Доказательство. Покажем, что для любого компактного подмноже- ства K ⊂ Ω с нулевой емкостью, верно равенство µij(K) = 0. Из элементарных свойств мер Радона следует, что µij(D) = 0 для любо- го борелевого множества D ⊂ Ω нулевой емкости. Далее, пусть K — компактное подмножество Ω. Тогда очевидно, что для любого k ∈ N найдется функция ϕk ∈ C∞ 0 (Ω) такая, что ϕk ≥ χK , 0 ≤ ϕk ≤ 1, ‖ϕk‖H1 0 (Ω) ≤ 1/k. В силу гипотезы (H4), имеем: lim ε→0 〈∇qε i − ∆wε i ,vε〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) = 0, ∀vε ∈ H1 0(Ω) : vε ⇀ 0 в H1(Ω) и vε = 0 на Tε. (6.1) Применяя это свойство к последовательности вида {vε,k = ϕkw ε j}, получим, что для любого δ > 0 найдутся ε0(δ) и k0(δ), при которых ∣∣ 〈∇qε i ,vε,k〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) ∣∣ + ∣∣ 〈−∆wε i ,vε,k〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) ∣∣ ≤ δ, ∀ ε < ε0(δ), k > k0(δ). 454 Субоптимальное граничное управление... Тогда, следуя гипотезе (H2), находим 〈∇qε i ,vε,k〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) = − ∫ Ω qε i w ε j · ∇ϕk dx. Учитывая, что ∣∣ 〈∇qε i ,vε,k〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) ∣∣ ≤ ‖qε i ‖L2 0 (Ω)‖‖w ε j‖H1(div,Ω)‖ϕk‖H1 0 (Ω) ≤ C k , 〈−∆wε i ,vε,k〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) = ∫ Ω ϕk∇wε i : ∇wε j dx + ∫ Ω ∇wε i : wε j∇ϕk dx, и ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ∇wε i : wε j∇ϕk dx ∣∣∣∣∣ ≤ ‖wε i ‖H1(Ω)‖w ε j‖H1(Ω)‖∇ϕk‖L2(Ω) ≤ C k , получаем ∫ Ω ∣∣ϕk∇wε i : ∇wε j ∣∣ dx ≤ 2δ, ∀ ε < ε1(δ), k > k1(δ). (6.2) В силу гипотезы (H3), каждая из последовательностей {∇wε i : ∇wε j} (1 ≤ i, j ≤ 3) ограничена в L1(Ω). Тогда, переходя при необходимости к подпоследовательности, можно предположить существование сим- метрической матрицы M = {µij}1≤i,j≤3 ограниченных мер Радона µij таких, что ∇wε i : ∇wε j сходится к µij в ∗-слабой топологии пространс- тва Mb(Ω). В результате, предельный переход в неравенстве (6.2) при ε → 0 дает: ∫ Ω ϕk dµij ≤ 2δ, ∀ k > k1(δ). Однако, так как ϕk ≥ χK , то справедливо неравенство µij(K) ≤ 2δ, ∀ δ > 0, что и завершает доказательство леммы. Лемма 6.2. Для любой функции ϕ ∈ H1 0 (Ω) ∩ L∞(Ω) и любых i, j : (1 ≤ i, j ≤ 3), справедливо lim ε→0 ∫ Ω ϕ ( ∇wε i : ∇wε j ) dx = ∫ Ω ϕ dµij . (6.3) Доказательство. Пусть ϕ ∈ H1 0 (Ω)∩L∞(Ω). Тогда, следуя рассужде- ниям из [9], рассмотрим последовательность функций {ϕk ∈ C∞ 0 (Ω)}, обладающих свойствами: sup k∈N ‖ϕk‖L∞(Ω) < +∞, ϕk → ϕ in H1 0 (Ω) и µij − п.в. в Ω. В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 455 (существование такой последовательности функций доказано в [37]). Далее, верно неравенство ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ϕ ∣∣∇wε i : ∇wε j ∣∣ dx − ∫ Ω ϕ dµij ∣∣∣∣∣ ≤ ∫ Ω ( ∇wε i : ∇wε j ) \|ϕ − ϕk\| dx + ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ϕk ( ∇wε i : ∇wε j ) dx − ∫ Ω ϕk dµij ∣∣∣∣∣ + ∫ Ω \|ϕk − ϕ\| dµij . Переходя в этом неравенстве к пределу при фиксированном k и учи- тывая ∗-слабую сходимость (∇wε i : ∇wε j) к µij в Mb(Ω), получим lim sup ε→0 ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ϕ ( ∇wε i : ∇wε j ) dx − ∫ Ω ϕ dµij ∣∣∣∣∣ ≤ lim sup ε→0 ∫ Ω ∣∣∇wε i : ∇wε j ∣∣ \|ϕ − ϕk\| dx + lim sup ε→0 ∫ Ω \|ϕk − ϕ\| dµij . Теперь, переходя к пределу при k → ∞, находим lim sup ε→0 ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ϕ ( ∇wε i : ∇wε j ) dx − ∫ Ω ϕ dµij ∣∣∣∣∣ ≤ lim k→∞ lim sup ε→0 ∫ Ω ∣∣∇wε i : ∇wε j ∣∣ \|ϕ − ϕk\| dx. Покажем, что правая часть этого неравенства равна нулю. Применим свойство (6.1) к последовательности {vε,k = ±\|ϕk − ϕ\|wε j}. Имеем, lim k→∞ lim sup ε→0 [ ± ∫ Ω \|ϕk − ϕ\| ( ∇wε i : ∇wε j ) dx ± ∫ Ω ∇wε i : wε j∇\|ϕk − ϕ\| dx ] = 0. 456 Субоптимальное граничное управление... Далее, т.к. ∫ Ω ∇wε i : wε j∇\|ϕk − ϕ\| dx ≤ 2‖wε i ‖H1(Ω)‖w ε j‖H1(Ω)‖∇\|ϕk − ϕ\|‖L2(Ω) и ϕk → ϕ сильно в H1 0 (Ω), получим lim k→∞ lim sup ε→0 ∣∣∣∣∣ ∫ Ω ∇wε i : wε j∇\|ϕk − ϕ\| dx ∣∣∣∣∣ = 0. Таким образом, limk→∞ lim supε→0 ∫ Ω \|∇wε i : ∇wε j \|\|ϕ − ϕk\| dx = 0, что и требовалось доказать. Лемма 6.3. Если последовательность { vε ∈ H1 0(Ω) } и функция v ∈ H1 0(Ω) такие, что vε = 0 на Tε и vε ⇀ v в H1 0(Ω), тогда v ∈ L1(Ω, dµi) для любого i : (1 ≤ i ≤ 3). Доказательство. Для любого k > 0 определим скалярную функцию срезки Tk : R → R так, чтобы Tk(s) = k, если s ≥ k; Tk(s) = s, если −k ≤ s ≤ k; и Tk(s) = −k, если s ≤ −k. Векторный вариант такой функции обозначим через Tk : R 3 → R 3. Пусть { vε ∈ H1 0(Ω) } и v ∈ H1 0(Ω) — заданные выше функции. Покажем, что имеет место следующее равенство lim k→∞ lim sup ε→0 ∣∣∣∣∣ 〈∇qε i − ∆wε i ,vε〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) − ∫ Ω Tk(v) dµi ∣∣∣∣∣ = 0, (6.4) из которого следует, в частности, что величина ∫ Ω Tk(v) dµi ограни- чена по k, и поэтому применяя теорему Беппо–Леви о монотонной сходимости, получаем v ∈ L1(Ω, dµi). Для любого ε > 0 и k ∈ R, определим функцию vε,k по правилу vε = Tk(vε) + vε,k и заметим, что ∣∣∣∣∣ 〈∇qε i − ∆wε i ,vε〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) − ∫ Ω Tk(v) dµi ∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣ 〈∇qε i − ∆wε i ,vε,k〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) ∣∣ + ∣∣∣∣∣ 〈∇qε i − ∆wε i ,Tk(vε)〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) − ∫ Ω Tk(v) dµi ∣∣∣∣∣ = I1 + I2. (6.5) Тогда, для каждого фиксированного k, I2 стремится к нулю при ε → 0 согласно гипотезе (H4) (см. доказательство леммы 6.1). Учи- тывая свойство (6.1), находим I1 → 0 при k → ∞ и ε → 0. Тем самым, соотношение (6.4) доказано, что и требовалось установить. В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 457 Следующий шаг касается идентификации матрицы M = {µij}1≤i,j≤3, где µij — ∗-слабые пределы последовательностей {∇wε i : ∇wε j} в пространстве Mb(Ω). Лемма 6.4. Пусть функции wε j = (wε j,1, w ε j,2, w ε j,3) t ∈ H1(Ω) (1 ≤ j ≤ 3) такие, что wε j,k ∈ H1 0 (Ω) при j 6= k. (6.6) Тогда M = diag(µ11, µ22, µ33). Доказательство. Согласно гипотезе (H3) и теореме Реллиха- Кондрашева заключаем, что wε j = (wε j,1, w ε j,2, w ε j,3) t сходится к ej силь- но в L2(Ω). Кроме того, в силу свойства (6.6), имеем wε j,k ⇀ 0 в H1 0 (Ω), wε j,k → 0 в L2(Ω), ∀ j 6= k. Поэтому, используя неравенство Фридри- хса, находим lim sup ε→0 ‖∇wε j,k‖L2(Ω) ≤ C lim sup ε→0 ‖wε j,k‖L2(Ω) = 0, ∀ j 6= k. (6.7) Пусть пара индексов (i, j) есть такой, что i 6= j и 1 ≤ i, j ≤ 3. То- гда, переходя при необходимости к подпоследовательности, заключа- ем: найдется ограниченная мера Радона µij такая, что ∇wε i : ∇wε j ⇀ µij в ∗-слабой топологии пространства Mb(Ω). Следовательно, lim ε→0 ∫ Ω ( ∇wε i : ∇wε j ) ϕ dx = ∫ Ω ϕ dµij , ∀ϕ ∈ C0(Ω). Учитывая, что ∇wε i : ∇wε j = ∑3 k=1 ∇wε i,k · ∇wε j,k, приходим к оценке ∫ Ω ( ∇wε i : ∇wε j ) ϕ dx ≤ ‖ϕ‖C0(Ω) 3∑ k=1 ‖∇wε i,k‖L2(Ω)‖∇wε j,k‖L2(Ω). (6.8) Далее, используя свойство (6.7) и переходя к пределу в (6.8) при ε → 0, окончательно получаем: µij = 0. Для проверки гипотез (H1)–(H5) и идентификации мер µij , покро- ем множество Ω̃ непересекающимися квадратами со сторонами ε, обо- значив их символами εỸj . Соответствующие цилиндрические ячейки εỸj × (0, ℓ) обозначим через Zε j . Следуя идеям работ Cioranescu & Murat [10] и Allaire [3], введем в рассмотрение функции wε k ∈ H1(Zε j ), ωε ∈ H1(Zε j ), и qε k ∈ L2(Zε j ), где ∫ Zε j qk dx = 0 и (k = 1, 2, 3), по следу- ющему правилу: 458 Субоптимальное граничное управление... (1) если ячейка Zε j имеет непустое пересечение с границей Γ3, то {wε k = ek, ωε = 1, qε k = 0 } в Zε j ∩ Ω. (6.9) (2) если ячейка Zε j целиком принадлежит множеству Ω (т.е. для всех k ∈ Θε), то {wε k = ek, ωε = 1, qε k = 0} в Zε k \ [ε (A + k) × (0, ℓ)] , {−∆wε k + ∇qε k = 0, −∆ωε = 0, ∇ · wε k = 0} в ε (A \ Qrε + k) × (0, ℓ), {wε k = 0, ωε = 0, qε k = 0} в ε (Qrε + k) × (0, ℓ). (6.10) Ясно, что исходя из специфики перфорации множества Ωε, функции wε k, ωε и qε k, согласно их определениям (6.9)–(6.10), можно взять неза- висящими от координаты x3. Таким образом, далее будем полагать, что wε k = wε k(x1, x2), ωε = ωε(x1, x2), qε k = qε k(x1, x2) (6.11) для всех 1 ≤ k ≤ 3. В результате такого выбора функций wε k, ωε и qε k, как показано в работах [3, 10], будет справедливым следующее утверждение. Теорема 6.1. Пусть поперечный размер εrε цилиндров Tk ε удовле- творяет соотношению lim ε→0 σε = lim ε→0 ε2 (log 1/rε) > 0, (6.12) а функции (wk, q ε k, ωε) (k = 1, 2, 3) определены равенствами (6.9)– (6.10). Тогда найдутся распределения M = (µ1, µ2, µ2) ∈ [ M+ 0 (Ω) ]3×3 , µ ∈ M+ 0 (Ω) и оператор Rε ∈ L ( H1 (Ω) ,H1 (Ωε) ) такие, что гипотезы (H1)–(H8) будут выполнены. При этом M = diag(µ11, µ22, µ33) является диа- гональной положительно определенной матрицей, а линейный опе- ратор Rε связан соотношением (3.4) с оператором продолжения Pε ∈ L(L2 0(Ωε); L 2 0(Ω)) следующего вида: Pε(pε) = pε в Ωε, Pε(pε) = 1 ℓ\|Aε \ Qεrε \| ∫ (Aε\Qεrε+εk)×(0,ℓ) pε dx на цилиндрах Tk ε . В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 459 С целью идентификации матрицы M = diag(µ11, µ22, µ33), кото- рая определяется как *-слабый предел последовательностей ∇wε i : wε i в пространстве Mb(Ω), установим следующий результат. Лемма 6.5. Пусть граница ∂Q множества Q является гладким многообразием (∂Q ∈ C∞) и содержит точку (0, 0). Пусть также выполняется (6.12). Тогда для последовательности { wε i ∈ H1(Ω) } (1 ≤ i ≤ 3), которая определена соотношениями (6.9)–(6.10), име- ет место сходимость (∇wε i : ∇wε i ) ⇀ µ∗ ii ∗-слабо в Mb(Ω), где µ∗ ii = 2π lim ε→0 σ−1 ε , ∀ i : 1 ≤ i ≤ 3. (6.13) Доказательство. Для доказательства воспользуемся подходом, пре- дложенным в работе [13]. Пусть всюду далее \|∇wε i \| 2 = (∇wε i : ∇wε i ). Обозначим через εYj кубическую ячейку со стороной ε, на кото- рые разбита исходная область Ω. Ясно, что \|εYj \| = ε\|εỸj \| = ε3 и \|∇wε i \| 2 = ∑3 k=1 \|∇wε i,k\| 2, где wε i,i ⇀ 1 в H1(Ω), и wε i,k ⇀ 0 в H1 0 (Ω) для любого k 6= i. Тогда ∫ εYj ϕ \|∇wε i \| 2 dx = ∫ εYj ϕ \|∇wε ii\| 2 dx + ∑ k 6=i ∫ εYj ϕ \|∇wε ik\| 2 dx = ∫ εYj ϕ \|∇wε ii\| 2 dx + Sj(ε) для любой функции ϕ ∈ C0(Ω). Следовательно, основываясь на пред- ставлении (6.11), имеем ϕ(xε j)ε ∫ εỸj \|∇wε ii\| 2 dx = ϕ(xε j) ∫ εYj \|∇wε ii\| 2 dx ≤ ∫ εYj ϕ \|∇wε ii\| 2 dx ≤ ϕ(yε j ) ∫ εYj \|∇wε ii\| 2 dx = ϕ(yε j )ε ∫ εỸj \|∇wε ii\| 2 dx, при некоторых xε j , y ε j ∈ εYj . Объединяя это отношение с предыдущим, получим 460 Субоптимальное граничное управление... ε ∫ εỸj \|∇wε ii\| 2 dx + Sj(ε) ≤ ∫ εYj \|∇wε i \| 2 ϕ dx ≤ ϕ(yε j )ε ∫ εỸj \|∇wε ii\| 2 dx + Sj(ε). (6.14) Из определения емкости множества следует, что ∫ εỸj \|∇wε ii\| 2 dx = cap ( Qεr(ε), Aε ) = cap (rεQ, A) = cap ( Q, r−1 ε A ) . (6.15) Однако, согласно лемме 3.3 из [13], справедливо представление cap ( K, r−1 ε A ) = 2π log(1/rε) (1 + cε) = 2πε2σ−1 ε (1 + cε) , где lim ε→0 cε = 0. (6.16) Теперь, объединяя соотношения (6.14)–(6.16), приходим к следу- ющему неравенству 2πε2σ−1 ε (1 + cε) ∑ j ε3ϕ(xε j) + ∑ j Sj(ε) ≤ ∑ j ∫ εYj \|∇wε i \| 2 ϕ dx ≤ 2πε2σ−1 ε (1 + cε) ∑ j ε3ϕ(yε j ) + ∑ j Sj(ε). (6.17) Учитывая, что − ‖ϕ‖C0(Ω) lim ε→0 ∫ Ω \|∇wε ik\| 2 dx ≤ lim ε→0 ∑ j ∫ εYj ϕ \|∇wε ik\| 2 dx ≤ ‖ϕ‖C0(Ω) lim ε→0 ∫ Ω \|∇wε ik\| 2 dx, и принимая во внимание лемму 6.4 (а также свойства римановых сумм для ∫ Ω ϕ dx), можем перейти в (6.17) к пределу при ε → 0. Как результат, имеем 2π lim ε→0 σ−1 ε ∫ Ω ϕ dx ≤ lim ε→0 ∫ Ω \|∇wε i \| 2 ϕ dx ≤ 2π lim ε→0 σ−1 ε ∫ Ω ϕ dx, ∀ϕ ∈ C0(Ω). Следовательно, limε→0 ∫ Ω \|∇wε\| 2ϕ dx = 2π limε→0 σ−1 ε , что и заверша- ет доказательство леммы. В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 461 В полной аналогии к предыдущему, можно установить результат (см. также [9,10,12]). Лемма 6.6. Пусть выполняются все условия леммы 6.5. Пусть функции { wε ∈ H1(Ω) } определены как в (6.9)–(6.10). Тогда \|∇wε\| 2 → µ∗ ∗-слабо в Mb(Ω), где µ∗ = 2π limε→0 σ−1 ε , т.е. ∫ Ω ϕ \|∇wε\| 2 dx →∫ Ω ϕµ∗ dx для любых ϕ ∈ C∞ 0 (Ω). Перейдем к рассмотрению основного вопроса данного раздела, а именно к изучению предела при ε → 0 в следующих соотношениях:    ∫ Ωε (∇yε : ∇v) dx + ∫ Ωε (yε · ∇)yε · v dx − ∫ Ωε pε div v dx = ∫ Ωε θε −→e3 · v dx, ∀v ∈ H1 0(Ωε), ∫ Ωε q div yε dx = 0, ∀ q ∈ L2 0(Ωε), ∫ Ωε ∇θε · ∇ϕεdx + ∫ Ωε yε · ∇θεϕε dx = ∫ Ωε −→e3 · yεϕε dx ∀ϕε ∈ H1 0 (Ωε). (6.18) Схема дальнейших рассуждений стандартна и основана на энер- гетическом методе Tartar [35] и его адаптации для уравнений Навье– Стокса (см. Allaire [3]). Теорема 6.2. Пусть {(αε,yε, pε, θε) ∈ Ξ ε}ε>0 последовательность допустимых решений задачи Pε такая, что (αε,yε, pε, θε) w −→ (u,y, p, θ) (6.19) и пусть поперечный размер εrε цилиндров Tk ε удовлетворяет соот- ношению (6.12). Тогда u ∈ U, и тройка (y, p, θ) ∈ H1(Ω) × L2 0(Ω) × H1(Ω) является решением следующей вариационной задачи: y − u ∈ H1 0,sol(Ω), θ − b ∈ H1 0 (Ω), (6.20) ∫ Ω (∇y : ∇v) dx + 2π C0 ∫ Ω (y − u)v dx + ∫ Ω (y · ∇)y · v dx + ∫ Ω ∇p · v dx = ∫ Ω θ−→e3 · v dx, ∀v ∈ H1 0(Ω), (6.21) 462 Субоптимальное граничное управление... ∫ Ω q div y dx = 0, ∀ q ∈ L2 0(Ω), ∫ Ω ∇θ · ∇ϕ dx + π 2C0 ∫ Ω (θ − b) ϕ dx + ∫ Ω y · ∇θϕ dx = ∫ Ω y · −→e3ϕ dx, ∀ϕ ∈ H1 0 (Ω) . (6.22) Замечание 6.1. Соответствующая краевая задача для (6.20)–(6.22) может быть представлена как −△y + 2π C0 (y − u) + (y · ∇)y + ∇p = θ−→e3 в Ω; (6.23) div y = 0 в Ω; (6.24) y\|∂Ω = u\|∂Ω; (6.25) −∆θ + 2π C0 (θ − b) + y · ∇θ = y · −→e3; (6.26) θ\|∂Ω = b\|∂Ω. (6.27) Как следует из (6.23)–(6.27), в случае, когда тонкие цилиндры имеют, так называемый, критический размер (0 < C0 < +∞), предельная система уравнений движения дополняется двумя новыми слагаемыми 2π C0 (y − u) и 2π C0 (θ − b). Эти соотношения выражают закон Биркмана движения вязкой несжимаемой жидкости в условиях теплоподвода (см. [6]). Доказательство. Пусть {(αε,yε, pε, θε) ∈ Ξ ε}ε>0 — заданная после- довательность допустимых решений задачи Pε, и пусть {(uε, y̆ε, p̆ε, θ̆ b ε) ∈ Ξ̂ ε}ε>0 — последовательность их прототипов. Будем полагать, что {y̆ε}ε>0 ограничена в H1(Ω), {θ̆b ε}ε>0 ограничена в H1(Ω), а каждая из функций p̆ε определена как Pε(pε) ∈ L2 0(Ω) (см. замечание 3.4). Тогда, последовательность {(uε, y̆ε, p̆ε, θ̆ b ε) ∈ Ξ̂ ε}ε>0 ограничена в пе- ременном пространстве Xε, а значит, учитывая (6.19), она сходится к (u,y, p, θ) ∈ [ H2(Ω) ∩ H1 sol(Ω) ] × H1 sol(Ω) × L2(Ω) × H1(Ω), в смысле определения 4.3. Далее, пусть { (wε k, q ε k) ∈ H1(Ω) × L2(Ω) } ε>0 — последователь- ность пробных функций, определенная гипотезами (H1)–(H4). Пусть также ϕ ∈ C∞ 0 (Ω) и fε = θε −→e3. Ясно, что ϕwε k ∈ H1 0,sol(Ω) и В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 463 ϕqε k ∈ L2 0(Ω) для любого ε > 0. Теперь, подставляя в соотношения (6.18) функции v = ϕwε k ∈ H1 0,sol(Ωε), q = ϕqε k ∈ L2 0(Ωε), получим ∫ Ωε ∇(yε − uε) : ∇(ϕwε k) dx + ∫ Ωε ∇uε : ∇(ϕwε k) dx + ∫ Ω χε(uε · ∇)y̆ε · (ϕwε k) dx + ∫ Ω χε((y̆ε − uε) · ∇)(y̆ε − uε) · (ϕwε k) dx + ∫ Ω χε(y̆ε · ∇)uε · (ϕwε k) dx − ∫ Ω χε(uε · ∇)uε · (ϕwε k) dx − ∫ Ωε pε div (ϕwε k) dx = ∫ Ω χεfε · (ϕwε k) dx ; (6.28) ∫ Ωε ϕ qε k div yε dx = ∫ Ωε ϕ qε k div (yε − uε) dx = 0. (6.29) Учитывая в (6.28) бездивергентность функции wε k, находим ∫ Ωε ϕ∇(yε − uε) : ∇wε k dx + ∫ Ωε ∇(yε − uε) : wε k∇ϕ dx + ∫ Ωε ϕ(∇uε : ∇wε k) dx + ∫ Ωε ∇uε : wε k∇ϕ dx + ∫ Ω χε((y̆ε − uε) · ∇)(y̆ε − uε) · (ϕwε k) dx + ∫ Ω χε(uε · ∇)y̆ε · (ϕwε k) dx + ∫ Ω χε(y̆ε · ∇)uε · (ϕwε k) dx − ∫ Ω χε(uε · ∇)uε · (ϕwε k) dx − ∫ Ωε pεw ε k · ∇ϕ dx = ∫ Ω χεfε · ϕwε k dx. (6.30) Тогда, интегрируя по частям в (6.29), имеем 〈∇qε k, ϕ χε(y̆ε − uε)〉H−1(Ω);H1 0 (Ω) + ∫ Ω χεq ε k ∇ϕ · (y̆ε −uε) dx = 0. (6.31) 464 Субоптимальное граничное управление... Складывая два последних соотношения и учитывая тот факт, что ∫ Ωε ϕ∇(yε − uε) : ∇wε k dx = −〈∆wε k, ϕχε(y̆ε − uε)〉H−1(Ω);H1 0 (Ω) − ∫ Ω χε(y̆ε − uε)∇ϕ : ∇wε k dx, (6.32) получим 〈∇qε k − ∆wε k, ϕχε(y̆ε − uε)〉H−1(Ω);H1 0 (Ω) + ∫ Ω χε∇uε : wε k∇ϕ dx + ∫ Ω χεq ε k ∇ϕ · (y̆ε − uε) dx − ∫ Ω χε(y̆ε − uε)∇ϕ : ∇wε k dx + ∫ Ω χε∇(y̆ε − uε) : wε k∇ϕ dx + ∫ Ω χεϕ(∇uε : ∇wε k) dx + ∫ Ω χε((y̆ε − uε) · ∇)(y̆ε − uε) · (ϕwε k) dx + ∫ Ω χε(uε · ∇)y̆ε · (ϕwε k) dx + ∫ Ω χε(y̆ε · ∇)uε · (ϕwε k) dx − ∫ Ω χε(uε · ∇)uε · (ϕwε k) dx − ∫ Ω χεp̆εw ε k · ∇ϕ dx = ∫ Ω χεfε · ϕwε k dx. (6.33) Теперь перейдем к пределу в (6.33) при ε → 0, учитывая следу- ющие факты: wε k ⇀ ek в H1(Ω); ∇wε j сходится поточечно и слабо в L2(Ω) к нулю; χε → 1 в L2(Ω); qε k ⇀ 0 в L2 0(Ω); p̆ε = Pε(pε) ⇀ p в L2 0(Ω); последовательность {χε(y̆ε − uε)} удовлетворяет гипотезе (H4); нелинейный член ((y̆ε − uε) · ∇)(y̆ε − uε) сходится сильно к ((y − u) · ∇)(y − u) в H−1(Ω); из соотношения (6.19) следует, что uε → u в H1(Ω). В результате, имеем 〈∇qε k − ∆wε k, ϕχε(y̆ε − uε)〉H−1(Ω);H1 0 (Ω) → 〈µk, ϕ(y − u)〉H−1(Ω);H1 0 (Ω) согласно леммы 6.5 = 2π C0 ∫ Ω ϕ−→ek · (y−u) dx, и, следовательно, применяя теорему Реллиха к (6.33), получим В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 465 2π C0 ∫ Ω ϕ−→ek · (y − u) dx + ∫ Ω ∇y : −→ek∇ϕ dx + ∫ Ω (y · ∇)y · (ϕ−→ek) dx − ∫ Ω p−→ek · ∇ϕ dx = ∫ Ω f · ϕ−→ek dx, ∀ϕ ∈ C∞ 0 (Ω) для любого k = 1, 2, 3, (6.34) где f = θ−→e3, θ = θ∗ + b, θ̆b ε − b ⇀ θ∗ в H1 0 (Ω). Далее, интегрируя по частям в выражении ∫ Ω p−→ek · ∇ϕ dx, и учи- тывая соотношения (6.34) и (4.6), окончательно получаем: четверка (u,y, p, θ) удовлетворяет следующим соотношениям: ∫ Ω ∇y : ∇Φ dx + 2π C0 ∫ Ω (y − u) · Φ dx + ∫ Ω (y · ∇)y · Φ dx + ∫ Ω ∇p · Φ dx = ∫ Ω θ−→e3 · Φ dx, ∀Φ ∈ C∞ 0 (Ω); (6.35) y − u ∈ H1 0,sol(Ω), u ∈ U. (6.36) Теперь рассмотрим последнее из соотношений (6.18), полагая в нем ϕε = ωεϕ. Получим ∫ Ωε ∇θε · ∇[ωεϕ] dx + ∫ Ωε yε · ∇θε[ωεϕ] dx = ∫ Ωε −→e3 · yε[ωεϕ] dx. (6.37) Поскольку ∫ Ωε ∇θε · ∇ [ωεϕ] dx = ∫ Ω ∇θ̆∗ε · ∇ [ωεϕ] dx + ∫ Ω ∇b · ∇ [ωεϕ] dx, где положено θ̆∗ε = θ̆b ε − b, θ̆∗ε ⇀ θ∗ в H1 0 (Ω), и при этом ∫ Ω ∇b · ∇ [ωεϕ] dx → ∫ Ω ∇b · ∇ϕ dx, ∫ Ω ∇θ∗ε · ∇ [ωεϕ] dx = ∫ Ω ∇θ∗ε · ωε∇ϕ dx + ∫ Ω ∇θ∗ε · ϕ∇ωε dx, ∫ Ω ∇θ∗ε · ωε∇ϕ dx → ∫ Ω ∇θ∗ · ∇ϕ dx, 466 Субоптимальное граничное управление... ∫ Ω ∇θ∗ε · ϕ∇ωε dx = 〈−∆ωε, ϕθ∗ε〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) − ∫ Ω θ∗ε∇ϕ · ∇ωε dx, ∫ Ω θ∗ε∇ϕ · ∇ωε dx → ∫ Ω θ∗∇ϕ · ∇1 dx = 0, а также, согласно гипотезе (H8), 〈−∆ωε, ϕθ∗ε〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) → 〈µ, ϕθ∗〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) , то окончательно получаем ∫ Ωε ∇θε · ∇ [ωεϕ] dx → ∫ Ω ∇θ · ∇ϕ dx + 〈µ, ϕθ∗〉H−1(Ω),H1 0 (Ω) , (6.38) где положено θ = θ∗ + b. Следовательно, ∫ Ω y̆ε · ∇θε [ωεϕ] dx = ∫ Ω y̆ε · ∇θ∗ε [ωεϕ] dx + ∫ Ω y̆ε · ∇b [ωεϕ] dx → ∫ Ω y · ∇θ∗ϕ dx + ∫ Ω y · ∇bϕ dx, ∫ Ωε yε · −→e3 [ωεϕ] dx = ∫ Ω y̆ε · −→e3 [ωεϕ] dx → ∫ Ω y · −→e3ϕ dx. В результате, получаем: ∫ Ω ∇θ · ∇ϕ dx + 〈µ, ϕθ∗〉H−1(Ω),H1 o (Ω) + ∫ Ω y · ∇θϕ dx = ∫ Ω y · −→e3ϕ dx, ∀ϕ ∈ C∞ 0 (Ω) , (6.39) где θb ε ⇀ θ = θ∗ + b в H1(Ω), что и требовалось установить. 7. Вариационный предел функционала стоимости Iε Рассмотрим вопрос об асимптотическом поведении функционала качества Iε : Ξε → R (2.10) при ε → 0, следуя рекомендациям рабо- ты [26]. Заметим, что функционал Iε имеет смысл и определен только на множестве допустимых пар Ξε, в то время как вне этого множе- ства его можно считать неопределенным. В связи с этим восполь- зуемся концепцией вариационной сходимости таких функционалов, В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 467 так как в этом случае предельный функционал, вообще говоря, мо- жет не совпадать с соответствующим Γ-пределом последовательности {Iε}ε>0 [27]. Определение 7.1. Функционал Io : Ξo → R будем называть вари- ационным пределом последовательности {Iε : Ξε → R}ε>0 относи- тельно w-сходимости, если: (i) Ξo является топологическим w-пределом по Куратовскому си- стемы множеств {Ξε}ε>0; (ii) для любого набора (u,y, p, θ) ∈ Ξo найдется постоянная εo > 0 и w-сходящаяся последовательность {(αε,yε, pε, θε)}ε>0 такая, что (αε,yε, pε, θε) ∈ Ξε ∀ε ∈ (0, εo), и при этом Io(u,y, p, θ) ≥ lim sup ε→0 Iε (αε,yε, pε, θε) ; (iii) для любой подпоследовательности {Ξεi}i∈N и любой w- сходящейся к некоторой четверке (u,y, p, θ) последовательно- сти {(αi,yi, pi, θi) ∈ Ξεi}i∈N , справедливо Io(u,y, p, θ) ≤ lim inf i→∞ Iεi (αi,yi, pi, θi) . Отметим, что в силу (3.3), функционал Iε (αε,yε, pε, θε) можно представить в виде Iε (αε,yε, pε, θε) = ∫ Ωε ∣∣yε − z∂ ε ∣∣2dx + β\|∂Q\|H ∫ Ω \|uε\| 2 dηrε ε . (7.1) Следующее утверждение касается проблемы идентификации пре- дельного функционала Io : Ξo → R. Теорема 7.1. Пусть z∂ ε → z∂ сильно в L 2(Ω). Тогда вариационный предел последовательности {Iε : Ξε → R}ε>0 представим в виде: Io(u,y, p, θ) = ∫ Ω \|y − z∂ \| 2 dx + β\|∂Q\|H ∫ Ω \|u\|2 dx. (7.2) Доказательство. Начнем с проверки условия (iii) определения 7.1. Пусть Ξεi ∋ (αi,yi, pi, θi) w →(u,y, p, θ) ∈ Ξo. 468 Субоптимальное граничное управление... Тогда согласно теоремам вложения и свойству полунепрерывности снизу относительно слабой сходимости, имеем: Lui(yi) = { yi, при x ∈ Ωεi ui, при x ∈ Ω \ Ωεi } → y сильно в L 2(Ω) и слабо в H 2(Ω), причем справедливо неравенство lim inf i→∞ ∫ Ω \|ui\| 2 dηr εi ≥ ∫ Ω \|u\|2 dx. Следовательно, lim inf i→∞ Iεi (αi,yi, pi, θi) = lim inf i→∞ {∫ Ω χεi ∣∣Luεi (yεi) − z∂ εi ∣∣2 dx + β \|∂Q\|H ∫ Ω \|uεi \| 2 dηr εi } ≥ lim i→∞ ∫ Ω χεi ∣∣Luεi (yεi) − z∂ εi ∣∣2 dx + β \|∂Q\|H ∫ Ω \|u\|2 dx = ∫ Ω \|y − z∂ \| 2 dx + β \|∂Q\|H ∫ Ω \|u\|2 dx. Здесь, как и выше, через χε обозначена характеристическая функция множества Ωε. Итак, свойство (iii) доказано. Перейдем к проверке свойства (ii). Пусть (u,y, p, θ) ∈ Ξo — произвольный фиксированный набор функций. Тогда найдется последовательность допустимых ре- шений {(αε,yε, pε, θε) ∈ Ξε} такая, что (αε,yε) w →(u,y). Значит, αε wa→u. Тогда, в силу теоремы о компактном вложении H 2(Ω) ⊂ C(Ω) имеем: uε → u в норме пространства C(Ω). Отсюда следует, что ∫ Ω \|uε\| 2 dηrε ε → ∫ Ω \|u\|2 dx при ε → 0. Таким образом, lim sup ε→0 [ ∫ Ωε ∣∣yε − z∂ ε ∣∣2 dx + β \|∂C\|H ∫ Ω \|uε\| 2 dηr ε ] = Io (u,y, p, θ) , что и требовалось доказать. В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 469 Таким образом, в случае перфорации области Ω тонкими цилин- драми критического поперечного сечения 0 < C0 < +∞ (см. условие (6.12)), для семейства задач оптимального управления (2.8)–(2.10) су- ществует предельная вариационная задача (5.4), которая может быть представлена в форме следующей задачи оптимального управления: Минимизировать Io(u,y, p, θ) = ∫ Ω \|y − z∂ \| 2 dx + β\|∂Q\|H ∫ Ω \|u\|2 dx (7.3) при ограничениях (u,y, p, θ) ∈ Ξo, (7.4) где множество допустимых решений Ξo определяется соотношениями Ξ0 =    (u,y, p, θ) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ p ∈ L2 0(Ω), u ∈ H2(Ω), y − u ∈ H1 0,sol(Ω), ‖u‖H2(Ω) ≤ γ, u\|Γ3 = 0, −△y + 2π C0 (y − u) + (y · ∇)y + ∇p = θ−→e3 in Ω; div y = 0 in Ω; y\|∂Ω = u\|∂Ω −∆θ + 2π C0 (θ − b) + y · ∇θ = y · −→e3 in Ω; θ\|∂Ω = b\|∂Ω.    (7.5) Всюду далее задачу (7.3)–(7.5) будем называть предельной (или усредненной) задачей оптимального управления. 8. Субоптимальные управления и их асимптотические свойства В данном разделе изучим структуру субоптимальных управле- ний для исходной задачи оптимального управления (2.1)–(2.10) в слу- чае, когда поперечный размер εrε цилиндров Tk ε удовлетворяет соот- ношению (6.12). Прежде всего заметим, что, согласно гипотезе (H5), существует оператор Λε : H1 sol(Ω) 7→ H1 sol(Ωε), обладающий свойства- ми: если y ∈ H1 sol(Ωε), тогда Λε (y̆) = y в Ωε, (8.1) ‖Λε(u)‖H1(Ωε) ≤ C‖u‖1 H(Ω), где константа C > 0 не зависит от ε. (8.2) Тем самым приходим к следующему результату: 470 Субоптимальное граничное управление... Теорема 8.1. Пусть Λε : H1 sol(Ω) 7→ H1 sol(Ωε) — линейный непрерыв- ный оператор, для которого имеют место соотношения (8.1)–(8.2), и пусть также (u0,y0, p 0, θ 0) ∈ Ξ0 является оптимальным реше- нием предельной задачи (5.4). Тогда функция α sub ε = ( αsub k1 , αsub k2 , . . . , αsub kJε ) = Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε (8.3) является асимптотически субоптимальным управлением для исхо- дной задачи (Pε) в смысле определения 5.1. Доказательство. Как следует из результатов работы [12, теоре- ма 9.3] верны следующие свойства: пусть четверка (u0,y0, p 0, θ 0) яв- ляется оптимальным решением предельной задачи (5.4). Тогда имеют место соотношения Λε(u 0) ∈ L2(Ω, dηr(ε) ε ), ∀ ε > 0, (8.4) Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε wa−→ u0 при ε → 0, и lim ε→0 ∫ Ω ∣∣Λε(u 0) ∣∣2 dηr(ε) ε = ∫ Ω ∣∣u0 ∣∣2 dx. (8.5) Далее, введем в рассмотрение последовательность {(Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε , ŷε, p̂ε, θ̂ε) ∈ Ξε}ε>0 , где тройка (ŷε, p̂ε, θ̂ε) = ( ŷε(Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε ), p̂ε(Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε , θ̂ε(Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε ) ) является соответствующим слабым решением краевой задачи (2.1)– (2.6). Теперь, повторяя почти дословно рассуждения работы [12] (см. теорема 9.3), можно заключить, что эта последовательность относи- тельно компактна в смысле w-сходимости. Переходя, при необходи- мости, к подпоследовательности, получим (ŷε, p̂ε, θ̂ε) = ( ŷε(Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε ), p̂ε(Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε , θ̂ε(Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε ) ) ε→0 −→ (u 0, ŷ 0, p̂ 0, θ̂ 0), где (u 0, ŷ 0, p̂ 0, θ̂ 0) и (u 0,y 0, p 0, θ 0) принадлежат одному классу эквивалентности. Поэтому, I0(u 0,y 0) = I0(u 0, ŷ 0). Пусть { (α 0 ε ,y 0 ε , p 0 ε , θ 0 ε ) ∈ Ξε } ε>0 — оптимальное решение задачи (Pε). Тогда ∣∣∣ inf (αε,yε,pε,θε)∈Ξε Iε(αε,yε, pε, θε) − Iε(Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε , ŷε, p̂ε, θ̂ε) ∣∣∣ = ∣∣∣Iε(α 0 ε ,y 0 ε , p 0 ε , θ 0 ε ) − Iε(Λε(u 0) ∣∣ ∂̃Tε , ŷε, p̂ε, θ̂ε) ∣∣∣ В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 471 ≤ ∣∣Iε(α 0 ε,y 0 ε , p 0 ε , θ 0 ε ) − I0(u 0,y0, p 0, θ 0) ∣∣ + ∣∣∣∣∣ ∫ Ω \|ŷ 0 − z∂ \| 2 dx − ∫ Ωε \|ŷε − z∂ ε \| 2 dx ∣∣∣∣∣ + β ∣∣∣∣∣\|∂Q\|H ∫ Ω ∣∣u0 ∣∣2 dx − ε rε Jε∑ j=1 ∫ ∂̃T kj ε ∣∣ Λε(u 0) ∣∣ ∂̃T kj ε ∣∣2dH2 ∣∣∣∣∣ = I1 + I2 + I3. Для завершения доказательства заметим, что зафиксировав прои- звольное δ > 0 можно указать: (1) ε1 > 0 такое, что I1 < δ/3 для любого ε < ε1, согласно теоремы 7.1 и известных свойств вариацион- ной сходимости; (2) ε2 > 0 такое, что I2 < δ/3 для любого ε < ε2, что следует из соотношений приведенных в доказательстве теоре- мы 7.1; (3) ε3 > 0 такое, что I3 < δ/3 для любого ε < ε3, согласно свойству (8.5). Для завершения доказательства достаточно положить ε < min{ε1, ε2, ε3} и воспользоваться определением 5.1. 9. Выводы Анализ полученных результатов показывает, что в случае кри- тического способа перфорации цилиндрической области, предельная задача оптимального управления (7.3)–(7.5), которая служит основой для построения субоптимальных законов управления, существенным образом отличается от исходной. Во-первых, объектом управления выступает установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости в однородной цилиндрической области, подчиняющееся термодина- мическому закону Биркмана (за счет появления дополнительных сла- гаемых 2π C0 (y−u) и 2π C0 (θ− b) в уравнениях состояния (6.20) и (6.26)). Во-вторых, управление реализуется через граничное условие Дири- хле на верхнем и нижнем основаниях цилиндрической области. При этом допустимыми управлениями выступают функции класса H2(Ω), подчиненные ограничениям ‖u‖H2(Ω) ≤ γ, u\|Γ3 = 0. В результате, в предельной задаче меняется тип и свойства множе- ства допустимых управляющих воздействий. И в-третьих, несмотря на то, что управление является как граничным, так и распределен- ным по всей области, предельный функционал качества (7.3) содер- жит квадрат взвешенной нормы управления в пространстве L2(Ω). 472 Субоптимальное граничное управление... Таким образом, с точки зрения математической теории оптималь- ных систем, предельная задача (7.3)–(7.5) является принципиально отличной от исходной задачи управления в перфорированной обла- сти. Вместе с тем, ее отличительной чертой есть то обстоятельство, что она рассматривается в области с существенно более простой гео- метрией. Это позволяет для ее анализа, а значит для реализации суб- оптимальных управлений, эффективно использовать существующие численные алгоритмы. Литература [1] R. Adams, Sobolev Spaces, New York: Academic Press, 1975. [2] F. Abergel, R. Temam, On some control problems in fluids mechanics // Theoret. Comput. Fluid Dynamics, (1990), 303–325. [3] G. Allaire, Homogenization of the Navier-Stokes equations in open sets perforated with tiny holes. I. Abstract frameworks, a volume distribution of holes // Arch. Ration. Mech. Anal., (1991), N 3, 209–259. [4] I. Babuška, The finite element method with penalty // Math Comm., (1973), 221– 228. [5] B. Birnir, N. Svanstedt, Existence theory and strong attractors for the Rayleigh– Bénard problem with a large aspect ratio // Discrete and Continuous Dynamical Systems, 10 (2004), N 1–2, 55–74. [6] H. C. Brinkman, A calculation of the viscous force exerted by a flowing fluid on a dense swarm of particles // Appl. Sci. Res., (1947), 27–34. [7] G. Bouchitté, I. Fragala, Homogenization of thin structures by two-scale method with respect to measures // SIAM J. Math. Anal., (2001), N 6, 1198–1226. [8] G. Buttazzo, G. Dal Maso, Γ-convergence and optimal control problems // J. Optim. Theory Appl., (1982), 385–407. [9] J. Casado-Díaz, Existence of a sequence satisfying Cioranescu–Murat conditi- ons in homogenization of Dirichlet problems in perforated domains // Rend. di Matem. – Roma, (1996), Ser. VII, 387–413. [10] D. Cioranescu, F. Murat, Un terme étrage venu d’ailleurs // Nonlinear Partial Differential Equations and their applications. Collége de France Seminar, Vol. II, 58–138; Vol. III, 157–178, Research Notes in Mathematics, Pitman, London, 1981. [11] C. D’Apice, U. De Maio, P. I. Kogut, Suboptimal boundary controls for elliptic equation in critically perforated domain // Annales de l’institut Henri Poincaré :(C) Analyse non Linéare, 25 (2008), Issue 6, 1073–1101. [12] C. D’Apice, U. De Maio, P. I. Kogut, Boundary velocity suboptimal control of incompressible flow in cylindrically perforated domain // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B, 11 (2009), N 2, 283–314. [13] A. Corbo Esposito, C. D’Apice, A. Gaudiello, A homogenization problem in a perforated domain with both Dirichlet and Neumann conditions on the boundary of the holes // Asymp. Anal, 31 (2002), 297–316. [14] G. Dal Maso, F. Murat, Asymptotic behaviour and correctors for Dirichlet problem in perforated domains with homogeneous monotone operators // Ann. Scoula Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., (1997), N 4, 239–290. В. В. Гоцуленко, П. И. Когут 473 [15] Z. Denkowski, S. Mortola, Asymptotic behavior of optimal solutions to control problems for systems described by differential inclusions corresponding to partial differential equations // J. Optimiz. Theory Appl., (1993), N 2, 365–391. [16] G. Duvaut, J.-L. Lions, Les Inéquations en Méchanique et en Physique, Paris: Dunon, 1971. [17] L. C. Evans, R. F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, Boca Raton, 1992. [18] A. V. Fursikov, Optimal Control of Distributed Systems. Theory and applications, AMS, 2000. [19] A. V. Fursikov, M. D. Gunzburger, L. S. Hou, Boundary value problems and optimal boundary control for the Navier–Stokes system // SIAM J. Control Optim. (1998), N 3, 852–894. [20] M. D. Gunzburger, L. S. Hou, T. Svobodny, Boundary velocity control of incompressible flow with an application to viscous drag reduction // SIAM J. Control Optim., 30 (1992), 167–181. [21] В. И. Иваненко, В. И. Мельник, Вариационные методы в задачах оптималь- ного управления распределенными системами, Киев: Наукова думка, 1989. [22] L. S. Hou, T. Svobodny, Optimization problems for the Navier-Stokes equations with regular boundary controls // J. Math. Anal. Appl. (1993), 342–367. [23] L. S. Hou, S. S. Ravindran, A penalized Neumann control approach for solving an optimal Dirichlet control problem for the Navier–Stokes equations // SIAM J. Control Optim. (1998), N 5, 1795–1814. [24] A. V. Kapustyan, J. Valero, Global continuous solutions, uniqueness and attractors for the 3D Navier–Stokes systems // Preprint I-2005-24, Universidad Miguel Hernández, Centro de Investigación Operativa, 2005, 26 p. [25] П. И. Когут, S-сходимость задач условной минимизации и ее вариационные свойства // Проблемы управления и информатики, (1997), N 4, 64–79. [26] P. I. Kogut, G. Leugering, S-convergence of optimal control problems in Banach spaces //Math. Nachr., 233–234 (2002), 141–169. [27] P.I. Kogut, G. Leugering, On S-homogenization of an optimal control problem with control and state constraints // J. Analysis and its Applications, (2001), N 2, 395–429. [28] P. I. Kogut, G. Leugering, On the homogenization of optimal control problems on periodic graphs // Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 252 (2007), 55–74. [29] P. I. Kogut, G. Leugering, Asymptotic Analysis of State Constrained Semilinear Optimal Control Problems // Journal of Optimization Theory and Applications (JOTA), 135 (2007), N 2, 301–321. [30] A. A. Kovalevskii, G-convergence and homogenization of nonlinear elliptic operators in divergence form with variable domain // Russian Acad. Sci. Izv. Math., 44 (1995), N 3, 431–460. [31] В. А. Марченко, Е. Я. Хруслов, Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. К.: Наукова думка, 1974. [32] F. F. Reuss, Notice sur un nouvel effect de l’électricité galvanique, Mémoire Soc. Sup. Imp. de Moscou, 1809. 474 Субоптимальное граничное управление... [33] J. Saint Jean Paulin, H. Zoubairi, Optimal control and “strange term” for the Stokes problem in perforated domains //Portugaliac Mathematica, (2002), N 2, 161–178. [34] E. Sanches-Palencia, Non Homogeneous Media and Vibration Theory, Lecture Notes in Physics: Springer-Verlag, 1980. [35] L. Tartar, Convergence of the homogenization process, Appendix of [34]. [36] R. Temam, Navier–Stokes Equations, Theory and Numerical Methods, Amsterdam: North-Holland, 1979. [37] W. P. Ziemmer, Weakly Differentiable Functions, New York: Springer-Verlag, 1989. [38] V. V. Zhikov, On an extension of the method of two-scale convergence and its applications // Sbornik Math., (2000), N 7, 973–1014. [39] M. Z. Zgurovski, V. S. Mel’nik, Nonlinear Analysis and Control Problems for Systems with Distributed Parameters, Kyiv: Naukova Dumka, 1999. Сведения об авторах Петр Ильич Когут Днепропетровский национальный университет им. О. Гончара ул. Научная, 13 49050, Днепропетровск Украина E-Mail: p.kogut@i.ua Владимир В. Гоцуленко Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта ул. Академика Лазаряна, 2 49010, Днепропетровск Украина E-Mail: gosul@ukr.net

Субоптимальное граничное управление системой Бенара в цилиндрически перфорированной области

Institution

Ähnliche Einträge