Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами
Получены явные формулы для вычисления величины приближения классов свёрточными операторами специального вида. Как частные случаи получаются явные формулы для величины приближения указанных классов обобщенными средними Абеля–Пуассона, бигармоническими операторами Пуассона, средними Рисса и Чезаро. В...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Український математичний вісник |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124397 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами / В.П. Заставный // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 3. — С. 409-433. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124397 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1243972017-09-25T03:03:10Z Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами Заставный, В.П. Получены явные формулы для вычисления величины приближения классов свёрточными операторами специального вида. Как частные случаи получаются явные формулы для величины приближения указанных классов обобщенными средними Абеля–Пуассона, бигармоническими операторами Пуассона, средними Рисса и Чезаро. В некоторых случаях для величины приближения указанных классов найдены асимптотические разложения по параметру. В случае натурального r некоторые результаты были получены в работах Никольского, Надя, Тимана, Теляковского, Баскакова, Фалалеева, Харкевича и других математиков. 2010 Article Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами / В.П. Заставный // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 3. — С. 409-433. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. 1810-3200 2010 MSC. 42A10, 41A35, 41A36. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124397 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Получены явные формулы для вычисления величины приближения классов свёрточными операторами специального вида. Как частные случаи получаются явные формулы для величины приближения указанных классов обобщенными средними Абеля–Пуассона, бигармоническими операторами Пуассона, средними Рисса и Чезаро. В некоторых случаях для величины приближения указанных классов найдены асимптотические разложения по параметру. В случае натурального r некоторые результаты были получены в работах Никольского, Надя, Тимана, Теляковского, Баскакова, Фалалеева, Харкевича и других математиков. |
| format |
Article |
| author |
Заставный, В.П. |
| spellingShingle |
Заставный, В.П. Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами Український математичний вісник |
| author_facet |
Заставный, В.П. |
| author_sort |
Заставный, В.П. |
| title |
Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами |
| title_short |
Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами |
| title_full |
Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами |
| title_fullStr |
Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами |
| title_full_unstemmed |
Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами |
| title_sort |
точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124397 |
| citation_txt |
Точная оценка приближения некоторых классов дифференцируемых функций свёрточными операторами / В.П. Заставный // Український математичний вісник. — 2010. — Т. 7, № 3. — С. 409-433. — Бібліогр.: 35 назв. — рос. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT zastavnyjvp točnaâocenkapribliženiânekotoryhklassovdifferenciruemyhfunkcijsvërtočnymioperatorami |
| first_indexed |
2025-07-09T01:22:31Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:22:31Z |
| _version_ |
1837130480025075712 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 7 (2010), № 3, 409 – 433
Точная оценка приближения некоторых
классов дифференцируемых функций
свёрточными операторами
Виктор П. Заставный
(Представлена М. М. Маламудом)
Аннотация. Получены явные формулы для вычисления величи-
ны приближения классов W
r,β
p,n свёрточными операторами специаль-
ного вида. Здесь β ∈ Z, r > 0, n ∈ N, а p = 1 или p = ∞. Как
частные случаи получаются явные формулы для величины прибли-
жения указанных классов обобщенными средними Абеля–Пуассона,
бигармоническими операторами Пуассона, средними Рисса и Чезаро.
В некоторых случаях для величины приближения указанных клас-
сов найдены асимптотические разложения по параметру. В случае
натурального r некоторые результаты были получены в работах Ни-
кольского, Надя, Тимана, Теляковского, Баскакова, Фалалеева, Хар-
кевича и других математиков.
2010 MSC. 42A10, 41A35, 41A36.
Ключевые слова и фразы. Теорема Никольского, приближение
классов функций, средние Абеля–Пуассона, Рисса и Чезаро, бигар-
монические операторы Пуассона.
1. Введение
Пусть Lp — классы 2π-периодических вещественнозначных изме-
римых функций с конечной нормой ‖f‖p = (
∫ π
−π |f(t)|p dt)1/p при 1 ≤
p < ∞ и ‖f‖∞ = ess sup{|f(t)| : t ∈ [−π, π]}. Коэффициенты Фурье
функции ϕ ∈ L1 определяются по формуле ϕ̂(k) = 1
2π
∫ π
−π ϕ(t)e−ikt dt,
k ∈ Z. Пусть Tn = {α0
2 +
∑n−1
k=1 αk cos kt + βk sin kt : αk, βk ∈ R} —
множество тригонометрических полиномов степени не выше n − 1,
n ∈ N, H0
p = {ϕ ∈ Lp : ‖ϕ‖p ≤ 1} — единичный шар в Lp, а
Hn
p =
{
ϕ ∈ H0
p : ϕ̂(k) = 0, |k| ≤ n− 1, k ∈ Z
}
, n ∈ N.
Статья поступила в редакцию 12.04.2010
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут математики НАН України
410 Точная оценка приближения...
Очевидно Hs+1
p ⊂ Hs
p при всех s ∈ Z+.
По функции K ∈ L1 определим класс функций
Wp,n(K) :=
{
f = ϕ ∗K, ϕ ∈ Hn
p
}
, n ∈ Z+. (1.1)
Здесь (ϕ ∗ K)(x) := 1
2π
∫ π
−π ϕ(x − t)K(t) dt — свёртка функций ϕ и
K. Очевидно Wp,s+1(K) ⊂ Wp,s(K) при всех s ∈ Z+. Известно, что
Wp,n(K) ⊂ Lp при всех 1 ≤ p ≤ ∞, а если p = ∞ или K ∈ L∞, то
Wp,n(K) ⊂ C(R) (см., например, [1, Гл. 4]). Пусть
ψr,β(t) =
∑
k 6=0
e−iβπ sign k/2
|k|r
eikt =
∞∑
k=1
2 cos(kt− βπ
2 )
kr
, r > 0, β ∈ R.
Известно, что ψr,β ∈ L1 (см., например, [2, гл. V] или [3, гл. 7]). В этом
случае получаются хорошо известные классы W
r,β
p,n := Wp,n(ψr,β). В
частных случаях, когда n = 1, β = r или β = r + 1, получаются
классы W r
p := W r,r
p,1 и W̃ r
p := W r,r+1
p,1 .
По функции g ∈ L1 определим свёрточный оператор
G(f)(x) :=
1
2π
π∫
−π
f(x− t)g(t) dt, f ∈ Wp,n(ψ), (1.2)
где ψ ∈ L1, n ∈ N и 1 ≤ p ≤ ∞. Очевидно
f(x) −G(f)(x) =
1
2π
π∫
−π
ϕ(x− t)K(t) dt, f ∈ Wp,n(ψ), (1.3)
где ϕ — соответствующая функция из Hn
p (см. (1.1)), а
K(x) = ψ(x) − (ψ ∗ g)(x) ∈ L1; K(x) ∼
∑
k
ψ̂(k)(1 − ĝ(k))eikx. (1.4)
Очевидно f − G(f) ∈ Lp для любой f ∈ Wp,n(ψ), а если p = ∞
или ψ ∈ L∞, то f − G(f) ∈ C(R). Поэтому имеет смысл следующая
величина (приближение класса Wp,n(ψ) оператором G)
E(Wp,n(ψ);G)p := sup
f∈Wp,n(ψ)
‖f −G(f)‖p = sup
f∈Wp,n(K)
‖f‖p. (1.5)
В некоторых случаях величина, стоящая в правой части последне-
го равенства, явно выражается через коэффициенты Фурье функции
K. В § 2 приведены без доказательств примеры таких ядер из рабо-
ты автора [5] и формулы вычисления величины (1.5). Эти примеры
используются в доказательствах теорем из § 3.
В. П. Заставный 411
В § 3.1 сформулированы общие теоремы о вычислении величины
E(Wr,β
p,n;G)p в случае, когда β ∈ Z, p = 1 или p = ∞, а оператор
G = Gα,δ в (1.2) порожден функцией g = gα,δ, ряд Фурье которой
имеет вид
gα,δ(t) ∼
∑
k∈Z
h(|k|αδ)eikt, α > 0, δ > 0. (1.6)
Здесь h(t) некоторая функция, заданная при t ≥ 0. Если h(t) = e−t,
то получаем операторы Абеля–Пуассона. Если h(t) = (1− t)µ+, µ > 0,
то получаем средние Рисса.1
В § 3.2 сформулированы общие теоремы о вычислении величины
E(Wr,β
p,n;G)p в случае, когда β ∈ Z, p = 1 или p = ∞, а оператор
G = Gα,δ,γ в (1.2) порожден функцией g = gα,δ,γ , ряд Фурье которой
имеет вид
gα,δ,γ(t) ∼
∑
k∈Z
(1 + |k|αδγ)h(|k|αδ)eikt, α > 0, δ > 0, γ ∈ R. (1.7)
Если h(t) = e−t, α = 1, δ > 0 и γ = (1 − e−2δ)/(2δ), то получаем
бигармонический оператор Пуассона.
В § 3.3 для β ∈ Z, p = 1 или p = ∞, получены точные значе-
ния приближения классов W
r,β
p,n операторами Gα,δ,γ , когда h(t) = e−t,
h(t) = (1 + t)−µ, h(t) = (1 − t)µ+, µ > 0. В первых двух случаях
для величин E(Wr,β
p,n;Gα,δ)p найдены асимптотические разложения
по степеням δ. В § 3.4 для β ∈ Z, p = 1 или p = ∞, получены точные
значения приближения классов W
r,β
p,1 средними Чезаро σαm, при α ≥ 1,
а в § 3.5 получены точные значения приближения этих классов сре-
дними типа Рисса и Чезаро. В § 4 доказаны вспомогательные утвер-
ждения. В § 5 приведены доказательства теорем из § 3.1 и § 3.2. В
случае натурального r некоторые результаты § 3.3 и 3.4 были получе-
ны в работах Никольского, Надя, Тимана, Теляковского, Баскакова,
Фалалеева, Харкевича и других математиков.
2. Ядра с условием B
∗
n и теорема Никольского
Определение 2.1. Говорят, что функция K ∈ L1 удовлетворя-
ет условию Никольского A∗
n, n ∈ N, если существуют натуральное
n∗ ≥ n и тригонометрический полином T ∗ ∈ Tn такие, что для фун-
кции ϕ∗(t) = sign(K(t)−T ∗(t)) почти всюду2 выполняется равенство
ϕ∗(t+ π/n∗) = −ϕ∗(t).
1Здесь и далее t+ = t, если t > 0 и t+ = 0, если t ≤ 0.
2Здесь и далее под почти всюду мы подразумеваем почти всюду относительно
меры Лебега.
412 Точная оценка приближения...
Пусть En(f)p = infT∈Tn
‖f − T‖p, n ∈ N, — наилучшее приближе-
ние функции f ∈ Lp тригонометрическими полиномами.
Теорема 2.1 (Никольский (1946) [4]). Пусть p = 1 или p = ∞.
Если при некотором n ∈ N ядро K ∈ L1 удовлетворяет условию
A∗
n и полином T ∗ ∈ Tn из этого условия, то для всех s = 0, 1, . . . , n
имеют место соотношения
sup
f∈Wp,s(K)
En(f)p = sup
f∈Wp,n(K)
‖f‖p =
1
2π
En(K)1 =
1
2π
‖K − T ∗‖1.
(2.1)
Теореме Никольского предшествовали исследования Колмогоро-
ва, Фавара, Ахиезера, Крейна, Надя (более подробно см. [4]). Авто-
ром [5,6] теорема Никольского 2.1 доказана для ядер, удовлетворяю-
щих более общему условию B∗
n.
Определение 2.2. Мы говорим, что функция K ∈ L1 удовлетворя-
ет условию B∗
n, n ∈ N, если существуют тригонометрический по-
лином T ∗ ∈ Tn, функция ϕ∗ ∈ L∞ и натуральное n∗ ≥ n такие, что
почти всюду выполняются соотношения |ϕ∗(t)| ≤ 1, ϕ∗(t)(K(t) −
T ∗(t)) = |K(t) − T ∗(t)| и ϕ∗(t+ π/n∗) = −ϕ∗(t).
Если ядро K удовлетворяет A∗
n условию, то оно удовлетворяет
и B∗
n условию. Примеры ядер, которые удовлетворяют условию B∗
n,
но не удовлетворяют условию A∗
n приведены в [5, 6]. Отметим, что в
условии B∗
n, в отличии от условия A∗
n, нам не важно на каком множе-
стве (нулевой или положительной меры) обращается в ноль разность
K(t) − T ∗(t).
Ниже приведены примеры ядер, которые удовлетворяют условию
B∗
n (доказательства см. в [5, 6]). Пусть ядро K ∈ L1 имеет вид
K(t) ∼
µ0
2
+
∞∑
k=1
c(µk cos kt+ λk sin kt).
Пример 2.1. Если µk = 0, k ≥ 0, p = 1 или p = ∞, то равенство
sup
f∈Wp,n(K)
‖f‖p =
1
2π
En(K)1 =
2|c|
π
∞∑
k=0
λ(2k+1)n
2k + 1
(2.2)
справедливо, по крайней мере, в следующих случаях:
i) n ∈ N, а последовательность {λk}k∈N убывает к нулю и выпукла
вниз, т.е. λk − 2λk+1 + λk+2 ≥ 0 (ядра Надя [4, 7]).
В. П. Заставный 413
ii) n = 1, а последовательность {kλk}k∈N убывает и λk ≥ 0, k ∈ N.
iii) n = 1, λk = (1 − νk)/k
r, k ∈ N, r = 1 или r ≥ 2, а {νk}
∞
k=0 такая
последовательность, что ряд ν0/2 +
∑∞
k=1 νk cos kt является ря-
дом Фурье функции S ∈ L1 и S(t) ≥ 0 для почти всех t ∈ R и
ν0 ≤ 1.
Пример 2.2. Если λk = 0, k ≥ 1, p = 1 или p = ∞, то равенство
sup
f∈Wp,n(K)
‖f‖p =
1
2π
En(K)1 =
2|c|
π
n∑
k=0
(−1)kµ(2k+1)n
2k + 1
(2.3)
справедливо, по крайней мере, в следующих случаях:
i) n ∈ N, а последовательность {µk}k∈N убывает к нулю и при всех
k ∈ N выполняются неравенства ∆2µk := µk − 2µk+1 + µk+2 ≥ 0
и ∆3µk := µk − 3µk+1 + 3µk+2 − µk+3 ≥ 0 (ядра Надя [4, 7]).
ii) n = 1, последовательность {k2µk}k∈N убывает и µk ≥ 0, k ∈ N.
iii) n = 1, последовательность {kµk}k∈N убывает к нулю и выпукла
вниз.
iv) n = 1, µk = (1 − νk)/k
r, k ∈ N, r = 2 или r ≥ 3, а {νk}
∞
k=0 такая
последовательность, что ряд ν0/2 +
∑∞
k=1 νk cos kt является ря-
дом Фурье функции S ∈ L1 и S(t) ≥ 0 для почти всех t ∈ R и
ν0 ≤ 1.
Пример 2.3. i) Пусть при некотором значении A ∈ R функция
K ∈ L1 удовлетворяет условиям: K(t) ≥ A почти всюду на
(0, π) и K(t) ≤ A почти всюду на (−π, 0). В этом случае равен-
ство (2.2) справедливо при n = 1.
ii) Пусть при некотором значении A ∈ R функция K ∈ L1 удов-
летворяет условиям: K(t) ≥ A почти всюду на (−π/2, π/2) и
K(t) ≤ A почти всюду на (−π, π) \ (−π/2, π/2). В этом случае
равенство (2.3) справедливо при n = 1.
Замечание 2.1. Формулы (2.2) и (2.3) для ядер Надя получены в [4,
7]. Отметим, что пример 2.1(iii) при нечетных r ∈ N, а пример 2.2(iv)
при четных r ∈ N были получены другим методом в [8].
В следующей лемме приведены достаточные условия неотрица-
тельности функции S(t) из примеров 2.1(iii) и 2.2(iv). Функция f :
R → C называется положительно определённой на R (см., напри-
мер, [9, § 6.2], [10]), если для любых n ∈ N, {xk}
n
k=1 ⊂ R и {ck}
n
k=1 ⊂ C
414 Точная оценка приближения...
выполняется неравенство
∑n
k,j=1 ck c̄jf(xk − xj) ≥ 0. Если f ∈ C(R) ∩
L(R), то положительная определенность функции f эквивалентна не-
отрицательности её преобразования Фурье.
Лемма 2.1 ([5,6]). Пусть функция f является положительно оп-
ределенной и непрерывной на R. Если ряд
∑
k∈Z
f(k)eikt является
рядом Фурье функции S ∈ L1, то S(t) ≥ 0 при почти всех t ∈ R.
3. Приближение классов W
r,β
p,n
3.1. Случай операторов Gα,δ
Теорема 3.1. Пусть для функции h выполнены следующие два усло-
вия:
1. Функция λ(x) = (1 − h(x))/x выпукла вниз на (0,+∞).
2. При некоторых α ∈ (0, 1] и δ > 0 ряд
∑
k∈Z
h(|k|αδ)eikt является
рядом Фурье некоторой функции gα,δ ∈ L1.
Пусть Gα,δ — оператор, порожденный функцией gα,δ ∈ L1 по форму-
ле (1.2) и p = 1 или p = ∞. Тогда имеют место следующие утвер-
ждения:
1. Если β + 1 ∈ 2Z, то при любых n ∈ N и r ≥ α справедливы
равенства
E(Wr,β
p,n;Gα,δ)p =
4
πnr
∞∑
k=0
1 − h((2k + 1)αnαδ)
(2k + 1)r+1
. (3.1)
2. Если β ∈ 2Z, то для n = 1 и любых r ≥ α + 1 справедливы
равенства
E(Wr,β
p,n;Gα,δ)p =
4
πnr
∞∑
k=0
1 − h((2k + 1)αnαδ)
(2k + 1)r+1
(−1)k. (3.2)
Если дополнительно λ(x) ∈ C1(0,+∞) и функция −λ′(x) выпукла
вниз на (0,+∞), то равенства (3.2) справедливы при любых n ∈ N и
r ≥ α.
Определение 3.1. Обозначим через Mm, m ∈ N, класс функций
h ∈ Cm−1(0,+∞), для которых функция (−1)m−1h(m−1) неотрица-
тельна, убывает, выпукла вниз на интервале (0,+∞) и существует
конечный предел h(+∞) ≥ 0.
В. П. Заставный 415
Замечание 3.1. Отметим, что Mm+1 ⊂ Mm и fg ∈ Mm для любых
f, g ∈ Mm (см. [11]). В работе автора [12, следствие 1] доказано, что
если h ∈Mm+1 при некотором m ∈ N и существует конечный предел
h(+0) ≤ 1, то λ(x) = (1 − h(x))/x ∈Mk при всех k = 1, . . . ,m.
Определение 3.2. Для функции h, которая удовлетворяет нера-
венству h(x) ≤ 1 при всех x > 0, определим величину m(h) как то-
чную нижнюю грань тех γ ∈ R, для которых функция (1 − h(x))/xγ
убывает на (0,+∞) Если такие γ ∈ R не существуют, то считаем,
что m(h) := +∞.
Теорема 3.2. Пусть для функции h(x), x ≥ 0, выполнены следующие
два условия:
1. h(x) ≤ 1 при x > 0 и m(h) < +∞.
2. При некоторых α > 0 и δ > 0 ряд
∑
k∈Z
h(|k|αδ)eikt является
рядом Фурье некоторой функции gα,δ ∈ L1.
Тогда m(h) ≥ 0 и m(h) > 0, если h(x0) > 0 в некоторой точке x0 > 0.
Пусть Gα,δ — оператор, порожденный функцией gα,δ ∈ L1 по форму-
ле (1.2) и p = 1 или p = ∞. Тогда имеют место следующие утвер-
ждения:
1. Если β + 1 ∈ 2Z, то равенство (3.1) справедливо для n = 1 и
любых r ≥ αm(h) + 1.
2. Если β ∈ 2Z, то равенство (3.2) справедливо для n = 1 и любых
r ≥ αm(h) + 2.
Замечание 3.2. Если функция h выпукла вниз на (0,+∞), h(x) ≤ 1
при x > 0 и h(x) 6≡ const на (0,+∞), то из леммы 4.2 вытекает, что
m(h) ∈ (0, 1]. Если дополнительно h′ непрерывна в точке 0 справа,
h(0) = 1 и h′(0) 6= 0, то m(h) = 1.
3.2. Случай операторов Gα,δ,γ
Определение 3.3. Для функции h ∈ Mm+1, m ∈ N, с условиями
0 < h(+0) ≤ 1 и h(+∞) = 0 определим величину γm(ρ, h), ρ ≥ 1, как
точную верхнюю грань тех γ ∈ R, для которых функция λρ,γ(x) ∈
Mm, где
λρ,γ(x) =
1 − (1 + γx)h(x)
xρ
=
1 − h(x)
xρ
− γ
h(x)
xρ−1
. (3.3)
416 Точная оценка приближения...
Замечание 3.3. В работе автора [12, лемма 1] доказано, что для
любой функции h ∈ Mm+1, m ∈ N, с условиями 0 < h(+0) ≤ 1 и
h(+∞) = 0, неравенство 0 ≤ γm(ρ, h) < +∞ выполняется при любом
ρ ≥ 1.
Замечание 3.4. В работе [12] величина γm(ρ, h) найдена в следую-
щих случаях:
1) Если h(t) = e−t и m ∈ N, то γm(1, h) = 1
m+2 , γm(ρ, h) = 1 при
ρ ≥ 2.
2) Если hµ(t) = (1 + t)−µ, µ ≥ 1 и m ∈ N, то γm(ρ, hµ) = µ при
ρ ≥ 2, γm(1, hµ) = µ+m+1
m+2 , γm(ρ, h1) = 1 при ρ ≥ 1.
3) Если Hµ(t) = (1 − t)µ+, µ ≥ m+ 1, m ∈ N, то γm(1, Hµ) = µ−m−1
m+2
и γm(ρ,Hµ) = µ при ρ ≥ 2.
Теорема 3.3. Пусть для функции h(x), x ≥ 0, выполнены следующие
два условия:
1 Функция h ∈M2 и 0 < h(+0) ≤ 1, h(+∞) = 0.
2. При некоторых ρ ≥ 1, γ ≤ γ1(ρ, h), α > 0, δ > 0 тригонометри-
ческий ряд
∑
k∈Z
(1 + |k|αδγ)h(|k|αδ)eikt является рядом Фурье
некоторой функции gα,δ,γ ∈ L1.
Пусть Gα,δ,γ — оператор, порожденный функцией gα,δ,γ ∈ L1 по фор-
муле (1.2) и p = 1 или p = ∞. Тогда имеют место следующие утвер-
ждения:
1. Если β + 1 ∈ 2Z и выполнено одно из двух условий:
i) n ∈ N, α ∈ (0, 1], r ≥ αρ или
ii) n = 1, α > 1, r ≥ αρ+ 1, то справедливы равенства
E(Wr,β
p,n;Gα,δ,γ)p
=
4
πnr
∞∑
k=0
1 − (1 + (2k + 1)αnαδγ)h((2k + 1)αnαδ)
(2k + 1)r+1
. (3.4)
2. Если β ∈ 2Z и выполнено одно из двух условий:
i) n = 1, α ∈ (0, 1], r ≥ αρ+ 1 или
В. П. Заставный 417
ii) n = 1, α > 1, r ≥ αρ+ 2, то справедливы равенства
E(Wr,β
p,n;Gα,δ,γ)p
=
4
πnr
∞∑
k=0
(−1)k(1 − (1 + (2k + 1)αnαδγ)h((2k + 1)αnαδ))
(2k + 1)r+1
.
(3.5)
Если дополнительно h ∈ M3, γ ≤ γ2(ρ, h) и α ∈ (0, 1], то равен-
ства (3.5) справедливы при любых n ∈ N и r ≥ αρ.
В следующей теореме рассмотрен случай положительных ядер,
которые порождаются положительно определенными функциями.
Теорема 3.4. Пусть для функции h(x), x ≥ 0 выполнены следующие
условия:
1. При некоторых γ ∈ R, α > 0, δ > 0 ряд
∑
k∈Z
(1 + |k|αδγ)h(|k|αδ)eikt
является рядом Фурье некоторой функции gα,δ,γ ∈ L1.
2. Функция (1 + γ|t|α)h(|t|α) является положительно определен-
ной и непрерывной на R и h(0) ≤ 1.
Пусть p = 1 или p = ∞, а Gα,δ,γ — оператор, порожденный фун-
кцией gα,δ,γ по формуле (1.2). Тогда равенство (3.4), если β+1 ∈ 2Z,
справедливо при n = 1, r = 1 или r ≥ 2, а равенство (3.5), если
β ∈ 2Z, справедливо при n = 1, r = 2 или r ≥ 3.
3.3. Примеры операторов Gα,δ и Gα,δ,γ
Пример 3.1. Пусть h(t) = e−t. В этом случае m(h) = 1 (см. замеча-
ние 3.2). Второе условие в теоремах 3.1 и 3.2 очевидно выполнено для
любых α > 0 и δ > 0. Очевидно h ∈Mm при любом m ∈ N. Учитывая
замечание 3.1, получаем следующие результаты. Если α ∈ (0, 1], то
равенства (3.1) и (3.2) выполняются при любых n ∈ N, r ≥ α и δ > 0.
Если α > 1, то равенство (3.1) выполняется при n = 1 и любых
r ≥ α + 1 и δ > 0, а равенство (3.2) выполняется при n = 1 и лю-
бых r ≥ α+ 2 и δ > 0. Соответствующие операторы Gα,δ называются
обобщенными операторами Абеля–Пуассона. Для операторов Абеля-
Пуассона (α = 1) результат был известен только при n = 1, β = r ∈ N
(см. [13]) и при n = 1, β − 1 = r ∈ N (см. [14] при r = 1 и [15] при
r ≥ 2). Оба эти случая вытекают из теоремы 3.1.
418 Точная оценка приближения...
Второе условие в теореме 3.3 выполнено для любых α > 0, δ > 0
и γ ∈ R, а значения γm(ρ, h) найдены в работе автора [12] (см. за-
мечание 3.4). Поэтому теорема 3.3 справедлива, например, в сле-
дующих случаях: 1) ρ = 1, γ1(1, h) = 1
3 , γ2(1, h) = 1
4 . 2) ρ = 2,
γ1(2, h) = γ2(2, h) = 1.
Так как функция e−|t|α является положительно определенной на
R ⇐⇒ 0 < α ≤ 2, то операторы Gα,δ,γ при γ = 0 будут положи-
тельными при любых 0 < α ≤ 2 и δ > 0. И наоборот, если при не-
котором α > 0 операторы Gα,δ,0 будут положительными при любых
δ > 0, то 0 < α ≤ 2 (более подробно см., например, [16]). Нетрудно
показать, что функция (1+γ|x|)e−|x| является положительно опреде-
ленной на R ⇐⇒ γ ∈ [−1, 1] (преобразование Фурье этой функции
равно 2(1 + γ + (1 − γ)t2)/(1 + t2)2). Поэтому операторы G1,δ,γ будут
положительными при любых δ > 0 ⇐⇒ γ ∈ [−1, 1]. В силу теоре-
мы 3.4 равенство (3.4) справедливо в следующих случаях: 1) n = 1,
r = 1 или r ≥ 2, γ = 0, 0 < α ≤ 2. 2) n = 1, r = 1 или r ≥ 2,
γ ∈ [−1, 1], α = 1. Отметим, что случай 1) при r = 1 хорошо известен
(см., например, [17–19]). Равенство (3.5) справедливо в следующих
случаях: 1) n = 1, r = 2 или r ≥ 3, γ = 0, 0 < α ≤ 2. 2) n = 1, r = 2
или r ≥ 3, γ ∈ [−1, 1], α = 1.
Для бигармонических операторов Пуассона ( α = 1, δ > 0 и γ =
(1 − e−2δ)/(2δ) ∈ (0, 1)) результат был известен только при n = 1 и
r − 1 ∈ N (см. [20]), который вытекает из теоремы 3.3 и при n = r =
β = 1 (см. [21,22]), который вытекает из теоремы 3.4.
В случае операторов Абеля–Пуассона (α = 1) поиску полного
асимптотического представления рядов (3.1) и (3.2) при n = 1, β, r ∈
N были посвящены работы [15,18,23,24]. Полное решение этой задачи
было получено в работе автора [25]. В случае α = 2, n = 1, β = r = 1
отметим работу [18]. В общем случае асимптотические разложения
рядов (3.1), (3.2), (3.4) и (3.5) с явными коэффициентами легко выте-
кают из результатов работы автора [26]. Выпишем эти разложения
при γ = 0.
Пусть r > 0, α > 0. Тогда следующие асимптотические разложе-
ния справедливы соответственно в случаях, когда r/α 6∈ N и r/α =
p ∈ N:
∞∑
k=0
1 − e−δ(2k+1)α
(2k + 1)r+1
∼
δ→+0
−
Γ (−r/α)
α2r+1
(2αδ)
r
α
+ 2−r−1
∞∑
k=1
(−1)k+1
k!
ζ (−αk + r + 1, 1/2) (2αδ)k, (3.6)
В. П. Заставный 419
∞∑
k=0
1 − e−δ(2k+1)α
(2k + 1)r+1
∼
δ→+0
(−1)p+1(2αδ)p
2r+1Γ(p+ 1)
(
−
ln(2αδ)
α
+
Γ′(p+ 1)
αΓ(p+ 1)
−
Γ′ (1/2)
Γ (1/2)
)
+ 2−r−1
∞∑
k=1,k 6=p
(−1)k+1
k!
ζ (−αk + r + 1, 1/2) (2αδ)k. (3.7)
Если 0 < α < 1, то в (3.6) и (3.7) имеет место знак равенства при всех
δ > 0. Если α = 1, то в (3.6) и (3.7) имеет место знак равенства при
всех δ ∈ (0, π). Здесь ζ(s, a) – функция Гурвица с параметром a > 0,
равная при Re s > 1 сумме
∑∞
k=0(k+a)−s. Эта функция аналитически
продолжается в C \ {1}.
Пусть r + 1 > 0, α > 0. Тогда имеет место следующее асимптоти-
ческое разложение:
∞∑
k=0
1 − e−δ(2k+1)α
(2k + 1)r+1
(−1)k
∼
δ→+0
2−r−1
∞∑
k=1
(−1)k+1
k!
ζ̃ (−αk + r + 1, 1/2) (2αδ)k. (3.8)
Если 0 < α < 1, то в (3.8) имеет место знак равенства при всех
δ > 0. Если α = 1, то в (3.8) имеет место знак равенства при всех
δ ∈ (0, π/2). Здесь ζ̃(s, a) — целая функция по s ∈ C, равная при
Re s > 0 сумме
∑∞
k=0(−1)k(k + a)−s, a > 0.
Пример 3.2. Пусть h(t) = (t+ 1)−µ, µ > 0. В этом случае m(h) = 1
(см. замечание 3.2). Второе условие в теоремах 3.1 и 3.2 выполнено
для любых α > 0 и δ > 0. Это вытекает из того, что функция h(tαδ)
убывает к нулю и выпукла вниз на (tα,µ,δ,+∞) при некотором tα,µ,δ >
0. Очевидно h ∈ Mm при любом m ∈ N. Учитывая замечание 3.1,
получаем следующие результаты. Если α ∈ (0, 1], то равенства (3.1)
и (3.2) выполняются при любых n ∈ N, r ≥ α и δ > 0. Если α > 1, то
равенство (3.1) выполняется при n = 1 и любых r ≥ α + 1 и δ > 0, а
равенство (3.2) выполняется при n = 1 и любых r ≥ α+ 2 и δ > 0.
Второе условие в теореме 3.3 выполнено для любых µ > 1, α > 0,
δ > 0 и γ ∈ R. Это вытекает из того, что функция tαh(tαδ) убыва-
ет к нулю и выпукла вниз на (tα,µ,δ,+∞) при некотором tα,µ,δ > 0.
Значения γm(ρ, h) найдены в работе [12] (см. замечание 3.4). Поэтому
теорема 3.3 справедлива в следующих случаях: 1) ρ = 1, γ1(1, h) =
(µ+ 2)/3, γ2(1, h) = (µ+ 3)/4, µ > 1. 2) ρ = 2, γ1(2, h) = γ2(2, h) = µ,
µ > 1.
420 Точная оценка приближения...
Функция (|t|α + 1)−µ, α > 0, µ > 0, является положительно опре-
деленной на R ⇐⇒ 0 < α ≤ 2. Достаточность вытекает из того, что
функция (t + 1)−µ, µ > 0, является вполне монотонной на (0,+∞).
Необходимость вытекает из того, что среди положительно опреде-
ленных функций только постоянная функция имеет в нуле нулевую
производную второго порядка. Поэтому операторы Hα,µ,δ,γ = G при
γ = 0 будут положительными при любых 0 < α ≤ 2, µ > 0 и δ > 0. И
наоборот, если при некоторых α > 0, µ > 0 операторы Hα,µ,δ,0 будут
положительными при любых δ > 0, то 0 < α ≤ 2 (более подробно
см., например, [16]). В силу теоремы 3.4 равенство (3.4) справедливо
в следующем случае: n = 1, r = 1 или r ≥ 2, γ = 0, 0 < α ≤ 2, µ > 0.
Равенство (3.5) справедливо в следующем случае: n = 1, r = 2 или
r ≥ 3, γ = 0, 0 < α ≤ 2, µ > 0.
Асимптотические разложения рядов (3.1), (3.2), (3.4) и (3.5) с яв-
ными коэффициентами легко вытекают из результатов работы [26].
Выпишем эти разложения при γ = 0. Если r > 0, α > 0, µ > 0, то сле-
дующие асимптотические разложения справедливы соответственно в
случаях, когда r/α 6∈ N и r/α = p ∈ N:
∞∑
k=0
1 − ((2k + 1)αδ + 1)−µ
(2k + 1)r+1
∼
δ→+0
−
Γ
(
− r
α
)
Γ
(
µ+ r
α
)
α 2r+1Γ(µ)
(2αδ)
r
α
+ 2−r−1
∞∑
k=1
(−1)k+1
k!
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
ζ (−αk + r + 1, 1/2) (2αδ)k, (3.9)
∞∑
k=0
1 − ((2k + 1)αδ + 1)−µ
(2k + 1)r+1
∼
δ→+0
Γ(µ+ p)(−1)p+1(2αδ)p
2r+1Γ(µ)Γ(p+ 1)
×
(
−
ln(2αδ)
α
+
Γ′(p+ 1)
αΓ(p+ 1)
−
Γ′(1/2)
Γ(1/2)
−
Γ′(µ+ p)
αΓ(µ+ p)
)
+ 2−r−1
∞∑
k=1,
k 6=p
(−1)k+1
k!
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
ζ(−αk + r + 1, 1/2) (2αδ)k. (3.10)
Если r + 1 > 0, α > 0 и µ > 0, то
∞∑
k=0
1 − ((2k + 1)αδ + 1)−µ
(2k + 1)r+1
(−1)k
∼
δ→+0
2−r−1
∞∑
k=1
(−1)k+1
k!
Γ(µ+ k)
Γ(µ)
ζ̃(−αk + r + 1, 1/2) (2αδ)k. (3.11)
В. П. Заставный 421
Пример 3.3. Пусть h(t) = (1 − t)µ+, µ > 0. Второе условие в теоре-
мах 3.1 и 3.2 очевидно выполнено для любых α > 0 и δ > 0. Если
µ ≥ 1, то m(h) = 1 (см. замечание 3.2). Очевидно h ∈ Mm, m ∈ N
⇐⇒ µ ≥ m. Учитывая замечание 3.1, получаем следующие резуль-
таты. Если α ∈ (0, 1] и µ ≥ 2, то равенство (3.1) выполняется при
любых n ∈ N, r ≥ α и δ > 0, а равенство (3.2) выполняется при n = 1
и любых r ≥ α + 1, δ > 0. Если α ∈ (0, 1] и µ ≥ 3, то равенство (3.2)
выполняется при любых n ∈ N, r ≥ α и δ > 0. Если α > 1 и µ ≥ 1,
то равенство (3.1) выполняется при n = 1 и любых r ≥ α+ 1 и δ > 0,
а равенство (3.2) выполняется при n = 1 и любых r ≥ α + 2 и δ > 0.
Соответствующие операторы Rα,µδ = G называются средними Рисса.
При α = µ = 1, 1/δ ∈ N получаются средние арифметические.
Второе условие в теореме 3.3 выполнено для любых α > 0, δ > 0 и
γ ∈ R, а значения γm(ρ, h) найдены в работе [12] (см. замечание 3.4).
Поэтому теорема 3.3 справедлива, например, в следующих случаях:
1) ρ = 1, γ1(1, h) = (µ− 2)/3 (если µ ≥ 2), γ2(1, h) = (µ− 3)/4 (если
µ ≥ 3). 2) ρ = 2, γ1(2, h) = µ (если µ ≥ 2), γ2(2, h) = µ (если µ ≥ 3).
Функция (1 − |t|α)µ+, α > 0, µ > 0, является положительно опре-
деленной на R ⇐⇒ 0 < α < 2 и µ ≥ λ(α), где λ(α) — функция
Кутнера, которая положительна, возрастает на (0, 2), λ(+0) > 0,
λ(1) = 1 и λ(2 − 0) = +∞ (более подробно см., например, [16]). По-
этому операторы Rα,µ,γδ = G при γ = 0 будут положительными при
любых 0 < α < 2, µ ≥ λ(α) и δ > 0. И наоборот, если при неко-
торых α > 0, µ > 0 операторы Rα,µ,0δ будут положительными при
любых δ > 0, то 0 < α < 2, µ ≥ λ(α). Известно также, что функция
(1 + γ|x|)(1 − |x|)+ является положительно определенной на R ⇐⇒
γ ∈ [−3, 0] (см. [27, теорема 9]). Поэтому положительно определенной
на R будет и функция (1 + γ|x|)(1 − |x|)µ+1
+ при любых γ ∈ [−3, 0] и
µ ≥ 1. В силу теоремы 3.4 равенство (3.4) справедливо в следующих
случаях: 1) n = 1, r = 1 или r ≥ 2, γ = 0, 0 < α < 2, µ ≥ λ(α).
2) n = 1, r = 1 или r ≥ 2, γ ∈ [−3, 0], α = 1, µ = 1 или µ ≥ 2.
Равенство (3.5) справедливо в следующих случаях: 1) n = 1, r = 2
или r ≥ 3, γ = 0, 0 < α < 2, µ ≥ λ(α). 2) n = 1, r = 2 или r ≥ 3,
γ ∈ [−3, 0], α = 1, µ = 1 или µ ≥ 2.
В случае средних арифметических (α = µ = 1, 1/δ ∈ N) для
классов W r
p , r ∈ N, и W̃ r
p , r− 1 ∈ N, для которых параметр n = 1, ра-
венства (3.1) и (3.2) при p = ∞ доказаны в работах Надя [28,29], а в
работе Теляковского [30] доказано совпадение величин приближения
указанных классов при p = 1 и p = ∞. В этих же случаях асимптоти-
ческое разложение при δ → +0 соответствующих рядов (3.1) и (3.2)
найдено в работах Теляковского и Баскакова [31,32].
422 Точная оценка приближения...
3.4. Приближение средними Чезаро
Числа Чезаро Aαn, n ∈ Z+, порядка α ∈ R, определяются с помо-
щью следующей производящей функции:
1
(1 − x)α+1
=
∞∑
n=0
Aαnx
n, |x| < 1. (3.12)
Очевидно Aα0 = 1, A0
k = 1 при k ∈ Z+, и Aαn = (α+ 1) · . . . · (α+ n)/n!
при n ∈ N. Естественно считать, что Aαn = 0 при −n ∈ N. Для любых
α, γ ∈ R и n ∈ Z+ справедливы равенства (см., например, [2, гл. III,
§ 1])
Aαn =
n∑
k=0
Aα−1
k ; Aαn =
n∑
k=0
Aα−γn−kA
γ−1
k . (3.13)
Для заданной последовательности sn, n ∈ Z+, чезаровские суммы
Sαn порядка α и чезаровские средние σαn порядка α > −1 определяю-
тся по формулам
Sαn =
n∑
k=0
Aα−1
n−k sk, σαn =
Sαn
Aαn
, n ∈ Z+. (3.14)
Очевидно S0
n = sn и S1
n = s0+· · ·+sn, n ∈ Z+. Нетрудно показать, что
для любых α, γ ∈ R справедливы равенства (см., например, [2, гл. III,
§ 1])
Sαn =
n∑
k=0
Aα−γ−1
n−k Sγk , n ∈ Z+. (3.15)
Если в качестве исходной последовательности взять sn = Dn(x) :=∑n
ν=−n e
iνx — ядра Дирихле, то чезаровские суммы Sαn (x), n ∈ Z+,
для этой последовательности будут равны
Sαn (x) =
n∑
k=0
Aα−1
n−kDk(x) =
n∑
ν=−n
eiνx
n∑
k=|ν|
Aα−1
n−k =
n∑
ν=−n
Aαn−|ν|e
iνx.
(3.16)
Формула (3.15) в этом случае будет иметь вид
Sαn (x) =
n∑
k=0
Aα−γ−1
n−k Sγk (x), n ∈ Z+, α, γ, x ∈ R. (3.17)
Средние Чезаро порядка α > −1 функции f ∈ L1 определяются
В. П. Заставный 423
по формуле
σαn(f)(x) =
n∑
k=−n
Aαn−|k|
Aαn
f̂(k)eikx =
1
2π
π∫
−π
f(t)Kα
n (x− t) dt;
Kα
n (x) =
1
Aαn
· Sαn (x), n ∈ Z+.
(3.18)
Теорема 3.5. Пусть β ∈ Z, p = 1 или p = ∞, α ≥ 1 и m ∈ Z+. Тогда
равенство
E(Wr,β
p,1 ;σ
α
m)p =
4
π
∞∑
k=0
(−1)k(β+1)
(2k + 1)r+1
(
1 −
Aαm−(2k+1)
Aαm
)
(3.19)
справедливо, по крайней мере, в следующих случаях: 1) β + 1 ∈ 2Z,
r = 1 или r ≥ 2; 2) β ∈ 2Z, r = 2 или r ≥ 3. Кроме того, в указанных
двух случаях для любых α, γ ≥ 1 и m ∈ Z+ справедливы равенства
E(Wr,β
p,1 ;σ
α
m)p =
1
Aαm
m∑
k=0
Aα−γ−1
m−k Aγk E(Wr,β
p,1 ;σ
γ
k )p. (3.20)
Доказательство. Так как
S1
m(x) = D0(x) + · · · +Dm(x) =
sin2 (m+1)x
2
sin2 x
2
≥ 0, m ∈ Z+, x ∈ R,
то из (3.17) при γ = 1 вытекает, что для любых α > 1, m ∈ Z+
и x ∈ R выполняется неравенство Sαm(x) > 0. Ряд Фурье для ядра
K ∈ L1 (см. (1.4)) в нашем случае имеет вид
K(t) ∼
∞∑
k=1
2(1 −
Aα
m−k
Aα
m
)
kr
cos
(
kt−
βπ
2
)
.
В случае β+1 ∈ 2Z надо применить пример 2.1 (iii), а в случае β ∈ 2Z
надо применить пример 2.2 (iv), в которых νk = Aαm−k/A
α
m, k ∈ Z+ и
|c| = 2. При этом надо учесть, что ν0 = 1 и
ν0
2
+
∞∑
k=1
νk cos kt =
1
2Aαm
· Sαm(t) ≥ 0, m ∈ Z+, α ≥ 1, t ∈ R.
Равенство (3.19) в указанных двух случаях доказано. Докажем те-
перь, что в этих же случаях справедливы равенства (3.20).
424 Точная оценка приближения...
Для фиксированных параметров β ∈ Z и r > 0 зададим две по-
следовательности sm = sm(β, r) и Eαm = Eαm(β, r), m ∈ Z+, по следу-
ющему правилу:
s2k = 0, s2k+1 =
4
π
·
(−1)k(β+1)
(2k + 1)r+1
, k ∈ Z+;
Eαm = SAαm − Sα+1
m , m ∈ Z+,
где Sαm — чезаровские суммы последовательности sm, m ∈ Z+, а S =∑∞
k=0 sk. Из (3.15) сразу получаются равенства
m∑
k=0
Aα−γ−1
m−k Eγk = Eαm, α, γ ∈ R, m ∈ Z+. (3.21)
Кроме того, из (3.14) вытекает, что при m ∈ Z+, α ∈ R справедливы
равенства
Eαm =
∞∑
k=0
sk(A
α
m −Aαm−k) =
4
π
∞∑
k=0
(−1)k(β+1)
(2k + 1)r+1
(Aαm −Aαm−(2k+1)).
Если p = 1 или p = ∞, а параметры β ∈ Z и r > 0 такие, для которых
выполняется одно из двух указанных в теореме условий, то по дока-
занному при любых α ≥ 1 и m ∈ Z+ справедливо равенство (3.19),
т.е. Eαm = AαmE(Wr,β
p,1 ;σ
α
m)p. В этих случаях равенство (3.20) вытекает
из равенства (3.21). Теорема 3.5 доказана.
Замечание 3.5. Для классов W r
p , r ∈ N, и W̃ r
p , r − 1 ∈ N, равен-
ства (3.19) для α ∈ N при p = ∞ доказаны в работах Надя [28, 29], а
в работе Теляковского [30] доказано совпадение при p = 1 и p = ∞
величин приближения указанных классов средними Чезаро.
Замечание 3.6. Пусть Kr,β = 4
π
∑∞
k=0
(−1)k(β+1)
(2k+1)r . Если β ∈ Z, а p = 1
или p = ∞, то для средних Фейера равенство
E(Wr,β
p,1 ;σ
1
m)p =
Kr,β
m+ 1
+O
( 1
(m+ 1)r
)
(3.22)
справедливо, по крайней мере, в следующих случаях: 1) β + 1 ∈ 2Z,
r ≥ 2; 2) β ∈ 2Z, r = 2 или r ≥ 3. Для r − 1 ∈ N это доказано
Никольским [33, 34], а для остальных указанных r равенство (3.22)
получается из равенства (3.19) методом, изложенным в работе Те-
ляковского и Баскакова [32]. Из (3.22) и равенства (3.20) при γ = 1
вытекает, что при α > 1 и указанных выше значениях p, β, r справе-
дливо равенство E(Wr,β
p,1 ;σ
α
m)p = Kr,βα/(α+m) + o(1/m). Последнее
В. П. Заставный 425
соотношение при p = ∞ и r − 1 ∈ N другим методом доказано Фа-
лалеевым [35]. В этой же работе [35] для α− 1 ∈ N приведены шесть
первых членов в асимптотике для величины E(W 1
∞;σαm)∞.
3.5. Приближение средними типа Рисса
и Чезаро целого порядка
Пусть Q(x) =
∑n
k=1 akx
µk , где n ∈ N и ak, µk > 0. Так как Q(0) = 0
и Q(x) > 0 при x > 0, то для любых α, u > 0 имеет смысл оператор
Gα,Qu (f)(x) :=
∑
k∈Z
Q ((u− |k|α)+)
Q(u)
f̂(k)eikx
=
1
2π
π∫
−π
f(t)Kα,Q
u (x− t) dt, f ∈ L1,
Kα,Q
u (x) =
∑
k∈Z
Q ((u− |k|α)+)
Q(u)
eikx.
(3.23)
Если Q(x) = xµ, µ > 0, то получаем средние Рисса. Если Q(x) =∏µ
k=1(x+k−1), µ ∈ N, то при α = 1, m ∈ Z+, получаем G1,Q
m+1 = σµm —
средние Чезаро (см. § 3.4).
Для той же функции Q и для любых α, δ > 0 определим следую-
щие операторы
G̃α,Qδ (f)(x) :=
∑
k∈Z
Q ((1 − |k|αδ)+)
Q(1)
f̂(k)eikx
=
1
2π
π∫
−π
f(t)K̃α,Q
δ (x− t) dt, f ∈ L1,
K̃α,Q
δ (x) =
∑
k∈Z
Q ((1 − |k|αδ)+)
Q(1)
eikx.
(3.24)
Теорема 3.6. Пусть Q(x) =
∑n
k=1 akx
µk , где n ∈ N, ak > 0 и µk ≥ 1.
Пусть β ∈ Z, p = 1 или p = ∞, 0 < α ≤ 1 и u, δ > 0. Тогда равенства
E(Wr,β
p,1 ;G
α,Q
u )p =
4
π
∞∑
k=0
(−1)k(β+1)
(2k + 1)r+1
(
1 −
Q ((u− (2k + 1)α)+)
Q(u)
)
,
(3.25)
E(Wr,β
p,1 ; G̃
α,Q
δ )p =
4
π
∞∑
k=0
(−1)k(β+1)
(2k + 1)r+1
(
1 −
Q ((1 − (2k + 1)αδ)+)
Q(1)
)
(3.26)
426 Точная оценка приближения...
справедливы, по крайней мере, в следующих случаях: 1) β + 1 ∈ 2Z,
r = 1 или r ≥ 2; 2) β ∈ 2Z, r = 2 или r ≥ 3.
Доказательство. Рассмотрим случай операторов Gα,Qu . Если u > 0,
0 < α ≤ 1, µ ≥ 1, то функция g(t) = (u−|t|α)µ+ является положитель-
но определенной на R (более подробно см., например, [16]). Поэтому
при любых u > 0, 0 < α ≤ 1, положительно определенной на R бу-
дет и функция f(t) = Q((u − |t|α)+). По лемме 2.1 при всех t ∈ R
выполняется неравенство Kα,Q
u (t) ≥ 0. Ряд Фурье для ядра K ∈ L1
(см. (1.4)) в нашем случае имеет вид
K(t) ∼
∞∑
k=1
2(1 − Q((u−|k|α)+)
Q(u) )
kr
cos
(
kt−
βπ
2
)
.
В случае β+1 ∈ 2Z надо применить пример 2.1 (iii), а в случае β ∈ 2Z
надо применить пример 2.2 (iv), в которых νk = Q ((u− kα)+)/Q(u),
k ∈ Z+ и |c| = 2. При этом надо учесть, что ν0 = 1 и
ν0
2
+
∞∑
k=1
νk cos kt =
1
2
·Kα,Q
u (t) ≥ 0, u > 0, 0 < α ≤ 1, t ∈ R.
Точно так же рассматривается и случай операторов G̃α,Qδ . Теорема 3.6
доказана.
4. Вспомогательные утверждения
4.1. Свойства выпуклых функций и величины m(h)
Отметим следующие два свойства выпуклых функций.
1. Если обе функции f и g неотрицательны, убывают и выпуклы
вниз на (0,+∞), то такой же функцией будет и произведение fg
(доказательство вытекает из определения выпуклой функции и
очевидного неравенства (f(x) − f(y))(g(x) − g(y)) ≥ 0 при всех
x, y > 0).
2. Если функция f неотрицательна, убывает и выпукла вниз на
(0,+∞), а функция g положительна, возрастает и выпукла
вверх на (0,+∞), то функция f(g(x)) неотрицательна, убывает
и выпукла вниз на (0,+∞) (доказательство легко получается
из определения выпуклой функции). В частности, при любом
ε ∈ (0, 1] функция f(xε) неотрицательна, убывает и выпукла
вниз на (0,+∞).
В. П. Заставный 427
Лемма 4.1. Пусть функция λ(x) выпукла вниз на (0,+∞) и λ(tk) →
0 для некоторой последовательности tk → +∞. Тогда при любых
ε ∈ (0, 1], γ ≥ 0 функция λ(xε)x−γ убывает к нулю и выпукла вниз
на (0,+∞). Если дополнительно λ(x) ∈ C1(0,+∞) и функция −λ′(x)
выпукла вниз на (0,+∞), то при любых ε ∈ (0, 1], γ ≥ 0 функция
−f ′(x) монотонно убывает к нулю и выпукла вниз на (0,+∞), где
f(x) = λ(xε)x−γ.
Доказательство. Пусть функция λ выпукла вниз на (0,+∞). Тогда
справедливо неравенство
λ(x2) − λ(x1)
x2 − x1
≤
λ(x3) − λ(x1)
x3 − x1
≤
λ(x3) − λ(x2)
x3 − x2
, 0 < x1 < x2 < x3.
(4.1)
Если в неравенстве (4.1) взять x3 = tk и перейти к пределу при
k → ∞, то получим, что функция λ(x) убывает на (0,+∞) и, значит,
limx→+∞ λ(x) = limk→+∞ λ(tk) = 0. Поэтому при любых ε ∈ (0, 1],
γ ≥ 0 функция λ(xε)x−γ убывает к нулю и выпукла вниз на (0,+∞).
Пусть дополнительно λ(x) ∈ C1(0,+∞) и функция −λ′(x) выпу-
кла вниз на интервале (0,+∞). Из равенства λ(+∞) = 0 вытекает
сходимость интеграла
∫ +∞
1 λ′(x) dx. Но функция λ′(x) монотонна на
интервале (x0,+∞) при некотором x0 ≥ 0. Поэтому λ′(+∞) = 0 и,
значит, функция −λ′(x) убывает к нулю на (0,+∞). Тогда при любых
ε ∈ (0, 1], γ ≥ 0 функция −f ′(x) = ε(−λ′(xε))x−(γ+1−ε) + γλ(xε)x−γ−1
монотонно убывает к нулю и выпукла вниз на (0,+∞). Лемма 4.1
доказана.
В следующей лемме установлены свойства величины m(h) (см.
определение 3.2).
Лемма 4.2. Пусть h(x) ≤ 1 при x > 0. Тогда справедливы следую-
щие утверждения:
1. Если m(h) < +∞ и h(x0) = 1 при некотором x0 > 0, то h(x) =
1 при всех x ≥ x0.
2. m(h) = −∞ ⇐⇒ h(x) ≡ 1 на (0,+∞).
3. Если −∞ < m(h) < +∞, то функция (1 − h(xε))x−γ, ε > 0,
убывает по x ∈ (0,+∞) ⇐⇒ γ ≥ εm(h).
4. Если h(+0) = 1 и h(x) 6≡ 1 на (0,+∞), то m(h) > 0.
5. Если h(xk) → q < 1 для некоторой последовательности xk →
+∞, то m(h) ≥ 0. Если, дополнительно, h(x0) > q в некоторой
точке x0 > 0, то m(h) > 0.
428 Точная оценка приближения...
6. Если h′ непрерывна в точке 0 справа, h(0) = 1 и h′(0) 6= 0, то
m(h) ≥ 1.
7. Если функция h выпукла вниз на (0,+∞) и h(x) 6≡ const на
(0,+∞), то m(h) ∈ (0, 1].
8. Пусть x0 > 0 такая точка, что h(x) < 1 при 0 < x < x0 и
h(x) = 1 при x ≥ x0, а если h(x) < 1 при всех x > 0, то счита-
ем x0 := +∞. Если функция h дифференцируема на (0, x0), то
m(h) = sup{h′(x)x/(h(x) − 1) : 0 < x < x0}.
Доказательство. Если m(h) < +∞, то при некотором γ ∈ R фун-
кция f(x) = (1 − h(x))x−γ убывает и неотрицательна на (0,+∞).
Поэтому, если f(x0) = 0 при некотором x0 > 0, то f(x) = 0 при всех
x ≥ x0. Утверждение 1 доказано.
Докажем утверждение 2. Пусть m(h) = −∞. Тогда при всех γ ∈ R
функция f(x) = (1 − h(x))x−γ убывает на (0,+∞). Поэтому фун-
кция f , а, значит, и функция h дифференцируемы при почти всех
x ∈ (0,+∞). В тех точках x ∈ (0,+∞), где дифференцируема фун-
кция h, при всех γ ∈ R будет выполняться неравенство f ′(x) =
−x−γ−1 (xh′(x) + γ(1 − h(x))) ≤ 0, которое эквивалентно условию
xh′(x) + γ(1 − h(x)) ≥ 0. (4.2)
Обе части последнего неравенства делим на |γ| 6= 0 и переходим к
пределу при γ → −∞. Получаем, что h(x) ≥ 1, и, значит, h(x) = 1
во всех точках x ∈ (0,+∞), где дифференцируема функция h. Так
как множество таких точек всюду плотно на (0,+∞), то учитывая
утверждение 1, получаем, что h(x) ≡ 1 на (0,+∞). Необходимость в
утверждении 2 доказана. Достаточность очевидна.
Докажем утверждение 3. Если −∞ < m(h) < +∞, то очевидно
функция (1−h(xε))x−γ , ε > 0, убывает по x ∈ (0,+∞) ⇐⇒ функция
(1 − h(x))x−γ/ε убывает по x ∈ (0,+∞) ⇐⇒ γ/ε ≥ m(h).
Докажем утверждение 4. Если m(h) ≤ 0, то функция 1 − h(x)
убывает на (0,+∞). Поэтому 0 ≤ 1 − h(x) ≤ 1 − h(+0) = 0 при всех
x > 0, что противоречит условию h(x) 6≡ 1 на (0,+∞).
Докажем утверждение 5. Если при некотором γ < 0 функция
λ(x) = (1 − h(x))x−γ убывает на (0,+∞), то существует конечный
предел λ(+∞), но λ(xk) → +∞. Поэтому m(h) ≥ 0. Если функция
1 − h(x) убывает на (0,+∞), то функция h(x) возрастает и, значит,
h(x) ≤ h(+∞) = q при x > 0. Поэтому, если дополнительно h(x0) > q
в некоторой точке x0 > 0, то m(h) > 0. Утверждение 5 доказано.
Докажем утверждение 6. Пусть при некотором γ ∈ R функция
f(x) = (1 − h(x))x−γ убывает на (0,+∞). Из условия вытекает, что
В. П. Заставный 429
при некотором x0 > 0 неравенство (4.2) выполняется при всех x ∈
(0, x0). Неравенство (4.2) делим на x > 0 и переходим к пределу при
x → +0. Получим неравенство h′(0)(1 − γ) ≥ 0. Так как h′(0) 6= 0,
то h′(0) < 0 (иначе h(x) > h(0) = 1 при малых x > 0, что противо-
речит условию). Поэтому γ ≥ 1 и, значит, m(h) ≥ 1. Утверждение 6
доказано.
Докажем утверждение 7. Пусть функция h выпукла вниз на ин-
тервале (0,+∞). Так как функция h ограничена сверху, то из не-
равенства h(x2)−h(x1)
x2−x1
≤ h(x3)−h(x1)
x3−x1
, 0 < x1 < x2 < x3, вытекает,
что функция h убывает на (0,+∞) и, значит, существует конечный
предел h(+0) ≤ 1. Если в этом неравенстве перейти к пределу при
x1 → +0, то получим, что функция (h(+0) − h(x))/x убывает на
(0,+∞). Следовательно убывает на (0,+∞) и функция (1 − h(x))/x.
Поэтому m(h) ≤ 1. Если m(h) ≤ 0, то функция 1 − h(x) убывает на
(0,+∞), т.е. h(x) возрастает и, значит, h(x) ≡ const на (0,+∞), что
противоречит условию. Поэтому m(h) > 0. Утверждение 7 доказано.
Докажем утверждение 8. При любом γ ∈ R функция f(x) = (1 −
h(x))x−γ неотрицательна на (0,+∞) и f(x) = 0 при x ≥ x0 (если x0 <
+∞). Поэтому функция f убывает на (0,+∞) ⇐⇒ f убывает на
(0, x0) ⇐⇒ при всех x ∈ (0, x0) выполняется неравенство (4.2) ⇐⇒
γ ≥ sup{h′(x)x/(h(x) − 1) : 0 < x < x0}. Утверждение 8 доказано.
Лемма 4.2 полностью доказана.
5. Доказательство теорем
5.1. Доказательство теоремы 3.1
Ряд Фурье для ядра K ∈ L1 (см. (1.4)) в нашем случае имеет вид
K(t) ∼
∞∑
k=1
2(1 − h(kαδ))
kr
cos
(
kt−
βπ
2
)
. (5.1)
1) Если β = 2p+ 1, p ∈ Z, то
(−1)pK(t) ∼
∞∑
k=1
2(1 − h(kαδ))
kr
sin kt =
∞∑
k=1
λk sin kt. (5.2)
К функции λ(x) применяем лемму 4.1 при tk = kαδ (последователь-
ность h(|k|αδ), как коэффициенты Фурье интегрируемой функции
gα,δ, стремится к нулю). Так как α ∈ (0, 1], то при r ≥ α функция
f(x) = 2δλ(xαδ)xα−r убывает к нулю и выпукла вниз на (0,+∞). По-
этому последовательность λk = f(k), k ∈ N, монотонно убывает к
430 Точная оценка приближения...
нулю и выпукла вниз. В силу примера 2.1 (i) равенство (2.2) справе-
дливо при всех n ∈ N. Первое утверждение в теореме 3.1 доказано.
2) Если β = 2p, p ∈ Z, то
(−1)pK(t) ∼
∞∑
k=1
2(1 − h(kαδ))
kr
cos kt =
∞∑
k=1
µk cos kt. (5.3)
Так как α ∈ (0, 1], то при r ≥ α+1 последовательность kµk = f(k), k ∈
N, где f(x) = 2δλ(xαδ)xα+1−r, монотонно убывает к нулю и выпукла
вниз. В силу примера 2.2 (iii) равенство (2.3) справедливо при n = 1.
Пусть дополнительно λ(x) ∈ C1(0,+∞) и функция −λ′(x) выпу-
кла вниз на интервале (0,+∞). Так как α ∈ (0, 1], то при r ≥ α после-
довательность µk = f(k), k ∈ N, убывает к нулю и выпукла вниз, где
f(x) = 2δλ(xαδ)xα−r и функция −f ′(x) выпукла вниз на (0,+∞) (см.
лемму 4.1). Поэтому ∆3µk =
∫ k+1
k (2f ′(x+1)−f ′(x)−f ′(x+2)) dx ≥ 0
для всех k ∈ N. В силу примера 2.2 (i) равенство (2.3) справедливо
при всех n ∈ N. Теорема 3.1 доказана.
5.2. Доказательство теоремы 3.2
Неравенства m(h) ≥ 0 и m(h) > 0, если h(x0) > 0 при некотором
x0 > 0, вытекают из утверждения 5 в лемме 4.2 при xk = kαδ, k ∈
N, и q = 0 (последовательность h(|k|αδ), как коэффициенты Фурье
интегрируемой функции gα,δ, стремится к нулю).
1) Пусть β = 2p + 1, p ∈ Z и r ≥ αm(h) + 1. В этом случае для
ядра K ∈ L1 имеет место (5.2), где λk ≥ 0 и последовательность
kλk убывает (см. утверждение 3 в лемме 4.2). В силу примера 2.1 (ii)
равенство (2.2) справедливо при n = 1.
2) Пусть β = 2p, p ∈ Z и r ≥ αm(h) + 2. В этом случае для ядра
K ∈ L1 имеет место (5.3), где µk ≥ 0 и последовательность k2µk
убывает (см. утверждение 3 в лемме 4.2). В силу примера 2.2 (ii)
равенство (2.3) справедливо при n = 1. Теорема 3.2 доказана.
5.3. Доказательство теоремы 3.3
Ряд Фурье для ядра K ∈ L1 (см. (1.4)) в нашем случае имеет вид
K(t) ∼
∞∑
k=1
2(1 − (1 + kαδγ)h(kαδ))
kr
cos
(
kt−
βπ
2
)
. (5.4)
1) Если β = 2p+ 1, p ∈ Z, то
(−1)pK(t) ∼
∞∑
k=1
2(1 − (1 + kαδγ)h(kαδ))
kr
sin kt =
∞∑
k=1
λk sin kt. (5.5)
В. П. Заставный 431
Здесь λk = f(k), k ∈ N, где f(x) = 2δρλρ,γ(x
αδ)xαρ−r, x > 0, а фун-
кция λρ,γ(x) определена равенством (3.3). Если α ∈ (0, 1] и r ≥ αρ,
то функция f(x) убывает к нулю и выпукла вниз на (0,+∞). Поэто-
му последовательность λk = f(k), k ∈ N, монотонно убывает к нулю
и выпукла вниз. В силу примера 2.1 (i) равенство (2.2) справедливо
при всех n ∈ N. Если α > 1 и r ≥ αρ+ 1, то функция xf(x) убывает
к нулю на (0,+∞). Поэтому последовательность λk = kf(k), k ∈ N,
монотонно убывает к нулю. В силу примера 2.1 (ii) равенство (2.2)
справедливо при n = 1. Первое утверждение в теореме 3.3 доказано.
2) Если β = 2p, p ∈ Z, то
(−1)pK(t) ∼
∞∑
k=1
2(1 − (1 + kαδγ)h(kαδ))
kr
cos kt =
∞∑
k=1
µk cos kt. (5.6)
Здесь µk = f(k), k ∈ N, где f(x) = 2δρλρ,γ(x
αδ)xαρ−r, x > 0. Если
α ∈ (0, 1] и r ≥ αρ + 1, то функция xf(x), монотонно убывает к
нулю и выпукла вниз. Поэтому последовательность kµk, k ∈ N, мо-
нотонно убывает к нулю и выпукла вниз. В силу примера 2.2 (iii)
равенство (2.3) справедливо при n = 1. Если α > 1 и r ≥ αρ + 2,
то функция x2f(x), монотонно убывает к нулю. Поэтому последова-
тельность k2µk, k ∈ N, монотонно убывает и неотрицательна. В силу
примера 2.2 (ii) равенство (2.3) справедливо при n = 1.
Если α ∈ (0, 1] и r ≥ αρ, то функция f(x) = 2δρλρ,γ(x
αδ)xαρ−r
убывает к нулю и выпукла вниз на (0,+∞) (см. лемму 4.1). Поэтому
последовательность µk = f(k), k ∈ N, монотонно убывает к нулю и
выпукла вниз. Если дополнительно h ∈M3 и γ ≤ γ2(ρ, h), то функция
−λ′ρ,γ(x) выпукла вниз на (0,+∞) и, значит, функция −f ′(x) выпукла
вниз на (0,+∞) (см. лемму 4.1). Поэтому ∆3µk =
∫ k+1
k (2f ′(x + 1) −
f ′(x) − f ′(x + 2)) dx ≥ 0 для всех k ∈ N. В силу примера 2.2 (i)
равенство (2.3) справедливо при всех n ∈ N. Теорема 3.3 доказана.
5.4. Доказательство теоремы 3.4
Функция f(x) := (1+γ|t|αδ)h(|t|αδ) является положительно опре-
деленной и непрерывной на R. Мы рассматриваем случай (5.5), где
λk = 2(1 − νk)/k, k ∈ N, и νk = f(k), k ∈ Z+. В силу леммы 2.1 и
примера 2.1 (iii) равенство (2.2) справедливо при n = 1, r = 1 и r ≥ 2.
В случае (5.6), где µk = 2(1 − νk)/k, k ∈ N, и νk = f(k), k ∈ Z+
из примера 2.2 (iv) получаем, что равенство (2.3) справедливо при
n = 1, r = 2 и r ≥ 3. Теорема 3.4 доказана.
432 Точная оценка приближения...
Литература
[1] Н. П. Корнейчук, Экстремальные задачи теории приближения, Москва, На-
ука, 1976.
[2] А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. 1, Москва, Мир, 1965.
[3] Р. Эдвардс, Ряды Фурье в современном изложении, т. 1, Москва, Мир, 1985.
[4] С. М. Никольский, Приближение функций тригонометрическими полино-
мами в среднем // Изв. АН СССР, сер. мат., 10 (1946), 207–256.
[5] В. П. Заставный, Теорема Никольского для ядер, удовлетворяющих более об-
щему условию, чем A∗
n // Труды Института прикладной математики и ме-
ханики НАН Украины, 20 (2010), 75–85.
[6] V. P. Zastavnyi, Exact estimation of an approximation of some classes of di-
fferentiable functions by convolution operators, http://arxiv.org/abs/1003.4973
(2010).
[7] B. Nagy, Über gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonometrischen
Entwicklungen // Ber. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-phys. Kl., 90 (1938), 103–134.
[8] P. Pych, Approximation of function in L- and C-metrics // Ann. Soc. Math. Pol.,
1 (1967), N 11, 61–76.
[9] R. M. Trigub, E. S. Belinsky, Fourier Analysis and Approximation of Functions,
Boston, Dordrecht, London, Kluwer-Springer, 2004.
[10] Н. И. Ахиезер, Лекции об интегральных преобразованиях, Харьков, Вища
школа, Изд. при Харьк. ун-те, 1984.
[11] R. E. Williamson, Multiply monotone functions and their Laplace transforms //
Duke Math. J., 23 (1956), 189–207.
[12] В. П. Заставный, О величинах, связанных с кратно монотонными функция-
ми // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины,
19 (2009), 94–100.
[13] А. Ф. Тиман, Точная оценка остатка при приближении периодических диф-
ференцируемых функций интегралами Пуассона // Докл. АН СССР, 74
(1950), N 1, 17–20.
[14] B. Nagy, Sur l’ordre de l’approximation d’une fonction par son integrale de Poi-
sson // Acta Math. Acad. Sci Hungar., 1 (1950), 183–188.
[15] К. М. Жигалло, Ю. И. Харкевич, Повна асимптотика вiдхилення вiд класу
диференцiйовних функцiй множини їх гармонiйних iнтегралiв Пуассона //
Укр. мат. журн., 54 (2002), N 1, 43–52.
[16] V. P. Zastavnyi, On positive definiteness of some functions // Journal of Multi-
variate Analysis, 73 (2000), 55–81.
[17] Л. И. Баусов, О приближении функций класса Zα положительными мето-
дами суммирования рядов Фурье // УМН, 16 (1961), N 3, 143—149.
[18] В. А. Баскаков, О некоторых свойствах операторов типа операторов Абеля-
Пуассона // Матем. заметки, 17 (1975), N 2, 169–180.
[19] Л. П. Фалалеев, О приближении функций обобщенными операторами Абеля-
Пуассона // Сиб. мат. журн., 42 (2001), N 4, 926–936.
[20] К. М. Жигалло, Ю. И. Харкевич, Наближення диференцiйовних перiодичних
функцiй їх бiгармонiйними iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн., 54
(2002), N 9, 1213–1219.
В. П. Заставный 433
[21] Л. П. Фалалеев, Полное асимптотическое разложение для верхней грани
уклонения функций из Lip 1 от одного сингулярного оператора, Теоремы
вложения и их приложения: Материалы Всесоюз. симп., Алма-Ата: Наука
КазССР, 1976, 163–167.
[22] К. М. Жигалло, Ю. И. Харкевич, Про наближення функцiй класу Гельдера
бiгармонiйними iнтегралами Пуассона // Укр. мат. журн., 52 (2000), N 7,
971–974.
[23] Л. В. Малей, Точная оценка приближения квазигладких функций интегра-
лами Пуассона // Докл. АН БССР. Сер. физ.-техн., 3 (1961), 25–32.
[24] Э. Л. Штарк, Полное асимптотическое разложение для верхней грани укло-
нения функций из Lip 1 от сингулярного интеграла Абеля–Пуассона // Ма-
тем. заметки, 13 (1973), N 1, 21–28.
[25] В. П. Заставный, О рядах, возникающих при приближении периодических
дифференцируемых функций интегралами Пуассона // Матем. заметки, 86
(2009), N 4, 497–511.
[26] В. П. Заставный, Асимптотические разложения некоторых рядов и их при-
менения // Український математичний вiсник, 6 (2009), N 4, 553–573.
[27] В. П. Заставный, Р. М. Тригуб, Положительно определённые сплайны спе-
циального вида // Мат. Сборник, 193 (2002), N 12, 41–68.
[28] B. Nagy, Függvények megközelitése Fourier-sorok számtani közepeivel // Math.
Fiz. Lapok, 49 (1942), 123–138.
[29] B. Nagy, Approximation der Funktionen durch die aritchmetischen Mittel ihrer
Fourierschen Reihen // Acta Sci. Math., Szeged, 11 (1946), 71–84.
[30] С. А. Теляковский, О приближении функций средними Чезаро второго по-
рядка // Analysis Mathematica, 8 (1982), 305–319.
[31] С. А. Теляковский, О приближении функций, удовлетворяющих условию
Липшица, суммами Фейера // Укр. мат. журн., 21 (1969), N 3, 334–343.
[32] В. А. Баскаков, С. А. Теляковский, О приближении дифференцируемых фун-
кций суммами Фейера // Матем. заметки, 32 (1982), N 2, 129—140.
[33] С. М. Никольский, Оценка остатка сумм Фейера для периодических фун-
кций, имеющих ограниченную производную // Докл. АН СССР, 31 (1941),
N 3, 210–214.
[34] С. М. Никольский, Приближение периодических функций тригонометриче-
скими многочленами // Тр. Матем. ин-та АН СССР, 15 (1945), 76 с.
[35] Л. П. Фалалеев, К 75-летию профессора С. А. Теляковского. О методах Че-
заро и Рисса // Математический журнал, Алматы, 7 (2007), N 4, 82–86.
Сведения об авторах
Виктор П.
Заставный
Донецкий национальный университет,
Университетская 24,
Донецк, 34001,
Украина
E-Mail: zastavn@rambler.ru
|