Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской
В фазовом пространстве интегрируемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, описывающей движение волчка типа С. В. Ковалевской в двойном постоянном силовом поле, выделено четырехмерное инвариантное многообразие. Показано, что оно состоит из критических движений, порождающих гладкий лист би...
Saved in:
| Date: | 2004 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Series: | Український математичний вісник |
| Online Access: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124632 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской / М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 4. — С. 564-582. — Бібліогр.: 11 назв. — англ. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124632 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1246322017-10-01T03:03:22Z Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской Харламов, М.П. Савушкин, А.Ю. В фазовом пространстве интегрируемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, описывающей движение волчка типа С. В. Ковалевской в двойном постоянном силовом поле, выделено четырехмерное инвариантное многообразие. Показано, что оно состоит из критических движений, порождающих гладкий лист бифуркационной диаграммы, а динамическая система на нем гамильтонова с определенным подмножеством точек вырождения симплектической структуры. Найдено преобразование, разделяющее переменные в этой системе, в результате чего решения выписываются в эллиптических функциях времени. Полностью описана соответствующая фазовая топология. 2004 Article Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской / М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 4. — С. 564-582. — Бібліогр.: 11 назв. — англ. 1810-3200 2000 MSC. 70E17, 70E40, 37J35. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124632 ru Український математичний вісник Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В фазовом пространстве интегрируемой гамильтоновой системы с тремя степенями свободы, описывающей движение волчка типа С. В. Ковалевской в двойном постоянном силовом поле, выделено четырехмерное инвариантное многообразие. Показано, что оно состоит из критических движений, порождающих гладкий лист бифуркационной диаграммы, а динамическая система на нем гамильтонова с определенным подмножеством точек вырождения симплектической структуры. Найдено преобразование, разделяющее переменные в этой системе, в результате чего решения выписываются в эллиптических функциях времени. Полностью описана соответствующая фазовая топология. |
| format |
Article |
| author |
Харламов, М.П. Савушкин, А.Ю. |
| spellingShingle |
Харламов, М.П. Савушкин, А.Ю. Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской Український математичний вісник |
| author_facet |
Харламов, М.П. Савушкин, А.Ю. |
| author_sort |
Харламов, М.П. |
| title |
Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской |
| title_short |
Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской |
| title_full |
Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской |
| title_fullStr |
Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской |
| title_full_unstemmed |
Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской |
| title_sort |
разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка ковалевской |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124632 |
| citation_txt |
Разделение переменных и интегральные многообразия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской / М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин // Український математичний вісник. — 2004. — Т. 1, № 4. — С. 564-582. — Бібліогр.: 11 назв. — англ. |
| series |
Український математичний вісник |
| work_keys_str_mv |
AT harlamovmp razdelenieperemennyhiintegralʹnyemnogoobraziâvodnojčastnojzadačeodviženiiobobŝennogovolčkakovalevskoj AT savuškinaû razdelenieperemennyhiintegralʹnyemnogoobraziâvodnojčastnojzadačeodviženiiobobŝennogovolčkakovalevskoj |
| first_indexed |
2025-07-09T01:45:32Z |
| last_indexed |
2025-07-09T01:45:32Z |
| _version_ |
1837131927654498304 |
| fulltext |
Український математичний вiсник
Том 1 (2004), N 4, 564 – 582
Разделение переменных и интегральные
многообразия в одной частной задаче
о движении обобщенного волчка Ковалевской
Михаил П. Харламов, Александр Ю. Савушкин
(Представлена И. А. Луковским)
Аннотация. В фазовом пространстве интегрируемой гамильто-
новой системы с тремя степенями свободы, описывающей движе-
ние волчка типа С. В. Ковалевской в двойном постоянном силовом
поле, выделено четырехмерное инвариантное многообразие. Показа-
но, что оно состоит из критических движений, порождающих глад-
кий лист бифуркационной диаграммы, а динамическая система на
нем гамильтонова с определенным подмножеством точек вырожде-
ния симплектической структуры. Найдено преобразование, разделя-
ющее переменные в этой системе, в результате чего решения выпи-
сываются в эллиптических функциях времени. Полностью описана
соответствующая фазовая топология.
2000 MSC. 70E17, 70E40, 37J35.
Ключевые слова и фразы. Волчок Ковалевской, двойное поле,
инвариантное многообразие.
Введение
Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки в
двойном постоянном силовом поле имеют вид
I
dω
dt
= Iω × ω + r1 × α + r2 × β,
dα
dt
= α × ω,
dβ
dt
= β × ω,
(1)
где r1, r2 — векторы, фиксированные в теле; α, β — векторы, не-
подвижные в инерциальном пространстве; I — тензор инерции в не-
подвижной точке O; ω — мгновенная угловая скорость (все объекты
Статья поступила в редакцию 15.03.2004
ISSN 1810 – 3200. c© Iнститут прикладної математики i механiки НАН України
М. П. Харламов и А. Ю. Савушкин 565
выражены своими компонентами в некоторых осях, жестко связан-
ных с телом).
Считая векторы r1, r2 приложенными к точке O, назовем указан-
ные ими точки подвижного пространства центрами оснащенности.
Система (1) является гамильтоновой на фазовом пространстве
P 6, заданном в R9(ω,α,β) геометрическими интегралами и диффео-
морфном касательному расслоению TSO(3).
В работе [2] в качестве физических моделей для уравнений (1) пре-
дложены задачи о движении намагниченного твердого тела в грави-
тационном и магнитном полях или твердого тела с постоянным в нем
распределением электрического заряда в гравитационном и элект-
рическом полях. Результаты [2], относящиеся к системе (1), более де-
тально изложены в [3] в контексте исследования уравнений Эйлера
на алгебрах Ли.
В общем случае, когда r1 × r2 6= 0, α× β 6= 0, система (1) без до-
полнительных ограничений на параметры, в отличие от классических
уравнений Эйлера-Пуассона, не сводится к гамильтоновой системе с
двумя степенями свободы и, кроме интеграла энергии
H =
1
2
Iω·ω − r1·α − r2·β,
не имеет на P 6 известных первых интегралов.
В [2] для системы (1) вводятся следующие предположения: в глав-
ных осях тензора инерции
Oe1e2e3 (2)
моменты инерции удовлетворяют условиям I1 = I2 = 2I3, а векто-
ры r1, r2 параллельны экваториальной плоскости Oe1e2 и взаимно
ортогональны. При β = 0 задача переходит в интегрируемый слу-
чай С. В. Ковалевской [5] вращения тяжелого твердого тела. Поэто-
му задачу, предложенную в [2], в настоящей работе, для краткости,
назовем обобщенным случаем Ковалевской, а случай β = 0 — клас-
сическим.
Произволом в выборе единиц измерения и осей (2) можно распо-
рядиться так, что
I = diag{2, 2, 1}; (3)
r1 = e1, r2 = e2. (4)
Для обобщенного случая Ковалевской в [2] указан новый общий
интеграл, который в соглашениях (3), (4) записывается в виде
K = (ω2
1 − ω2
2 + α1 − β2)
2 + (2ω1ω2 + α2 + β1)
2. (5)
566 Разделение переменных и интегральные многообразия
Здесь и далее через ωi, αi, βi (i = 1, 2, 3) обозначены компоненты
векторов ω,α,β в осях (2).
В [10] интеграл (5) обобщен на случай движения гиростата в ли-
нейном силовом поле — к телу со свойством (3) добавлен ротор, по-
рождающий постоянный момент вдоль оси динамической симметрии.
Как показано, например, в [4], составляющая момента, порожденная
потенциальными силами, введенными в [10], сводима к виду, фигу-
рирующему в уравнениях (1), со свойством (4).
Полная интегрируемость по Лиувиллю гиростата Ковалевской в
двойном силовом поле доказана в [8]. Найдено представление Лакса
уравнений типа (1) (с гироскопическим слагаемым в моменте внеш-
них сил, как в [10]) при условиях (3), (4), содержащее спектральный
параметр, характеристическое уравнение которого позволило указать
новый первый интеграл, находящийся в инволюции с соответствую-
щим обобщением интеграла (5) и переходящий в квадрат интеграла
площадей при β = 0. В [8] введены и многомерные аналоги задачи
Ковалевской, намечен путь построения решений методом конечнозон-
ного интегрирования. Эта программа реализована в [8] для классиче-
ского волчка Ковалевской, в результате чего получены новые выра-
жения для фазовых переменных в виде специальных ультраэллипти-
ческих функций времени. Явное интегрирование задачи о движении
волчка Ковалевской в двойном поле, ее качественный или топологи-
ческий анализ до сих пор не выполнены (см. также обзор в [4]).
Топологический анализ интегрируемой гамильтоновой системы
предполагает, в тех или иных терминах, описание слоения фазово-
го пространства на торы Лиувилля, что, в частности, требует выяв-
ления всех разделяющих случаев. Последние отвечают точкам би-
фуркационной диаграммы интегрального отображения и в фазовом
пространстве формируются траекториями, целиком состоящими из
точек, в которых первые интегралы зависимы.
В системе с тремя степенями свободы особые движения, соответ-
ствующие точке гладкого двумерного листа бифуркационной диа-
граммы, как правило, заполняют двумерные торы Лиувилля. Объе-
динение таких торов по всем точкам листа представляет собой инва-
риантное подмножество фазового пространства, которое является, в
окрестности своих точек общего положения, четырехмерным много-
образием, и индуцированная динамическая система на нем должна
быть гамильтоновой с двумя степенями свободы (различного рода
вырождения ожидаемы на краях такого листа или в точках пере-
сечения листов). Таким образом, инвариантные подмножества наи-
большей размерности, состоящие из точек зависимости интегралов,
задаются (по крайней мере, локально) системами двух инвариантных
М. П. Харламов и А. Ю. Савушкин 567
соотношений вида
f1 = 0, f2 = 0. (6)
Знание всех таких систем и исследование динамики на определяе-
мых ими инвариантных многообразиях позволили бы в значительной
степени приблизиться к решению проблемы топологического анализа
задачи в целом.
Для обобщенного случая Ковалевской известны две системы ви-
да (6).
Первая получена в [2]: рассмотрено многообразие
{K = 0} ⊂ P 6, (7)
которое в силу структуры (5) задается двумя независимыми уравне-
ниями Z1 = 0, Z2 = 0. Указан дополнительный частный интеграл —
скобка Пуассона {Z1, Z2}. Топологический анализ возникающей га-
мильтоновой системы с двумя степенями свободы выполнен в [11].
Оказалось, что инвариантное множество всюду является гладким че-
тырехмерным многообразием, но индуцированная симплектическая
структура вырождается на множестве нулей дополнительного интег-
рала. Этот случай обобщает 1-й класс Аппельрота (класс Делоне) [1]
движений тяжелого волчка Ковалевской.
Вторая система вида (6) найдена в [7]. Показано, что соответству-
ющие движения при β = 0 переходят в так называемые особо замеча-
тельные движения 2-го и 3-го классов Аппельрота. Настоящая рабо-
та посвящена исследованию динамической системы на инвариантном
подмножестве, указанном в [7].
Предварительно сделаем одно важное для дальнейшего замечание
общего порядка. Фигурирующий в (1) момент внешних сил r1 × α +
r2 × β инвариантен относительно замены
(
r̃1
r̃2
)
= Θ
(
r1
r2
)
,
(
α̃
β̃
)
= (ΘT )−1
(
α
β
)
, (8)
где Θ — произвольная невырожденная 2× 2-матрица. Поэтому апри-
орное предположение в работах [2], [8] об ортогональности радиус-
векторов центров оснащенности является излишним (достаточно, что-
бы эти центры находились в экваториальной плоскости тела). Это
утверждение тривиально — возможность ортогонализации любой из
пар (r1, r2) или (α,β) указана, например, в [4]. Однако при этом
отмечается, что в общем случае вторая пара ортогональной не бу-
дет. Также и в работах [2], [3], [8], [11], [7] сохраняется произвольный
угол между α и β, что усложняет формулы.
568 Разделение переменных и интегральные многообразия
Заметим, что если пара (r1, r2) уже сделана ортонормированной,
то в (8) остается произвол в выборе Θ ∈ SO(2). При таком пре-
образовании новая пара радиус-векторов центров оснащенности по-
прежнему останется ортонормированной и может быть использована
в качестве экваториальных ортов главных осей (2) для сохранения
свойства (4). В то же время, выбирая
Θ =
∥∥∥∥
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
∥∥∥∥ , tg2θ =
2α·β
α2 − β2 ,
получим ортогональную пару (α̃, β̃).
Таким образом, без ограничения общности в дополнение к (4)
можно полагать, что силовые поля ортогональны. Этот простой факт
до сих пор, однако, не отмечался. Исключение избыточного парамет-
ра существенно упростило все последующие вычисления и позволило
получить результаты в симметричном виде.
1. Инвариантное подмножество и его свойства
Далее рассматривается система (1) в предположениях (3), (4) с
фазовым пространством P 6, заданным соотношениями
α2 = a2, β2 = b2, α·β = 0. (9)
Случай a = b является особым — как указано в [10], при этом су-
ществует группа симметрий, порожденная преобразованиями конфи-
гурационного пространства, и, как следствие, имеется циклический
интеграл, линейный по угловым скоростям. Поэтому полагаем для
определенности
a > b. (10)
Общий интеграл задачи, найденный в [8], обозначим через G и
запишем в виде
G =
1
4
(g2
α + g2
β) +
1
2
ω3gγ − b2α1 − a2β2, (11)
где gα, gβ , gγ — скалярные произведения кинетического момента Iω
с векторами α, β, α × β.
Введем функцию F — комбинированный первый интеграл урав-
нений (1), полагая
F = (2G− p2H)2 − r4K,
М. П. Харламов и А. Ю. Савушкин 569
где введены параметры
p2 = a2 + b2, r2 = a2 − b2 (12)
(последнее корректно в силу (10)).
Заметим, что нулевой уровень функции F задается одним из усло-
вий
2G− p2H − r2
√
K = 0; (13)
2G− p2H + r2
√
K = 0, (14)
которые при β = 0 переходят в уравнения соответственно 2-го и 3-го
классов Аппельрота [1].
Определим подмножество N ⊂ P 6 как множество критических
точек функции F , лежащих на уровне F = 0.
Множество N заведомо не пусто: ему принадлежат точки вида
ω1 = ω2 = 0, α1 − β2 = 0, α2 + β1 = 0, которые являются критиче-
скими для K и обращают в ноль 2G− p2H.
Множество N является инвариантным относительно фазового по-
тока (1) как множество критических точек общего интеграла.
Условие dF |TN = 0 означает линейную зависимость в точках N
дифференциалов функций H,K,G, откуда сразу же следует, что со-
отношение
(2g − p2h)2 − r4k = 0 (15)
на константы этих интегралов есть уравнение одного из листов би-
фуркационной диаграммы (полностью пока неизученной) обобщен-
ного волчка Ковалевской.
Воспользуемся комплексной заменой переменных [7], обобщающей
замену Ковалевской [5]:
x1 = (α1 − β2) + i(α2 + β1), x2 = x1,
y1 = (α1 + β2) + i(α2 − β1), y2 = y1,
z1 = α3 + iβ3, z2 = z1,
w1 = ω1 + iω2, w2 = w1, w3 = ω3.
(16)
Обозначая далее штрихом дифференцирование по мнимому вре-
мени it, запишем уравнения движения в новых переменных:
x′1 = −x1w3 + z1w1, x′2 = x2w3 − z2w2,
y′1 = −y1w3 + z2w1, y′2 = y2w3 − z1w2,
2z′1 = x1w2 − y2w1, 2z′2 = −x2w1 + y1w2,
2w′
1 = −(w1w3 + z1), 2w′
2 = w2w3 + z2, 2w′
3 = y2 − y1.
(17)
570 Разделение переменных и интегральные многообразия
Ограничения (9) примут вид
z2
1 + x1y2 = r2, z2
2 + x2y1 = r2,
x1x2 + y1y2 + 2z1z2 = 2p2.
(18)
Далее вместо интеграла (11) удобно рассматривать другой общий
интеграл, связанный линейно с G и H:
M =
1
r4
(2G− p2H). (19)
На уровне F = 0 имеем
K = r4M2. (20)
В переменных (16) интегралы H, K, M запишутся так:
H = w1w2 +
1
2
w2
3 −
1
2
(y1 + y2), K = U1U2,
M = − 1
r4
F 2
1 +
1
2r2
(U1 + U2).
Здесь обозначено
F1 =
√
x1x2w3 −
1√
x1x2
(x2z1w1 + x1z2w2),
U1 =
x2
x1
(w2
1 + x1), U2 =
x1
x2
(w2
2 + x2).
Введем также функцию
F2 = U1 − U2.
Предложение 1.1. В области x1x2 6= 0 инвариантное множество
N задается системой функционально независимых уравнений
F1 = 0, F2 = 0. (21)
Доказательство. Представим соотношение (20) следующим образом:
[
F 2
1 − r2
2
(
√
U1 −
√
U2)
2
][
F 2
1 − r2
2
(
√
U1 +
√
U2)
2
]
= 0, (22)
где
√
U1,
√
U2 выбраны комплексно сопряженными.
На нулевом уровне F функции F1,
√
U1,
√
U2 независимы всюду,
кроме множества
w1w2 = 0, x1 = x2. (23)
М. П. Харламов и А. Ю. Савушкин 571
Поэтому условие критичности левой части (22) приводит к урав-
нениям (21). Однако и точки (23) этим уравнениям, очевидно, удовле-
творяют. Остается заметить, что функции F1 и F2 на нулевом уровне
F независимы всюду в своей области определения, включая и точки
(23).
Система инвариантных соотношений (21) была получена в [7] без
использования первых интегралов. Из данного здесь определения и
предложения 1.1 следует, что она описывает некоторое гладкое че-
тырехмерное многообразие (незамкнутое)
N4 = N ∩ {x1x2 6= 0},
причем N есть наименьшее инвариантное подмножество P 6, содер-
жащее N4.
Замечание 1.1. Можно показать, что в целом инвариантное множе-
ство N стратифицировано
N =
4∪
i=1
N i, dimN i = i, ∂N i ⊂ i−1∪
j=1
N j .
При этом все N i с i < 4, в силу предложения 1.1, лежат в подмноже-
стве фазового пространства, заданном уравнением
x1x2 = 0 (24)
(например, N1 = {w1w2 = 0, w3 = 0, x1x2 = 0} диффеоморфно 2S1).
Поэтому возникновение особенности (24) в выражениях F1, F2 не слу-
чайно. Если в (21) избавиться от знаменателей, то решения получен-
ной системы будут содержать все четырехмерное многообразие (24),
которое не является целиком критическим для функции F (однако,
всюду на нем F = 0). В частности, все выпущенные из него траекто-
рии заполнят в P 6 множество, являющееся почти всюду пятимерным
многообразием.
Следующее утверждение показывает, что, ограничиваясь соотно-
шениями (21), то есть исследуя динамику лишь на N4, мы не теряем
ни одной траектории динамической системы на N .
Предложение 1.2. Множество (24) не содержит подмножеств,
инвариантных относительно фазового потока системы (1).
Для доказательства оказывается необходимым вычислить прои-
зводные от x1x2 в силу уравнений (17) до четвертого порядка, после
572 Разделение переменных и интегральные многообразия
чего убеждаемся, что их одновременное обращение в ноль на мно-
жестве (24) невозможно. Следует отметить, что столь сильное выро-
ждение этого подмножества проявляется и для движений тяжелого
волчка Ковалевской — условие (24) там означает прохождение оси ди-
намической симметрии волчка через вертикаль. Исследованию этого
явления уделено особое внимание как в классических работах (на-
пример, в [1]), так и в недавних исследованиях, связанных с компью-
терной анимацией движения (см. [9], где имеется и обширная библио-
графия работ этого направления по тяжелому волчку Ковалевской).
Предложение 1.3. Дифференциальная 2-форма, индуцированная на
многообразии N4 симплектической структурой пространства P 6,
обеспечивающей гамильтоновость уравнений (1), является невыро-
жденной всюду, за исключением подмножества, заданного уравне-
нием L = 0, где
L =
1√
x1x2
[
w1w2 +
x1x2 + z1z2
2r2
(U1 + U2)
]
.
Доказательство. Скобки Пуассона функций на R9(ω,α,β), опре-
деляющие указанную симплектическую структуру, вычисляются по
правилам [2]
{gi, gj} = εijkgk, {gi, αj} = εijkαk, {gi, βj} = εijkβk,
{αi, αj} = {βi, βj} = {αi, βj} = 0,
(25)
где g1 = 2ω1, g2 = 2ω2, g3 = ω3 — компоненты момента количества
движения.
Переходя в (25) к переменным (16), вычислим скобку Пуассона
функций F1, F2. Получим, с учетом равенств (21),
{F1, F2} = −r2L.
Касательное пространство TqN4 является косоортогональным до-
полнением линейной оболочки векторов, включенных в гамильтоно-
вы поля с гамильтонианами F1, F2. По формуле Э. Картана (см.,
например, [6], стр. 231) ограничение симплектической структуры на
TqN
4 невырождено при условии {F1, F2}(q) 6= 0.
Предложение 1.4. Функция L является первым интегралом инду-
цированной динамической системы на N4, находящимся в инволю-
ции с интегралом M .
М. П. Харламов и А. Ю. Савушкин 573
Доказательство. Как показано в [7], в силу (17) выполнено
F ′
1 = µ1F2, F ′
2 = µ2F1,
где µ1, µ2 — функции, гладкие в окрестностиN4. Применим, с учетом
этого равенства, тождество Якоби к функциям H, F1, F2. Получим,
что двойная скобка Пуассона {H, {F1, F2}} есть линейная комбинация
функций F1, F2. Поэтому L′ ≡ 0 на множестве (21).
Непосредственно проверяется, что при условиях (21) имеет место
следующая связь:
L2 = 2p2M2 + 2HM + 1. (26)
Поэтому
L{L,M} = M{H,M} ≡ 0.
Следовательно, {L,M} = 0 при L 6= 0. Но тогда по непрерывности
{L,M} = 0 всюду на N4.
Итак, на гладкой части N4 инвариантного подмножества N , пол-
ностью определяющей всю динамику на N , уравнения движения
обобщенного волчка Ковалевской представляют собой гамильтоно-
ву систему с двумя степенями свободы с замкнутым в N4 и нигде не
плотным подмножеством точек вырождения симплектической струк-
туры.
2. Аналитическое решение
Согласно предложению 1.4, для интегрирования уравнений дви-
жения на множестве N можно воспользоваться парой интегралов
M, L. Исходные общие интегралы H, K, G выражаются через них
в силу (19), (20), (26).
Теорема 2.1. На произвольном интегральном многообразии
Jm,ℓ = {M = m,L = ℓ} ⊂ N (27)
уравнения движения разделяются в переменных
s1 =
x1x2 + z1z2 + r2
2
√
x1x2
, s2 =
x1x2 + z1z2 − r2
2
√
x1x2
(28)
и записываются в виде
s′1 =
√
s21 − a2
√
ms21 − ℓs1 +
1
4m
(ℓ2 − 1),
s′2 =
√
s22 − b2
√
ms22 − ℓs2 +
1
4m
(ℓ2 − 1).
(29)
574 Разделение переменных и интегральные многообразия
Доказательство. В силу первого уравнения (21) функция M прини-
мает на N вид
M =
1
2r2
(U1 + U2),
а в силу второго имеем U1 = U2. Поэтому уравнение интеграла M
дает
U1 = r2m, U2 = r2m. (30)
Выразим w3 из первого уравнения (21), а w1, w2 — из уравнений
(30):
w3 =
z1w1
x1
+
z2w2
x2
, w2 =
√
x2
x1
R1, w1 =
√
x1
x2
R2. (31)
Здесь обозначено
R1 =
√
r2m− x1, R2 =
√
r2m− x2. (32)
Подставляя эти значения в уравнение интеграла L, получаем
m(x2 + z2) − ℓx+
√
r4m2 − 2r2mx cosσ + x2 = 0. (33)
Переменные x, z, σ введены так, что
x2 = x1x2, z2 = z1z2, x1 + x2 = 2x cosσ, (34)
а радикал в (33) соответствует w1w2, то есть неотрицателен. Осталь-
ные используемые радикалы, включая R1, R2, являются алгебраи-
ческими.
Уравнение (33) дает
R1R2 = ℓx−m(x2 + z2),
R2
1 +R2
2 =
1
r2m
{[ℓx−m(x2 + z2)]2 − x2} + r2m,
откуда, вводя многочлен
Φ(s) = 4ms2 − 4ℓs+
1
m
(ℓ2 − 1),
получаем выражения в переменных (28)
R1 +R2 =
r
s1 − s2
√
Φ(s2), R1 −R2 =
r
s1 − s2
√
Φ(s1). (35)
Из ограничений (18) в обозначениях (34) имеем
(z1 ± z2)
2 =
1
r2
[(x2 + z2 ± r2)2 − 2x2(p2 ± r2)],
М. П. Харламов и А. Ю. Савушкин 575
что в переменных (28) приводит к выражениям
z1 + z2 =
2r
s1 − s2
√
s21 − a2, z1 − z2 =
2r
s1 − s2
√
s22 − b2. (36)
Продифференцируем (28) в силу уравнений (17). С учетом (31)
получим
s′1 =
r2
4x2
(z1 + z2)(R1 −R2), s′2 =
r2
4x2
(z1 − z2)(R1 +R2).
Подставляя сюда выражения (35), (36), приходим к системе (29).
Замечание 2.1. Полученные уравнения, очевидно, интегрируются в
эллиптических функциях времени. Решения выписываются в функ-
циях Якоби с использованием стандартной техники. Их конкретный
вид зависит от расположения корней многочленов под радикалами в
правых частях. Бифуркационные решения систем такого типа отве-
чают стационарным точкам одного из уравнений, то есть наличию
кратного корня у многочлена
(s2 − a2)(s2 − b2)Φ(s). (37)
По соображениям размерности исходные фазовые переменные на
многообразии (27) выражаются через s1, s2, но, вообще говоря, мно-
гозначными функциями. Покажем, что эти выражения носят доста-
точно простую алгебраическую форму.
Введем сокращенные обозначения:
S1 =
√
s21 − a2, ϕ1 =
√
−Φ(s1),
S2 =
√
b2 − s22, ϕ2 =
√
Φ(s2);
(38)
ψ = 4ms1s2 − 2ℓ(s1 + s2) +
1
m
(ℓ2 − 1). (39)
Теорема 2.2. На совместном уровне первых интегралов (27) фазо-
вые переменные обобщенного случая Ковалевской с учетом обозначе-
ний (38), (39) выражаются через переменные (28) следующим обра-
зом:
α1 =
1
2(s1 − s2)2
[(s1s2 − a2)ψ + S1S2ϕ1ϕ2],
α2 =
1
2(s1 − s2)2
[(s1s2 − a2)ϕ1ϕ2 − S1S2ψ],
576 Разделение переменных и интегральные многообразия
β1 = − 1
2(s1 − s2)2
[(s1s2 − b2)ϕ1ϕ2 − S1S2ψ],
β2 =
1
2(s1 − s2)2
[(s1s2 − b2)ψ + S1S2ϕ1ϕ2], (40)
α3 =
r
s1 − s2
S1, β3 =
r
s1 − s2
S2,
ω1 =
r
2(s1 − s2)
(ℓ− 2ms1)ϕ2, ω2 =
r
2(s1 − s2)
(ℓ− 2ms2)ϕ1,
ω3 =
1
s1 − s2
(S2ϕ1 − S1ϕ2).
Доказательство. Условия совместности ограничений (18) в перемен-
ных x, z с учетом обозначений (12) принимают вид
x2 + z2 + r2 > 2a |x| ,
∣∣x2 + z2 − r2
∣∣ 6 2b |x| ,
откуда для переменных (28) определяются естественные границы из-
менения
s21 > a2, s22 6 b2. (41)
Поэтому запись уравнений (29) в вещественной форме приводит,
при заданных m, ℓ, к тому, что область возможности движения на
плоскости (s1, s2) определяется, в дополнение к (41), неравенствами
Φ(s1) 6 0, Φ(s2) > 0. (42)
В частности, на траекториях рассматриваемой системы все вели-
чины (38) вещественны. Выражения через s1, s2 комплексных пере-
менных x1, x2, z1, z2, w1, w2, w3 получим последовательно: из (35)
с учетом (32), из (36), и далее из (31). После этого переменные y1, y2
находятся из первых двух соотношений (18). Делая замену, обратную
к (16), придем к искомым зависимостям.
Заметим, что для первого уравнения (29) значение s1 = ∞ яв-
ляется обычным (в правой части под радикалом многочлен четной
степени) и, если включено в область возможности движения, дости-
гается за конечное время. Точно так же, и в выражениях (40) особен-
ности при этом в действительности нет, что устанавливается заменой
s1 7→ 1/s1. Тем самым, в частности, аналитически выражены все слу-
чаи прохождения траекторий через множество (24).
Итак, получено полное аналитическое решение задачи на инвари-
антном множестве N .
М. П. Харламов и А. Ю. Савушкин 577
3. Фазовая топология
В регулярном случае интегральное многообразие Jm,ℓ состоит из
двумерных торов Лиувилля. Их перестройки порождают бифуркаци-
онную диаграмму системы на N , которую естественно рассматривать
в плоскости констант использованных интегралов, то есть как мно-
жество критических значений отображения
J = M × L : N → R2. (43)
Теорема 3.1. Бифуркационная диаграмма отображения (43) пред-
ставляет собой часть системы прямых
ℓ = −2ma± 1, ℓ = 2ma± 1, ℓ = −2mb± 1, ℓ = 2mb± 1 (44)
и координатных осей плоскости (ℓ,m), лежащую в полуплоскости
ℓ > 0 и заданную условиями существования вещественных решений
ℓ > max(2ma− 1,−2mb+ 1), m > 0;
ℓ 6 −2mb+ 1, m < 0;
ℓ = 1, m = 0.
(45)
Доказательство. Согласно замечанию 2.1 в диаграмму включается
дискриминантное множество многочлена (37), состоящее из прямых
(44) (в части, отвечающей существованию движений).
К диаграмме необходимо добавить и точки координатных осей
плоскости (m, ℓ), входящие в J(N). Можно показать, что значения
m = 0 и ℓ = 0 достигаются, в частности, на подмножествах N i(i < 4),
где N теряет гладкость (см. замечание 1.1). Приведем непосредствен-
ное обоснование.
Уравнения (29) выдерживают предельный переход m → 0. При
этом из соотношения (26) имеем |ℓ| → 1, (ℓ2 − 1)/2m → h. Однако
степень многочленов под радикалами понижается до трех, что изме-
няет вид решений. Кроме того, на множестве N ∩{M = 0}, очевидно,
и K = 0, то есть соответствующие движения являются общими с
классом (7) (интересно отметить, что, как показано в [11], именно на
таких движениях вырождается ограничение симплектической струк-
туры на многообразие (7)). Поэтому значение m = 0 следует считать
бифуркационным.
С другой стороны, интегральная поверхность Jm,ℓ инвариантна
относительно инверсии
(α3, β3, ω3) 7→ (−α3,−β3,−ω3).
578 Разделение переменных и интегральные многообразия
В формулах (40) такая инверсия достигается либо заменой зна-
ка радикалов S1, S2, либо подстановкой (ℓ, s1, s2) 7→ (−ℓ,−s1,−s2).
Отсюда следует, что Jm,ℓ и Jm,−ℓ являются одним и тем же подмно-
жеством фазового пространства. Поэтому необходимо ограничиться
значениями ℓ одного знака (для определенности возьмем далее не-
отрицательные), а ось ℓ = 0 становится внешней границей области
существования движений на плоскости констант интегралов. Отме-
тим, что нулевое значение ℓ возможно, как показывает уравнение
(33), лишь при отрицательных m.
Итак, в дополнение к (44) в диаграмму следует включить точку
{m = 0, ℓ = 1} и полуось
{ℓ = 0,m < 0}. (46)
Исследуя совместность (41), (42), найдем фактическую область
существования движений в виде (45).
На рис. 1 занумерованы определяемые диаграммой области 1-9
на плоскости (m, ℓ) с различным типом интегральных поверхностей
(27). В заштрихованной части движение невозможно.
Рис. 1: Бифуркационная диаграмма и области существования движений
Для того чтобы установить количество торов в составе регуляр-
ного многообразия, заметим, что выражения (40) дают однозначную
зависимость фазовых переменных от двух наборов величин
(s1, S1, ϕ1), (s2, S2, ϕ2). (47)
При этом знаки радикалов (38) на каждом Jm,ℓ произвольны. Но
вдоль траектории некоторые из радикалов принимают нулевое значе-
ние, после чего меняют знак. Тогда пара точек, отличающаяся знаком
М. П. Харламов и А. Ю. Савушкин 579
такого радикала, лежит на одной связной компоненте Jm,ℓ. Следова-
тельно, количество связных компонент регулярного интегрального
многообразия равно 2n, где n — количество величин (38), не обра-
щающихся в ноль вдоль траектории. Значение n устанавливается по
расположению корней многочлена (37) и не превышает 2.
Предложение 3.1. В соответствии с нумерацией областей на
рис. 1 регулярные интегральные многообразия Jm,ℓ таковы: а) T2
в областях 1, 8; б) 2T2 в областях 2, 7, 9; в) 4T2 в областях 3–6.
Тип критических интегральных поверхностей установим, заме-
тив, что в каждом из трехмерных пространств наборов (47) равен-
ства (38) задают пару цилиндров (эллиптических или гиперболиче-
ских) с взаимно ортогональными образующими. На прямых (44) пара
цилиндров, отвечающая одной из переменных s1, s2, имеет точку ка-
сания. Тогда линия их пересечения — “восьмерка” S1 ∨ S1. Таким
образом, на отрезках прямых (44) между точками их пересечения,
внутренних для области (45), интегральная поверхность состоит из
компонент, гомеоморфных произведению S1 × (S1 ∨S1). При перехо-
де через такой отрезок происходит одна из стандартных для систем
с двумя степенями свободы бифуркаций T2 → 2T2. Количество свя-
зных компонент вида S1× (S1∨S1) в составе критического Jm,ℓ опре-
деляется по количеству торов в смежных областях. Собственно кри-
тические периодические траектории (след центра “восьмерки”) — это
движения, в которых одна из переменных s1, s2 остается постоянной
и равной кратному корню соответствующего многочлена под радика-
лом. При этом либо S1 ≡ 0, ϕ1 ≡ 0, либо S2 ≡ 0, ϕ2 ≡ 0. Тогда из
выражений (40) сразу же получаем, что в первом случае ω2 = ω3 ≡ 0,
а во втором ω1 = ω3 ≡ 0. Тело совершает маятниковые движения, в
которых радиус-вектор одного из центров оснащенности постоянно
направлен вдоль соответствующего силового поля. При стремлении
к внешней границе области (45), за исключением полупрямой (46),
торы вырождаются в окружности — периодические решения того же
маятникового типа, а поверхности S1 × (S1 ∨ S1) — в “восьмерки”.
На полупрямой (46) критических одночастотных движений, оче-
видно, не возникает. Соответствующая бифуркация на отрезках, при-
мыкающих к областям 5 и 6, выражается в том, что число связных
компонент Jm,0 вдвое меньше, чем в близлежащей регулярной точке
плоскости (m, ℓ). Это так называемые минимальные торы. Переход
из области 4 к отрезку граничного множества (46) не сопровождается
падением количества компонент Jm,ℓ, а все циклы, гомотопные неко-
торому отмеченному, складываются вдвое, так что каждая компо-
нента дважды накрывает предельную. В достаточно гладком случае
580 Разделение переменных и интегральные многообразия
(например, при условии, что интеграл L является боттовским на соо-
тветствующем гладком уровне интеграла M) результатом оказалась
бы бутылка Клейна (см, например, [6]), но явные уравнения (40) го-
ворят о том, что это не так. Вероятно, имеется связь этого явления с
вырождением индуцированной симплектической структуры.
Отметим, наконец, узловые точки, обозначенные на рис. 1 как
P1–P4. При таких значениях констант интегралов на поверхностях
Jm,ℓ имеется по одной неподвижной точке. Это положения равнове-
сия тела, и в них оба центра оснащенности лежат на соответствующих
им осях силовых полей, так что момент сил равен нулю. Из них одно
устойчиво — в P1 интегральная поверхность состоит из одной непо-
движной точки. Остальные три неустойчивы — как отмечено выше,
в точках P2, P3 интегральная поверхность гомеоморфна “восьмерке”,
а в точке P4 она представляет собой следующую конструкцию: че-
тыре прямоугольника (заполненных двоякоасимптотическими к по-
ложению равновесия траекториями) приклеены сторонами к букету
четырех окружностей, так что их вершины склеены в одну точку.
Все перечисленные явления легко устанавливаются анализом вы-
ражений (40) и взаимного расположения цилиндров, образованных в
пространствах (47).
Заключение
В представленной работе полностью исследованы движения обоб-
щенного волчка Ковалевской, которые для задачи в целом служат
критическими и порождают бифуркации трехмерных торов Лиувил-
ля при пересечении листа бифуркационной диаграммы Σ ⊂ R3 общих
интегралов задачи, определенного уравнением (15). Из неравенств
(45) выводятся уравнения границы той части этого листа, которая
отвечает существованию действительно критических движений, то
есть входит в состав Σ.
Из выражения (22), служащего уравнением всей интегральной по-
верхности в фазовом пространстве P 6 для набора констант интегра-
лов, связанного уравнением (15), следует, что, как и в случае тя-
желого волчка Ковалевской (2-й и 3-й классы Аппельрота), прямая
{k = 0, 2g = p2h} разбивает лист (15) на два класса. В первом классе
(ему отвечает соотношение (13) и первый, неотрицательно опреде-
ленный, сомножитель в (22)) найденные критические для исходной
системы интегральные многообразия исчерпывают всю соответству-
ющую интегральную поверхность в P 6, являясь пределом концентри-
ческого семейства трехмерных торов, и в этом смысле устойчивы в
P 6. Во втором классе (соотношение (14) и второй, гиперболического
М. П. Харламов и А. Ю. Савушкин 581
типа, сомножитель в (22)) все найденные критические поверхности
в P 6 гиперболически неустойчивы — на том же уровне трех первых
интегралов имеются траектории, состоящие из регулярных точек и
двоякоасимптотические к соответствующим двумерных торам систе-
мы на исследованном инвариантном множестве.
Литература
[1] Г. Г. Аппельрот, Не вполне симметричные тяжелые гироскопы. В кн.: Дви-
жение твердого тела вокруг неподвижной точки. М.-Л.: Изд-во АН СССР,
1940, 61–156.
[2] О. И. Богоявленский, Два интегрируемых случая динамики твердого тела
в силовом поле // ДАН СССР. 275 (1984), N6, 1359–1363.
[3] О. И. Богоявленский, Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, во-
зникающие в задачах математической физики // Изв. АН СССР, сер. ма-
тем. 48 (1984), N5, 883–937.
[4] А. В. Борисов, И. С. Мамаев, Динамика твердого тела. Ижевск: РХД, 2001.
[5] С. В. Ковалевская, Задача о вращении твердого тела около неподвижной
точки. В кн.: С. В. Ковалевская. Научные работы. М.: Изд-во АН СССР,
1948, 153–220.
[6] А. Т. Фоменко, Симплектическая геометрия. Методы и приложения. Изд-
во МГУ, 1988.
[7] М. П. Харламов, Один класс решений с двумя инвариантными соотноше-
ниями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле
// Механика твердого тела (2002), вып. 32, 32–38.
[8] A. I. Bobenko, A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky, The Kowalewski
top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions // Commun.
Math. Phys. 122 (1989), N2, 321–354.
[9] P. H. Richter, H. R. Dullin, A. Wittek, Kovalevskaya Top. Film C1961 // Techn.
Wiss./Naturw. (1997), N13, 33–96.
[10] H. Yehia, New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mech. Res.
Commun. 13 (1986), N3, 169–172.
[11] D. B. Zotev, Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case // Регу-
лярная и хаотическая динамика. 5 (2000), N4, 437–458.
Сведения об авторах
Михаил Павлович
Харламов
Центр компьютерной техники,
Волгоградская академия госслужбы,
ул. Гагарина 8, Волгоград,
Россия
E-Mail: mharlamov@vags.ru
582 Разделение переменных и интегральные многообразия
Александр
Юрьевич
Савушкин
Кафедра информационных систем,
Волгоградская академия госслужбы,
ул. Гагарина 8, Волгоград,
Россия
E-Mail: kismm@vags.ru
|