Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией
Для моделей бинарных детерминированных статистических экспериментов, задаваемых рекуррентно решениями разностных детерминированных уравнений для вероятностей альтернатив бинарных состояний, изучается классификация в зависимости от значений параметров направляющего действия, которые определяют функци...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2015
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124847 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией / Д.В. Королюк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 163-168. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-124847 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1248472017-10-07T03:03:31Z Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией Королюк, Д.В. Системный анализ Для моделей бинарных детерминированных статистических экспериментов, задаваемых рекуррентно решениями разностных детерминированных уравнений для вероятностей альтернатив бинарных состояний, изучается классификация в зависимости от значений параметров направляющего действия, которые определяют функции регрессии приращений вероятностей альтернатив. Классификация обоснована предельными свойствами решений детерминированных разностных уравнений, порождающих вероятности альтернатив. Для моделей бінарних детермінованих статистичних експериментів, які задаються рекурентно розв’язками різницевих детермінованих рівнянь для ймовірностей альтернатив бінарних станів, вивчається класифікація в залежності від значень параметрів напрямної дії, що визначають функції регресії приростів ймовірностей альтернатив. Класифікацію обгрунтовано різними граничними властивостями розв’язків детермінованих різницевих рівнянь, які породжують ймовірності альтернатив. For models of binary deterministic statistical experiments (SE) defined recursively by solutions of difference deterministic equations for the probabilities of binary states alternatives, we analyze the classification depending on the values of directing parameters, which define the increments of regression functions of alternative probabilities. This classification is justified by the limit properties of the solutions of the deterministic difference equations, which generate the alternatives probabilities. 2015 Article Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией / Д.В. Королюк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 163-168. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124847 519.24 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Королюк, Д.В. Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией Кибернетика и системный анализ |
| description |
Для моделей бинарных детерминированных статистических экспериментов, задаваемых рекуррентно решениями разностных детерминированных уравнений для вероятностей альтернатив бинарных состояний, изучается классификация в зависимости от значений параметров направляющего действия, которые определяют функции регрессии приращений вероятностей альтернатив. Классификация обоснована предельными свойствами решений детерминированных разностных уравнений, порождающих вероятности альтернатив. |
| format |
Article |
| author |
Королюк, Д.В. |
| author_facet |
Королюк, Д.В. |
| author_sort |
Королюк, Д.В. |
| title |
Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией |
| title_short |
Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией |
| title_full |
Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией |
| title_fullStr |
Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией |
| title_full_unstemmed |
Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией |
| title_sort |
классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124847 |
| citation_txt |
Классификация бинарных детерминированных статистических экспериментов с настойчивой регрессией / Д.В. Королюк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 4. — С. 163-168. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT korolûkdv klassifikaciâbinarnyhdeterminirovannyhstatističeskihéksperimentovsnastojčivojregressiej |
| first_indexed |
2025-07-09T02:08:57Z |
| last_indexed |
2025-07-09T02:08:57Z |
| _version_ |
1837133403410923520 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.24
Ä.Â. ÊÎÐÎËÞÊ
ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÁÈÍÀÐÍÛÕ ÄÅÒÅÐÌÈÍÈÐÎÂÀÍÍÛÕ
ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÎÂ Ñ ÍÀÑÒÎÉ×ÈÂÎÉ
ÐÅÃÐÅÑÑÈÅÉ
Àííîòàöèÿ. Äëÿ ìîäåëåé áèíàðíûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ, çà-
äàâàåìûõ ðåêóððåíòíî ðåøåíèÿìè ðàçíîñòíûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ óðàâíåíèé äëÿ âåðîÿòíîñ-
òåé àëüòåðíàòèâ áèíàðíûõ ñîñòîÿíèé, èçó÷àåòñÿ êëàññèôèêàöèÿ â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ íàïðàâëÿþùåãî äåéñòâèÿ, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ôóíêöèè ðåãðåññèè ïðèðàùåíèé
âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ. Êëàññèôèêàöèÿ îáîñíîâàíà ïðåäåëüíûìè ñâîéñòâàìè ðåøåíèé äå-
òåðìèíèðîâàííûõ ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé, ïîðîæäàþùèõ âåðîÿòíîñòè àëüòåðíàòèâ.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòàòèñòè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû, ðàçíîñòíûå äåòåðìèíèðîâàííûå óðàâíå-
íèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ áèíàðíèõ ñîñòîÿíèé, íàñòîé÷èâàÿ ðåãðåññèÿ, ýêâèëèá-
ðèóì, ïðèòÿãèâàþùåå ñîñòîÿíèå, îòòàëêèâàþùåå ñîñòîÿíèå, äîìèíèðîâàíèå àëüòåðíàòèâ.
 ðàáîòå [1] èññëåäîâàíà äèíàìèêà ðåêóððåíòíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ
ñ íàñòîé÷èâîé ðåãðåññèåé â ñõåìå ñåðèé ñ ïàðàìåòðîì ñåðèè N (îáúåì âûáîðêè),
N ® ¥. Ïðè ýòîì ñóùåñòâåííî èñïîëüçîâàíî óñëîâèå, îáåñïå÷èâàþùåå íàëè÷èå
ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå çàäàåòñÿ ýêâèëèáðèóìîì ôóíêöèè ðåãðåññèè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ äèíàìèêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåí-
òîâ (ÑÝ) ïðè âîçðàñòàíèè âðåìåíè k ® ¥. Ñ ó÷åòîì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïî-
ïóëÿöèîííîé ãåíåòèêè [2, 3] ôóíêöèÿ ðåãðåññèè ïðèðàùåíèé âåðîÿòíîñòåé àëü-
òåðíàòèâ çàäàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ëèíåéíîé êîìïîíåíòû, îïðåäåëÿåìîé ïàðàìåò-
ðàìè íàïðàâëÿþùåãî äåéñòâèÿ V± , è íåëèíåéíîé êîìïîíåíòû, îáåñïå÷èâàþùåé
êîððåêòíîñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ðåãðåññèè:
C P P P V P V P0 ( ) [ ]= -+ - - - + + , 0 1£ £±P . (1)
Ïðè ýòîì âîçíèêàåò ïðîáëåìà êëàññèôèêàöèè ìîäåëåé ÑÝ â çàâèñèìîñòè îò
çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ íàïðàâëÿþùåãî äåéñòâèÿ V± , îïðåäåëÿþùèõ ôóíêöèþ
ðåãðåññèè ïðèðàùåíèé ÑÝ.
Àíàëîãè÷íàÿ çàäà÷à êëàññèôèêàöèè äåòåðìèíèðîâàííûõ ìîäåëåé ÑÝ èññëå-
äîâàëàñü â ïîïóëÿöèîííîé ãåíåòèêå [2, 4, 5] ñ èñïîëüçîâàíèåì äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé äëÿ âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ ãåíîòèïîâ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÑÝ ñ íàñòîé÷èâîé ðåãðåññèåé çàäàåòñÿ ñðåäíèìè çíà÷åíè-
ÿìè âûáîðêè d d( ) : ( ( )k kr= , 1 £ £r N ), k ³ 0, íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè ïðè
ôèêñèðîâàííûõ k è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ïî r ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí dr k( ),
ïðèíèìàþùèõ äâà áèíàðíûõ çíà÷åíèÿ — 1 èëè 0:
S k
N
k kN r
r
N
( ) : ( ),= ³
=
å
1
0
1
d . (2)
Çíà÷åíèÿ áèíàðíûõ âåëè÷èí dr k( ) èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê âûáîð ìåæäó äâó-
ìÿ àëüòåðíàòèâàìè, êîòîðûå îáîçíà÷èì ñèìâîëîì + (ïîëîæèòåëüíàÿ àëüòåðíàòè-
âà: dr k( ) =1) èëè – (îòðèöàòåëüíàÿ àëüòåðíàòèâà: dr k( ) = 0).
Î÷åâèäíî, ÷òî ÑÝ (2) çàäàåò ñðåäíåå çíà÷åíèå âûáîðà ïîëîæèòåëüíîé àëü-
òåðíàòèâû íà k-ì ýòàïå. Àíàëîãè÷íî, ñðåäíåå çíà÷åíèå îòðèöàòåëüíîé àëüòåðíà-
òèâû îïðåäåëÿåòñÿ êàê
{ }S k
N
I k kN r
r
N
-
=
= = ³å( ) : ( ) ,
1
0 0
1
d .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 163
© Ä.Â. Êîðîëþê, 2015
Çäåñü ïî îïðåäåëåíèþ I A( ) ÿâëÿåòñÿ èíäèêàòîðîì ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A.
Èìååò ìåñòî î÷åâèäíîå òîæäåñòâî
S k S kN N( ) ( )+ =- 1 .
Ââåäåì âåðîÿòíîñòè àëüòåðíàòèâ:
{ } { }P k P k P k P k kr r+ -= = = - = = - ³( ) : ( ) ( ) ( ) ,d d1 1 0 1 0 . (3)
Ïî îïðåäåëåíèþ èìååì
P k P k k+ -+ = ³( ) ( ) ,1 0 .
Äèíàìèêà âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðåãðåññèè ïðè-
ðàùåíèé âåðîÿòíîñòåé (1).
Ïðåäïîëîæåíèå 1. Âåðîÿòíîñòè àëüòåðíàòèâ çàäàþòñÿ ðåøåíèÿìè ðàçíîñò-
íûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ óðàâíåíèé (ÐÄÓ):
DP k P k P k V P k V P k k± + - - - + ++ = ± - ³( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ,1 0 ,
(4)
DP k P k P k± ± ±+ = + -( ) : ( ) ( )1 1 .
×èñëîâûå ïàðàìåòðû ôóíêöèé ðåãðåññèè ïðèðàùåíèé âåðîÿòíîñòåé óäîâ-
ëåòâîðÿþò äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì
| | , | |V V V± + -< + >1 0 , (5)
îáåñïå÷èâàþùèì êîððåêòíîñòü çàäàíèÿ âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ ÐÄÓ (4).
Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ðåãðåññèè â (4) èìååò äâà ïîãëîùàþùèõ ñîñòîÿíèÿ:
r
±
=0 0 , rm
0 1= , à òàêæå ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå (ýêâèëèáðèóì) ( , )r r+ - , êîòîðîå
çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
V V- - + +=r r . (6)
Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíîé ýêâèëèáðèóì îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
r ± + -= = + >V V V V V Vm / , , | | 0 . (7)
Ââåäåì ôëóêòóàöèè âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ
$ ( ) : ( ) , .P k P k k± ± ±= - ³r 0 (8)
Ïðåäïîëîæåíèå 2. Ôëóêòóàöèè âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ ÑÝ (3) çàäàþòñÿ
ðåøåíèÿìè ÐÄÓ
$ ( ) $ ( ) ( ) ( ) $ ( ) , .P k P k VP k P k P k k± ± + - ±+ - = - ³1 0 (9)
Êàê è â ïðåäïîëîæåíèè 1, âåðîÿòíîñòè àëüòåðíàòèâ òàêæå îïðåäåëÿþòñÿ äâó-
ìÿ ïàðàìåòðàìè (ñì. (6), (7)): V è r ± (r r+ -+ = 1).
ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈß ÄÅÒÅÐÌÈÍÈÐÎÂÀÍÍÛÕ ÌÎÄÅËÅÉ ÑÝ
Ïîâåäåíèå âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ, îïðåäåëÿåìûõ ðåøåíèÿìè ÐÄÓ (4)
èëè (9) ñ îãðàíè÷åíèÿìè (5), ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ íà-
ïðàâëÿþùåãî äåéñòâèÿ V± .
Êëàññèôèêàöèÿ ìîäåëåé ÑÝ ñ âåðîÿòíîñòÿìè àëüòåðíàòèâ P k± ( ), k ³ 0, êîòîðûå
çàäàþòñÿ ðåøåíèÿìè ÐÄÓ (4), ïðèâåäåíà â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè.
Ïðåäëîæåíèå 1. Ïàðàìåòðû íàïðàâëÿþùåãî äåéñòâèÿ V± , óäîâëåòâîðÿþùèå
äîïóñòèìûì çíà÷åíèÿì (5), çàäàþò êëàññèôèêàöèþ ìîäåëåé ÑÝ:
164 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
Ì1 ïðèòÿãèâàþùàÿ: V > 0 , V± ³ 0 ;
Ì2 îòòàëêèâàþùàÿ: V < 0 , V± £ 0 ;
Ì3+ äîìèíèðîâàíèå +: V ¹ 0 , V V+ -£ £0 ;
Ì3– äîìèíèðîâàíèå –: V ¹ 0 , V V- +£ £0 .
Àíàëîãè÷íàÿ êëàññèôèêàöèÿ ìîäåëåé ÑÝ, ôëóêòóàöèè âåðîÿòíîñòåé àëüòåð-
íàòèâ êîòîðûõ (8) çàäàþòñÿ ðåøåíèÿìè ÐÄÓ (9), èìååò ìåñòî ñ ó÷åòîì çíà÷åíèé
ýêâèëèáðèóìîâ r ± , à òàêæå ïàðàìåòðà V V V= ++ - .
Ïðåäëîæåíèå 2. Ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ àëüòåðíàòèâ (ýêâèëèáðèóìû) r ±
îïðåäåëÿþò êëàññèôèêàöèþ ìîäåëåé ÑÝ, êîòîðûå çàäàþòñÿ ðåøåíèÿìè ÐÄÓ (9):
Ì1 ïðèòÿãèâàþùàÿ: V > 0 , 0 1< <±r ;
Ì2 îòòàëêèâàþùàÿ: V < 0 , 0 1< <±r ;
Ì3+ äîìèíèðîâàíèå +: V ¹ 0 , V Vr r- +£ £0 ;
Ì3– äîìèíèðîâàíèå –: V ¹ 0 , V Vr r+ -£ £0 .
Âìåñòå ñ òåì âîçìîæíà êëàññèôèêàöèÿ ìîäåëåé ÑÝ ñ ó÷åòîì çíà÷åíèé ýê-
âèëèáðèóìà ðàçíîñòè àëüòåðíàòèâ r r r= -+ - .
Ïðåäëîæåíèå 3. Ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ ðàçíîñòè àëüòåðíàòèâ r r r= -+ -
çàäàþò ñëåäóþùóþ êëàññèôèêàöèþ ìîäåëåé ÑÝ:
Ì1 ïðèòÿãèâàþùàÿ: r £ 1, V > 0 ;
Ì2 îòòàëêèâàþùàÿ: r £ 1, V < 0 ;
Ì3+ äîìèíèðîâàíèå +: r ³ 1, Vr > 0 ;
Ì3– äîìèíèðîâàíèå –: r ³ 1, Vr < 0 .
Çàìå÷àíèå. Êëàññèôèêàöèÿ ìîäåëåé ÑÝ, çàäàâàåìûõ âåðîÿòíîñòÿìè àëü-
òåðíàòèâ P t± ( ), t ³ 0 (â íåïðåðûâíîì âðåìåíè), ñ ôóíêöèåé ðåãðåññèè
Q x x x ax b( ) ( )( )= - +1 , ñîäåðæèòñÿ â [5] (ñì. òàêæå [2] ) è ñîîòâåòñòâóåò êëàññèôè-
êàöèè, ïðèâåäåííîé â ïðåäëîæåíèè 3.
ÎÁÎÑÍÎÂÀÍÈÅ ÊËÀÑÑÈÔÈÊÀÖÈÈ ÌÎÄÅËÅÉ ÑÝ
Îñíîâàíèåì êëàññèôèêàöèè ÑÝ, ïðèâåäåííîé â ïðåäëîæåíèÿõ 1–3, ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëü-
íîå ïîâåäåíèå âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ ÑÝ, êîòîðîå ôîðìóëèðóåòñÿ â òåîðåìå.
Òåîðåìà 1. Âåðîÿòíîñòè àëüòåðíàòèâ P k± ( ), k ³ 0, çàäàâàåìûõ ðåøåíèÿìè
ÐÄÓ (4) èëè (9), èìåþò ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå:
· â ìîäåëè Ì1 (ïðèòÿãèâàþùàÿ)
lim ( )
k
P k
®¥
± ±= r ; (10)
· â ìîäåëè Ì 2 (îòòàëêèâàþùàÿ)
lim ( ) lim ( )
k k
P k P k
®¥
±
®¥
= =1 0èëè m (11)
ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
P P± ±> <( ) ( )0 0r rèëè m m ; (12)
· â ìîäåëè Ì 3 ± (äîìèíèðîâàíèå ±)
lim ( ) , lim ( ) .
k k
P k P k
®¥
±
®¥
= =1 0m (13)
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ èíòåðïðåòàöèÿ, à òàêæå ìîòèâàöèÿ ðàçíûõ ìîäåëåé
ÑÝ â ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåíåíèÿõ, íàïðèìåð â ïîïóëÿöèîííîé ãåíåòèêå [4, 5],
ýêîíîìèêå è ìîäåëÿõ ïîâåäåíèÿ [6, 7].
Ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèþ êëàññèôèêàöèè ìîäåëåé ÑÝ ñ òî÷êè çðåíèÿ ìî-
äåëåé ïîâåäåíèÿ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 165
Ñ ó÷åòîì ôóíêöèè ðåãðåññèè ïðèðàùåíèé àëüòåðíàòèâ (1) êëàññèôèêàöèÿ ìîäå-
ëåé ÑÝ îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ íàïðàâëÿþùåãî äåéñòâèÿ V± , õàðàêòå-
ðèçóþùèõ ñòèìóëû è ñäåðæèâàíèÿ ïðèðàùåíèé âåðîÿòíîñòåé àëüòåðíàòèâ [7].
 ìîäåëè Ì1 (ïðèòÿãèâàþùàÿ): V > 0, V ± ³ 0, âåðîÿòíîñòè ïîëîæèòåëüíîé
àëüòåðíàòèâû P k+ ( ), k ³ 0, âîçðàñòàþò (ñòèìóëèðóþòñÿ) ïðîïîðöèîíàëüíî âåðîÿò-
íîñòè îòðèöàòåëüíîé àëüòåðíàòèâû ñ ïàðàìåòðîìV- è óìåíüøàþòñÿ (ñäåðæèâàþò-
ñÿ) ïðîïîðöèîíàëüíî âåðîÿòíîñòè ïîëîæèòåëüíîé àëüòåðíàòèâû ñ ïàðàìåòðîì V+ .
Òàêàÿ õàðàêòåðèçàöèÿ ñòèìóëîâ è ñäåðæèâàíèé ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ ñòàöèîíàðíî-
ãî ðåæèìà, îïðåäåëÿåìîãî ýêâèëèáðèóìîì r ± ôóíêöèè ðåãðåññèè ïðèðàùåíèé.
 ìîäåëè Ì2 (îòòàëêèâàþùàÿ): V < 0, V ± £ 0, õàðàêòåðèçàöèÿ ñòèìóëîâ è ñäåð-
æèâàíèé èìååò îáðàòíîå äåéñòâèå íà âåðîÿòíîñòè àëüòåðíàòèâ. Âñëåäñòâèå ýòîãî ýê-
âèëèáðèóì ôóíêöèè ðåãðåññèè ïðèðàùåíèé ñòàíîâèòñÿ îòòàëêèâàþùèì, ò.å. âåðîÿò-
íîñòè àëüòåðíàòèâ ñòðåìÿòñÿ ê ïîãëîùàþùèì ñîñòîÿíèÿì r ± = 0 èëè1 . Îòòàëêèâà-
þùåå ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå r ± âûïîëíÿåò ôóíêöèþ îãðàíè÷èòåëüíîãî ïîðîãà.
Ïðè íà÷àëüíîé âåðîÿòíîñòè àëüòåðíàòèâ ìåíüøå ýòîãî ïîðîãà ñëåäóþùèå âåðîÿò-
íîñòè óìåíüøàþòñÿ âïëîòü äî ïîãëîùàþùåãî ñîñòîÿíèÿ r = 0, à áîëüøå ïîðîãîâî-
ãî çíà÷åíèÿ r ± — âîçðàñòàþò âïëîòü äî ïîãëîùàþùåãî ñîñòîÿíèÿ r =1.
 ìîäåëè Ì 3 ± (äîìèíèðîâàíèå ±), | |r r+ -- ³ 1, ýêâèëèáðèóì ôóíêöèè ðåã-
ðåññèè ïðèðàùåíèé r ± íàõîäèòñÿ âíå ïðåäåëîâ îòðåçêà ( , )0 1 . Òàêèì îáðàçîì, âå-
ðîÿòíîñòè àëüòåðíàòèâ, ñòðåìÿñü (ïðèòÿãèâàÿñü èëè îòòàëêèâàÿñü) ê ýêâèëèáðèó-
ìàì, â ðåçóëüòàòå äîñòèãàþò ïîãëîùàþùèõ ñîñòîÿíèé r ± = 0 èëè1. Ïðè÷åì â ìî-
äåëè Ì 3 + (äîìèíèðîâàíèå +) âåðîÿòíîñòè ïîëîæèòåëüíûõ àëüòåðíàòèâ
ñòðåìÿòñÿ ê 1, òîãäà êàê îòðèöàòåëüíûõ — ê 0, â ìîäåëè Ì 3 - (äîìèíèðîâàíèå -)
âåðîÿòíîñòè îòðèöàòåëüíûõ àëüòåðíàòèâ ñòðåìÿòñÿ ê 1.
 ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàþò ñòàòèñòè÷åñêàÿ çàäà÷à ïðîâåðêè ãèïîòåç òîé èëè èíîé
ìîäåëè ÑÝ â ðåàëüíèõ ýêñïåðèìåíòàõ, à òàêæå çàäà÷è îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ íà-
ïðàâëÿþùåãî äåéñòâèÿ ÑÝ, çàäàâàåìûõ ÐÄÓ (4) èëè (9).
ÄÎÊÀÇÀÒÅËÜÑÒÂÎ ÒÅÎÐÅÌÛ 1
Îñíîâíàÿ èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà òåoðåìû 1 çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âåðîÿòíîñòè
àëüòåðíàòèâ ÑÝ, çàäàâàåìûõ ðåøåíèÿìè ÐÄÓ (4) èëè (9), ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åí-
íûìè è ìîíîòîííûìè ïî k ® ¥. Ýòî îáóñëîâëèâàåò ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëîâ.
Íåîáõîäèìî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïðåäåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé
÷àñòîò, ïîëó÷àåìûõ èç ÐÄÓ (4) èëè (9), îáåñïå÷èâàþò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâûâàåòñÿ íà áàçîâîì ÐÄÓ (ñì. (9)):
D $ ( ) ( ) ( ) $ ( ) ,P k VP k P k P k k± + - ±+ = - ³1 0 . (14)
Ìîäåëü Ì1. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé Ì1+, ò.å. r + +< <P ( )0 1 . Òîãäà ñî-
ãëàñíî (8)
0 0< <+ -
$ ( )P r . (15)
Èç áàçîâîãî ÐÄÓ (14) ïðè V > 0 âûòåêàåò ìîíîòîííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè $ ( )P k+ :
$ ( ) $ ( ) ,P k P k k+ ++ < ³1 0 . (16)
Ïåðåïèøåì ÐÄÓ (14) â ñëåäóþùåì âèäå:
$ ( ) $ ( )[ ( ) ( )] ,P k P k VP k P k k+ + + -+ = - ³1 1 0 . (17)
Ñ ó÷åòîì (5) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
| | .VP P+ - £
1
2
(18)
166 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
Ñîãëàñíî (15)–(18) ïîëó÷àåì îöåíêó (14)
$ ( ) $ ( ) , .P k P k k+ ++ ³ ³ ³1
1
2
0 0 (19)
Ìîíîòîííîñòü âåðîÿòíîñòåé (16) ñ îöåíêîé (19) îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâà-
íèå ïðåäåëîâ
$ : lim $ ( ) , : lim ( )* *
P P k P P k
k k
±
®¥
± ±
®¥
±= = , (20)
äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî óðàâíåíèå
P P P+ - ± =* * *$ 0 , (21)
îòêóäà ñëåäóåò (10):
$P± = 0, ò.å. P+ +=* r , P- -=* r .
 ñëó÷àå Ì1-, ò.å. 0 0< <+ +P ( ) r , â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ
$ ( ) $ ( ) , ,P k P k k+ -+ = ³0 0 (22)
âîçíèêàåò äâîéñòâåííàÿ çàäà÷à äëÿ $ ( )P k- : èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (ñð. ñ (15))
r r- - - +< < <P ( ) , $ ( )0 1 0ò.å. 0 < P .
Òàêèì îáðàçîì, ïðèâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ $ ( )P- 0 âìåñ-
òî $ ( )P+ 0 .  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå çíà÷åííÿ:
$ , , ,* * *
P P P- - - + += = =0 ò.å. r r
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî (10) òåîðåìû 1 äëÿ ìîäåëè Ì1.
Ìîäåëü Ì 2 . Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé Ì 2 +, ò.å. r + +< <P ( )0 1 . Èñõîäÿ
èç ÐÄÓ (9) ïîëó÷àåì
0< <+ -
$ ( ) .P k r
Ñîãëàñíî (14) ïðè V < 0 èìååò ìåñòî ìîíîòîííîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè $ ( )P k+ :
$ ( ) $ ( )P k P k+ ++ >1 , k ³ 0 .
Ñîîòíîøåíèÿ (14), (18) ñ ó÷åòîì V < 0 äàþò íåðàâåíñòâî
$ ( ) $ ( ) ,P k P k k+ ++ £ ³1
3
2
0 . (23)
Ïî èíäóêöèè èç (23) ïîëó÷àåì ðàâíîìåðíóþ îöåíêó
$ ( ) .P k+ -+ £1
3
2
r
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïðåäåëû (20), äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî óðàâíåíèå
(21), îòêóäà ñëåäóåò (11):
P P+ -= =* *,1 0 .
 ñëó÷àå Ì 2 -, ò.å. 0 0< <+ +P ( ) r , â ñèëó (22) âîçíèêàåò äâîéñòâåííàÿ çàäà-
÷à äëÿ P- ( )0 : èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
r r- - - +< < < <P P( ) , $ ( ) .0 1 0 0ò.å.
Ïðèâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ìîäåëè Ì 2 + ñïðàâåäëèâû òàêæå äëÿ
$ ( )P- 0 . Ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì ïðåäåëüíûå çíà÷åííÿ (12):
P P- += =* *, ,1 0
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 äëÿ ìîäåëè Ì 2.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4 167
· Ìîäåëü Ì 3. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé Ì 3+Ï , ò.å. V > 0, r + ³ 1. Èìååò
ìåñòî îöåíêà
- < < < ³+ + -r r$ ( ) , .P k k0 0 (24)
Ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
$ ( ) $ ( )P k P k+ ++ >1 , k ³ 0,
âûòåêàåò èç áàçîâîãî óðàâíåíèÿ (14), a òàêæå íåðàâåíñòâà äëÿ ôëóêòóàöèé (24).
Îãðàíè÷åííîñòü ñâåðõó
$ ( )P k+ -+ £1
3
2
r
ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâ (23) è (24). Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóþò ïðåäåëû (20) è
èìååò ìåñòî ïðåäåëüíîå óðàâíåíèå (21).
Îòìåòèì, ÷òî $ *
P+ ¹ 0, ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî îòðèöàòåëüíûì â ñèëó (24).
Òàêæå P+ ¹* 0, òàê êàê P k P k+ ++ > >( ) ( )1 0. Cëåäîâàòåëüíî, P- =* 0, ò.å.
lim k P k®¥ + =( ) 1, ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî (13) äëÿ Ì 3 + Ï .
 ñëó÷àå Ì 3 -Î, ò.å. V < 0, r + ³ 1, âîçíèêàåò äâîéñòâåííàÿ çàäà÷à (ñì. 22):
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
- £ £- - +r r$ ( ) .P k
Òàêèì îáðàçîì, îñòàþòñÿ â ñèëå âñå ïðèâåäåííûå âûøå ðàññóæäåíèÿ äëÿ âå-
ðîÿòíîñòåé îòðèöàòåëüíîé àëüòåðíàòèâû, îòêóäà ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ
P P- += =* *, ,1 0
÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî (13) òåîðåìû 1 äëÿ ìîäåëè Ì 3 -Î.
Àíàëîãè÷íî òåîðåìà 1 äîêàçûâàåòñÿ â ñëó÷àå Ì 3 +Î è â äâîéñòâåííîì ñëó-
÷àå Ì3 - Ï.
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ê î ð î ë þ ê Ä .  . Á³íàðí³ ñòàòèñòè÷í³ åêñïåðèìåíòè ç íàïîëåãëèâîþ íåë³í³éíîþ ðåãðåñ³ºþ // Òåîð³ÿ
éìîâ³ðíîñòåé òà ìàò. ñòàòèñòèêè. — 2014. — ¹ 91. — Ñ. 64–73.
2. H o p p e n s t e a d t F . Mathematical methods of population biology. — Cambridge: Cambridge Univ. Press,
1982. — 149 p.
3. E t h i e r S . N . , K u r t z T . G . Markov processes: Characterization and convergence. — New York:
Wiley, 1986. — 534 p.
4. Ñ â è ð å æ å â Þ . Ì . , Ï à ñ å ê î â  . Ï . Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé ãåíåòèêè. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 511 ñ.
5. S k o r o k h o d A . V . , H o p p e n s t e a d t F . , S a l e h i H . Random perturbation methods with
applications in science and engineering. — New York: Springer–Verlag, 2000. — 488 p.
6. B u s h R . a n d M o s t e l l e r F . A stochastic model with applications to learning // The Annals of
Mathematical Statistics. — 1953. — 24, N 4. — P. 559–585.
7. À ì î ñ î â Í . Ì . Àëãîðèòìû ðàçóìà. — Ê.: Íàóê. äóìêa, 1979. — 224 ñ.
Ïîñòóïèëà 25.07.2014
168 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 4
|