Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью

Исследована устойчивость самонастраивающихся стохастических систем автоматического регулирования с последействием. Проведен синтез контура самонастройки с помощью второго метода Ляпунова и доказана экспоненциальная p-устойчивость в целом стохастических дифференциальных уравнений с последействием....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Юрченко, И.В., Ясинский, В.К.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124931
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью / И.В. Юрченко, В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 92-106. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124931
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1249312017-10-13T03:03:25Z Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью Юрченко, И.В. Ясинский, В.К. Системный анализ Исследована устойчивость самонастраивающихся стохастических систем автоматического регулирования с последействием. Проведен синтез контура самонастройки с помощью второго метода Ляпунова и доказана экспоненциальная p-устойчивость в целом стохастических дифференциальных уравнений с последействием. Досліджено стійкість самоналагоджуваних стохастичних систем з післядією. Проведено синтез контура самоналагодження за допомогою другого методу Ляпунова та доведено експоненційну p-стійкість у цілому стохастичних диференціальних рівнянь з післядією. The stability of self-adaptive stochastic automatic control systems with aftereffect is analyzed. The self-adaptive contour is synthesized using Lyapunov’s second method and the exponential p-stability in the whole is proved for stochastic differential equations with aftereffect. 2015 Article Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью / И.В. Юрченко, В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 92-106. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124931 519.217:519.718:519.837 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Юрченко, И.В. Ясинский, В.К. Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью Кибернетика и системный анализ
description	Исследована устойчивость самонастраивающихся стохастических систем автоматического регулирования с последействием. Проведен синтез контура самонастройки с помощью второго метода Ляпунова и доказана экспоненциальная p-устойчивость в целом стохастических дифференциальных уравнений с последействием.
format	Article
author	Юрченко, И.В. Ясинский, В.К.
author_facet	Юрченко, И.В. Ясинский, В.К.
author_sort	Юрченко, И.В.
title	Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью
title_short	Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью
title_full	Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью
title_fullStr	Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью
title_full_unstemmed	Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью
title_sort	проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124931
citation_txt	Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью / И.В. Юрченко, В.К. Ясинский // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 92-106. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT ûrčenkoiv problemaustojčivostisamonastraivaûŝihsâstohastičeskihdinamičeskihsistemskonečnymposledejstviemisétalonnojmodelʹû AT âsinskijvk problemaustojčivostisamonastraivaûŝihsâstohastičeskihdinamičeskihsistemskonečnymposledejstviemisétalonnojmodelʹû
first_indexed	2025-07-09T02:16:54Z
last_indexed	2025-07-09T02:16:54Z
_version_	1837133900246155264
fulltext	ÓÄÊ 519.217:519.718:519.837 È.Â. ÞÐ×ÅÍÊÎ, Â.Ê. ßÑÈÍÑÊÈÉ ÏÐÎÁËÅÌÀ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÑÀÌÎÍÀÑÒÐÀÈÂÀÞÙÈÕÑß ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÊÎÍÅ×ÍÛÌ ÏÎÑËÅÄÅÉÑÒÂÈÅÌ È Ñ ÝÒÀËÎÍÍÎÉ ÌÎÄÅËÜÞ Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü ñàìîíàñòðàèâàþùèõñÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì àâ- òîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ ñ ïîñëåäåéñòâèåì. Ïðîâåäåí ñèíòåç êîíòóðà ñàìîíàñòðîéêè ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà è äîêàçàíà ýêñïîíåíöèàëüíàÿ p-óñòîé÷èâîñòü â öå- ëîì ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñëåäåéñòâèåì. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòîõàñòè÷åñêèå ñàìîíàñòðàèâàþùèåñÿ ñèñòåìû, àâòîìàòè÷åñêîå ðåãó- ëèðîâàíèå, ïîñëåäåéñòâèå, óñòîé÷èâîñòü. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ìíîæåñòâî èññëåäîâàíèé â îáëàñòè òåõíè÷åñêîé êèáåðíåòèêè ñâÿçàíî ñ ïðî- áëåìîé ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ (ÑÀÐ) äëÿ îáúåê- òîâ ñ çàïàçäûâàíèåì, êîòîðûå ðàçäåëÿþò íà îäíîêîíòóðíûå è äâóõêîíòóðíûå. Äèíàìèêà çàìêíóòîé ÑÀÐ äëÿ îáúåêòîâ ñ çàïàçäûâàíèåì îïèñûâàåòñÿ êàê óðàâíåíèÿìè çàïàçäûâàþùåãî, òàê è íåéòðàëüíîãî òèïà. Çíàÿ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ è èñïîëüçóÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ìîæíî ïîñòðîèòü òî÷íûå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîöåññîâ â çàìêíóòûõ ÑÀÐ. Âîïðîñó óñòîé÷èâîñòè ÑÀÐ äëÿ îáúåêòîâ ñ çàïàçäûâàíèåì ïîñâÿùåíî ìíîãî ðàáîò (íà- ïðèìåð, [1] è ññûëêè ê íåé). Èçó÷åíèå îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè ÑÀÐ ïîçâîëÿåò ðåøèòü ïðîáëåìó âûáîðà òèïà ðåãóëÿòîðà, èñõîäÿ èç òðåáîâàíèé ê çàìêíóòîé ÑÀÐ. Ëó÷øèõ ðåçóëüòàòîâ ïðè ïîñòðîåíèè ÑÀÐ ìîæíî äîáèòüñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè äâóõêîíòóðíûõ ñèñòåì [2, 3]. Èññëåäîâàòåëè ñòîëêíóëèñü ñ ïðîáëåìîé áîëüøèõ ðàçáðîñîâ ïàðàìåòðîâ îáúåêòà ïîñòðîåíèÿ óäîâëåòâîðèòåëüíûõ ÑÀÐ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè çíà÷èòåëü- íûõ êîëåáàíèÿõ ïàðàìåòðîâ îáúåêòà ïîñòðîåíèå «õîðîøèõ» ÑÀÐ âîçìîæíî ñ èñ- ïîëüçîâàíèåì ñàìîíàñòðàèâàþùèõñÿ ñèñòåì (ÑÍÑ) [2, 4, 5]. Ïîñëåäíÿÿ äëÿ îáúåê- òîâ ñ çàïàçäûâàíèåì ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíîé è íåñòàöèîíàðíîé, ïîýòîìó åå àíàëèç â ðàìêàõ òåîðèè ëèíåéíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì êà÷åñòâåííî ïðîâåñòè íåâîçìîæíî. Â [1] ÑÍÑ ïðîàíàëèçèðîâàíû ñ ïðèìåíåíèåì âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà. Ðàçâèòèå òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ, äèôôåðåíöèàëüíî-ðàç- íîñòíûõ, ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé [6–14] ïîçâîëÿåò ðàñ- ñìàòðèâàòü ñòîõàñòè÷åñêèå ÑÍÑ (ÑÑÍÑ), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ áîëåå òî÷íûìè ìà- òåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè èçâåñòíûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ ÑÍÑ. Â ðàáîòå [15] èññëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü ñàìîíàñòðàèâàþùèõñÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ÑÀÐ ñ ïîñëåäåéñòâèåì äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì ñèñòåì ëèíåéíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé. Â äàííîé ñòàòüå èññëåäóåòñÿ óñòîé÷èâîñòü ñàìîíàñòðàèâàþùèõñÿ ñòîõàñòè- ÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ïîñëåäåéñòâèåì. ÏÐÎÁËÅÌÀ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÑÀÌÎÍÀÑÒÐÀÈÂÀÞÙÈÕÑß ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÊÎÍÅ×ÍÛÌ ÏÎÑËÅÄÅÉÑÒÂÈÅÌ È Ñ ÝÒÀËÎÍÍÎÉ ÌÎÄÅËÜÞ Íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )W F F P îïðåäåëåíî ñèëüíîå ðåøåíèå x t( ) º º Îx t( , )w R1 äèôôóçèîííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (ÑÄÐÓ) n-ãî ïîðÿäêà 92 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 Ó È.Â. Þð÷åíêî, Â.Ê. ßñèíñêèé, 2015 d x t dt a a a t d x t d n n kj j n k N kj kj j k( ) [ ( )] ( ) + + + - = - = åå 0 1 0 D D d t f t j = ( , )w (1) ñ íåñëó÷àéíûìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè d x t dt t j j t j( ) ( ) [ , ] ( ) Î - = D 0 0j , j n= -0 1, . (2) Çäåñü f t b d x t dt dw t dt kjl j n k N l L j k j l( , ) ( ) ( ) w º - × = - == ååå 0 1 00 D , (3) akj ÎR1, bkjl — êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ âèíåðîâñêèõ ïðîöåññîâ { }w tl ( ) Í R1; D akj ÎR1 — ïîñòîÿííûå, ïîêà íå îïðåäåëåííûå, äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà âàðèàöèè { }a t k N j nkj ( ), , ; ,= = - Í0 0 1 1R âûðàáàòûâà- þòñÿ êîíòóðîì ñàìîíàñòðîéêè. Ýòàëîííàÿ ìîäåëü îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìàìè äèôôóçèîííûõ ÑÄÐÓ n-ãî ïîðÿäêà d y t dt a d y t dt f t n n kj j n k N j k j ( ) ( ) ( , )+ - = = - = åå 0 1 0 D w . (4) Çäåñü { }y t y t R( ) ( , )º Íw 1 — ìîäåëü, êîòîðóþ ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê ñèëüíîå ðåøåíèå ëèíåéíîé ñèñòåìû ÑÄÐÓ (4) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè d y t dt y t j n j j t j( ) \| ( ), ,[ , ] ( )- = = -Î - D D 0 0 0 1 , (5) f t( , )w ÎR1 — óïðàâëÿþùåå ñëó÷àéíîå âîçäåéñòâèå (3), êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ âõîäíûì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì. Çàìå÷àíèå 1. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû òåîðåìû 1.3 ðàáîòû [15], îïðåäåëÿåì êîýôôèöèåíòû { }akj , { }bkj äëÿ ñèñòåìû (4), (5), ïðè êîòîðûõ ðåøåíèå åå ýòàëîí- íîé ñèñòåìû äëÿ îñíîâíîé (1), (2) áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî â l.i.m. Àëãîðèòì I ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Øàã 1. Îïðåäåëÿåì ìåòîäîì D-ðàçáèåíèÿ [1] îáëàñòè ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ { }akj , k N= 0, , j n= -0 1, , ýòàëîííîé ñèñ- òåìû (4), ò.å. íàõîäèì òàêèå { }akj , ïðè êîòîðûõ ðåøåíèå y t( ) ÎR1 îáûêíîâåííîãî ÄÐÓ èìååò ýêñïîíåíöèàëüíûé ðîñò ñ îòðèöàòåëüíûìè ïîêàçàòåëÿìè e ct- , c > 0. Øàã 2. Íàõîäèì \| ( )\|V -1 2l , ãäå \| \|l 2 2 2= +x y ; l = +x iy, x y, ÎR1. Øàã 3. Íàõîäèì b is ekj j N k n sk = - = - -åå 0 1 0 1 2 ( ) D — êâàäðàò ìîäóëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñ- ëà (\| \| , )l l2 2 2= + = +x y x iy . Øàã 4. Ïðîâåðÿåì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ [15] 1 0 1 0 1 2 0 1 2 p b is e V is dkjl j N k n sk = - = - - ¥ -ååò ½ ½ ½ ½ ½ ½( ) \| ( )\|D s l L é ë ê ê ê ù û ú ú ú < = å 0 1 , èç êîòîðîãî íàõîäèì òàêèå { }bkjl , ïðè êîòîðûõ ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî íåðàâå- íñòâà ìåíüøå 1. Äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ ïðèíèìàåòñÿ s l =1 , l L= 0, , ò.å. â ýòàëîííîé ñèñòå- ìå ëèíåéíûõ ÄÐÓ èñïîëüçóþòñÿ âèíåðîâñêèå ïðîöåññû. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 93 Çàìå÷àíèå 2. Îáû÷íî øàãè 1–4 óïðîùàþòñÿ â ðåàëüíûõ ìîäåëüíûõ çàäà- ÷àõ, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (4) îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïåðâîé è âòî- ðîé ïðîèçâîäíîé (ñêîðîñòü è óñêîðåíèå) ïðè íåñêîëüêèõ çàïàçäûâàíèÿõ Ñàìîíàñòðàèâàþùèåñÿ ñòîõàñòè÷åñêèå äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû ñ ýòàëîííîé ìîäåëüþ (ÑÑÄÑÝÌ) ïðåäíàçíà÷åíû äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîãî êîíòóðà ñàìîíà- ñòðîéêè, ò.å. îïðåäåëåíèÿ òàêîãî àëãîðèòìà èçìåíåíèÿ { }dakj , ïðè êîòîðîì lim ( ) ( ) t M x t y t ®+¥ - ={ }2 2 0. Äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ çàïèøåì äèôôóçèîííîå ëèíåéíîå ÑÄÐÓ (1), êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ðåàëüíîãî îáúåêòà, è ýòàëîííóþ ñèñ- òåìó ÑÄÐÓ (4) â ìàòðè÷íîì âèäå dx t dt A x t A A t x tk k N k k N k k k r r r( ) ( ) ( ( , ( )= - - + + - = = å å 0 0 D D Dd , ( ))) ( ) r r y t x t k é ë ê ù û ú - +D + - == åå x t B dw t dtk N l L k kl lT 00 ( ) ( ) D r (6) ñ íà÷àëüíûìè íåñëó÷àéíûìè óñëîâèÿìè r Kx t n( , ) ( , , , )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 0 1w j j jº - T ; (7) dy t dt A y t y t B dw k k N k k N l L k kl r r r ( ) ( ) ( )= - - + - = == å åå 0 00 D DT l t dt ( ) (8) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè r Ky t y y yn( , ) ( , , , ),0 0 10 1 0w = - T . (9) Çäåñü r r x t x t R n( ) ( , )º Îw , r r y t y t R n( ) ( , )º Îw — âåêòîðû ôàçîâûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû (6) è ýòàëîííîé ìîäåëè (8); A ak ij k= { }( ) , i j n, ,=1 , — âåùåñòâåííûå ãóðâèöåâû ïîñòîÿííûå ìàòðèöû; B bkl ij klº { }( ) — âåùåñòâåííûå ìàòðèöû ñ êî- ýôôèöèåíòàìè äèôôóçèè íåçàâèñèìûõ âèíåðîâñêèõ ïðîöåññîâ; A a a a a a k k k k k n k n º - - - - - - - é ë - 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 1 L L L L L L L L L , , ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ; (10) B b b b b b kl kl kl kl kl n kl n º é ë ê - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 1 L L L L L L L L L , , ê ê ê ù û ú ú ú ú ; (11) dw t dt dw t dt dw t dt dw t dt l l l l r r r r ( ) ( , ) ( , ) , ( , ) , , ,º = w w w1 2 K r r , ( , ) , ( , ), ,dw t dt dw t dt l n l n-æ è ç ç ö ø ÷ ÷ 1 w w T . 94 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 Ñëó÷àéíûé âåêòîð óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé èìååò âèä r r f t B dw t dt kl k N l L l( , ) ( ) w º == åå 00 ; r Kx t x t x t dx t dt x t d x t dt n n n ( ) ( ), ( ) ( ) , , ( ) ( )( ) º º º- - -1 1 1 1 æ è ç ç ö ø ÷ ÷ T . Îáîçíà÷èì DAk âåùåñòâåííûå ïîñòîÿííûå ìàòðèöû ñ ïîêà íå èçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò îáúåêòà óïðàâëåíèÿ; dA t x yk ( , , ) r r — ìàòðèöû ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå èçìåíÿþò êîíòóðû ñàìîíàñòðîéêè [1]: D D D A a a k k kn º - - é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 0 0 0 0 1 L L L L L L ; d d d A t x y a t x y a t x y k k kn ( , , ) ( , , ) ( , , r r L L L L L r r L r r º - - 0 0 0 0 1 ) é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú . (12) Âû÷èòàÿ èç ÑÄÐÓ (6), (7) ñòîõàñòè÷åñêîå ýòàëîííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíå- íèå (8), (9), äëÿ âåêòîðà ïîêîîðäèíàòíîãî ðàññîãëàñîâàíèÿ r r r e( ) ( ) ( )t x t y tº - ïîëó÷à- åì ÑÄÐÓ d t dt A t A A t x y x tk k N k N k k r r r r re e d ( ) ( ) [ ( , , )] (= + + - = = å å 0 0 D D k ) (13) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì r r e e( )t0 0= . Äàëåå çàïèøåì ÑÄÐÓ (13) â óäîáíîé ñòàíäàðòíîé ôîðìå d dt A t D t t x yk k N k N k r r r r re e a= + = = å å 0 0 ( ) ( ) ( , , ) (14) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì r r e e( )t0 0= . Â (14) ìàòðèöà D t( ) èìååò âèä (ñì. (12)) D t x y x yn n ( ) º - - é ë ê ê ê ê ù û ú ú ú ú 0 0 0 0 1 1 L L L L L L , r r r r r K r r a d dk k k n nt x y a t x y a t x y( , , ) ( ( , , ), , ( , ,º + +D D1 1 1 1 ))T . Çàìå÷àíèå 3. Ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ 1 ëèíåéíàÿ ñèñòåìà ÑÄÐÓ (8) êàê ýòàëîí- íàÿ ìîäåëü äîëæíà áûòü ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâîé â l.i.m. Ìîæíî ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè â l.i.m. ýòàëîííîé ìîäåëè (8) ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî [6–11, 15]. Îïðåäåëåíèå 1. Òðèâèàëüíîå ðåøåíèå r r y t( ) º 0 çàäà÷è (8), (9) íàçîâåì àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì â l.i.m., åñëè " >e 0 ñóùåñòâóåò d e( ) > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ \| \| r y0 < d ñëåäóåò \| \| r y < e è lim \| ( )\| t E y t ®¥ ={ } r 2 0. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 95 Òåîðåìà 1. Ðåøåíèå r r y t t y( , , )0 0 0º çàäà÷è (8), (9) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî â l.i.m. ïðè ëþáûõ ïîñòîÿííûõ çàïàçäûâàíèÿõ 0 1< < <D DK N òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: — ìàòðèöà A0 ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâà ñ êàêèì-ëèáî ïîêàçàòåëåì ýêñïî- íåíòû b > 0; — ìàòðèöà Ak k N = å 0 ÿâëÿåòñÿ ãóðâèöåâîé; — ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîå ðåøåíèå H ìàòðè÷íîãî óðàâíå- íèÿ Ñèëüâåñòðà A H HA H I k N 0 0 0 0 T + + = - = å g , (15) ãäå I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, g k > 0, k N=1, , — ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî 0 2 1 < < = å g bk k N (16) (ïðè÷åì g bk k N = å = 1 2 ); — èìååò ìåñòî ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (ñì. (10), (11)) - - + = = å å I HA HA A H H B HB B HB A N l l L l l l L l 0 1 0 0 0 0 0 0 0 L L L L L L T T Tg N Nl l L l N Nl l L NlH B HB H B HBT T T = = å å- + é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú 0 0 0 L g ú £ + +0 1 1( )( ) .N L (17) Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäóåò ïðîâåñòè ïî ñõåìå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 4.17 èç [5]. Îïðåäåëÿåì ñòîõàñòè÷åñêèé ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî â âèäå v y t y t Hy t y Hy dk k N t t k ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )+ = + = - å òq g q q qT T 0 D , (18) ãäå íåèçâåñòíóþ ìàòðèöó H n n³ ´0 è êîýôôèöèåíòû g k , i N= 0, , èç (15)–(17) îïðåäåëèì äàëåå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Èòî [6], âû÷èñëÿåì ñòîõàñòè÷åñêèé äèôôåðåíöèàë dv ôóíêöèîíàëà (18): dv y t d y t Hy t y t Hdy t( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )+ = + +q T T + - - é ë ê ê ù == == åå åå[ ( )] ( )B y t H B y tkl l L k N k kl l L k N k 00 00 D DT û ú ú +dt + - - - é ë ê ê = = å åg gk k N k k m k ky t Hx t y t Hy t 0 0 ( ( )) ( ) ( ( )) ( )T TD D ù û ú ú =dt = - + - é ë ê ê ù û ú ú= == å åå( ( )) ( )A y t dt B y tk k N k kl k N l L k 0 00 D DT T dw t Hy tl ( ) ( ) ì í ï îï ü ý ï þï + 96 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 + - + - é ë ê ê = == å åå( ( )) ( ) ( )y t H A y t dt B y tk k N k kl k N l L k T 0 00 D D ù û ú ú ì í ï îï ü ý ï þï +dwl + - é ë ê ê ù û ú ú - == == åå ååB y t H B y tkl k N l L k kl k N l L 00 00 T T T( ) (D D k dt) é ë ê ê ù û ú ú + + - - - é ë ê ê = = å åg gk k N k k N k ky t Hy t y t Hy t 0 0 ( ( )) ( ) ( ( )) ( )T TD D ù û ú ú dt. (19) Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà dv (19), âû÷èñëÿåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò ïîëíîé ïðîèçâîäíîé: E dv dt A y t Hy t Hyk k N k ( ) ( ) ( ) 8 0 ì í ï îï ü ý ï þï = - é ë ê ê ù û ú ú + = å D T ( ) ( ( )) ( )t y t H A y tk k N k+ - + = åT 0 D + - - - + = = å åg gk k N k k N k ky t Hy t y t Hy t 0 0 ( ( )) ( ) ( ( )) ( )T TD D + - é ë ê ê ù û ú ú - == == åå ååB y t H B y tkl k N l L k kl k N l L k 00 00 ( ) (D D T ). (20) Ïðàâóþ ÷àñòü ñîîòíîøåíèÿ (20) ðàññìàòðèâàåì êàê íåêîòîðóþ êâàäðàòè÷- íóþ ôîðìó îò y t( ) è y t k( )- D , k N= 0, . Òîãäà (20) ïåðåïèøåòñÿ â ñëåäóþùåé ìàòðè÷íîé ôîðìå: E dv dt y t y t y t y t N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 0 1 ì í ï îï ü ý ï þï = - - - é ë ê ê ê D D D Lê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú ´ T ´ + + - = = å å A H HA H HA HA A H H B HB B k k N N j j L j j 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 T T T g g L L T T T T T j L Nj j j L j j j L Nj N HB A H B HB B HB A H = = = å å å- 0 1 1 0 0 1 0 L L L L L - - é ë ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ù û ú ú = = å åB HB H B HB Nj j L j N Nj j L Nj T T 0 0 0 L g ú ú ú ú ú ú ú ú ú ú ´ ´ - - - é ë ê ê ê ê ê ê ù û ú ú ú ú ú ú y t y t y t y t N ( ) ( ) ( ) ( ) D D D 0 1 L . (21) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 97 Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå E dv dt ( )8 0 ì í ï îï ü ý ï þï < ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà êâàäðà- òè÷íàÿ ôîðìà, ñòîÿùàÿ ñïðàâà â (21), íà ðåøåíèÿõ y t( ) îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåí- íàÿ, à ïî ñîâîêóïíîñòè y t( ) è y t l( )- D îñòàåòñÿ íåïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé. Òåîðåìà äîêàçàíà. + ÑÈÍÒÅÇ ÊÎÍÒÓÐÀ ÑÀÌÎÍÀÑÒÐÎÉÊÈ ÂÒÎÐÛÌ ÌÅÒÎÄÎÌ ËßÏÓÍÎÂÀ Â ñèíòåçå êîíòóðà ñàìîíàñòðîéêè îñîáîå çíà÷åíèå èìååò âòîðîé ìåòîä Ëÿïó- íîâà äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîãî ñëó÷àÿ [1–4]. Èçëîæèì ñóòü ñèíòåçà ÑÑÍÑ ñ ýòàëîííîé ìîäåëüþ (ÑÑÍÑÝÌ) ñ èñïîëüçî- âàíèåì ñòîõàñòè÷åñêèõ ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî [5–15]. Âíà÷àëå âûáåðåì íåêîòîðûé êâàäðàòè÷íûé ôóíêöèîíàë v t H t H tk k N k ( , , ) ( ) ( ) r r r r r r e a e e a a g e q e q= + + + + = - å òT T T 0 0 D dq (22) äëÿ ëèíåéíîé ÑÑÍÑÝÌ (1) è ýòàëîííîé ìîäåëè (4), à òàêæå H — êàê ðåøå- íèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (15). (Ñîãëàñíî [16] òàêîå H âñåãäà ìîæíî íàéòè.) Çàòåì óðàâíåíèå êîíòóðà ñàìîíàñòðîéêè [1] d t dt t t x y r r r re q a ( ) ( , ( ), , )= , (23) ãäå q a e d( , , , ) ( ) [ ( , , )] ( )t x y A t A A t x y x t r r r r r r r º + +D , (24) r e e( )t0 0= , (25) âûáèðàåì òàêèì, ÷òîáû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò ïîëíîé ïðîèçâîäíîé â ñèëó ñèñòåìû (23) ñòàíîâèëîñü îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûì ñîãëàñíî òåîðå- ìå 1, ò.å. E dv dt ( )23 0 ì í ï îï ü ý ï þï < . Ýòîãî ìîæíî äîñòè÷ü ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (17) òåîðåìû 1. Êàê ïðàâèëî, ïðè ðåàëèçàöèè ñèíòåçà êîíòóðà ñàìîíàñòðîéêè âìåñòî óðàâíå- íèÿ (23) èñïîëüçóþò äëÿ êîíòóðà àäàïòàöèè [1] óðàâíåíèå d dt D t H t r ra e= - T ( ) ( ) (26) èëè áîëåå îáùèé àëãîðèòì àäàïòàöèè d t dt D t H t x y t r r r ra e ( ) ( ) ( , , ) ( )= - T (27) ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ r r Ka aT T T( ) ( , , )t a an0 0 1= º D D . (28) Ïðè ýòîì ìåòîä ñèíòåçà êîíòóðà ñàìîíàñòðîéêè èìååò ïðåèìóùåñòâî â àâòî- ìàòè÷åñêîì îáåñïå÷åíèè óñòîé÷èâîñòè ñèíòåçèðîâàííîé ÑÑÍÑÝÌ. Çàìåòèì, ÷òî àëãîðèòì (27), (28) âêëþ÷àåò áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ àëãîðèò- ìîâ àäàïòàöèè [1]. Áîëåå òîãî, ýòîò àëãîðèòì ðàáîòàåò è äëÿ ñëó÷àÿ ñòîõàñòè÷åñ- êîé (ñëó÷àéíîé) ïðàâîé ÷àñòè (22), (23)–(25). Åñëè ìåòîäàìè ñòàòèñòè÷åñêîãî 98 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 ìîäåëèðîâàíèÿ ìîæíî «èçìåðèòü» âåêòîðû r x t( ), r y t( ) è r e( )t [11], òî â ïðèíöèïå àëãîðèòì (26)–(28) ìîæíî ðåàëèçîâàòü. Ïðè ýòîì èç ìåòîäèêè ñèíòåçà ñëåäóåò, ÷òî ÑÑÄÑÝÌ (14), (27) áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà â l.i.m. ïî r e( )t è r a( )t . Äàëåå ïðèâåäåí, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ìàòðèöó H èìååò ìåñ- òî òàêæå àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü â l.i.m. â öåëîì ïî ôàçîâîé îøèáêå r e( )t . Ýòîãî íå ñëåäóåò èç ìåòîäà ñèíòåçà è äîëæíî áûòü óñòàíîâëåíî îòäåëüíî. Çàìå÷àíèå 4. Îòìåòèì, ÷òî ñòðóêòóðà êîíòóðà çàâèñèò îò âèäà âûáðàííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî ôóíêöèîíàëà Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî. Ïðè íåóäà÷íîì âûáîðå ôóíêöèîíàëà v ïîëó÷åííûé êîíòóð èìååò ñâîéñòâî óñòîé÷èâîñòè ïî ïàðàìåòðè- ÷åñêîé è ôàçîâîé îøèáêàì r a è r e, íî íå èìååò äðóãèõ âàæíûõ ñâîéñòâ [1]. Èçëîæèì àëãîðèòì ñèíòåçà êîíòóðà ñàìîíàñòðîéêè ñèñòåìû (1) è ýòàëîííîé ìîäåëè (4) (èëè ýêâèâàëåíòíîé ìîäåëè â ìàòðè÷íîé ôîðìå (8)). Àëãîðèòì II Øàã 1. Ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà I íàõîäèì íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëî- âèÿ â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ (4), ò.å. { }akj è { }bkjl , ïðè êîòîðûõ ðåøåíèå ÑÄÐÓ (4) ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâî â l.i.m. Ïðè ýòîì ñëåäóåò îñóùåñòâèòü øàãè 1–4 àëãîðèòìà I. Çàìåòèì, ÷òî âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà øàãà 4 çà- âèñèò îò êîíñòðóêöèè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (1) è îò ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè ýòîãî èíòåãðàëà. Øàã 2. Íàõîäèì ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííóþ ìàòðèöó H n n> ´0 êàê ðåøå- íèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ Ñèëüâåñòðà A H HA H Ik k N 0 0 0 T + + = - = å g . (Èçâåñòíî [16], ÷òî òàêàÿ ìàòðèöà H n n> ´0 ñóùåñòâóåò.) Øàã 3. Âûïîëíÿåì ìàòðè÷íîå íåðàâåíñòâî (17) äëÿ ñèñòåìû (23), åñëè îíî íå âûïîëíåíî, òî íåîáõîäèìî ïåðåéòè ê øàãó 1, ìèíóÿ øàã 2, è âûïîëíèòü øàã 3 äàííîãî àëãîðèòìà. Çàìåòèì, ÷òî øàã 3 ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî E dv dt \| ( )14 0ì í î ü ý þ < . Â òåîðåìå 1 èñïîëüçîâàí ôóíêöèîíàë âèäà (18). Çàìå÷àíèå 4. Åñëè ìåòîäàìè ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ óäàñòñÿ èçìå- ðèòü âåêòîðû r r r x t y t t( ), ( ), ( )e , òî àëãîðèòì II ìîæíî ðåàëèçîâàòü íà êîìïüþòåðå. Ïðè ýòîì èç ñïîñîáà ñèíòåçà ñëåäóåò ñîãëàñíî òåîðåìå 1, ÷òî ÑÑÍÑÝÌ áóäåò óñòîé÷èâà â l.i.m. ïî r e( )t è r a( )t , íî íå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà â l.i.m. â öåëîì ïî ôàçîâîé îøèáêå r e( )t . Ýòîãî íå ñëåäóåò èç ìåòîäà ñèíòåçà è äîêàçàíî â ñëåäó- þùåì ðàçäåëå. ÝÊÑÏÎÍÅÍÖÈÀËÜÍÀß p-ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ Â ÖÅËÎÌ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Ñ ÏÎÑËÅÄÅÉÑÒÂÈÅÌ (Ñ Ó×ÅÒÎÌ ÑÎÑÐÅÄÎÒÎ×ÅÍÍÛÕ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÉ) Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì áàçèñå ( , , , )W F F P F F ttº ³{ }, 0 çàäàíî ñèëüíîå ðåøå- íèå y t y t m( ) ( , ) :[ , )º ¥ ´ ®w 0 W R ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå- íèé ñ ïîñëåäåéñòâèåì (ÑÄÓñÏ) dy t A t y dt B t y dw tt t( ) ( , ) ( , ) ( )= + (29) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè y t t t( ) ( ), [ , ],= Î - >j t t0 0, (30) ãäå y y t Ct mº + - £ £ - ®{ }( ), : ([ , ])q t q t0 0 R ; A C m m:[ , ) ([ , ), )0 0¥ ´ - ®t R R ; B C Mm m m:[ , ) ([ , ], ) ( )0 0¥ ´ - ®t R R — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà m m´ ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 99 w t w t w tm( ) ( ( , ), , ( , ))º 1 w wK T — âåêòîð-ñòîëáåö íîðìàëüíûõ ïðîöåññîâ áðîó- íîâñêîãî äâèæåíèÿ. Çäåñü A B, — íåïðåðûâíûå ïîýëåìåíòíî ìàòðèöû è äëÿ íèõ âûïîëíåíû ãëîáàëüíûå óñëîâèÿ Ëèïøèöà. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ A t B t( , ) , ( , )0 0 0 0º º , (31) ò.å. ñóùåñòâóåò òðèâèàëüíîå ðåøåíèå y t( ) º 0 çàäà÷è (29), (30). Îïðåäåëåíèå 2. Ðåøåíèå y t( ) º 0 íàçîâåì ýêñïîíåíöèàëüíî p-óñòîé÷èâûì ( )p > 0 , åñëè ñóùåñòâóþò òàêèå êîíñòàíòû B p > 0 è l p > 0, ÷òî " ³ ³t s 0, j dÎS p è íåêîòîðîãî d p > 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî E y t s B ep p t s pp{ }\| ( , , )\| \| \| \| \| ( ) j j l £ - - , ãäå S C p pd j t j dº Î - <{ }([ , ])\| \| \| \| \|0 , \| \| \| \| \| ( )\|j j t º - £ £ sup t t 0 . Ëåììà 1. Ïóñòü A B, íåïðåðûâíû ïî ñîâîêóïíîñòè àðãóìåíòîâ, âûïîëíåíû (31) è óñëîâèÿ Ëèïøèöà \| ( , ) ( , )\| \| \| ( , ) ( , )\| \|A t a t B t B tj y j y- + - £2 £ - - òL d\| ( ) ( )\| t j q y q q 0 2 " Î -j y t, ([ , ])C 0 . (32) Òîãäà " >p 0 è T > 0 ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà M L T p( , , ) > 0 òàêàÿ, ÷òî " Î +s R , " Ît T[ , ]0 è j tÎ -C ([ , ])0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî E x s M L T ps t p p{ }\| \| ( , )\| \| ( , , )\| \| \| \|+ £j j , (33) ãäå x t s( , , )j — ðåøåíèå çàäà÷è (29), (30) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x s s( , , )j j= . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîëó÷èòü (32) " =p m8 , m NÎ , ïîñêîëüêó ïðè m mÎ( , ]0 8 ïî íåðàâåíñòâó Ãåëüäåðà âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî E x ss t p{ }\| \| ( , )\| \|+ £j £ +( \| \| ( , )\| \| ) /E x ss t m p m{ }j 8 8 . Ñäåëàåì çàìåíó Èòî â ÑÄÓñÏ z t y t mm( ) \| ( )\| ,= Î4 N. Ïîñêîëüêó Ñ = -z m y m4 4 4\| \| ; Ñ = - ´ +- -2 4 4 416 1 4z m m y y y m y Im k m( )\| \| ( ) \| \| , ãäå I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, à y y´ — ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè y y yjk j k= , èìååì \| ( )\| \| \| [ \| ( )\| ( ( ), ( , ))y t m y m y A ym m t 4 4 0 4 4 4= + - +òj t t t t + - +-8 1 4 8 2( ) \| ( )\| \| \| ( , ) ( )\| \|m m y B y ymt t tt T + +-m y p b y b y dm\| ( )\| ( ( , ) ( , ))]t t t tt t 4 4 8 T +ò -4 0 4 4m y b y y dw t m\| ( )\| ( ( , ) ( ), ( ))t t t tt . Ñ ó÷åòîì äàííîãî ðàâåíñòâà, ñâîéñòâ ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà Èòî [6] è (32) ïîëó÷èì " Ît T[ , ]0 , " Îm N íåðàâåíñòâî E y L L E s t s m m t s sup } { sup - £ £ + - £ £ £ + ò t q t q q q j\| ( )\| \| \| \| \|8 1 8 2 0 1 1 8 1 + ì í ï îï ü ý ï þïs mx d\| ( )\|q q . 100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 1 äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü íåðàâåíñòâî Ãðîíóîëëà è ïîëó÷èòü íåðàâåíñòâî (33). + Òåîðåìà 2. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ ëåììû 1, òî " >p 0 òðèâèàëüíîå ðå- øåíèå ÑÄÓñÏ (29), (30) ýêñïîíåíöèàëüíî p-óñòîé÷èâî â öåëîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî v D LÎ +( ) òàêîé, ÷òî äëÿ k1 0> , k2 0> è k3 0> " Î +s R è " Î -j tC ([ , ])0 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà k v s kp p 1 2\| \| \| \| ( , ) \| \| \| \|j j j£ £ , (34) ( )( , ) \| \| \| \|L v s k p+ £ -j j3 , (35) ãäå L+ — ñëàáûé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð (àíàëîã ïðîèçâîäíîé äëÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ). Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü. Â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2 ÑÄÓñÏ ðåãóëÿð- íîå, ïîýòîìó P t t r r{ }w t: lim ( ) ®¥ = =1 " Î +t R è r > 0, ãäå tr — ïåðâûé ìîìåíò âû- õîäà ðåøåíèÿ y t s( , , )j èç S r . Ñ ó÷åòîì èçëîæåííîãî ðàíåå è (35) íåðàâåíñòâî Äûíêèíà äëÿ êàæäîãî t s³ ïðèìåò âèä E v t y s v s k E y s dt s t p{ } { }( , ( , )) ( , ) \| \| ( , )\| \|j j j qq£ - ò3 " Î +s R , " Î -j tC ([ , ]).0 (36) Ôîðìóëà (36) èìååò ñìûñë âñëåäñòâèå ñóùåñòâîâàíèÿ p-ìîìåíòîâ ïî ëåììå 1. Ïîýòîìó íà îñíîâàíèè (36) äëÿ t t s³ ³ ³1 0 ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî E v t y s E E v t y s Ft t t{ } { { }}( , ( , )) ( , ( , ))\|j j£ £ 1 £ - òE v t y s k E y s dt p t t { } { }( , ( , )) \| \| ( , )\| \|1 31 1 j j qq . Òîãäà " ³ ³t s 0 è j tÎ -C ([ , ])0 ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ îöåíèì ñëåäóþùèì îáðàçîì: d dt E v t y s k E y s k k E v t yt t p{ } { } {( , ( , )) \| \| ( , )\| \| ( ,j j£ - £ -3 3 2 t s( , ))j }. Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó E y s k E v t y s k v s et p t k k{ } { }\| \| ( , )\| \| ( , ( , )) ( , ) ( j j j£ £ 1 1 1 1 3 2 t s- £ ) £ £ - - - -k k e B ep k k t s p t s pp2 1 3 2\| \| \| \| \| \| \| \| ( ) ( ) j j l , ãäå B k k k k p pº º -2 1 3 2 ; l . Äîñòàòî÷íîñòü òåîðåìû 2 äîêàçàíà. + Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü y t s( , , )j º 0 ÑÄÓñÏ ýêñïîíåíöèàëüíî p-óñòîé÷èâî. Òîãäà äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå v s E y s t t s p 1 0 ( , ) \| \| ( , )\| \|j jº ³ +{sup }, (37) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 101 åñëè " >p 0, " Î -j tC ([ , ])0 è ïðè íåêîòîðîì k > 0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 0 1£ £v s k p( , ) \| \| \| \|j j . (38) Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 2 ýêñïîíåíöèàëüíîé p-óñòîé÷èâîñòè â öåëîì ñóùåñ- òâóþò òàêèå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû M p > 0 è g p > 0, ÷òî " ³ ³t s 0 è j tÎ -C ([ , ])0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî E y s M et s p p tp{ }\| \| ( , )\| \| \| \| \| \|+ - £j j g . Îáîçíà÷èì v s E y sm k m k s p 1 0 ( ) ( , ) \| \| ( , )\| \|j jtº £ £ +{ sup } (39) äëÿ m NÎ . Î÷åâèäíî, ÷òî ñîãëàñíî òåîðåìå î ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè ïîëó÷èì äëÿ (37)–(39) v s v s m m 1 1( , ) lim ( , )( )j j= ®¥ , åñëè ýòîò ïðåäåë êîíå÷åí. Âñëåäñòâèå ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }v mm 1 ( ) ( ),j ÎN äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü åå ðàâíîìåðíóþ ïî m îãðàíè÷åííîñòü. Äëÿ ýòîãî ââåäåì D k k kº -[(( ) , )1 t t , k Î Ú >N { }0 0, ]t . Îïðåäåëèì w-ìíîæåñòâî W km ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé W Wmm t m p m py t s s y sº Î + = - £ £ +{ }w j j t t t: max \| ( , , )\| \| \| ( , )\| \|1 ; W W D km t m p t x t s y t s s k º Î + = + - £ £ Î {w j j j t t : max \| ( , , )\| max \| ( , , )\| p jm j k m }Ç = + åW 1 , åñëè k m= 0, , m ÎN. Ïîíÿòíî, ÷òî " Îm N , W W= = km k m 1 U è W Wkm jmÇ = Æ äëÿ k j¹ . Èç ðàâåíñòâà max \| ( , , )\| \| \| ( , )\| \| t p k s p k t s s s Î ++ = D c j c jt ñëåäóåò v s y t s s dPm t mk m p km 1 0 ( ) ( , ) max \| ( , , )\|j j t t = + = - £ £= òå W = £ £òå å = + - = \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| \| Wkm p k m k s p p p k k m py dP M e k 0 0 t g t j j p " Îm N , " Î -j tC ([ , ])0 , ãäå k M e p p p º -1 g t . Îòñþäà ñëåäóåò (34). Äàëåå äîêàæåì, ÷òî v D L1 Î +( ). Âñëåäñòâèå åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è (29), (30) ñ òî÷íîñòüþ äî ñòîõàñòè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè " ³q 0 ìîæíî çàïè- ñàòü v s E X E X E t s t s p t s t s p 1 0 ( , ) \| \| \| \| \| \| \| \|j j q = ³ = ³ + ³ +{sup } {sup } {sup } t s t s s s pX X ³ + + + + 0 \| \| \| \| q q q j , ãäå X x t ss t º ( , , )j . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî E X E E X X t s t s p t s t s s{sup } { {sup ³ + + + ³ + + + += 0 0 \| \| \| \| \| \| q q q q qj s p sFj q\| \| \| + =}} = = = + ³ + + + + +E E X z z X E v s y t s t s p s s{ {sup }} { 0 1\| \| \| \| \| ( , q q q qj q s s( , ))j }. 102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 Ïîñêîëüêó sup t s t s pX ³ + + + 0 \| \| \| \| q q j ÿâëÿåòñÿ F dwsq+ ¥ ( )-èçìåðèìîé ñëó÷àéíîé âåëè- ÷èíîé è äëÿ j tÎ -C ([ , ])0 íå çàâèñèò îò F sq+ , òî " >q 0, s RÎ + , " Î -j tC ([ , ])0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 1 01 1 q q j jq[ ( , ( , )) ( , )]E v s y s v ss{ }+ - £+ , ò.å. v D L1 Î +( ) , ïðè ýòîì ( )( , )L v s+ £j 0. Ïî îïðåäåëåíèþ v s1 ( , )j ³ ³ =v s p 1 0( ) ( , ) \| \| \| \|j j . Äàëåå, èç ýêñïîíåíöèàëüíîé p-óñòîé÷èâîñòè â öåëîì ñëåäóåò íåðàâåíñòâî 0 2 0 £ º £ ¥ +òv s E y s dt M t s p p p p( , ) \| \| ( , )\| \| \| \| \| \|j j g j{ } . Òîãäà " ³q 0 ìîæíî çàïèñàòü E v s y s E x s y ss t s s{ ( , ( , ))} \| \| ( , ( , ))\|2 0 q j q jq q q+ = ++ ¥ + + +ò { \| p dt} = = £ ¥ +ò E y s dt v st s p 0 2{ }\| \| ( , )\| \| ( , )j j . Ïîýòîìó v D L D L2 Î Í +( ) ( ) , ïðè ýòîì ( )( , ) ( )( , ) \| \| \| \|L v s Lv s+ = = -2 2 2j j j . Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèîíàë v v v= +1 2 íàõîäèòñÿ â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ D L( )+ è " Î +s R âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà \| \| \| \| ( , ) ( )\| \| \| \|j j g jp p p p pv s k M £ £ + ; ( )( , ) \| \| \| \|L v s p+ ³ -j j . Òåîðåìà 2 äîêàçàíà. + ÑËÓ×ÀÉ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÄËß ÊÎÍÒÓÐÀ ÀÄÀÏÒÀÖÈÈ, ÇÀÂÈÑßÙÅÃÎ ÎÒ ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ Íà ïðàêòèêå èìåþòñÿ îáúåêòû, â êîòîðûõ ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ { }A k Nk , ,=1 â ÑÄÓ äëÿ âåêòîðà êîîðäèíàòíîãî ðàññîãëàñîâàíèÿ (14) çàâèñÿò îò êîíå÷íîãî ÷èñëà ïàðàìåòðîâ. Äëÿ òàêèõ îáúåêòîâ ñ ó÷åòîì ñëó÷àéíûõ âîç- ìóùåíèé êîíòóð ñàìîíàñòðîéêè ìîæíî ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ïî ñðàâíåíèþ ñ êîíòóðîì, îïèñàííûì ÑÄÓ (27), (28). Èçëîæèì ñóòü ýòîãî óïðîùåíèÿ. Ïóñòü îáúåêò îïèñûâàåòñÿ ÑÄÐÓ dx t A q x t A q x t dt z t f t r r r r r ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( , ),= + - + +0 1 D d w x R nÎ , (40) ãäå r f t( , )w îïðåäåëÿåòñÿ äèôôóçèîííûìè ñëó÷àéíûìè âîçìóùåíèÿìè (3). Ýòàëîííàÿ ìîäåëü îïèñûâàåòñÿ ÑÄÐÓ dy t A q y t A q y t dt f t r r r r ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( , )= + - +0 0 1 0 D w , (41) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 103 ãäå r f t n( , ):[ , )w 0 ¥ ´ ®W R ; y t y t n( ) ( , ) :[ , )º ¥ ´ ®w 0 W R . Çäåñü r Kq q qº ( , ,1 2 K , )qm mT ÎR — âåêòîð ïàðàìåòðîâ, îò êîòîðûõ çàâèñèò ìàòðèöà èññëåäóåìîãî îáúåêòà; A A0 1, — ãóðâèöåâû ìàòðèöû; d r z t( ) — âåêòîð êîíòóðà ñàìîíàñòðîéêè. Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ñòðóêòóðû è àëãîðèòìà èçìåíåíèÿ âåêòîðà d r z t( ) ñ ó÷åòîì (40), (41), ïðè êîòîðîì r r r r e e w( ) ( , ) ( ) ( )t t x t y tº º - ñòðåìèòñÿ ê íóëþ â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì. Âåêòîð ôàçîâîé îøèáêè r e( )t óäîâëåòâîðÿåò ÑÄÓ d t dt A q A q t A q A q r re e ( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )= + + - +0 0 1 0 0 0 0 + - +A q A q x t z t1 1 0( ) ( )] ( ) ( ) r r d . (42) Ðàçëîæèì A q A q0 1( ), ( ) r r â ðÿä â îêðåñòíîñòè r q 0 : A q A q q A q q o qj j i m i j i q q ( ) ( ) ( ) (\| \| ) r r r r r r r - = ¶ ¶ + = = å0 1 0 D D , (43) ãäå r r r q q q- º0 D ; D r q R mÎ ; j = 0 1, . Ðóêîâîäñòâóÿñü èçëîæåííûìè ðàíåå ïðàâèëàìè, ââîäèì â ðàññìîòðåíèå âåê- òîð d r z t( ): d d r r r r r z t q t B t B t A q q x t i m i i i j i q q ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) (= º ¶ ¶= = å 1 0 ) . (44) Çäåñü dq ti ( ) — ñêàëÿðíûå ôóíêöèè, àëãîðèòìû èõ èçìåíåíèÿ îïðåäåëèì äàëåå. Åñëè ó÷åñòü (43), (44) äëÿ ÑÄÓ (42), òî åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå d t dt A q t A q t r r r r re e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + +0 0 1 0 + + ¶ ¶ + ¶ ¶ - é ë ê ù û ú + = å ( ) ( ) ( ) (\| i m i i i i q q A q x t A q x t o 1 0 1D Dd r r D D r r r q x t x t\| )[ ( ) ( )]+ - . (45) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìàòðèöû A qj ( ) r ëèíåéíî çàâèñÿò îò r q. Òîãäà ïîñëåäíèõ ÷ëåíîâ â (45), î÷åâèäíî, íå áóäåò è (45) ïðèìåò âèä d t dt A q A q t t A q i i mr r r r r e e b ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) = + + ¶ ¶= å0 0 1 0 1 0 q x t A q q x t i i r r r ( ) ( ) ( ) ,+ ¶ ¶ - é ë ê ù û ú 1 D (46) ãäå b di i it q q t( ) ( )º +D . Äàëüíåéøèé ñèíòåç êîíòóðà ñàìîíàñòðîéêè ìîæíî ïðîâåñòè ìåòîäîì ôóíê- öèîíàëîâ Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî [1, 6–15]. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò âûáðàòü ñòîõàñòè- ÷åñêèé ôóíêöèîíàë âèäà v t H t x y t t Hi i m ( , , ) ( , , ) ( ) ( )e b e e b ge q= + + + = - å òT Tr r r r r 1 0 D e q q( )t d+ , (47) ãäå H n n> ´0 , H HT = . Íàéäåì ñëàáûé èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îò ïîëíîé ïðîèçâîäíîé) â ñèëó (46) Lv t A q A q H H A q A q( , ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))eb e= + + +T T T 0 0 1 0 0 0 1 0r r r r +é ëê ù ûú + dH dt r e + + + é ë ê ù û ú + = å b e e b i i m i i it B H HB d t dt1 2( ) ( )T T g e e e e[ ( ) ( ) ( ) ( )] r r r rT t H t t H t+ - -D D . (48) 104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 Â ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ìàòðèöû H èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî B H HBi i T Te e= . Òîãäà â êà÷åñòâå àëãîðèòìà íàñòðîéêè ïàðàìåòðîâ dq ti ( ) ñëåäóåò, íàïðèìåð, âûáðàòü ñèñòåìó ÑÄÓ d dt q t d t dt B H x t A q i i i i d b e( ) ( ) ( )= = - = - ¶ ¶ æ è çç ö ø ÷÷ + ¶T T T r 0 A q H i 1 ¶ æ è çç ö ø ÷÷ é ë ê ê ù û ú ú T r e; b di i iq q( ) ; ( )0 0 0= =D . (49) Ïóñòü ìàòðèöà H t x y( , , ) r r óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (34), (35) òåîðåìû 2 (èëè óñëîâèÿì òåîðåìû 1), â êîòîðûõ A A q A qº +0 0 1 0( ) ( ) r r ëèíåéíî çàâèñèò îò ïàðà- ìåòðîâ è ÿâëÿåòñÿ ãóðâèöåâîé. Òîãäà àíàëîãè÷íî òåîðåìå 2 ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ÑÍÑ (46), (49) ñ ó÷åòîì (47), (48) óñòîé÷èâà â l.i.m. ïî r e( )t è b i t( ), i m=1, , à òàêæå ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâà ïî ôàçîâîé îøèáêå r e( )t . ÌÎÄÅËÜÍÀß ÇÀÄÀ×À Ðàññìîòðèì îáúåêò, êîòîðûé îïèñûâàåòñÿ ÑÄÐÓ ñ äèôôóçèîííûìè âîçìóùåíèÿìè dx t a a a t x t( ) ( ( )) ( )= - + + +D d + + + - + + + >( ( )) ( ( )) ( , ),b b b t x t h h h t f t t tD Dd d w 0 , (50) ãäå f t b x t dw t b x t h dw t( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )w w w= + -1 1 2 2 , w t1 ( , )w è w t2 ( , )w — íåçàâèñèìûå âèíåðîâñêèå ïðîöåññû; Da, Db, Dh — ïî- ñòîÿííûå, àïðèîðè íåèçâåñòíûå ÷èñëà èç îáëàñòè \| \|Da A£ 0 ; \| \|Db B£ 0 ; \| \|Dh H h£ <0 ; da t( ), db t( ), dh t( ) — íåñëó÷àéíûå ïàðàìåòðû, êîòîðûå èçìåíÿ- þòñÿ êîíòóðîì ñàìîíàñòðîéêè; f t( ) — óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå; \| ( )\|f t F£ 0 . Íàðÿäó ñ ñèñòåìîé (50) ðàññìîòðèì ýòàëîííóþ ìîäåëü êàê ÑÄÐÓ dy t ay t by t h f t t t( ) ( ) ( ) ( ),= - + - + > 0 . (51) Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ïðîñòîòû ìîæíî ñ÷èòàòü íóëåâûìè x t y t( ) ( )= = = =e( )t 0, t h t t0 0- £ £ . Ïóñòü a b b b > - -\| \| 1 2 2 2 2 2 , òîãäà òðèâèàëüíîå ðåøåíèå (51) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî â l.i.m. ðàâíîìåðíî ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (òåîðåìà 1). Îáîçíà÷èì e( ) ( ) ( )t x t y t= - ôàçîâîå ðàññîãëàñîâàíèå ÑÄÐÓ (50), (51). Ïðåäïîëîæèì äëÿ ïðîñòîòû, ÷òî çàïàçäûâàíèÿ â îáúåêòå è ýòàëîííîé ìîäå- ëè ðàâíû, ò.å. Dh h t+ ºd q( ) . Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ e( )t ïðèìåò âèä d t a t b t h t x t t x t h t te e e a b( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= - + - + + - " > 0 , (52) ãäå a d( ) ( )t a a tº +D ; b d( ) ( )t b b t= +D . Ñèíòåç êîíòóðîâ íàñòðîéêè ïàðàìåòðîâ a( )t è b( )t ñëåäóåò îñóùåñòâëÿòü ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà, âûáðàâ â êà÷åñòâå ôóíêöèîíàëà Ëÿïóíîâà–Êðàñîâñêîãî ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: v t t a t d t dt t h ( , , , ) ( ) ( ) ( ) e a b g e a b g g eº + + + -æ è ç ö ø ÷ - 2 2 2 21 2 t s dsò ( ) . (53) Åñëè àëãîðèòì íàñòðîéêè ïàðàìåòðîâ a è b âûáðàòü â âèäå [1] d t dt d dt a t t x t t t a a d g e a ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ); ( )= = - =0 D , (54) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 105 d t dt d dt b t t x t h t t b b d g e b ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ); ( )= = - - =0 D , (55) òî èíôèíèòåçèìàëüíûé îïåðàòîð â ñèëó (52)–(55) áóäåò ðàâåí Lv a t b t t h= - + - +( & ) ( ) ( ) ( )g g e g e e2 22 + -æ è ç ö ø ÷ - -æ è ç ö ø ÷ - + -a t a t h ag g e g g e g g 1 2 1 2 1 2 2 2 & ( ) & ( ) & && æ è ç ö ø ÷ - ò e2 t h t s ds( ) . Ïðè íåêîòîðîì âûáîðå ôóíêöèè g ( )t , à ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâîé & ( )g t è âòîðîé &&( )g t ïðîèçâîäíîé, Lv £ 0. Òîãäà òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (52)–(55) ýêñïî- íåíöèàëüíî óñòîé÷èâî â öåëîì â ñèëó òåîðåìû 2. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Â ñòàòüå èññëåäîâàíà óñòîé÷èâîñòü ñàìîíàñòðàèâàþùèõñÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì àâ- òîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ ñ ïîñëåäåéñòâèåì. Ïðîâåäåí ñèíòåç êîíòóðà ñàìîíà- ñòðîéêè ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà è äîêàçàíà ýêñïîíåíöèàëüíàÿ p-óñòîé- ÷èâîñòü â öåëîì ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñëåäåéñòâèåì. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïðè ïîñòðîåíèè ñèñòåì àâòî- ìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ äëÿ îáúåêòîâ ñ ïîñëåäåéñòâèåì. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ê î ë ì à í î â ñ ê è é Â . Á . , Í î ñ î â Â . Ð . Óñòîé÷èâîñòü è ïåðèîäè÷åñêèå ðåæèìû ðåãóëèðó- åìûõ ñèñòåì ñ ïîñëåäåéñòâèåì. — Ì.: Íàóêà, 1981. — 448 ñ. 2. Ë ó ö ê è â Í . Ì . Ñèñòåìû ñ êîìïåíñàöèåé âëèÿíèÿ çàïàçäûâàíèÿ è ðàçäåëèòåëüíûì óñòðîéñòâîì // Èçâ. âóçîâ. Ýëåêòðîìåõàíèêà. — 1976. — ¹ 9.— Ñ. 1003–1007. 3. Ñ ì è ò Ä æ . Ì . Àâòîìàòè÷åñêîå ðåãóëèðîâàíèå.— Ì.: Ôèçìàòãèç, 1962. — 847 ñ. 4. À . ñ . 6 3 4 2 3 5 Ñ Ñ Ñ Ð . Ñàìîíàñòðàèâàþùàÿñÿ ñèñòåìà äëÿ ðåãóëèðîâàíèÿ îáúåêòîâ ñ çàïàçäû- âàíèåì // Ê.À. Ïóïêîâ, Â.Ð. Íîñîâ, Â.Á. Êîëìàíîâñêèé. — Îïóáë. 23.06.1977. 5. Ê î ð å í å â ñ ê è é Ä . Ã . Óñòîé÷èâîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïðè ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèÿõ ïàðàìåòðîâ. Àëãåáðàè÷åñêèå êðèòåðèè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1989. — 208 ñ. 6. Ã è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è èõ ïðèìåíåíèå. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1980. — 612 ñ. 7. À í ä ð å å â à Å . À . , Ê î ë ì à í î â ñ ê è é Â . Á . , Ø à é õ å ò Ë . Å . Óïðàâëåíèå ñèñòåìàìè ñ ïîñëåäåéñòâèåì. — Ì.: Íàóêà, 1992. — 336 ñ. 8. Ö à ð ü ê î â Å . Ô . , ß ñ è í ñ ê è é Â . Ê . Êâàçèëèíåéíûå ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëü- íî-ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ðèãà: Îðèåíòèð, 1990. — 312 ñ. 9. Ñ â å ð ä à í Ì . Ë . , Ö à ð ê î â ª . Ô . , ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . Ñò³éê³ñòü ó ñòîõàñòè÷íîìó ìîäå- ëþâàíí³ ñêëàäíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì. — Ñíÿòèí: Íàä Ïðóòîì, 1996. — 448 ñ. 10. ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . , ß ñ è í ñ ü ê è é ª . Â . Çàäà÷³ ñò³éêîñò³ òà ñòàá³ë³çàö³¿ äèíàì³÷íèõ ñèñ- òåì ç³ ñê³í÷åííîþ ï³ñëÿä³ºþ. — Ê.: ÒÂ³ÌÑ, 2005. — 580 ñ. 11. Þ ð ÷ å í ê î I . Â . , ß ñ è í ñ ü ê à Ë . I . , ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . Ìåòîäè ñòîõàñòè÷íîãî ìîäå- ëþâàííÿ ñèñòåì.— ×åðíiâöi: Âèä-âî: Ïðóò, 2002. — 416 ñ. 12. Ê î ð î ë þ ê Â . Ñ . , Ö à ð ê î â ª . Ô . , ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . Éìîâ³ðí³ñòü, ñòàòèñòèêà ³ âèïàä- êîâ³ ïðîöåñè. Â 3-õ òîìàõ.— Ò. 3. Âèïàäêîâ³ ïðîöåñè. Òåîð³ÿ ³ ñòàòèñòè÷íå êîìï’þòåðíå ìî- äåëþâàííÿ. — ×åðí³âö³: Çîëîò³ ëèòàâðè, 2009. — 782 ñ. 13. ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . , Þ ð ÷ å í ê î ² . Â . Àñèìïòîòèêà ðîçâ’ÿçê³â ó âèïàäêîâèõ ñèñòåìàõ ç íåîáìåæåíîþ ï³ñëÿä³ºþ. — ×åðí³âö³: Âèäàâíè÷èé ä³ì «Ðîäîâ³ä», 2014. — 266 ñ. 14. ß ñ è í ñ ü ê è é Â . Ê . Ñó÷àñíà òåîð³ÿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñ³â. — ×åðí³âö³: Âèäàâíè÷èé ä³ì «Ðî- äîâ³ä», 2014. — 292 ñ. 15. Í è ê è ò è í À . Â . , Þ ð ÷ å í ê î È . Â . , ß ñ è í ñ ê è é Â . Ê . Óñòîé÷èâîñòü ñàìîíàñòðàèâàþ- ùèõñÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ ñ ïîñëåäåéñòâèåì. ×àñòü 1. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü â ñðåäíåì êâàäðàòè÷íîì ñèñòåì ëèíåéíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåí- öèàëüíî-ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2010. — ¹ 1. — Ñ. 90–104. 16. È ê ð à ì î â Õ . Ä . ×èñëåííîå ðåøåíèå ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé. — Ì.: Íàóêà, 1984. — 192 ñ. Ïîñòóïèëà 22.12.2014 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6

Проблема устойчивости самонастраивающихся стохастических динамических систем с конечным последействием и с эталонной моделью

Institution

Ähnliche Einträge