Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения

Исследовано асимптотическое поведение модифицированной дискретной процедуры стохастической оптимизации (ПСО) в марковской среде в схеме усреднения. Введены дополнительные параметры оптимизации ПСО, с помощью которых исследовано поведение флуктуаций на растущих временных интервалах. Установлено вид п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Горун, П.П., Чабанюк, Я.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2015
Schriftenreihe:	Кибернетика и системный анализ
Schlagworte:	Системный анализ
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124935
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения / П.П. Горун, Я.М. Чабанюк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 137-146. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-124935
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1249352017-10-13T03:03:15Z Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения Горун, П.П. Чабанюк, Я.М. Системный анализ Исследовано асимптотическое поведение модифицированной дискретной процедуры стохастической оптимизации (ПСО) в марковской среде в схеме усреднения. Введены дополнительные параметры оптимизации ПСО, с помощью которых исследовано поведение флуктуаций на растущих временных интервалах. Установлено вид предельного генератора в зависимости от выбранного нормирования, а также показано, что при некоторых значениях введенных параметров модифицированная дискретная ПСО асимптотически нормальна. Досліджено асимптотичну поведінку модифікованої дискретної процедури стохастичної оптимізації (ПСО) у марковському середовищі в схемі усереднення. Введено додаткові параметри оптимізації ПСО, використовуючи які отримано різну поведінку флуктуацій на зростаючих інтервалах часу. Встановлено вигляд граничного генератора залежно від обраного нормування, а також показано, що при деяких значеннях введених параметрів дискретна ПСО асимптотично нормальна. The asymptotic behavior of the modified discrete stochastic optimization procedure (SOP) in the Markov environment in the averaging scheme is investigated. Additional SOP optimization parameters are introduced and are used to obtain different behavior of fluctuations on increasing time intervals. The normalization-dependent form of boundary generator is established and it is shown that for certain values of the input parameters the modified discrete SOP is asymptotically normal. 2015 Article Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения / П.П. Горун, Я.М. Чабанюк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 137-146. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0023-1274 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124935 519.21 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Горун, П.П. Чабанюк, Я.М. Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения Кибернетика и системный анализ
description	Исследовано асимптотическое поведение модифицированной дискретной процедуры стохастической оптимизации (ПСО) в марковской среде в схеме усреднения. Введены дополнительные параметры оптимизации ПСО, с помощью которых исследовано поведение флуктуаций на растущих временных интервалах. Установлено вид предельного генератора в зависимости от выбранного нормирования, а также показано, что при некоторых значениях введенных параметров модифицированная дискретная ПСО асимптотически нормальна.
format	Article
author	Горун, П.П. Чабанюк, Я.М.
author_facet	Горун, П.П. Чабанюк, Я.М.
author_sort	Горун, П.П.
title	Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения
title_short	Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения
title_full	Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения
title_fullStr	Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения
title_full_unstemmed	Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения
title_sort	асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/124935
citation_txt	Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения / П.П. Горун, Я.М. Чабанюк // Кибернетика и системный анализ. — 2015. — Т. 51, № 6. — С. 137-146. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT gorunpp asimptotičeskoepovedeniemodificirovannojprocedurystohastičeskojoptimizaciivshemeusredneniâ AT čabanûkâm asimptotičeskoepovedeniemodificirovannojprocedurystohastičeskojoptimizaciivshemeusredneniâ
first_indexed	2025-07-09T02:17:18Z
last_indexed	2025-07-09T02:17:18Z
_version_	1837133923737403392
fulltext	ÓÄÊ 519.21 Ï.Ï. ÃÎÐÓÍ, ß.Ì. ×ÀÁÀÍÞÊ ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎÂÅÄÅÍÈÅ ÌÎÄÈÔÈÖÈÐÎÂÀÍÍÎÉ ÏÐÎÖÅÄÓÐÛ ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ Â ÑÕÅÌÅ ÓÑÐÅÄÍÅÍÈß Àííîòàöèÿ. Èññëåäîâàíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ìîäèôèöèðîâàííîé äèñêðåòíîé ïðîöåäóðû ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè (ÏÑÎ) â ìàðêîâñêîé ñðåäå â ñõåìå óñðåäíåíèÿ. Ââåäåíû äîïîëíèòåëüíûå ïàðàìåòðû îïòèìèçàöèè ÏÑÎ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ èññëåäîâàíî ïîâåäåíèå ôëóêòóàöèé íà ðàñòóùèõ âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ. Óñòàíîâëåíî âèä ïðåäåëüíîãî ãåíåðàòîðà â çàâèñèìîñòè îò âûáðàííîãî íîðìèðîâàíèÿ, à òàêæå ïîêàçàíî, ÷òî ïðè íåêî- òîðûõ çíà÷åíèÿõ ââåäåííûõ ïàðàìåòðîâ ìîäèôèöèðîâàííàÿ äèñêðåòíàÿ ÏÑÎ àñèìïòîòè- ÷åñêè íîðìàëüíà. Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàðêîâñêèé ïðîöåññ, ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ, àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, ñõåìà óñðåäíåíèÿ. Èññëåäîâàíèå ïîâåäåíèÿ ôëóêòóàöèé ïðîöåäóðû ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè (ÏÑÎ) îïðåäåëÿåò îöåíêó ñêîðîñòè åå ñõîäèìîñòè ê òî÷êå ýêñòðåìóìà óñðåä- íåííîé ýâîëþöèîííîé ñèñòåìû. Òàêàÿ ïðîáëåìà âîçíèêàåò ïðè èñïîëüçîâàíèè àëãîðèòìà ôàçîâîãî óñðåäíåíèÿ ñëó÷àéíûõ ýâîëþöèé [1], êîòîðûé áàçèðóåòñÿ íà áëèçîñòè èñõîäíîé è óñðåäíåííîé ýâîëþöèîííûõ ñèñòåì [2]. Òàê, â ðàáî- òå [3] èññëåäîâàíî ïîâåäåíèå ôëóêòóàöèé äèôôóçèîííîé ýâîëþöèîííîé ñèñòå- ìû ñ ìàðêîâñêèìè ïðûæêàìè (ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷íîé àïïðîêñèìàöèè), ãäå ôóíêöèÿ ñêîðîñòè èìååò ñèíãóëÿðíî âîçáóæäåííîå ñëàãàåìîå ñ ìàëûì ïàðà- ìåòðîì ñåðèé. Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ïðîöåäóðû ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè èññëå- äîâàëîñü ìåòîäîì ìîìåíòîâ, ïîäðîáíî îïèñàííûì â ðàáîòàõ [4, 5], à äëÿ áîëåå îáùèõ ñëó÷àåâ ïîëó÷åíû äðóãèå ïðåäåëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ [6–8]. Â ðàáîòå [9] ðàññìîòðåíî íåñêîëüêî ðàíäîìèçèðîâàííûõ àëãîðèòìîâ ñòîõàñ- òè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ïðè ïî÷òè ñëó÷àéíûõ ïîìåõàõ, ãäå íà âõîä ïîäàþòñÿ ïðîáíûå âîçìóùåíèÿ. Äâà èç íèõ — ðàíäîìèçèðîâàííûå âåðñèè ïðîöåäóðû Êè- ôåðà–Âîëüôîâèöà (êàæäàÿ òðåáóåò äâóõ âû÷èñëåíèé íåèçâåñòíîé ôóíêöèè íà êàæäîì øàãå èòåðàöèè). Â ñòàòüå ïðèâåäåí êðàòêèé îáçîð ðàáîò Êóøíåðà Ã. è Êëàðêà Ä., Ïîëÿêà Á.Ò. è Öûáàêîâà À.Á., Ñïàëà Äæ., ×åíà Õ.-Ô. è äð. Êàæäûé àâòîð ðàññìàòðèâàë ïðè ðàçíûõ óñëîâèÿõ ïðèâåäåííûå âûøå ïðîöåäóðû, êîòî- ðûå äîïîëíÿëè îäíà äðóãóþ. Ïîñêîëüêó àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç êëàñè÷åñêîé ÏÑÎ áûë ñäåëàí àâòîðàìè â [10], ñ ó÷åòîì âûøåèçëîæåííîãî è â öåëÿõ ñðàâíåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâå- äåíèÿ êëàññè÷åñêîé è ìîäèôèöèðîâàííîé ïðîöåäóð â äàííîé ñòàòüå ïðîâåäåí àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç ìîäèôèöèðîâàííîé ïðîöåäóðû, îïèñàííîé â [9, ïðîöåäóðà (2)]. Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ îäíîìåðíûé ñëó÷àé ôóíêöèè ðåãðåññèè, îäíàêî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû àíàëîãè÷íî ïåðåíîñÿòñÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Ïñåâäîãðàäèåíò, à òàêæå ÏÑÎ äëÿ ôóíêöèè ðåãðåññèè C u x C( ; ) ( )Î 3 Ñ , x XÎ , ðàññìàòðèâàþòñÿ â ìîäèôèöèðîâàííîì ïðåäñòàâëåíèè Ñ = + - = =bC u x C u b x C u x b u u t b b t( ; ) ( ; ) ( ; ) , ( ), ( ) . (1) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 137 © Ï.Ï. Ãîðóí, ß.Ì. ×àáàíþê, 2015 Ïðûæêîâàÿ ÏÑÎ â ñõåìå ñåðèé â ìàðêîâñêîé ñðåäå çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì (ïóñòü a C u xn n b n n e e e = - å Ñ = 0 1 0( ; ) ) [11], n( )t — ñ÷åò÷èê ïðûæêîâ äî ìîìåíòà t. u t u a C u x u u tn n t b n n( ) ( ; ), ( ) , ( / ) / = + Ñ = ³ = - å e n e e e e g 0 1 1 0 0 , (2) ãäå g — ïîêàçàòåëü íîðìèðîâàíèÿ âðåìåíè, an e — íåêîòîðàÿ íîðìèðóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ñõîäèìîñòü ïðûæêîâîé ÏÑÎ (2) â óñëîâèÿõ òåîðåìû î äîñòàòî÷íûõ óñëî- âèÿõ åå ñõîäèìîñòè (ñì. [12]) u t u t e e e( ) , ,® ® ¥ £ 0 (3) îçíà÷àåò, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî ¢ =C u( ) 0 , (4) ãäå u * (íå óìåíøàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî u * = 0) åñòü òî÷êà ðàâíîâå- ñèÿ ñèñòåìû du t dt C u t C u q dx C u x X ( ) ( ( )), ( ) ( ) ( ; )= ¢ = ò r . (5) Ðàâåíñòâà (4), (5) äàþò óñëîâèå áàëàíñà: PC x¢ =( ; )0 0 , (6) ãäå P — ïðîåêòîð, ïîëó÷åííûé ñòàöèîíàðíûì ðàñïðåäåëåíèåì âëîæåííîé öåïè Ìàðêîâà x nn , ³ 0 , ò.å. Pj r j( ) ( ) ( )x dx x X = ò . Ïðè ýòîì (3) îçíà÷àåò, ÷òî ôëóêòóàöèè ïðûæêîâîé ÏÑÎ öåëåñîîáðàçíî èçó÷àòü ñî ñëåäóþùèì íîðìèðîâàíèåì: u e e ue g e e g e( ) ( ), ( ) ( )t t u t u t t t= = . (7) Â ÏÑÎ (2) èìåþò ìåñòî âëîæåíèÿ u u x x a a nn n n n n n n n e e e e e e e gt t t t t e= = = = ³( ), ( ), ( ), / ,/1 0 , ãäå tn — ìîìåíòû ìàðêîâñêîãî âîññòàíîâëåíèÿ. Ðàññìîòðèì ôóíêöèè a a n a b b n bn n= > = > a b , , ,0 0 , ãäå a b, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ñõîäèìîñòè ÏÑÎ (2) (ñì. [12]): 1) ¢ ¢ £ -C u V u k V u( ) ( ) ( )0 ; 2) èìåþò ìåñòî îöåíêè max\| ( ( ; )) ( )\| ( ( )) x X bC u x V u k V u Î Ñ ¢¢ £ +2 1 1 ; max\| ( ; )[ ( ) ] ~ ( ; ) ( )\| ( ( x X b bC u x q x R I C u x V u k V u Î Ñ - Ñ ¢¢ £ +0 2 1 )) , max\| ( ( ; )) [ ( ) ] ~ ( ; ) ( )\| ( x X b bC u x q x R I C u x V u k Î Ñ - Ñ ¢¢¢ £2 0 3 1+V u( )) , ãäå ~ ( ; ) ( ) ( ; ) ( )C u x q x C u x C u= - ; 138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 3) óñëîâèå îãðàíè÷åíèÿ ðîñòà ôóíêöèè Ëÿïóíîâà è óñëîâèå Ëèïøèöà äëÿ Ñ bC u( ) ñîîòâåòñòâåííî \|\| ( ) \|\| ( ( ))¢ £ +V u k V u4 1 ; max \|\| ( ) ( ) \|\| x R b n d C u C u k b Î Ñ - ¢ £ 5 ; k ii > =0 0 5, , ; 4) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a bn n, íåâîçðàñòàþùèå, ïîëîæèòåëüíûå è óäîâëåòâî- ðÿþò óñëîâèÿì an n= ¥ å = ¥ 0 , a b n nn 2 2 0= ¥ å < ¥, a bn n n = ¥ å < ¥ 0 , ãäå V u( ) — ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà óñðåäíåííîé ñèñòåìû (5). Ðàññìîòðèì òàêæå äâóõêîìïîíåíòíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ (ÌÏ): u ee e g( ), ( / ),/ t x x t tt = ³1 0 . (8) Ëåììà 1 [13]. Ãåíåðàòîð ÌÏ (8) íà òåñò-ôóíêöèÿõ j u( ; ) ( )× ÎC 1 Ñ èìååò ïðåäñòàâëåíèå L Ct tx Q x x x e g g ej u e j u e j u( ; ) ( ; ) ( ) ( ; )/ /= +- -1 1 , (9) ãäå C t x x e j u( ) ( ; ) = = + Ñ - +- - q x t a C t x y yb( ) [ ( ( ; ); ) ( ; )]/ /P j u e e u j u e ga g g a g g1 1 t xuj u¢ ( ; ) , (10) Pj j( ; ) ( , ) ( ; )× = ×òy P y dz z X . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû áàçèðóåòñÿ íà îïðåäåëåíèè ãåíåðà- òîðà ÌÏ ÷åðåç óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (íàïðèìåð, [14, ãë. 3, 5]). o Äëÿ óäîáñòâà ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ-èíäèêàòîð I y y y y ( ) , ; , , ( , ]. = < = Î -¥ ì í î 0 0 1 0 0 Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåòñÿ îáîáùåííûé ñëó÷àé àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäå- íèÿ ÏÑÎ (2), âíà÷àëå ïîëó÷èì âñïîìîãàòåëüíûå ñâåäåíèÿ, à çàòåì, çàôèêñèðîâàâ çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ a b g, , , ïåðåéäåì ê ôîðìóëèðîâêå ëåììû è ñîîòâåò- ñòâóþùèõ òåîðåì î ïðåäñòàâëåíèè âèäà ãåíåðàòîðà íà òåñò-ôóíêöèÿõ j u( ; )× . Èñïîëüçóÿ (1), ðàçëîæèì ôóíêöèþ Ñ bC t x( ; ) e u g â îêðåñòíîñòè òî÷êè ýêñòðå- ìóìà u * : Ñ æ è çç ö ø ÷÷ = ¢ + + æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ¢¢bC t x C x t t b C e u e u e g g b / g b ; ( ; )0 2 ( ; )0 x + + + + æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ¢¢¢ + + 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2e u e u e g b g g b b g b t t b t b C ( ; )0 1 x o t + æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ + + e u b g g b , (11) ãäå u u= =( ),t b const . Äëÿ óäîáñòâà è ñîêðàùåíèÿ çàïèñåé ïîëîæèì ¢ = ¢C C x( ; )0 , ¢¢ = ¢¢C C x( ; )0 , ¢¢¢ = ¢¢¢C C x( ; )0 , ¢ = ¢j j u( ; )x , ¢¢ = ¢¢j j u( ; )x . Ïîäñòàâèâ (11) â (10), ïîëó÷èì ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 139 e j u g ujg e- = ¢+1 / ( ) ( ; )C t x x t + ¢ + + æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ¢¢ + - - - e e u e e a g a g g b g b 1 1 2 22 1 2t a C t t b C t g b g g b b g b u e u e2 1 2 2 2 2 3 + + æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ¢¢¢ é ë ê ê ê ê ù+ + t b t b C û ú ú ú ú ¢+Q0j + ¢ + + æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ¢ - - - e e u e a g a g g b g b 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2t a C t t b( ) C C ¢¢ + é ë ê ê ê ê + + + æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ¢ ¢¢¢ + + e u e u e g b g g a b g b 2 2 2 1 2 2 2 2 3t t b t b C C + + + æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ¢¢ + + + e u e u e g b g g b b g b 2 2 2 1 2 2 2 2 4t t b t b C( ) + + + + + + + + e u e u e u e g b g g b b g g b b g b 3 3 3 2 2 2 2 1 2 2 3 3 7 12 6t t b t b t b 3 æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ¢¢ ¢¢¢ +C C + + + + + + + + e u e u e u e g b g g b b g g b b 4 4 4 3 3 3 2 2 2 2 2 3 11 12 1 3t t b t b ( ) g g b b g b u e + + + æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ¢¢¢ ù û ú ú ú ú 1 3 3 4 4 4 2 0 1 9t b t b C Q( ) ¢¢ +j + æ è ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ - - - o t e a g a g 3 1 3 3 3 . (12) Èñõîäÿ èç àíàëèçà (12) è óñëîâèé ñõîäèìîñòè ÏÑÎ (2) ñ ó÷åòîì äàííîãî âèäà ïñåâäîãðàäèåíòà (1) àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ðàññìàòðèâàåìîé ÏÑÎ öå- ëåñîîáðàçíî èçó÷àòü ïðè ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ a b g, , : a b g= <1 2, / ; (13) a b g= =1 2, / ; (14) a b g g= Î1 2, ( / ; ) . (15) Ïðè a < 1 äàííàÿ ïðîöåäóðà íå áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíîé (ñì. èññëå- äîâàíèÿ â [10]). Ñëó÷àé 1. Ðàññìîòðèì ñîîòíîøåíèå (13), êîãäà a b g= <1 2, / . Ëåììà 2. Ãåíåðàòîð (9) ïðè óñëîâèè (13) íà òåñò-ôóíêöèÿõ j u( ; ) ( )× ÎC 3 Ñ èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå Lt x Q t Q x t Q x e g g b g g b j u e e e ( ; ) ( ) ( )/ / = + + é ë ê - - - - - + 1 1 1 1 1 1 2 ê + (16) 140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 + + + - - + - - e j u e q b g g b g g e 2 1 1 2 3 4 2 3 3 3 1/ / ( ) ( ) ( ; ) ( t Q x t Q x x t t x x) ( ; ) ù û ú ú j u , ãäå Q x x aC x Q x1 00( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )j u j u= ¢ ¢ ; (17) Q x x ab C x Q x2 0 2 0( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )j u j u= ¢¢ ¢ ; (18) Q x x ab C x Q x3 2 0 6 0( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )j u j u= ¢¢¢ ¢ ; (19) Q x x b x x I a C x Q4 2 21 2 2 0( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ( ; ))j u u j u g= ¢ + - æ è ç ö ø ÷ ¢ 0 ¢¢j u( ; )x ; (20) b x aC x Q( ) ( ; )= ¢¢ +0 0 g, (21) ïðè ýòîì îñòàòî÷íûé ÷ëåí q j ue t x x( ) ( ; ) îãðàíè÷åí. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèâ â (12) a b g= <1 2, / , ïîëó÷èì (16) â îáîçíà÷åíè- ÿõ (17)–(21). Îãðàíè÷åííîñòü îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ñëåäóåò èç (12) è îãðàíè÷åííî- ñòè ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè ðåãðåññèè. o Ïðîáëåìà ñèíãóëÿðíîãî âîçìóùåíèÿ (ÏÑÂ) äëÿ îïåðàòîðà (16) ðåàëèçóåòñÿ íà âîçìóùåííûõ ôóíêöèÿõ âèäà j u j u e j u e je g g b g g b ( ; ) ( ) ( ; ) ( / ( ) / x t x t = + + - - + - - + 1 1 1 2 1 1 1 3 u; )x + + + + - - + e j u e j u b g g b g( ) / / ( ; ) ( ; ) 1 2 1 1 2 4 1 5 t x t x . (22) Ëåììà 3. Ðåøåíèå ÏÑÂ äëÿ îïåðàòîðà (16) íà òåñò-ôóíêöèÿõ (22) òàêèõ, ÷òî j u( ; ) ( )× ÎC 3 Ñ , èìååò âèä L Lt tx t x e e ej u j u q j u( ; ) ( ) ( ) ( )= + 1 , (23) ãäå îïåðàòîð L äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó L x k x I a xj u uj u g r j u( ; ) ( ; ) ( ; )= - ¢ + - æ è ç ö ø ÷ ¢¢ 1 2 2 2 2 , (24) ãäå k ad= - g ; (25) d q dx C x X = - ¢¢ò r( ) ( ; )0 ; (26) r p r2 02 0 0 0= ¢ ¢ - ¢ò ò X X dx q x C x R q x C x q dx C( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( )( ( ; x))2 , (27) ïðè ýòîì îñòàòî÷íûé ÷ëåí q j ue t x( ) ( ) òàêîé, ÷òî \|\| ( ) ( ) \|\|q j ue t x ® 0 , e ® 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó îñòàòî÷íûé ÷ëåí â ïðåäñòàâëåíèè (16) íå âëèÿ- åò íà ðåøåíèå ÏÑÂ [2, ðàçä. 3.1], [1], ðàññìîòðèì ðåøåíèå ÏÑÂ òîëüêî äëÿ ñðå- çàííîãî ïî îòíîøåíèþ ê (16) îïåðàòîðà: ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 141 L t x Q t Q x t Q x 0 1 1 1 1 1 1 2 e g g b g g b j u e e e e ( ; ) ( ) ( )/ / = + + +- - - - - + 2 1 1 2 3 4 1b g g b j u / ( ) ( ) ( ; ) . - - + + t Q x t Q x x Îïåðàòîð L t0 e íà ôóíêöèÿõ (22) èìååò ïðåäñòàâëåíèå L t x Q t Q x Q x 0 1 1 1 2 1 e e g g j u e j u e j u j u( ; ) ( ) [ ( ; ) ( ) ( )]/= + +- - - + + + + - - + - - + e j u j u eb g g b b g g b / / [ ( ; ) ( ) ( )] [ 1 1 3 2 2 1 1 2 t Q x Q x t Qj u j u4 3( ; ) ( ) ( )]x Q x+ + + + + - æ è ç ö ø ÷ é ë ê ù û 1 1 2 5 4 1 2 t Q x Q x I Q x xj u j u g j u( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ; )ú + + + - - + e q j u b g g b e ( ) / ( ) ( ) 1 2 2 2 t xt , (28) ãäå q j ue t x( ) ( ) îãðàíè÷åí. Óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè (ñì. [2, ðàçä. 3.1]) äëÿ (28) èìååò âèä Q x Q xj u j u2 1 0( ; ) ( ) ( )+ = . Åñëè ó÷èòûâàòü óñëîâèå áàëàíñà (6), òî, èñïîëüçóÿ îïåðàòîð R 0 , èç ïîñëåä- íåãî ðàâåíñòâà íàõîäèì j u j u j u2 0 1 0 00( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( )x Q x a C x Q= = ¢ ¢R R . (29) Èç óñëîâèÿ Q x Q xj u j u3 2 0( ; ) ( ) ( )+ = íàõîäèì j u j u j u3 0 2 0 0 2 0( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( )x Q x ab C x Q= = ¢¢ ¢R R . (30) Àíàëîãè÷íî èç óñëîâèÿ Q x Q xj u j u4 3 0( ; ) ( ) ( )+ = íàõîäèì j u j u j u4 0 3 2 0 0 6 0( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( )x Q x ab C x Q= = ¢¢¢ ¢R R . Èç óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè (28) èìååì Q x Q x I Q x xj u j u g j u j u5 4 1 2 1 2 ( ; ) ( ) ( ) ( ) ( ; ) ( )+ + - æ è ç ö ø ÷ = L , ãäå îïåðàòîð L îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè L LP P Pj u j u( ) ( ) ( )= x , L( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ; )x Q x I Q x xj u j u g j u= + - æ è ç ö ø ÷4 1 2 1 2 . .(31) Âû÷èñëèì òåïåðü ïðàâóþ ÷àñòü (31). Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì ïîëó÷åííûå ïðåäñòàâëåíèÿ (29), (30): LPj u u r g j u( ) ( ) ( ; ) ( )= ¢¢ + æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ¢ +òaq dx C x X 0 + - æ è ç ö ø ÷ ¢ ¢ -ò òI a dx C x R q x C x q d X X g p r 1 2 0 0 1 2 2 0( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( x C x)( ( ; )) ( )¢ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ¢¢0 2 j u èëè, èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ (24)–(27), ïîëó÷àåì (23). Âû÷èñëåíèå îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà qe t x( ) îïèñàíî â [15]. o 142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 Àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü íîðìèðîâàííîé ÏÑÎ (7) óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ A1: d > 0 ; A2: k > 0 ; A3: r2 0> , ãäå d k, , r 2 äàíû â (25)–(27). Óñëîâèå A1 îáåñïå÷èâàåò âûïîëíåíèå óñëîâèÿ A2 , îòêóäà ñëåäóåò ýðãîäè÷- íîñòü ïðåäåëüíîãî ïðîöåññà z( )t , t ³ 0 , à óñëîâèå A3 îáåñïå÷èâàåò äèôôóçèîí- íîñòü ïðîöåññà z( )t , t ³ 0 . Òåîðåìà 1 [10]. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè 1)–4) ÏÑÎ (2), à òàê- æå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ A1–A3. Òîãäà èìååò ìåñòî ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü ïðî- öåññîâ u z ee ( ) ( ),t tÞ ® 0 , â êàæäîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå 0 0< £ £t t T . Ïðåäåëüíûé äèôôóçèîííûé ïðî- öåññ z( ),t t ³ 0 , ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì òèïà Îðíøòåéíà–Óëýíáåêà [16, ò. 2, ãë. III, §8ä; ãë. X §4á] è îïðåäåëÿåòñÿ ãåíåðàòîðîì Lj u uj u g r j u( ) ( ) ( )= - ¢ + - æ è ç ö ø ÷ ¢¢k I a1 2 2 2 2 â îáîçíà÷åíèÿõ (25)–(27). Äîêàçàòåëüñòâî. Â öåëîì õîä äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷åí äîêàçàòåëüñòâó òå- îðåìû î ñõîäèìîñòè ÏÑÎ (2) (ñì. [12]). Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ëåììû 2 è 3, óñëî- âèÿ ñõîäèìîñòè 1)–4) ïðûæêîâîé ÏÑÎ (2), à òàêæå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ A.1–A.3, ïîëó÷àåì óòâåðæäåíèå òåîðåìû. o Çàìå÷àíèå 1. Ïðåäåëüíûé ïðîöåññ Îðíøòåéíà–Óëýíáåêà [17, ãë. 18, §4], îïðåäåëÿåìûé ãåíåðàòîðîì L , â óñëîâèÿõ òåîðåìû 1 ýðãîäè÷åí ñî ñòàöèîíàðíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì N = ( , )0 0 2s , ãäå äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìó- ëå s 0 2 = I a kg r- æ è ç ö ø ÷ 1 2 22 2/ . Ñëó÷àé 2. Ðàññìîòðèì ñîîòíîøåíèå (14), êîãäà a b g= =1 2, / . Ëåììà 4. Ãåíåðàòîð (9) ïðè óñëîâèè (14) íà òåñò-ôóíêöèÿõ j u( ; ) ( )× ÎC 3 Ñ èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå: Lt x Q t Q x t Q x e g g g j u e e e ( ; ) ( ) ( )/ / / = + + + é ë ê - - - - - 1 1 1 1 1 2 3 2 2 ê (32) + + ù û ú ú - - 1 3 2 3 3 3t Q x x t x xt( ) ( ; ) ( ) ( ; ) / j u e q j u g g e , ãäå Q x x aC x Q x1 00( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )j u j u= ¢ ¢ ; (33) Q x x ab C x Q x2 0 2 0( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )j u j u= ¢¢ ¢ ; (34) Q x x b x m x x I a C3 21 2 2 ( ) ( ; ) ( ( ) ( )) ( ; ) ( (j u u j u g= + ¢ + - æ è ç ö ø ÷ ¢ 0 2 0; )) ( ; )x Q x¢¢j u ; (35) m x ab C x Q( ) ( ; )= ¢¢¢ 2 0 6 0 ; (36) b x aC x Q( ) ( ; )= ¢¢ +0 0 g ; (37) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 143 Q x q x x0j u j u( ; ) ( ) ( ; )= P , ïðè ýòîì îñòàòî÷íûé ÷ëåí q j ue t x x( ) ( ; ) îãðàíè÷åí. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèâ â (12) a b g= =1 2, / , ïîëó÷èì (32) â îáîçíà÷åíè- ÿõ (33)–(37). Îãðàíè÷åííîñòü îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ñëåäóåò èç (12) è îãðàíè÷åííî- ñòè ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè ðåãðåññèè. o Ïîñêîëüêó äàííûé ñëó÷àé êîíñòðóêòèâíî ïîäîáåí ïðåäûäóùåìó, òî, îïóñ- êàÿ ïîâòîðíûå ðàñ÷åòû, ñôîðìóëèðóåì ëåììó î âèäå ïðåäåëüíîãî ãåíåðàòîðà. Ëåììà 5. Ðåøåíèå ÏÑÂ äëÿ îïåðàòîðà (32) íà òåñò-ôóíêöèÿõ j u( ; ) ( )× ÎC 3 Ñ èìååò âèä L Lt tx t x e e ej u j u q j u( ; ) ( ) ( ) ( )= + 1 , ãäå îïåðàòîð L äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó L x k m x I a xj u u j u g r j u( ; ) ( ) ( ; ) ( ; )= - - ¢ + - æ è ç ö ø ÷ ¢¢ 1 2 2 2 2 , ãäå k ad= - g ; (38) d q dx C x X = - ¢¢ò r( ) ( ; )0 ; (39) m ab dx C x X = ¢¢¢ò 2 6 0r( ) ( ; ) ; r p r2 02 0 0 0= ¢ ¢ - ¢ò ò X X dx q x C x R q x C x q dx C( ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( )( ( ; x))2 , (40) ïðè ýòîì îñòàòî÷íûé ÷ëåí q j ue t x( ) ( ) òàêîé, ÷òî \|\| ( ) ( ) \|\|q j ue t x ® 0 , e ® 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 5 àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 3. o Àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü íîðìèðîâàííîé ÏÑÎ (7) óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ A1–A3 , ãäå d k, , r 2 ïðåäñòàâëåíû â (38)–(40). Çàìå÷àíèå 2. Äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ èìååò ìåñòî òåîðåìà 1 â îáîçíà÷åíè- ÿõ (38)–(40). Çàìå÷àíèå 3. Ïðåäåëüíûé ïðîöåññ Îðíøòåéíà–Óëýíáåêà [17, ãë. 18, §4], îïðåäåëÿåìûé ãåíåðàòîðîì L , â óñëîâèÿõ òåîðåìû ýðãîäè÷åí ñî ñòàöèîíàðíûì íîð- ìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì N M= ( , )s 0 2 , ãäå äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå s g r 0 2 2 21 2 2= - æ è ç ö ø ÷I a k/ , à ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå M m k= / . Ñëó÷àé 3. Ðàññìîòðèì ñîîòíîøåíèå (15), êîãäà a b g g= Î1 2, ( / ; ). Ëåììà 6. Ãåíåðàòîð (9) ïðè óñëîâèè (15) íà òåñò-ôóíêöèÿõ j u( ; ) ( )× ÎC 3 Ñ èìååò àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå Lt x Q t Q x t Q x e g g b g g b j u e e e ( ; ) ( ) ( )/ / = + + + é ë - - - - - + 1 1 1 1 1 1 2ê ê (41) + + ù û ú ú - - 1 3 2 3 3 3t Q x x t x xt( ) ( ; ) ( ) ( ; ) / j u e q j u g g e , 144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 ãäå Q x x aC x Q x1 00( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )j u j u= ¢ ¢ ; (42) Q x x ab C x Q x2 0 2 0( ) ( ; ) ( ; ) ( ; )j u j u= ¢¢ ¢ ; (43) Q x x b x x I a C x Q3 2 21 2 2 0( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ( ; ))j u u j u g= ¢ + - æ è ç ö ø ÷ ¢ 0 ¢¢j u( ; )x ; (44) b x aC x Q( ) ( ; )= ¢¢ +0 0 g, (45) ïðè ýòîì îñòàòî÷íûé ÷ëåí q j ue t x x( ) ( ; ) îãðàíè÷åí. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèâ â (12) a b g g= Î1 2, ( / ; ) , ïîëó÷èì (41) â îáîçíà- ÷åíèÿõ (42)–(45). Îãðàíè÷åííîñòü îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà ñëåäóåò èç (12) è îãðàíè- ÷åííîñòè ïåðâîé, âòîðîé è òðåòüåé ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè ðåãðåññèè. o Îïóñêàÿ ïîâòîðíûå ðàñ÷åòû, çàìåòèì, ÷òî èìååò ìåñòî ëåììà 3 î âèäå ïðå- äåëüíîãî ãåíåðàòîðà. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ íîðìàëüíîñòü íîðìèðîâàííîé ÏÑÎ (7) óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ A1–A2 , ãäå d k, , r 2 ïðåäñòàâëåíû â (25)–(27). Çàìå÷àíèå 4. Äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ èìååò ìåñòî òåîðåìà 1. Çàìå÷àíèå 5. Ïðåäåëüíûé ïðîöåññ Îðíøòåéíà–Óëýíáåêà [17, ãë. 18, §4], îïðåäåëÿåìûé ãåíåðàòîðîì L , â óñëîâèÿõ òåîðåìû ýðãîäè÷åí ñî ñòàöè- íàðíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì N = ( , )0 0 2s , ãäå äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå s g r 0 2 2 21 2 2= - æ è ç ö ø ÷I a k/ . Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíî àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ìîäèôèöèðîâàí- íîé ïðîöåäóðû ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè â ñõåìå ñåðèé â ìàðêîâñêîé ñðåäå äëÿ îäíîìåðíîãî ñëó÷àÿ. Óñòàíîâëåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îíà àñèìïòîòè÷åñ- êè íîðìàëüíà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû àíàëîãè÷íî ïåðåíîñÿòñÿ íà ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé. Â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ïðîöåäóðû ïðè íåêîòîðûõ ñîîòíîøåíèÿõ íîð- ìèðóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ a b g, , äëÿ íàõîæäåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ÏÑÎ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ôóíêöèÿ ðåãðåññèè C u x( ; ) áûëà äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèèðóåìîé: Ñ u x C X( ; ) ( ; )Î 3 Ñ . Òàê, ïðè a =1 , b g< / 2 (äëÿ êëàññè÷åñ- êîé ïðîöåäóðû) è ïðè a =1 , b g< / 2 , b g gÎ( / ; )2 (äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ïðî- öåäóðû) ïðåäåëüíûå ãåíåðàòîðû ñîâïàäàþò, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò îá ýêâèâàëåí- òíîñòè (ðàâíîçíà÷íîñòè) äàííûõ ïðîöåäóð îòíîñèòåëüíî èõ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ. Îäíàêî íåñìîòðÿ íà èõ ñõîæåñòü èñïîëüçîâàíèå ìîäèôèöèðîâàííîé ïðîöå- äóðû â ñèñòåìàõ ðåàëüíîãî âðåìåíè áîëåå öåëåñîîáðàçíî. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ êëàññè÷åñêîé ïðîöåäóðû óñëîâèå íåçàâèñèìîñòè âíåøíèõ ïîìåõ îò âîç- ìóùåíèÿ b t( ) äîñòàòî÷íî îãðàíè÷åíî, ïîñêîëüêó íà êàæäîì øàãå èòåðàöèè âåê- òîð bn-1 èñïîëüçóåòñÿ äâàæäû. Åñëè ðå÷ü èäåò î ìîäèôèöèðîâàííîé ïðîöåäóðå, òî îäíîâðåìåííîå âîçíèêíîâåíèå âîçìóùåíèÿ bn-1 è âíåøíèõ ïîìåõ äàåò âîç- ìîæíîñòü ðàññ÷èòûâàòü íà èõ íåçàâèñèìîñòü (ñì. [9]). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ðàñøèðÿþò ïîíèìàíèå è âîçìîæíî- ñòè èññëåäîâàíèÿ ôëóêòóàöèé ýâîëþöèîííûõ ñèñòåì â îêðåñòíîñòè òî÷êè ýêñòðåìó- ìà äàæå â ñëó÷àå íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ôóíêöèè ðåãðåññèè îò âíåøíèõ ïîìåõ. Â ñâîþ î÷åðåäü, ýòî äàåò âîçìîæíîñòü óãëóáèòü àíàëèç ôëóêòóàöèé ÏÑÎ ïðè èññëå- äîâàíèè óñëîâèé îïòèìèçàöèè ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6 145 ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. K o r o l y u k V . , L i m n i o s N . Stochastic systems in merging phase space. — World Scientific Publishing, 2005. — 330 p. 2. K o r o l y u k V . S , K o r o l y u k V . V . Stochastic models of systems. — London: Kluwer acad. publ., 1999. — 185 p. 3. C h a b a n i u k Y . , K o r o l i u k V . S . , L i m n i o s N . Fluctuation of stochastic systems with average equilibrium point // C.R. Acad. Sci., Ser. I. — Paris. — 2007. — 345. — P. 405–410. 4. Í å â å ë ü ñ î í Ì . Á . , Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Î ñõîäèìîñòè ìîìåíòîâ ïðîöåäóðû Ðîááèíñà– Ìîíðî // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1972. — ¹ 3. — Ñ. 101–125. 5. Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Î ïîâåäåíèè ïðîöåññîâ ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé âðåìåíè // Ïðîáëåìû ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. — 1972. — 8, ¹ 1. — C. 453–495. 6. L j u n g L . , P f l u g G . , W a l k H . Stochastic approximation and optimization of random systems. — Basel; Boston; Berlin: Birkh&&auser, 1992. — 114 p. 7. F a b i a n V . On asymptotic normality in stochastic approximation // Annals of Mathematical Statistic. — 1968. — 39, N 4. — P. 1327–1332. 8. K e r s t i n g G . D . A weak convergence theorem with application to the Robbins–Monro process // Ann. Prob. — 1978. — 6. — P. 1015–1025. 9. Ã ð à í è ÷ è í Î . Í . Ðàíäîìèçèðîâàííûå àëãîðèòìû ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ïðè ïðî- èçâîëüíûõ ïîìåõàõ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2002. — ¹ 2. — Ñ. 44–55. 10. × à á à í þ ê ß . Ì . , Ã î ð ó í Ï . Ï . Àñèìïòîòèêà ïðûæêîâîé ïðîöåäóðû ñòîõàñòè÷åñêîé îïòè- ìèçàöèè â ñõåìå óñðåäíåíèÿ // Âåñòíèê Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêo. Ñåð.: Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè. — 2012. — ¹ 2. — Ñ. 251–256. 11. Ã î ð ó í Ï . Ï . , × à á à í þ ê ß . Ì . Àñèìïòîòèêà ãåíåðàòîðà ïðûæêîâîé îïòèìèçàöèè â ìàð- êîâñêîé ñðåäå â ñõåìå óñðåäíåíèÿ // XIX International conf.: Problems of decision making under undertainties (PDMU-2012, April 23-27, 2012). — Êèåâ: Îáðàçîâàíèå Óêðàèíû. — Ñ. 87. 12. Ã î ð ó í Ï . Ï . , × à á à í þ ê ß . Ì . Äèñêðåòíàÿ ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè èíâåñòè- öèîííîãî ïîðòôåëÿ // Áóêîâèíñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. — 2015. — 3, ¹ 1. — Ñ. 45–51. 13. Ã î ð ó í Ï . Ï . , × à á à í þ ê ß . Ì . Ïðåäåëüíûé ãåíåðàòîð ïðîöåäóðû ñòîõàñòè÷åñêîé îïòèìè- çàöèè // Òåç. äîêë. VI ìåæäóíàðîä. íàó÷.-ïðàêòè÷. êîíô. ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõ ó÷åíûõ «Ñîâðåìåííûå çàäà÷è ïðèêëàäíîé ñòàòèñòèêè, ïðîìûøëåííîé, àêòóàðíîé è ôèíàíñî- âîé ìàòåìàòèêè», ïîñâÿùåííîé 75-ëåòèþ Äîíåöêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà (9-11 àïðå- ëÿ 2012 ãîäà). — Äîíåöê: ÄîíÍÓ, 2012. — Ñ. 40. 14. Í å â å ë ü ñ î í Ì . Á . , Õ à ñ ü ì è í ñ ê è é Ð . Ç . Ñòîõàñòè÷åñêàÿ àïïðîêñèìàöèÿ è ðåêóððåíòíîå îöåíèâàíèå. — Ì.: Íàóêà, 1972. — 304 ñ. 15. × à á à í þ ê ß . Ì . , Ã î ð ó í Ï . Ï . Ñõîäèìîñòü äèñêðåòíîé ïðîöåäóðû ñòîõàñòè÷åñêîé îïòè- ìèçàöèè â ñõåìå äèôôóçèîííîé àïïðîêñèìàöèè // Ñá. íàó÷. òðóäîâ Èíñòèòóòà êèáåðíåòèêè èì. Â.Ì. Ãëóøêîâà ÍÀÍ Óêðàèíû è Êàìåíåö-Ïîäîëüñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èìå- íè Èâàíà Îãèåíêî. Ñåð.: Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå íàóêè. — 2012. — ¹ 6. — Ñ. 234–248. 16. Ô å ë ë å ð Â . Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèå: Â 2-õ ò. — Ì.: Ìèð, 1967. — Ò. 1. — 527 ñ. 17. Á î ð î â ê î â À . À . Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. — Ì.: Íàóêà, 1986. — 431 c. Ïîñòóïèëà 08.06.2015 146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2015, òîì 51, ¹ 6

Асимптотическое поведение модифицированной процедуры стохастической оптимизации в схеме усреднения

Institution

Ähnliche Einträge