Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту
Запропоновано математичні моделі міграції забруднення у ґрунтах з урахуванням двох шляхів переносу частинок з різними коефіцієнтами дифузії-у водному поровому розчині та в адсорбованих на скелеті ґрунту шарах води, а також процесів сорбції-десорбції за дії сталого та кругового джерел забруднення на...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2017
|
| Назва видання: | Математичні машини і системи |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125613 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту / О.Ю. Чернуха, В.Є. Гончарук, Ю.І. Білущак, А.Є. Чучвара // Математичні машини і системи. — 2017. — № 3. — С. 82-101. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-125613 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1256132017-10-30T03:02:53Z Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту Чернуха, О.Ю. Гончарук, В.Є. Білущак, Ю.І. Чучвара, А.Є. Моделювання і управління Запропоновано математичні моделі міграції забруднення у ґрунтах з урахуванням двох шляхів переносу частинок з різними коефіцієнтами дифузії-у водному поровому розчині та в адсорбованих на скелеті ґрунту шарах води, а також процесів сорбції-десорбції за дії сталого та кругового джерел забруднення на поверхні ґрунту. Сформульовано крайові задачі гетеродифузії двома шляхами у середовищі з пастками в одно- (вертикальній) і двовимірній (за кругового джерела) постановках у прямокутній та циліндричній системах координат. Розглянуто практично важливі часткові модельні варіанти, отримані на основі фізичних припущень, щодо коефіцієнтів моделі та миттєвого перерозподілу частинок між станами. Розв’язки модельних задач побудовані з допомогою інтегральних перетворень. Розроблено програмне забезпечення та проведений порівняльний аналіз моделей. Показано, що необхідно враховувати різні шляхи міграції частинок та масообмін між станами, тобто процеси сорбції десорбції. Предложены математические модели миграции загрязнения в почвах с учетом двух путей переноса частиц с различными коэффициентами диффузии-в водном поровом растворе и в адсорбированных на скелете грунта слоях воды, а также процессов сорбции-десорбции при действии постоянного и кругового источников загрязнения на поверхности почвы. Сформулированы краевые задачи гетеродиффузии двумя путями в среде с ловушками в одно- (вертикальной) и двухмерной (из кругового источника) постановках в прямоугольной и цилиндрической системах координат. Рассмотрены практически важные частные модельные варианты, полученные на основе физических предположений относительно коэффициентов модели и мгновенного перераспределения частиц между состояниями. Решения модельных задач построены с помощью интегральных преобразований. Разработано программное обеспечение и проведен сравнительный анализ моделей. Показано, что необходимо учитывать различные пути миграции частиц и массообмен между состояниями, то есть процессы сорбции-десорбции Mathematical models of contaminant migration in soils taking into account two ways for particle transport with different diffusion coefficients, namely, in water porous solution and adsorbed water layers on ground skeleton, as well as the processes of sorption-desorption under action of contamination on soil surface are proposed. The initial-boundary value problem of heterodiffusion by two ways in a medium with traps is formulated in one- (vertical) and two-dimensional (from circular source) statements in rectangular and cylindric coordinates. Practically important partial variants of the model are considered on the basis of physical assumptions in regard to the model coefficients and instantaneous redistribution of admixture particles between states. Solutions of the model problems are constructed by integral transformations. It is designed software and comparative analysis is carried out. It is shown that different ways of admixture particle migration have to be taken into consideration as well as mass exchange between states, i.e. the processes of sorpsion-desorption. 2017 Article Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту / О.Ю. Чернуха, В.Є. Гончарук, Ю.І. Білущак, А.Є. Чучвара // Математичні машини і системи. — 2017. — № 3. — С. 82-101. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125613 517.958:532.72 uk Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Моделювання і управління Моделювання і управління |
| spellingShingle |
Моделювання і управління Моделювання і управління Чернуха, О.Ю. Гончарук, В.Є. Білущак, Ю.І. Чучвара, А.Є. Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту Математичні машини і системи |
| description |
Запропоновано математичні моделі міграції забруднення у ґрунтах з урахуванням двох шляхів переносу частинок з різними коефіцієнтами дифузії-у водному поровому розчині та в адсорбованих на скелеті ґрунту шарах води, а також процесів сорбції-десорбції за дії сталого та кругового джерел забруднення на поверхні ґрунту. Сформульовано крайові задачі гетеродифузії двома шляхами у середовищі з пастками в одно- (вертикальній) і двовимірній (за кругового джерела) постановках у прямокутній та циліндричній системах координат. Розглянуто практично важливі часткові модельні варіанти, отримані на основі фізичних припущень, щодо коефіцієнтів моделі та миттєвого перерозподілу частинок між станами. Розв’язки модельних задач побудовані з допомогою інтегральних перетворень. Розроблено програмне забезпечення та проведений порівняльний аналіз моделей. Показано, що необхідно враховувати різні шляхи міграції частинок та масообмін між станами, тобто процеси сорбції десорбції. |
| format |
Article |
| author |
Чернуха, О.Ю. Гончарук, В.Є. Білущак, Ю.І. Чучвара, А.Є. |
| author_facet |
Чернуха, О.Ю. Гончарук, В.Є. Білущак, Ю.І. Чучвара, А.Є. |
| author_sort |
Чернуха, О.Ю. |
| title |
Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту |
| title_short |
Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту |
| title_full |
Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту |
| title_fullStr |
Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту |
| title_full_unstemmed |
Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту |
| title_sort |
математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Моделювання і управління |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/125613 |
| citation_txt |
Математичне моделювання та прогнозування поширення радіоактивних забруднень у приповерхневих шарах насиченого ґрунту / О.Ю. Чернуха, В.Є. Гончарук, Ю.І. Білущак, А.Є. Чучвара // Математичні машини і системи. — 2017. — № 3. — С. 82-101. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT černuhaoû matematičnemodelûvannâtaprognozuvannâpoširennâradíoaktivnihzabrudnenʹupripoverhnevihšarahnasičenogogruntu AT gončarukvê matematičnemodelûvannâtaprognozuvannâpoširennâradíoaktivnihzabrudnenʹupripoverhnevihšarahnasičenogogruntu AT bíluŝakûí matematičnemodelûvannâtaprognozuvannâpoširennâradíoaktivnihzabrudnenʹupripoverhnevihšarahnasičenogogruntu AT čučvaraaê matematičnemodelûvannâtaprognozuvannâpoširennâradíoaktivnihzabrudnenʹupripoverhnevihšarahnasičenogogruntu |
| first_indexed |
2025-07-09T03:30:08Z |
| last_indexed |
2025-07-09T03:30:08Z |
| _version_ |
1837138506613260288 |
| fulltext |
82 © Чернуха О.Ю., Гончарук В.Є., Білущак Ю.І., Чучвара А.Є., 2017
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
МОДЕЛЮВАННЯ І УПРАВЛІННЯ
УДК 517.958:532.72
О.Ю. ЧЕРНУХА
*
, В.Є. ГОНЧАРУК
**
, Ю.І. БІЛУЩАК
*
, А.Є. ЧУЧВАРА
*
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРОГНОЗУВАННЯ ПОШИРЕННЯ
РАДІОАКТИВНИХ ЗАБРУДНЕНЬ У ПРИПОВЕРХНЕВИХ ШАРАХ НАСИЧЕНОГО
ҐРУНТУ
*
Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстри-
гача НАН України, м. Львів, Україна
**
Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна
Анотація. Запропоновано математичні моделі міграції забруднення у ґрунтах з урахуванням двох
шляхів переносу частинок з різними коефіцієнтами дифузії – у водному поровому розчині та в ад-
сорбованих на скелеті ґрунту шарах води, а також процесів сорбції-десорбції за дії сталого та
кругового джерел забруднення на поверхні ґрунту. Сформульовано крайові задачі гетеродифузії
двома шляхами у середовищі з пастками в одно- (вертикальній) і двовимірній (за кругового джере-
ла) постановках у прямокутній та циліндричній системах координат. Розглянуто практично ва-
жливі часткові модельні варіанти, отримані на основі фізичних припущень, щодо коефіцієнтів
моделі та миттєвого перерозподілу частинок між станами. Розв’язки модельних задач побудова-
ні за допомогою інтегральних перетворень. Розроблено програмне забезпечення та проведений по-
рівняльний аналіз моделей. Показано, що необхідно враховувати різні шляхи міграції частинок та
масообмін між станами, тобто процеси сорбції-десорбції.
Ключові слова: моделювання, поверхневе радіоактивне забруднення, ґрунт, гетеродифузія,
пастка, програмне забезпечення, чорнобильська катастрофа.
Аннотация. Предложены математические модели миграции загрязнения в почвах с учетом двух
путей переноса частиц с различными коэффициентами диффузии – в водном поровом растворе и
в адсорбированных на скелете грунта слоях воды, а также процессов сорбции-десорбции при дей-
ствии постоянного и кругового источников загрязнения на поверхности почвы. Сформулированы
краевые задачи гетеродиффузии двумя путями в среде с ловушками в одно- (вертикальной) и дву-
хмерной (из кругового источника) постановках в прямоугольной и цилиндрической системах коор-
динат. Рассмотрены практически важные частные модельные варианты, полученные на основе
физических предположений относительно коэффициентов модели и мгновенного перераспределе-
ния частиц между состояниями. Решения модельных задач построены с помощью интегральных
преобразований. Разработано программное обеспечение и проведен сравнительный анализ моде-
лей. Показано, что необходимо учитывать различные пути миграции частиц и массообмен между
состояниями, то есть процессы сорбции-десорбции.
Ключевые слова: моделирование, поверхностное радиоактивное загрязнение, почва, гетеродиф-
фузия, ловушка, программное обеспечение, чернобыльская катастрофа.
Abstract. Mathematical models of contaminant migration in soils taking into account two ways for
particle transport with different diffusion coefficients, namely, in water porous solution and adsorbed
water layers on ground skeleton, as well as the processes of sorption-desorption under action of
contamination on soil surface are proposed. The initial-boundary value problem of heterodiffusion by two
ways in a medium with traps is formulated in one- (vertical) and two-dimensional (from circular source)
statements in rectangular and cylindric coordinates. Practically important partial variants of the model
are considered on the basis of physical assumptions in regard to the model coefficients and instantaneous
redistribution of admixture particles between states. Solutions of the model problems are constructed by
integral transformations. It is designed software and comparative analysis is carried out. It is shown that
different ways of admixture particle migration have to be taken into consideration as well as mass
exchange between states, i.e. the processes of sorpsion-desorption.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 83
Keywords: modelling, surface contamination, soil, heterodiffusion, trap, software, Chernobyl disaster.
1. Вступ
Міграція радіоактивних речовин, які потрапили на поверхню землі, призводить до забруд-
нення рослин, водойм, річок і ґрунтових вод. Поширення забруднень у довкіллі значною
мірою визначається процесами поверхневого змиву та подальшої дифузії. При цьому про-
цеси поверхневого перерозподілу забруднень є на декільки порядків швидшими, ніж про-
цеси дифузії [1].
Оцінка захищеності ґрунтових вод у випадку попадання забруднюючих речовин
тісно пов’язана із модельним уявленням про перерозподіл домішкових частинок у припо-
верхневих шарах Землі [2]. Важливий практичний інтерес, зокрема, становить випадок
повністю зволожених приповерхневих шарів, коли пори середовища майже повністю за-
повнені водою (ґрунтовим розчином), а домішкові частинки в рамках довільно вибраної
малої області перебувають у фізично різних станах, що істотно впливає на перерозподіл
цієї речовини. Внаслідок цього процес просторового перенесення техногенних домішок
відбувається декількома шляхами та супроводжується локальними переходами з одного
шляху міграції на інший (процесами типу сорбції-десорбції) [3, 4].
Закономірності просторового перерозподілу домішок у значній мірі залежать від
фізико-хімічного стану [5], в якому перебувають частинки, процесів їхньої локальної
трансформації у системі «ґрунт-вода», структурних особливостей середовища та різних
зовнішніх факторів. Оцінка ступеня забрудненості природного середовища та прогноз що-
до поширення шкідливих домішок є актуальними та важливими проблемами охорони дов-
кілля й безпеки життєдіяльності людини. У зв’язку з цим метою роботи є побудова адек-
ватних фізико-математичних моделей переносу шкідливих речовин у приповерхневих ша-
рах Землі, проведення кількісних досліджень переносу радіонуклідів у ґрунтах та розробка
на цій основі ефективних методик оцінки і прогнозування динаміки забрудненості природ-
ного середовища.
Радіонукліди у ґрунті в основному перебували у таких фізико-хімічних формах: у
складі паливних частинок, а також водорозчинній, обмінно-сорбованій та фіксованій у
твердій фазі формах. У результаті зовнішніх чинників, наприклад, опадів чи життєдіяль-
ності живих організмів, між різними формами радіонуклідів проходять різноманітні об-
мінні процеси, що приводять до трансформації однієї форми в іншу. Гравітаційно рухомі
фракції радіонуклідів: водорозчинна та іонно-сорбована, утворилася в результаті вилуго-
вування радіонуклідів з паливомісних, так званих «гарячих», частинок. Необмінно-
сорбована (фіксована) форма утворилася у результаті вилуговування з «гарячих» макроча-
стинок радіонуклідів і подальшою їх фіксацією твердою фазою ґрунту. Причина фіксації –
взаємодія іонів радіонуклідів з кристалічною граткою деяких компонентів глинистих ма-
теріалів.
За швидкостями міграції виділяють, як правило, дві групи радіоактивних частинок –
іони, які знаходяться у поровому розчині, та іони, частково зв’язані в адсорбованій воді на
поверхні скелета ґрунту або зв’язані безпосередньо зі скелетом ґрунту.
У багатьох випадках достатньо виділити три фізично різні стани домішкових части-
нок, які відповідають їхньому знаходженню в області гравітаційно рухомого водного по-
рового розчину, шарах адсорбованої і зв’язаної зі скелетом води та області самого скелета
(рис. 1). У цих станах частинки мають різну рухливість, характеризуються різними
коефіцієнтами концентраційного розширення тощо.
84 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
Рис. 1. Характерна структура фізично малого елемента тіла. Область 1 займає водний поровий розчин,
область 2 – адсорбовані на скелеті ґрунту шари води, 3 – скелет ґрунту
2. Математичні моделі масоперенесення радіонуклідів у ґрунтах
Математична модель гетеродифузії двома шляхами у тілі з пастками побудована методами
термодинаміки нерівноважних процесів з використанням представлень механіки суцільно-
го середовища. Частинкам забруднення одного хімічного виду, якщо вони знаходяться у
гравітаційно рухомому поровому розчині або в адсорбованих на внутрішній поверхні ша-
рах води, відповідають різні шляхи дифузії, а в об’ємі скелета ґрунту – пастки. При макро-
скопічному описі частинки у цих станах розглядаються як термодинамічні компоненти
системи. Приймалась гіпотеза локальної термодинамічної рівноваги і знаходились лінійні
рівняння стану. Формулювались балансові співвідношення, які відповідають законам збе-
реження і балансу маси, імпульсу та енергії. З рівнянь балансу ентропії записано кінетичні
рівняння моделі.
Після лінеаризації отримано таку ключову систему рівнянь моделі:
рівняння гетеродифузії домішкової речовини у середовищі з пастками:
1
11 1 12 2 11 1 12 2( )
dc
D c D c c c
d
, (1а)
2
21 1 22 2 21 1 22 2 23 3( )
dc
D c D c c c c
d
, (1б)
3
32 2 33 3
dc
c c
d
; (1в)
рівняння дифузії частинок води:
4
44 4( )
dc
D c
d
; (1г)
рівняння теплопровідності:
0
( )
p
H
c dt
t Q
T d
; (1д)
рівняння руху і нерозривності:
dv
g
d
,
d
v
d
; (1е)
де kc – масова концентрація, індекс 1,5k відмічає відповідні величини для частинок до-
мішкової речовини одного хімічного виду у поровому розчині ( 1)k , поверхні ( 2)k і
об'ємі скелета ( 3)k , самого розчину ( 4)k та скелета ( 5)k ; ijD – коефіцієнти дифузії;
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 85
v 1/ – питомий об’єм, – густина; – оператор Гамільтона, крапкою позначено ска-
лярний добуток; pc 0 ( ) pT s T – питома теплоємність при постійному тиску; – час, 0T
– абсолютна температура в початковий момент; HQ – нескомпенсоване тепло [6, 7]; ,
p , l – коефіцієнти теплопровідності; g – масова густина потенціальної і консервативної
сили; kv – швидкість компоненти k по відношенню до точок ейлерового простору; *
ij –
концентраційні коефіцієнти інтенсивності процесів переходу з одного шляху міграції на
інший , 1,3i j .
Для отримання простіших математичних моделей використаємо умови локальної
термодинамічної рівноваги між різними станами домішкових частинок, що відповідає мит-
тєвому перерозподілу частинок між відповідними станами. Так, якщо виконується умова
локальної термодинамічної рівноваги між другим та третім станами домішки, то перенос
домішкових частинок підпорядковується системі рівнянь гетеродифузії:
( ) ( ) ( )1
11 1 12 2 1 1 2 2( )e e edc
D c D c k c k c
d
, (2а)
( )
( ) ( ) ( )2
21 1 22 2 1 1 2 2( )
e
e e edc
D c D c k c k c
d
, (2б)
де ( )
2 2 3
ec c c , а ефективні коефіцієнти набувають вигляду
*
( ) 33 12
12 * *
33 32
e D
D
,
*
( ) 33 22
22 * *
33 32
e D
D
.
Якщо виконується умова локальної термодинамічної рівноваги між першим та дру-
гим станами домішки, то перенос домішкових частинок підпорядковується системі рівнянь
дифузії у середовищі з пастками:
( )
( ) ( ) ( )1
1 1 1 1 3 3( )
e
e e edc
D c k c k c
d
, (3а)
( )3
1 1 3 3
edc
k c k c
d
, (3б)
тут ( )
1 1 2
ec c c , ( ) 21 11 21 11 12 22
1
11 21
( ) ( )e D D D D
D
, 12 22
1 11
11 21
k
, 3 23 33k .
Якщо виконується умова локальної термодинамічної рівноваги між усіма станами
домішки, то міграція домішкових частинок підпорядковується рівнянню дифузії в середо-
вищі з ефективними характеристиками:
( )
ef
ef ef
dc
D c
d
, (4)
тут efc ( )
1 3
ec c 1 2 3c c c ,
( ) ( )
2 11 21 1 12 22
1 2
( ) ( )e e
ef
k D D k D D
D
k k
.
Залежно від властивостей конкретного радіонукліда і переважаючих його фізико-
хімічних форм, у даному типі ґрунту для дослідження міграції радіонуклідів у природних
об’єктах вибирається та чи інша математична модель. Кожна математична модель повинна
враховувати найбільш суттєві ефекти та параметри дослідження для конкретного випадку.
86 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
Кількісний опис процесів для вертикального масопереносу (одновимірний просто-
ровий випадок) зводиться до розв’язання рівнянь (1)–(4) при відповідних умовах на кон-
центрації ic ( 1,2,3)i на границях середовища і в початковий момент часу. Постановки
крайових задач здійснено для шару 0 у безрозмірній формі, де
2t k ; ( ) 1/2 ( )
2 1( )k D x , 1,3 , 1/2
0 2 1 0( / )k D x . (5)
У випадку одновимірної (вертикальної) гетеродифузії у середовищі з пастками сис-
тема рівнянь (1а)–(1в) набуває вигляду
2 2
1 1 2
1 1 22 2
c c c
d ac c
t
,
2 2
2 1 2
2 1 2 2 1 32 2
(1 )
c c c
d d ac a c a c
t
,
3
2 2 1 3
c
a c a c
t
.
Тут
1
2
D
D
d ,
1
3
1
D
D
d ,
1
4
2
D
D
d ,
2
1
k
k
a ,
2
3
1
k
k
a ,
2
4
2
k
k
a .
Прийнято, що в початковий момент часу у шарі ґрунту відсутня забруднююча ре-
човина, тобто
1 2 30 0 0
0
t t t
c c c
. (6)
З моменту 0t на поверхні 0 підтримуються постійні значення сумарної кон-
центрації 0c , на нижній границі шару 0 домішкова речовина відсутня, а саме
1 00
c c
, 2 00
(1 )c c
;
0 0
1 2 0c c
. (7)
Тут – параметр задачі (0 1) , який задає частку радіонуклідів, що з поверхні по-
трапляють на швидкий шлях дифузії (у рідину). Цей параметр у більшості випадків
невідомий і повинен визначатися з додаткових умов. Так, при 1 всі частинки попада-
ють у водний розчин.
Аналітичні розв’язки рівнянь для різних модельних варіантів (1)–(4) за крайових
умов (6)–(7) отримано методом інтегральних перетворень Лапласа і Фур’є. В результаті
отримаємо для концентрацій ),( tci :
120 3
1 0 3 2 3 1 1 1 2
10 1
2
1 sin ( )
s t
n
n
c P
c c y P s s s s s Ps P e
n s
322 23 3
3 1 2 1 2 2 1 2 3 1 3 2
2 3
( )( ( )
s ts tP P
s s s s Ps P e s s s s Ps P e
s s
,
20
2 0 3 2 3 1
10
2
(1 ) 1 sin { ( ) (1 )n
n
c
c c y P s s s s s
n
1 223 3
1 1 2 3 1 2 1 2 2
1 2
( ) (1 )
s t s tP P
Ps P e s s s s Ps P e
s s
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 87
32 3
1 2 3 1 3 2
3
( ) (1 )
s tP
s s s s Ps P e
s
,
10 3
3 2 3 2 3 1 2
1 1
2
sin ( ) 2(1 )
s t
n
n
c P
c a y P s s s s s P e
n s
323 3
3 1 2 2 1 2 3 2
2 3
( ) 2(1 ) ( ) 2(1 )
s ts tP P
s s s s P e s s s s P e
s s
.
Тут 2
1 1 1 1 22 ( ) ( 1)nP y d d a a a ,
2
2 1 2 1 2 1 1[ (1 ( 1)) ] (1 )nP y d a a d aa a , 2
3 1 1 1 nP a d y ,
2
1 2 1 2 1(1 ) (1 )( )nP y d a a a ,
2
2 2 1 1 2( 1) (1 )( )nP y d a a a
2 1 1(1 ) ( )aa a a ,
2
3 1 1 2 nP a d y , 2
2 2( (1 ) ) nP a d y ,
2 2
3 2 2 1 2(1 ) (1 )n a nP a d y d d y ,
1 2 2 3 3 1
1
( )( )( )
s
s s s s s s
,
1 2 3
1
s
s s s
,
1
1 2 / 3 cos( / 3)
3
s p
, 1
2,3 2 / 3 cos
3 3 3
s p
,
де
3
cos
2 ( / 3)
q
p
.
Відмітимо, що отримані вирази для концентрації домішкової речовини у трьох різ-
них станах мають однакову структуру. Члени, які не залежать від часу і визначають асимп-
тотичну поведінку, та члени, що по-різному залежать від часової змінної, при цьому ця
залежність близька до поведінки функції erfc .
У наведених формулах присутні доданки, що повільно збігаються, а саме ті, які ви-
значають асимптотику розв'язку при t . Просумуємо їх окремо. У виразі для концент-
рації домішки в поровому розчині маємо член
0 0 3
1 3
1 1 3
2 2
sin sinn n
n n
c c P
I P s y y
n n
.
Після відповідних перетворень його можна представити таким чином:
2
0 01
1 1 3 2 2
1
2 sin
( )
n
na
c y
I d
d n n
,
де ряд можна просумувати [8]. В результаті маємо
0 1 1 0
1
0 0
sh ( )
1
sha
c d
I
d
. (8)
Після аналогічних перетворень для члена, який визначає асимптотику концентрації
частинок в адсорбованих на скелеті ґрунту шарах води, одержимо
88 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
0 0 2 1 0
2 3
1 0 0
2 sh ( )
sin 1
sh
n
n a
c c d
I P s y
n d
. (9)
Оскільки при t 3 2( ) ( )c bc , то, використовуючи вираз (9), отримаємо
0 2 1 0
3
0 0
sh ( )
1
sha
c d
I b
d
. (10)
Із урахуванням формул (8)–(10) запишемо:
розподіл концентрації домішок у водному поровому розчині:
0 1 1 0
1 0
0 0 0
sh ( )
( , ) 1 1
sha
c d
c t c
d
12 20 3
2 3 1 1 1 2 3 1 2
1 1
2
sin ( ) ( )
s t
n
n
c P
s y s s s Ps P e s s s
n s
32 23 3
1 2 2 1 2 3 1 3 2
2 3
( )
s ts tP P
Ps P e s s s Ps P e
s s
; (11a)
розподіл концентрації домішкової речовини, яка мігрує в адсорбованих на внутріш-
ній поверхні скелета ґрунту шарах води:
0 2 1 0
2 0
0 0 0
sh ( )
( , ) (1 ) 1 1
sha
c d
c t c
d
12 20 3
2 3 1 1 1 2 3 1 2
1 1
2
sin ( ) (1 ) ( )((1 )
s t
n
n
c P
s y s s s Ps P e s s s
n s
32 23 3
1 2 2 1 2 3 1 3 2
2 3
( ) (1 )
s ts tP P
P s P e s s s Ps P e
s s
; (11б)
розподіл концентрації частинок в об'ємі скелета ґрунту (пастках):
0 2 1 0
3
0 0
sh ( )
( , ) 1
sha
c d b
c t
d
10 3
2 2 3 1 2
1 1
2
sin ( ) 2(1 )
s t
n
n
c P
a s y s s s P e
n s
323 3
3 1 2 2 1 2 3 2
2 3
( ) 2(1 ) ( ) 2(1 )
s ts tP P
s s s P e s s s P e
s s
; (11в)
розподіл сумарної концентрації домішки в середовищі з двома шляхами міграції і
наявністю пасток для домішкових частинок:
0
0
0 0 0
sh ( )
( , ) 1 1
sh
c t c B
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 89
12 20 3
2 3 1 1 1 2 3 1 2
1 1
2
sin ( ) ( )(
s t
n
n
c B
s y s s s B s B e s s s
n s
32 23 3
1 2 2 1 2 3 1 3 2
2 3
( )
s ts tB B
B s B e s s s B s B e
s s
, (11г)
де
0 1
1 2( (1 ) )
a
c
B d b d
d
, 1 1 22 (1 )B P P a , i i i iB P P P , 2,3i .
Таким чином, у наведених формулах виділені асимптотичні складові. Зазначимо,
що отримані залежності суттєво відрізняються від класичних (лінійних), які знаходять з
розв'язку незв'язаної системи рівнянь гетеродифузії або з поодинокого рівняння з ефектив-
ними характеристиками. Причому доданки типу 0 0sh ( ) sh вносять суттєвий вклад
у розподіли концентрацій у приповерхневому шарі і показують збільшення концентрації
радіонуклідів біля границі ґрунту.
При оцінці інтенсивності забруднення домішковими частинками водоносних гори-
зонтів важливими характеристиками є величини потоків у рідкій фазі, в адсорбованих на
скелеті ґрунту шарах води та їхня сума. Виходячи з формул (1а), (1б), запишемо їх для да-
ного випадку у вигляді
1 2
1 1 3
c c
J D D
x x
, 1 2
2 4 2
c c
J D D
x x
і, використовуючи формули (5), представимо через безрозмірні змінні:
1/2 1 2
1 2 1 1( )
c c
J k D d
,
1/2 1 2
2 2 1 2( )
c c
J k D d d
.
При цьому сумарний потік домішки 1 2J J J через поверхню приймає ви-
гляд
1/2 1 2
2 1 2 1( ) ( )
c c
J t k D d d
.
Підставляючи в останнє співвідношення вирази для концентрацій (11а) і (11б),
знайдемо потік через поверхню в середовищі з двома шляхами міграції:
11/2 2
0 0 2 1 1 2 3 1 1 2 1 3
1
( ) ( ) { 2 cos( ) ( )( )
s t
n
n
J t c k D v y s s s s s e
322 2
3 1 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3 3( )( ) ( )( ) }
s ts t
s s s s e s s s s e ,
де 1 dA , 2 1(1 ) ( )i i id P d d P , 2;3i .
Наведемо вираз для сумарного потоку домішки через нижню границю досліджува-
ного шару 0 :
11/2 2
0 0 0 2 1 1 2 3 1 1 2 1 3
1
( ) ( ) { 2 ( 1) ( )( )
s tn
n
J t c k D v s s s s s e
90 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
322 2
3 1 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3 3( )( ) ( )( ) }
s ts t
s s s s e s s s s e . (12)
Відмітимо, що у формулах для потоків наявний доданок, який не залежить від часо-
вої змінної і визначає поведінку потоків при . Вирази для цих членів містять поряд з
коефіцієнтами дифузії також кінетичні коефіцієнти, які характеризують взаємопереходи
частинок. У результаті вони можуть бути використані для оцінки цих коефіцієнтів та інте-
рпретації експериментальних даних, що відповідають стаціонарним умовам.
Певний інтерес представляє величина
0
( )
t
Q J t dt
, (13)
яка визначає кількість домішкової речовини, що за час t пройшла через одиницю площі
поверхні . Підставляючи вираз для сумарного потоку (12), отримаємо
1/2 22 3
0 0 2 1 1 1 1
1 1
( ) 2 cos( ) (n
n
s s
Q c k D t y s s
s
1 223 1
2 1 3 1 2 2 2 3
2
)( 1) ( )( 1)
s t s ts s
s e s s e
s
321 2
1 3 2 3 3
3
( )( 1)]}
s ts s
s s e
s
.
Числовий аналіз отриманих закономірностей (11a)–(11в) показує, що з часом прохо-
дить суттєве накопичення домішкових частинок у пастках (в об'ємі монокристалів ґрунту).
Причому, якщо при малих часах відбувається різке зростання сумарної концентрації час-
тинок у приповерхневому шарі, то зі збільшенням часового проміжку максимум розподілу
сумарної концентрації зсувається у глибину ґрунту.
Фізичні значення характеристистик домішкових частинок та ґрунту впливають
тільки на величину сумарної концентрації, та їхня зміна не приводить до якісної зміни по-
ведінки концентраційних залежностей. Так, чим більше домішки з поверхі ґрунту попаде в
адсорбовані на скелеті ґрунту шари води, тим більша концентрація забруднення. Збіль-
шення сумарної концентрації домішки відбувається також при зменшенні коефіцієнта ди-
фузії d , при збільшенні інтенсивностей переходу частинок з порового розчину в адсорбо-
вані на скелеті ґрунту шари води a та з адсорбованих шарів в об'єм монокристалів ґрунту
2a та зменшенні інтенсивності зворотного переходу 1a .
Розв'язання крайової задачі (2), (6), (7) здійснюємо за тією самою методикою. В ре-
зультаті отримаємо:
розподіл концентрації у водному поровому розчині:
2 0 0
1 0
0 0 0
sh ( )
( , ) 1 1
sha
A c
c t c
d
1 20 2 2
1 1 2 1
1 1 2 1 2
2 sin
( )
s t s tn
n
c y A A
s A e s A e
n s s s s
; (14a)
розподіл концентрації домішки в адсорбованих шарах води:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 91
2 0 0
2 0
0 0 0
sh ( )
( , ) (1 ) 1 1
sha
B c
c t c
d
1 20 2 2
1 1 2 1
1 1 2 1 2
2 sin
(1 ) (1 )
( )
s t s tn
n
c y B B
s B e s B e
n s s s s
; (14б)
розподіл суми концентрацій у сeредовищі:
2 0 0
0
0 0 0
sh ( )
( , ) 1 1
sha
A c
c t c
d
1 20 2 2
1 1 2 1
1 1 2 1 2
2 sin
( )
s t s tn
n
c y A A
s A e s A e
n s s s s
, (14в)
де 1 1 1A B A , 2 2 2A B A , 2
1 1(1 ) nA a d y , 2
2 1 1 nA d y , 2
1 2(1 )(1 ) nB a d y ,
2
2 1 2 nB d y , /ad d , 1 2d d d d , 1 1(1 )d d d , 2 2 (1 )d d ,
1,2 1 / 2s ,
1/2
2 2
1 2( / 2) ny , 2
1 1 (1 ) na d y , 2
2 a nd d y .
У випадку, коли в середовищі виконується умова локальної рівноваги щодо проце-
сів переходу домішкових частинок між водним поровим розчином та адсорбованими на
скелеті ґрунту шарами води, то, нехтуючи конвективною складовою, маємо таку систему
рівнянь дифузії домішкової речовини у середовищі з пастками:
( ) 2 ( )
( ) ( )1 1
1 1 3 32
e e
e ec c
d ac a c
t
,
( )3
1 3 3
ec
ac a c
t
, (15)
де ( ) ( )
1 1 1/ ( )e ed D D , 3 3 2/ ( )a k k .
У цьому випадку крайові умови мають вигляд: у початковий момент часу
( )
1 3 00
0e
tt
c c
(16)
і на границях шару
( )
1 00
ec c
,
0
( )
1 0ec
. (17)
Тоді розв'язок задачі (15)–(17) запишеться у вигляді:
розподіл концентрації домішки у водному поровому розчині:
1 2( ) 0
1 0 1 3 2 3
10 1 2
2 sin
( , ) 1 ( ) ( )
s t s te n
n
c y
c t c s a a e s a a e
n s s
; (18а)
розподіл концентрації частинок у пастках:
1 2
3 0 0 0
13 0 1 2 1 2
sin 1 1
( , ) 1 2
s t s tn
n
n
ya
c t c c a y e e
a s s s s
; (18б)
розподіл суми концентрацій у такому ефективному середовищі:
92 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
1
2 2
0 0
0 1 3
10 3 1 2 1
2 sin
( , ) 1 1
s tn n
n
c y a ya
c t c s a a e
a n s s s
2
2 2
0
2 3
2
s tna y
s a a e
s
. (18в)
Тут 1 2,s s – розв'язки рівняння 2
1 2 0s s , в якому коефіцієнти
( ) 2
1 1 3
e
nd y a a ,
( ) 2
2 3 1
e
na d y .
Потік домішкової речовини, яка мігрує в водному поровому розчині з ефективним
коефіцієнтом дифузії в середовищі з пастками, можна отримати за формулою
)(
1)(
1
2/1
12 )()(
e
e c
dDktJ . (19)
Підставляючи вираз для концентрації (18) в (19), отримаємо
1 2( ) 1/20
1 2 1 1 3 2 3
10 1 2
cos
( ) ( ) 1 2 ( ) ( )
s t s te n
n
c y
J t d k D s a a e s a a e
s s
. (20)
Ефективний коефіцієнт дифузії efd з урахуванням введених позначень можна подати
у вигляді
2 1
1 1
1
(1 )
ef
ef
D d ad
d
D a D
. (21)
Щоб отримати співвідношення для потоку в ефективному середовищі, можна ско-
ристатись формулою (19) з коефіцієнтом дифузії (21). Отже, враховуючи розподіл концен-
трації забруднення, маємо
1
2/1
12
0
0 cos21)()(
2
n
n
tyd
ef yeDkd
c
tJ nef . (22)
Тепер розглянемо випадок, якщо у середовищі наявна умова локальної рівноваги
між усіма трьома станами:
2
2
ef ef
ef
c c
d
t
. (23)
Вважаємо, що в початковий момент часу задано
0
0ef t
c
(24)
і на границях шару маємо
00efc c
,
0
0efc
. (25)
Розв'язок задачі (23)–(25) запишеться у вигляді
2
0
0
10
2
( , ) 1 sinef nd y t
ef n
n
c
c t c e y
n
. (26)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 93
Знайдемо вирази для потоків домішкової речовини через одиницю площі поверхні
на деякій глибині . Для цієї задачі, відповідно до вигляду рівняння (4) у безрозмір-
них змінних (5), формула для визначення дифузійного потоку має вигляд (19).
Підставляючи в останнє співвідношення вирази для концентрацій (14а) і (14б),
знайдемо потік через поверхню в середовищі за наявної умови локальної термоди-
намічної рівноваги між другим та третім станами:
1 21 1/2
0 0 2 1 1 2
1 1 2
cos
( ) ( ) 2 ( ) ( )
s t s tn
d d d d d
n
y
J t c k D A A s A e A s A e
s s
, (27)
де 2 1(1 )dA d d , 2(1 )d d nA a A d y
.
Зокрема, сумарний потік домішкових частинок через нижню поверхню шару 0
запишеться таким чином:
1 21/20
0 2 1 1 2
10 1 2
( 1)
( ) ( ) 2 ( ) ( )
n
s t s t
d d d d
n
c
J t k D A A s A e A s A e
s s
.
Кількість домішкової речовини, що за час t пройшла через одиницю площі повер-
хні , визначається за формулою (13). Підставляючи вирази для потоків (20), (22),
(27) отримаємо:
для випадку локальної рівноваги між адсорбованими шарами води та пастками для доміш-
кових частинок:
11 1/2
0 0 2 1 1
1 1 2 1
cos 1
( ) 2 ( )( 1)
s tn
d d
n
y
Q c k D A t A s A e
s s s
2
2
2
1
( )( 1)
s t
dA s A e
s
;
у випадку переносу частинок у розчині з ефективним коефіцієнтом дифузії в середовищі з
пастками:
1( ) 1/20
1 2 1 1 3
10 1 2 1
cos 1
( ) 2 ( )( 1)
s te n
n
c y
Q d k D t s a a e
s s s
2
2 3
2
1
( )( 1)
s t
s a a e
s
;
при наявності в середовищі локальної термодинамічної рівноваги між усіма станами:
2
1/20
2 1 2
10
2
( ) ( 1)cosef nd y t
ef n
n n
c
Q d k D t e y
y
.
Отримані вирази для концентрацій, потоків і кількості речовини містять ряд нових
невідомих характеристик середовища, зокрема, таких як 1k i 2k , що визначають інтенсив-
ність переходу частинок між різними шляхами міграції (станами 1 і 2). Ці величини можна
знаходити шляхом чисельного експерименту по підгонці розрахункових профілів концент-
рацій до знайдених експериментально [9] або реалізуючи цільові експериментальні дослі-
дження. Ідея таких експериментів наведена, зокрема, в роботі [10].
94 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
Для встановлення основних закономірностей гетеродифузії, зважаючи на викорис-
тану безрозмірну форму, досліджено залежності розподілів концентрацій і потоків від від-
повідних характеристик у широких межах. Так, для всіх моделей цього пункту з часом
концентрація домішкової речовини у ґрунті суттєво зростає. Наявність у середовищі пас-
ток для домішкових частинок збільшує концентрацію забруднення по всій глибині шару.
Можливість міграції частинок в адсорбованих шарах води (повільним шляхом) призводить
до збільшення забруднення у приповерхневій зоні і різкого спадання концентрації в сере-
дині шару, особливо для малих проміжків часу.
Розподіл сумарної концентрації домішкової речовини за моделлю її міграції двома
шляхами істотно залежить від таких характеристик середовища, як параметр , який задає
долю домішкових частинок, що попадають з поверхні у водний поровий розчин, та конс-
танти рівноваги a, що визначається відношенням кінетичних коефіцієнтів 1k і 2k процесу
переходу частинок, або локально рівноважними значеннями концентрацій, тобто
1 2 2 1/ /a k k c c .
При t відмінності між розподілами концентрацій, знайденими за формулами
(14) і (26), визначаються виразом
0
0 0
sh ( )
1
sh
efc c A
,
де /ad d і 1
0 1 2 1( ) aA c d d d
, які у випадку 1 2 0d d даються виразами
1/2(1 / )a d , 0
(1 )[ (1 ) 1]d a
A c
d a
.
Покажемо, що
0
0 0
sh ( )
1 0
sh
a
a
. (28)
Якщо (28) має місце, то тоді повинна виконуватися нерівність
0 0
0 0
sh ( )
sh
a
a
,
і, оскільки всі члени невід’ємні, то
0 0
0 0
sh ( ) sha a
.
Враховуючи розклад
2 1 3 5
0
sh ...
(2 1)! 3! 5!
k
k
x x x
x x
k
,
одержимо
3 2 5 4 3 2 5 4
0 0 0 0
1 1 1 1
( ) ( ) ... ...
3! 5! 3! 5!
a a a a a a
або
2 2 2 2
2 2
0 0
1 1
( )
(2 1)! (2 1)!
k k
k k
k k
a a
k k
.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 95
Оскільки 0 0 , то кожен член ряду з лівої частини нерівності завжди небіль-
ший за відповідний член ряду справа, то остання нерівність справедлива, а, значить, вико-
нується і нерівність (28).
При 0 бачимо, що 0
1 d
A c
d a
, тобто концентрація ( , )c t спадає швидше,
ніж ефективна концентрація ( , )efc t . Причому для малих значень параметра a (коли a
співмірний з d) коефіцієнт А не міняє свого вигляду, тоді як при a d отримаємо
1
0 (1 )A c d a
, тобто, збільшуючи параметр a , ми тим самим зменшуємо коефіцієнт
А , що наближає концентрацію ( , )c t до ефективної.
При 1 маємо 1
0 (1 )( )A c a d d a
. Додатній знак коефіцієнта означає, що з ро-
стом концентрація ( , )c t спадає повільніше, ніж ефективна концентрація ( , )efc t , або
обумовлює зростання сумарної концентрації. При великих значеннях параметра а отрима-
ємо 0 (1 )A c d , тобто в цьому випадку коефіцієнт суттєво залежить тільки від d , тоді
як при малих а, як і для 0 , А не змінює свого вигляду.
Поклавши 0d (випадок пасток), отримаємо
0
0
(1 ) 1
1ef
a
c c c
a
.
Як бачимо, зникає нелінійна частина різниці і лишається тільки лінійна добавка.
У рівноважному випадку 1(1 )p a : 0A . Тобто в усталеному режимі при рів-
новажному значенні сумарна концентрація ( , )c t співпадає з концентрацією в ефектив-
ному середовищі ( , )efc t .
З практичної точки зору найбільший інтерес представляють величини сумарних по-
токів домішкової речовини через задану поверхю. Відношення потоків, визначених у різ-
них наближеннях, що описуються формулами (22) і (27), при t буде
1
[ (1 ) ]
1
d
ef
ef
AJ a
d
J d ad
,
приймаючи 1 2 0d d . При 0 бачимо, що 1(1 )(1 )efJ J d a ad
, тобто при зна-
ченнях параметра a , які співмірні з коефіцієнтом d , відношення потоків прямо пропор-
ційне до d , тоді як при a d маємо (1 )efJ J ad ad . Це означає, що при збільшен-
ні коефіцієнта a в усталеному режимі реальний потік наближається до потоку в ефектив-
ному середовищі. При 1 відношення досліджуваних потоків має вигляд
(1 ) (1 )efJ J a ad , звідки видно, що при a d відношення efJ J прямує до 1/ d ,
а при малих значеннях параметра a - до 1. Розглядаючи рівноважне значення 1 (1 )p a ,
бачимо, що 1efJ J .
У випадку середовища з пастками ( 0)d маємо efJ J
(1 )a . Звідки для 1
при великих значеннях a відношення потоків прямує до цього ж параметра, а при 0a
J прямує до efJ . При 0 відношення потоків в усталеному режимі 0efJ J .
На рис. 2 наведено розподіли сумарних концентрацій (а) та потоків (б) домішкової
речовини для моделі: з двома шляхами міграції частинок та пастками (криві 1),
гетеродифузії двома шляхами (криві 2), дифузії в середовищі з ефективними
96 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
характеристиками та пастками (криві 3), дифузії в середовищі з ефективними ха-
рактеристиками (криві 4).
При розрахунках прийнято такі значення характеристик середовища: 0 10 ,
1 2 0d d , 1 0,01a , 2 0,001a в момент часу 10t .
0
2
4
6
8
0 2,5 5 7,5 10
1a
1b
1c
2c
2b
2a
3
4
a
0
0,26
0,52
0,78
1,04
1,3
0 75 150 225 300 375
1c
1b
2c
2b
3
4
1a 2a
б
Рис. 2. Порівняльні розподіли концентрацій та потоків для різних модельних випадків
у залежності від коефіцієнта
На рис. 2 (а) вздовж осі ординат відкладено відношення сумарної концентрації до її
значення на поверхні шару 0( , ) /c t c , вздовж осі абсцис – безрозмірну координату . На
рис. 2 (б) вздовж осі ординат відкладено величину потоку, віднесеного до 0 0c , а вздовж осі
абсцис – безрозмірний час t .
Числові розрахунки показали, що наявність пасток сприяє накопиченню домішки в
шарі ґрунту. Суттєвий вплив на профілі концентрації забруднення домішки має коефіцієнт
поверхневого розподілу домішкової речовини між водним поровим розчином та адсорбо-
ваними шарами води. Коефіцієнт дифузії та інтенсивності процесів сорбції-десорбції
впливають на значення концентрації та потоків, але не змінють їх якісної поведінки.
Встановлено, що механізм проникнення частинок в об'єм скелета ґрунту (пастки)
використовується з часом. Наприклад, розподіли концентрації радіонуклідів, характерні
для середовища з пастками, вперше відмічені в експериментальних даних через 3,5–4 роки
після Чорнобильської аварії.
Зазначимо, що побудова аналітичних розв’язків для концентрацій частинок заб-
руднення у різних станах дала можливість визначити дифузійні потоки та кількість радіо-
нуклідів, що за певний проміжок часу пройшла через задану поверхню ґрунту.
3. Математичні моделі міграції забруднень із кругового джерела на поверхні
Далі розглянемо випадок, коли на поверхні діє кругове джерело забруднення і розглянемо
модель гетеродифузії двома шляхами.
Приймемо, що шар товщиною 0z віднесений до циліндричної системи координат
так, що вісь Oz перпендикулярна до його поверхні 0z .
Нехай у початковий момент часу у ґрунті були відсутні частинки забруднення:
1 20 0
( , , ) ( , , ) 0
t t
c t r z c t r z
, (29)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 97
де t – час, r , z – координати циліндричної системи. На верхній границі шару 0z діє
кругове джерело маси сталої інтенсивності, тобто підтримується постійне значення сумар-
ної концентрації частинок забруднення, яке між різними станами частинок розподіляється
таким чином:
0 0
1 0
0
, ,
( , , )
0, ;z
c r r
c t r z
r r
0 0
2 0
0
(1 ) , ,
( , , )
0, .z
c r r
c t r z
r r
(30)
Також приймається, що
0 0
1 2( , , ) ( , , ) 0
z z z z
c t r z c t r z
,
1 2( , , ) ( , , ) 0
r r
c t r z c t r z
, 1 20 0
( , , ) , ( , , )
r r
c t r z c t r z K
. (31)
Для цього випадку систему диференціальних рівнянь гетеродифузії (2) запишемо у
циліндричній системі координат з урахуванням симетрії за кутом :
2
1 1 1
1 1 1 2 22
1c c c
D r k c k c
t r r r z
,
2
2 2 2
2 1 1 2 22
1c c c
D r k c k c
t r r r z
. (32)
Тут 1D і 2D – коефіцієнти дифузії домішки у водному поровому розчині та сорбованих
шарах води; 1k і 2k – кінетичні коефіцієнти, які визначають процеси типу сорбції-
десорбції.
Крайова задача (29)–(32) розв’язана за допомогою інтегральних перетворень Ханке-
ля, Фур’є і Лапласа.
В результаті отримаємо:
концентрацію домішки на швидкому шляху міграції:
0 01
1 0 0
0 0 0 00
sh ( ) sh ( )( , , )
( ) ( ) ( )
sh sh
s z z s z zc t r z
J r s J rs a a
c r sz sz
1 22 2
1 1 1 1 2 1
10 1 2 1 2
sin2
( )
p t p tn
n n
y z A A
p A e p A e ds
z y p p p p
;
концентрацію домішкових частинок на повільному шляху переносу:
0 02
1 0 0
0 0 0 00
sh ( ) sh ( )( , , )
( ) ( ) ((1 ) )
sh sh
s z z s z zc t r z
J r s J rs b b
c r sz sz
1 22 2
2 1 1 2 2 1
10 1 2 1 2
sin2
( )
p t p tn
n n
y z B B
p B e p B e ds
z y p p p p
;
сумарну концентрацію домішкової речовини 1 2c c c :
0
0
0 0
0
001
00
~sh
)(~sh
)1(
sh
)(sh
)()(
),,(
zs
zzs
a
sz
zzs
arsJsrJ
rc
tzrc
98 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
1 2
1 2
10 1 2 1 2
sin2
( )
p t p tn
n n
y z B B
p A e p A e ds
z y p p p p
.
Тут ( )mJ x – функція Бесcеля m-го порядку; 2 ka k d d , 1 kb k d d , 1 2 ka d k k d ,
1 2(1 )d D D , 1 2A A A , 1 2B B B . 2 2
1 1 2 2 1 2( ) nA D D s D y k k ,
2 2 2
2 1 2 2( )nA D s y d k s , 2 2
1 1 2 1 1 2(1 ) ( ) nB D D s D y k k ,
2 2 2
2 2 1 1( )nB D s y d k s ; 2
1 2ks s d D D , 2 1 1 2kd k D k D , 2
1 1 1 2( ) (1 )D s k k ,
2
2 1 2 2(1 )( )k D s k , 1 , 2 1 ; 1p , 2p – розв’язки рівняння 2
1 2 0p p
з коефіцієнтами 2 2
1 1 2 1 2( )( )nD D s y k k , 2 2 2 2
2 1 2( ) ( )n k nD D s y d s y .
Розглянемо також часткові, проте практично важливі, модельні випадки. У цилінд-
ричній системі координат моделі дифузії у середовищі з пастками набудуть вигляду
2
1 1 1
1 1 1 2 22
1c c c
D r k c k c
t r r r z
,
2
1 1 2 2
c
k c k c
t
. (33)
Для даної задачі крайові умови (29)–(31) мають вигляд
1 20 0
( , , ) ( , , ) 0
t t
c t r z c t r z
, 1( , , ) 0
r
c t r z
, 1 0
( , , )
r
c t r z K
,
0 0
1 0
0
, ,
( , , )
0, .z
c r r
c t r z
r r
(34)
У результаті застосування тих самих перетворень до задачі (33), (34) отримаємо такі
розв’язки:
dse
p
A
Ape
p
A
Ap
ppy
zy
zsz
zzs
rsJsrJ
rc
zrtc tptp
n n
n
21
2
2
12
1
2
11
1 2100 0
0
001
00
1
)(
sin2
sh
)(sh
)()(
),,(
,
dse
p
e
ppp
zyy
Dk
zsz
zzs
k
k
rsJsrJ
rc
zrtc tptp
n
nn
21
211 21
11
0
0
0
0
2
1
001
00
2 11sin2
sh
)(sh
)()(
),,(
;
сумарну концентрацію домішкової речовини 1 2c c c :
01
1 0 0
0 0 2 00
sh ( )( , , )
( ) ( ) 1
sh
s z zkc r z t
J r s J rs
c r k sz
1 2
1 1 2 1
10 1 2 1 2
sin2
( )
p t p tn
n n
y z B B
p A e p A e ds
z y p p p p
.
Тут 2
1 1 1 2A D s k k , 2
2 1 2A D k s , 2
2 1 1 nB A D k y , 1,2p – розв’язки рівняння
2
1 2 0p p , де 2 2
1 1 1 2( )nD s y k k , 2 2
2 1 2 ( )nD k s y .
Рівняння дифузії у середовищі з ефективними характеристиками в циліндричній си-
стемі координат має вигляд
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 99
2
2
( , , ) 1ef ef ef
ef
c t r z c c
D r
t r r r z
. (35)
Крайові умови для цього модельного випадку еквівалентні задачі дифузії в тілі з
пастками (34). Розв’язки задач (33)–(34) і (35) також знайдені з застосуванням інтеграль-
них перетворень, а саме:
2 2( )0
1 0 0 2 2
10 0 0 00
( , , ) sh ( ) sin2
( ) ( )
sh
ef nD s y tef n n
n n
c r z t s z z y y z
J r s J rs e ds
c r sz z s y
.
Зазначимо, що знаходження аналітичних розв’язків для концентрації розпадних до-
мішкових речовин дозволяє отримати відповідні вирази для відповідних потоків маси.
4. Числовий аналіз міграції домішок з розподіленого джерела на поверхні шару
На основі отриманих розв’язків для сформульованих крайових задач розроблено програм-
не забезпечення та проведено комп’ютерне моделювання для встановлення основних зако-
номірностей гетеродифузії частинок забруднення та часткових модельних варіантів. При
цьому використовувався метод чисельного інтегрування Ньютона-Котеса замкненого типу
за 7-ма вузлами та для контролю точності обрахунків використовувався той самий метод
за 10-ма вузлами. При неспівпадінні результатів у межах заданої точності 9( 10 )
проміжок інтегрування ділився на 10 відрізків, така необхідність виникала для малих часів.
Числові розрахунки проводилися в таких безрозмірних змінних: 2k t , 1 2
2 1( )z k D z ,
1 2
2 1( )r k D r . При цьому приймались такі базові значення параметрів: 2 1 0,01,d D D
1 2a k k =50, 0 10z , 0 1r в момент часу 100 .
На рис. 3 та 4 наведено порівняльні розподіли сумарної концентрації для різних мо-
дельних випадків. Тут криві 1 (суцільні лінії) описують розв’язки задачі гетеродифузії (1)-
(4), криві 2 (штрихові лінії) – задачі дифузії у тілі з пастками (29)–(30), криві 3 (штрих-
пунктирні лінії) – задачі дифузії в середовищі з ефективними характеристиками (32)–(34).
0
1,25
2,5
3,75
5
0 1 2 3 4
1a
2
3
z'
C
/C
0
1b
1c
r'= 0.5
0
0,75
1,5
2,25
3
0 0,4 0,8 1,2 1,6
1a
3
2
1b
1c
r'
C
/C
0
z '=
Рис. 3. Порівняльні розподіли сумарної концентрації для різних модельних випадків при таких
значеннях параметра поверхневого розподілу: 0 (криві a), 0,5 (криві b), 1 (криві c)
100 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
3
2c
2b
1c
2a
1a
1b
z'
C
/C
0
r '=
0
1
2
3
0 0,5 1 1,5
1a
3
2a
1b
1c
r'
C
/C
0
2b
z '=
Рис. 4. Порівняльні розподіли сумарної концентрації для різних модельних випадків при
1 2 20k k (криві a), 50 (криві b), 70 (криві c)
Зауважимо, що на поведінку концентрації домішкової речовини, визначеної за мо-
деллю гетеродифузії двома шляхами (1)–(4), суттєво впливає коефіцієнт поверхневого ро-
зподілу , тоді як концентрації, пораховані за частковими модельними варіантами (29)–
(30) та (32)–(34), не залежать від цього параметра (рис. 3). Інші характеристики середови-
ща мають істотний вплив на розподіли сумарної концентрації частинок домішки, знайдені
з моделей гетеродифузії та дифузії у середовищі з пастками (рис. 4 наведено для різних
значень відношення коефіцієнтів інтенсивності переходу між станами), тоді як для моделі
дифузії частинок у середовищі з ефективними характеристиками зміна значень 1 2k k і
2 1D D (від них залежить “ефективний” коефіцієнт дифузії) практично не впливає на зна-
чення концентрації. Зауважимо також, що сумарна концентрація домішок, порахована за
моделлю дифузії в тілі з пастками, завжди більша за сумарну концентрацію домішок у тілі
з двома шляхами міграції, якщо на поверхні діє розподілене кругове джерело забруднення.
5. Висновки
Таким чином, у статті показано, що для адекватного математичного опису масоперенесен-
ня забруднень у ґрунті необхідно враховувати різні шляхи міграції частинок домішкової
речовини, між якими відбувається масообмін (процеси типу сорбції-десорбції). Запропо-
новано різні модельні варіанти, отримані на основі фізичних припущень, щодо коефіцієн-
тів моделі та миттєвого перерозподілу частинок домішки між станами.
Розглянуто практично важливі крайові задачі гетеродифузії домішок, подані у дво-
вимірних постановках, зокрема, при дії розподіленого (кругового) джерела маси на по-
верхні. На основі знайдених точних розв’язків крайових задач гетеродифузії розроблено
програмне забезпечення і досліджено вплив фізичних характеристик тіла на розподіли су-
марних концентрацій домішок для гетеродифузного переносу, дифузії у середовищі з
пастками та в середовищі з ефективними характеристиками, зроблено порівняльний аналіз
відповідних розподілів для цих модельних випадків. Зокрема, показано, що параметр, який
найбільше впливає як на якісні, так і на кількісні розподіли сумарної концентрації в дріб-
нодисперсному середовищі, є частка домішкової речовини, яка з поверхні поступає на
швидкий шлях дифузії.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2017, № 3 101
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Математичні моделі та експериментальні дані про пошерення радіонуклідів у ґрунтах /
В.Є. Гончарук, Г.Т. Лянце, Є.Я.Чапля, О.Ю. Чернуха. – Львів: Растр-7, 2014. – 244 с.
2. Бурак Я.Й. Вихідні положення математичної моделі гетеродифузного переносу радіонуклідів у
приповерхневих шарах Землі / Я.Й. Бурак, Є.Я. Чапля // Доповіді НАН України. – 1995. – № 10. –
С. 34 – 37.
3. Прохоров В.М. Миграция радиоактивных загрязнений в почвах / Прохоров В.М. – М.: Энергоа-
томиздат, 1981. – 798 с.
4. Чапля Є.Я. Фізико-математичне моделювання гетеродифузного масопереносу / Є.Я. Чапля,
О.Ю. Чернуха. – Львів: СПОЛОМ, 2003. – 128 с.
5. Математичне моделювання дифузії домішкових компонент за їх каскадного розпаду /
Ю. Білущак, В. Гончарук, Є. Чапля [та ін.] // Математичні машини і системи. – 2015. – № 1. –
С. 146 – 155.
6. Подстригач Я.С. Диффузионная теория деформации сплошной среды / Я.С. Подстригач // Воп-
росы механики реального твердого тела. – 1964. – Вып. 4. – С. 71 – 99.
7. Мюнстер А. Химическая термодинаміка / Мюнстер А. – М.: Мир, 1971. – 295 с.
8. Прудников А.П. Интегралы и ряды / Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. – М.: Наука,
1981. – 797 с.
9. Подстригач Я.С. Модели тепловлагопереноса в почве и задачи идентификации их параметров по
наземным измерениям и дистанционным данным в ИК-диапазоне / Подстригач Я.С., Карасев А.В.,
Гера Б.В., Жук П.А., Чапля Е.Я. – Львов, 1988. – 53 с. (Препринт / АН УССР, Институт приклад-
ных проблем механики и математики, № 19).
10. Купряжкин А.Я. Механизмы диффузии неона в хлориде калия / А.Я. Купряжкин, П.В. Волобу-
ев, П.Е. Суетин // Журнал технической физики. – 1975. – Т. 45, № 2. – С. 431 – 432.
Стаття надійшла до редакції 30.06.2017
|