Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними
Отримано опис періодичних розв'язних груп, підгрупи яких мають нескінченний спеціальний ранг, що є транзитивно нормальними. Описано структуру періодичної радикальної групи, в якій підгрупи нескінченного спеціального рангу транзитивно нормальні....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126836 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними / М.М. Семко, Т.В. Величко // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 8. — С. 17-19. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-126836 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1268362017-12-05T03:02:39Z Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними Семко, М.М. Величко, Т.В. Математика Отримано опис періодичних розв'язних груп, підгрупи яких мають нескінченний спеціальний ранг, що є транзитивно нормальними. Описано структуру періодичної радикальної групи, в якій підгрупи нескінченного спеціального рангу транзитивно нормальні. Получено описание периодических разрешимых групп, подгруппы которых имеют бесконечный специальный ранг, являются транзитивно нормальными. Описана структура периодической радикальной группы, у которой подгруппы бесконечного специального ранга транзитивно нормальны. The periodic soluble groups, whose subgroups with infinite special rank are transitively normal, and the struc ture of a periodic radical group, whose subgroups with infinite special rank are transitively normal, are described. 2017 Article Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними / М.М. Семко, Т.В. Величко // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 8. — С. 17-19. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.08.017 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126836 512.544 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Семко, М.М. Величко, Т.В. Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними Доповіді НАН України |
| description |
Отримано опис періодичних розв'язних груп, підгрупи яких мають нескінченний спеціальний ранг, що є транзитивно нормальними. Описано структуру періодичної радикальної групи, в якій підгрупи нескінченного
спеціального рангу транзитивно нормальні. |
| format |
Article |
| author |
Семко, М.М. Величко, Т.В. |
| author_facet |
Семко, М.М. Величко, Т.В. |
| author_sort |
Семко, М.М. |
| title |
Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними |
| title_short |
Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними |
| title_full |
Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними |
| title_fullStr |
Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними |
| title_full_unstemmed |
Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними |
| title_sort |
про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126836 |
| citation_txt |
Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними / М.М. Семко, Т.В. Величко // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 8. — С. 17-19. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT semkomm probudovugrupusípídgrupiâkihŝomaûtʹneskínčennijspecíalʹnijrangêtranzitivnonormalʹnimi AT veličkotv probudovugrupusípídgrupiâkihŝomaûtʹneskínčennijspecíalʹnijrangêtranzitivnonormalʹnimi |
| first_indexed |
2025-07-09T05:48:36Z |
| last_indexed |
2025-07-09T05:48:36Z |
| _version_ |
1837147217831395328 |
| fulltext |
17ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 8
Групи з деякими природними обмеженнями на важливі системи підгруп є одним із цен-
тральних об’єктів дослідження в теорії груп. Їх вивчення сприяло виникненню багатьох
важливих понять, зокрема умов скінченності, локальної нільпотентності, локальної роз-
в’язності, різноманітних рангів і т. ін. Розглядаючи специфічні обмежувальні властивості та
конкретні системи підгруп, які мають ці властивості, ми отримуємо різноманітні цікаві кла-
си груп. Існує величезний масив робіт, які присвячені цій тематиці. У даній роботі ми роз-
глянемо вплив на структуру групи двох систем її підгруп. Це система підгруп, що мають
скінченний спеціальний ранг, та система транзитивно нормальних підгруп.
Нагадаємо, що група G має скінченний спеціальний ранг r, якщо кожна скінченно поро-
джена підгрупа G може бути породжена не більш ніж r елементами та існує скінченно по-
роджена підгрупа H, яка має точно r породжуючих елементів [1]. Теорія груп скінченного
спеціального рангу є однією з найбільш розвинених частин теорії нескінченних груп (див.,
наприклад, [2—4]). У роботі [5] M.Р. Діксон, М. Еванс та Х. Сміт почали розглядати групи,
всі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, мають і деяку фіксовану влас-
тивість P. Цей підхід отримав розвиток у статтях інших авторів для різноманітних природ-
них властивостей P (див., наприклад, [4]). У даній роботі розпочато розгляд груп, усі під-
групи нескінченного спеціального рангу яких будуть транзитивно нормальними.
Будемо говорити, що підгрупа H групи G є транзитивно нормальною, якщо H є нор-
мальною в кожній підгрупі K H� , в якій H є субнормальною [6]. У роботі [7] ці підгрупи
були введені під іншою назвою. Більш конкретно, будемо говорити, що підгрупа H групи G
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.08.017
УДК 512.544
М.М. Семко 1, Т.В. Величко 2
1 Університет державної фіскальної служби України, Ірпінь
2 Дніпровський національний університет ім. Олеся Гончара
E-mail: dr.mykola.semko@gmail.com
Про будову груп, усі підгрупи яких, що мають
нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними
Представлено академіком НАН України А.М. Самойленком
Отримано опис періодичних розв’язних груп, підгрупи яких мають нескінченний спеціальний ранг, що є тран-
зитивно нормальними. Описано структуру періодичної радикальної групи, в якій підгрупи нескінченного
спе ціального рангу транзитивно нормальні.
Ключові слова: скінченний спеціальний ранг, розв'язна група, періодична група, локально нільпотентний
радикал, локально нільпотентний резидуал, транзитивно нормальні підгрупи.
© М.М. Семко, Т.В. Величко, 2017
18 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 8
М.М. Семко, Т.В. Величко
задовольняє субнормалізаторну умову, якщо для кожної такої підгрупи K, що H є нормаль-
ною в K, має місце включення ( ) ( )G GN K N H� . Існує багато природних типів підгруп, які є
транзитивно нормальними, зокрема пронормальні підгрупи та їх узагальнення (див. [8]).
Відомо, що відношення “бути нормальною підгрупою” не є транзитивним. Група G
називається T-групою, якщо це відношення є транзитивним у групі G. Група G називаєть-
ся⎯T-групою, якщо кожна підгрупа G є T-групою. Неважко упевнитись у тому факті, що кож-
на підгрупа групи G буде транзитивно нормальною тоді і тільки тоді, коли G є⎯T-групою.
Для подальшого нам буде потрібен вищенаведений опис локально скінченних груп, усі
підгрупи яких є транзитивно нормальними.
Нагадаємо, що локально нільпотентний резидуал G LN групи G — це перетин усіх таких
нормальних підгруп H, що відповідні фактор-групи G/H є локально нільпотентні. Слід за-
значити, що у випадку, коли група G є локально скінченною, фактор-група G/G LN буде ло-
кально нiльпотентною.
Нагадаємо також, що група G називається радикальною, якщо вона має зростаючий ряд
підгруп, фактори якого локально нільпотентні.
Ще нагадаємо, що група G називається дедекіндовою, якщо кожна її підгрупа є нор-
мальною. Будова дедекіндових груп була повністю описана в роботі [9].
Метою даної роботи є отримання опису періодичних радикальних груп, усі підгрупи
нескінченного спеціального рангу яких є транзитивно нормальними. Головним результатом
роботи є такі теореми.
Теорема А. Нехай G — періодична радикальна група, що має нескінченний спеціальний
ранг. Якщо кожна її підгрупа, що має нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормаль-
ною, то G задовольняє такі умови:
(i) локально нільпотентний резидуал L групи G є абелевою підгрупою, а сама група G є
метабелевою;
(ii) кожна підгрупа L є G-iнваріантною;
(iii) 2 ∉ ( )П L ;
(iv) ∩ / = ∅( ) ( ) П L П G L ;
(v) G L/ є дедекіндовою групою, а фактор-група )GG C L/ ( є абелевою.
Теорема В. Нехай G — періодична радикальна група, що має нескінченний спеціальний
ранг. Якщо кожна її підгрупа, що має нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормаль-
ною, то і кожна підгрупа групи G буде транзитивно нормальною.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Мальцев А. И. О группах конечного ранга. Матем. сб. 1948. 22, № 2. С. 351—352.
2. Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya. On various rank conditions in infinite groups. Algebra Discrete
Math. 2007. 4. Р. 23—44.
3. Dixon M.R. Certain rank conditions on groups. Noti di Matematica. 2008. 2. Р. 151—175.
4. Dixon M.R., Kurdachenko L.A., Pypka A.A., Subbotin I.Ya. Groups satisfying certain rank conditions. Algebra
Discrete Math. 2016. 4. Р. 23—44.
5. Dixon M.R., Evans M.J., Smith H. Locally (soluble-by-finite) groups with all proper insoluble subgroups
of finite rank. Arch. Math. (Basel). 1997. 68. Р. 100—109.
6. Kurdachenko L. A., Subbotin I. Ya. Transitivity of normality and pronormal subgroups. Combinatorial group
theory, discrete groups, and number theory. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006. P. 201–212. (Contemporary
Mathematics, vol. 421).
19ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 8
Про будову груп, всі підгрупи яких, що мають нескінченний спеціальний ранг, є транзитивно нормальними
7. Мысовских В.И. Субнормализаторы и свойства вложения подгрупп конечных групп. Зап. научн. сем.
ПОМИ. 1999. 265. С. 258—280.
8. Kirichenko V.V., Kurdachenko L.A., Subbotin I.Ya. Some related to pronormality subgroup families and
the properties of a group. Algebra Discrete Math. 2011. 1. Р. 75—108.
9. Baer R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe. S.-B. Heidelberg Akad. 1933. 2. Р. 12—17.
Надійшло до редакції 24.04.2017
REFERENCES
1. Maltsev, A. I. (1948). On groups of finite rank. Mat. Sbornik, 22, pp. 351-352 (in Russian).
2. Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A. & Subbotin, I. Ya. (2007). On various rank conditions in infinite groups.
Algebra Discrete Math., 4, pp. 23-44.
3. Dixon, M. R. (2008). Certain rank conditions on groups. Noti di Matematica, 2, pp. 151-175.
4. Dixon, M. R., Kurdachenko, L. A., Pypka, A. A. & Subbotin, I. Ya. (2016). Groups satisfying certain rank
conditions. Algebra Discrete Math., 4, pp. 23-44.
5. Dixon, M. R., Evans, M. J. & Smith, H. (1997). Locally (soluble-by-finite) groups with all proper insoluble
subgroups of finite rank. Arch. Math. (Basel), 68, pp. 100-109.
6. Kurdachenko, L. A. & Subbotin, I. Ya. (2006). Transitivity of normality and pronormal subgroups. In Com-
binatorial group theory, discrete groups, and number theory. Contemporary Mathematics, Vol. 421 (pp. 201-
212). Providence, RI: Amer. Math. Soc.
7. Mysovskikh, V. I. (1999). Subnormalizers and properties of embedding of subgroups in finite groups. Zap.
Nauchn. Sem. POMI, 265, pp. 258-280 (in Russian).
8. Kirichenko, V. V., Kurdachenko, L. A. & Subbotin, I. Ya. (2011). Some related to pronormality subgroup
families and the properties of a group. Algebra Discrete Math., 1, pp. 75-108.
9. Baer, R. (1933). Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe. S.-B. Heidelberg Akad., 2, pp. 12-17.
Received 24.04.2017
Н.Н. Семко1, Т.В. Величко 2
1 Университет государственной фискальной службы Украины, Ирпень
2 Днепровский национальный университет им. Олеся Гончара
E-mail: dr.mykola.semko@gmail.com
О СТРОЕНИИ ГРУПП, ВСЕ ПОДГРУППЫ КОТОРЫХ, ИМЕЮЩИЕ
БЕСКОНЕЧНЫЙ СПЕЦИАЛЬНЫЙ РАНГ, ТРАНЗИТИВНО НОРМАЛЬНЫЕ
Получено описание периодических разрешимых групп, подгруппы которых имеют бесконечный спе ци-
альный ранг, являются транзитивно нормальными. Описана структура периодической радикальной груп-
пы, у которой подгруппы бесконечного специального ранга транзитивно нормальны.
Ключевые слова: конечный специальный ранг, разрешимая группа, периодическая группа, локально нильпо-
тентный радикал, локально нильпотентный резидуал, транзитивно нормальные подгруппы.
N.N. Semko 1, T.V. Velichko 2
1 University of State Fiscal Service of Ukraine, Irpin
2 Oles Honchar Dnipro National University
E-mail: dr.mykola.semko@gmail.com
ON THE GROUPS, WHOSE ALL SUBGROUPS
WITH INFINITE SPECIAL RANK ARE TRANSITIVELY NORMAL
The periodic soluble groups, whose subgroups with infinite special rank are transitively normal, and the struc ture
of a periodic radical group, whose subgroups with infinite special rank are transitively normal, are described.
Keywords: finite special rank, soluble group, periodic group, locally nilpotent radical, locally nilpotent residual, tran-
sitively normal subgroups.
|