Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів
Досліджено властивості зображень інволютивної алгебри, породженої самоспряженими ідемпотентами q₁, . . ., qn та p₁, . . ., pm , що задовольняють співвідношення q₁ + . . . + qn = e, pj pk = 0 , j ≠ k. Відповідні набори проекторів у гільбертовому просторі виникають при дослідженні фредгольмовості те...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126977 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів / Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 10. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-126977 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1269772017-12-08T03:03:07Z Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів Ашурова, Е.Н. Островський, В.Л. Самойленко, Ю.С. Математика Досліджено властивості зображень інволютивної алгебри, породженої самоспряженими ідемпотентами q₁, . . ., qn та p₁, . . ., pm , що задовольняють співвідношення q₁ + . . . + qn = e, pj pk = 0 , j ≠ k. Відповідні набори проекторів у гільбертовому просторі виникають при дослідженні фредгольмовості тепліцевих операторів. Зокрема, для незвідних зображень загального положення з dim Pj = 1, j = 1, . . . , m, знайдено комутатив- ний набір нормальних операторів, сумісний спектр якого визначає зображення з точністю до унітарної еквівалентності. Исследованы свойства представлений инволютивной алгебры, порожденной самосопряженными идемпотентами q₁, . . ., qn и p₁, . . ., pm, удовлетворяющими соотношениям q₁ + . . . + qn = e, pj pk = 0, j ≠ k. Соответствующие наборы проекторов в гильбертовом пространстве возникают при исследовании фредгольмовости тёплицевых операторов. В частности, для неприводимых представлений общего положения с dim Pj = 1, j = 1 . . . , m, найден набор коммутирующих нормальних операторов, совместный спектр которых определяет соотношение с точностью до унитарной эквивалентности. We study properties of representations of the involutive algebra generated by self-adjoint idempotents, q₁, . . ., qn and p₁, . . ., pm, which satisfy the conditions q₁ + . . . + qn = e, pj pk = 0, j ≠ k. The corresponding collections of projections in a Hilbert space arise in the study of the Fredholm properties of Toeplitz operators. In particular, for generic irredu cible representations with dim Pj = 1, j = 1 . . . , m, we have constructed a commuting family of normal operators, whose joint spectrum determines the representation up to unitary equivalence. 2017 Article Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів / Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 10. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.10.003 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126977 517.98 uk Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Ашурова, Е.Н. Островський, В.Л. Самойленко, Ю.С. Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів Доповіді НАН України |
| description |
Досліджено властивості зображень інволютивної алгебри, породженої самоспряженими ідемпотентами
q₁, . . ., qn та p₁, . . ., pm , що задовольняють співвідношення q₁ + . . . + qn = e, pj pk = 0 , j ≠ k. Відповідні набори
проекторів у гільбертовому просторі виникають при дослідженні фредгольмовості тепліцевих операторів.
Зокрема, для незвідних зображень загального положення з dim Pj = 1, j = 1, . . . , m, знайдено комутатив-
ний набір нормальних операторів, сумісний спектр якого визначає зображення з точністю до унітарної
еквівалентності. |
| format |
Article |
| author |
Ашурова, Е.Н. Островський, В.Л. Самойленко, Ю.С. |
| author_facet |
Ашурова, Е.Н. Островський, В.Л. Самойленко, Ю.С. |
| author_sort |
Ашурова, Е.Н. |
| title |
Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів |
| title_short |
Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів |
| title_full |
Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів |
| title_fullStr |
Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів |
| title_full_unstemmed |
Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів |
| title_sort |
про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/126977 |
| citation_txt |
Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів / Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 10. — С. 3-9. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT ašurovaen prozobražennâalgebrporodženihskínčennimrozkladomodinicítanaboromortogonalʹnihproektorív AT ostrovsʹkijvl prozobražennâalgebrporodženihskínčennimrozkladomodinicítanaboromortogonalʹnihproektorív AT samojlenkoûs prozobražennâalgebrporodženihskínčennimrozkladomodinicítanaboromortogonalʹnihproektorív |
| first_indexed |
2025-07-09T06:04:07Z |
| last_indexed |
2025-07-09T06:04:07Z |
| _version_ |
1837148199987445760 |
| fulltext |
3ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 10
МАТЕМАТИКА
© Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко, 2017
Один з ефективних методів дослідження фредгольмовості тепліцевих операторів полягає
у відображенні опертора у певну *C -алгебру, породжену набором ортопроекторів і її реа-
лізації неперервними матричними полями (див., наприклад, [1] та наведену там бібліо-
графію). Зокрема, вивчалися властивості *C -алгебри, породженої наборами ортопроекторів
P, …1, , nQ Q у деякому гільбертовому просторі H , що задовольняють співвідношення
+ + =1 nQ Q I , а також більш загальними наборами ортопроекторів … …1 1,, , , ,m nP P Q Q , в
H , які задовольняють співвідношення
⊥ ≠ + + =1, ,j k nP P k j Q Q I (1)
(див. [2]). У вказаних роботах досліджувалися властивості *C -алгебри, породженої не-
звідними наборами ортопроекторів, для яких образ проектора P чи образи проекторів
…1, , mP P є одновимірними просторами. Саме такі набори виникають у конкретних реа-
лі заціях локальних алгебр, пов’язаних з операторами Тепліца з кусково-неперервними
сим волами. Зокрема, показано, що відповідна *C -алгебра вкладається в алгебру непе-
рервних матричнозначних функцій на певній множині параметрів. У випадку = 1m мно-
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.10.003
УДК 517.98
Е.Н. Ашурова 1, В.Л. Островський 2, Ю.С. Самойленко 2
1 Український центр клінічних досліджень компанії “Chiltern”, Київ
2 Інститут математики НАН України, Київ
E-mail: work1991@ukr.net, vo@imath.kiev.ua, yurii_sam@imath.kiev.ua
Про зображення алгебр,
породжених скінченним розкладом одиниці
та набором ортогональних проекторів
Представлено академіком НАН України Ю.С. Самойленком
Досліджено властивості зображень інволютивної алгебри, породженої самоспряженими ідемпотентами
q1, . . ., qn та p1, . . ., pm , що задовольняють співвідношення q1 + . . . + qn = e, pj pk = 0 , j ≠ k. Відповідні набори
проекторів у гільбертовому просторі виникають при дослідженні фредгольмовості тепліцевих операторів.
Зокрема, для незвідних зображень загального положення з dim Pj = 1, j = 1, . . . , m, знайдено комутатив-
ний набір нормальних операторів, сумісний спектр якого визначає зображення з точністю до унітарної
еквівалентності.
Ключові слова: набори ортопроекторів, тепліцеві оператори.
ОПОВІДІ
НАЦІОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМІЇ НАУК
УКРАЇНИ
МАТЕМАТИКА
4 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 10
Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко
жина параметрів …1, , nc c , що індексують незвідні зображення, є симплексом
+ + = = …1 1, 0, 1, ,n jc c c j n� , (2)
і розклад довільного зображення на незвідні задається спектральним розкладом відпо-
відного комутативного набору самоспряжених операторів …1, , nC C .
Проте у разі 2m � подібного опису множини, що параметризує незвідні зображення,
наведено не було. Питання про параметризацію незвідних зображень таких алгебр у ви-
падку 2m � досліджується в даній роботі.
Зручним інструментом дослідження наборів ортопроекторів у гільбертовому просторі
є операторна матриця Грама (див. [3]). У першому пункті викладено конструкцію опера-
торної матриці Грама та її основні властивості, що використовуються у подальшому.
У другому пункті розглядаються загальні властивості наборів ортопроекторів з
умовами (1) при 2m � . Зокрема, показано, що за умови, коли кожна пара проекторів ( , ),j kP Q
= =… …( , ), 1, , , 1, ,j kP Q j m k n, знаходиться у загальному положенні, задача опису з точ-
ністю до унітарної еквівалентності наборів еквівалентна задачі опису блочних ×m m до-
датних самоспряжених матриць …1, , nA A з умовою + + =1 nA A I . Ця умова є природним
аналогом умови (2) у випадку = 1m .
Відомо [4], що навіть у випадку = 1m , 3n � , задача опису наборів ортопроекторів з
умовами (1) з точністю до унітарної еквівалентності є надзвичайно складною (∗-дикою).
У третьому пункті досліджуються набори з додатковими комутаційними співвідношення-
ми, які еквівалентні умові, що у незвідному зображенні образи ортопроекторів …1, , mP P од-
новимірні. У цьому випадку задача опису незвідних наборів є ручною. Основним резуль-
татом є теорема 4, яка описує комутативний набір нормальних операторів, спектральний
розклад яких дає розклад набору на незвідні набори.
Дана робота є узагальненням попередньої роботи [5], де аналогічні питання досліджу-
вались у випадку = 2m .
1. Операторна матриця Грама. Нехай …1, , nP P — набір проекторів у H і нехай = Im ,j jH P
= …1, ,j n . Позначимо →:j jS H H ізометричні вкладення, так що =* ,j j jS S P
=*
jj j HS S I .
Розглянемо простір = ⊕ ⊕1 nH H H та оператор = … →1( , , ) :nJ S S H H .
Означення 1 [3, 6]. Оператор = →* :G J J H H називається операторною матрицею Гра-
ма системи підпросторів …1( ; , , )nH H H .
Блочні елементи операторної матриці Грама мають вигляд =
*
, 1( )n
j k j kS S , отже, у випадку
одновимірних проекторів jP маємо = 〈 〉j jH e , ⎥ ⎢ej⎥ ⎢= 1 та G є матрицею Грама системи
векторів …1( , , )ne e .
Теорема 1 [3]. Операторна матриця Грама має такі властивості:
1. = *, 0G G G � .
2. Діагональні блоки G є одиничними операторами, =
jjj HG I , j = 1, . . ., n.
3. = ⇔ ⊥0jk j kG H H .
Нехай …1, , nQ Q — проектори на jH в H .
Теорема 2 [3]. Набір …1 )( , , nP P в H незвідний тоді і лише тоді, коли набір …1( , , , )nG Q Q
незвідний в H .
1. Набори …1 )( , , nP P та ′ ′…1( , , )nP P унітарно еквівалентні тоді і лише тоді, коли відпо-
відні набори …1( , , , )nG Q Q та ′ ′ ′…1( , , , )nG Q Q унітарно еквівалентні.
5ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 10
Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів
Таким чином, маючи набір проекторів …1, , nP P в H ,
можна побудувати відповідний оператор 0G � та набір ор-
топроекторів …1, , nQ Q , для яких
=
= =∑
1
,
n
j j j j
j
Q I Q GQ Q .
Навпаки, маючи набір проекторів …1, , nQ Q у гільбертовому просторі H, для яких
=
=∑
1
n
k
k
Q I, та обмежений оператор 0B � в H , для якого =j j jQ BQ Q , = …1, ,j n , можна од-
нозначно з точністю до унітарної еквівалентності відновити набір …1, , nP P , для якого B
буде операторною матрицею Грама.
2. Алгебри “all but one”. Розглянемо ∗-алгебру ,abo nP (див. [1]), породжену твірними
…1, , , np q q та співвідношеннями
∗∗= = = = = …2 2, , 1, ,j j jp p p q q q j n ,
+ + =1 nq q e .
Зображення цієї алгебри – набір проекторів …1,, , nP Q Q з умовою + + =1 nQ Q I . При
2n � задача унітарної класифікації усіх зображень є дуже складною (∗-дикою). Водночас,
за додаткової умови dim P = 1 опис усіх незвідних зображень є ∗-ручною задачею. Мно ж и -
на незвідних зображень загального положення параметризується n -ками додатних чисел
…1, , nc c , для яких + + =1 1nc c . При цьому усі незвідні зображення мають розмірність n� .
Приклад (простір Бергмана). Нехай Π позначає верхню комплексну півплощину. Функ-
ції з Π2( )L , що є аналітичними всередині Π, утворюють підпростір Π2( )A (під простір
Бергмана). Позначимо P проектор на Π2( )A в Π2( )L (проектор Бергмана). Поділимо Π
на сектори Δ Δ…1, , n з вершинами у точці 0 (рисунок), Δ = Π∪
1
n
k , і покладемо χ=
jjQ M ,
= …1, ,j m , — оператори множення на індикатори множин Δ Δ…1, , n . Тоді + + =1 nQ Q I і
набір …1,, , nP Q Q розкладається на незвідні набори з dim 1P � . Такі набори виникають
при вивченні фредгольмовості певних класів тепліцевих операторів (див. [1]).
3. Набори “All but m” проекторів.
Приклад (простори типу Бергмана). Для кожного = …1, 2,k , розглянемо підпростір
бергманівського типу − ⊂ Π2 2
2, ( )k k LA A , породжений функціями f , для яких відповідно
∂ =
∂
0
k
k
f
z
чи
∂ =
∂
0
k
k
f
z
. Означимо
−= = = >2 2 2 2 2 2
1 1 1, , 1k k kA A kA A A A ,
2 2 2 2 2
1 1 1, , 1k k kA A k− − − − − += = < −A A A ,
і розглянемо проектор kP на підпростір Αk в Π2( )L . Тоді
∞
−+ =∑
1
( )k k IP P [7].
Нехай …1, , mP P — скінченний піднабір проекторів з набору ( )kP . Тоді проектори
… …1 1, , , , ,n mQ Q P P задовольняють умови
+ + = = ≠1 , 0,n j kQ Q I P P j k .
6 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 10
Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко
Більш того, такий набір розкладається на незвідні набори, для яких dim 1jP � , = …1, ,j m
(див. [2]).
Нижче ми вивчатимемо структуру з точністю до унітарної еквівалентності наборів про-
екторів … …1 1, , , , ,n mQ Q P P , для яких
=
= ⊥ ≠∑
1
, , 1
n
i j k
i
Q I P P j k m� � . (3)
Такі набори є зображеннями відповідної ∗-алгебри “all but m ”. Як і у випадку = 1m , уні-
тарний опис усіх зображень цієї алгебри є ∗-дикою задачею. Нижче ми вивчимо деякі за-
гальні властивості таких наборів та вкажемо природну додаткову умову, за якої задача кла-
сифікації стає ручною.
Розглянемо ізометричні вкладення →: Imj jS Q H , = …1, ,j n та ізометричні вкладення
→: Imi iT P H , 1, ,i m= … , так що
Im Im
* * * *, , ,
j ij j Q j j j i i T i i iS S I S S Q T T I T T P= = = = .
Операторна матриця Грама G набору проекторів … …1 1,, , , ,m nP P Q Q має вигляд
⎛ ⎞… …
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟… …
= ⎜ ⎟… …⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
… …⎝ ⎠
* *
1 1 1
* *
1
* *
1 1 1
* *
1
0
0
.
0
0
n
m m n
m
n n m
I T S T S
I T S T S
G
S T S T I
S T S T I
Позначимо Imj jH P= , = …1, ,j m , ==⊕0 1
m
j jH H та розглянемо проектори ′jP в 0H на
підпростори jH , = …1, ,j m . Розглянемо оператори
*
1
0
*
: Im ,
j
j j
m j
T S
B Q H
T S
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= →⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
= → = …*
0 0: , 1, ,j j jA B B H H j n . (4)
Твердження 1. Набір операторів … …′ ′1 1( , , , , , )m nP P A A в 0H має такі властивості:
1) ′+ + =′ ′
01 m HP P I , + + =
01 n HA A I ;
2) якщо набори проекторів … …1 1,( , , , , )m nP P Q Q та … …1 1,( , , , , )m nP P Q Q унітарно
еквівалентні, то відповідні набори операторів … …′ ′1 1( , , , , , )m nP P A A та … …′ ′1 1( , , , , , )m nP P A A
унітарно еквівалентні.
Зауваження 1. Обернене твердження до п. 2 невірне: легко вказати приклади унітарно
нееквівалентних наборів … …1 1,( , , , , )m nP P Q Q та … …1 1,( , , , , )m nP P Q Q , які породжують
той самий набір … …′ ′1 1( , , , , , )m nP P A A .
Будемо казати, що підпростори ⊂E H та ⊂K H знаходяться в загальному положенні,
якщо ∩ = 0E K , ⊥∩ = 0E K , ⊥ ∩ = 0E K .
7ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 10
Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів
Позначимо = + +0 1 mP P P .
Теорема 3. Нехай … …1 1,, , , ,m nP P Q Q у просторі H задовольняють умови (3) і нехай
…1, , nA A — відповідні невід’ємні оператори в 0H , побудовані вище, та нехай також кожна з
пар 0 , jP Q , = …1, ,j n , знаходиться у загальному положенні. Тоді
= = = …0dim dim , ker 0, 1, ,j jP Q A j n .
Навпаки, якщо задано проектори …′ ′1, , mP P та невід’ємні оператори …1, , nA A в 0H , для
яких
+ + = + + = = = …′ ′1 1, , ker 0, 1, ,m n jP P I A A I A j n ,
то існує єдиний з точністю до унітарної еквівалентності набір проекторів …1 ,, , mP P …1, , nQ Q
з умовою (3), для яких 0 , jP Q , = …1, ,j n , знаходяться у загальному положенні, і який поро-
джує за наведеною вище конструкцією набір проекторів 1, , nP P…′ ′ та операторів …1, , nA A .
4. Незвідні зображення. Позначимо Λ множину всіх мультиіндексів вигляду
−α = …1 1 2 1 1( , , , , , , , )l l lj k j k j k j ,
= … = … = … = …1, , ; 1, , ; 1, , ; 0,1, .s sj m k n s l l
Розглянемо таку множину операторів αC , α ∈Λ :
−α = 1 1 2 1 1l l lj k j k j k jC P Q P Q P Q P . (5)
Твердження 2. Нехай … …1 1, , , , ,n mQ Q P P — незвідний набір проекторів з умовами (3),
для яких ≠ 0jP , 1, ,j m= … . Тоді =dim 1jP , = …1, ,j m тоді і лише тоді, коли оператори αC ,
α ∈Λ, утворюють комутативний набір.
Нехай iΛ ⊂ Λ — підмножина індексів, що починаються та закінчуються на i , = …1, ,i m,
так що Λ = Λ ∪…∪Λ1 m .
Теорема 4. Нехай набір проекторів … …1 2 1,, , , , nP P Q Q породжує незвідне зображення
(3), причому:
i) 0iP ≠ , = …1, ,i m ;
ii) для кожного = …1, ,j n пара проекторів = + +0 1 mP P P та jQ знаходяться у загаль-
ному положенні;
iii) оператори αC , α ∈Λ , утворюють комутативний набір.
Тоді α α= jC c P , α ∈c , α ∈Λ j , та скінченний набір чисел
α α ∈, | | {3, 5, 7}c ,
визначає проектори … …1 1,, , , ,m nP P Q Q однозначно з точністю до унітарної еквівалентності.
Зауваження. 1. У загальному (звідному) випадку спектральний розклад комутатив-
ного набору нормальних операторів αC , α ∈Λ дає розклад набору … …1 1,, , , ,m nP P Q Q на
незвідні набори.
2. Скінченний набір параметрів, описаний у попередній теоремі, є надлишковим. Для різ-
них конкретних зображень можна вказати різні підмножини цього набору, яких достатньо
для відновлення зображення.
3. Наведена теорема не дає опису множини всіх можливих наборів параметрів. Ця мно-
жина визначається умовами + + =1 nA A I , > 0jA в m .
8 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. acad. nauk Ukr. 2017. № 10
Е.Н. Ашурова, В.Л. Островський, Ю.С. Самойленко
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. Vasilevski N.L. C*-algebras generated by orthogonal projections and their applications. Integr. Equ. Oper.
Theory. 1998. 31. P. 113—132.
2. Karlovich Yu.I., Pessoa L.V. C*-algebras of Bergmann type operators with piecewise continuous
coefficients. In tegr. Equ. Oper. Theory. 2007. 57. P. 521—565.
3. Стрелец А.В., Фещенко И.С. О системах подпространств гильбертова пространства, удовлетворяющих
ус ловиям на углы между каждой парой подпространств. Алгебра и анализ. 2012. 24, № 5. С. 181—214.
4. Кругляк С.А., Самойленко Ю.С. Об унитарной эквивалентности наборов самосопряженных операто-
ров. Функц. анализ из его прил. 1980. 14, вып. 1. С. 60—62.
5. Ашурова Е.Н., Островський В.Л. Про зображення “all but two” алгебр. Зб. праць Інституту математи-
ки НАН України. 2015. 12, № 1. С. 8—21.
6. Самойленко Ю.С., Стрелец А.В. О простых n-ках подпространств гильбертова пространства. Укр. мат.
журн. 2009. 61, № 12. С. 1668—1703.
7. Vasilevski N.L. On the structure of Bergmann and poly-Bergmann spaces. Integr. Equ. Oper. Theory. 1999. 33.
P. 471—488.
Надійшло до редакції 27.06.2017
REFERENCES
1. Vasilevski, N. L. (1998). C*-algebras generated by orthogonal projections and their applications. Integr. Equ.
Oper. Theory, 31, pp. 113-132.
2. Karlovich, Yu. I. & Pessoa, L. V. (2007). C*-algebras of Bergmann type operators with piecewise continuous
coefficients. Integr. Equ. Oper. Theory, 57, pp. 521-565.
3. Strelets, A. V. & Feshchenko, I. S. (2012). On systems of subspaces of a Hilbert space that satisfy conditions on
the angles between every pair of subspaces. St. Petersburg Math. J., 24, No. 5, pp. 823–846.
4. Kruglyak, S. A. & Samoĭlenko, Ju. S. (1980). Unitary equivalence of sets of self-adjoint operators. Funct. Anal.
Appl., 14, No. 1, pp. 48-50.
5. Ashurova, E.N. & Ostrovskyi, V.L. (2015). On representations of “all but two” algebras. Zbirnyk Prats Insty-
tutu Matematyky NAN Ukrainy, 12, No. 1. pp. 8-21 (in Ukrainian).
6. Samoilenko, Yu. S. & Strelets, A. V. (2009). On simple n-tuples of subspaces of a Hilbert space. Ukr. Math. J.,
61, No. 12, pp. 1956-1994.
7. Vasilevski, N.L. (1999). On the structure of Bergmann and poly-Bergmann spaces. Integr. Equ. Oper. Theory,
33, pp. 471-488.
Received 27.06.2017
Е.Н. Ашурова 1, В.Л. Островский 2, Ю.С. Самойленко 2
1 Украинский центр клинических исследований компании “Chiltern”, Киев
2 Институт математики НАН Украины, Киев
E-mail: work1991@ukr.net, vo@imath.kiev.ua, yurii_sam@imath.kiev.ua
О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ АЛГЕБР,
ПОРОЖДЕННЫХ КОНЕЧНЫМ РАЗЛОЖЕНИЕМ ЕДИНИЦЫ
И НАБОРОМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКТОРОВ
Исследованы свойства представлений инволютивной алгебры, порожденной самосопряженными идем по-
тен тами q1, . . ., qn и p1, . . ., pm, удовлетворяющими соотношениям q1 + . . . + qn = e, pj pk = 0, j ≠ k.
Соответствую щие наборы проекторов в гильбертовом пространстве возникают при исследовании фред-
гольмовости тёплицевых операторов. В частности, для неприводимых представлений общего положения с
dim Pj = 1, j = 1 . . . , m, найден набор коммутирующих нормальних операторов, совместный спектр которых
определяет соотношение с точностью до унитарной эквивалентности.
Ключевые слова: наборы ортопроекторов, тёплицевы операторы.
9ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 10
Про зображення алгебр, породжених скінченним розкладом одиниці та набором ортогональних проекторів
E.N. Ashurova 1, V.L. Ostrovskyi 2, Yu.S. Samoilenko 2
1 Chiltern Clinical Research in Ukraine, Kiev
2 Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev
E-mail: work1991@ukr.net, vo@imath.kiev.ua, yurii_sam@imath.kiev.ua
ON REPRESENTATIONS OF THE ALGEBRAS GENERATED
BY A FINITE RESOLUTION OF THE IDENTITY
AND A COLLECTION OF JOINTLY ORTHOGONAL PROJECTIONS
We study properties of representations of the involutive algebra generated by self-adjoint idempotents, q1, . . ., qn
and p1, . . ., pm, which satisfy the conditions q1 + . . . + qn = e, pj pk = 0, j ≠ k. The corresponding collections of
projections in a Hilbert space arise in the study of the Fredholm properties of Toeplitz operators. In particular,
for generic irredu cible representations with dim Pj = 1, j = 1 . . . , m, we have constructed a commuting family of
normal operators, whose joint spectrum determines the representation up to unitary equivalence.
Keywords: families of orthoprojections, Toeplitz operators.
|