Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС
Исследования надежности оборудования АЭС с различными целями - для оценки возможности продления срока службы, для применения рискориентированных подходов и обеспечения безопасности эксплуатации АЭС и пр. - требуют высокой достоверности получаемых результатов. Для контроля точности и достоверности по...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем безпеки атомних електростанцій НАН України
2007
|
| Schriftenreihe: | Проблеми безпеки атомних електростанцій і Чорнобиля |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127839 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС / О.В. Зеленый, А.В. Носовский, О.А. Стадник // Проблеми безпеки атомних електростанцій і Чорнобиля: наук.-техн. зб. — 2007. — Вип. 7. — С. 30-39. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-127839 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1278392017-12-29T03:03:30Z Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС Зеленый, О.В. Носовский, А.В. Стадник, О.А. Проблеми безпеки атомних електростанцій Исследования надежности оборудования АЭС с различными целями - для оценки возможности продления срока службы, для применения рискориентированных подходов и обеспечения безопасности эксплуатации АЭС и пр. - требуют высокой достоверности получаемых результатов. Для контроля точности и достоверности получаемых оценок необходимо проводить анализ адекватности используемых вероятностных моделей. В данной статье кратко освещены некоторые особенности вероятностного описания функционирования восстанавливаемых систем, связанные с использованием марковских моделей, и приведены рекомендации для использования полумарковских моделей при ординарном потоке отказов. Дослідження надійності устаткування АЕС з різними цілями – для оцінки можливості продовження терміну служби, для застосування ризикінформованих підходів і забезпечення безпеки експлуатації АЕС тощо – вимагають високої достовірності одержуваних результатів. Для контролю точності та достовірності одержуваних оцінок необхідно проводити аналіз адекватності використовуваних імовірнісних моделей. У даній статті коротко висвітлено деякі особливості ймовірнісного опису функціонування відновлюваних систем, пов’язані з використанням марковських моделей, і наведено рекомендації для використання напівмарковських моделей при ординарному потоці відмов. Assessment of NPP equipment reliability being implementing for various tasks (i. e. operation terms extension, risk informed approaches application for maintaining of safe NPP operation and other) required the high confidence of the results to be obtained. In this paper some features of probabilistic description of function of repairable systems which are connected with Markov models application are briefly described. Recommendations concerning application of semimarkov models under ordinary flow failures are given. 2007 Article Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС / О.В. Зеленый, А.В. Носовский, О.А. Стадник // Проблеми безпеки атомних електростанцій і Чорнобиля: наук.-техн. зб. — 2007. — Вип. 7. — С. 30-39. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1813-3584 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127839 621.192 ru Проблеми безпеки атомних електростанцій і Чорнобиля Інститут проблем безпеки атомних електростанцій НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблеми безпеки атомних електростанцій Проблеми безпеки атомних електростанцій |
| spellingShingle |
Проблеми безпеки атомних електростанцій Проблеми безпеки атомних електростанцій Зеленый, О.В. Носовский, А.В. Стадник, О.А. Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС Проблеми безпеки атомних електростанцій і Чорнобиля |
| description |
Исследования надежности оборудования АЭС с различными целями - для оценки возможности продления срока службы, для применения рискориентированных подходов и обеспечения безопасности эксплуатации АЭС и пр. - требуют высокой достоверности получаемых результатов. Для контроля точности и достоверности получаемых оценок необходимо проводить анализ адекватности используемых вероятностных моделей. В данной статье кратко освещены некоторые особенности вероятностного описания функционирования восстанавливаемых систем, связанные с использованием марковских моделей, и приведены рекомендации для использования полумарковских моделей при ординарном потоке отказов. |
| format |
Article |
| author |
Зеленый, О.В. Носовский, А.В. Стадник, О.А. |
| author_facet |
Зеленый, О.В. Носовский, А.В. Стадник, О.А. |
| author_sort |
Зеленый, О.В. |
| title |
Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС |
| title_short |
Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС |
| title_full |
Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС |
| title_fullStr |
Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС |
| title_full_unstemmed |
Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС |
| title_sort |
полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации аэс |
| publisher |
Інститут проблем безпеки атомних електростанцій НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Проблеми безпеки атомних електростанцій |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/127839 |
| citation_txt |
Полумарковские модели в задачах оценки надежности и риска от эксплуатации АЭС / О.В. Зеленый, А.В. Носовский, О.А. Стадник // Проблеми безпеки атомних електростанцій і Чорнобиля: наук.-техн. зб. — 2007. — Вип. 7. — С. 30-39. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Проблеми безпеки атомних електростанцій і Чорнобиля |
| work_keys_str_mv |
AT zelenyjov polumarkovskiemodelivzadačahocenkinadežnostiiriskaotékspluataciiaés AT nosovskijav polumarkovskiemodelivzadačahocenkinadežnostiiriskaotékspluataciiaés AT stadnikoa polumarkovskiemodelivzadačahocenkinadežnostiiriskaotékspluataciiaés |
| first_indexed |
2025-07-09T07:50:08Z |
| last_indexed |
2025-07-09T07:50:08Z |
| _version_ |
1837154865709580288 |
| fulltext |
30 ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007
УДК 621.192
ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
И РИСКА ОТ ЭКСПЛУАТАЦИИ АЭС
О. В. Зеленый, А. В. Носовский, О. А. Стадник
Государственное предприятие "Государственный научно-технический центр
ядерной и радиационной безопасности" (ГНТЦ ЯРБ), Киев
Исследования надежности оборудования АЭС с различными целями - для оценки возмож-
ности продления срока службы, для применения рискориентированных подходов и обеспечения
безопасности эксплуатации АЭС и пр. - требуют высокой достоверности получаемых результатов.
Для контроля точности и достоверности получаемых оценок необходимо проводить анализ
адекватности используемых вероятностных моделей. В данной статье кратко освещены некоторые
особенности вероятностного описания функционирования восстанавливаемых систем, связанные с
использованием марковских моделей, и приведены рекомендации для использования полумарков-
ских моделей при ординарном потоке отказов.
Введение
В Украине разработан ряд директивных и нормативных документов[1, 2], требующих
оценок показателей надежности (ПН). Ответственность принимаемых на основании этих
документов решений требует оценки достоверности и точности получаемых результатов.
Для этого необходимо разрабатывать и применять методы исследований, позволяющие
оценить погрешности, связанные с различного рода допущениями и ограничениями. В ГП
"ГНТЦ ЯРБ" проводятся работы по освоению и практическому использованию таких
методов [3, 4] как для исследования показателей долговечности [5], так и для других ПН. Для
работы компьютерных кодов, оценивающих риск от эксплуатации АЭС [6], требуется
описание функций распределения случайных величин (СВ), которыми по сути являются ПН.
Ниже проводится анализ некоторых расчетных формул для кода IRRAS [6] и оценивается
погрешность применяемых вероятностных моделей в зависимости от вида функций
распределения СВ.
Основные предпосылки
При определении вероятности возникновения базисных событий для восстанавлива-
емых элементов в IRRAS [6,7] используются такие типы расчетов:
“ Приближенная“ формула для расчета вероятности отказа восстанавливаемых эле-
ментов
( ),,min)( RMM TTP τλ= (1)
где λ – интенсивность отказов; Тм – временной промежуток, для которого необходима работа
элемента; τR – среднее значение времени восстановления.
“ Точная“ формула для расчета вероятности отказа восстанавливаемых элементов
( )[ ]( )
.
1
/1exp1
)(
R
RMR
M
T
TP
λτ
τλλτ
+
+−−
= (2)
В руководствах кода IRRAS отсутствуют рекомендации о том, какую формулу и когда
лучше использовать. Поэтому может сложиться мнение, что лучше всегда пользоваться
"точной" формулой (2), потому что "приближенная" формула (1) всегда "хуже". На самом
деле формулы (1) и (2) - обе приближенные и отвечают двум различным вероятностным мо-
делям. Формулы (1) и (2) используются для оценки риска, а качество оценки характеризуется
достоверностью и точностью. При этом точность самой вероятностной модели никак не учи-
ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
________________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 31
тывается. Имеющуюся неопределенность оценок можно уменьшить за счет сознательного
выбора вероятностной модели. Выбор конкретных вероятностных моделей для восстанавли-
ваемых элементов связан с изучением альтернирующего процесса восстановления [8, 9].
Альтернирующий процесс восстановления
Предположим, что функци-
онирование системы представляет
собой чередование случайных
периодов работы и восстанов-
ления, как показано на временнỏй
диаграмме (см. рисунок). Тут
верхними полками обозначены
времена безотказной работы iξ , а
нижними обозначены времена
восстановления iθ . Все случай-
ные величины iξ и iθ считаются
одинаково распределенными и не-
зависимыми в совокупности.
Марковская модель
Принимается, что время безотказной работы iξ имеет экспоненциальное распределе-
ние с интенсивностью отказов λ и вероятностью безотказной работы за время t
),exp()()( ttPtP i λξ −=≥= (3)
а время восстановления θi имеет экспоненциальное распределение с интенсивностью вос-
становления µ и вероятностью восстановления
).exp(1)()( ttPtG i µθ −−=<= (4)
В этом случае в качестве модели функционирования системы S(t) можно использовать
марковский процесс с двумя состояниями: e1 - работоспособное и e2 - неработоспособное
состояние системы (или восстановление).
Опишем вероятности состояний марковского процесса:
P1(t = P(S(t) = e1) – вероятность в момент времени t быть в работоспособном
состоянии; P2(t) = P(S(t) = e2) – вероятность в момент времени t быть в неработоспособном
состоянии. Таким образом, P1(t) - нестационарный коэффициент готовности системы; P2(t) -
нестационарный коэффициент неготовности системы; P2(t) = 1 - Р1(t). Для определения P1(t)
и P2(t) необходимо решить систему уравнений Колмогорова
−=
−=
)()(
)(
)()(
)(
21
2
12
1
tPtP
dt
tdP
tPtP
dt
tdP
µλ
λµ
(5)
с начальными условиями
P1(0) = 1, P2(0) = 0. (6)
Решение системы (5) с начальными условиями (6) имеет вид
( )[ ] ,exp)(1 µλ
µµλ
µλ
λ
+
++−
+
= ttP (7)
( )[ ]{ }.exp1)(2 ttP µλ
µλ
λ +−−
+
= (8)
ξ 1 ξ 2 ξ3
e1
e2
θ 1 θ2
Т t
Т м
Альтернирующий процесс восстановления.
е1 - безотказное состояние; е2 - состояние восстановления;
ξ - время безотказной работы; θ - время восстановления
О. В. ЗЕЛЕНЫЙ, А. В. НОСОВСКИЙ, О. А. СТАДНИК
_______________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 32
Для малых значений ( ) MTµλ + <<1 формула (8) принимает вид
( )[ ]{ }MM TTP µλ
µλ
λ +−−
+
= exp1)(2 ≈ ( ){ } MM TT λµλ
µλ
λ =+
+
. (9)
Для экспоненциального распределения интенсивность восстановления µ связана со
средним временем восстановления τR соотношением
.
1
Rτ
µ = (10)
После подстановки формулы (10) в формулу (8) получаем
.
1
exp1
1
)(2
+−−
+
= M
RR
R
M TTP
τ
λ
λτ
λτ (11)
Таким образом, формула (2), (8) или (11), которая используется для расчета вероят-
ности отказа элементов, представляет собой нестационарный коэффициент неготовности,
т. е. вероятность оказаться в неработоспособном состоянии в момент времени MTt = , что
дает максимальную оценку вероятности пребывания в неработоспособном состоянии на всем
промежутке (0, MT ). Формула (2) является "точной" только в рамках принятой марковской
модели, когда времена между отказами и времена восстановления распределены экспонен-
циально, что нельзя сказать о приближенной марковской модели, для которой "приведенная
интенсивность восстановлений" считается по формуле (10).
Полумарковская модель
Получим приближенную оценку вероятности пребывания в нерабочем состоянии
немарковского или полумарковского процесса, когда время восстановления имеет не
экспоненциальное распределение. Рассмотрим случай для ординарного потока отказов, когда
вероятность одного отказа на промежутке (0, MT ) гораздо больше, чем вероятность двух или
более отказов. Приведем вероятностные соображения с использованием наглядной
"геометрической" вероятности и последовательность вычисления по немарковской модели,
где PNM – вероятность пребывания в неработоспособном состоянии на промежутке (0, MT )
(т.е в состоянии восстановления) при условии MR T<<τ .
Описание алгоритма оценки:
1) вычисляется Rτ - среднее время восстановления на промежутке (0, MT );
2) вычисляется оценка вероятности PNM1 пребывания в состоянии восстановления
(ремонта) на промежутке (0, MT ), которая определяется как "геометрическая" вероятность и
равняется отношению среднего времени восстановления к длине промежутка (0, MT )
;
1
M
R
NM TP
τ=
)12(
3) вычисляется оценка PNM2 вероятности отказа на промежутке (0, MT ).
В случае экспонентного распределения времени между отказами оценки вероятности
отказа на промежутке (0, MT ) вычисляется по формуле
[ ]MNM
TP λ−−= exp1
2 ; )13(
4) вычисляются PNM – оценки вероятности пребывания в неработоспособном
состоянии на промежутке (0, MT )
ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
________________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 33
( ){ }M
M
R
NMNM T
T
PP λτ
−−⋅
=⋅ exp121 ; )14(
Для малых значений MTλ <<1 формула (14) приобретает вид
PNM = { }e
T
T M
M
R λτ −−∗
1 = { }M
M
R T
T
λτ
•
≈ Rτλ ; (15)
где
M
R
T
τ
- оценка вероятности пребывания в состоянии восстановления (ремонта) на
промежутке (0, MT ), { }e T M
λ−−1 - оценка вероятности отказа на промежутке (0, MT ).
Приближенная формула (15) для ординарного потока отказов позволяет проводить
обобщения для любых распределений времени между отказами и времени восстановления,
если есть возможность оценки Rτ (среднего времени восстановления), и вероятности отказа
на промежутке (0, MT ). Если известны распределения случайных величин λ и τR, то при
построении доверительных интервалов для их произведения по формуле (15) можно исполь-
зовать доверительные интервалы Бонферрони [10].
Выше описана приближенная методика оценки вероятности пребывания в неработо-
способном состоянии на промежутке (0, MT ) для восстанавливаемых систем при условии
MR T<<τ .
Для вероятностного описания функционирования восстанавливаемых систем кроме
марковских процессов широко используются и полумарковские процессы [11,12]. В даль-
нейшем используется уточненная методика оценки для ординарного потока отказов для
равномерного и усеченного нормального распределений времени восстановления, которая
пригодна для любых соотношений Rτ и MT .
Равномерное распределение времени восстановления
Для оценки средней вероятности PS(0, ТМ) пребывания в неработоспособном состо-
янии на промежутке (0, ТМ) для высоконадежных восстанавливаемых систем используется
полумарковская модель случайного процесса (альтернирующий процесс восстановления) с
двумя состояниями: е1- работоспособное состояние; е2 – состояние восстановления (см.
рисунок). Для работоспособного состояния принимается, что случайные величины времени
до первого отказа и времени между отказами (ξ1,..,ξk) имеют одинаковые распределения с
плотностью
)exp()(1 ttf λλ −= , )16(
где λ - интенсивность отказов.
Для случайных величин времени восстановления (θ1,...,θk) принимается равномерное
распределение с плотностью
,
,0
,
1
,0
)(2
>
≤≤
−
<
=
B
BH
HB
H
когда
когда
когда
f
ττ
τττ
ττ
ττ
τ )17(
где Bτ , Hτ - верхняя и нижняя границы равномерного распределения.
Для ординарного потока отказов на промежутке (0, ТМ) оценка вероятности пребы-
вания в состоянии восстановления на промежутке (0, ТМ) проводится по формуле
О. В. ЗЕЛЕНЫЙ, А. В. НОСОВСКИЙ, О. А. СТАДНИК
_______________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 34
,
),0(
),0(
M
MSV
MS T
TT
TP =
)18(
где ТSV(0, ТМ) - накопленное время пребывания системы в состоянии восстановления на
промежутке (0, ТМ).
Для удобства вычислений с учетом плотности распределения времени восстановления
(17) при вычисления интеграла ТSV(0, ТМ) на промежутке (0, ТМ) используются два интеграла
),0(1 BMTI τ− и ),(2 HMBM TTI ττ −− , так что
).,(),0(),0( 21 HMBMBMMSV TTITITT τττ −−+−= (19)
В интегралах ),0(1 BMTI τ− и ),(2 HMBM TTI ττ −− в качестве весовой функции для
времени восстановления, которое начинается в момент времени t, на промежутке (0, ТМ)
соответственно (16), используется значение dtλ или вероятность отказа за время dt , если до
момента t отказов не было. Таким образом, для вычисления ),0(1 BMTI τ− используется
формула
).(
2
)(
2
)(
)(
1
),0(
00
1 BM
HB
T
HB
HB
T
BM TdtddtTI
BMB
H
BM
τλττλττττ
ττ
λτ
ττ
τ
τ
−
+
=
+
=
−
=− ∫∫∫
−−
)20(
В формуле (20) используется значение среднего времени восстановления для
равномерного распределения с плотностью (17)
.
2
)(
)(
1 HB
HB
d
B
H
ττττ
ττ
τ
τ
+=
−∫
)21(
На множестве )( HMBM TtT ττ −≤≤− значение времени восстановления для
равномерного распределения с плотностью (17) вычисляется как
.)(
)(2
1
)(
1 2
0
tTd M
HB
tT
HB
M
−
−
=
−∫
−
ττ
ττ
ττ )22(
Используя формулу (22) аналогично формуле (20), получаем
−
−
=−
−
=−− ∫
−
− 3)(2
)(
)(2
),(
33
2
2
HB
HB
T
T
M
HB
HMBM
HM
BM
dttTTTI
ττ
ττ
λ
ττ
λττ
τ
τ . )23(
После подстановки выражений (20) и (23) в формулы (19) и (18) и тождественных
преобразований получаем
−
−
+−
+
=
3)(2
)(
2
)(1
,0(
33
HB
HB
BM
HB
M
MS T
T
TP
ττ
ττ
λτλττ
. )24(
Усеченное нормальное распределение времени восстановления
Для описания случайных величин времени восстановления (θ1,...,θk) используется
усеченное нормальное распределение с плотностью
>
≤≤≤
−
−
<
=
B
BH
H
когда
когда
aA
когда
f
ττ
τττ
σ
τ
σπ
ττ
τ
,0
0,
2
)(
exp
2
,0
)(
2
2
2
, )25(
где Bτ , Hτ - верхняя и нижняя границы усеченного нормального распределения; a , σ -
параметры нормального распределения с плотностью
ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
________________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 35
−−=
2
2
2
)(
exp
2
1
),;(
σ
τ
σπ
στ a
af ; [ ] 1)()( −−= HB FFA ττ ;
.
2
)(
exp
2
1
)(
2
2
τ
σ
τ
σπ
d
a
xF
x
∫
∞−
−−=
Среднее значение времени восстановления Ua для общего случая усеченного
нормального распределения (25) определяется по таким формулам:
=Ua τ
σ
ττ
σπ
τ
τ
d
aAB
H
∫
−−
2
2
2
)(
exp
2
( ) dz
z
az
AB
H
z
z
∫
−+=
2
exp
2
2
σ
π
=
= dz
z
zAdz
z
Aa
B
H
B
H
z
z
z
z
∫∫
−+
−
2
exp
2
1
2
exp
2
1 22
π
σ
π
=
= B
H
B
H
z
z
z
zN
zA
zaAF |
2
exp
2
|)(
2
−−
π
σ
= B
H
z
z
zA
a |
2
exp
2
2
−−
π
σ
. (26)
где
σ
τ a
z H
H
−
= ,
σ
τ a
z B
B
−
= , dx
x
zF
z
N ∫
∞−
−=
2
exp
2
1
)(
2
π
.
Для случая στ 3−= aH >0, στ 3+= aB при условии
σ
τ a
z H
H
−
= <-3,
σ
τ a
z B
B
−
= >+3
получаем
=Ua .|
2
exp
2
|)(
2
a
zA
zaAF B
H
B
H
z
z
z
zN ≈
−−
π
σ
)27(
При условии 0=Hτ и ∞=Bτ получаем известную формулу среднего для усеченного
нормального распределения
.
2
exp
2 2
2
−−=
σπ
σ aA
aaU )28(
Как и в предыдущем случае равномерного времени восстановления, рассмотрим
ординарный поток отказов. В дальнейшем схема оценки вероятности PS(0,ТМ) пребывания в
состоянии восстановления и соответствующие обозначения совпадают с предыдущим
случаем после замены равномерного распределения времени восстановления на усеченное
нормальное распределение. Так, для вычисления ),0(1 BMTI τ− используется формула
∫ ∫
−
−−=−
BM B
H
T
BM dtd
aA
TI
τ τ
τ
τ
σ
ττ
σπ
λτ
0
2
2
1 2
)(
exp
2
),0( = ∫
− BMT
U dta
τ
λ
0
= )( BMU Ta τλ − = ),1( BMUTa αλ − (29)
где
M
B
B T
τα = <<1 - малый параметр, который используется для построения приближенных
формул. Формула ),(2 HMBM TTI ττ −− для усеченного нормального распределения с
плотностью (25) на множестве )( HMBM TtT ττ −≤≤− имеет вид
),(2 HMBM TTI ττ −− ∫
∫
−−=
−
−
−HM
BM
M
H
T
T
tT
dtd
aAτ
τ τ
τ
σ
ττ
σπ
λ
2
2
2
)(
exp
2
. (30)
Для оценки результата по формуле (30) используем на множестве
)( HMBM TtT ττ −≤≤− неравенство
О. В. ЗЕЛЕНЫЙ, А. В. НОСОВСКИЙ, О. А. СТАДНИК
_______________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 36
τ
σ
ττ
σπτ
d
aAtTM
H
∫
−−
−
2
2
2
)(
exp
2
.
2
)(
exp
2 2
2
Uad
aAB
H
=
−−≤ ∫ τ
σ
ττ
σπ
τ
τ
(31)
Неравенство (31) выполняется, потому что функции под интегралами положительные
и увеличение промежутка интегрирования только увеличит значение интеграла. После
использования неравенства (31) и соотношения (30) получаем оценки
)(),(2 HBU
T
T
UHMBM adtaTTI
HM
BM
ττλλττ
τ
τ
−=≈−− ∫
−
− )32(
и при выполнении условия
),0(
),(
1
2
BM
HMBM
TI
TTI
τ
ττ
−
−−
≈ )(
)(
BM
HB
T τ
ττ
−
−
<<1 )33(
интеграл ),(2 HMBM TTI ττ −− можно не учитывать. Таким образом, приближенная оценка
вероятности PS(0,ТМ) пребывания в состоянии восстановления, когда время восстановления
распределено по усеченному нормальному закону имеет вид
≈),0( TP MS )1( BUa αλ − , )34(
где
M
B
B T
τα = <<1.
В общем случае для вычисления ),(2 HMBM TTI ττ −− по формуле (30), кроме прибли-
женной (32), можно использовать точные формулы
=
−−∫
−
τ
σ
ττ
σπτ
d
aA
tTM
H
2
2
2
)(
exp
2
,|
2
exp
2
|)(
2
B
H
B
H
z
z
z
zN
zA
zaAF
−−
π
σ
(35)
где
σ
τ a
z H
H
−
= ;
σ
atT
z M
B
−−
= .
Точная формула для ),(2 HMBM TTI ττ −− с использованием формулы (35) выражается
через стандартные вероятностные интегралы и имеет вид
=−− ),(2 HMBM TTI ττ −
−− B
H
z
zN
z
zzFaA |)
2
exp(
2
1
)(
2
π
σλ −λσ 2
),()
2
)(
exp(
2
)(
2
HB
H
HN
zA
zaAF ττ
π
σλ −
−−− )36(
где
σ
τ a
z B
B
−
= ;
σ
τ a
z H
H
−
= .
Таким образом, задавая параметры модели Bτ , Hτ - верхнюю и нижнюю границы
усеченного нормального распределения; a , σ - параметры нормального распределения;
интервал наблюдения (0, ТМ), может быть получена аналитическая зависимость для
вероятности PS(0, ТМ) пребывания в состоянии восстановления на интервале (0, ТМ) для
случая ординарного потока отказов
,
),(),0(
),0( 21
M
HMBMBM
MS
T
TTITI
TP
τττ −−+−=
)37(
где ),0(1 BMTI τ− и ),(2 HMBM TTI ττ −− вычисляются по формулам (29) и (36).
ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
________________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 37
Приведенное экспоненциальное распределение времени восстановления
Для случайных величин времени восстановления (θ1, ... ,θk) принимается
экспоненциальное распределение с плотностью
)exp()(2 µτµτ −=f , )38(
где µ - интенсивность восстановлений.
Часто используется "приведенная экспонента" со значением интенсивности
восстановления
Rτ
µ 1= , где Rτ - среднее время восстановления. Для ординарного потока
отказов на промежутке (0, ТМ) оценка вероятности пребывания в состоянии восстановления
на промежутке (0, ТМ) проводится по формуле
,
),0(
),0(
M
M
MS T
TI
TP =
)39(
где ),0( MTI - накопленное время пребывания системы в состоянии восстановления на
промежутке (0, ТМ), когда время восстановления имеет экспоненциальное распределение
(38).
В качестве весовой функции для времени восстановления, которое начинается в
момент времени t на промежутке (0, ТМ) соответственно (16), используется dtλ или
вероятность отказа за время dt , если до момента t отказов не было.
∫ ∫
−=
−M MT tT
M ddtTI
0 0
)exp(),0( τµτµτλ . (40)
В формуле (40) используется значение времени восстановления с плотностью (38),
которое после замены µτ=x приобретает вид
dxxxd
tTtT MM
∫∫
−−
−=−
)(
00
)exp(
1
)exp(
µ
µ
τµτµτ [ ] =+−−= − )(
0|1)exp(
1 tTMxx µ
µ
[ ]{ }.)(1)(exp
11
tTtT MM −+−−−= µµ
µµ )41(
Введем обозначения
),0(),0(),0( 21 MMM TITITI += , (42)
где
),(
1
),0(
0
1 M
T
M TdtTI
M
µ
λλ
µ
== ∫ )43(
[ ]{ } =−+−−−= ∫
MT
MMM dttTtTTI
0
2 )(1)(exp
1
),0( µµλ
µ
[ ] [ ]{ } .)()(exp)(exp
0
02 ∫ −−−−−−−=
M
M
T
MM
T
M dttTtTtT µµ
µ
λµ
µ
λ
)44(
После замены )( tTx M −= µ получаем
0)( =−= tTXB Mµ ; )( MTXH µ= ; [ ] ,|1)exp()exp(
22
XB
XH
XB
XH
xxdxxx +−−=−∫ µ
λ
µ
λ
-
[ ])(exp),0(
222 MM TTI µ
µ
λ
µ
λ
−+−= [ ] =+−+− 1)())(
22 MM TTex µµ
µ
λ
µ
λ
О. В. ЗЕЛЕНЫЙ, А. В. НОСОВСКИЙ, О. А. СТАДНИК
_______________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 38
[ ]2)())(exp(2
22
+−+−= MM TT µµ
µ
λ
µ
λ
)45(
После подстановки значений ),0(1 MTI и ),0(2 MTI получаем
[ ][ ] −−+= )()(exp)(),0(
2 MMMM TTTTI µµ
µ
λ
µ
λ [ ] =−+ )(exp22
22 MTµ
µ
λ
µ
λ
[ ]{ } [ ]{ })(exp12)(exp1)(
2 MMM TTT µ
µ
λµ
µ
λ −−−−+=
)46(
[ ]{ })(exp1),0( MMS TTP µ
µ
λ −+= [ ] [ ]{ })(exp1
)(
2 M
M
T
T
µ
µµ
λ
−−−
)47(
Оценим значение PS(0, ТМ) при µTM〈〈1
•≈
µ
λ
),0( MS TP [ ] [ ] [ ] [ ]
−++− 22 )(
3
1
)(
2
1
)()(2 MMMM TTTT µµµµ
)48(
или
µ
λ≈),0( MS TP [ ] [ ] .)(
3
1
)(
2
1
2 22 τλ
µ
λµµ
RMM TT =>
−+•
)49(
Таким образом, использование "приведенной экспоненты" со значением интенсив-
ности восстановления
Rτ
µ 1= практически вдвое увеличивает оценку вероятности PS(0,ТМ)
пребывания в неработоспособном состоянии (состоянии восстановления) на промежутке
(0, ТМ).
Выводы и рекомендации
Дано общее описание вероятностных моделей восстанавливаемых систем с использо-
ванием альтернирующего процесса восстановления.
Проведены исследования по оценке адекватности вероятностных моделей восстанав-
ливаемых систем, полумарковская модель (1) и марковская модель (2), в зависимости от
параметров модели (λ – интенсивность отказов, Rτµ /1= - "приведенная интенсивность
восстановления";τR – среднее значение времени восстановления; Тм – временнỏй промежуток,
для которого необходима работа элемента) и имеющейся информации о распределении
случайных величин.
По мнению авторов, формула (1) и поясняющая ее формула (15) для ординарного
потока отказов является более предпочтительной. Она позволяет проводить обобщения для
любых распределений времени между отказами и времени восстановления, если есть возмож-
ность оценки Rτ , и вероятности отказа на промежутке (0, MT ). Если известны распределения
СВ λ и τR, то при построении доверительных интервалов можно использовать как аналити-
ческие зависимости для распределений случайных величин, так и реальные гистограммы,
полученные по результатам эксплуатации объектов.
Для полумарковской модели получены точные формулы (в виде аналитических зави-
симостей от параметров модели) для оценки вероятности пребывания в неработоспособном
состоянии (состоянии восстановления) на промежутке (0,ТМ) для различных распределений
времени восстановления (равномерного, усеченного нормального и "приведенной экспо-
ненты").
По поводу формулы (2), и соответственно (8) или (11), показано, что формула (2)
представляет собой нестационарный коэффициент неготовности, т. е. вероятность оказаться
в неработоспособном состоянии в момент времени MTt = , что дает максимальную оценку
вероятности пребывания в неработоспособном состоянии на всем промежутке (0, MT ).
ПОЛУМАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ
________________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 39
Кроме того, формула (2) является "точной" только в рамках принятой марковской
модели, когда времена между отказами и времена восстановления распределены экспонен-
циально, что нельзя сказать о приближенной марковской модели, для которой "приведенная
интенсивность восстановлений" считается по формуле (10).
Проведенные сравнения применения полумарковской модели для ординарного потока
отказов показали, что использование "приведенной экспоненты" со значением интенсивно-
сти восстановления
Rτ
µ 1= практически вдвое увеличивает оценку вероятности пребывания
в неработоспособном состоянии (состоянии восстановления) на промежутке (0, ТМ).
Таким образом, формулы (1) и (2) получены по разным моделям и дают разные оцен-
ки характеристики случайного процесса восстановления на промежутке (0, ТМ). Формула (1)
дает оценку вероятности пребывания в неработоспособном состоянии (состоянии восстанов-
ления) на промежутке (0, ТМ), а формула (2) - нестационарный коэффициент неготовности,
т.е. вероятность оказаться в неработоспособном состоянии в момент времени MTt = .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. НП. 306.5/02.068 – 2003. Требования к порядку и содержанию работ для продления срока эксплу-
атации информационных и управляющих систем важных для безопасности атомных электро-
станций. - Введ. впервые 18.03.03.- 10 с.
2. Программа внедрения рискориентированных подходов в регулирующей деятельности и эксплуа-
тации АЭС / ГП НАЭК "Энергоатом" – ГКЯРУ, 2003.
3. Зеленый О., Печерица А. В. Углубленный анализ цензурированных исходных данных для оценки
достоверности и точности в исследованиях надежности // Прогрессивные технологии и системы
машиностроения: Междунар. сб. науч. тр. - Донецк: ООО "Лебедь", 2004. - Вып. 27. - C. 92 - 97.
4. Зеленый О. В., Стадник О. А. О применении полумарковских моделей в исследованиях техниче-
ского обслуживания оборудования АЭС // Машиностроение и техносфера XXI века: Сб. науч. тр.
междунар. конф. - Донецк, 2003. - Т. 1. - C. 284 - 288.
5. НД 306.711-96. Надежность АЭС и оборудования. Продление ресурса средств контроля и управ-
ления, входящих в системы, важные для безопасности. Общие требования к порядку и содержа-
нию работ. - Введ. впервые 15.03.96. - Изд-во Мин. охраны окр. среды и ядерной безопасности
Украины, 1996. - 7 с.
6. Russell K. D., Kvarfordt K. J. et al. Systems Analysis Programs for Hands – on Integrated Reliability
Evaluations (SAPHIRE) Version 5.0 / Integrated Reliability and Risk Analysis Sistem (IRRAS)
Referense Manual. NUREG/CR-6116 December 1993, INEL.
7. Вероятностный анализ безопасности атомных станций (ВАБ): Учеб. пособ. / В. В. Бегун, О В.
Горбунов, И. Н. Каденко. - К., 2000. – 568 с.
8. Кокс Д. Р., Смит В. Л. Теория восстановления: Пер. с англ. / Под ред. Ю. К. Беляева. – М.: Сов.
радио, 1967. – 299 с.
9. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. - М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.
10. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ: Пер. с англ. - М.: Мир, 1980.- 456 с.
11. Королюк В.С.,Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. - К.: Наук. думка, 1976.-
181 с.
12. Корлат А. Н., Кузнецов В. Н., Новиков М. М., Турбин А. Ф. Полумарковские модели восстанавли-
ваемых систем и систем массового обслуживания. - Кишинев: Штиинца, 1991. -276 с.
Поступила в редакцию 27.04.06
О. В. ЗЕЛЕНЫЙ, А. В. НОСОВСКИЙ, О. А. СТАДНИК
_______________________________________________________________________________________________________________________
ПРОБЛЕМИ БЕЗПЕКИ АТОМНИХ ЕЛЕКТРОСТАНЦІЙ І ЧОРНОБИЛЯ ВИП. 7 2007 40
18 НАПІВМАРКОВСЬКІ МОДЕЛІ В ЗАДАЧАХ ОЦІНКИ НАДІЙНОСТІ ТА РИЗИКУ ВІД
ЕКСПЛУАТАЦІЇ АЕС
О. В. Зелений, А. В. Носовський, О. А. Стадник
Дослідження надійності устаткування АЕС з різними цілями - для оцінки можливості
продовження терміну служби, для застосування ризикінформованих підходів і забезпечення безпеки
експлуатації АЕС тощо - вимагають високої достовірності одержуваних результатів. Для контролю
точності та достовірності одержуваних оцінок необхідно проводити аналіз адекватності
використовуваних імовірнісних моделей. У даній статті коротко висвітлено деякі особливості
ймовірнісного опису функціонування відновлюваних систем, пов'язані з використанням марковських
моделей, і наведено рекомендації для використання напівмарковських моделей при ординарному
потоці відмов.
APPLICATION OF SEMIMARKOV MODELS, FOR ASSESSMENT OF
RELIABILITY AND RISK FROM NPP OPERATION
O. V. Zeleny, A. V. Nosovsky, O. A. Stadnik
Assessment of NPP equipment reliability being implementing for various tasks (i. e. operation terms
extension, risk informed approaches application for maintaining of safe NPP operation and other) required
the high confidence of the results to be obtained. In this paper some features of probabilistic description of
function of repairable systems which are connected with Markov models application are briefly described.
Recommendations concerning application of semimarkov models under ordinary flow failures are given.
|