Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах
Задача управления технико-технологическими рисками в магистральных газонефтепроводах при условии ограниченности средств, выделенных на предотвращение и ликвидацию возможных аварий, рассматривается в виде полумарковской модели принятия решений для управляемого марковского процесса в непрерывном време...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2010
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12809 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах / О.А. Дышин, И.А. Азизов // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 2. — С. 15-30. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-12809 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-128092010-10-25T12:01:47Z Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах Дышин, О.А. Азизов, И.А. Математические методы и модели Задача управления технико-технологическими рисками в магистральных газонефтепроводах при условии ограниченности средств, выделенных на предотвращение и ликвидацию возможных аварий, рассматривается в виде полумарковской модели принятия решений для управляемого марковского процесса в непрерывном времени с критерием максимума среднего дохода с дисконтированием. Для нахождения оптимальной нерандомизированной марковской стационарной стратегии предложена процедура, основанная на применении псевдобулевых методов бивалентного программирования. Задачу керування техніко-технологічними ризиками в магістральних газонафтопроводах за умови обмеженості коштів, що виділено на запобігання та ліквідацію можливих аварій, розглянуто у вигляді напівмарковської моделі прийняття рішень для керованого марковського процесу у неперервному часі з критерієм максимуму середнього доходу з дисконтуванням. Для визначення оптимальної нерандомізованої марковської стаціонарної стратегії запропоновано процедуру, основану на застосуванні псевдобулевих методів бівалентного програмування. The task of the control of technical-technological risks in the main oil-and-gas pipelines under limited resources appropriated for the possible accident prevention and elimination is considered as Semi-Markov model of decision-making for the controlled Markov process in the continuous time with a criterion of mean income maximum with a discounting. To find the optimal nonrandomized Markov stationary strategy a procedure is offered which is based on the application of the pseudo-Boolean methods of bivalent programming. 2010 Article Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах / О.А. Дышин, И.А. Азизов // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 2. — С. 15-30. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12809 519.2:521.19 ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математические методы и модели Математические методы и модели |
| spellingShingle |
Математические методы и модели Математические методы и модели Дышин, О.А. Азизов, И.А. Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах |
| description |
Задача управления технико-технологическими рисками в магистральных газонефтепроводах при условии ограниченности средств, выделенных на предотвращение и ликвидацию возможных аварий, рассматривается в виде полумарковской модели принятия решений для управляемого марковского процесса в непрерывном времени с критерием максимума среднего дохода с дисконтированием. Для нахождения оптимальной нерандомизированной марковской стационарной стратегии предложена процедура, основанная на применении псевдобулевых методов бивалентного программирования. |
| format |
Article |
| author |
Дышин, О.А. Азизов, И.А. |
| author_facet |
Дышин, О.А. Азизов, И.А. |
| author_sort |
Дышин, О.А. |
| title |
Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах |
| title_short |
Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах |
| title_full |
Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах |
| title_fullStr |
Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах |
| title_full_unstemmed |
Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах |
| title_sort |
полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12809 |
| citation_txt |
Полумарковские модели управления рисками в магистральных газонефтетрубопроводных системах / О.А. Дышин, И.А. Азизов // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 2. — С. 15-30. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT dyšinoa polumarkovskiemodeliupravleniâriskamivmagistralʹnyhgazoneftetruboprovodnyhsistemah AT azizovia polumarkovskiemodeliupravleniâriskamivmagistralʹnyhgazoneftetruboprovodnyhsistemah |
| first_indexed |
2025-07-02T14:48:55Z |
| last_indexed |
2025-07-02T14:48:55Z |
| _version_ |
1836547032499617792 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.2:521.19
Î. À. Äûøèí, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê,
È. À. Àçèçîâ, àñïèðàíò
Ãîñóäàðñòâåííûé íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèé
ïðîåêòíûé èí-ò «Íåôòåãàçïðîåêò»
(Àçåðáàéäæàí, AZ 1012, Áàêó, ïð. Çàðäàáè, 88,
òåë. +99 412 31-90-05, +99 412 497-54-58; E-mail: azizov.ilham@siemens.com)
Ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè
óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíûõ
ãàçîíåôòåòðóáîïðîâîäíûõ ñèñòåìàõ
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Ñ. Å. Ñàóõ)
Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ òåõíèêî-òåõíîëîãè÷åñêèìè ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíûõ ãàçîíåôòåïðîâîäàõ
ïðè óñëîâèè îãðàíè÷åííîñòè ñðåäñòâ, âûäåëåííûõ íà ïðåäîòâðàùåíèå è ëèêâèäàöèþ âîç-
ìîæíûõ àâàðèé, ðàññìàòðèâàåòñÿ â âèäå ïîëóìàðêîâñêîé ìîäåëè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé äëÿ
óïðàâëÿåìîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà â íåïðåðûâíîì âðåìåíè ñ êðèòåðèåì ìàêñèìóìà ñðåä-
íåãî äîõîäà ñ äèñêîíòèðîâàíèåì. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîé íåðàíäîìèçèðîâàííîé ìàð-
êîâñêîé ñòàöèîíàðíîé ñòðàòåãèè ïðåäëîæåíà ïðîöåäóðà, îñíîâàííàÿ íà ïðèìåíåíèè ïñåâäî-
áóëåâûõ ìåòîäîâ áèâàëåíòíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Çàäà÷ó êåðóâàííÿ òåõí³êî-òåõíîëîã³÷íèìè ðèçèêàìè â ìàã³ñòðàëüíèõ ãàçîíàôòîïðîâîäàõ çà
óìîâè îáìåæåíîñò³ êîøò³â, ùî âèä³ëåíî íà çàïîá³ãàííÿ òà ë³êâ³äàö³þ ìîæëèâèõ àâàð³é, ðîç-
ãëÿíóòî ó âèãëÿä³ íàï³âìàðêîâñüêî¿ ìîäåë³ ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü äëÿ êåðîâàíîãî ìàðêîâñüêîãî
ïðîöåñó ó íåïåðåðâíîìó ÷àñ³ ç êðèòåð³ºì ìàêñèìóìó ñåðåäíüîãî äîõîäó ç äèñêîíòóâàí-
íÿì. Äëÿ âèçíà÷åííÿ îïòèìàëüíî¿ íåðàíäîì³çîâàíî¿ ìàðêîâñüêî¿ ñòàö³îíàðíî¿ ñòðàòå㳿
çàïðîïîíîâàíî ïðîöåäóðó, îñíîâàíó íà çàñòîñóâàíí³ ïñåâäîáóëåâèõ ìåòîä³â á³âàëåíòíîãî
ïðîãðàìóâàííÿ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïîëóìàðêîâñêèé ïðîöåññ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñ ïåðåîöåíêîé, ìàð-
êîâñêàÿ ñòàöèîíàðíàÿ ñòðàòåãèÿ, ðåãóëÿðíûé ïîëóìàðêîâñêèé ïðîöåññ, ïñåâäîáóëåâû
ìåòîäû áèâàëåíòíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî îñíîâíûõ ãðóïï ñîáûòèé, êîòîðûå îêàçûâàþò íåïî-
ñðåäñòâåííîå âëèÿíèå íà óðîâåíü ðèñêà ýêñïëóàòàöèè ìàãèñòðàëüíîé ãàçî-
íåôòåòðóáîïðîâîäíîé ñèñòåìû (ÌÃÍÒÑ) [1]: I — ïîëèòè÷åñêàÿ, II — ýêîíî-
ìè÷åñêàÿ, III — òåõíèêî-òåõíîëîãè÷åñêàÿ, IV — ýêîëîãè÷åñêàÿ. Íàèáîëüøèé
óäåëüíûé âåñ èìååò III ãðóïïà ñîáûòèé, â êîòîðîé âîçíèêàåò íàèáîëüøåå
÷èñëî îòêàçîâ, ïîòåíöèàëüíî çàâèñÿùèõ îò ìíîæåñòâà ôàêòîðîâ, â òîì ÷èñëå
÷åëîâå÷åñêîãî.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 15
Ïîä äîïóñòèìûì ðåøåíèåì â ñîñòîÿíèè óãðîçû ïîÿâëåíèÿ àâàðèè
îïðåäåëåííîãî òèïà èëè â ñîñòîÿíèè íàñòóïèâøåé àâàðèè äàííîãî òèïà
(áóäåì ðàçëè÷àòü ýòè äâà ñîñòîÿíèÿ), ïîäðàçóìåâàåòñÿ ðåàëèçàöèÿ íåêîòî-
ðîãî êîìïëåêñà ìåðîïðèÿòèé, îáåñïå÷èâàþùåãî íîðìàëüíîå ôóíêöèîíè-
ðîâàíèå ÌÃÍÒÑ (ò.å. ïåðåõîä ñèñòåìû áåçîïàñíîñòè â ðåæèì îæèäàíèÿ),
ïðè ýòîì ÷èñëî òàêèõ êîìïëåêñîâ êîíå÷íî äëÿ êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ.  ñîñ-
òîÿíèè îæèäàíèÿ ñèñòåìà áåçîïàñíîñòè ïðèíèìàåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå:
íå ïðèíèìàòü íèêàêèõ ìåð áåçîïàñíîñòè (çà èñêëþ÷åíèåì ïðîôèëàêòè÷åñ-
êèõ) è ïîääåðæèâàòü ðåæèì íîðìàëüíîãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ÌÃÍÒÑ.
Îáùàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ñ
äèñêðåòíûì è íåïðåðûâíûì âðåìåíåì, âêëþ÷àÿ ñêà÷êîîáðàçíûå ìàðêîâñ-
êèå óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû, âðåìÿ ñêà÷êîâ êîòîðûõ èìååò âåðîÿòíîñòíóþ
ìåðó ñ îãðàíè÷åííîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ, èçëîæåíà â [2]. Ñèñòåìà-
òè÷åñêîå èçëîæåíèå òåîðèè óïðàâëÿåìûõ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ñ äèñêðåò-
íûì âðåìåíåì (ïî äðóãîé òåðìèíîëîãèè — ìíîãîøàãîâûõ ìàðêîâñêèõ
ïðîöåññîâ ðåøåíèÿ) ïðèâåäåíî â [3]. Åäèíîîáðàçíàÿ è ìàòåìàòè÷åñêè ñòðî-
ãàÿ òåîðèÿ øèðîêîãî êëàññà çàäà÷ äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è ñòî-
õàñòè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â äèñêðåòíîì âðåìåíè ñîäåðæèòñÿ
â [4]. Ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ìàðêîâñêèõ óïðàâëÿåìûõ ïðîöåññîâ áåç
ó÷åòà âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â îòäåëüíûõ ñîñòîÿíèÿõ è àëãîðèòìîâ äèíàìè-
÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé ýòè-
ìè ïðîöåññàìè ïðèâåäåíî â [5].
Ìàðêîâñêèå è ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé äëÿ ñëó÷àé-
íûõ ïðîöåññîâ ñ äîõîäàìè (èëè èçäåðæêàìè) â íåïðåðûâíîì âðåìåíè
èçó÷åíû â [6], ãäå äàíû íåêîòîðûå âàæíûå îáîáùåíèÿ èñõîäíûõ ïîñòàíî-
âîê è ðàçðàáîòàíû àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
(áåç îãðàíè÷åíèé íà óïðàâëÿþùèå ïàðàìåòðû) äëÿ ïðîöåññîâ ñ ýêñïîíåí-
öèàëüíûìè è íå ýêñïîíåíöèàëüíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåí
ïðåáûâàíèÿ â îòäåëüíûõ ñîñòîÿíèÿõ ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ìàðêîâñêèõ è
ïîëóìàðêîâñêèõ ìîäåëåé.
Ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ÌÃÍÒÑ ïðè îãðàíè-
÷åííûõ îáúåìàõ ñðåäñòâ, âûäåëåííûõ íà ìåðîïðèÿòèÿ ïî ïðåäóïðåæäåíèþ
èëè ëèêâèäàöèè ïîñëåäñòâèé àâàðèé, ñôîðìóëèðóåì â âèäå ïîëóìàðêîâñêîé
ìîäåëè ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé äëÿ óïðàâëÿåìîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà â íåïðå-
ðûâíîì âðåìåíè è äèñêîíòèðîâàííûìè (ñ êîýôôèöèåíòîì 0 < � < 1) äîõî-
äàìè (â íîðìàëüíîì ðåæèìå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ) èëè èçäåðæêàìè (â àâà-
ðèéíûõ ñèòóàöèÿõ). Ïðè ýòîì àâàðèè îòîæäåñòâëÿåì ñ ïîñëåäîâàòåëüíî
ñîåäèíåííûìè íåçàâèñèìûìè ýëåìåíòàìè, âîññòàíàâëèâàåìûìè çà êîíå÷-
íîå âðåìÿ [7]. Îïòèìàëüíóþ íåðàíäîìèçèðîâàííóþ ñòàöèîíàðíóþ ñòðàòå-
ãèþ îïðåäåëÿåì ñ ïîìîùüþ ïñåâäîáóëåâûõ ìåòîäîâ áèâàëåíòíîãî ïðî-
Î. À. Äûøèí, È. À. Àçèçîâ
16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
ãðàììèðîâàíèÿ, îòûñêèâàÿ âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû îãðàíè÷åíèé. Ýòè ðåøå-
íèÿ îïðåäåëÿþòñÿ íà îñíîâå àëãîðèòìà ïåðåñå÷åíèÿ ðåøåíèé îòäåëüíûõ
íåðàâåíñòâ-îãðàíè÷åíèé, ïðåäëîæåííîãî â [8] äëÿ íàõîæäåíèÿ áàçèñíûõ
ðåøåíèé ñèñòåìû ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ ñ áóëåâûìè ïåðåìåííûìè è èñ-
ïîëüçîâàííîãî â [9] äëÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíîé çàäà÷è âûáîðà îïòèìàëüíîãî
ðÿäà èçäåëèé äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàáîò ïðè îãðàíè÷åííûõ îáúåìàõ ñðåäñòâ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü êàæäîìó ñîñòîÿíèþ i � S, S = {0, 1, 2, ..., N},
ðàññìàòðèâàåìîé ÌÃÍÒÑ ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå êîíå÷íîå ìíîæåñòâî
K i ðåøåíèé, ýëåìåíòû êîòîðîãî îáîçíà÷èì k = 1, 2, ..., ki . Åñëè ñèñòåìà íà-
õîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè i � S è ïðèíèìàåòñÿ ðåøåíèå k K i� , òî åå äàëüíåéøåå
ïîâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíûì çàêîíîì
Q t p F t
ij
k
ij
k
ij
k( ) ( ) ( )( ) ( )� , j S� , (1)
ãäå p
ij
k( ) — âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà ñèñòåìû â ñîñòîÿíèå i; F t
ij
k( ) ( ) — ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè i ïðè ïðèíÿòèè
ðåøåíèÿ k è ïðè óñëîâèè, ÷òî ñëåäóþùèé ïåðåõîä ïðîèçîéäåò â ñîñòîÿíèå j.
Áóäåì ïîëàãàòü âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1. Ñîñòîÿíèå i = 0 ñîîòâåòñòâóåò íîðìàëüíîìó ôóíêöèîíèðîâàíèþ
ÌÃÍÒÑ, à i � 0 — àâàðèéíûì (èëè ïðåäàâàðèéíûì) ñèòóàöèÿì.
2. Ôóíêöèè F t
j
k
0
( ) ( ) è F t
j
k
0
( ) ( ), j S S� �
~
\{ }0 , k K j� , âìåñòå ñî ñâîèìè
ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè íåïðåðûâíû ïðè t > 0, çà èñêëþ÷åíèåì, áûòü
ìîæåò, êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê, è âîçðàñòàþò íà áåñêîíå÷íîñòè íå áûñòðåå
ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè.
3. Çà åäèíèöó âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â ñîñòîÿíèè i â ñëó÷àå ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèÿ k âûïëà÷èâàåòñÿ ñðåäíèé äîõîä r
i
k( ) (ïðè i � 0 ÷èñëî r
i
k( ) îòðèöà-
òåëüíî è ðàâíî èçäåðæêàì ñèñòåìû çà åäèíèöó âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â
ñîñòîÿíèè i ïðè óñëîâèè âûõîäà èç ýòîãî ñîñòîÿíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ðåøåíèÿ k).
4. Âåëè÷èíû r
i
k( ) îãðàíè÷åíû ïðè âñåõ i S� , k K i� è âåðîÿòíîñòè p
i
k( )
óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì
j S
ij
kp
�
� �( ) 1, i S� , k K i� , p
ij
k( ) � 0, i, j S� , k K i� .
Òàêèì îáðàçîì, â êàæäîì ñîñòîÿíèè i S� èìååòñÿ ki ðåøåíèé èç êîíå÷-
íîãî ìíîæåñòâà K i . Âûáîð íåêîòîðîãî ðåøåíèÿ k èç K i â ñîñòîÿíèè i S�
îçíà÷àåò çàäàíèå âåëè÷èí Q t
ij
k( ) ( ) , p
ij
k( ) , F t
ij
k( ) ( ) , r
i
k( ) , j S� .
Ïðè i �0 K 0 0�{ }; p
j0
0 0( ) � ( j S� ) — âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â ñîñòîÿíèå j.
Âåðîÿòíîñòè p
j0
0( ) ( j S� ) âû÷èñëÿþòñÿ íà ïðàêòèêå êàê äîëÿ àâàðèé òèïà j â
îáùåé ñîâîêóïíîñòè àâàðèé ðàçëè÷íûõ òèïîâ â ÌÃÍÒÑ íà îñíîâå áàíêà
äàííûõ ïðåäûñòîðèè ïðîöåññà.  ýòîì ñëó÷àå F t
j0
0( ) ( ) — ôóíêöèÿ ðàñïðå-
Ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 17
äåëåíèÿ âðåìåíè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ÌÃÍÒÑ ìåæäó ñîñåäíèìè àâàðèÿìè
òèïà j.
Ïðè i N�1,..., äëÿ ëþáîãî k K i� p
i
k
0
1( ) � , p
ij
k( ) �0( j � 0); F t
j
k
0
( ) ( ) — ôóíê-
öèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè âîññòàíîâëåíèÿ ðàáîòîñïîñîáíîñòè ÌÃÍÒÑ ñ
èñïîëüçîâàíèåì ðåøåíèÿ k ïðè àâàðèè òèïà j.
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè âî âðåìåíè èññëåäóåìîãî ïðîöåññà áóäåì ïîëü-
çîâàòüñÿ ïåðåîöåíêîé ýêñïîíåíöèàëüíîãî âèäà ñ íîðìîé �, ò.å. åñëè â
íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè âûïëà÷èâàåòñÿ åäèíè÷íûé äîõîä, òî ÷åðåç
âðåìÿ t ýòîò äîõîä óæå áóäåò ñòîèòü e t�� åäèíèö. Òîãäà, åñëè ri — äîõîä çà
åäèíèöó âðåìåíè, òî ñóììàðíûé äîõîä çà âðåìÿ t èìååò âèä
r e d
r
ei
t
i t� �
� ��
�
�
0
1( ). (2)
Îáîçíà÷èì in ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ïîñëå n-ãî ïåðåõîäà, un — ïðèíÿòîå
ðåøåíèå, à
n — âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ â ýòîì ñîñòîÿíèè (n = 0, 1, 2, ...; i0 —
íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå). Äîïóñòèìóþ ñòðàòåãèþ � äëÿ óïðàâëÿåìîé ÌÃÍÒÑ
îïðåäåëèì êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {� 0,�1,� 2,...}, ãäå� n (�/ zn ) — âåðîÿò-
íîñòíàÿ ìåðà, ñîñðåäîòî÷åííàÿ íà ôóíêöèè îãðàíè÷åíèé U S( ) íà ïðèíÿ-
òûå ðåøåíèÿ (óïðàâëåíèÿ), îïðåäåëÿåìîé ñèñòåìîé íåðàâåíñòâ
c x bkj kj k
j S
�
�
~
, k K UK j
j S
� �
�
~
, (3)
è çàâèñÿùàÿ îò èñòîðèè óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ê ìîìåíòó n-ãî ïåðåõîäà
z i u i u in n n n n� � � �( , , ,..., , , , )0 0 0 1 1 1
. Ìåðà� n (�/ zn ) çàäàåò ðàíäîìèçèðîâàí-
íîå ïðàâèëî âûáîðà ðåøåíèÿ un íà îñíîâå èíôîðìàöèè zn. Òàêóþ ñòðà-
òåãèþ � íàçûâàþò ðàíäîìèçèðîâàííîé [6].
Ñòðàòåãèÿ � íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêîé, åñëè� n (�/ zn ) =� n (�/ in ) (n = 0, 1,
2, ...). Ìàðêîâñêàÿ ñòðàòåãèÿ � íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé, åñëè � n (�/ in ) =
�� (�/ in ). Ïëîòíîñòü ìåðû òàêîé ñòðàòåãèè ïðè i in � , u kn � (k K i� ) îáîçíà-
÷èì d
i
k( ) . Åñëè ñòðàòåãèÿ � — ìàðêîâñêàÿ ñòàöèîíàðíàÿ, òî óïðàâëÿåìûé
ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ïîëóìàðêîâñêèì. Âïåðâûå ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû
ðàññìîòðåíû â 1954 ã. [10]. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû òåîðèè ïîëóìàðêîâñêèõ
ïðîöåññîâ èçëîæåíû â [11]. Óïðàâëÿåìûå ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè ïðîöåñ-
ñîâ ñ äîõîäàìè ïðèâåäåíû â [12].
Îáîçíà÷èì ÷åðåç w ti ( , , )� � ñóììàðíûé äîõîä çà âðåìÿ t ñèñòåìû,
ïðèíèìàþùåé ðåøåíèÿ ñîãëàñíî ñòðàòåãèè � ñ íîðìîé ïåðåîöåíêè � ïðè
óñëîâèè, ÷òî ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåìû íà÷èíàåòñÿ â ìîìåíò t = 0 èç
ñîñòîÿíèÿ i. ×åðåç � � �i t( , , ) = w t ti ( , , ) /� � îáîçíà÷èì ñóììàðíûé ñðåä-
íèé äîõîä ñèñòåìû çà âðåìÿ t ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ.
Î. À. Äûøèí, È. À. Àçèçîâ
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
Ïóñòü ckj — çàòðàòû, ñâÿçàííûå ñ ðåàëèçàöèåé ìåðîïðèÿòèÿ k â ñëó÷àå
àâàðèè j è xkj — áóëåâà ïåðåìåííàÿ: xkj = 1, åñëè k ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ àâàðèè
j, xkj = 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îáùèé îáúåì ñðåäñòâ,
îòïóùåííûõ â ÌÃÍÒÑ íà ìåðîïðèÿòèå âèäà k îãðàíè÷åí êîíñòàíòîé bk,
ò.å. âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (3).
Åñëè çàòðàòû ckj òàêîâû, ÷òî âûïîëíèìî êàæäîå èç îãðàíè÷åíèé (3), òî
ñèñòåìà (3) îïðåäåëÿåò â ïðîñòðàíñòâå R
d, d = dim K, íåêîòîðîå êîíå÷íîå
ìíîæåñòâî äèñêðåòíûõ òî÷åê. Òîãäà íà îñíîâàíèè ñëåäñòâèÿ 2 òåîðåìû 7.4
è òåîðåìû 7.7 èç ðàáîòû [7] ñóùåñòâóåò íåðàíäîìèçèðîâàííàÿ ñòàöèîíàð-
íàÿ ñòðàòåãèÿ �*, íàçûâàåìàÿ �-îïòèìàëüíîé, êîòîðàÿ ìàêñèìèçèðóåò ñóì-
ìàðíûé ñðåäíèé äîõîä � � �( , ) ïðè ïðîèçâîëüíîé ñòðàòåãèè � è íîðìå ïå-
ðåîöåíêè� (�> 0). Ïðè ýòîì� � �( , )åñòü (N + 1) � 1-ìåðíûé âåêòîð (� � �0( , ),
� � �1( , ), ..., � � �N ( , )), ãäå
� � � � � �i
t
i t( , ) lim ( , , )�
��
, i S� . (4)
Íåîáõîäèìî íàéòè �-îïòèìàëüíóþ íåðàíäîìèçèðîâàííóþ ìàðêîâñ-
êóþ ñòàöèîíàðíóþ ñòðàòåãèþ �*, ìàêñèìèçèðóþùóþ ñóììàðíûé ñðåäíèé
äîõîä � � �( , ) ïðè ïðîèçâîëüíîì íà÷àëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ïðîöåññà
a = (a0, a1, ..., aN), (5)
ai
i S
�
�
� 1, a ���� i S� . (6)
Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè, â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âîçü-
ìåì âåêòîð à = (1, 0, ..., 0), ò.å. íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû (íîðìàëüíîå
ôóíêöèîíèðîâàíèå). Íà îñíîâå ïîëóìàðêîâñêîé ìîäåëè ïðèíÿòèÿ ðåøå-
íèé äàííóþ çàäà÷ó ïðèâåäåì ê ýêâèâàëåíòíîé çàäà÷å áèâàëåíòíîãî ïðî-
ãðàììèðîâàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïñåâäîáóëåâûõ ìåòîäîâ.
Îïòèìèçàöèîííàÿ ñõåìà ïîëóìàðêîâñêîé ìîäåëè ïðèíÿòèÿ ðåøå-
íèé. Âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäîâ ðàññìàòðèâàåìîãî äëÿ ÌÃÍÒÑ ïîëóìàðêîâñ-
êîãî ïðîöåññà ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â ìîìåíòû ñêà÷êîâ èç ñîñòîÿíèÿ i â ñîñ-
òîÿíèå j ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ k K i� îïðåäåëÿþòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé (N +
+ 1) � (N + 1)-ìàòðèöåé P pk
ij
k( ) ( )[ ]� , êîòîðàÿ çàäàåò òàê íàçûâàåìóþ âëî-
æåííóþ öåïü Ìàðêîâà. Çäåñü è äàëåå [ ] — îáîçíà÷åíèå ìàòðèöû. Ýëå-
ìåíòû p
ij
k( ) ïðè ëþáûõ i j S, � è k K i� ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå
(1) ñîâìåñòíóþ âåðîÿòíîñòü Q t
ij
k( ) ( ) òîãî, ÷òî äëèòåëüíîñòü ïðåáûâàíèÿ â
ñîñòîÿíèè i íå ïðåâîñõîäèò t è èç ñîñòîÿíèÿ i ïðè k K i� ïðîöåññ ïåðåõîäèò
â ñîñòîÿíèå j ñ âåðîÿòíîñòüþ p
ij
k( ) . Ôóíêöèè Q t
ij
k( ) ( ) â (1) óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì
Q
ij
k( ) ( )0 0� , i j S, � , k K i� , (7)
Ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 19
Q p
ij
k
j S
ij
k
j S
( ) ( )( )� � �
� �
� � 1, i S� , k K i� . (8)
Ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû Q t Q tk
ij
k( ) ( )( ) [ ( )]� , íàçûâàåìîé ìàòðèöåé ïåðåõîäíûõ
ðàñïðåäåëåíèé, îïðåäåëèì ôóíêöèþ
H t Q t
i
k
ij
k
j S
( ) ( )( ) ( )�
�
� , i S� , k K i� , (9)
ÿâëÿþùóþñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ ïðîöåññà â
ñîñòîÿíèè i ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ k K i� .
Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ {Zt ; t � 0} ñî çíà÷åíèÿìè Z it � , åñëè â ìîìåíò t
ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè i, ÿâëÿåòñÿ ïîëóìàðêîâñêèì ïðîöåññîì è
çàäàåòñÿ âåëè÷èíàìè N a, , Q t
ij
k( ) ( ), i j S, � , k K i� .
Ïîëóìàðêîâñêèé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ðåãóëÿðíûì, åñëè çà êîíå÷íûé
ïðîìåæóòîê âðåìåíè îí ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïîáûâàåò â ëþáîì ñîñ-
òîÿíèè íå áîëåå êîíå÷íîãî ÷èñëà ðàç. Òàêèì îáðàçîì, ðåãóëÿðíûé ïîëó-
ìàðêîâñêèé ïðîöåññ çà êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè âñåãäà ñîâåðøàåò
ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ïåðåõîäîâ. Äàëåå áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ðåãó-
ëÿðíûå ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû.
 ñëó÷àå îäíîýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ ðåøåíèé K i â ðåçóëüòàòå ñòàí-
äàðòíûõ äëÿ òåîðèè âîññòàíîâëåíèÿ [13] ðàññóæäåíèé ïîëó÷àåì ñëåäóþ-
ùåå óðàâíåíèå âîññòàíîâëåíèÿ [6]:
�
� �
� �
i i
i t
j S
i
t
t H t
r
e
r
e( ) ( ( )) ( ) ( )� � � � �
�
�
� ��
�
�� 1 1 1
0
� � �
�
�
�e t dQj ij
�
�
( ) ( ), i S� ,
ãäå� i t( )— êðàòêàÿ çàïèñü ñóììàðíîãî ñðåäíåãî äîõîäà� � �i t( , , )çà âðåìÿ t.
 ñëó÷àå êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ K i óðàâíåíèå âîññòàíîâëåíèÿ ñ ó÷åòîì
âåðîÿòíîñòåé d
i
k( ) ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé k â ñîñòîÿíèè i çàïèøåì â âèäå
�
�
�
i
k K
i
k
i
k i
k
tt d H t
r
e
i
( ) ( ( )) ( )( ) ( )
( )
� � � �
�
�� 1 1
�
�
�
�
� � �
�
�
�
� �
� �� �
j S k K
i
k i
kt
j
i
d
r
e e t( )
( )
( ) ( )
�
�
�
�
1
0 ��
dQ
ij
k( ) ( )
, i S� , (10)
ãäå r
i
k( ) — äîõîä ñèñòåìû çà åäèíèöó âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â ñîñòîÿíèè i
ïðè ðåøåíèè k K i� ; � j t( ) — ñóììàðíûé ñðåäíèé äîõîä, ïîëó÷àåìûé
Î. À. Äûøèí, È. À. Àçèçîâ
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
ñèñòåìîé çà âðåìÿ t ñ ó÷åòîì ïåðåîöåíêè (2) (ñ çàìåíîé r
i
íà r
j
k( ) ) ïðè
óñëîâèè, ÷òî ïðîöåññ íà÷èíàåòñÿ â ìîìåíò t = 0 èç ñîñòîÿíèÿ j.
Âåëè÷èíû � � �i ( , ) èç (4) êðàòêî çàïèøåì â âèäå � �i ( ), è äëÿ âûâîäà
óðàâíåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ïîíÿòèåì èíòåãðàëà Ëàïëàñà—Ñòèëòüåñà. Ïî
îïðåäåëåíèþ [14] äëÿ ëþáîé ôóíêöèè F t( ), ïðîèçâîäíàÿ �F t( ) êîòîðîé ÿâ-
ëÿåòñÿ ôóíêöèåé-îðèãèíàëîì, óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó � �F t Ceat( )
äëÿ âñåõ t > 0, ïðè âñåõ êîìïëåêñíûõ s, êîãäà Re s a� , ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ
F s L F t e dF ts
st* *( ) { ( )} ( )� �
�
�
0
, (11)
ò.å. ôóíêöèÿ e st� ïðè Re s a� èíòåãðèðóåìà ïî ôóíêöèè F(t). Ôóíêöèþ
F s* ( )èç (11) íàçûâàþò ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà—Ñòèëòüåñà ôóíêöèè F (t).
Èç (8) è (9) ñëåäóåò, ÷òî H
i
k( ) ( )� �1, i S� , k K i� , ïîýòîìó ïåðâàÿ ñóììà â
(10) ïðè t�� îáðàùàåòñÿ â íóëü. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì âûðàæåíèå (11)
äëÿ L F ts
* { ( )}, ïîëó÷àåì
s L F t L F t Fs s{ ( )} { ( )} ( )*� � 0 , (12)
ãäå
F s L F t e F t dts
st( ) { ( )} ( )� �
�
�
0
åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ôóíêöèè F (t). Èç (12) ïðè s � 0 íàõîäèì
L F t
s
L F t Fs s{ ( )} ( { ( )} ( ))*� �
1
0 . (13)
Èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì ñ ó÷åòîì (9) íàõîäèì
j
t
ij
k
j
ij
k t
j
e dQ e dQ a� � �� � � �� �( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1
0
0
�
�
e H d
t
i
�
�
0
( ) .
(14)
Ïåðåõîäÿ â (14) ê ïðåäåëó ïðè t�� è ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (13) äëÿ s ��
(� �0), ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (7) è (8) ïîëó÷àåì
j
ij
k
s i
ke dQ L H t� � � � ��
�
�( ) ( ) { ( )}( ) ( )1 1
0
�
�
�
� � � ��1
1
1�
�
��L H t hs i
k
i
k* ( ) ( ){ ( )} ( ), (15)
Ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 21
ãäå h L H t
i
k
s i
k( ) * ( )( ) { ( )}� �� � . Ïðèìåíÿÿ ê ôóíêöèè
i
k
j ij
k
t
t e t dQ t( ) ( )( ) ( ) ( )� ��
�
�
0
òåîðåìó î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå â èíòåãðàëå ïî ïàðàìåòðó, îò êîòîðîãî
çàâèñÿò ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ è ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ [15, §53.1,
òåîðåìà 1], ïðè t�� ïîëó÷àåì
ij
k
j ij
k
j ij
ke dQ q( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � ��
�
�
� �
� � �
0
, (16)
ãäå q L Q
ij
k
s ij
k( ) * ( )( ) { ( )}� ��� � . Ïåðåõîäÿ òåïåðü â óðàâíåíèè (10) ê ïðåäåëó
ïðè t��, ñ ó÷åòîì (15) è (16) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
� � ! � � � �i
k K
i
k
i
k
j S
ij
k
j
i
d q( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )� �
"
#
$$
%
&
'
� �
� � ' , (17)
ãäå
! �
�
�
i
k i
k
i
kr
h( )
( )
( )( ) ( ( ))� �1 . (18)
Äëÿ îäíîýëåìåíòíûõ ìíîæåñòâ K ki i�{ } ( )( )d
i
ki � 1 ôîðìóëà (17) áûëà
ïîëó÷åíà â ðàáîòå [6, ôîðìóëà (5.37)].
Ïóñòü
p d
i
k K
i
k
i
k
i
( ) ( )( ) ( )� ! ��
�
�
è ! � ! � ! �( ) ( ( ),..., ( ))� 0 N
T , � � � � � �( ) ( ( ),..., ( ))� 0 N
T , ãäå Ò — ñèìâîë
òðàíñïîíèðîâàíèÿ ìàòðèöû. Òîãäà
� � ! � � � �( ) ( ) ( ) ( )� �q , (19)
ãäå
q qij( ) [ ( )]� �� , q d qij
k K
i
k
ij
k
i
( ) ( )( ) ( )� ��
�
� .
Èç (19) íàõîäèì
� � � ! �( ) [ ( )] ( )� � �I q 1 . (20)
Î. À. Äûøèí, È. À. Àçèçîâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
Ðàâåíñòâî (20) ñïðàâåäëèâî, òàê êàê ïðè � �0 ìàòðèöà [ ( )]I q� � íåâû-
ðîæäåííàÿ, I — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà (N + 1) � (N + 1). Óìíîæèâ îáå
÷àñòè ðàâåíñòâà (19) ñëåâà íà âåêòîð à èç (5), (6), ïîëó÷èì
a ( �
� � �
� � �� � ) � ! �( ) ( ) ( )
~
( ) ( )
i S j S k K
i ij j
k
j
k
j
a d ,
[ ( )] [ ( )]I q
ij
� ��� ) �1 . (21)
Âåëè÷èíû ) �
ij
( ) çàâèñÿò îò d
i
k( ) , k K i� , i S� , òàê êàê ýëåìåíòû ìàòðèöû
[ ( )]I q� � ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç d
i
k( ) , k K i� , i S� .
Ïóñòü {d
j
k( )} (k K j� ) — íåðàíäîìèçèðîâàííàÿ ìàðêîâñêàÿ ñòàöèîíàð-
íàÿ ñòðàòåãèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè j:
d
j
k( ) { , }� 0 1 ,
j S
j
kd
�
� �( ) 1.
Ïîëîæèì x00 1� è x dkj j
k� ( ) , k K j� , j S�
~
. Ìàêñèìèçàöèÿ äîõîäà (21) ïðè-
âîäèò ê ñëåäóþùåé çàäà÷å îïòèìèçàöèè äëÿ áóëåâûõ ïåðåìåííûõ x �{ }xkj ,
k K j� , j S�
~
:
f a x
i S j S k K
i ij j
k
kj
j
( , ) ( , ) max
~
( )� ) � !x x� �
� � �
� � � , (22)
k K
kj
j
x
�
� �1, j S�
~
, (23)
j S
kj kj kc x b
�
�
~
, k K j� , j S�
~
, (24)
x
kj
�{ , }0 1 , k K j� , j S�
~
. (25)
Ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíîé íåðàíäîìèçèðîâàííîé ìàðêîâñêîé ñòà-
öèîíàðíîé ñòðàòåãèè. Îáîçíà÷èì ñèñòåìó (24), (25) ÷åðåç C.  òåðìè-
íîëîãèè [16] Ñ ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé ïñåâäîáóëåâûõ íåðàâåíñòâ. Îáîçíà÷èì,
äàëåå, ñèñòåìó C ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ (23) ÷åðåç C è ÷åðåç
x
k
r
k
r
kN
rx x( ) ( ) ( )( ,..., )�
1
, r = 1, ..., rk — äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ k-ãî íåðàâåíñòâà
ñèñòåìû C .
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèé ñèñòåìû C ïðè èçâåñòíûõ äîïóñòèìûõ ðå-
øåíèÿõ êàæäîãî íåðàâåíñòâà (24) ïðèìåíèì ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé â [8]
äëÿ íàõîæäåíèÿ áàçèñíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû C . Ñóòü ýòîãî ïîäõîäà
çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.
Ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 23
Ðåøåíèÿ ñèñòåìû C îòûñêèâàþòñÿ â âèäå P �{ }s j , j =1, …, N, ãäå sj —
ìíîæåñòâî íîìåðîâ k, äëÿ êîòîðûõ äîïóñòèìî ðàâåíñòâî xkj �1. Ðåøåíèÿ
íàõîäÿòñÿ çà m øàãîâ, ãäå m — ÷èñëî îãðàíè÷åíèé (24).  èñõîäíîì
ñîñòîÿíèè êàæäîå èç ìíîæåñòâ s
j
( )0 âåêòîðà Ð
(0) âêëþ÷àåò âñå âîçìîæíûå
çíà÷åíèÿ k K j� . Íà k-ì øàãå ïðîèñõîäèò ïåðåñå÷åíèå âåêòîðà P
( )k�1 ñ
îäíèì èç ðåøåíèé k-ãî íåðàâåíñòâà. Ïîëàãàÿ, ÷òî k-ìó íåðàâåíñòâó ñîîò-
âåòñòâóåò k = k1, à òàêæå, ÷òî � j åñòü j-é ýëåìåíò äîïóñòèìîãî ðåøåíèÿ
äàííîãî íåðàâåíñòâà,� j p�{ , , }0 1 (ð — íåîïðåäåëåííûé ïàðàìåòð èç ìíî-
æåñòâà {0,1}, îáîçíà÷àåìûé â äàëüíåéøåì ïðî÷åðêîì), ìîæíî çàïèñàòü
ñëåäóþùèå ôîðìàëüíûå ïðàâèëà äëÿ k-ãî øàãà àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ
ðåøåíèé ñèñòåìû C :
1) åñëè çíà÷åíèå� j íå ôèêñèðîâàíî, òî s s
j
k
j
k( ) ( )� �1 ;
2) åñëè � j �1, òî ïðè k s k
1
1� �( ) ïîëàãàåì s kk( ) { }�
1
, à ïðè k s k
1
1� �( )
ïîëàãàåì s
j
k( ) �*;
3) åñëè� j �0, òî ïîëàãàåì s s k
j
k
j
k( ) ( ) \{ }� �1
1
.
Ïðè ýòîì ïåðåñå÷åíèå ñåìåéñòâ ðåøåíèé îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ó÷åòîì
äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé (23).
Íà m-ì øàãå àëãîðèòìà ïîëó÷àåì âåêòîð P
(m) = {� �
1
( ) ( ), ...,m
N
m }, êàæäàÿ
êîìïîíåíòà �
j
m( ) êîòîðîãî ëèáî ÿâëÿåòñÿ îäíîýëåìåíòíûì ìíîæåñòâîì
{k}, k K� , K = {1, ..., m} è, ñëåäîâàòåëüíî, P
(m) åñòü ðåøåíèå ñèñòåìûC , ëè-
áî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðûé íàáîð ÷èñåë k èç ìíîæåñòâà K.  ïî-
ñëåäíåì ñëó÷àå ñ ïîìîùüþ ñî÷åòàíèÿ ýëåìåíòîâ ìíîãîçíà÷íûõ êîìïî-
íåíò èç âåêòîðà P
(m) ïîëó÷àåì íåñêîëüêî ðåøåíèé ñèñòåìûC .  ðåçóëüòàòå
íàõîäèì ñîâîêóïíîñòü âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû C , èç êîòîðûõ âûáèðàåì îïòè-
ìàëüíîå ðåøåíèå, äîñòàâëÿþùåå ìàêñèìóì öåëåâîé ôóíêöèè f ( , )� x . Ýòî
ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñðàâíåíèåì çíà÷åíèé f ( , )� x
ïðè îïðåäåëåíèè õ ñèñòåìû C . ×èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ èçëîæåííîãî àëãî-
ðèòìà ðåøåíèÿ çàäà÷è (22)—(25) äëÿ ïîëóìàðêîâñêîé ìîäåëè ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèé ïðè àâàðèÿõ â ìàãèñòðàëüíîì ãàçîïðîâîäå ïðåäñòàâëåíà â ñëå-
äóþùåì ïðèìåðå.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì äâå âîçìîæíûå àâàðèè ãàçîïðîâîäà: àâàðèÿ 1 (j =
= 1) —çàêóïîðêà, àâàðèÿ 2 ( j = 2) — ïðîïóñê çàäâèæêè. Àëüòåðíàòèâíûå
ìåðîïðèÿòèÿ â ñëó÷àå àâàðèè 1:
1) îñòàíîâêà ãàçîïðîâîäà è âîññòàíîâëåíèå íîðìàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ;
2) ïðîäóâêà ãàçîïðîâîäà;
3) ïðèìåíåíèå âÿçêîóïðóãîé ñèñòåìû î÷èñòêè;
â ñëó÷àå àâàðèè 2:
1) îñòàíîâêà ãàçîïðîâîäà è âîññòàíîâëåíèå íîðìàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ;
Î. À. Äûøèí, È. À. Àçèçîâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
2) çàìåíà çàäâèæêè.
Ïîëàãàåì, ÷òî â îáåèõ àâàðèÿõ ïåðâîå ìåðîïðèÿòèå — îñòàíîâêà ãàçî-
ïðîâîäà — îñóùåñòâëÿåòñÿ çà îäíî è òî æå âðåìÿ Ò = 1 ÷. Ïîýòîìó,
ó÷èòûâàÿ ìàëóþ ñòîèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ âîññòàíîâèòåëüíûõ ðàáîò
ïî ñðàâíåíèþ ñ óáûòêàìè ïðè ïðîñòîå âñåé ñèñòåìû, ìîæíî ñ÷èòàòü
ïåðâûå ìåðîïðèÿòèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâûìè ïî çàòðàòàì. Çàïèøåì
ìåðîïðèÿòèÿ â ñëó÷àå àâàðèè 1 â âèäå k = 1, k = 2, k = 3, à ìåðîïðèÿòèÿ â
ñëó÷àå àâàðèè 2 — â âèäå k = 1 è k = 4. Òîãäà ÷èñëî ýëåìåíòîâ ñèñòåìû
ñîñòàâèò N = 2, à îáùåå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ìåðîïðèÿòèé äëÿ ëèêâèäàöèè
ñîâîêóïíîñòè àâàðèé {1, 2} — m = 4.
Îòîæäåñòâèì àâàðèè j ãàçîïðîâîäíîé ñèñòåìû ñ åå ýëåìåíòàìè, ñîå-
äèíåííûìè ïîñëåäîâàòåëüíî (ïî íàäåæíîñòè). Ïðè ýòîì áóäåì ïîëàãàòü,
÷òî âîññòàíîâëåíèå êàæäîãî ýëåìåíòà òðåáóåò íåêîòîðîãî âðåìåíè, êîòî-
ðûì íåëüçÿ ïðåíåáðå÷ü, è âî âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ ëþáîãî ýëåìåíòà âñå
äðóãèå ýëåìåíòû ïðîäîëæàþò ðàáîòàòü. Îòêàçû è âîññòàíîâëåíèÿ ýëåìåí-
òà íå âëèÿþò íà íàäåæíîñòü äðóãèõ ýëåìåíòîâ. Âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ
ýëåìåíòà íå çàâèñèò îò òîãî, ïðîèñõîäÿò â ýòî âðåìÿ îòêàçû äðóãèõ ýëå-
ìåíòîâ èëè íåò. Èíûìè ñëîâàìè, êàæäûé ýëåìåíò îòêàçûâàåò è âîññòàíàâ-
ëèâàåòñÿ íåçàâèñèìî îò äðóãèõ.  ýòîì ñëó÷àå ïîòîê îòêàçîâ è âîññòàíîâ-
ëåíèé åñòü ñóììà N íåçàâèñèìûõ ïðîöåññîâ âîññòàíîâëåíèÿ ñ êîíå÷íûì
âðåìåíåì âîññòàíîâëåíèÿ [8].
Îáîçíà÷èì ÷åðåç F tj ( ) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè áåçîòêàçíîé
ðàáîòû ñèñòåìû ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè àâàðèÿìè òèïà j, à ÷åðåç
G t
j
k( ) ( ) — ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè âîññòàíîâëåíèÿ ñèñòåìû ïîñ-
ëå àâàðèè òèïà j ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ k. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî F tj ( ) è
G t
j
k( ) ( ) ïîä÷èíÿþòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûì çàêîíàì ñ ôóíêöèÿìè èíòåíñèâ-
íîñòè ñîîòâåòñòâåííî + j è )
j
k( ) :
F t ej
tj( ) � � �
1
+
, G t e
j
k tk( ) ( )
( )
� � �1 ) , (26)
ãäå + j jT�1 1/ ; )
j
k
j
kT( ) ( )/�1
2
; Tj1 è T
j
k
2
( ) — ñðåäíåå âðåìÿ æèçíè ñèñòåìû
ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè àâàðèÿìè òèïà j è ñðåäíåå âðåìÿ âîññòà-
íîâëåíèÿ ñèñòåìû ïîñëå àâàðèè òèïà j ïðè ðåøåíèè k. Ïóñòü d
i
k( ) — íåðàí-
äîìèçèðîâàííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ ñòðàòåãèÿ ñèñòåìû â ñîñòîÿíèè i (i S� ) ïðè
ðåøåíèè k (ò.å. âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ k â ñîñòîÿíèè i),
d
i
k( ) { , }� 0 1 ,
k K
i
k
i
d
�
� �( ) 1, i S� . (27)
Òîãäà çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ æèçíè è çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ âðåìåíè âîñ-
ñòàíîâëåíèÿ ñèñòåìû â öåëîì çàïèøåì â âèäå
F t e t( ) � � �1 + , G t e t( ) � � �1 ) ,
Ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 25
ãäå
+ � +
�j
N
j
1
� , ) � )
�
d
j
N
j
k
j
k
1
�� ( ) ( ) .
Ïóñòü
T11 = 8 ÷, T21 = 8 ÷, T
12
1( ) = 1 ÷, T
12
2( ) = 2 ÷,
T
12
3( ) = 1÷, T
22
1( ) = 1÷, T
22
4( ) = 0,5 ÷. (28)
Ïóñòü, äàëåå, i = 0 — ñîñòîÿíèå íîðìàëüíîãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ, i = 1
ñîîòâåòñòâóåò àâàðèè 1, à i = 2 — àâàðèè 2; S = {0, 1, 2},
~
S = {1, 2}. Ñîãëàñíî
(28) ñ ó÷åòîì (25)—(27) ïîëó÷àåì
F t F t e t
0
0 251( ) ( ) ,� � � � , F t ej
t( ) ,� � �1 0 125 , j = 1, 2,
G t e t
1
1 1( ) ( ) � � � , G t e t
1
2 0 51( ) ,( ) � � � , G t e t
1
3 1( ) ( ) � � � ,
G t e t
2
1 1( ) ( ) � � � , G t e t
2
4 21( ) ( ) � � � .
Äîïóñòèì, ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü ãàçîïðîâîäà ðàâíà 7(106 ì3/äåíü è
ñòîèìîñòü 1000 ì3 ãàçà — 230 ó. å. Òîãäà èçäåðæêè îò ïðîñòîÿ ãàçîïðîâîäà
â òå÷åíèå âðåìåíè Ò = 1 ÷ ñîñòàâÿò 7 ( 103 ( 230/24 = 66850 ó. å. Îáîçíà÷èì
÷åðåç ñkj çàòðàòû íà ìåðîïðèÿòèå k â ñëó÷àå àâàðèè j. Òîãäà, ïðåíåáðåãàÿ
çàòðàòàìè íà âîññòàíîâèòåëüíûå ðàáîòû â ìåðîïðèÿòèè k = 1, ïîëó÷àåì
ñ11 = ñ12 = ñ1 = 66850 ó. å. Ïóñòü, äàëåå, ñ21 = 300, ñ31 = 400, ñ42 = 600 ó. å. Áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî â ñîñòîÿíèè i = 0 ïðèíÿòî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (k = 0) —
ïðîäîëæàòü íîðìàëüíîå ôóíêöèîíèðîâàíèå, è â ýòîì ñîñòîÿíèè çàäàíî
ñëåäóþùåå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé:
p
00
0 0 7( ) ,� , p
01
0 0 1( ) ,� , p
02
0 0 2( ) ,� . (29)
Ôóíêöèè (1) è (9) çàïèøåì òàê:
Q t e t
00
0 0 250 7 1( ) ,( ) , ( )� � � , Q t e t
01
0 0 12501 1( ) ,( ) , ( )� � � ,
Q t e t
02
0 0 12502 1( ) ,( ) , ( )� � � , Q t e t
10
1 1( ) ( ) � � � , Q t e t
10
2 0 51( ) ,( ) � � � ,
Q t e t
10
3 1( ) ( ) � � � , Q t Q tk k
11 12
0( ) ( )( ) ( )� � , (k = 1, 2, 3),
Q t e t
20
1 1( ) ( ) � � � , Q t e t
20
4 21( ) ( ) )� � � ;
H t e et t
0
0 0 25 0 1250 7 1 03 1( ) , ,( ) , ( ) , ( )� � � �� � ,
H t e t
1
1 1( ) ( ) � � � , H t e t
1
2 0 51( ) ,( ) � � � , H t e t
1
3 1( ) ( ) � � � ,
H t e t
2
1 1( ) ( ) � � � , H t e t
2
4 21( ) ( ) � � � .
Î. À. Äûøèí, È. À. Àçèçîâ
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
Ñ ó÷åòîì îáîçíà÷åíèé õ00 = 1, xkj = d
j
k( ) , k K j� , j S�
~
, ìàòðèöà q ( , )� x �
� [ ( , )]qij � x (i j S, � ) ñ ýëåìåíòàìè
q x qij ki
k K
ij
k
i
( , ) ( )( )� �x �
�
� , i j S, �
ïðèìåò âèä
q x
x x
( , )
, , ,
�
� ���,- � ��� ,- � ��� ,-
�
�
0175 00125
1
0025
1
11 31
� � � �
� � � �
1 05
0 0
1 2
0 0
21
12 42
�
�
.
/
0
0
0
0
0
0
1
2
3
3
3
3
3
3
x
x x
,
.
Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû [ ( , )]I q� � x :
D
x x
( , )
, ,
�
� ��� ,- � � � � � �
x � � �"
#
$
%
&
'� �
0025
1 1
2
2
1
017512 42
��,- � ��� ,- � � � �
� �"
#
$
%
&
'
00125
1 1 05
11 21,
,
x x
.
Ìàòðèöà [ ( , )] [ ( , )]I q ij� ��� ) �x x
1 (i j S, � ) èìååò ýëåìåíòû
) �00 0( , )x � , ) �
� � ��� ,-
01
1 00125
1
( , )
( , )
,
x
x
� (
D
, ) �
� � ��� ,-
02
1 0025
1
( , )
( , )
,
x
x
� (
D
,
) �
� � � � �
10
11 31 211
1 05
( , )
( , ) ,
x
x
�
�
�"
#
$
%
&
'
D
x x x
,
) �
� � ���,- � ��� ,- � �
11
121
1
0175 0025
1 1
2
( , )
( , )
, ,
x
x
� � � �
D
x x42
2� �
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
' ,
) �
� � ��� ,- � � � �
12
11 31 211 0025
1 1 05
( , )
( , )
,
,
x
x
�
�
�"
#
$
D
x x x %
&
',
) �
� � � � �
20
12 421
1
2
2
( , )
( , )
x
x
� �"
#
$
%
&
'
D
x x
,
) �
� � ��� ,- � � � �
21
12 421 00125
1 1
2
2
( , )
( , )
,
x
x
� �"
#
$
%
&
'
D
x x
,
) �
� � ���,- � ��� ,-
22
11 311
1
0175 00125
1
( , )
( , )
, ,
x
x
� � �
�
D
x x
� � � �1 05
21�"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
'
x
,
.
Ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 27
 (18) âåëè÷èíû r
i
k( ) èìåþò çíà÷åíèÿ (ó. å.)
r
0
0( ) = 66850, r
1
1( ) = – 66850, r
1
2( ) = – 150, r
1
3( ) = – 400,
r
2
1( ) = – 66850, r
2
4( ) = –1200,
à âåëè÷èíû !
i
k( ) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
! �
� � ���,- � ��� ,-0
0 66850
1
0175 00375
1
( ) ( )
, ,
� � �"
#
$
%
&
' ,
! �
� � �1
1 66850
1
1
1
( ) ( ) � � �"
#
$
%
&
' , ! �
� � � �-1
2 150
1
05
0
( ) ( )
,
� � �"
#
$
%
&
' ,
! �
� � �1
3 400
1
1
1
( ) ( ) � � �"
#
$
%
&
' , ! �
� � �2
1 66850
1
1
1
( ) ( ) � � �"
#
$
%
&
' ,
! �
� � �2
4 1200
1
2
2
( ) ( ) � � �"
#
$
%
&
' .
Íàéäåì ðåøåíèÿ ñèñòåìû C ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà ïåðåñå÷åíèÿ ðåøå-
íèé îòäåëüíûõ íåðàâåíñòâ (24), ïîëàãàÿ, ÷òî ïðàâûå ÷àñòè bk ýòèõ íåðà-
âåíñòâ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
c b c11 1 12� � , b c2 21� , b c3 31� , b c4 42� . (30)
Ñ ó÷åòîì óñëîâèé (30) íàõîäèì ñëåäóþùèå äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ îòäåëü-
íûõ íåðàâåíñòâ ñèñòåìû C :
k1 = 1:1— (1, 0); 2 — (0, 1); 3 — (0, 0);
k1 = 2 : 1 — (1, 0); 2 — (0, 0);
k1 = 3 : 1 — (1, 0); 2 — (0, 0);
k1 = 4 : 1 — (0, 1); 2 — (0, 0).
Èìåÿ P
(0) = {{1, 2, 3}, {1, 4}}, íà ïîñëåäíåì ÷åòâåðòîì øàãå àëãîðèòìà
ïîëó÷àåì
P
1221
4( ) = {{1},{4}}, P
1222
4( ) = {{1},*}, P
2121
4( ) = {{2},*}, P
2122
4( ) = {{2},{1}},
P
2211
4( ) = {{3},*}, P
2212
4( ) = {{3},{1}}, P
3121
4( ) = {{2},{4}},
P
3122
4( ) = {{2},*}, P
3211
4( ) = {{3},{4}}, P
3212
4( ) = {{3},*},
ãäå *— ñèìâîë ïóñòîãî ìíîæåñòâà.
Èòàê, ðåøåíèÿìè ñèñòåìû C ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû:
1) {{1},{4}}; 2) {{2}, {1}}; 3) {{2},{4}};
4) {{3},{1}}; 5) {{3},{4}}.
Î. À. Äûøèí, È. À. Àçèçîâ
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
Èì ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ áóëåâûõ ïåðåìåííûõ {xkj }:
1) x11 = 1, x42 = 1; 2) x21 = 1, x12 = 1; 3) x21 = 1, x42 = 1;
4) x31 = 1, x12 = 1; 5) x31 = 1, x42 = 1
(íå óêàçàííûå ïåðåìåííûå â êàæäîì i-ì ðåøåíèè ðàâíû íóëþ). Ñ ó÷åòîì
(28), (29) f ( , )� x ïðè�= 0,1 (÷òî ñîîòâåòñòâóåò èíôëÿöèè, ðàâíîé 10 %) è íà-
÷àëüíîì ðàñïðåäåëåíèè à = (1, 0, ..., 0) ïðèíèìàåò ñîîòâåòñòâåííî çíà÷åíèÿ:
f1 = – 48753,6; f2 = – 5325890,7; f3 = – 14011,6; f4 = – 23789,9; f5 = – 175,2.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè � = 0,1 è à = (1, 0, …, 0) îïòèìàëüíîé íåðàí-
äîìèçèðîâàííîé ìàðêîâñêîé ñòàöèîíàðíîé ñòðàòåãèåé áóäåò ñòðàòåãèÿ
õ11 = 0, õ21 = 0, õ31 = 1, õ12 = 0, õ42 = 1, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðåøåíèþ {{3},{4}}
ñèñòåìû Ñ .
Âûâîä. Ïðåäëîæåííûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîé íåðàíäîìèçè-
ðîâàííîé ìàðêîâñêîé ñòàöèîíàðíîé ñòðàòåãèè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è óïðàâ-
ëåíèÿ ðèñêàìè â ñëîæíûõ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ïðè óñëîâèè îãðàíè÷åí-
íîñòè ñðåäñòâ îñíîâàí íà ïðèìåíåíèè ïîëóìàðêîâñêîé ìîäåëè ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèé äëÿ óïðàâëÿåìîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà â íåïðåðûâíîì âðåìåíè
ñ äèñêîíòèðîâàííûì ñðåäíèì äîõîäîì è ðåøåíèè îïòèìèçàöèîííîé çà-
äà÷è áèâàëåíòíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ñ íåëèíåéíîé öåëåâîé ôóíêöèåé è
ëèíåéíûìè îãðàíè÷åíèÿìè. ×èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ àëãîðèòìà ðåøåíèÿ
ïðèâåäåíà äëÿ ðåàëüíîé çàäà÷è óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíîì
ãàçîïðîâîäå ïðè çàäàííûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ñðåäñòâà, âûäåëåííûå íà êàæ-
äîå ìåðîïðèÿòèå ïî ëèêâèäàöèè àâàðèé.
Äàííûé ìåòîä ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí â ëþáîé îòðàñëè ïðîìûøëåí-
íîñòè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è óïðàâëåíèÿ òåõíèêî-òåõíîëîãè÷åñêèìè ðèñêàìè,
ñâÿçàííûìè ñ ïðåäîòâðàùåíèåì è ëèêâèäàöèåé âîçìîæíûõ àâàðèé.
The task of the control of technical-technological risks in the main oil-and-gas pipelines under
limited resources appropriated for the possible accident prevention and elimination is considered
as Semi-Markov model of decision-making for the controlled Markov process in the continuous
time with a criterion of mean income maximum with a discounting. To find the optimal
nonrandomized Markov stationary strategy a procedure is offered which is based on the applica-
tion of the pseudo-Boolean methods of bivalent programming.
1. Øàõáàçîâ Ý. Ê. Óïðàâëåíèå ðèñêàìè â ïðîáëåìå îáåñïå÷åíèÿ ýíåðãåòè÷åñêîé áåçî-
ïàñíîñòè. — Áàêó : èçä-âî «Êàðàáàõ», 2007. — 144 ñ.
2. Ãèõìàí È. È., Ñêîðîõîä À. Â. Óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Êèåâ. : Íàóê.
äóìêà, 1977. — 251 ñ.
3. Äûíêèí Å. Á., Þøêåâè÷ À. À. Óïðàâëÿåìûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû è èõ ïðèëîæåíèÿ. —
Ì. : Íàóêà, 1975. — 338 ñ.
4. Áåðòñåêàñ Ä., Øðèâ Ñ. Ñòîõàñòè÷åñêîå îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå: ñëó÷àé äèñêðåòíîãî
âðåìåíè. — Ì. : Íàóêà, 1985. — 280 ñ.
Ïîëóìàðêîâñêèå ìîäåëè óïðàâëåíèÿ ðèñêàìè â ìàãèñòðàëüíûõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 2 29
5. Õîâàðä Ð. À. Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå è ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. — Ì. : Ñîâ.
ðàäèî, 1964. — 189 ñ.
6. Ìàéí Õ., Îñàêè Ñ. Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. — Ì. : Íàóêà, 1977. —
176 ñ.
7. Ãíåäåíêî Á. Â., Áåëÿåâ Þ. Ê., Ñîëîâüåâ À. Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè íàäåæ-
íîñòè. — Ì. : Íàóêà, 1965. — 524 ñ.
8. Ãîðîäåöêèé Â. È., Ëåáåäåâ À. Í., Ïîíîìàðåâ Â. Â. Ïñåâäîáóëåâû ìåòîäû áèâàëåíòíîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ â çàäà÷àõ ñòðóêòóðíîãî ñèíòåçà ÀÑÓ//Ñá. «Àâòîìàòèçèðîâàííûå
ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ». Âûï. 4. — Ëåíèíãðàä : èçä-âî Ëåíèíãðàäñêîãî óí-òà, 1977. —
Ñ. 50—55.
9. Äûøèí Î. À. Ðåøåíèå çàäà÷è âûáîðà îïòèìàëüíîãî ðÿäà ïðè îãðàíè÷åííûõ îáúåìàõ
ïðîèçâîäñòâà//Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Òåõíè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà. — 1988. — ¹ 1. — Ñ. 166—
168.
10. Takacs L. Bizonyos tipusu rekurrens sztochasztikus folyamatok vizsgalatarol//Magyar tud.
akad. mat. kutato. int. k��îzl. — 1954. — Vol. 3, ¹ 1— 2.
11. Êîðîëþê Â. Ñ., Òóðáèí À. Ô. Ïîëóìàðêîâñêèå ïðîöåññû è èõ ïðèëîæåíèÿ. — Êèåâ. :
Íàóê. äóìêà, 1976. — 184 ñ.
12. Ross S.M. Average Cost Semi-Markov Decision Processes//Journal of Applied Probability. —
1970. — Vol.7. — ¹ 3.
13. Êîêñ Ä. Ð., Ñìèò Â. Ë. Òåîðèÿ âîññòàíîâëåíèÿ. — Ì. : Ñîâ. ðàäèî, 1967. — 298 ñ.
14. Áàéõåëüò Ô., Ôðàíêåí Ï. Íàäåæíîñòü è òåõíè÷åñêîå îáñëóæèâàíèå. Ìàòåìàòè÷åñêèé
ïîäõîä. — Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü, 1988. — 392 ñ.
15. Êóäðÿâöåâ Ë. Ä. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ò. II. — Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, 1981. —
584 ñ.
16. Ñààòè Ò. Öåëî÷èñëåííûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè è ñâÿçàííûå ñ íèìè ýêñòðåìàëüíûå
ïðîáëåìû. — Ì. : Ìèð, 1973. — 302 ñ.
Ïîñòóïèëà 27.05.09;
ïîñëå äîðàáîòêè 09.02.10
ÄÛØÈÍ Îëåã Àëåêñàíäðîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. Ãîñóäàðñòâåííîãî
íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîãî ïðîåêòíîãî èí-òà «Íåôòåãàçïðîåêò» (ã. Áàêó).  1961 ã. îêîí÷èë
Áàêèíñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ñèñòåìíûé àíàëèç, äèôôå-
ðåíöèàëüíûå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ.
ÀÇÈÇΠÈëüõàì Àíàðîâè÷, àñïèðàíò Ãîñóäàðñòâåííîãî íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîãî ïðîåêò-
íîãî èí-òà «Íåôòåãàçïðîåêò» (ã. Áàêó).  2005 ã. îêîí÷èë Àçåðáàéäæàíñêóþ ãîñóäàðñòâåííóþ
íåôòÿíóþ àêàäåìèþ. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ñèñòåìíûé àíàëèç, óïðàâëÿåìûå
ñëó÷àéíûå ïðîöåññû.
Î. À. Äûøèí, È. À. Àçèçîâ
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 2
<<
/ASCII85EncodePages false
/AllowTransparency false
/AutoPositionEPSFiles true
/AutoRotatePages /None
/Binding /Left
/CalGrayProfile (Dot Gain 20%)
/CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
/sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
/CannotEmbedFontPolicy /Error
/CompatibilityLevel 1.4
/CompressObjects /Tags
/CompressPages true
/ConvertImagesToIndexed true
/PassThroughJPEGImages true
/CreateJDFFile false
/CreateJobTicket false
/DefaultRenderingIntent /Default
/DetectBlends true
/DetectCurves 0.0000
/ColorConversionStrategy /CMYK
/DoThumbnails false
/EmbedAllFonts true
/EmbedOpenType false
/ParseICCProfilesInComments true
/EmbedJobOptions true
/DSCReportingLevel 0
/EmitDSCWarnings false
/EndPage -1
/ImageMemory 1048576
/LockDistillerParams false
/MaxSubsetPct 100
/Optimize true
/OPM 1
/ParseDSCComments true
/ParseDSCCommentsForDocInfo true
/PreserveCopyPage true
/PreserveDICMYKValues true
/PreserveEPSInfo true
/PreserveFlatness true
/PreserveHalftoneInfo false
/PreserveOPIComments true
/PreserveOverprintSettings true
/StartPage 1
/SubsetFonts true
/TransferFunctionInfo /Apply
/UCRandBGInfo /Preserve
/UsePrologue false
/ColorSettingsFile ()
/AlwaysEmbed [ true
]
/NeverEmbed [ true
]
/AntiAliasColorImages false
/CropColorImages true
/ColorImageMinResolution 300
/ColorImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleColorImages true
/ColorImageDownsampleType /Bicubic
/ColorImageResolution 300
/ColorImageDepth -1
/ColorImageMinDownsampleDepth 1
/ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeColorImages true
/ColorImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterColorImages true
/ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
/ColorACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/ColorImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000ColorACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000ColorImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasGrayImages false
/CropGrayImages true
/GrayImageMinResolution 300
/GrayImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleGrayImages true
/GrayImageDownsampleType /Bicubic
/GrayImageResolution 300
/GrayImageDepth -1
/GrayImageMinDownsampleDepth 2
/GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeGrayImages true
/GrayImageFilter /DCTEncode
/AutoFilterGrayImages true
/GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
/GrayACSImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/GrayImageDict <<
/QFactor 0.15
/HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
>>
/JPEG2000GrayACSImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/JPEG2000GrayImageDict <<
/TileWidth 256
/TileHeight 256
/Quality 30
>>
/AntiAliasMonoImages false
/CropMonoImages true
/MonoImageMinResolution 1200
/MonoImageMinResolutionPolicy /OK
/DownsampleMonoImages true
/MonoImageDownsampleType /Bicubic
/MonoImageResolution 1200
/MonoImageDepth -1
/MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
/EncodeMonoImages true
/MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
/MonoImageDict <<
/K -1
>>
/AllowPSXObjects false
/CheckCompliance [
/None
]
/PDFX1aCheck false
/PDFX3Check false
/PDFXCompliantPDFOnly false
/PDFXNoTrimBoxError true
/PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXSetBleedBoxToMediaBox true
/PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
]
/PDFXOutputIntentProfile ()
/PDFXOutputConditionIdentifier ()
/PDFXOutputCondition ()
/PDFXRegistryName ()
/PDFXTrapped /False
/Description <<
/CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002>
/CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002>
/DAN <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>
/DEU <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>
/ESP <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>
/FRA <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>
/ITA <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>
/JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002>
/KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e>
/NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.)
/NOR <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>
/PTB <FEFF005500740069006c0069007a006500200065007300730061007300200063006f006e00660069006700750072006100e700f50065007300200064006500200066006f0072006d00610020006100200063007200690061007200200064006f00630075006d0065006e0074006f0073002000410064006f0062006500200050004400460020006d00610069007300200061006400650071007500610064006f00730020007000610072006100200070007200e9002d0069006d0070007200650073007300f50065007300200064006500200061006c007400610020007100750061006c00690064006100640065002e0020004f007300200064006f00630075006d0065006e0074006f00730020005000440046002000630072006900610064006f007300200070006f00640065006d0020007300650072002000610062006500720074006f007300200063006f006d0020006f0020004100630072006f006200610074002000650020006f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002000650020007600650072007300f50065007300200070006f00730074006500720069006f007200650073002e>
/SUO <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>
/SVE <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>
/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
>>
/Namespace [
(Adobe)
(Common)
(1.0)
]
/OtherNamespaces [
<<
/AsReaderSpreads false
/CropImagesToFrames true
/ErrorControl /WarnAndContinue
/FlattenerIgnoreSpreadOverrides false
/IncludeGuidesGrids false
/IncludeNonPrinting false
/IncludeSlug false
/Namespace [
(Adobe)
(InDesign)
(4.0)
]
/OmitPlacedBitmaps false
/OmitPlacedEPS false
/OmitPlacedPDF false
/SimulateOverprint /Legacy
>>
<<
/AddBleedMarks false
/AddColorBars false
/AddCropMarks false
/AddPageInfo false
/AddRegMarks false
/ConvertColors /ConvertToCMYK
/DestinationProfileName ()
/DestinationProfileSelector /DocumentCMYK
/Downsample16BitImages true
/FlattenerPreset <<
/PresetSelector /MediumResolution
>>
/FormElements false
/GenerateStructure false
/IncludeBookmarks false
/IncludeHyperlinks false
/IncludeInteractive false
/IncludeLayers false
/IncludeProfiles false
/MultimediaHandling /UseObjectSettings
/Namespace [
(Adobe)
(CreativeSuite)
(2.0)
]
/PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK
/PreserveEditing true
/UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
/UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile
/UseDocumentBleed false
>>
]
>> setdistillerparams
<<
/HWResolution [2400 2400]
/PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
|