Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов

На основе теории Кирхгофа—Лява построены математические модели задач о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин из композиционных материалов с сосредоточенными массами. Задача сведена к решению систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнен...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Верлань, А.Ф., Эшматов, Х., Ходжаев, Д.А., Эшматов, Б.Х.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2010
Schlagworte:	Математические методы и модели
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12837
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов / А.Ф. Верлань, Х.Эшматов, Д.А. Ходжаев, Б.Х. Эшматов // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 3-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-12837
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-128372010-10-26T12:01:26Z Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Ходжаев, Д.А. Эшматов, Б.Х. Математические методы и модели На основе теории Кирхгофа—Лява построены математические модели задач о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин из композиционных материалов с сосредоточенными массами. Задача сведена к решению систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтеры с сингулярными ядрами релаксации. Разработан численный метод применительно к системам нелинейных интегро-дифференциальных уравнений задач динамики вязкоупругих систем. На базі теорії Кірхгофа—Лява побудовано математичні моделі задач про нелінійні коливання і динамічну стійкість в’язкопружних ортотропних прямокутних пластин з композиційних матеріалів із зосередженими масами. Задачу зведено до розв’язку систем нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь типа Вольтери з сингулярними ядрами релаксації. Розроблено чисельний метод стосовно систем нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь задач динаміки в’язкопружних систем. Mathematical models of problems on nonlinear vibrations and dynamic stability of viscoelastic orthotropic rectangular plates of composite materials with concentrated masses have been constructed on the basis of Kirchhoff-Lave theory. The problem is reduced to solution of a set of nonlinear integro-differential Volterra type equations with singular kernels of relaxation. A numerical method was developed as applied to the systems of nonlinear integro-differential equations for the problems of dynamics of viscoelastic systems. 2010 Article Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов / А.Ф. Верлань, Х.Эшматов, Д.А. Ходжаев, Б.Х. Эшматов // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 3-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0204-3572 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12837 539.3 ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математические методы и модели Математические методы и модели
spellingShingle	Математические методы и модели Математические методы и модели Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Ходжаев, Д.А. Эшматов, Б.Х. Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов
description	На основе теории Кирхгофа—Лява построены математические модели задач о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин из композиционных материалов с сосредоточенными массами. Задача сведена к решению систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтеры с сингулярными ядрами релаксации. Разработан численный метод применительно к системам нелинейных интегро-дифференциальных уравнений задач динамики вязкоупругих систем.
format	Article
author	Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Ходжаев, Д.А. Эшматов, Б.Х.
author_facet	Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Ходжаев, Д.А. Эшматов, Б.Х.
author_sort	Верлань, А.Ф.
title	Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов
title_short	Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов
title_full	Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов
title_fullStr	Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов
title_full_unstemmed	Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов
title_sort	модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Математические методы и модели
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12837
citation_txt	Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов / А.Ф. Верлань, Х.Эшматов, Д.А. Ходжаев, Б.Х. Эшматов // Электронное моделирование. — 2010. — Т. 32, № 4. — С. 3-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT verlanʹaf modeliimetodymatematičeskogomodelirovaniânelinejnyhzadačdinamikivâzkouprugihkonstrukcijizkompozicionnyhmaterialov AT éšmatovh modeliimetodymatematičeskogomodelirovaniânelinejnyhzadačdinamikivâzkouprugihkonstrukcijizkompozicionnyhmaterialov AT hodžaevda modeliimetodymatematičeskogomodelirovaniânelinejnyhzadačdinamikivâzkouprugihkonstrukcijizkompozicionnyhmaterialov AT éšmatovbh modeliimetodymatematičeskogomodelirovaniânelinejnyhzadačdinamikivâzkouprugihkonstrukcijizkompozicionnyhmaterialov
first_indexed	2025-07-02T14:50:06Z
last_indexed	2025-07-02T14:50:06Z
_version_	1836547107496919040
fulltext	ÓÄÊ 539.3 À. Ô. Âåðëàíü, ä-ð òåõí. íàóê Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15, òåë. (044) 4241063, Å-mail: averlan@i.com.ua), Õ. Ýøìàòîâ, ä-ð òåõí. íàóê, Ä. À. Õîäæàåâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Òàøêåíòñêèé èíñòèòóò èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè (Ðåñïóáëèêà Óçáåêèñòàí, 100000, Òàøêåíò, óë. Êàðû Íèÿçîâà, 39, òåë. (99871) 2371948, Å-mail: heshmatov@mail.ru, dhodjaev@mail.ru) Á. Õ. Ýøìàòîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Department of Mechanical and Aerospace Engineering, University at Buffalo (318 Jarvis Hall, Buffalo, NY 14260-4400, USA, Å-mail: ebkh@mail.ru) Ìîäåëè è ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ êîíñòðóêöèé èç êîìïîçèöèîííûõ ìàòåðèàëîâ (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Ñ. Å. Ñàóõ) Íà îñíîâå òåîðèè Êèðõãîôà—Ëÿâà ïîñòðîåíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè çàäà÷ î íåëèíåé- íûõ êîëåáàíèÿõ è äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ îðòîòðîïíûõ ïðÿìîóãîëü- íûõ ïëàñòèí èç êîìïîçèöèîííûõ ìàòåðèàëîâ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè. Çàäà÷à ñâåäå- íà ê ðåøåíèþ ñèñòåì íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé òèïà Âîëüòåðû ñ ñèíãóëÿðíûìè ÿäðàìè ðåëàêñàöèè. Ðàçðàáîòàí ÷èñëåííûé ìåòîä ïðèìåíèòåëüíî ê ñèñòåìàì íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì. Íà áàç³ òåîð³¿ Ê³ðõãîôà—Ëÿâà ïîáóäîâàíî ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ çàäà÷ ïðî íåë³í³éí³ êîëè- âàííÿ ³ äèíàì³÷íó ñò³éê³ñòü â’ÿçêîïðóæíèõ îðòîòðîïíèõ ïðÿìîêóòíèõ ïëàñòèí ç êîìïî- çèö³éíèõ ìàòåð³àë³â ³ç çîñåðåäæåíèìè ìàñàìè. Çàäà÷ó çâåäåíî äî ðîçâ’ÿçêó ñèñòåì íåë³í³éíèõ ³íòåãðî-äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü òèïà Âîëüòåðè ç ñèíãóëÿðíèìè ÿäðàìè ðåëàêñàö³¿. Ðîç- ðîáëåíî ÷èñåëüíèé ìåòîä ñòîñîâíî ñèñòåì íåë³í³éíèõ ³íòåãðî-äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü çàäà÷ äèíàì³êè â’ÿçêîïðóæíèõ ñèñòåì. K ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: âÿçêîóïðóãîñòü, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ÷èñëåííûé ìåòîä, èíòåãðî- äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, äèíàìè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ âÿçêîóïðó- ãîé îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè. Ðàññìîòðèì âÿçêîóïðóãóþ îðòîòðîïíóþ îáîëî÷êó òîëùèíîé h, íåñóùóþ ñîñðåäîòî- ÷åííûå ìàññû Mi â òî÷êàõ ñ êîîðäèíàòàìè ( , )x yi i , i I�1 2, ,..., . Ïîñòðîèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü çàäà÷è î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ âÿçêîóïðóãîé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 3 �� îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè â ãåîìåòðè÷åñêè íå- ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå íà îñíîâå ãèïîòåçû Êèðõãîôà—Ëÿâà. Ôèçè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè� x ,� y , � xy è äåôîðìà- öèÿìè � x , � y , � xy çàïèøåì â ñëåäóþùåì âèäå [1, 2]: � � �x x yB B� � � �11 11 12 121 1( ) ( )* * , ( , )x y 1 2 , � �xy xyB� �2 1( )* . (1) Çäåñü * è ij * — èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû ñ ÿäðàìè ðåëàêñàöèè �(t è � ij t( : * ( )� � � �� 0 t t d , ij * t ij t d� � � �� 0 ( ) , i j, ,�1 2, B E 11 1 1 21 � �� , B E 22 2 1 21 � �� , B B B B12 21 1 22 2 11� � �� , B G � 2 ; E1, E2 — ìîäóëè óïðóãîñòè â íàïðàâëåíèè îñåé x è y; G — ìîäóëü ñäâèãà; � �1 2, — êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà; ñèìâîë ( , )x y 1 2 óêàçûâàåò íà òî, ÷òî îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ êðóãîâîé ïîäñòàíîâêîé èíäåêñîâ. Ñâÿçü ìåæäó äåôîðìàöèÿìè â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè � x , � y , � xy è ïåðåìåùåíèÿìè u, v, w ïî íàïðàâëåíèÿì x, y, z ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî ïðîãèáà ïðåäñòàâèì â âèäå [3] � � � � � � � x x u x k w w w x w x � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �( )0 2 0 2 1 2 , � � � � � � � y y v y k w w w y w y � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �( )0 2 0 2 1 2 � , (2) � � � � � � � � � � � � � xy u y v x w x w y w x w y � � � � 0 0 , ãäå w w x y0 0� ( , )— íà÷àëüíûé ïðîãèá îáîëî÷êè; kx , k y �const — êðèâèçíû ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè. Èçãèáàþùèå M x , M y è êðóòÿùèå H ìîìåíòû îáîëî÷êè ñ ó÷åòîì (1) èìåþò âèä [4] M h B w w x B w w x � � � � � � �3 11 11 2 0 12 12 2 0 12 1 1( ) ( ) ( ) ( )* * � � � � � �y � � � � � �, ( , )x y 1 2 , H Bh w w x y � � � �3 2 0 3 1( ) ( )* � � � . (3) À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ 4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4 Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýëåìåíòà âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé îáîëî÷êè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè áóäåì èñõîäèòü èç ñëåäóþùåãî [3]: �� x xy x y m h u t � � � 2 2 0, �� xy y x y m h v t � � � 2 2 0, q h h M x H x y M y k kx y x x y y� � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 2 2 2 � � � � � � � � � � � � x w x w y x xy� � � � � � �� (4) � �� y w y w x m h w t y xy 2 2 0 . Âëèÿíèå ñîñðåäîòî÷åííûõ ìàññ íà âÿçêîóïðóãóþ îáîëî÷êó èìååò èíåð- öèîííûé õàðàêòåð è ó÷èòûâàåòñÿ â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (4) c ïîìîùüþ �-ôóíêöèè Äèðàêà [5]: m x y h M x x y yi i i i I ( , ) ( ) ( )� � � � � � � � 1 , (5) ãäå — ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà îáîëî÷êè. Ïîäñòàâëÿÿ (1) è (3) â (4), ñ ó÷åòîì (5) ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ: B x B x B y x y xy 11 11 12 121 1 2 1( ) ( ) ( )* * � � � � � � �� 1 0 1 2 2h M x x y y u t i i i i I ( ) ( ) , B y B y B x y x xy 22 22 21 211 1 2 1( ) ( ) ( ) * � � � � � � �� 1 0 1 2 2h M x x y y v t i i i i I ( ) ( ) , h B w w x B B 2 11 11 4 0 4 12 12 12 1 8 1 1( ) ( ) [ ( ) ( * � �! " # � � � � � � ) ( )] ( )� � � �B w w x y 21 21 4 0 2 2 1 � � � � � � $ % & � � � �B w w y k B Bx x22 22 4 0 4 11 11 121 1 1( ) ( ) [ ( ) (* * � � � 12 * ) ]� y � � � � � �k B By y x[ ( ) ( ) ]* * 22 22 21 211 1 � � Ìîäåëè è ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 5 � ! " # � � � � � � � � � � � � �x w x B B B w y x y[ ( ) ( ) ] (* * 11 11 12 121 1 2 1 * ) � xy $ % & � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 0 1 2 2h M x x y y w t i i i i I ( ) ( ) , (6) ãäå � x , � y è � xy îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé (2). Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû (6), ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíè÷íûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ îäíîâðåìåííî ó÷èòû- âàþò âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà, à òàêæå íåîäíîðîäíîñòü ìàòåðèàëà îáîëî÷- êè. Ýòà ñèñòåìà èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèç- âîäíûõ ñ ïÿòüþ ðàçëè÷íûìè ÿäðàìè ðåëàêñàöèè ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî îá- ùåé. Èç íåå â ÷àñòíîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå óðàâíåíèÿ ïî ðàçëè÷íûì òåîðèÿì [2—10]. Â ñëó÷àå, êîãäà k k Rx y� �1/ , ïîëó÷èì óðàâ- íåíèÿ äëÿ âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé ñôåðè÷åñêîé îáîëî÷êè, ïðè kx �0, k Ry �1/ — óðàâíåíèÿ äëÿ âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé êðóãîâîé öèëèíäðè- ÷åñêîé îáîëî÷êè è ïðè k kx y� �0 — óðàâíåíèÿ äëÿ âÿçêîóïðóãîé îðòî- òðîïíîé ïëàñòèíû. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è î äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿç- êîóïðóãîé îðòîòðîïíîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííû- ìè ìàññàìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè çàäà÷è î äèíàìè- ÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè ïîä äåéñòâèåì íàãðóçîê â ïîïåðå÷íîì, ïðîäîëü- íîì è ñäâèãîâûõ íàïðàâëåíèÿõ â óðàâíåíèè (6) íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñèëû ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûå [3] P t w x x ( ) � � 2 2 , P t w y y ( ) � � 2 2 è P t w x y xy ( ) � � � 2 (ðèñ. 1). À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ 6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4 Ðèñ. 1 ×èñëåííûé ìåòîä äëÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåí- öèàëüíûõ óðàâíåíèé òèïà Âîëüòåððû. Êàê èçâåñòíî [6—10], ìíîãèå äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è âÿçêîóïðóãîñòè ñâîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà n N nm m M kl kla w w � � � � � � 1 1 2 klnm �� ' � � �X t w w t w w dkl NM kl NM t , , ..., , ( , , ( ),..., ( ))11 11 0 � � � � � � � � � � � � , (7) w wkl kl( )0 0� , � ( ) �w wkl kl0 0� , k = 1, 2, ..., N, l = 1, 2, ..., M. Çäåñü w w tkl kl� ( ) — èñêîìûå ôóíêöèè àðãóìåíòà t; f kl , X kl è � kl — çàäàííûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè â îáëàñòè èçìåíåíèÿ àðãóìåíòîâ; aklnm, 'kl — çàäàííûå ïîñòîÿííûå ÷èñëà. ×èñëåííûé ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â [11, 12], ñíà÷àëà ïðèìåíèì ê ñèñ- òåìàì íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ îäíîìåðíûå äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è âÿçêîóïðóãîñòè, âèäà n N n k k k N ka w w X t w w t w � � � � 1 2 1 1kn �� , , ..., , ( , , ( ),...,' � � � w dN t ( ))� � 0 � � � � � � � � � , (8) w wk k( )0 0� , � ( ) �w wk k0 0� , k = 1, 2, ..., N, ãäå w w tk k� ( ) — íåèçâåñòíûå ôóíêöèè âðåìåíè; X k , � k — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè â îáëàñòè èçìåíåíèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ; akn , 'k — çàäàííûå ïîñòîÿííûå ÷èñëà. Ê ñèñòåìàì (8) ñâîäÿòñÿ ìíîãèå íåëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è âÿçêîóïðóãîñòè, â ÷àñòíîñòè çàäà÷è î êîëåáàíèÿõ è äèíàìè÷åñêîé óñòîé- ÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ ñòåðæíåé, áàëîê, íåñóùèõ ñîñðåäîòî÷åííóþ ìàññó. Çàïèøåì ñèñòåìó (8) â ìàòðè÷íîì âèäå: Aw w X w w�� , , ( , , ( ))� � � � � � � � � ��' � � � �2 0 t t d t , w w( )0 0� , � ( ) �w w0 0� , (9) ãäå A � � � � � � � � � � � � � a a a a a a a a a N N N N NN 11 12 1 21 22 2 1 2 � � � � � � � , w � � � � � � � � � � � � � w w wN 1 2 � , ' ' ' ' � ( � � � � � � � � � �� 0 0 0 0 0 0 2 � � � � � � � N , Ìîäåëè è ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 7 X � � � � � � � � � � � � � X X X N 1 2 � , � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 � N . Ðåøàÿ ñèñòåìó (9) îòíîñèòåëüíî w, äëÿ ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé íåèçâåñòíûõ â òî÷êàõ t ihi � , i �0 1 2, , ,... (h — øàã èíòåðïîëÿöèè) ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó: w w w Ai i j i j j i t + A t t� � � � � � � � )�1 0 1 0 1 1 0 � ( ) ) � � � � �� ' �� w X w wj j j k j k k j kt B t t, , ( , , ) 0 , (10) ãäå A –1 — îáðàòíàÿ ìàòðèöà ê ìàòðèöå A; A j , Bk — êîýôôèöèåíòû êâàäðà- òóðíîé ôîðìóëû, A hj � , j i�1,..., ; B h0 2� * / , � �B h i ii � � �* * ( ) /1 2, � �B h k kk � � � � * ( ) ( ) /1 1 2, k i� �1 2 1, , ..., . Åñëè â óðàâíåíèå (7) òàêæå ââåñòè ìàòðèöû A, '�, X è �, òî äëÿ îïðå- äåëåíèÿ w = w (t) âíîâü ïîëó÷àåì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (9), ÷èñëîâûå ðå- øåíèÿ êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ èç ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ (10). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé èñêîìîé ôóíê- öèè ìîæíî ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî ïðîñòóþ ðåêóððåíòíóþ çàâèñèìîñòü (10). Îáîñíîâàíèå äàííîãî ìåòîäà ïðèâåäåíî â [12]. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé ïðÿìî- óãîëüíîé ïëàñòèíû. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé âÿçêî- óïðóãîé îðòîòðîïíîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàñ- ñàìè, øàðíèðíî îïåðòîé ïî êðàÿì. Â ýòîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé (6) ïðè k kx y� �0, ðåøåíèå êîòî- ðîé, óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì çàäà÷è, áóäåì èñêàòü ìåòî- äîì Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà â âèäå u x y t u t n x a m y bn N m M nm( , , ) ( ) cos sin� � � � � 1 1 + + , v x y t v t n x a m y bn N m M nm( , , ) ( ) sin cos� � � � � 1 1 + + , (11) À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ 8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4 w x y t w t n x a m y bn N m M nm( , , ) ( ) sin sin� � � � � 1 1 + + , ãäå u u tnm nm� ( ), v v tnm nm� ( ), w w tnm nm� ( )— íåèçâåñòíûå ôóíêöèè âðåìåíè. Ïîäñòàâëÿÿ (11) â ñèñòåìó óðàâíåíèé (6), âûïîëíÿÿ ïðîöåäóðó Áóáíîâà— Ãàëåðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èí x a , y b , w h kl , w h kl0 , u h kl , v h kl , 't, qb E E h 4 1 2 4 , M M i 0 , ( )t ' , ij t( ) ' , i j, ,�1 2 , è ñîõðàíÿÿ ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî áåçðàçìåðíûõ ukl , vkl , wkl , ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: n N nm m M A u k g l � � � � � � � � 1 1 2 2 2 2 11 2 2 6 1 6 1 klnm�� ( ) (, � + - . � � � + . 1 2 2 1 ) ( )� � � � � � � � ukl � � � � � � � 6 1 1 1 2 2 2 12 1 2 � + -. � � � kl g vkl[ ( ) ( )( )] , � � � � � � �6 1 3 3 1 2 1 11 , � + - . � / n i N mjl m j M nm ijni w w , , ( ) (nik w wnm ij0 0 ) � � � � � � � 6 1 3 1 1 12 , �� + -. � � n i N mjl m j M nm ijmij w w , , ( ) (nik � �w wnm ij0 0 ) � � � � � 6 1 1 3 1 2g mij nj n i N mjl mjl m � � � + -. � * � /�( ) ( ) , , nik nik j M nm ij nm ijw w w w � � � � 1 0 01( ) ( )* , n N nm m M B v l g k � � � � � � � � 1 1 2 2 2 22 2 2 16 1 6 1 klnm�� ( ) (� + . � � , � + - . 2 2 2 1 ) ( )� � � � � � � � vkl � � � � � � � 6 1 1 1 2 2 1 21 1 2 � + -. � � � kl g ukl , , [ ( ) ( ) ( )]* * � � � � � � �6 1 3 1 2 1 22 0 � ,+ . / � n i N mjl m j M nm ijmj w w w , , ( ) (nik nm ijw0 ) � � � � � � � 6 1 3 1 1 21 �� ,+ - . �( � n i N mjl m j M nm inij w w , , ( )(nik j nm ijw w� �0 0 ) Ìîäåëè è ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 9 � � � � � 6 1 1 3 2 1 2g nij n j n i N mjl mjl m � � � + - . � / ��( ) ( ) , nik nik , ( )( ) j M nm ij nm ijw w w w � � � � 1 0 01 , n N nm m M C w k g k l � � � � � � � � 1 1 4 4 11 2 2 1 21 2 1 klnm �� ( ) (, �- . � � ) ( )* - .2 1� � � � � � � � � � � , , , � - . � - . . 2 2 2 2 12 1 2 2 2 21 4 2 1 2 1 2 1 k l k l l ( ) ( ) (* * 22 0 * ) ( ) � � � � �w wkl kl � �� n i N m j M w a g , , ( ) ( 1 1 3 11 6 1 6 1 nm nmijkl , � + - . � 0 � � � � � + -. 1 2 3 1 ) ( )cnmijkl (12) � � � � � � � � � � 6 1 61 3 21 1 1 � � + -,. f u wij n i N m j M nmijkl nm( )* , , , �� + - . 2 3 2 121bnmijkl ( )�� 6 1 1 6 11 2 3 2 3 22 g d e � � � + - . � + ,. ( ) ( ) ( nmijkl nmijkl * ) � � � �v ij � �� n i r N m j s M w h , , , , ( ) 1 1 4 11 3 1 1nm nmijklrs , 1- . 3 1 12 2 12 , � 1- . pnmijklrs( )� � � � � � � 3 1 8 1 3 1 11 2 2 2 g g q ( ) ( ) (� � - . 1,. nmijklrs nmijklrs 2 ) � � � � � � � � 3 1 1 961 2 21 0 0 � 1,- . r w w w wij rs ij rsnmijklrs( ) ( )* * � � + . kl kl q ( )1 1 2 6 � , ãäå A M k x l yk m i i i i I ln � � � �1 4 2 2 1 cos sin+ + , B M k x l yk m i i i i I ln � � � �1 4 2 2 1 sin cos+ + , C M k x l yk m i i i i I ln � � � �1 4 2 2 1 sin sin+ + ïðè n k� è m l� , â èíûõ ñëó÷àÿõ A M k x n x l y m yk m i i i i i I iln � � �4 1 cos cos sin sin+ + + + , B M k x n x l y m yk m i i i i i I iln � � �4 1 sin sin cos cos+ + + + , À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ 10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4 C M k x n x l y m yk m i i i i i I iln � � �4 1 sin sin sin sin+ + + + ; , � E E 1 2 ; � � b h ; g G E E � 1 2 ; - � a b ; '� � � � � � � � E E h b 1 2 2 1 2 4 1 . 1 � � + ( ) ; . � �� 1 12 1 2, ( )g; M ab h0 � — ìàññà âñåé ïëàñòèíû; îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû ýòîé ñèñòåìû ïðèâåäåíû â [4]. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà (12) ðåøåíà ÷èñëåííûì ìåòîäîì, ïðåäëîæåííûì âûøå. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ÿäåð ðåëàêñàöèè ( )t , ij t( ), i j, ,�1 2, èñïîëü- çîâàíû ñèíãóëÿðíûå ÿäðà Êîëòóíîâà—Ðæàíèöûíà âèäà [1] ( )t Ae tt� � �/ * 1, 0 12 2* ; ij ij t t A e tij ij( ) � � �/ * 1 , 0 12 2* ij . (13) Áûëà èññëåäîâàíà ñõîäèìîñòü ìåòîäà Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà. Ïðè âû- ÷èñëåíèè çíà÷åíèé ïðîãèáà óäåðæèâàëîñü ñåìü ïåðâûõ ãàðìîíèê (N = 7, Ì = 1). Â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòîâ óñòàíîâëåíî, ÷òî äàëüíåéøåå óâåëè÷åíèå ÷èñëà ÷ëåíîâ íå îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà àìïëèòóäó êîëåáà- íèé âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû. Íà ðèñ. 2 ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëåíî âëèÿíèå ñòåïåíè àíèçîòðîïèè , � E E1 2/ íà êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ ïëàñòèíû è âëèÿíèå ñîñðåäîòî- ÷åííûõ ìàññ Mi íà åå ïîâåäåíèå (ïîëàãàåì, ÷òî ñîñðåäîòî÷åííàÿ ìàññà ïðèëîæåíà ê öåíòðó ïëàñòèíû). Êàê âèäíî èç ðèñ. 2, óâåëè÷åíèå ïàðàìåò- ðîâ , è Mi ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû êîëåáàíèé. Ðàñ÷åò äåôîðìèðîâàíèÿ âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé ïðÿìîóãîëü- íîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé äèíà- ìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãîé ïðÿìîóãîëüíîé îðòîòðîïíîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè, ïîäâåðãàþùåéñÿ áûñòðîâîçðàñòàþùåé íà- ãðóçêå âäîëü ñòîðîíû a ñèëîé P t t( ) �3 (3 — ñêîðîñòü íàãðóæåíèÿ). Ñ÷èòàÿ, ÷òî êðàÿ ïëàñòèíû øàðíèðíî îïåðòû, âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîãèáà è ïåðåìåùåíèé íà îñíîâå ìíîãî÷ëåííîé àïïðîêñèìàöèè âûáåðåì â âèäå (11). Ïîäñòàâëÿÿ (11) â ñèñòåìó óðàâíåíèé (6), âûïîëíÿÿ ïðîöåäóðó Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà ñ èñïîëüçîâàíèåì áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èí x a , y b , w h kl , w h kl0 , u h kl , v h kl , P P E E b h * � � � � � � � 1 2 2 , q E E b h1 2 4 � � � � � � , S t ' ( ) , t P P t P t S P P * * � � � � êð êð êð * 3 ' , S P c E E h b � � � �� êð * 3 1 2 3 4 2 + 3 , P P E E b h êð * êð� � � � � � � � �1 2 2 2 23 1 + �( ) , Ìîäåëè è ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 11 è ñîõðàíÿÿ ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî áåçðàçìåðíûõ ukl , vkl , wkl , ïîëó÷àåì ñèñòåìó íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè, àíàëîãè÷íóþ ïðèâåäåííîé âûøå, ãäå c — ñêîðîñòü çâóêà â ìàòåðèàëå ïëàñòèíû; Pêð — ñòàòè÷åñêàÿ êðèòè÷åñêàÿ íàãðóçêà; S — áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð ñêîðîñòè íàãðóæåíèÿ. Ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó áóäåì ðåøàòü ïðåäëîæåííûì âûøå ÷èñëåííûì ìåòîäîì. Â ðàñ÷åòàõ â êà÷åñòâå ÿäåð ðåëàêñàöèè áóäåì òàêæå èñïîëüçî- âàòü ÿäðà Êîëòóíîâà—Ðæàíèöûíà âèäà (13). Àíàëîãè÷íî [3] â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ, îïðåäåëÿþùåãî êðèòè÷åñêîå âðå- ìÿ, à òàêæå êðèòè÷åñêóþ íàãðóçêó, ïðèíèìàåì óñëîâèå, ñîãëàñíî êîòîðî- ìó ñòðåëà ïðîãèáà íå äîëæíà ïðåâûøàòü âåëè÷èíó, ðàâíóþ òîëùèíå ïëàñ- À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ 12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4 w h/ 0,02 0,01 0 0,01� , = 1 1,5 2 0,02 0,01 0 0,01� Mi = 0 0,2 0,1 0 2 4 6 8 t Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà îò âðåìåíè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ , è Mi òèíû. Â êà÷åñòâå ïàðàìåòða, îïðåäåëÿþùåãî óñòîé÷èâîñòü ïëàñòèíû, ïðè- íÿò êîýôôèöèåíò äèíàìè÷íîñòè Kä, ðàâíûé îòíîøåíèþ äèíàìè÷åñêîé êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè ê ýéëåðîâîé ñòàòè÷åñêîé. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé, ïîëó÷åííûå ïðè ðàçëè÷íûõ ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðà- ìåòðàõ ïëàñòèíû, ïðåäñòàâëåíû â âèäå ãðàôèêîâ íà ðèñ. 3. Êàê âèäíî èç ðèñ. 3, ó÷åò âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà îäíîâðå- ìåííî ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì ïðèâîäèò ê áîëåå ðàííåìó èíòåíñèâíîìó Ìîäåëè è ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 13 wnm 1 0 2 1 3 2 4 6 8 t * Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà îò âðåìåíè äëÿ ðàçëè÷íûõ ñëó÷àåâ ó÷åòà âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà: 1 — óïðóãàÿ ïëàcòèíà; 2 — âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà ó÷òåíû òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè (A � 0 05, ); 3 — âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà ó÷òåíû îäèíàêîâî ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì (A Aij� � 0 05, , i �1 2, , j �1 2, ) wnm 2 1 0 Mi = 0 0,2 0,1 2 4 6 t * Ðèñ. 4. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà îò âðåìåíè ïðè ðàçëè÷íîì âîçäåéñòâèè ñîñðåäîòî÷åííûõ ìàññ óâåëè÷åíèþ ïðîãèáà. Êðîìå òîãî, ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ñëó÷àå, êîãäà âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà ó÷èòûâàþòñÿ òîëüêî â îäíîì íàïðàâëå- íèè, áëèçêè ê ðåçóëüòàòàì, ïîëó÷åííûì äëÿ óïðóãîé ïëàñòèíû. Ñëåäîâà- òåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà íåîáõîäèìî ó÷è- òûâàòü ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì. Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ ñîñðåäîòî- ÷åííûõ ìàññ íà ïîâåäåíèå âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû. Âèäíî, ÷òî ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ïàðàìåòðà Mi âñÿ êðèâàÿ ïåðåìåùàåòñÿ âïðàâî â ñòîðîíó áîëü- øèõ çíà÷åíèé t* . Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî âëèÿíèå ñîñðåäîòî÷åííûõ ìàññ ñóùåñòâåííî ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà S. Âûâîäû. Â ðåçóëüòàòå èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ î êîëåáàíèÿõ è äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ îðòîòðîïíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí c ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè óñòàíîâëåíî ñëåäóþùåå: âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü íå òîëüêî ïî ñäâèãîâûì, íî è îäíîâðåìåííî ïî îñòàëüíûì íàïðàâëåíèÿì; óâåëè÷åíèå ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû ïðèâîäèò ê áîëåå èíòåíñèâíîìó óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû è ÷àñòîòû êîëåáàíèé, ÷åì â ñëó÷àå óïðóãîé ïëàñòèíû; ó÷åò âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ çíà- ÷åíèé êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè è âðåìåíè; ó÷åò ñîñðåäîòî÷åííûõ ìàññ êàê äëÿ óïðóãîé ïëàñòèíû, òàê è äëÿ ïëàñòèíû ñ âÿçêîóïðóãèìè ñâîéñòâàìè ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ êðèòè- ÷åñêîé íàãðóçêè. Mathematical models of problems on nonlinear vibrations and dynamic stability of viscoelastic orthotropic rectangular plates of composite materials with concentrated masses have been con- structed on the basis of Kirchhoff-Lave theory. The problem is reduced to solution of a set of non- linear integro-differential Volterra type equations with singular kernels of relaxation. A numeri- cal method was developed as applied to the systems of nonlinear integro-differential equations for the problems of dynamics of viscoelastic systems. 1. Êîëòóíîâ Ì. À. Ïîëçó÷åñòü è ðåëàêñàöèÿ. — Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, 1976. — 276 ñ. 2. Àìáàðöóìÿí Ñ. À. Òåîðèÿ àíèçîòðîïíûõ îáîëî÷åê. — Ì. : Íàóêà, 1961. — 384 ñ. 3. Âîëüìèð À. Ñ. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïëàñòèíîê è îáîëî÷åê. — Ì. : Íàóêà, 1972. — 432 ñ. 4. Âåðëàíü À. Ô., Ýøìàòîâ Á. Õ. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå êîëåáàíèé îðòîòðîï- íûõ âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí ñ ó÷åòîì ãåîìåòðè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè // Ýëåêòðîí. ìîäå- ëèðîâàíèå. — 2005. — 27, ¹ 4. — Ñ. 3—17. 5. Amba-Rao C. L. On the Vibration of a Rectangular Plate Carrying a Concentrated Mass // J. Appl. Mech. — 1964. — Vol. 31. — P. 550—551. 6. Khodjaev D. A., Eshmatov B. Kh. Nonlinear Vibration of Viscoelastic Plate with Concentrated Mass // J. of Applied Mechanics and Technical Physics. — 2007. — 48, ¹ 6. — P. 905 — 914. 7. Eshmatov B. Kh., Khodjaev D. A. Nonlinear Vibration and Dynamic Stability of a Viscoelas- tic Cylindrical Panel with Concentrated Mass // Acta Mechanica. — 2007. — ¹ 1— 4 (190). — P. 165—183. À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Ä. À. Õîäæàåâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ 14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2010. V. 32. ¹ 4 8. Eshmatov B. Kh. Nonlinear Vibrations and Dynamic Stability of Viscoelastic Orthotropic Rectangular Plates // J. of Sound and Vibration. — 2007. — 300. — P. 709—726. 9. Ýøìàòîâ Á. Õ., Õîäæàåâ Ä. À. Äèíàìè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè // Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà. — 2008. — 44, ¹ 2. — Ñ. 109—118. 10. Âåðëàíü À. Ô., Ýøìàòîâ Õ., Ýøìàòîâ Á. Õ è äð. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé è èññëåäîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí è öèëèíäðè÷åñêèõ ïàíåëåé. I // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2009. — 31, ¹ 3. — Ñ. 3—19. 11. Áàäàëîâ Ô. Á., Ýøìàòîâ Õ., Þñóïîâ Ì. Î íåêîòîðûõ ìåòîäàõ ðåøåíèÿ ñèñòåì èíòåãðî- äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âñòðå÷àþùèõñÿ â çàäà÷àõ âÿçêîóïðóãîñòè // ÏÌÌ. — 1987. — 51, ¹ 5. — Ñ. 867—871. 12. Ýøìàòîâ Õ. Èíòåãðàëüíûé ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì: Äèñ... ä-ðà òåõí. íàóê. — Êèåâ, 1991. — 337 ñ. Ïîñòóïèëà 26.03.10; ïîñëå äîðàáîòêè 05.05.10 ÂÅÐËÀÍÜ Àíàòîëèé Ôåäîðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. îòäåëîì Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1956 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðî- âàíèÿ â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé; ÷èñëåííûå ìåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. ÝØÌÀÒÎÂ Õàñàí, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. êàôåäðîé èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Òàøêåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1969 ã. îêîí÷èë Ñàìàðêàíäñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. ÕÎÄÆÀÅÂ Äàäàõàí Àêìàðõàíîâè÷, àññèñòåíò êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Òàø- êåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1996 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåõàíèêà äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà. ÝØÌÀÒÎÂ Áàõòèeð Õàñàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. ôàêóëüòåòà ìåõàíèêè è êîñìè- ÷åñêîé òåõíèêè óíèâåðñèòåòà Áóôôàëî, ÑØÀ. Â 1997 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåð- ñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ìîäåëè è ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2010. Ò. 32. ¹ 4 15 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJDFFile false /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /Description << /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /DAN <FEFF004200720075006700200069006e0064007300740069006c006c0069006e006700650072006e0065002000740069006c0020006100740020006f007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e007400650072002c0020006400650072002000620065006400730074002000650067006e006500720020007300690067002000740069006c002000700072006500700072006500730073002d007500640073006b007200690076006e0069006e00670020006100660020006800f8006a0020006b00760061006c0069007400650074002e0020004400650020006f007000720065007400740065006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e0074006500720020006b0061006e002000e50062006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c006500720020004100630072006f006200610074002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00670020006e0079006500720065002e> /DEU <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> /ESP <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> /FRA <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <FEFF004200720075006b00200064006900730073006500200069006e006e007300740069006c006c0069006e00670065006e0065002000740069006c002000e50020006f0070007000720065007400740065002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065007200200073006f006d00200065007200200062006500730074002000650067006e0065007400200066006f00720020006600f80072007400720079006b006b0073007500740073006b00720069006600740020006100760020006800f800790020006b00760061006c0069007400650074002e0020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740065006e00650020006b0061006e002000e50070006e00650073002000690020004100630072006f00620061007400200065006c006c00650072002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000200065006c006c00650072002000730065006e006500720065002e> /PTB <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> /SUO <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> /SVE <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> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Модели и методы математического моделирования нелинейных задач динамики вязкоупругих конструкций из композиционных материалов

Institution

Ähnliche Einträge