Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем
Для системы линейных уравнений и соответсвующей параметрически возмущенной скалярной функцией нелинейной системы установлены условия однотипного свойства нулевого решения....
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2017
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129440 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем / Р.В. Муллажонов, Ш.Н. Абдугаппарова, Ж.В. Мирзаахмедова // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 11. — С. 10-15. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-129440 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1294402018-01-20T03:06:32Z Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем Муллажонов, Р.В. Абдугаппарова, Ш.Н. Мирзаахмедова, Ж.В. Математика Для системы линейных уравнений и соответсвующей параметрически возмущенной скалярной функцией нелинейной системы установлены условия однотипного свойства нулевого решения. Для системи лінійних рівнянь і відповідної параметрично збуреної скалярною функцією нелінійної системи встановлено умови однотипної властивості нульового розв’язку. For a system of linear equations and the corresponding nonlinear system parametrically perturbed by a scalar function, the conditions of the single-type property of the zero solution are established. 2017 Article Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем / Р.В. Муллажонов, Ш.Н. Абдугаппарова, Ж.В. Мирзаахмедова // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 11. — С. 10-15. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1025-6415 DOI: doi.org/10.15407/dopovidi2017.11.010 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129440 531.36 ru Доповіді НАН України Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Муллажонов, Р.В. Абдугаппарова, Ш.Н. Мирзаахмедова, Ж.В. Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем Доповіді НАН України |
| description |
Для системы линейных уравнений и соответсвующей параметрически возмущенной скалярной функцией
нелинейной системы установлены условия однотипного свойства нулевого решения. |
| format |
Article |
| author |
Муллажонов, Р.В. Абдугаппарова, Ш.Н. Мирзаахмедова, Ж.В. |
| author_facet |
Муллажонов, Р.В. Абдугаппарова, Ш.Н. Мирзаахмедова, Ж.В. |
| author_sort |
Муллажонов, Р.В. |
| title |
Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем |
| title_short |
Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем |
| title_full |
Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем |
| title_fullStr |
Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем |
| title_sort |
устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2017 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/129440 |
| citation_txt |
Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем / Р.В. Муллажонов, Ш.Н. Абдугаппарова, Ж.В. Мирзаахмедова // Доповіді Національної академії наук України. — 2017. — № 11. — С. 10-15. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT mullažonovrv ustojčivostʹnekotoryhstacionarnyhnelinejnyhkrupnomasštabnyhsistem AT abdugapparovašn ustojčivostʹnekotoryhstacionarnyhnelinejnyhkrupnomasštabnyhsistem AT mirzaahmedovažv ustojčivostʹnekotoryhstacionarnyhnelinejnyhkrupnomasštabnyhsistem |
| first_indexed |
2025-07-09T11:28:15Z |
| last_indexed |
2025-07-09T11:28:15Z |
| _version_ |
1837168588464586752 |
| fulltext |
10 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 11
© Р.В. Муллажонов, Ш.Н. Абдугаппарова, Ж.В. Мирзаахмедова, 2017
Анализ устойчивости движения нелинейных крупномасштабных систем при структур-
ных и сингулярных возмущениях приведен в монографии [1]. Стационарные системы с
нелинейными структурными возмущениями исследованы не достаточно полно. Поэтому
представляет интерес задача об устойчивости такого рода систем.
Целью этой работы является получение условий устойчивости стационарных систем с
нелинейными структурными возмущениями с учетом ранее полученных результатов [2, 3].
Покажем, что имеет место, следующее утверждение.
Теорема 1. Состояние равновесия 0x = системы
x Ax= (1)
и системы
( )x A x x= ϕ , (2)
где nx R∈ , — n nΑ × постоянная матрица, одновременно будет устойчивым (асимптоти-
чески устойчивым) или неустойчивым соответственно при любой скалярной строго поло-
жительной функции ( ) : nx R Rϕ → .
Доказательство. Пусть для системы (1) построена функция Ляпунова
( ) Tx x Pxν = , (3)
где nx R∈ , и P — n n× положительно определенная, симметрическая относительно главной
диагонали матрица. Тогда имеем
doi: https://doi.org/10.15407/dopovidi2017.11.010
УДК 531.36
Р.В. Муллажонов, Ш.Н. Абдугаппарова, Ж.В. Мирзаахмедова
Андижанский государственный университет им. З.М. Бабура, Узбекистан
E-mail: mat-fak@rambler.ru
Устойчивость некоторых стационарных
нелинейных крупномасштабных систем
Представлено академиком НАН Украины А.А. Мартынюком
Для системы линейных уравнений и соответвующей параметрически возмущенной скалярной функцией
нелинейной системы установлены условия однотипного свойства нулевого решения.
Ключевые слова: система линейных уравнений, возмущение скалярной функцией, устойчивость, неус-
той чивость.
11ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 11
Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем
(1)
(2) (1)
( ( )) | ( ) ,
( ( )) | ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( )) | ( ).
T T
T T T T
x t x A P PA x
x t x A x P P x A x x A P PA x x x t x
ν = +
ν = ϕ + ϕ = + ϕ = ν ϕ
Так как функция ( )xϕ — строго положительная, то функции (1)( ( )) |x tν и (2)( ( )) |x tν
имеют одинаковый знак. Откуда следует справедливость утверждений теоремы 1.
Далее рассмотрим нелинейные системы уравнений возмущенного движения
( )x f x= , (4)
где 1 2 1 2( , , , ) , ( ) : , ( ) ( ( ), ( ), , ( )) , (0) 0T n n n T
n nx x x x R f x R R f x f x f x f x f= ∈ → = =… … .
Предположим, что
1
( ) ( ) , 1,
n
j jl l
l
f x f x x j n
=
= =∑ . При этом систему (4) можно предста-
вить в следующем виде:
( )x A x x= , (5)
где ( ) ( ( )), , 1,jlA x f x j l n= = .
Для функции ( ( )), , 1,jlf x j l n= , существуют линейно независимые строго положи-
тель ные скалярные функции [3]
0 1 2( ) , ( ), ( ), , ( )mx c x x xϕ = ϕ ϕ ϕ…
с порядком строгости 0, 1,i i mε > = , соответственно, такие, что
1
( ) ( ), , 1,
m
i
jl jl i
i
f x x j l n
=
= α ϕ =∑ ,
где i
jlα — некоторые постоянные.
Учитывая это, систему (4) представим в виде
0
( )
m
i i
i
x A x x
=
⎛ ⎞
= ϕ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ , (6)
где ( ), , 1, , 1,i
i jlA j l n i m= α = = .
Для исследования устойчивости состояния равновесия 0x = системы (6) вместе с этой
системой рассмотрим следующие системы
, 1, 2, 3, ,ix A x i m= = … . (7)
Лемма 1. Если матрицы , 1, 2, ,iA i m= … , невырожденные, симметричные относитель но
главной диагонали и для каждого ( 1 )i i m� � iA и iA− не имеют общих собственных значений,
то для каждой матрицы iA существует матрица 0 0
T n n
i iG G R ×= ∈ такая, что мат рица
1 1
0 0 , 1, 2, ,T
i i i iP A G G A i m− −= + = … , (8)
удовлетворяет уравнениям
, 1, 2, ,T
i i iA P PA G i m+ = = … , (9)
где
1 1
0 0 0 0( ) , 1, 2, ,T T
i i i i i i i i iG G G A G A A G A i m− −= + + + = … . (10)
12 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 11
Р.В. Муллажонов, Ш.Н. Абдугаппарова, Ж.В. Мирзаахмедова
Доказательство. Если 0 0
T
i iG G= , то соотношения (8) равносильны следующим матрич-
ным уравнениям относительно матриц 0iG
1 1
0 0 , 1i i i iA G G A P i m− −+ = � � . (11)
Уравнения (11) имеют единственное решение, так как из-за невырожденности матриц
iA для каждого 1 i m� � матрицы 1
iA− и 1
iA−− не имеют общих собственных значений.
Учитывая, что , 1, 2, ,T
i iA A i m= = … , имеем
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
1 1
0 0 0 0
( ) ( )
( ) .
T T T T T
i i i i i io i i i i i i i i i i i i i i
T T
i i i i i i i i i
A P PA A A G G A A G G A A G A G A A G A G
G G A G A A G A G
− − − − − −
− −
+ = + + + = + + + =
= + + + =
Если выполняются все условия леммы 1 и
0 , 1, 2, ,i iG A H i m= = … , (12)
где n nH R ×∈ — положительно определенная матрица, то матрица TP H H= + удовлет во-
ряет уравнениям (9).
Действительно, учитывая, что T
i iA A= , из (8) получим
1 1 1 1( ) ( )T T T
i i i i i i i iP A A H A H A A A H H A A H H− − − −= + = + = + .
Теорема 2. Пусть в системах (6) и (7) матрицы iA и функции ( )i xϕ удовлетворяют
условиям:
а) матрицы ,n n
iA R ×∈ 1, 2, ,i m= … , невырожденные, симметричные относительно глав-
ной диагонали и для каждого 1 i m� � iA и iA− не имеют общих собственных значений;
б) ( )i xϕ — строго положительные скалярные функции с порядком строгости 0,iε >
1, 2, ,i m= … , соответственно.
Тогда из устойчивости (асимптотической устойчивости) или неустойчивости состо-
яния равновесия 0x = всех систем (7) следует устойчивость (асимптотическая устой-
чивость) или неустойчивость состояния равновесия 0x = системы (6) соответственно.
Доказательство. На основе условия а теоремы 2 и леммы 1 для систем (7) сущест вует
функция Ляпунова
( ) Tx x Pxν = , (13)
где матрица P положительно определенная, симметричная относительно главной диаго-
нали и имеет вид (8).
Для полной производной функции (13) в силу i -й системы совокупности систем
(7) имеем
(7)( ( )) | ) , 1T T T
i i ix t x A P PA x x G x i mν = + = � � .
Отсюда следует, что
2 2
(7)( ) ( ( ( )) | ( )m i M iG x x t G xλ ν λ� � , (14)
13ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 11
Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем
где (7)( ( )) |x tν означает, что производная вычисляется в силу i -й системы совокупнос ти
систем (7), iG имеют вид (10), ( )m iGλ и ( )M iGλ — минимальные и максимальные соб-
ственные значения матриц iG соответственно.
В качестве функции Ляпунова для системы (6) возьмем функцию (13). Ее полная про-
изводная в силу системы (6) имеет вид
(6)
1 1 1
(7)
1 1 1
( ( )) | ( ) ( ) ( )( )
( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( ( ) | .
Tm m m
T T T
i i i i i i i
i i i
m m m
T T T
i i i i i i
i i i
x t x A x P P A x x x x A P PA x
x x A P PA x x x G x x x t
= = =
= = =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎢ ⎥ν = φ + φ = φ + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
= φ + = φ = φ ν
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
Нетрудно проверить справедливость следующих неравенств:
2 2
(6)
1 1
( ) ( ) max ( ) ( )
n
n n
i m i i M i
x Ri i
G x x x G x
∈= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
ε λ ν ϕ λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ ∑� � , (15)
если ( ) 0, 1, 2, ,m iG i mλ > = … ;
2 2
(6)
1 1
max ( ) ( ) ( ) ( )
n
n n
i m i i M i
x Ri i
x G x x G x
∈= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
ϕ λ ν ε λ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∑ ∑� � , (16)
если ( ) 0, 1, 2, ,m iG i mλ = …� .
Из неравенств (14)–(16) и условия 0, 1, 2, ,i i mε > = … , следует справедливость утверж-
дений теоремы 2.
Пример. Рассмотрим систему четвертого порядка, которая описывается уравнениями
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 2 3 4
2 2 2 2
2 1 2 3 4
2 2 2 2
3 1 2 3 4
2 2
4 1 2
(2 6 2sin ) ( 2sin 1) (3 2) ,
( 2sin 1) (2 9 2 4sin ) (3 2) ,
(3 2) (1 6 2sin ) (3 2sin 1) ,
(3 2) (3 2sin
x x
x x
x x x
x x
x e x x x x x x x e x
x x x x e x x x e x x
x x e x e x x x e x x x
x e x x e x x
= − − − + + + + + −
= + + + − − − + − +
= + − + − − − + + + −
= − + + + +
2 2 2
3 41) (1 6 2 4sin ) ,xx e x x x− + − − −
(17)
где 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4( , , , ) ,Tx x x x x x x x x x= = + + + .
В системе (17) выполняются условия
4
1
( ) ( ) , 1, 2, 3, 4i ij j
j
f x f x x i
=
= =∑ , поэтому ее можно
представить в виде (5), т. е.
( )x A x x= (18)
где
1 2 3 4( , , , )Tx x x x x= ,
14 ISSN 1025-6415. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2017. № 11
Р.В. Муллажонов, Ш.Н. Абдугаппарова, Ж.В. Мирзаахмедова
2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 6 2sin 2sin 1 1 3 2
2sin 1 2 9 2 4sin 3 2 1
1 3 2 1 6 2sin 3 2sin 1
3 2 1 3 2sin 1 1 6 2 4sin
x x
x x
x x x
x x x
e x x x x e
x x e x x e
A
e e x x e x x
e e x x e x x
⎛ ⎞− − − + + −⎜ ⎟
⎜ ⎟+ + − − − −⎜ ⎟= ⎜ ⎟− − − − + + −⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟− + + − − − −⎝ ⎠
.
Обозначим,
2
1( ) 3 2xx eϕ = − и 2 2
2( ) 2sin 1x x xϕ = + + . Нетрудно проверить, что функ-
ции 1( )xϕ и 2( )xϕ строго положительные. Тогда система (18) представляется в виде
0 1 1 2 2( ) ( )x A x x A x x A x= +ϕ +ϕ , (19)
где 1 2 3 4( , , , )Tx x x x x= ,
0 1 2
1 0 1 0 2 0 0 1 1 1 0 0
0 2 0 1 0 3 1 0 1 2 0 0
, ,
1 0 2 0 0 1 2 1 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1 2 0 0 1 2
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = =
− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A A A .
Для исследования устойчивости состояния равновесия 0x = системы (19) вместе с
этой системой рассмотрим следующие системы:
0x A x= , (20)
1x A x= , (21)
2x A x= , (22)
Характеристические уравнения матриц 0A и 2A имеют вид 2 2( 3 1) 0λ + λ + = и 1 2λ = λ =
5
1, 5 0, 382 0
2
= − + ≈ − < , 3 4
5
1, 5 2, 618 0
2
λ = λ = − − ≈ − < , а характеристическое уравнение мат-
рицы 1A имеет вид 4 3 29 27 30 9 0λ + λ + λ + λ + = и 1 2 33 0, 3,532 0, 1, 647 0,λ = − < λ ≈ − < λ ≈ − <
4 0, 468 0λ ≈ − < .
Итак, состояние равновесия систем (20)—(22) асимптотически устойчиво, поэтому на
основе теоремы 2 состояние равновесия 0x = системы (19), а также (17) асимптотически
устойчиво.
Следствие A. Если состояние равновесия 0x = хотя бы одной системы из совокупности
систем (7) асимптотически устойчиво, и состояние равновесия 0x = остальных систем
устойчиво, то состояние равновесия системы (6) асимптотически устойчиво.
Следствие B. Пусть выполняются все условия теоремы 2. Тогда состояние равновесия
0x = системы (6)
а) устойчиво, если
1
( ) 0
m
i M i
i
G
=
ε λ∑ � ;
15ISSN 1025-6415. Допов. Нац. акад. наук Укр. 2017. № 11
Устойчивость некоторых стационарных нелинейных крупномасштабных систем
б) асимптотически устойчиво, если
1
( ) 0
m
i M i
i
G
=
ε λ <∑ ;
в) неустойчиво, если
1
( ) 0
m
i M i
i
G
=
ε λ >∑ .
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Martynytuk A.A., Miladzhanov V.G. Stability Analysis of Nonlinear Systems under Structural Perturbations.
Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2014. 253 p.
2. Миладжанов В.Г., Муллажонов Р.В. Анализ устойчивости динамической системы на основе матриц –
функций Ляпунова. Ош. Конф. 2005. 56 с.
3. Миладжанов В.Г., Муллажонов Р.В. Об одном методе анализа устойчивости линейных крупномасштаб-
ных систем. Проблемы механики. 2009. № 2—3. С.112—120.
4. Мартынюк А.А., Муллажонов Р.В. К теории устойчивости стационарных линейных крупномасштабных
систем. Прикл. механика. 2012. 48, № 1. С. 121—132.
5. Мартынюк А.А., Муллажонов Р.В. Об одном методе исследования устойчивости нелинейных крупно-
масштабных систем. Прикл. механика. 2010. 46, № 5. С 125—134.
Поступило в редакцию 18.05.2017
REFERENCES
1. Martynytuk, A. A. & Miladzhanov, V. G. (2014). Stability Analysis of Nonlinear Systems under Structural
Perturbations. Cambridge: Cambridge Sci. Publ.
2. Miladzhanov, V. G. & Mullajonov, R. V. (2005). Analysis of the stability of a dynamical system on the basis of
Liapunov matrix-valued functions. Osh. Conference. P. 56 (in Russian).
3. Miladzhanov, V. G. & Mullajonov, R. V. (2009). On one method of analyzing the stability of linear large-scale
systems. Problems Mechanics. No. 2-3, pp. 112-120 (in Russian).
4. Martynytuk, A. A. & Mullajonov, R. V. (2012). On the theory of stability of stationary linear large-scale
systems. Appl. Mechanics. 48, No. 1, pp. 121-132 (in Russian).
5. Martynytuk, A. A. & Mullajonov, R. V. (2010). On a method for investigating the stability of nonlinear large-
scale systems. Appl. Mechanics. 46, No. 5, pp. 125-134 (in Russian).
Received 18.05.2017
Р.В. Муллажонов, Ш.Н. Абдугаппарова, Ж.В. Мірзаахмедова
Андижанський державний університет ім. З.М. Бабура, Узбекистан
E-mail: mat-fak@rambler.ru
СТІЙКІСТЬ ДЕЯКИХ СТАЦІОНАРНИХ НЕЛІНІЙНИХ ВЕЛИКОМАСШТАБНИХ СИСТЕМ
Для системи лінійних рівнянь і відповідної параметрично збуреної скалярною функцією нелінійної систе-
ми встановлено умови однотипної властивості нульового розв’язку.
Ключові слова: система лінійних рівнянь, збурення скалярною функцією, стійкість, нестійкість.
R.V. Mullajonov, Sh.N. Abdugapparova, Zh.V. Mirzaakhmedova
Z.M. Babur Andizhan State University, Uzbekistan
E-mail: mat-fak@rambler.ru
STABILITY OF SOME STATIONARY NONLINEAR LARGE-SCALE SYSTEMS
For a system of linear equations and the corresponding nonlinear system parametrically per turbed by a scalar
function, the conditions of the single-type property of the zero solution are established.
Keywords: system of linear equations, perturbation by a scalar function, stability, instability.
|