Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании

Измерение количества выпавших осадков представляет значительный интерес для решения многих практических задач. Обратная задача восстановления интенсивности дождя с помощью радиолокационных методов относится к некорректным задачам математической физики и описывается нелинейным интегральным уравнением...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автор:	Линкова, А.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2017
Назва видання:	Радіофізика та електроніка
Теми:	Распространение радиоволн, радиолокация и дистанционное зондирование
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/130189
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании / А.М. Линкова // Радіофізика та електроніка. — 2017. — Т. 22, № 3. — С. 23-32. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-130189
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1301892018-02-09T03:03:21Z Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании Линкова, А.М. Распространение радиоволн, радиолокация и дистанционное зондирование Измерение количества выпавших осадков представляет значительный интерес для решения многих практических задач. Обратная задача восстановления интенсивности дождя с помощью радиолокационных методов относится к некорректным задачам математической физики и описывается нелинейным интегральным уравнением. В работе рассматривается подход к решению интегрального уравнения рассеяния электромагнитных волн полидисперсной средой водных капель с помощью двухчастотного зондирования в СВЧ-диапазоне. Проведено численное моделирование восстановления интенсивности дождя в диапазоне 1…30 мм/ч для рабочих длин волн 0,82 и 3,2 см. Показано, что предложенный подход позволяет восстанавливать интенсивность дождя с погрешностью менее 20 % для интенсивности более 5 мм/ч и 60 % – для слабых дождей (менее 5 мм/ч). Вимірювання кількості опадів становить значний інтерес для вирішення багатьох практичних завдань. Обернена задача відновлення інтенсивності дощу за допомогою радіолокаційних методів належить до некоректних задач математичної фізики й описується нелінійним інтегральним рівнянням. У роботі розглядається підхід до розв’язання інтегрального рівняння розсіювання електромагнітних хвиль полідисперсним середовищем водних крапель за допомогою двочастотного зондування у НВЧ-діапазоні. Проведено числове моделювання відновлення інтенсивності дощу в діапазоні 1…30 мм/год для робочих довжин хвиль 0,82 і 3,2 см. Показано, що запропонований підхід дозволяє відновлювати інтенсивність дощу з похибкою менше 20 % для інтенсивності більше 5 мм/год та 60 % для слабких дощів (менше 5 мм/год). Measurement of precipitation amount is of great inte-rest for solution of many practical problems of national economy and agriculture. In this case, the inverse problem of recovering the rain intensity using radar methods is an incorrect problem of mathe-matical physics and is described by a nonlinear integral equation. An approach for solving the integral equation of the electromagnetic waves scattering by a polydisperse medium of water drops is considered by means of double frequency remote sensing in the microwave range. Numerical simulation for retrieval of rain intensity in the range of 1…30 mm/h is performed for operating wavelengths 0.82 and 3.2 cm. It is shown that the proposed approach permits to retrieve the rain intensity with an error less than 20 % for intensities > 5 mm/h and with an error up to 60 % for light rains (less than 5 mm/h). 2017 Article Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании / А.М. Линкова // Радіофізика та електроніка. — 2017. — Т. 22, № 3. — С. 23-32. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 1028-821X PACS: 9260 DOI: doi.org/10.15407/rej2017.03.023 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/130189 319.61.126 ru Радіофізика та електроніка Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Распространение радиоволн, радиолокация и дистанционное зондирование Распространение радиоволн, радиолокация и дистанционное зондирование
spellingShingle	Распространение радиоволн, радиолокация и дистанционное зондирование Распространение радиоволн, радиолокация и дистанционное зондирование Линкова, А.М. Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании Радіофізика та електроніка
description	Измерение количества выпавших осадков представляет значительный интерес для решения многих практических задач. Обратная задача восстановления интенсивности дождя с помощью радиолокационных методов относится к некорректным задачам математической физики и описывается нелинейным интегральным уравнением. В работе рассматривается подход к решению интегрального уравнения рассеяния электромагнитных волн полидисперсной средой водных капель с помощью двухчастотного зондирования в СВЧ-диапазоне. Проведено численное моделирование восстановления интенсивности дождя в диапазоне 1…30 мм/ч для рабочих длин волн 0,82 и 3,2 см. Показано, что предложенный подход позволяет восстанавливать интенсивность дождя с погрешностью менее 20 % для интенсивности более 5 мм/ч и 60 % – для слабых дождей (менее 5 мм/ч).
format	Article
author	Линкова, А.М.
author_facet	Линкова, А.М.
author_sort	Линкова, А.М.
title	Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании
title_short	Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании
title_full	Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании
title_fullStr	Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании
title_full_unstemmed	Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании
title_sort	восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
publishDate	2017
topic_facet	Распространение радиоволн, радиолокация и дистанционное зондирование
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/130189
citation_txt	Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании / А.М. Линкова // Радіофізика та електроніка. — 2017. — Т. 22, № 3. — С. 23-32. — Бібліогр.: 21 назв. — рос.
series	Радіофізика та електроніка
work_keys_str_mv	AT linkovaam vosstanovlenieintensivnostidoždâputemrešeniâintegralʹnogouravneniârasseâniâpridvuhčastotnomzondirovanii
first_indexed	2025-07-09T13:02:42Z
last_indexed	2025-07-09T13:02:42Z
_version_	1837174532977197056
fulltext	РРООЗЗППООВВССЮЮДДЖЖЕЕННННЯЯ РРААДДІІООХХВВИИЛЛЬЬ,, РРААДДІІООЛЛООККААЦЦІІЯЯ ТТАА ДДИИССТТААННЦЦІІЙЙННЕЕ ЗЗООННДДУУВВААННННЯЯ _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 © Г. М. Лінкова УДК 319.61.126 PACS 9260 А. М. Линкова Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Акад. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: gannalinkova@gmail.com ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ ДОЖДЯ ПУТЕМ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РАССЕЯНИЯ ПРИ ДВУХЧАСТОТНОМ ЗОНДИРОВАНИИ Измерение количества выпавших осадков представляет значительный интерес для решения многих практических задач. Обратная задача восстановления интенсивности дождя с помощью радиолокационных методов относится к некорректным задачам математической физики и описывается нелинейным интегральным уравнением. В работе рассматривается подход к решению инте- грального уравнения рассеяния электромагнитных волн полидисперсной средой водных капель с помощью двухчастотного зонди- рования в СВЧ-диапазоне. Проведено численное моделирование восстановления интенсивности дождя в диапазоне 1…30 мм/ч для рабочих длин волн 0,82 и 3,2 см. Показано, что предложенный подход позволяет восстанавливать интенсивность дождя с погреш- ностью менее 20 % для интенсивности более 5 мм/ч и 60 % – для слабых дождей (менее 5 мм/ч). Ил. 8. Табл. 1. Библиогр.: 21 назв. Ключевые слова: интенсивность дождя, радар, двухчастотное зондирование, интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода, регуляризация Тихонова. Решение обратных задач дистанционного зондирования (определение интенсивности жид- ких осадков) связано, как правило, с решением интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода [1, 2]. Такие уравнения относятся к некорректным задачам математической физики [3] и требуют применения специальных методов, в частности методов регуляризации [4, 5], которые позволяют свести исходную некорректную задачу к условно- корректной задаче, решение которой является единственным и устойчивым. Одним из эффективных методов регуля- ризации является метод Тихонова [6], основан- ный на использовании регуляризирующего опе- ратора, правильный выбор которого определяет эффективность метода. Регуляризирующие методы активно при- менялись для дистанционного зондирования атмо- сферы в оптическом диапазоне [7–10] с использо- ванием многочастотного зондирования (больше 6 частот) или зондирования по углу места. Одна- ко, несмотря на широкое применение методов регуляризации в оптическом диапазоне, их ис- пользование в радиометеорологии не получило широкого распространения в связи с ограничен- ными техническими возможностями создания многочастотных радаров в СВЧ-диапазоне. Поэтому значительный интерес пред- ставляет работа [11], в которой предложено ис- пользовать измерение профиля отражаемости и ослабления вдоль вертикальной трассы при зон- дировании с аэрокосмических носителей. Осо- бенностью предложенного метода является нали- чие границы поверхности раздела, в данном слу- чае морской поверхности, что позволяет постро- ить итерационную процедуру для нахождения профиля ослабления и отражаемости. Поскольку указанный подход далеко не всегда может быть реализован на практике, например, при дистанционном зондировании с помощью наземных метеорадаров, для решения такого рода обратных задач широко используется параметризация функции распределения капель дождя по размерам [12–14]. Такой подход позво- ляет свести исходную задачу восстановления не- известной функции распределения к определе- нию параметров выбранного распределения ка- пель по размерам, что позволяет перейти от инте- грального уравнения рассеяния к трансцендент- ному, решение которого возможно с помощью численных методов. При этом использование па- раметризации позволяет с высокой точностью восстанавливать параметры жидких осадков только в рамках выбранной модели распределе- ния капель по размерам, что в случае реального распределения может привести к существенным погрешностям восстановления. Кроме этого, необходимо отметить, что поскольку выбор вида распределения основан на многочисленных дан- ных контактных измерений микроструктурных характеристик осадков, то высокую точность та- ких методов следует ожидать только в среднеста- тистическом смысле. В связи с этим значительный интерес представляет разработка методов решения инте- грального уравнения рассеяния радиоволн микро- волнового диапазона полидисперсной средой водных капель для восстановления параметров дождя без параметризации распределения капель по размерам. 1. Интегральное уравнение рассеяния. Активное радиолокационное зондирование жид- ких осадков основано на измерении мощности сигналов, отраженных от зоны дождя [15]:   2 , 0 4 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) T T R ef i i i i i P G V R R P R R K R          (1) mailto:annalinkova@gmail.com А. М. Линкова / Восстановление интенсивности дождя… _________________________________________________________________________________________________________________ 24 ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 где ( )TP  – мощность передатчика; ( , )ef iV R  – эффективный рассеивающий объем; RiRRi  )1(0 – расстояние от радиолокаци- онной станции (РЛС) до рассеивающего объема; i  1…NR; RRRNR  /)( 01 – количество ячеек по дальности; R – разрешение радара по даль- ности; , ( )T RG  – усиление передающей и прием- ной антенн соответственно;  – длина волны; 0R – расстояние от РЛС до начала зоны дождя; 1R – расстояние от РЛС до конца зоны дождя;  max min ),(),(),( 00 d d ipi dddRNdR  – удельная эф- фективная поверхность рассеяния (ЭПР); ( , )p d  – ЭПР отдельных частиц; 0 ( )N d – рас- пределение капель по размерам; d – диаметр капель; mind и maxd – минимальный и макси- мальный диаметры капель; ),( iRK            1 0 max min ),(),(2exp 0 iR R d d at dRdddRNd – коэффи- циент ослабления сигнала при распространении на трассе; ( , )at d  – поперечное сечение ослаб- ления отдельной частицы. Таким образом, решение обратной задачи по восстановлению параметров жидких осадков сводится к решению нелинейного интегрального уравнения   . ),(),(2exp ),(),( ),()( ),( 1 0 max min max min 0 0 4 2 ,              iR R d d at d d ip i iefRTT i dRdddRNd dddRNd R RVGP RP     (2) В случае приближения малых ослаблений ( , ) 1iK R   , которое реализуется, например, в длинноволновом участке сантиметрового диапа- зона длин волн, интегральное уравнение (2) су- щественно упрощается и сводится к следующему линейному интегральному уравнению:     max min ),(),( ),()( ),( 0 4 2 , d d ip i iefRTT i dddRNd R RVGP RP    (3) или  max min ),(),(),( 00 d d ipi dddRNdR  , (4) в котором удельная ЭПР полидисперсной среды 0 ( , )iR  вычисляется в результате радиолока- ционных измерений и определяется выражением   . ),()( ),( ),( 2 , 4 0    iefRTT ii i RVGP RRP R  Рассмотрим решение уравнения (4) для одной из ячеек разрешения по дальности. Данное уравнение относится к линейному интегральному уравнению Фредгольма первого рода [1], в кото- ром в качестве ядра выступает ЭПР одиночных капель ( , )p d  , а распределение капель по разме- рам 0 ( )N d является искомой функцией. При этом частотная зависимость удельной ЭПР 0 ( , )iR  является свободным членом интегрального урав- нения. Для решения интегрального уравнения (4) аппроксимируем ядро ( , )p d  и неизвестную функцию 0 ( )N d степенными полиномами 1 1 ( , ) ( ) M m p m m d F d      , 1 0 1 ( ) L l l l N d C d    , (5) где ( )mF  – коэффициенты разложения функ- ции ( , )p d  , lC – неизвестные коэффициенты разложения неизвестной функции 0 ( )N d , 1M  , 1L – степень полинома в разложении функций ( , )p d  и 0 ( )N d соответственно. Тогда уравнение (4) примет вид .)()( max min 1 1 1 1 0                d d L l l l M m m m dddCdF  (6) Вычислив интеграл (6), получим выра- жение               L l M m lmlmlm dd ml CF 1 1 1 min 1 max0 1 )( )(   , (7) которое представляет собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и может быть записано в матричной форме ,AXB  (8) где А – известная квадратная матрица с коэффи- циентами              M m jmjmim ji dd mj F AA 1 1 min 1 max, 1 )( ;  1,..., ,...,X T i LC C C – столбец неизвестных коэф- фициентов; 0 1 0 0( ) ,..., ( ),..., ( )B T i L         – столбец значений удельной ЭПР в заданном диа- пазоне длин волн L ...1 ; j  1…М; i  1…L. А. М. Линкова / Восстановление интенсивности дождя… _________________________________________________________________________________________________________________ ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 25 Таким образом, для нахождения неиз- вестных коэффициентов iC необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (8). 2. Частотная зависимость удельной ЭПР дождя. Для решения матричного уравнения (8) необходимо определить зависимость удельной ЭПР от длины волны. Такие измерения крайне сложно осуществить на практике в связи с техни- ческими трудностями создания метеорадара с перестройкой частоты в широком диапазоне (многочастотного радара). С другой стороны, учитывая огромное количество частиц разных размеров в рассеива- ющем объеме, трудно ожидать резонансного ха- рактера рассеяния подобной средой, поэтому можно предположить, что функция 0 ( )  должна быть достаточно гладкой. В связи с этим рассмот- рим поведение удельной ЭПР 0 ( )  в диапазоне длин волн   1 мм…5 см. Для этого необходимо найти решение прямой задачи рассеяния согласно (4), которое включает следующие этапы: 1) Выбирается вид распределения капель по размерам 0 ( )mN d согласно одной из моделей (10)–(12), параметры которого подбираются из условия получения заданной интенсивности дождя mI ,)()( 6 0 0 3    dddNdVdI m m  (9) где ( ) 9,65 10,3exp( 600 )V d d   – скорость па- дения капель дождя [16]. 2) Для каждой длины волны в выбранном диапазоне рассчитывается зависимость ЭПР оди- ночных капель ),( ip d  от их диаметра (d  0,1…6 мм при температуре окружающей среды T  20 С). При этом рассматривались кап- ли сферической формы, что позволяет применять разработанную теорию дифракции электромаг- нитных волн на диэлектрической сфере (теорию Ми [17]). 3) Используя выражение (4) рассчитыва- ется частотная зависимость удельной ЭПР 0 ( )  для выбранного диапазона длин волн и 0 ( )mN d , обеспечивающего необходимое значение интен- сивности mI . При этом использовались следующие модели распределения капель по размерам: гамма-распределение [18] 0 1 ( ) exp , ( 1) m Nd d N d              (10) где N – концентрация капель, ,  – параметры распределения, ( 1)  – гамма-функция; логнормальное распределение [19] 2 0 1 ln( / ) ( ) exp , 22 m N d s N d ggd             (11) где ,g s – параметры распределения; распределение Маршала–Пальмера [20]  ,41exp0008)( 21,0 0  p m dIdN (12) где pI – в мм/ч; d – в cм. Результаты вычислений приведены на рис. 1, где сплошная кривая соответствует гамма- распределению, штриховая – распределению Маршала–Пальмера, пунктирная – логнормаль- ному распределению. а) б) в) Рис. 1. Графики зависимости удельной ЭПР от длины волны для разных интенсивностей дождя: а) Im  1 мм/ч; б) Im  10 мм/ч; в) Im  20 мм/ч 0 1 2 3 4 , см 1000 800 600 400 200 0 0, м 2/м3 0 1 2 3 4 , см 100 80 60 40 20 0 0, м 2/м3 0 1 2 3 4 , см 600 500 400 300 200 100 0 0, м 2/м3 А. М. Линкова / Восстановление интенсивности дождя… _________________________________________________________________________________________________________________ 26 ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 Как видно, в длинноволновом участке за- висимости  > 0,8…1 см кривые монотонно спа- дают и могут быть аппроксимированы двухпара- метрическими функциями, что удобно в случае применения двухчастотного зондирования. В част- ности, в работе использованы экспоненциальная функция (13), степенная (14), а также их среднее (15): 1 10 ( ) exp( ), ap a b   (13) 2 20 ( ) , ap b a    (14) 2 1 1 2 0 exp( ) ( ) , 2 b ap a b a       (15) где 2,2,1,1 baba – коэффициенты, значения кото- рых могут быть определены, в частности, по ре- зультатам двухчастотного зондирования на рабо- чих длинах волн o 1 и o 2 )exp( )( 11 10 1 o o b a    , ; )( )](/)(ln[ 12 1020 1 oo oo b     (16) 2)( )( 1 10 2 bo o a      , , )/ln( )](/)(ln[ 12 1020 2 oo oo b    (17) где )( 10 o и )( 20 o – значения удельной ЭПР, измеренные при двухчастотном зондировании. На рис. 2 показан пример сравнения ис- тинных значений зависимости свободного члена интегрального уравнения (4) от длины волны 0 ( )  с аппроксимирующими зависимостями 0 ( ) ap  (13)–(15), коэффициенты которых рассчи- таны согласно (16), (17) в диапазоне длин волн   0,82…3,2 см, который широко используется в метеорадарах. При этом истинные значения 0 ( )  получены путем решения прямой задачи рассеяния (4) для интенсивностей дождя Im  1 мм/ч (рис. 2, а), Im  10 мм/ч (рис. 2, б) и Im  20 мм/ч (рис. 2, в) и модели распределения капель дождя по размерам в виде гамма- распределения (10). Сплошная линия соответ- ствует истинным значениям зависимости 0 ( )  , точки – аппроксимации (15), круги – аппрокси- мации (13), звездочки – аппроксимации (14). Приведенные результаты показывают, что ис- пользование двухчастотного зондирования, в принципе, позволяет получить приближенную зависимость 0 ( )  , которая аппроксимирует ре- зультаты рассеяния электромагнитных волн поли- дисперсной средой в диапазоне длин волн  > 0,8…1 см, однако точность аппроксимации в значительной мере зависит от интенсивности дождя. Использование аппроксимированной за- висимости 0 ( ) ap  приводит к трансформации матричного уравнения (8), в котором столбец В заменяется на столбец аппроксимированных зна- чений удельной ЭПР   , ,)()...()...( 0010 AXB B   T L ap i apap  (18) что позволяет решить СЛАУ (8) с учетом экспе- риментальных данных в выражениях (16), (17). а) б) в) Рис. 2. Графики зависимости удельной ЭПР от длины волны: а) Im  1 мм/ч; б) Im  10 мм/ч; в) Im  20 мм/ч 3. Решение системы линейных алгеб- раических уравнений. Исходное уравнение (4) является линейным интегральным уравнением Фредгольма первого рода и относится к классу некорректных математических задач [3]. В част- ности, оценка числа обусловленности [21], кото- рое характеризует степень устойчивости реше- ния, показывает, что матричное уравнение (18), 600 500 400 300 200 100 0 1,0 1,5 2,0 2,5 , см 0, м 2/м3 300 200 100 0 1,0 1,5 2,0 2,5 , см 0, м 2/м3 1,0 1,5 2,0 2,5 , см 20 15 10 5 0 0, м 2/м3 А. М. Линкова / Восстановление интенсивности дождя… _________________________________________________________________________________________________________________ ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 27 полученное на его основе, является плохо обу- словленным, когда малые изменения свободного члена (столбец B) приводят к большим измене- ниям получаемых решений Х. В рассматривае- мом случае наличие подобных изменений, в ос- новном, связано с ошибками измерений удельных значений ЭПР )( 2,10 o , погрешностью аппрок- симации 0 ( )  , а также конечной точностью вы- числений. В связи с этим для решения таких задач широко используются методы регуляриза- ции [4, 5], которые позволяют получить устойчи- вые решения, в частности, метод регуляризации Тихонова [6]. 4. Регуляризация Тихонова. В этом случае концепция регуляризации сводится к за- мене исходной некорректной задачи задачей ми- нимизации некоторой функции, которая может быть сведена к следующей системе линейных алгебраических уравнений [4]: XEAABA )( r TT  , (19) где Е – единичная матрица; A Т – транспониро- ванная матрица А; r – параметр регуляризации. Таким образом, исходная СЛАУ (18) в процессе регуляризации заменяется на СЛАУ вида (19), решая которую можно получить устойчивые значения коэффициентов X  1,..., ,...,X i LC C C и восстановить функцию рас- пределения капель по размерам 0 ( )rN d (5), что позволяет рассчитать значение интенсивности дождя rI , используя выражение (9). Поскольку для решения интегрального уравнения (4) используется аппроксимация сте- пенными полиномами ядра и искомой функции, становится актуальной задача выбора степени полинома, которая обеспечивает приемлемую точность аппроксимации. В связи с этим рассчи- таны ошибки аппроксимации зависимостей ( , )p d  и 0 ( )N d в диапазоне изменения степе- ней полиномов 1 1...34,M   1 1...34L  со- гласно следующим выражениям:     %;100 ),( ),,(),( )( max min max min 2 2     d d p d d ap pp ddd ddMdd M    (20)     %,100 )( ),()( )( max min max min 2 0 2 00     d d d d ap N dddN ddLdNdN L (21) где ( , )ap p d  и 0 ( ) ap N d – аппроксимированные значения зависимости ЭПР капли от диаметра и функции распределения капель по размерам со- ответственно. В частности, на рис. 3 приведена зависи- мость ошибки аппроксимации, полученная по методу наименьших квадратов, от степени поли- нома для ЭПР одиночной капли в диапазонах длин волн 8,2 мм (рис. 3, а) и 3,2 см (рис. 3, б). Полученные результаты показывают, что наибольшие ошибки аппроксимации наблюдают- ся при степени полиномов менее 5, однако с рос- том степени полинома ошибка уменьшается. а) б) Рис. 3. Графики зависимости ошибки аппроксимации от сте- пени полинома для ЭПР одиночной капли: а)   8,2 мм; б)   3,2 см Аналогичные результаты получены и для случая аппроксимации распределения капель по размерам, как показано на рис. 4. Таким образом, согласно приведенным данным, при аппроксима- ции степенным полиномом ядра и искомой функ- ции в (4) рекомендуется выбирать степень поли- нома > 10. Одной из проблем, связанных с использо- ванием регуляризации по Тихонову, является слож- ность поиска оптимального значения параметра регуляризации. С одной стороны, увеличение пара- 0 10 20 30 M – 1 20 10 p (2),  0 10 20 30 M – 1 20 10 p (1),  А. М. Линкова / Восстановление интенсивности дождя… _________________________________________________________________________________________________________________ 28 ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 метра r приводит к сглаживанию решения, а с другой стороны – к смещению регуляризованного решения системы (19) от истинного решения ис- ходной системы уравнений (18). Другими словами, для малых значений параметра r  0 проблема близка к исходной некорректной задаче, а при больших r задача становится корректной, но ее решение далеко от решения исходной задачи. Рис. 4. График зависимости ошибки аппроксимации от степе- ни полинома для функции распределения капель по размерам Кроме того, как будет показано ниже, значение оптимального параметра регуляризации зависит от рабочих длин волн и интенсивности дождя. В частности, на рис. 5 приведена зависи- мость ошибки восстановления интенсивности дождя %100 ),,( m rrm I I MLII     от параметра регуляризации, который менялся в диапазоне значений r  10 –20 …10 –10 при фиксированных значениях M  L  26 (4) (рис. 5, а – Im  1 мм/ч, рис. 5, б – Im  20 мм/ч; сплошная кривая – ап- проксимация (15), пунктирная – аппроксима- ция (13), штриховая – аппроксимация (14)). Кроме того, как показали результаты численного моделирования, ошибка восстановле- ния интенсивности зависит не только от парамет- ра регуляризации, но также от степеней поли- нома 1M  , 1L при разложении функций ( , )p d  и 0 ( )N d в (5). В общем случае M может быть не равно L, однако для упрощения задачи в работе рассматривается случай, когда M  L. На рис. 6 показаны результаты восстановления интенсивности дождя в зависимости от степени полинома L – 1, которая меняется в диапазоне значений 1L  24…34 при r  10 –10 (рис. 6, а – Im  1 мм/ч, рис. 6, б – Im  20 мм/ч; сплошная кривая соответствует аппроксимации (15), пунк- тирная – аппроксимации (13), а штриховая – ап- проксимации (14)). а) б) Рис. 5. График зависимости ошибки восстановления интен- сивности дождя от параметра регуляризации: а) Im  1 мм/ч; б) Im  20 мм/ч а) б) Рис. 6. Графики зависимости ошибки восстановления интен- сивности дождя от степени полинома L – 1: а) Im  1 мм/ч; б) Im  20 мм/ч 0 10 20 30 L – 1 40 30 20 10  N0 ( d ),  10–20 10–15 r 40 30 20 10 0  I ,  20 15 10 5 0 10–20 10–15 r  I ,  25 30 L – 1 50 40 30 20  I ,  25 30 L – 1 15 10 5 0  I ,  А. М. Линкова / Восстановление интенсивности дождя… _________________________________________________________________________________________________________________ ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 29 Из приведенных графиков следует, что ошибка восстановления интенсивности достаточ- но сильно меняется в зависимости от параметра регуляризации и степени полинома, а характер этой зависимости определяется значением интен- сивности дождя, что не позволяет зафиксировать значения этих параметров при решении обратной задачи восстановления интенсивности. В связи с этим возникает задача опреде- ления оптимальных значений параметра регуля- ризации и степени полинома в ходе решения об- ратной задачи. Для этого предлагается использо- вать критерий минимума нормы вектора невязки экспериментально полученных данных двухча- стотного зондирования )(),( 2010 oo  и восста- новленных значений удельной ЭПР ),,,( 10 jri c L ),,(0 jriL c L :  ,min 21  (22) где   ,),,()( 2 10101 jri co L  2    ,),,()( 2 020 jriL co L  i  1…M , j  1…ML – количество значений параметра регуляризации и степени полинома в некотором выбранном диапа- зоне соответственно. В выражении (22) восста- новленные значения удельной ЭПР ),,,( 10 jri c L ),,(0 jriL c L получены на основе решения пря- мой задачи (4) с использованием решения обрат- ной задачи ),(0 dN r  (19) при заданных значениях ri и jL . Использование критерия (22) позволяет определить оптимальные значения параметра регуляризации ri и степени полинома jL из за- данных диапазонов их изменения, которые опре- деляются на основе численного моделирования. 5. Численное моделирование восста- новления интенсивности дождя по результа- там двухчастотного зондирования. Рассмотрим ошибки восстановления интенсивности дождя для двухчастотного зондирования в результате решения регуляризированной СЛАУ (19) с ис- пользованием критерия (22). Для формирования экспериментально измеренных значений удельной ЭПР дождя )( 10 o , 0 2( )o  проводилось моделирование рас- сеяния путем решения прямой задачи (4) для ра- бочих длин волн o 1  0,82 см, 2 o  3,2 см и трех видов распределений капель по размерам (10)–(12). Полученные значения использовались для расче- та коэффициентов (16), (17), аппроксимирующих функции 0 ( ) ap  (13)–(15). Остальные параметры моделирования приведены в таблице. Параметры численного моделирования Параметр Значение Рабочие длины волн o 1  0,82 см, o 2  3,2 см Диапазон интенсивностей Im  1…30 мм/ч Распределение капель по размерам гамма-распределение (10); логнормальное распреде- ление (11); распределение Маршала– Пальмера (12) Диапазон изменения параметра регуляри- зации r  10–20…10–10 Диапазон изменения степени полинома в разложении функций p(, d) и N0(d) L  М  25…35 Как показали данные численного моде- лирования, наилучшие результаты соответствуют следующим диапазонам изменения регуляризи- рующего параметра и степени полинома: r  10 –20 …10 –10 и 1L  24…34. Результаты численного моделирования приведены на рис. 7, где показана зависимость ошибки восстановления I от заданной интен- сивности дождя mI для различных видов распре- делений капель по размерам: гамма-распре- деление – рис. 7, а, логнормальное распреде- ление – рис. 7, б, распределение Маршала– Пальмера – рис. 7, в. Как и на рис. 5 и 6, сплош- ные кривые соответствуют аппроксимации (15), пунктирные – аппроксимации (13), штриховые – аппроксимации (14). Очевидно, что максималь- ные ошибки восстановления интенсивности дождя соответствуют области малых интенсив- ностей (менее 3 мм/ч), для которых с точки зре- ния практического применения величина ошибки 50…60 % не играет определяющей роли. При этом для гамма-распределения, которое наиболее адекватно описывает распределение капель по размерам в реальных дождях, максимальная ошибка не превышает 20 % для интенсивности дождя I > 5 мм/ч. Однако предложенный критерий (22) не обеспечивает получение минимально возможной ошибки, хотя и обеспечивает достаточную для практики точность восстановления интенсив- ности < 20 % для интенсивностей более 5 мм/ч. В частности, на рис. 8 приведены результаты, аналогичные рис. 7, полученные исходя из мини- А. М. Линкова / Восстановление интенсивности дождя… _________________________________________________________________________________________________________________ 30 ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 мума погрешности восстановления интенсив- ности дождя, что возможно только на этапе моде- лирования (если известно истинное распределе- ние капель по размерам). а) б) в) Рис. 7. Графики зависимости ошибки восстановления от ин- тенсивности дождя согласно критерию (22) для различных распределений капель по размерам: а) гамма-распределение; б) логнормальное распределение; в) распределение Маршала– Пальмера Видно, что в выбранных диапазонах изме- нения параметра регуляризации ( r  10 –20 …10 –10 ) и степени полинома ( 1L  24…34) существуют их более приемлемые значения, для которых ошибка восстановления значительно ниже, чем полученная при использовании критерия выбора по минимуму нормы вектора невязки (22). а) б) в) Рис. 8. Графики зависимости ошибки восстановления интен- сивности от заданного значения интенсивности дождя: а) гамма-распределение; б) логнормальное распределение; в) распределение Маршала–Пальмера Также представляет интерес вопрос вы- бора аппроксимирующей функции (13)–(15) для свободного члена интегрального уравнения. Как показывает анализ, все три типа аппроксимиру- ющих функций приводят к сопоставимым резуль- татам, которые незначительно отличаются для разных интенсивностей и видов распределений. В целом, практически все исследованные аппрок- симации свободного члена интегрального урав- нения (4) обеспечивают погрешность восста- новления в пределах 20 % в диапазоне I  5…30 мм/ч, и 20…60 % – для интенсивностей I < 5 мм/ч. 0 5 10 15 20 25 Im, мм/ч 40 30 20 10 0  I ,  0 5 10 15 20 25 Im, мм/ч 25 20 15 10 5 0  I ,  0 5 10 15 20 25 Im, мм/ч 50 40 30 20 10 0  I ,  0 5 10 15 20 25 Im, мм/ч 0,3 0,02 0,01 0  I ,  0 5 10 15 20 25 Im, мм/ч 10 8 6 4 2 0  I ,  0 5 10 15 20 25 Im, мм/ч 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0  I ,  А. М. Линкова / Восстановление интенсивности дождя… _________________________________________________________________________________________________________________ ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 31 Выводы. Показано, что для различных распределений капель дождя по размерам зави- симость удельной ЭПР от рабочей длины волны монотонно спадает в области  > 8 мм и может быть аппроксимирована двухпараметрическими функциями, параметры которых можно опреде- лить с помощью двухчастотного зондирования. Использование аппроксимации частотной зависимости удельной ЭПР позволяет сформули- ровать метод решения интегрального уравнения рассеяния радиолокационных сигналов жидкими осадками для восстановления функции распреде- ления капель по размерам и интенсивности дождя. Проведенное численное моделирование показало, что ошибка восстановления интенсив- ности дождя зависит от вида аппроксимирующей функции, параметра регуляризации и степени полинома в разложении искомой функции рас- пределения. В связи с этим для выбора значений параметра регуляризации и степени полинома предложено использовать критерий минимума нормы вектора невязки между данными двухча- стотного зондирования и результатами восста- новления удельной ЭПР в ходе решения обратной задачи. Показано, что предложенный критерий хотя и не обеспечивает получение минимально возможной ошибки восстановления интенсив- ности, однако позволяет восстанавливать интен- сивность с погрешностью менее 20 % для интен- сивностей более 5 мм/ч, которые представляют наибольший практический интерес, и для всех рассмотренных аппроксимаций частотной зави- симости удельной ЭПР. Библиографический список 1. Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А., Михлин С. Г., Раковщик Л. С., Стеценко В. Я. Интеграль- ные уравнения. Москва: Наука, 1968. 448 с. 2. Розенберг В. И. Рассеяние и ослабление электромагнитно- го излучения атмосферными частицами. Ленинград: Гид- рометеоиздат, 1972. 3. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Не- корректные задачи математической физики и анализа. Москва: Наука, 1980. 285 с. 4. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. Москва: Наука, 1987. 5. Twomey S. Introduction to the mathematics of inversion in remote sensing and indirect measurements. New York: Dover Publ., Inc., 1996. 243 p. 6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некор- ректных задач. 2-е изд. Москва: Наука, 1979. 285 с. 7. Shifrin K. S., Zolotov I. G. Spectral attenuation and aerosol particle size distribution. Appl. Opt. 1996. Vol. 35, N 12. P. 2114–2124. 8. Walters P. T. Practical applications of inverting spectral tur- bidity data to provide aerosol size distribution. Appl. Opt. 1980. Vol. 19, N 14. P. 2353–2365. 9. Westwater E., Cohen A. Application of Backus-Gilbert inver- sion technique to determination of aerosol size distribution from optical scattering measurements. Appl. Opt. 1973. Vol. 12, N 6. P. 1340–1348. 10. Ben-David A., Herman B., Regan J. Inverse problem and the pseudoempirical orthogonal function method of solution. 1: Theory. Appl. Opt. 1988. Vol. 27, N 7. P. 1235–1243. 11. Koner P. K., Battaglia A., Simmer C. A Rain-Rate Retrieval Algorithm for Attenuated Radar Measurements. J. Appl. Meteor. Climatol. 2010. Vol. 49, N 3. P. 381–393. 12. Абшаев М. Т., Дадали Ю. А. О возможностях микро- структурных исследований облаков и осадков радиолока- ционными методами. Тр. Высокогорного геофизического ин-та. 1966. Вып. 5. С. 71–85. 13. Линкова А. М., Хлопов Г. И. Использование метода пере- бора микроструктурных параметров жидких осадков для решения обратных задач восстановления их интенсив- ности. Труды УкрНИГМИ. 2016. Вып. 269. С. 41–48. 14. Mardiana R., Iguchi T., Takahashi N. A dual-frequency rain profiling method without the use of a surface reference tech- nique. IEEE Trans. Geosc. and Remote Sens. 2004. Vol. 42, N 10. P. 2214–2225. 15. Степаненко В. Д. Радиолокация в метеорологии. Ленин- град: Гидрометеоиздат, 1973. 344 с. 16. Gunn R., Kinzer G.D. The terminal velocity of fall for water droplets in stagnant air. J. Meteorol. 1949. Vol. 6. P. 243–248. 17. Ван-де-Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами: пер. с англ. Москва: Изд-во иностр. лит., 1961. 536 с. 18. Айвазян Г. М. Распространение миллиметровых и суб- миллимитровых волн в облаках. Ленинград: Гидрометео- издат, 1991. 480 с. 19. Левин Л. М. Исследование по физике грубодисперсных аэрозолей. Москва: Изд-во АН СССР, 1961. 267 с. 20. Marshall J. S., Palmer W. M. The distribution of raindrops with size. J. Meteor. 1948. Vol. 5. P. 165–166. 21. Жданов А. И. Введение в методы решения некорректных задач: учебное пособие. Самара: Изд-во Самарского гос. аэрокосмического ун-та, 2006. 87 с. REFERENCES 1. Zabreyko, P. P., Koshelev, A. I., Krasnosel'skiy, M. A., Mi- khlin, S. G., Rakovshchik, L. S., Stetsenko, V. Ya., 1968. In- tegral equations. Мoscow: Nauka Publ. (in Russian). 2. Rozenberg, V. I., 1972. Scattering and attenuation of electro- magnetic radiation by atmospheric particles. Leningrad: Gidrometeoizdat Publ. (in Russian). 3. Lavrentiev, M. M., Romanov, V. G., Shishatskiy, S. P., 1980. Ill-posed problems of mathematical physics and analysis. Мoscow: Nauka Publ. (in Russian). 4. Morozov, V. А., 1987. Regular methods for solving the ill- posed problems. Мoscow: Nauka Publ. (in Russian). 5. Twomey, S., 1996. Introduction to the mathematics of inver- sion in remote sensing and indirect measurements. New York: Dover Publ. 6. Tikhonov, A. N., Arsenin, V. Ya., 1979. Methods for solving the ill-posed problems. 2nd ed. Мoscow: Nauka Publ. (in Rus- sian). 7. Shifrin, K. S., Zolotov, I. G., 1996. Spectral attenuation and aerosol particle size distribution. Appl. Opt., 35(12), pp. 2114– 2124. 8. Walters, P. T., 1980. Practical applications of inverting spec- tral turbidity data to provide aerosol size distribution. Appl. Opt., 19(14), pp. 2353–2365. 9. Westwater, E., Cohen, A., 1973. Application of Backus- Gilbert inversion technique to determination of aerosol size distribution from optical scattering measurements. Appl. Opt., 12(6), pp. 1340–1348. 10. Ben-David, A., Herman, B., Regan, J., 1988. Inverse problem and the pseudoempirical orthogonal function method of solu- tion. 1: Theory. Appl. Opt., 27(7), pp. 1235–1243. 11. Koner, P. K., Battaglia, A., Simmer, C., 2010. A Rain-Rate Retrieval Algorithm for Attenuated Radar Measurements. J. Appl. Meteor. Climatol., 49(3), pp. 381–393. 12. Abshaev, M. T., Dadali, Yu. A., 1966. About the possibilities of microstructural studies of clouds and precipitation by radar http://library.univer.kharkov.ua/OpacUnicode/index.php?url=/notices/index/IdNotice:87762/Source:default http://library.univer.kharkov.ua/OpacUnicode/index.php?url=/notices/index/IdNotice:87762/Source:default http://library.univer.kharkov.ua/OpacUnicode/index.php?url=/editeurs/view/id:104/source:default http://library.univer.kharkov.ua/OpacUnicode/index.php?url=/editeurs/view/id:104/source:default http://www.libex.ru/?cat_author=%CB%E0%E2%F0%E5%ED%F2%FC%E5%E2,%20%CC.%CC.&author_key=203 http://www.libex.ru/?cat_author=%D0%EE%EC%E0%ED%EE%E2,%20%C2.%C3.&author_key=208 http://www.libex.ru/?cat_author=%D8%E8%F8%E0%F2%F1%EA%E8%E9,%20%D1.%CF.&author_key=216 А. М. Линкова / Восстановление интенсивности дождя… _________________________________________________________________________________________________________________ 32 ISSN 1028821X. Радіофізика та електроніка. 2017. Т. 22. № 3 methods. Trudy Vysokogornogo geophisicheskogo Instituta, 5, pp. 71–85 (in Russian). 13. Linkova, A. M., Khlopov, G. I., 2016. Use of the exhaustive search of microstructure parameters of liquid precipitation for solving the inverse problems of recovering their intensity. Naukovi praci Ukrai'ns'kogo gidrometeorologichnogo insty- tutu, 269, pp. 41–48 (in Russian). 14. Mardiana, R., Iguchi, T., Takahashi, N., 2004. A dual- frequency rain profiling method without the use of a surface reference technique. IEEE Trans. Geosci. Remote Sens., 42(10), pp. 2214–2225. 15. Stepanenko, V. D., 1973. Radiolocation in meteorology. Lenin- grad: Gidrometeoizdat Publ. (in Russian). 16. Gunn, R., Kinzer, G. D., 1949. The terminal velocity of fall for water droplets in stagnant air. J. Meteor., 6(4), pp. 243–248. 17. Van de Hulst, H. C., 1961. Light scattering by small particles. Translated and ed. from English by T. V. Vodop'yanova. Moscow: Inostrannaya literatura Publ. (in Russian). 18. Aivazyan, G. M., 1991. Propagation of millimeter and submil- limeter waves in clouds. Leningrad: Gidrometeoizdat Publ. (in Russian). 19. Levin, L. M., 1961. A study on the physics of coarsely dis- persed aerosols. Мoscow: AN SSSR Publ. (in Russian). 20. Marshall, J. S., Palmer, W. M., 1948. The distribution of raindrops with size. J. Meteor., 5, pp. 165–166. 21. Zhdanov, A. I., 2006. Introduction to the methods of solving the ill-posed problems: a tutorial. Samara: Izdatelsrvo Samar- skogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta (in Russian). Рукопись поступила 22.08.2017. A. M. Linkova RETRIEVAL OF RAIN INTENSITY BY SOLUTION OF INTEGRAL EQUATION OF SCATTERING IN THE CASE OF DOUBLE FREQUENCY SENSING Measurement of precipitation amount is of great inte- rest for solution of many practical problems of national economy and agriculture. In this case, the inverse problem of recovering the rain intensity using radar methods is an incorrect problem of mathe- matical physics and is described by a nonlinear integral equation. An approach for solving the integral equation of the electromag- netic waves scattering by a polydisperse medium of water drops is considered by means of double frequency remote sensing in the microwave range. Numerical simulation for retrieval of rain inten- sity in the range of 1…30 mm/h is performed for operating wave- lengths 0.82 and 3.2 cm. It is shown that the proposed approach permits to retrieve the rain intensity with an error less than 20 % for intensities > 5 mm/h and with an error up to 60 % for light rains (less than 5 mm/h). Key words: rain intensity, radar, double frequency sensing, радар, двухчастотное зондирование, Fredholm integral equation of the first kind, Tikhonov regularization. Г. М. Лінкова ВІДНОВЛЕННЯ ІНТЕНСИВНОСТІ ДОЩУ ШЛЯХОМ РОЗВ’ЯЗАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО РІВНЯННЯ РОЗСІЮВАННЯ ПРИ ДВОЧАСТОТНОМУ ЗОНДУВАННІ Вимірювання кількості опадів становить значний інтерес для вирішення багатьох практичних завдань. Обернена задача відновлення інтенсивності дощу за допомогою радіо- локаційних методів належить до некоректних задач матема- тичної фізики й описується нелінійним інтегральним рівнян- ням. У роботі розглядається підхід до розв’язання інтеграль- ного рівняння розсіювання електромагнітних хвиль полідис- персним середовищем водних крапель за допомогою двочас- тотного зондування у НВЧ-діапазоні. Проведено числове моделювання відновлення інтенсивності дощу в діапазоні 1…30 мм/год для робочих довжин хвиль 0,82 і 3,2 см. Показа- но, що запропонований підхід дозволяє відновлювати інтен- сивність дощу з похибкою менше 20 % для інтенсивності більше 5 мм/год та 60 % для слабких дощів (менше 5 мм/год). Ключові слова: інтенсивність дощу, радар, двочас- тотне зондування, інтегральне рівняння Фредгольма 1-го роду, регуляризація Тихонова.

Восстановление интенсивности дождя путем решения интегрального уравнения рассеяния при двухчастотном зондировании

Репозитарії

Схожі ресурси