Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде
Исследованы нелинейные сдвиговые волны в двумерных системах (в частности, поверхностные волны) при учете пространственной дисперсии упругой среды. Показано, что дисперсия играет важную роль в структурной и модуляционной устойчивости нелинейных волн, в значительной мере определяет направления локализ...
Gespeichert in:
| Datum: | 2002 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2002
|
| Schriftenreihe: | Физика низких температур |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/130223 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде / А.С. Ковалев, Е.С. Сыркин, Ж.А. Можен // Физика низких температур. — 2002. — Т. 28, № 6. — С. 635-647. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-130223 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1302232018-02-10T03:04:19Z Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде Ковалев, А.С. Сыркин, Е.С. Можен, Ж.А. Динамика кристаллической решетки Исследованы нелинейные сдвиговые волны в двумерных системах (в частности, поверхностные волны) при учете пространственной дисперсии упругой среды. Показано, что дисперсия играет важную роль в структурной и модуляционной устойчивости нелинейных волн, в значительной мере определяет направления локализации фононов в нелинейной локализованной волне и, в частности, возможность существования упругих поверхностных солитонов. С помощью асимптотической процедуры найдены решения для малоамплитудных двумерных упругих сдвиговых однопараметрических солитонов стационарного профиля и солитонов огибающей, а также для поверхностных солитонов, локализованных вблизи идеальной поверхности упругого полупространства. Такие локализованные возбуждения возможны лишь в среде с "фокусирующей" (мягкой) нелинейностью и положительной дисперсией ∂²ω/∂k² > 0, где ω(k) - закон дисперсии линейных волн. Предложена процедура нахождения решений для поверхностных солитонов огибающей, локализованных у поверхности, покрытой слоем другого вещества. Проведено сравнение структуры поверхностных сдвиговых солитонов у идеальной поверхности и поверхности с пленочным покрытием. Nonlinear shear waves in two-dimensional systems (in particular, surface waves) are investigated with allowance for the spatial dispersion of the elastic medium. It is shown that the dispersion plays an important role in the structural and modulational stability of the nonlinear waves and to a large degree determines the directions of localization of phonons in a nonlinear localized wave and, in particular, the possibility of existence of elastic surface solitons. By means of an asymptotic procedure, solutions are found for small-amplitude two-dimensional elastic shear solitons of the one-parameter stationary-profile type and for envelope solitons and also for surface solitons localized near an ideal surface of an elastic half space. Localized excitations of this kind can exist only in a medium with a “focusing” (soft) nonlinearity and positive dispersion ∂²ω/∂k²>0, where ω(k) is the dispersion relation for linear waves. A procedure is proposed for finding solutions for surface envelope solitons localized near a surface covered with a layer of another substance. A comparison is made between the structures of the surface shear solitons at an ideal surface and at a surface with a film coating. 2002 Article Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде / А.С. Ковалев, Е.С. Сыркин, Ж.А. Можен // Физика низких температур. — 2002. — Т. 28, № 6. — С. 635-647. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 43.95.+y, 68.35.-p http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/130223 ru Физика низких температур Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки |
| spellingShingle |
Динамика кристаллической решетки Динамика кристаллической решетки Ковалев, А.С. Сыркин, Е.С. Можен, Ж.А. Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде Физика низких температур |
| description |
Исследованы нелинейные сдвиговые волны в двумерных системах (в частности, поверхностные волны) при учете пространственной дисперсии упругой среды. Показано, что дисперсия играет важную роль в структурной и модуляционной устойчивости нелинейных волн, в значительной мере определяет направления локализации фононов в нелинейной локализованной волне и, в частности, возможность существования упругих поверхностных солитонов. С помощью асимптотической процедуры найдены решения для малоамплитудных двумерных упругих сдвиговых однопараметрических солитонов стационарного профиля и солитонов огибающей, а также для поверхностных солитонов, локализованных вблизи идеальной поверхности упругого полупространства. Такие локализованные возбуждения возможны лишь в среде с "фокусирующей" (мягкой) нелинейностью и положительной дисперсией ∂²ω/∂k² > 0, где ω(k) - закон дисперсии линейных волн. Предложена процедура нахождения решений для поверхностных солитонов огибающей, локализованных у поверхности, покрытой слоем другого вещества. Проведено сравнение структуры поверхностных сдвиговых солитонов у идеальной поверхности и поверхности с пленочным покрытием. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.С. Сыркин, Е.С. Можен, Ж.А. |
| author_facet |
Ковалев, А.С. Сыркин, Е.С. Можен, Ж.А. |
| author_sort |
Ковалев, А.С. |
| title |
Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде |
| title_short |
Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде |
| title_full |
Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде |
| title_fullStr |
Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде |
| title_full_unstemmed |
Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде |
| title_sort |
многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2002 |
| topic_facet |
Динамика кристаллической решетки |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/130223 |
| citation_txt |
Многомерные и поверхностные солитоны в нелинейной упругой среде / А.С. Ковалев, Е.С. Сыркин, Ж.А. Можен // Физика низких температур. — 2002. — Т. 28, № 6. — С. 635-647. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. |
| series |
Физика низких температур |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevas mnogomernyeipoverhnostnyesolitonyvnelinejnojuprugojsrede AT syrkines mnogomernyeipoverhnostnyesolitonyvnelinejnojuprugojsrede AT moženža mnogomernyeipoverhnostnyesolitonyvnelinejnojuprugojsrede |
| first_indexed |
2025-07-09T13:05:40Z |
| last_indexed |
2025-07-09T13:05:40Z |
| _version_ |
1837174717990043648 |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6, ñ. 635–647
Ìíîãîìåðíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû â
íåëèíåéíîé óïðóãîé ñðåäå
À. Ñ. Êîâàëåâ, Å. Ñ. Ñûðêèí
Ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò íèçêèõ òåìïåðàòóð èì. Á. È. Âåðêèíà ÍÀÍ Óêðàèíû
ïð. Ëåíèíà, 47, ã. Õàðüêîâ, 61103, Óêðàèíà
E-mail: kovalev@ilt.kharkov.ua
Æ. À. Ìîæåí
Laboratoire de Modelisation en Mecanique, Universite Pierre et Marie Curie
Paris, 75253, France
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 31 ÿíâàðÿ 2002 ã., ïîñëå ïåðåðàáîòêè 11 ôåâðàëÿ 2002 ã.
Èññëåäîâàíû íåëèíåéíûå ñäâèãîâûå âîëíû â äâóìåðíûõ ñèñòåìàõ (â ÷àñòíîñòè, ïî-
âåðõíîñòíûå âîëíû) ïðè ó÷åòå ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè óïðóãîé ñðåäû. Ïîêàçàíî, ÷òî
äèñïåðñèÿ èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ñòðóêòóðíîé è ìîäóëÿöèîííîé óñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíûõ
âîëí, â çíà÷èòåëüíîé ìåðå îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèÿ ëîêàëèçàöèè ôîíîíîâ â íåëèíåéíîé
ëîêàëèçîâàííîé âîëíå è, â ÷àñòíîñòè, âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ óïðóãèõ ïîâåðõíîñò-
íûõ ñîëèòîíîâ. Ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêîé ïðîöåäóðû íàéäåíû ðåøåíèÿ äëÿ ìàëîàì-
ïëèòóäíûõ äâóìåðíûõ óïðóãèõ ñäâèãîâûõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ ñòàöèîíàðíîãî
ïðîôèëÿ è ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé, à òàêæå äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ, ëîêàëèçîâàííûõ
âáëèçè èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà. Òàêèå ëîêàëèçîâàííûå âîçáó-
æäåíèÿ âîçìîæíû ëèøü â ñðåäå ñ «ôîêóñèðóþùåé» (ìÿãêîé) íåëèíåéíîñòüþ è ïîëîæè-
òåëüíîé äèñïåðñèåé � � �2 2 0�/ k , ãäå �( )k — çàêîí äèñïåðñèè ëèíåéíûõ âîëí. Ïðåäëîæåíà
ïðîöåäóðà íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé, ëîêàëèçîâàí-
íûõ ó ïîâåðõíîñòè, ïîêðûòîé ñëîåì äðóãîãî âåùåñòâà. Ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ñòðóêòóðû
ïîâåðõíîñòíûõ ñäâèãîâûõ ñîëèòîíîâ ó èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè è ïîâåðõíîñòè ñ ïëåíî÷íûì
ïîêðûòèåì.
Äîñë³äæåíî íåë³í³éí³ çñóâí³ õâèë³ â äâîâèì³ðíèõ ñèñòåìàõ (çîêðåìà, ïîâåðõíåâ³ õâè-
ë³) ïðè óðàõóâàíí³ ïðîñòîðîâî¿ äèñïåðñ³¿ ïðóæíîãî ñåðåäîâèùà. Ïîêàçàíî, ùî äèñïåðñ³ÿ
â³ä³ãðຠâàæëèâó ðîëü ó ñòðóêòóðí³é òà ìîäóëÿö³éí³é ñò³éêîñò³ íåë³í³éíèõ õâèëü, â
çíà÷í³é ì³ð³ âèçíà÷ຠíàïðÿìêè ëîêàë³çàö³¿ ôîíîí³â â íåë³í³éí³é ëîêàë³çîâàí³é õâèë³ ³,
çîêðåìà, ìîæëèâ³ñòü ³ñíóâàííÿ ïðóæíèõ ïîâåðõíåâèõ ñîë³òîí³â. Çà äîïîìîãîþ àñèìï-
òîò³éíî¿ ïðîöåäóðè çíàéäåíî ðîçâ’ÿçêè äëÿ ìàëîàìïë³òóäíèõ äâîâèì³ðíèõ ïðóæíèõ çñóâ-
íèõ îäíîïàðàìåòð³éíèõ ñîë³òîí³â ñòàö³îíàðíîãî ïðîô³ëþ òà ñîë³òîí³â îãèíàþ÷î¿, à òàêîæ
äëÿ ïîâåðõíåâèõ ñîë³òîí³â, ÿê³ ëîêàë³çîâàí³ ïîáëèçó ³äåàëüíî¿ ïîâåðõí³ ïðóæíîãî
íàï³âïðîñòîðó. Òàê³ ëîêàë³çîâàí³ çáóäæåííÿ ìîæëèâ³ ëèøå â ñåðåäîâèù³ ç «ôîêóñóþ÷îþ»
(ì’ÿêîþ) íåë³í³éí³ñòþ òà ïîçèòèâíîþ äèñïåðñ³ºþ � � �2 2 0�/ k , äå �( )k — çàêîí äèñïåðñ³¿
ë³í³éíèõ õâèëü. Çàïðîïîíîâàíî ïðîöåäóðó çíàõîäæåííÿ ðîçâ’ÿçê³â äëÿ ïîâåðõíåâèõ ñî-
ë³òîí³â îãèíàþ÷î¿, ëîêàë³çîâàíèõ á³ëÿ ïîâåðõí³, ùî âêðèòà øàðîì ³íøî¿ ðå÷îâèíè. Ïðîâå-
äåíî ïîð³âíÿííÿ ñòðóêòóðè ïîâåðõíåâèõ çñóâíèõ ñîë³òîí³â á³ëÿ ³äåàëüíî¿ ïîâåðõí³ òà ïî-
âåðõí³, ùî ïîêðèòà ïë³âêîþ.
PACS: 43.95.+y, 68.35.–p
 ïîñëåäíåå âðåìÿ â ñâÿçè ñ îáùèì èíòåíñèâ-
íûì ðàçâèòèåì ôèçèêè íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé âîç-
ðîñ èíòåðåñ ê íåëèíåéíûì óïðóãèì ïîâåðõíîñò-
íûì âîëíàì [1–17]. Âñëåäñòâèå êîíöåíòðàöèè
© À. Ñ. Êîâàëåâ, Å. Ñ. Ñûðêèí, Æ. À. Ìîæåí, 2002
ýíåðãèè â ïîâåðõíîñòíîé âîëíå â òîíêîì ïðèïî-
âåðõíîñòíîì ñëîå âëèÿíèå àíãàðìîíè÷íîñòè êðè-
ñòàëëà íà ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòíûõ âîëí ñóùåñò-
âåííî ñèëüíåå, ÷åì íà ñâîéñòâà îáúåìíûõ âîëí.
Íåëèíåéíûå ñâîéñòâà ïîâåðõíîñòíûõ âîëí íàáëþ-
äàëèñü ýêñïåðèìåíòàëüíî â áîëüøîì ÷èñëå ðàáîò
[12–14,18–20]. Ïåðâûì ÿðêèì ñâèäåòåëüñòâîì íå-
ëèíåéíîñòè ïîâåðõíîñòíûõ óïðóãèõ âîëí ñòàëî
îáíàðóæåíèå ãåíåðàöèè âûñøèõ ãàðìîíèê â ïî-
âåðõíîñòíîé âîëíå ó èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè ïðè
âîçáóæäåíèè íà÷àëüíîãî ïåðèîäè÷åñêîãî ñèíóñîè-
äàëüíîãî ñèãíàëà [18–20]. Íàáëþäàåìàÿ íåëèíåé-
íàÿ âîëíà íîñèëà íåñòàöèîíàðíûé õàðàêòåð, îáó-
ñëîâëåííûé ñëàáîé äèñïåðñèåé ýòîé âîëíû. Â
íàñòîÿùåå âðåìÿ â òåîðèè íåëèíåéíûõ âîëí õîðî-
øî èçâåñòíî, ÷òî ñòàöèîíàðíûå íåëèíåéíûå âîëíû
è ñîëèòîíû âîçìîæíû ëèøü ïðè íàëè÷èè êîíêó-
ðèðóþùèõ ôàêòîðîâ: íåëèíåéíîñòè ñðåäû è äèñ-
ïåðñèè ëèíåéíûõ âîëí [21]. Äåéñòâèòåëüíî,
ýêñïåðèìåíòû ñ íåëèíåéíûìè ïîâåðõíîñòíûìè
âîëíàìè Ëÿâà ó ïîâåðõíîñòè, ïîêðûòîé òîíêîé
ïëåíêîé [14], ïðîäåìîíñòðèðîâàëè âîçìîæíîñòü
ñóùåñòâîâàíèÿ íåëèíåéíûõ âîëí ñòàöèîíàðíîãî
ïðîôèëÿ. (Ïîêðûâàþùàÿ ïëåíêà ïðèâîäèò ê ñó-
ùåñòâåííîìó óâåëè÷åíèþ äèñïåðñèè ëèíåéíûõ ïî-
âåðõíîñòíûõ âîëí.) Òåîðåòè÷åñêè âîïðîñ î íåëè-
íåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëíàõ, â ïðîñòåéøåì
ñëó÷àå ÷èñòî ñäâèãîâûõ âîëí ó èäåàëüíîé ïîâåðõ-
íîñòè, áûë ðàññìîòðåí â [2]. Íåêîòîðûå êîíêðåò-
íûå âîïðîñû äèíàìèêè òàêèõ âîëí â ýòîé ìîäåëè
èçó÷àëè â [3–5]. Îäíàêî àâòîðû [2–5] ïðåíåáðå-
ãàëè ó÷åòîì ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè óïðóãèõ
âîëí. Ïîçæå â ðàáîòàõ [6,7] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî
äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ
âîëí ó÷åò ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè ÿâëÿåòñÿ
âåñüìà ñóùåñòâåííûì. Äëÿ òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæå-
íèé íåëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí (ÍÏÂ) âàæ-
íà âîçìîæíîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ óñòîé÷èâûõ ñëà-
áîçàòóõàþùèõ èìïóëüñîâ èëè âîëíîâûõ ïàêåòîâ
ÍÏÂ. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ïîäîáíûìè ñâîéñòâà-
ìè îáëàäàþò äèíàìè÷åñêèå ñîëèòîíû [21] . Âïåð-
âûå âîçìîæíîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïîâåðõíîñòíûõ
óïðóãèõ ñäâèãîâûõ ñîëèòîíîâ ðàññìîòðåíà â [8,9],
òàêèå ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû òàêæå îáñóæäà-
ëèñü â [10,11,15]. Îäíàêî àâòîðû óêàçàííûõ ñòà-
òåé èññëåäîâàëè ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû, ðàñïðî-
ñòðàíÿþùèåñÿ âäîëü ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî
ïîëóïðîñòðàíñòâà, ïîêðûòîãî ñëîåì áîëåå ìÿãêîãî
ìàòåðèàëà.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìîòðåíà âîçìîæíîñòü
ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðóãèõ ïîâåðõíîñòíûõ ñäâèãî-
âûõ ñîëèòîíîâ âáëèçè èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè
êðèñòàëëà è ïîêàçàíî, ÷òî îíè èìåþò ïðèíöèïè-
àëüíî äðóãîé âèä, ÷åì ñîëèòîíû ó ïîâåðõíîñòè,
ïîêðûòîé ïëåíêîé, è ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ëèøü
ïðè âïîëíå îïðåäåëåííîé êîìáèíàöèè çíàêîâ íå-
ëèíåéíîñòè è äèñïåðñèè ñðåäû.
Îáñóæäàåìûé âîïðîñ èìååò òàêæå ïðèíöèïè-
àëüíîå çíà÷åíèå äëÿ îáùåé òåîðèè ðàñïðîñò-
ðàíåíèÿ ìíîãîìåðíûõ ñîëèòîíîâ, ïîñêîëüêó ñó-
ùåñòâóåò ñâÿçü ìåæäó ïðîáëåìîé ñîëèòîíîâ â
íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå è íåëèíåéíûìè ïîâåðõ-
íîñòíûìè âîëíàìè è ïîâåðõíîñòíûìè ñîëèòîíà-
ìè â ïîëóîãðàíè÷åííîé ñðåäå ñ èäåàëüíîé ñâîáîä-
íîé ãðàíèöåé. Íåëèíåéíàÿ ïîâåðõíîñòíàÿ âîëíà
ïðåäñòàâëÿò ñîáîé «ïîëîâèíó» íåëèíåéíîé âîë-
íû, ëîêàëèçîâàííîé â íåîãðàíè÷åííîé ñðåäå â
íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèþ
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýòîé âîëíû. Â ýòîì ñìûñëå ïî-
âåðõíîñòíûé ñîëèòîí ýêâèâàëåíòåí «ïîëîâèíå»
òðåõìåðíîãî ñîëèòîíà, ëîêàëèçîâàííîãî âî âñåõ
òðåõ íàïðàâëåíèÿõ, à ïðîáëåìà íåëèíåéíîé ïî-
âåðõíîñòíîé ëîêàëèçàöèè ïîäîáíà çàäà÷å î íåëè-
íåéíîé ôîêóñèðîâêå ôîíîíîâ.
Ïðîáëåìà ëîêàëèçàöèè íåëèíåéíûõ àêóñòè÷å-
ñêèõ âîëí â ìíîãîìåðíîé ñðåäå ïðèíöèïèàëüíà è
íåòðèâèàëüíà. Äî ñèõ ïîð ìíîãîìåðíûå ñîëèòîíû
èññëåäîâàëè ãëàâíûì îáðàçîì â ñèñòåìàõ ñ ñèëü-
íîé ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé (íàïðèìåð, â
ìàãíèòîóïîðÿäî÷åííûõ ñðåäàõ ñ àíèçîòðîïèåé
òèïà îñü ëåãêîãî íàìàãíè÷èâàíèÿ [22], ò.å. â ñëó-
÷àå, êîãäà äèñïåðñèÿ D k / k� � �2
0
2� ( ) îòëè÷íà îò
íóëÿ äàæå â ïðåäåëå k � 0 (ãäå k — âîëíîâîå ÷èñ-
ëî ëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé, �0( )k — ÷àñòîòà ëè-
íåéíîé âîëíû è � �� 0( )k — çàêîí äèñïåðñèè ëè-
íåéíûõ âîëí).  ýòîì ñëó÷àå ïðè íóëåâîé
ãðóïïîâîé ñêîðîñòè V k / k� � ��0( ) ïðè k � 0 âîç-
íèêàåò âîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ íåïîäâèæíûõ
ìíîãîìåðíûõ ðàäèàëüíî ñèììåòðè÷íûõ ñîëèòî-
íîâ. Ïðè äâèæåíèè ñîëèòîíà ïðîèñõîäèò ëèøü
åãî äåôîðìàöèÿ â íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ.
Îäíàêî â íåëèíåéíûõ ñðåäàõ ñ àêóñòè÷åñêèì çà-
êîíîì äèñïåðñèè (íåëèíåéíàÿ óïðóãàÿ ñðåäà èëè
ìàãíåòèê ñ ëåãêîïëîñêîñòíîé àíèçîòðîïèåé), â
êîòîðûõ â ïðåäåëå ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñåë
(k� 0) äèñïåðñèÿ îòñóòñòâóåò (D � 0), à ãðóïïî-
âàÿ ñêîðîñòü îñòàåòñÿ êîíå÷íîé, ñèòóàöèÿ â êîðíå
îòëè÷íà. ( ñëó÷àå íåëèíåéíîé âîëíû îáû÷íî
ââîäÿò «íåëèíåéíûé çàêîí äèñïåðñèè»
� �� ( , )k A [21], ãäå A — àìïëèòóäà âîëíû.
Ïðè ýòîì äèñïåðñèåé íàçûâàþò âåëè÷èíó D �
� � � �
2 2
0�( , ) |k A / k A .) Âñëåäñòâèå äâèæåíèÿ ôî-
íîíîâ â îïðåäåëåííîì íàïðàâëåíèè ñ íåíóëåâîé
ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ ýòî è äâà ïåðïåíäèêóëÿð-
íûõ åìó íàïðàâëåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ íåýêâèâàëåíò-
íûìè (ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè çàäà÷è)
äëÿ îáðàçîâàíèÿ ñîëèòîíîâ, è óñëîâèÿ ëîêàëèçà-
öèè íåëèíåéíîé âîëíû (à òàêæå óñëîâèÿ åå óñ-
636 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6
À. Ñ. Êîâàëåâ, Å. Ñ. Ñûðêèí, Æ. À. Ìîæåí
òîé÷èâîñòè) âäîëü ðàçëè÷íûõ êîîðäèíàò òàêæå
ñòàíîâÿòñÿ ðàçëè÷íûìè. Ýòè óñëîâèÿ îïðåäåëÿ-
þòñÿ çíàêàìè äèñïåðñèè D è íåëèíåéíîñòè, êîòî-
ðàÿ â äàëüíåéøåì õàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðàìåòðîì
N k A)/ A� � ��( , 2 [21]. Ïðè ðàçíûõ ñîîòíîøåíè-
ÿõ çíàêîâ ïàðàìåòðîâ D è N âîçìîæíà ëîêàëèçà-
öèÿ ïîòîêà ôîíîíîâ â íàïðàâëåíèè èõ ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíî åìó (íåëèíåéíîå êà-
íàëèðîâàíèå ôîíîíîâ), à òàêæå âî âñåõ òðåõ
íàïðàâëåíèÿõ.
1. Íåëèíåéíûå âîëíû â àíãàðìîíè÷åñêîé
öåïî÷êå è ìíîãîìåðíîé ñðåäå
Òðàäèöèîííî íåëèíåéíóþ äèíàìèêó óïðóãèõ
ñèñòåì èçó÷àëè íà ïðèìåðå îäíîìåðíûõ àíãàðìî-
íè÷åñêèõ öåïî÷åê. Ðàññìàòðèâàåìûì íèæå ÷èñòî
ñäâèãîâûì âîëíàì â òðåõìåðíîé ñðåäå â ñëó÷àå,
êîãäà ñìåùåíèÿ â âîëíå çàâèñÿò ëèøü îò îäíîé
ïðîñòðàíñòâåííîé êîîðäèíàòû ( )x , îòâå÷àåò òàê
íàçûâàåìàÿ îäíîìåðíàÿ �-ìîäåëü Ôåðìè–Ïàñ-
òà–Óëàìà, êîòîðàÿ â äëèííîâîëíîâîì ïðåäåëå
îïèñûâàåòñÿ ìîäèôèöèðîâàííûì óðàâíåíèåì
Áóññèíåñêà [21]:
mu a u a u a u utt xx xxxx x xx� � �� � �2 4 4 2 , (1)
ãäå m — ìàññà àòîìà, a — ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè,
� — õàðàêòåðèñòèêà ãàðìîíè÷åñêîãî ìåæ÷àñòè÷-
íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, � — êîíñòàíòà àíãàðìîíè-
÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ áëèæàéøèõ ñîñåäåé è
u — ïîïåðå÷íîå ñìåùåíèå àòîìà èç ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ. Âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè (1)
îïèñûâàåò äèñïåðñèþ ëèíåéíûõ âîëí è îïðå-
äåëÿåò çíàê ïàðàìåòðà D. Îáû÷íî äèñïåðñèÿ
D a k/ m
�3 3� ïðåäïîëàãàåòñÿ îòðèöàòåëüíîé
( , ) � �0 0D .  ÷àñòíîñòè, ïðè ó÷åòå òîëüêî öåí-
òðàëüíûõ ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ áëèæàéøèõ ñîñå-
äåé � � �0 1 12 0/ . Îäíàêî ïðè ó÷åòå èçãèáíîé
æåñòêîñòè îäíîìåðíîé öåïî÷êè èëè ó÷åòå âîç-
ìîæíîé ñëîèñòîñòè ðåàëüíîãî òðåõìåðíîãî êðè-
ñòàëëà äèñïåðñèÿ ìîæåò áûòü è ïîëîæèòåëüíîé
( , )D � �0 0 . Ïðèìåðàìè ìîãóò ñëóæèòü Nb Sn,3
Hg ,MoS ,MoSe203
2 2 [26]. Âàæíûì ÿâëÿåòñÿ âû-
áîð çíàêà ïàðàìåòðà � ïðè àíãàðìîíè÷åñêîì
ñëàãàåìîì. Àâòîðû [2–6] âûáèðàëè ïàðàìåòð �
îòðèöàòåëüíûì, ÷òî âûãëÿäèò åñòåñòâåííûì äëÿ
ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèé. Îäíàêî â ðàáîòàõ [10,11]
âûáèðàëàñü ïîëîæèòåëüíàÿ íåëèíåéíîñòü (� � 0),
ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàåìàÿ â îáðàçöàõ
LiNbO3, â êîòîðûõ òàêîé çíàê �, ïî-âèäèìîìó,
ñâÿçàí ñ ñèëüíûì ïüåçîýëåêòðè÷åñêèì ýôôåêòîì.
Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðå÷ü èäåò îá àíãàðìî-
íèçìàõ òðåõìåðíûõ êðèñòàëëîâ. Ïðè èññëåäîâà-
íèè ñîëèòîííûõ âîçáóæäåíèé â àíãàðìîíè÷åñêèõ
öåïî÷êàõ îáû÷íî âûáèðàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûé
çíàê íåëèíåéíîãî ñëàãàåìîãî ( )� � 0 ïðè îòðè-
öàòåëüíîé äèñïåðñèè ( � 0). Îäíàêî â îáùåì
ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêè áîëåå îïðàâ-
äàííûì (âî âñÿêîì ñëó÷àå äëÿ ïðîñòûõ àíãàðìî-
íè÷åñêèõ óïðóãèõ ñðåä) âûáîð îòðèöàòåëüíîé
(ìÿãêîé) íåëèíåéíîñòè ñ � � 0, ÷òî ñëåäóåò èç íó-
ëåâûõ àñèìïòîòèê ïîòåíöèàëà ìåæ÷àñòè÷íîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ.
Ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ìàñøòàáîâ êîîð-
äèíàòû, âðåìåíè è ñìåùåíèé [ ] ,x a� [ ] ,t a/ c�
[ ] | |/u � � � , ãäå c a m� �
— ñêîðîñòü çâóêà,
ëåãêî ïåðåïèñàòü (1) â áåçðàçìåðíîì âèäå:
u u u u utt xx xxxx x xx� � � � 2 , (2)
Ãäå � �� sgn ( ) — çíàêîâàÿ ôóíêöèÿ ( ).� � �1
 ëèíåéíîì ïðåäåëå ñïåêòð âîëí âèäà
u A kx t� �sin ( )� èìååò âèä � 0
2 2 4( )k k k� � ñ
ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ V k /
�1 3 22 è äèñïåðñèåé
D k
�3 â ïðåäåëå ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñåë k� 0.
Äëÿ ñëàáîíåëèíåéíûõ âîëí çàêîí äèñïåðñèè ìî-
äåðíèçèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì [21]:
� �
�
2 2 4 4 2
3
4
3 8
( ) ,
, .
k k k k A /
D k N k /
� � �
�
(3)
Ñëåäîâàòåëüíî, çíàê íåëèíåéíîñòè N îïðåäåëÿåò-
ñÿ çíàêîì ïàðàìåòðà �: sgn sgnN � �.
Ïî âèäó «íåëèíåéíîãî çàêîíà äèñïåðñèè» (3)
ìîæíî ñóäèòü îá óñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíûõ ïå-
ðèîäè÷åñêèõ âîëí ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ. Ñî-
ãëàñíî êðèòåðèÿ Ëàéòõèëëà [23], îäíîìåðíûå íå-
ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâåííî ïåðèîäè÷åñêèå âîëíû
ïîñòîÿííîé àìïëèòóäû ìîäóëÿöèîííî íåóñòîé÷è-
âû ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà DN � 0, ò.å.
� � 0. Ðàçâèòèå ýòîé íåóñòîé÷èâîñòè ïðèâîäèò ê
îáðàçîâàíèþ äèíàìè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé.
Ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Áóññèíåñêà (2)
íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ èíòåãðèðóåìûì, è îáû÷íî
îáñóæäàþòñÿ ëèøü åãî òî÷íûå ðåøåíèÿ äëÿ îä-
íîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ ñòàöèîíàðíîãî
ïðîôèëÿ âèäà u u x Vt� �( ), çàâèñÿùèõ ëèøü îò
îäíîãî ïàðàìåòðà — ñêîðîñòè ñîëèòîíà V. Äå-
ôîðìàöèÿ â òàêîì íåëèíåéíîì âîçáóæäåíèè èìå-
åò ñòàíäàðòíûé ñîëèòîííûé âèä [21] :
w
u
x
V )/
V / x Vt
�
�
�
�
�
� ��
��
�
��
6 1
1
2
2
(
( ) ( )
�
ch
. (4)
Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèå ñîëèòîíû ñóùåñòâóþò òîëü-
êî ïðè âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèé
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6 637
Ìíîãîìåðíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû â íåëèíåéíîé óïðóãîé ñðåäå
�� � �0 0 1, , V
èëè (5)
�� � �0 0 1, , ,V
ò.å. ïðè � � 0, ÷òî ñîãëàñóåòñÿ ñ êðèòåðèåì Ëàéò-
õèëëà.
Áîëåå ñëîæíûå ðåøåíèÿ òèïà äâóõïàðàìåòðè-
÷åñêèõ ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé (áðèçåðîâ) ìîæíî
ïîëó÷èòü ëèøü ïðèáëèæåííî â ïðåäåëå èõ ìàëîé
àìïëèòóäû ñ ïîìîùüþ òîé èëè èíîé àñèìïòîòè÷å-
ñêîé ïðîöåäóðû (ñì., íàïðèìåð, [8]). Íàì ïðåä-
ñòàâëÿåòñÿ íàèáîëåå óäîáíîé ïðîöåäóðà, ïðåä-
ëîæåííàÿ â [24] äëÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
Êëåéíà–Ãîðäîíà è îáîáùåííàÿ â [25] íà ñëó÷àé
ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé ñî çâóêîâûì çàêîíîì
äèñïåðñèè òèïà � 0
2 2 4( )k k k� � . Äëÿ ðåøåíèé
òèïà ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé ôóíêöèÿ u x t( , ) ìîæåò
áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñëåäóþùåãî ðàçëîæå-
íèÿ:
� �
u x t
f n nn n
n
( , )
( )sin ( ) ( ) cos ( ) ,
�
� � � �� �
�
�
2 1 2 1
0
2 1 2 1� � � � ��
(6)
ãäå � � �� � � �x Vt kx t, , à ôóíêöèè fs s, � è ñêî-
ðîñòü ñîëèòîíà V ðàñêëàäûâàþòñÿ â ñòåïåííûå
ðÿäû
f f
V V
s s s m
s m
m
s s s m
s m
m
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
�
�
�
,
,
,
,
(
2
2
0
2 1
2 1
0
�
� � �
k k) ( ) ...,� �� �2
(7)
ãäå ìàëûì ïàðàìåòðîì ðàçëîæåíèÿ (ñâÿçàííûì ñ
àìïëèòóäîé ñîëèòîíà) ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà
� � �� �| ( )| ,2
0
2 k (8)
â êîòîðîé ôóíêöèÿ �0( )k ñîîòâåòñòâóåò çàêîíó
äèñïåðñèè ëèíåéíûõ âîëí. (Ïðîèçâîäíûå ïî
ôàçå � èìåþò ïîðÿäîê ìàëîñòè �: � �/ � �~ .) Ðåøå-
íèå äëÿ äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ñîëèòîíà îãèáàþ-
ùåé â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè è ïðè ìàëûõ çíà÷å-
íèÿõ k èìååò âèä
u
k k
k
k k
k
x Vt
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
8
3
2 2 4
4
2 2 4
2
( )
( )
�
�
�
sech sin ( ) ,kx t��
(9)
V k
�1
3
2
2 ,
ãäå â êà÷åñòâå äâóõ íåçàâèñèìûõ äèíàìè÷åñêèõ
ïàðàìåòðîâ ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü âûáðàíû âîëíî-
âîé âåêòîð k è ÷àñòîòà � íåëèíåéíîé âîëíû, ëîêà-
ëèçîâàííîé â ñîëèòîíå. Ïðè ýòîì ñêîðîñòü ñîëè-
òîíà ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íîé ôóíêöèåé ýòèõ äâóõ
ïàðàìåòðîâ V V k� ( , )� . Êàê âèäíî èç (9), â îñ-
íîâíîì ïðèáëèæåíèè ïî àìïëèòóäå ìàëîàìïëè-
òóäíîãî ñîëèòîíà çàâèñèìîñòü V V k� ( , )� äëÿ ñî-
ëèòîíà ñîâïàäàåò ñ çàâèñèìîñòüþ ãðóïïîâîé
ñêîðîñòè ëèíåéíîé âîëíû îò âîëíîâîãî ÷èñëà. Èç
âûðàæåíèÿ (9) ñëåäóåò, ÷òî îäíîìåðíûå ñîëèòî-
íû îãèáàþùåé ñóùåñòâóþò ëèøü ïðè âûïîëíåíèè
íåðàâåíñòâ
� � �� � � �0 0 1 0, , , ( )V k
èëè (10)
� � �� � � �0 0 1 0, , , ( ) ,V k
ò.å. ïðè � � 0, ÷òî âíîâü ñîãëàñóåòñÿ ñ êðèòåðèåì
Ëàéòõèëëà.
Èç âèäà ñîëèòîííîãî ðåøåíèÿ (9) ñëåäóåò, ÷òî
â ïðåäåëå íóëåâîé äèñïåðñèè ( � 0) ñîëèòîí
êîëëàïñèðóåò, ò.å. îáëàñòü åãî ëîêàëèçàöèè ñòðå-
ìèòñÿ ê íóëþ. Áîëåå òîãî, ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îò-
íîøåíèå àìïëèòóä âòîðîé è îñíîâíîé ãàðìîíèê
ðàâíî f /f / k3 1
436� � ( ) è, ñëåäîâàòåëüíî, èñòèí-
íûì ïàðàìåòðîì àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ
ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíà � 2 4/ k( ), ðàñõîäÿùàÿñÿ â áåç-
äèñïåðñèîííîì ïðåäåëå � 0. Ýòî óêàçûâàåò íà
âàæíîñòü ó÷åòà ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè â
ðàññìàòðèâàåìîé ïðîáëåìå.
Ïîëó÷åííûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîìåð-
íûõ ñîëèòîíîâ ðàçëè÷íîãî òèïà ëåãêî ïðåä-
ñòàâèòü íà ïëîñêîñòè (~, ),� V ãäå V — ñêîðîñòü ñî-
ëèòîíà è ~� �� � kV — ÷àñòîòà âíóòðåííèõ
îñöèëëÿöèé ñîëèòîíà îãèáàþùåé â ñèñòåìå îòñ÷å-
òà, äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ V. (Ïðè ýòîì â êà-
÷åñòâå äâóõ íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ ñîëèòîííî-
ãî ðåøåíèÿ âûñòóïàþò íå k è �, à V è ~�.) Â
ëèíåéíîì ïðåäåëå (äëÿ ëèíåéíûõ âîëí) èç çàêî-
íà äèñïåðñèè � 0
2 2 4( )k k k� � ñëåäóåò òàêàÿ çàâè-
ñèìîñòü ~ ~ ( )� �0 0� V :
~ ( ) ,
/
/�
0
3 2
3 22
3
1
1
!
"
#
$
% �V (11)
ãäå V— ãðóïïîâàÿ ñêîðîñòü ëèíåéíîé âîëíû.
Íà ðèñ. 1 ýòè ïàðàáîëû ïðåäñòàâëåíû â âèäå
òîíêèõ ëèíèé. Çàøòðèõîâàííûå îáëàñòè âáëèçè
íèõ íà ðèñ. 1,à è 1,á ñîîòâåòñòâóþò ðàññìîò-
ðåííûì çäåñü ìàëîàìïëèòóäíûì ñîëèòîíàì îãè-
áàþùåé, çàâèñÿùèì îò îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé
638 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6
À. Ñ. Êîâàëåâ, Å. Ñ. Ñûðêèí, Æ. À. Ìîæåí
ïåðåìåííîé. Æèðíûå ëèíèè (ðèñ. 1,à è 1,á) îòâå-
÷àþò ìàëîàìïëèòóäíûì îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ñî-
ëèòîíàì ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ, çàâèñÿùèì îò
îäíîé ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé. Çàøòðèõî-
âàííàÿ îáëàñòü íà ðèñ. 1,â îòâå÷àåò êàíàëèðîâà-
íèþ ôîíîíîâ èëè íåëèíåéíûì ïîâåðõíîñòíûì
âîëíàì.
Îáñóæäàâøèåñÿ âûøå ðåøåíèÿ îïèñûâàþò ñî-
ëèòîíû â òðåõìåðíîé ñðåäå â ñëó÷àå, åñëè îíè ëî-
êàëèçîâàíû òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè — íà-
ïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ íåëèíåéíîé âîëíû
(âäîëü îñè x). Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî âîçìîæíû
ñèòóàöèè, êîãäà íåëèíåéíàÿ âîëíà ìîæåò ëîêàëè-
çîâàòüñÿ â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì ðàñ-
ïðîñòðàíåíèþ, â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ, ïåðïåíäè-
êóëÿðíûõ åìó, èëè âî âñåõ òðåõ íàïðàâëåíèÿõ â
òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîò-
ðåíèåì êóáè÷åñêîãî àíãàðìîíè÷åñêîãî êðèñòàëëà,
â êîòîðîì âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îäíîãî
èç îñíîâíûõ êðèñòàëëîãðàôè÷åñêèõ íàïðàâëå-
íèé, êîãäà ÷èñòî ñäâèãîâàÿ âîëíà îòùåïëÿåòñÿ îò
âîëí ñ äðóãèìè ïîëÿðèçàöèÿìè. Âïåðâûå íåëè-
íåéíûå ïîâåðõíîñòíûå âîëíû â òàêîì êðèñòàëëå
ðàññìàòðèâàëè â ðàáîòàõ [2,3,5], íî áåç ó÷åòà
ïðîñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèè âîëí. Ýòà äèñïåðñèÿ
áûëà ó÷òåíà â ðàáîòàõ [6,7], ãäå íåëèíåéíûå
ñäâèãîâûå âîëíû èññëåäîâàëè â ðàìêàõ ñëåäóþ-
ùåãî óðàâíåíèÿ, ÿâëÿþùåãîñÿ òðåõìåðíûì îáîá-
ùåíèåì óðàâíåíèÿ (2):
u u u u u u u
u u
tt xx zz yy xxxx zzzz yyyy
xxzz xxyy
� � � � � � �
� �
& &
(
� �
� � � � �
&
� �
u
u u u u u u u u u u
yyzz
x xx z zz y yy x z z z x
)
{ [( ) (2 2 2 2 2 )
( ) ( ) ( ) ( ) ]} .
x
x y y y x x z y y y z zu u u u u u u u
�
� � � � �2 2 2 2 0
(12)
Íèæå â îñíîâíîì áóäåò ðàññìîòðåíî ðàñïðî-
ñòðàíåíèå âîëí ñî ñäâèãîâîé ãîðèçîíòàëüíîé ïî-
ëÿðèçàöèåé è ñî ñìåùåíèÿìè, çàâèñÿùèìè îò
äâóõ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò, è ëèøü â îä-
íîì ñëó÷àå (ïðè îáñóæäåíèè òðåõìåðíûõ ñîëèòî-
íîâ, ëîêàëèçîâàííûõ âî âñåõ òðåõ èçìåðåíèÿõ)
— îò âñåõ òðåõ êîîðäèíàò. Ãåîìåòðèÿ èçó÷àåìîé
ïðîáëåìû ñëåäóþùàÿ: âîëíà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
âäîëü îñè x, ñìåùåíèÿ àòîìîâ íàïðàâëåíû âäîëü
îñè y, â ñëó÷àå ïîâåðõíîñòíûõ âîëí è ïîâåðõíî-
ñòíûõ ñîëèòîíîâ ïëîñêîñòü ïîâåðõíîñòè ñîâïà-
äàåò ñ ïëîñêîñòüþ xy, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íàïðàâ-
ëåíèþ îñè z, àìïëèòóäà âîëíû çàâèñèò îò
êîîðäèíàò x è z è (â áîëüøèíñòâå ðàññìàòðèâàå-
ìûõ ñëó÷àåâ) íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû y (ñì.
ðèñ. 4,á). Ïðè ýòîì � � �/ y 0, è óðàâíåíèå (12) ñó-
ùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ. Åñëè âîëíà ðàñïðîñòðà-
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6 639
Ìíîãîìåðíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû â íåëèíåéíîé óïðóãîé ñðåäå
�
V
> 0 � > 0
V
< 0 � < 0
1
V
> 0 � < 0
1
1
�
�
Ðèñ. 1. Çàêîíû äèñïåðñèè ëèíåéíûõ âîëí (òîíêèå ëèíèè),
îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ìàëîàìïëèòóäíûõ îäíîìåðíûõ ñî-
ëèòîíîâ îãèáàþùåé (çàøòðèõîâàíû íà 1,à è 1,á) è ëèíèè,
îòâå÷àþùèå îäíîïàðàìåòðè÷åñêèì ñîëèòîíàì ñòàöèîíàð-
íîãî ïðîôèëÿ (æèðíûå) ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Áóñ-
ñèíåñêà: �� �0 0, ( )a ; �� �0 0, ( )á ; ���0 0, ( )â . Çà-
øòðèõîâàííàÿ îáëàñòü íà 1,â îòâå÷àåò êàíàëèðîâàíèþ
ôîíîíîâ èëè íåëèíåéíûì ïîâåðõíîñòíûì âîëíàì.
â
á
a
640 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6
À. Ñ. Êîâàëåâ, Å. Ñ. Ñûðêèí, Æ. À. Ìîæåí
íÿåòñÿ âäîëü îñè x è îäíîðîäíà â íàïðàâëåíèè
îñè z, òî åå íåëèíåéíûé çàêîí äèñïåðñèè ïî-
ïðåæíåìó èìååò âèä ñîîòíîøåíèÿ (3). Îäíàêî òå-
ïåðü âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè íåëèíåéíîé âîëíû
ìîæåò áûòü ïîñòàâëåí â áîëåå øèðîêîì ñìûñëå.
Êðèòåðèé Ëàéòõèëëà DN � �0 0( )� îïðåäåëÿåò
òåïåðü ëèøü ìîäóëÿöèîííóþ íåóñòîé÷èâîñòü îä-
íîðîäíîé âîëíû îòíîñèòåëüíî ïðîäîëüíûõ ôëóê-
òóàöèé (âäîëü îñè x). Âîïðîñ î ïîïåðå÷íîé óñ-
òîé÷èâîñòè (â íàïðàâëåíèè îñåé z è y) ëåãêî
ðåøàåòñÿ â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà & � 2 è � �1 3/ .
Ïðè ýòîì ÷àñòîòà çàâèñèò òîëüêî îò ìîäóëÿ
âîëíîâîãî âåêòîðà, è íåëèíåéíûé çàêîí äèñïåð-
ñèè cîõðàíÿåò âèä (3), ãäå k k k kx z y� � �2 2 2 . Ïðè
ýòîì, êàê ïîêàçàíî â [23], îäíîðîäíàÿ íåëèíåé-
íàÿ âîëíà íåóñòîé÷èâà îòíîñèòåëüíî ïîïåðå÷íûõ
âîçìóùåíèé ïðè N � �0 0( ).� Òàêèì îáðàçîì,
ïðè � 0 è � � 0 îäíîðîäíàÿ íåëèíåéíàÿ âîëíà óñ-
òîé÷èâà ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì è åå ëîêàëèçàöèÿ
íåâîçìîæíà. Ïðè � 0 è � � 0 âîëíà ëîêàëèçóåòñÿ
â íàïðàâëåíèè ñâîåãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ è âîçìîæ-
íî îáðàçîâàíèå îáñóæäàâøèõñÿ âûøå îäíîìåð-
íûõ ñîëèòîíîâ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðè
� 0 è � � 0 âîëíà ëîêàëèçóåòñÿ â íàïðàâëåíèè,
ïåðïåíäèêóëÿðíîì å¸ ðàñïðîñòðàíåíèþ, è âîç-
ìîæíî êàíàëèðîâàíèå ôîíîíîâ è ñóùåñòâîâàíèå
óñòîé÷èâûõ ïîâåðõíîñòíûõ íåëèíåéíûõ âîëí.
Íàêîíåö, îäíîðîäíàÿ âîëíà íåóñòîé÷èâà ïî âñåì
íàïðàâëåíèÿì ïðè îäíîâðåìåííîì âûïîëíåíèè
íåðàâåíñòâ N � 0 è D � 0. Ïîýòîìó ìîæíî îæè-
äàòü, ÷òî äâóìåðíûå è òðåõìåðíûå àêóñòè÷åñêèå
ñîëèòîíû ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ëèøü â ñðåäàõ ñ ïî-
ëîæèòåëüíîé äèñïåðñèåé è ìÿãêîé íåëèíåéíî-
ñòüþ (ïðè � 0 è � � 0).
Âûøå ðàññìîòðåíà ëîêàëèçàöèÿ íåëèíåéíîé
âîëíû â íàïðàâëåíèè åå ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Ïåðåé-
äåì ê èññëåäîâàíèþ âîçáóæäåíèé, ëîêàëèçîâàí-
íûõ â ïîïåðå÷íîì è â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ.
2. Êàíàëèðîâàíèå ôîíîíîâ, ïîâåðõíîñòíûå
âîëíû è äâóìåðíûå ñîëèòîíû
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñèñòåìó ñ îòðèöàòåëüíîé
äèñïåðñèåé è ìÿãêîé íåëèíåéíîñòüþ: D � �0 0( )
è N � �0 0( ).� Ýòî íàèáîëåå åñòåñòâåííàÿ ñèòóà-
öèÿ äëÿ ñäâèãîâûõ âîëí. Ïðè ýòîì íåëèíåéíàÿ
âîëíà ìîäóëÿöèîííî óñòîé÷èâà â íàïðàâëåíèè
ñâîåãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ, íî íåóñòîé÷èâà â ïîïå-
ðå÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ, ÷òî ïðèâîäèò ê ëîêàëèçà-
öèè ôîíîíîâ â ýòèõ íàïðàâëåíèÿõ. Ýòî ÿâëåíèå
ìîæíî íàçâàòü êàíàëèðîâàíèåì ôîíîíîâ. Â ýòîì
ñëó÷àå íåîáõîäèìî èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
(12), ïåðèîäè÷íîå âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàñïðî-
ñòðàíåíèÿ (îñè x) è ëîêàëèçîâàííîå â íàïðàâëå-
íèè îñåé z è y. Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà ðåøå-
íèå íå çàâèñèò îò y. Åñòåñòâåííî, â êîíå÷íîì èòî-
ãå ðàçâèòèå ïîïåðå÷íîé íåóñòîé÷èâîñòè ïðèâåäåò
ê ëîêàëèçàöèè âîëíû è â íàïðàâëåíèè îñè y, íî
ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòîò ïðîöåññ. Â ìàëî-
àìïëèòóäíîì ïðåäåëå ðåøåíèå íàõîäèòñÿ ñ ïîìî-
ùüþ ñëåäóþùåãî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ
[6]:
u x z t
f z nn n m
n m
m
( , , )
( ) sin ( ) ,,
�
� �� � �
� �
�
�
� 2 1 2 2 1
2 2 1
0
2 1� �
n�
�
�
0
(13)
ãäå � �� �kx t è � � �� �0
2 2( ) ,k è â îñíîâíîì ïðè-
áëèæåíèè èìååò âèä [6]
u
k k
k
k k
k
z
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
8
1
2 4 2
4
2 4 2
2
( )
sin (
�
�
&
sech kx t�� ) , (14)
ãäå k è � — äâà ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðà ñîëè-
òîííîãî ðåøåíèÿ.
Ýòî âûðàæåíèå âíåøíå íàïîìèíàåò ðåøåíèå
(9), íî èìååò äðóãóþ îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ íà
ïëîñêîñòè ïàðàìåòðîâ (~, )� V : ÷àñòîòû òàêèõ êàíà-
ëèðóþùèõ ôîíîíîâ ïðè ôèêñèðîâàííîì âîëíî-
âîì âåêòîðå èëè ãðóïïîâîé ñêîðîñòè ëåæàò íèæå
÷àñòîò ëèíåéíûõ âîëí (çàøòðèõîâàííàÿ îáëàñòü
íà ðèñ. 1,â). Â áåçäèñïåðñèîííîì ïðåäåëå � 0
ðåøåíèå (14) ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííûì â ðàáîòå
[2], îäíàêî ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îòíîøåíèå àìïëè-
òóä ãàðìîíèê â ðàçëîæåíèè (13) èìååò ïîðÿäîê
f /f ks s s s� �1 1
2
, , ~ �
. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå
(14) èìååò ñìûñë (àñèìïòîòè÷åñêèé ðÿä ñõîäèò-
ñÿ) òîëüêî ïðè ó÷åòå äèñïåðñèè ñðåäû â îáëàñòè
k k k2 4 2 2 4� � �� � .
Äî ñèõ ïîð ìû ãîâîðèëè ëèøü î êàíàëèðîâà-
íèè íåëèíåéíûõ ôîíîíîâ â áåñêîíå÷íîé òðåõìåð-
íîé óïðóãîé ñðåäå. Îäíàêî ðåøåíèå (13), (14)
îïèñûâàåò òàêæå è íåëèíåéíûå ïîâåðõíîñòíûå
ñäâèãîâûå âîëíû âáëèçè èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè
ïîëóîãðàíè÷åííîãî êðèñòàëëà. Äåéñòâèòåëüíî,
ãðàíè÷íîå óñëîâèå íà ñâîáîäíîé ãðàíèöå z � 0,
ñëåäóþùåå èç óðàâíåíèÿ (12), èìååò âèä
[ ( ) ] ,u u / u u uz z x zzz xxz z1 3 02 2
0� � � � ��� �� &
(15)
è ðåøåíèå (14), î÷åâèäíî, åìó óäîâëåòâîðÿåò.
(Ìû íå êàñàåìñÿ â íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðèíöèïè-
àëüíîãî âîïðîñà î íåîáõîäèìîñòè ôîðìóëèðîâêè
äîïîëíèòåëüíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ óðàâíå-
íèÿ (12), ñîäåðæàùåãî âûñøèå ïðîñòðàíñòâåííûå
ïðîèçâîäíûå âïëîòü äî ÷åòâåðòîé âêëþ÷èòåëüíî.
Ôàêòè÷åñêè îíè ñâîäÿòñÿ ê òðåáîâàíèþ âûïîëíå-
íèÿ óñëîâèé äëèííîâîëíîâîñòè ðàññìîòðåíèÿ.)
Íàêîíåö, èññëåäóåì âîïðîñ î ìíîãîìåðíûõ è
ïîâåðõíîñòíûõ ñîëèòîíàõ, ëîêàëèçîâàííûõ â
òðåõ èçìåðåíèÿõ. Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, òàêèå
íåëèíåéíûå âîçáóæäåíèÿ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü
òîëüêî â ñëó÷àå ñðåäû ñ ïîëîæèòåëüíîé ïðî-
ñòðàíñòâåííîé äèñïåðñèåé è ìÿãêîé íåëèíåéíî-
ñòüþ ( , ) �� �0 0 . Âòîðîå íåðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ
åñòåñòâåííûì äëÿ ñäâèãîâûõ âîëí è äîëæíî âû-
ïîëíÿòüñÿ â áîëüøèíñòâå âåùåñòâ. Ïåðâîå íåðà-
âåíñòâî ÿâëÿåòñÿ íåîáû÷íûì, ïîñêîëüêó â áîëü-
øèíñòâå ìàòåðèàëîâ äèñïåðñèÿ ëèíåéíûõ âîëí
îòðèöàòåëüíà. Òåì íå ìåíåå êðèñòàëëû ñ ïîëîæè-
òåëüíîé äèñïåðñèåé ïðè ìàëûõ ÷àñòîòàõ ñóùåñò-
âóþò (ñì. [26]).
Ïðåæäå âñåãî èññëåäóåì òðåõìåðíûå ñîëèòîíû
îãèáàþùåé, ëîêàëèçîâàííûå â äâóõ íàïðàâëåíè-
ÿõ (x è z). Èì ñîîòâåòñòâóåò çàøòðèõîâàííàÿ îá-
ëàñòü íà ðèñ. 1,á (ñîâïàäàþùàÿ ñ îáëàñòüþ ñóùå-
ñòâîâàíèÿ îäíîìåðíûõ ñîëèòîíîâ îãèáàþùåé
ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Áóññèíåñêà). Ìà-
ëîàìïëèòóäíûå ðåøåíèÿ äëÿ ìíîãîìåðíûõ ñîëè-
òîíîâ îãèáàþùåé ìîæíî èñêàòü â âèäå ðàçëî-
æåíèÿ (6)–(8) ñ � � �� �0
2 2( )k , ïðåäïîëàãàÿ
òåïåðü, ÷òî ôóíêöèè frs è � rs çàâèñÿò íå òîëüêî
îò ôàçû � � �x Vt , íî è îò êîîðäèíàòû z. Ñëîæ-
íîñòü â äàííîì ñëó÷àå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî óæå
íà ïåðâîì øàãå àñèìïòîòè÷åñêîé ïðîöåäóðû âîç-
íèêàåò íåëèíåéíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèç-
âîäíûõ, êîòîðîå ìîæåò áûòü ðåøåíî ëèøü ÷èñ-
ëåííî. (Ñîîòâåòñòâåííî è âñå ïîñëåäóþùèå øàãè
ìîãóò áûòü âûïîëíåíû òîëüêî ÷èñëåííî.)  îñ-
íîâíîì (ðåçîíàíñíîì) ïðèáëèæåíèè ñ òî÷íîñòüþ
äî � èìååì
u f z f z
'� � � � � �11( , )sin ( , )sin , (16)
ãäå ôóíêöèÿ f z( , )� ñëàáî çàâèñèò îò ñâîèõ «ìåä-
ëåííûõ» ïåðåìåííûõ. Ïðè ïðîäîëüíîé ëîêàëèçà-
öèè íåëèíåéíîé âîëíû óáûâàíèå åå àìïëèòóäû
îïðåäåëÿëîñü ìàëûì ïàðàìåòðîì �: � �/ � �~ , êàê
ýòî ñëåäóåò èç (9). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè ïîïå-
ðå÷íîé ëîêàëèçàöèè âîëíû, êàê ñëåäóåò èç (14),
îáëàñòü ëîêàëèçàöèè òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ýòèì
ìàëûì ïàðàìåòðîì: � �/ z ~ �. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî è â ñëó÷àå äâóìåðíîãî ñîëèòî-
íà îãèáàþùåé (16) çàâèñèìîñòü ôóíêöèè f z( , )�
îò åå àðãóìåíòîâ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ îäíèì è òåì
æå ïàðàìåòðîì �. Òîãäà, îñòàâëÿÿ â óðàâíåíèè
(12) îñíîâíûå ñëàãàåìûå ïîðÿäêà âåëè÷èíû
� � �(3 ( )~ ~f / / z� � � � , ïîëó÷àåì äëÿ ôóíêöèè f
ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
f k f f k f /zz�� � �( ) .3 4 02 2 2 4 3� � � � (17)
(Â êîýôôèöèåíòå ïðè ïåðâîì ñëàãàåìîì ìû ïðè-
áëèæåííî çàìåíèëè V k2 21 3
� è â êîýô-
ôèöèåíòå ïðè âòîðîì ñëàãàåìîì ïîëîæèëè
1 12�
&k .) Êàê è èç ðàññìîòðåíèÿ óñòîé÷èâîñòè
îäíîðîäíûõ íåëèíåéíûõ âîëí, èç (17) ñëåäóåò,
÷òî ìíîãîìåðíûå ëîêàëèçîâàííûå ñîëèòîíû îãè-
áàþùåé ñóùåñòâóþò ëèøü ïðè âûïîëíåíèè óñëî-
âèé � � �� � �0 0 0, , ( )k . Ââîäÿ óäîáíûé ìàñ-
øòàá êîîðäèíàò è àìïëèòóäû ïîëÿ
�� ) � */ k z fk / g3 22 2| | , ,� � � , (18)
ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå (17) â ðàäèàëüíî-ñèììåò-
ðè÷íîì áåçðàçìåðíîì âèäå:
g g g g)) **� � � �3 0. (19)
Ðàäèàëüíî-ñèììåòðè÷íûå ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâ-
íåíèÿ äåòàëüíî èçó÷åíû êàê êà÷åñòâåííûìè [27],
òàê è ÷èñëåííûìè [28,29] ìåòîäàìè. (Õîðîøî
èçâåñòíû òàêæå è àíàëîãè÷íûå öåíòðàëüíî-ñèì-
ìåòðè÷íûå ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé
â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ãäå äâóìåðíûé ëàï-
ëàñèàí â (19) çàìåíÿåòñÿ íà òðåõìåðíûé, è ðå-
øåíèå çàâèñèò è îò êîîðäèíàòû y.) Èìååòñÿ áåñ-
êîíå÷íûé íàáîð òàêèõ ñèììåòðè÷íûõ ðåøåíèé,
ïàðàìåòðèçóåìûõ ÷èñëîì íóëåé â çàâèñèìîñòè
ïîëÿ îò ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû. Íàèìåíüøåé
ýíåðãèåé îáëàäàåò ðåøåíèå c ìîíîòîííûì óáûâà-
íèåì ïîëÿ g ñ ðàäèóñîì r � �) *2 2 . Àìïëèòóäà
ïîëÿ â öåíòðå äâóìåðíîãî ñîëèòîíà
g z x Vt( ) ,� � � �0 2 2. (Â òðåõìåðíîì ñîëèòîíå
îãèáàþùåé ñòåïåíü ëîêàëèçàöèè âûøå, è àìïëè-
òóäà â öåíòðå ñîëèòîíà ïðè òîé æå ÷àñòîòå è ñêî-
ðîñòè áîëüøå: g D3 0 4 5( ) ,
.) Ïðîôèëü îãèáàþùåé
äâóìåðíîãî ñîëèòîíà g g� ( )) ïðèâåäåí íà ðèñ. 2.
 èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ ðåøåíèå äëÿ äâóìåðíîãî
ñîëèòîíà èìååò âèä
u
k
g
x Vt
k
z kx t�
�
!
"
"
#
$
%
%
�
2
32 2
�
�
� �
| |
, sin ( ) , (20)
ãäå ñêîðîñòü ñîëèòîíà V çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ k
è � è â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè ñîâïàäàåò ñ ãðóï-
ïîâîé ñêîðîñòüþ ëèíåéíûõ âîëí ñ òåì æå çíà÷å-
íèåì k. Èç (20) ñëåäóåò, ÷òî îáëàñòè ëîêàëèçàöèè
ñîëèòîíà â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ +x è +z èìåþò
ðàçíóþ âåëè÷èíó:
+
+
x
z
k~ | |. (21)
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6 641
Ìíîãîìåðíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû â íåëèíåéíîé óïðóãîé ñðåäå
Êàê âèäíî èç ýòîãî âûðàæåíèÿ, â äëèííîâîë-
íîâîì ïðåäåëå + +x z�� è ñîëèòîí ñèëüíî ñïëþñ-
íóò â íàïðàâëåíèè ñâîåãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ (ñì.
ðèñ. 4,à). Íà ýòîì ðèñóíêå èçîáðàæåíà ñèòóàöèÿ,
êîãäà ñîëèòîí ëîêàëèçîâàí âî âñåõ òðåõ íàïðàâ-
ëåíèÿõ è îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (19) ñ òðåõ-
ìåðíûì ëàïëàñèàíîì.
Ïîñêîëüêó ðåøåíèå (20) óäîâëåòâîðÿåò óñ-
ëîâèþ (15), îíî òàêæå îïèñûâàåò è ëîêàëèçî-
âàííûé âáëèçè èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñîëèòîí
îãèáàþùåé ïîâåðõíîñòíîé ñäâèãîâîé âîëíû. Ïî-
ñêîëüêó ïîâåðõíîñòíûå âîëíû âîçáóæäàþòñÿ
îáû÷íî ïîëîñîâûìè èçëó÷àòåëÿìè, à äëÿ ðàçâè-
òèÿ ïîïåðå÷íîé íåóñòîé÷èâîñòè òðåáóåòñÿ êîíå÷-
íîå âðåìÿ, ðàññìîòðåííûå íàìè äâóìåðíûå ïî-
âåðõíîñòíûå ñîëèòîíû (ëîêàëèçîâàííûå ëèøü â
îäíîì íàïðàâëåíèè â ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè)
âïîëíå ìîãóò íàáëþäàòüñÿ. Çàìåòèì, ÷òî â ðàáîòå
[13], ãäå, ïî-âèäèìîìó, âïåðâûå ýêñïåðèìåí-
òàëüíî íàáëþäàëèñü ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû,
óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî óñëîâèÿ ýêñïåðèìåíòà ñîîò-
âåòñòâîâàëè âçÿòûì íàìè çíàêàì äèñïåðñèè è íå-
ëèíåéíîñòè ( , )D N� �0 0 .
Íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå
ëîêàëèçàöèÿ íåëèíåéíîé âîëíû â ïëîñêîñòè ïî-
âåðõíîñòè è âáëèçè íåå âûçâàíà îäíîé è òîé æå
ôèçè÷åñêîé ïðè÷èíîé — íåëèíåéíîñòüþ óïðóãîé
ñðåäû.
Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ äâóìåðíûõ è ïî-
âåðõíîñòíûõ îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ ñîëèòîíîâ
ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ, ò.å. äâóìåðíûõ àíàëîãîâ
ðåøåíèÿ (4). Ïî-ïðåæíåìó áóäåì ðàññìàòðèâàòü
âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ âäîëü îñè x ñî ñêî-
ðîñòüþ V, ò.å. ðåøåíèÿ âèäà u u x Vt z� �( , ). Êàê
óêàçûâàëîñü, òàêèå ñîñòîÿíèÿ âîçìîæíû ïðè
�� �0 0, èV2 1, (ñì. ðèñ. 1,á). Èç ðåøåíèÿ (4)
äëÿ îäíîìåðíûõ ñîëèòîíîâ ñëåäóåò, ÷òî â ïðåäå-
ëå 1 12� ��V ðåøåíèå ñòàíîâèòñÿ ìàëîàìïëèòóä-
íûì è ñëàáîëîêàëèçîâàííûì:
u V / x Vx ~ ~,1 1 1 12 2� �� � � � �� .
Ïðè ýòîì ñëàãàåìûå u u utt xx xxxx� , è �u ux xx
2 â
óðàâíåíèè (12) ñòàíîâÿòñÿ âåëè÷èíàìè îäíîãî
ïîðÿäêà (~( )1 2 2�V ). Ïðåäïîëîæåì, ÷òî çàâèñè-
ìîñòü îò êîîðäèíàòû z òàêæå ñëàáàÿ (� � ��/ z 1) è
îñòàâèì òîëüêî îñíîâíîå ñëàãàåìîå, çàâèñÿùåå îò
ïðîèçâîäíûõ ïî êîîðäèíàòå z: uzz . Òîãäà ýòîò
÷ëåí áóäåò ïîðÿäêà ( )1 2 2�V , à ïðîèçâîäíàÿ ïî
êîîðäèíàòå z ïîðÿäêà � � �/ z V~1 2. Ïðè ýòîì îò-
áðîøåííûå â (12) ñëàãàåìûå áóäóò ïîðÿäêà
( )1 2 3�V è ( )1 2 4�V . Â îñíîâíîì ïðèáëèæåíèè
óðàâíåíèå (12) ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó:
( ) | | .1 02 2� � � � �V u u u u uxx zz xxxx x xx (22)
Óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå íîâûå êîîð-
äèíàòû è ñìåùåíèÿ:
)
*
�
�
� �
�
�
�
1 1
6
2 2V x Vt V z u( )
| |
,
( )
| |
,
| |
,
(23)
â òåðìèíàõ êîòîðûõ óðàâíåíèå äëÿ ïðîäîëüíîé
äåôîðìàöèè w � � ) ïðèíèìàåò âèä
w w w w)) ** )))) ))� � � �2 03( ) . (24)
Âèäíî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå èìååò èíóþ ñòðóêòóðó,
÷åì óðàâíåíèå (19) äëÿ äâóìåðíûõ ñîëèòîíîâ
îãèáàþùåé. Îíî íàïîìèíàåò ñòàöèîíàðíóþ âåð-
ñèþ óðàâíåíèÿ Êàäîìöåâà–Ïåòâèàøâèëè [30]
ïðè çàìåíå â íåì êâàäðàòè÷íîé íåëèíåéíîñòè íà
êóáè÷åñêóþ: ( ) ( )w w2 3
)) ))� . Ñîëèòîííîå ðå-
øåíèå óðàâíåíèÿ Êàäîìöåâà–Ïåòâèàøâèëè õîðî-
øî èçâåñòíî [31]. Îíî èìååò ñîâåðøåííî èíîé
âèä, ÷åì äëÿ äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ñîëèòîíà
(20). Ïðåæäå âñåãî, åãî àñèìïòîòèêè íå ýêñïî-
íåíöèàëüíûå, êàê â îäíîìåðíûõ ñîëèòîíàõ, à ñòå-
ïåííûå. Êðîìå òîãî, â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ
ïîëå ïðè óäàëåíèè îò öåíòðà ñîëèòîíà óáûâàåò
íåìîíîòîííî. Ýòè ñâîéñòâà ñîõðàíÿþòñÿ è â óï-
ðóãèõ ñäâèãîâûõ ñîëèòîíàõ ñòàöèîíàðíîãî ïðî-
ôèëÿ, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèåì (24). Ôîðìàëü-
642 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6
À. Ñ. Êîâàëåâ, Å. Ñ. Ñûðêèí, Æ. À. Ìîæåí
r
g
2,0
1 2 3 4
1,5
1,0
0,5
Ðèñ. 2. Ïðîôèëü îãèáàþùåé äâóìåðíîãî äèíàìè÷åñêî-
ãî äâóõïàðàìåòðè÷åñêîãî ñîëèòîíà óïðóãèõ ñäâèãîâûõ
ñìåùåíèé (â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ).
íî ýòî óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì äëÿ
ìàëîàìïëèòóäíûõ íåëèíåéíûõ âîëí ñòàöèîíàðíî-
ãî ïðîôèëÿ â äâóìåðíîì ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåð-
ðîìàãíåòèêå, ïîëó÷åííîì è èññëåäîâàííîì â [32].
Ïîýòîìó ïðîôèëü ñîëèòîííîãî ðåøåíèÿ (24)
ìîæíî îïðåäåëèòü èç ñðàâíåíèÿ ñ äàííûìè ÷èñ-
ëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ìàãíèòíîé äèíàìèêè ëåã-
êîïëîñêîñòíîãî ìàãíåòèêà ïðè ñêîðîñòÿõ íå-
ëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé, áëèçêèõ ê ñêîðîñòè
ñïèíîâûõ âîëí, ïðîâåäåííûõ íåäàâíî Ñ. Êîìè-
íåàñîì (÷àñòíîå ñîîáùåíèå). Ðàñïðåäåëåíèå ïðî-
äîëüíîé äåôîðìàöèè â ñîëèòîíå ïðåäñòàâëåíî íà
ðèñ. 3 â âèäå äâóõ ñå÷åíèé: âäîëü äâèæåíèÿ
w( , )) * � 0 è â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâëåíèè
w( , )* ) � 0 . Âèäíî, ÷òî ýòî ðåøåíèå èìååò êà÷åñò-
âåííî òàêîé æå âèä, ÷òî è ñîëèòîí Êàäîìöå-
âà–Ïåòâèàøâèëè: â íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíå-
íèÿ ïðîôèëü èìååò íåìîíîòîííûé õàðàêòåð.
Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ìèíèìóìû íà ðèñ. 3 íåâåëè-
êè ïî ñðàâíåíèþ ñ öåíòðàëüíûì ìàêñèìóìîì,
âñëåäñòâèå ìåäëåííîãî óáûâàíèÿ äåôîðìàöèè ñ
ðàññòîÿíèåì ðîëü îáëàñòåé îòðèöàòåëüíîé äåôîð-
ìàöèè î÷åíü âåëèêà. Ïî-âèäèìîìó, êàê è â óðàâ-
íåíèè Êàäîìöåâà–Ïåòâèàøâèëè, â íàøåì ñëó÷àå
ïîëíàÿ äåôîðìàöèÿ â ñîëèòîíå ðàâíà íóëþ:
w d d) * �- 0. Âî âñÿêîì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå ïîë-
íîé íàìàãíè÷åííîñòè â äâèæóùåìñÿ ìàãíèòîì ñî-
ëèòîíå â ïðåäåëå áîëüøèõ åãî ñêîðîñòåé (êîãäà
ìàãíèòíàÿ è óïðóãàÿ ñèñòåìû ôàêòè÷åñêè ýêâèâà-
ëåíòíû) ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòà âåëè÷èíà ñòàíîâèòñÿ
àíîìàëüíî ìàëîé, ÷òî îòâå÷àåò àíîìàëüíî ìàëîé
ïîëíîé äåôîðìàöèè â àêóñòè÷åñêîì ñîëèòîíå.
Íàïîìíèì, ÷òî â îäíîìåðíîì ñëó÷àå â äâè-
æóùåìñÿ ñîëèòîíå ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ (4)
ïîëíàÿ äåôîðìàöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ: w dx �-
� .24 0
� . Âîçìîæíî, ïåðå÷èñëåííûå âûøå
ñâîéñòâà îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ äâóìåðíûõ ñîëè-
òîíîâ ÿâëÿþòñÿ îáùèìè äëÿ ñèñòåì ñî çâóêîâûì
ñïåêòðîì ëèíåéíûõ âîçáóæäåíèé. Êà÷åñòâåííî
ïîäîáíóþ ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 3 ôîðìó èìåþò,
íàïðèìåð, ïîâåðõíîñòíûå ðýëååâñêèå ñîëèòîíû
[16,17].
Åñëè â ñîëèòîííîì ðåøåíèè ïåðåéòè ê èñõîä-
íûì ïåðåìåííûì, òî åãî õàðàêòåðíûé ðàçìåð â
íàïðàâëåíèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ +x ~ 1 1 2/ V� ,
â òî âðåìÿ êàê â ïåðïåíäèêóëÿðíîì íàïðàâ-
ëåíèè ðàçìåð áóäåò ñóùåñòâåííî áîëüøèì:
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6 643
Ìíîãîìåðíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû â íåëèíåéíîé óïðóãîé ñðåäå
-6 - 4 -2 0 4 62
) / *
w
0
0 ,5
1
1 ,5
2
2 ,5
)
*
Ðèñ. 3. Ðàñïðåäåëåíèå äåôîðìàöèè â äâóìåðíîì ñîëè-
òîíå ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ (â áåçðàçìåðíûõ ïåðå-
ìåííûõ).
Ðèñ. 4. Ïðîôèëü ïîâåðõíîñòíîãî ñîëèòîíà, ëîêàëèçî-
âàííîãî ó èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè (à) è îêîëî ïîâåðõ-
íîñòè, ïîêðûòîé ïëåíêîé äðóãîãî âåùåñòâà (á).
a
á
+ +z / V x~ ( )1 1 2� �� (ñì. ðèñ. 4,à). Îäíàêî òå-
ïåðü ñïëþñíóòîñòü ñîëèòîíà â íàïðàâëåíèè ðàñ-
ïðîñòðàíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå âîëíîâûì âåêòî-
ðîì (êàê â ñîëèòîíå îãèáàþùåé), à ñêîðîñòüþ
ñîëèòîíà ñòàöèîíàðíîãî ïðîôèëÿ.
Ïîñêîëüêó íàéäåííîå ñîëèòîííîå ðåøåíèå
ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè z � 0, îíî êàê è â
ïðåäûäóùèõ ñëó÷àÿõ îïèñûâàåò ïîâåðõíîñòíûå
ñäâèãîâûå ñîëèòîíû (â äàííîì ñëó÷àå — ñòà-
öèîíàðíîãî ïðîôèëÿ), ëîêàëèçîâàííûå â íà-
ïðàâëåíèÿõ x è z è ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ âäîëü
èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè óïðóãîãî òðåõìåðíîãî ïî-
ëóïðîñòðàíñòâà.
3. Ñîëèòîíû, ëîêàëèçîâàííûå ó ïîâåðõíîñòè
ñ ïëåíî÷íûì ïîêðûòèåì è ó ïëîñêîãî
äåôåêòà
 ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ðàññìîòðåíû ñîëèòîíû
ðàçëè÷íîãî âèäà â òðåõìåðíîé óïðóãîé ñðåäå è
âáëèçè èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè ïîëóïðîñòðàíñòâà
è óêàçàíû óñëîâèÿ èõ ñóùåñòâîâàíèÿ (êîìáèíà-
öèÿ çíàêîâ íåëèíåéíîñòè è äèñïåðñèè ñðåäû).
Îäíàêî åñëè ïîâåðõíîñòü àíãàðìîíè÷åñêîãî êðè-
ñòàëëà ïîêðûòà ïëåíêîé äðóãîãî ìàòåðèàëà (èëè
ïðè íàëè÷èè â êðèñòàëëå ïëîñêîãî äåôåêòà), óñ-
ëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïîâåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ
èëè ñîëèòîíîâ, ëîêàëèçîâàííûõ ó äåôåêòíîé
ïëîñêîñòè, ìîãóò èçìåíèòüñÿ. Âïåðâûå íà âîç-
ìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ ñäâèãîâûõ ïî-
âåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ îáðàùåíî âíèìàíèå â
ðàáîòàõ [10,11]. Â òàêîé ïîñòàíîâêå ýêñïåðèìåí-
òàëüíîå îáíàðóæåíèå ñîëèòîíîâ ó ïîâåðõíîñòè è
âáëèçè ïëîñêîãî äåôåêòà ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå
âåðîÿòíûì, ïîñêîëüêó ïðè òîëùèíå ïîêðûâàþ-
ùåãî ñëîÿ èëè ãðàíèöû ðàçäåëà ìåæäó äâóìÿ ñðå-
äàìè h a�� äèñïåðñèÿ ëèíåéíûõ âîëí, ëîêàëè-
çîâàííûõ ó ïîâåðõíîñòè èëè äåôåêòà, ìîæåò
ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäèòü «ñîáñòâåííóþ» äèñ-
ïåðñèþ îáúåìíûõ óïðóãèõ âîëí. Â ðåçóëüòàòå íå-
ëèíåéíàÿ ñòàöèîíàðíàÿ âîëíà èëè ñîëèòîí îáðà-
çóþòñÿ çà ñóùåñòâåííî ìåíüøèå âðåìåíà (êîãäà
åùå ìîæíî íå ó÷èòûâàòü çàòóõàíèå), à äåôîðìà-
öèè â ñòàöèîíàðíîé âîëíå óìåíüøàþòñÿ, ÷òî îï-
ðàâäûâàåò äëèííîâîëíîâîå ðàññìîòðåíèå ïðîá-
ëåìû. Îäíàêî åñëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå
ëîêàëèçàöèÿ âîëíû â äâóõ íàïðàâëåíèÿõ îáó-
ñëîâëåíà íåëèíåéíîñòüþ, òî òåïåðü íåëèíåéíîñòü
îáåñïå÷èâàåò ëîêàëèçàöèþ ëèøü â íàïðàâëåíèè
ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñîëèòîíà, à ëîêàëèçàöèÿ â ïîïå-
ðå÷íîì íàïðàâëåíèè îáóñëîâëåíà íàëè÷èåì ïëîñ-
êîãî äåôåêòà èëè ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ (ò.å. ñóùå-
ñòâóåò è â ëèíåéíîì ïðåäåëå). Ïðè ýòîì äëÿ
ëîêàëèçàöèè ëèíåéíîé âîëíû íåîáõîäèìî, ÷òîáû
åå ÷àñòîòû ëåæàëè íèæå ñïåêòðà îáúåìíûõ ïîïå-
ðå÷íûõ âîëí, ÷òî íàêëàäûâàåò óñëîâèÿ íà
õàðàêòåðèñòèêè äåôåêòíîãî ñëîÿ è ïðèâîäèò ê îò-
ðèöàòåëüíîé ýôôåêòèâíîé äèñïåðñèè ïîâåðõ-
íîñòíûõ ñäâèãîâûõ âîëí â ïðîòèâîïîëîæíîñòü
ïîëîæèòåëüíîé äèñïåðñèè, ðàññìîòðåííîé â ïðå-
äûäóùåì ðàçäåëå. Áîëåå òîãî, êàê ïîêàçàíî â
[10,11], â äàííîì ñëó÷àå ñîëèòîíû ñóùåñòâóþò
òîëüêî ïðè «æåñòêîé» íåëèíåéíîñòè ñðåäû
( ).N � 0 Ýòî óñëîâèå ïðîòèâîïîëîæíî óñëîâèþ
ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíîâ â îäíîðîäíîé ñðåäå èëè
ó èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ôàêòè÷åñêè òåïåðü
ðàññìàòðèâàåòñÿ íåëèíåéíàÿ âîëíà Ëÿâà [33].
Ïîñêîëüêó íåëèíåéíîñòü îáåñïå÷èâàåò ëîêàëèçà-
öèþ âîëíû ëèøü â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè,
ñâîéñòâà âîçíèêàþùèõ ñîëèòîíîâ ñïåöèôè÷íû.
Õîòÿ â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ðàññìîòðåíû äâó-
ìåðíûå ðåøåíèÿ, îäíàêî, êàê óêàçàíî, â òðåõìåð-
íîé ñðåäå íåëèíåéíîñòü ïðèâîäèò ê ëîêàëèçàöèè
âî âñåõ òðåõ íàïðàâëåíèÿõ. Â îáñóæäàåìîì çäåñü
ñëó÷àå âîëíà ëîêàëèçóåòñÿ ó ïîâåðõíîñòè, à â
ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè — òîëüêî â íàïðàâëå-
íèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, â òðåõìåð-
íîì ñëó÷àå ñîëèòîíû îñòàþòñÿ äâóìåðíûìè (ñì.
ðèñ. 4,á).
Äëÿ ñðàâíåíèÿ ïîâåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ ðàç-
ëè÷íîãî òèïà ïðèâåäåì âíà÷àëå ñïîñîá ïðîñòîãî
êà÷åñòâåííîãî ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ â ñðåäå ñ ïëå-
íî÷íûì ïîêðûòèåì. Ðàññìîòðèì ïîëóïðîñòðàíñò-
âî, ïîêðûòîå òîíêîé ïëåíêîé (òîëùèíîé h) ìà-
òåðèàëà, îòëè÷àþùåãîñÿ îò îáúåìíîãî òîëüêî
ïëîòíîñòüþ. Î÷åâèäíî, ÷òî â ñëó÷àå ïëîñêîãî äå-
ôåêòà ñèììåòðè÷íûå ëîêàëèçîâàííûå âîçáóæäå-
íèÿ áóäóò îïèñûâàòüñÿ òåìè æå ðåøåíèÿìè, ÷òî è
â ïîëóïðîñòðàíñòâå, ïîêðûòîì ïëåíêîé, åñëè
òîëùèíà ïëîñêîãî äåôåêòà áóäåò ðàâíà 2h. Êàê
èçâåñòíî [33], â ëèíåéíîé ñðåäå âîëíû Ëÿâà ñó-
ùåñòâóþò ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòü â ïëåí-
êå 00 áîëüøå ïëîòíîñòè âåùåñòâà â îáúåìå
0 0
0( ),0 1� �s è çàêîí äèñïåðñèè òàêèõ âîëí ïðè
ìàëûõ âîëíîâûõ ÷èñëàõ èìååò ñëåäóþùèé âèä:
� 10
2 2 2 2 4� �k h k , (25)
ãäå 1 � �s 1 — õàðàêòåðèñòèêà êàïèëëÿðíûõ ýô-
ôåêòîâ, ñêîðîñòü çâóêà â îáúåìå ïîëóïðîñòðàí-
ñòâà, êàê è âûøå, ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé åäèíèöå.
Âèäíî, ÷òî ëèíåéíûå âîëíû Ëÿâà èìåþò îòðèöà-
òåëüíóþ äèñïåðñèþ ( ).D h k� � �3 02 21 Ýòà äèñ-
ïåðñèÿ îïðåäåëÿåò óáûâàíèå àìïëèòóäû ïîâåðõ-
íîñòíîé âîëíû ïðè óäàëåíèè îò ïîâåðõíîñòè:
u z~ exp ( ),�2 ãäå 2 1 (
hk D2 2. Â äëèííîâîë-
íîâîì ïðåäåëå ( )hk �� 1 èìååì 2
1k hk
�� 1, ò.å.
èçìåíåíèå ïîëÿ âäîëü êîîðäèíàòû z ïðîèñõîäèò
ãîðàçäî ìåäëåííåå, ÷åì âäîëü êîîðäèíàòû x:
� � �� � �/ z / x. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè ìàëî-
644 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6
À. Ñ. Êîâàëåâ, Å. Ñ. Ñûðêèí, Æ. À. Ìîæåí
àìïëèòóäíûõ íåëèíåéíûõ ëîêàëèçîâàííûõ âîëí
Ëÿâà, íå çàâèñÿùèõ îò êîîðäèíàòû y, â óðàâíå-
íèè (12) ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âñåìè íåëèíåéíûìè
ñëàãàåìûìè, ñîäåðæàùèìè ïðîèçâîäíûå ïî êîîð-
äèíàòå z, è îñòàâèòü ëèøü ãëàâíîå ñëàãàåìîå
~ .u ux xx
2 Êðîìå òîãî, â ýòîì óðàâíåíèè ìîæíî îò-
áðîñèòü âñå «âíóòðåííèå» äèñïåðñèîííûå ëèíåé-
íûå ñëàãàåìûå âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ ýôôåêòèâíîé
äèñïåðñèè, ñâÿçàííîé ñ ïëåíêîé. Êàê âèäíî èç
(25), åå íàëè÷èå îïðåäåëÿåòñÿ äèñïåðñèîííûì
ñëàãàåìûì ~ ,h uxxxx
2 21 êîòîðîå ïðè h a1 �� ïðå-
âîñõîäèò ñàìîå áîëüøîå äèñïåðñèîííîå ñëàãàåìîå
a uxxxx
2 â (12), ñâÿçàííîå ñ ñîáñòâåííîé äèñïåð-
ñèåé îáúåìíûõ âîëí. Òàêèì îáðàçîì, â îáúåìå
âìåñòî (12) ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ óðàâíåíèåì
u u u u u ztt xx zz x xx� � � �� 2 0, , (26)
êîòîðîå äîëæíî áûòü äîïîëíåíî ýôôåêòèâíûì
ãðàíè÷íûì óñëîâèåì. Ïðîùå âñåãî åãî ïîëó÷èòü,
èíòåãðèðóÿ àíàëîãè÷íîå (26) óðàâíåíèå äëÿ
ïëåíêè ïî åå òîëùèíå ( ):� � �h z 0
hsu hu u h u u ztt xx z x xx� � � �� 2 0, . (27)
Ýòîò ïîäõîä äàåò ïðàâèëüíûé ðåçóëüòàò äëÿ
ñïåêòðà âîëí Ëÿâà â ñëó÷àå äëèííûõ âîëí ñ
k /h�� 1 : â ëèíåéíîì ïðåäåëå èç (26), (27) ñëåäó-
åò çàêîí äèñïåðñèè
� �3
4
0
2 2 2 2 2� � �k h s k( ) , (28)
ñîâïàäàþùèé ïðè k /h�� 1 ñ òî÷íûì âûðàæåíèåì
äëÿ çàêîíà äèñïåðñèè âîëí Ëÿâà è âûðàæåíèåì
(25). Ôîðìàëüíî ýòîò æå çàêîí äèñïåðñèè ìîæåò
áûòü ïîëó÷åí ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ëèíåéíîì
ïðèáëèæåíèè èç (27) â îáëàñòè âáëèçè ãðàíèöû
ñðåäû è ïëåíêè ñëåäóåò
�
�
�
�
�
�
�
!
"
"
#
$
%
%z
h s
t x
2
2
2
2
. (29)
(Î ñîîòíîøåíèè � � � �/ z / x~ 2 2 äëÿ ïîâåðõíîñò-
íûõ âîëí ìû óïîìèíàëè âûøå.) Ïîäñòàâëÿÿ îïå-
ðàòîð (29) â ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíåíèå (26),
âíîâü ïðèõîäèì ê ñïåêòðó âîëí Ëÿâà (28). Åñëè
æå òàêóþ ïîäñòàíîâêó ïðîâåñòè â íåëèíåéíîì
óðàâíåíèè (26), òî ïîëó÷èì ìîäèôèöèðîâàííîå
óðàâíåíèå Áóññèíåñêà (2) ñ ýôôåêòèâíîé äèñïåð-
ñèåé 1� h2 2:
u u h u u utt xx xxxx x xx� � �2 2 21 � . (30)
Ïîñêîëüêó òåïåðü äèñïåðñèÿ îòðèöàòåëüíà
(D � 0), ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ ñóùåñòâóþò ëèøü
ïðè «æåñòêîé» íåëèíåéíîñòè (� � �0 0, N ), ò.å.
óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñîëèòîíà ïðÿìî ïðîòèâî-
ïîëîæíû òàêîâûì âáëèçè èäåàëüíîé ïîâåðõíî-
ñòè. Ñàìî ðåøåíèå (30) èìååò âèä âûðàæåíèÿ (9)
ñ 1� h2 2 . Âîñïîëüçîâàâøèñü çàâèñèìîñòüþ îò z,
õàðàêòåðíîé äëÿ ëèíåéíûõ âîëí Ëÿâà,
u z~ exp( )�2 ñ 2 � 1� �
k h k2 2 2, èìååì îêîí÷à-
òåëüíîå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå äëÿ ïîâåðõíîñò-
íûõ ñîëèòîíîâ âáëèçè ïîâåðõíîñòè ñ ïëåíî÷íûì
ïîêðûòèåì:
u
k
x Vt
h k
kx t h k
�
!
"
#
$
% �
� � �
2 2
32
2
�
�
�
1
� 1
sech
( )
sin ( ) exp ( z), (31)
Ãäå � � 1� � �2 2 2 2 4k h k è V h k /
�1 3 22 2 31 .
Èç ðåøåíèÿ (31) è òî÷íîãî âûðàæåíèÿ äëÿ ïàðà-
ìåòðà ëîêàëèçàöèè âîëíû Ëÿâà 2 âèäíî, ÷òî ÷àñ-
òîòû ñîëèòîíîâ ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè k ëåæàò
â èíòåðâàëå k h k k2 2 2 4 2 2� � �1 � . Ïðèâåäåííûé
âûøå âûâîä ñîëèòîííîãî ðåøåíèÿ íîñèò êà÷åñò-
âåííûé õàðàêòåð. Ñòðîãèé ìåòîä íàõîæäåíèÿ ñî-
ëèòîííîãî ðåøåíèÿ ïðèâåäåí â Ïðèëîæåíèè.
Èç (31) ñëåäóåò, ÷òî îáëàñòü ëîêàëèçàöèè â
ïëîñêîñòè ïîâåðõíîñòè +x h k/~ 1 � îïðåäåëÿåòñÿ
òåì æå âûðàæåíèåì, ÷òî è â ñëó÷àå èäåàëüíîé ïî-
âåðõíîñòè, íî ñ ýôôåêòèâíûì äèñïåðñèîííûì
ïàðàìåòðîì. Îäíàêî ðàçìåð ñîëèòîíà â íàïðàâ-
ëåíèè îñè z îïðåäåëÿåòñÿ òåïåðü âåëè÷èíîé
+z / h k~ ( )1 21 , ñîâåðøåííî èíîé, ÷åì ïðè èäåàëü-
íîé ïîâåðõíîñòè (+z /~1 �). Ñîîòíîøåíèå ðàçìå-
ðîâ ñîëèòîíà â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ
+
+
x
z
kh
k h
~ 1
1
�
2
(32)
îòëè÷àåòñÿ îò òàêîâîãî â ñëó÷àå èäåàëüíîé ïî-
âåðõíîñòè ìíîæèòåëåì k h /2 1 �, êîòîðûé ìîæåò
áûòü ïðîèçâîëüíûì.
Òàêèì îáðàçîì, âèäíî, ÷òî ìíîãîìåðíûå ñäâè-
ãîâûå ñîëèòîíû â îäíîðîäíîé ñðåäå è â ñðåäå ñ
ïëîñêèì äåôåêòîì è ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû
âáëèçè èäåàëüíîé ïîâåðõíîñòè è ïîâåðõíîñòè,
ïîêðûòîé òîíêîé ïëåíêîé, ìîãóò èìåòü ñóùåñò-
âåííî ðàçëè÷íóþ ñòðóêòóðó.
Ïðèëîæåíèå
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé (26), (27) äëÿ
ñìåùåíèé u x z t( , , ) â îáúåìå àíãàðìîíè÷åñêîãî
êðèñòàëëà è íà åãî ïîâåðõíîñòè u x z t( , , )� �0
�U x t( , ). Äëÿ ìàëîàìïëèòóäíûõ ñëàáîëîêàëèçî-
âàííûõ ïîâåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ â «ðåçîíàíñ-
íîì» ïðèáëèæåíèè ðåøåíèå (26), (27) ìîæíî çà-
ïèñàòü â âèäå
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6 645
Ìíîãîìåðíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû â íåëèíåéíîé óïðóãîé ñðåäå
u a x Vt z kx t
b x Vt z kx t
� � � �
� � �
( , ) sin ( )
( , ) cos ( ),
�
� (Ï.1)
U A x Vt kx t
B x Vt kx t
� � � �
� � �
( ) sin ( )
( ) cos ( ),
�
� (Ï.2)
ãäå ÷àñòîòà ñëàáî îòëè÷àåòñÿ îò ÷àñòîòû ëè-
íåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí Ëÿâà �3( ):k �2 �
� � ��� �3
4( ) ;k 2 1 çàâèñèìîñòü ôóíêöèé a b, , A B, îò
àðãóìåíòà ( )x Vt� ìåäëåííàÿ: � �/ x ~ �, à ïîðÿäîê
ôóíêöèé a b A B, , , ñëåäóþùèé: a A b B~ ~ ~ ~, .� �2
(Çàâèñèìîñòü îò êîîðäèíàòû z íå ñâÿçàíà òåïåðü
ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì �.) Ââåäåì õàðàêòåðèñòèêó
îòêëîíåíèÿ ÷àñòîòû îò çàêîíà äèñïåðñèè îáúåì-
íûõ ëèíåéíûõ âîëí 2 �� �k2 2 . Ïîäñòàâëÿÿ ðàç-
ëîæåíèÿ (Ï.1), (Ï.2) â óðàâíåíèÿ (26), (27) è
ïðèðàâíèâàÿ íóëþ ñëàãàåìûå ïðè sin ( )kx t�� è
cos ( )kx t�� , ïîëó÷àåì ñ òî÷íîñòüþ äî �3 ñëåäóþ-
ùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:
a a V a k V b k a /zz xx x� � � � � �2 �5 �2 2 4 31 2 4( ) ( ,
(Ï.3)
b b k V azz x� � � �2 �2 2( ) , (Ï.4)
h sV A h k s A
h k sV B h k A / a z
xx
x z
( ) ( )
( ) (
2 2 2
4 3
1
2 4
� � � �
� � � � �
�
� � 0 0) ,�
(Ï.5)
h k s B h k sV A b zx z( ) ( ( ) .2 2 2 0 0� � � � � �� �5
(Ï.6)
Ïðåäñòàâèâ ôóíêöèè a è b â âèäå ðàçëîæåíèé ïî
ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà �: a a a� � �1 3
3� � ...,
b b b� � �2
2
4
4� � ..., è âûïèñàâ ñëàãàåìûå ñ òî÷íî-
ñòüþ äî �3, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ íàõî-
æäåíèÿ âåëè÷èí a a1 3, è b2:
� 2
� 2 �
� 2
: ,
: ( ) ,
:
a a
b b k V a
a a
zz
zz x
zz
1
2
1
2
2
2
2 1
3
3
2
0
2
� �
� � � �
� 3
2
1
4
1
3
2
1
4 2
� � �
� � �
( )
( ) .
V a
k a / k V b
xx
x� �
(Ï.7)
(Ï.8)
(Ï.9)
Ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû äëÿ âîëí, ëîêàëèçîâàí-
íûõ ó ïîâåðõíîñòè, èìååò î÷åâèäíûé âèä:
a f x f
k V
z
k V
z
V
z
z
xx� � �
�
�
�
�
�
�
�( )
( ( ( )
e 2
�5
2
�5
2 2
2
2
2
2
3
2
2 2
1
2
6
7
8
98
:
;
8
<8
�
�
�
�
e
e
2
2�
2
z
zk
f
4
2
3 3
32
, (Ï.10)
b f
k V
zx
z�
� �( )
.
�
2
2e (Ï.11)
Íàõîäÿ îòñþäà çíà÷åíèÿ a a a ax xx z, , , , b b bx z, ,
ïðè z � 0 è ïîäñòàâëÿÿ èõ â óðàâíåíèÿ (Ï.5),
(Ï.6), ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå äâà óðàâíåíèÿ äëÿ
íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè f x( ) è ïàðàìåòðà V:
�
�5
2 2
2
3 2
2
3
2
1
2
1
2
: ( )
( ( )
[ (
h sV
k V V
f
h k
xx� �
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
� � 2 2
4 2 2
2
3
32
8
3
0
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
s f
k h k s
h f
�
� �
2 2
)]
( )
, (Ï.12)
� � �
22 2 0: [ ( ) ( ) ] .h k sV k V fx� � � � (Ï.13)
Èç óðàâíåíèÿ (Ï.13) ñëåäóåò çàâèñèìîñòü
V k( , )� äëÿ ñêîðîñòè ïîâåðõíîñòíûõ ñîëèòîíîâ:
V
k h k
hs k
�
� �
� ��
�
�
1 2
1 2
2 2
2 2
. (Ï.14)
 ïðåäåëå ëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ âîëí,
ïðèðàâíèâàÿ íóëþ êîýôôèöèåíò ïðè f â óðàâíå-
íèè (Ï.12), ïîëó÷àåì çàêîí äèñïåðñèè (25). Èç
(Ï.14) ïðè ýòîì ñëåäóåò, ÷òîV h k /
� �1 3 22 2 21
� � ��0( )k / k, ò.å. ñêîðîñòü ñîëèòîíîâ ñîâïàäàåò ñ
ãðóïïîâîé ñêîðîñòüþ ëèíåéíûõ ïîâåðõíîñòíûõ
âîëí. Ó÷èòûâàÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, ïåðåïèøåì â îñ-
íîâíîì ïðèáëèæåíèè óðàâíåíèå (Ï.12) â âèäå
( .3 8 02 2 4 3hk f f k f /xx15 � �� � � (Ï.15)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ðàñ-
ñìîòðåíèè ïðîáëåìû ðåøåíèå äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ
ñäâèãîâûõ ñîëèòîíîâ èìååò âèä
u x z t
k
x Vt
h k
kx th k z( , , )
( )
sin ( ),
�
��4
32
2�
�
�
1
�1sech e
(Ï.16)
ãäå � 1 �2 2 2 2 4 2� � �k h k è V h k /� �1 3 22 2 21 . Ýòî
ðåøåíèå îòëè÷àåòñÿ ìíîæèòåëåì 2 â àìïëèòóäå
îò êà÷åñòâåííîãî ðåçóëüòàòà, ïðèâåäåííîãî â îñ-
íîâíîì òåêñòå.
Àâòîðû áëàãîäàðíû Ñòàâðîñó Êîìèíåàñó çà
ëþáåçíîå ïðåäîñòàâëåíèå äàííûõ ÷èñëåííîãî ìî-
äåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè äâóìåðíûõ ìàãíèòíûõ ñî-
ëèòîíîâ â ëåãêîïëîñêîñòíîì ôåððîìàãíåòèêå.
Ðàáîòà ïîääåðæàíà ïðîãðàììîé INTAS â ðàì-
êàõ ãðàíòà ¹ 99-0167.
646 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6
À. Ñ. Êîâàëåâ, Å. Ñ. Ñûðêèí, Æ. À. Ìîæåí
1. A. P. Mayer, Phys. Rep. 256, 237 (1995).
2. V. G. Mozhaev, Phys. Lett. A139, 333 (1989).
3. Â. È. Ãîðåíöâåéã, Þ. Ñ. Êèâøàðü, À. Ì. Êî-
ñåâè÷, Å. Ñ. Ñûðêèí, ÔÍÒ 16, 1472 (1990).
4. Yu. S. Kivshar and E. S. Syrkin, Phys. Lett. A146,
156 (1991).
5. Yu. A. Kosevich, Phys. Lett. A146, 529 (1990).
6. À. Ñ. Êîâàëåâ, Å. Ñ. Ñûðêèí, ÆÝÒÔ 100, 522
(1992).
7. A. S. Kovalev and E. S. Syrkin, Surf. Sci. 346, 337
(1996).
8. K. Bataille and F. Lund, Physica D6, 95 (1982).
9. A. A. Maradudin, in: Physics of Phonons, T. Pasz-
kievich (ed.), Springer, New York (1987), p. 82
10. G. A. Maugin and H. Hadouaj, in: Frontiers in
Nonlinear Acoustic, M. F. Hamilton and D. T.
Blackstock (eds.), Elsevier, London (1990), p. 565;
Phys. Rev. B44, 1266 (1991).
11. H. Hadouaj and G. A. Maugin, C. R. Acad. Sci.
Paris 2-309, 1877 (1989); J. Phys. (Paris), suppl.
51, C2-57 (1990); Wave motion 16, 115 (1992).
12. Y. Nakagawa, Jpn. J. Appl. Phys., suppl. 22, 157
(1985).
13. M. Planat and M. Hoummady, Appl. Phys. Lett.
55, 103 (1989).
14. Â. È. Íàÿíîâ, Ïèñüìà â ÆÝÒÔ 44, 245 (1986).
15. G. A. Maugin, H. Hadouaj, and B. A. Malomed,
Phys. Rev. B45, 9688 (1992).
16. C. Eckl, A. P. Mayer, and A. S. Kovalev, Phys.
Rev. Lett. 81, 983 (1998).
17. C. Eckl, J. Schollmann, A. P. Mayer, A. S. Ko-
valev, and G. A. Maugin, Wave motion 34, 35
(2001).
18. Ë. Ê. Çàðåìáî, Â. À. Êðàñèëüíèêîâ, ÓÔÍ 102,
549 (1970).
19. Â. È. Íàÿíîâ, È. À. Âàñèëüåâ, ÔÒÒ 25, 2490
(1983).
20. Ì. Ê. Áàëàêèðåâ, À. Ë. Áåëîñòîöêèé, Ë. À. Ôå-
äþõèí, ÔÒÒ 25, 339 (1983).
21. À. Ì. Êîñåâè÷, À. Ñ. Êîâàëåâ, Ââåäåíèå â íå-
ëèíåéíóþ ôèçè÷åñêóþ ìåõàíèêó, Êèåâ, Íàóêîâà
äóìêà (1989).
22. À. Ì. Êîñåâè÷, Á. À. Èâàíîâ, À. Ñ. Êîâàëåâ,
Íåëèíåéíûå âîëíû íàìàãíè÷åííîñòè. Äèíàìè÷åñ-
êèå è òîïîëîãè÷åñêèå ñîëèòîíû, Êèåâ, Íàóêîâà
äóìêà (1983).
23. Â. Í. Êàðïìàí, Íåëèíåéíûå âîëíû â äèñïåðãè-
ðóþùèõ ñðåäàõ, Íàóêà, Ìîñêâà (1973).
24. À. Ì. Êîñåâè÷, À. Ñ. Êîâàëåâ, ÆÝÒÔ 67, 1793
(1974).
25. À. Ñ. Êîâàëåâ, Àâòîðåô. äèññ. ... ä-ðà ôèç.-ìàò.
íàóê, Õàðüêîâ (1989).
26. H. G. Smith and N. Wakabayashi, Phonons in Dy-
namics of Solids and Liquids, S. W. Lovesay and
T. Springer (eds.), Springer, Berlin, 3, 98 (1977).
27. Ç. Ê. ßíêàóñêàñ, Ðàäèîôèçèêà 9, 417 (1966).
28. R. Y. Chiao, E. Garmire, and C. H. Townes, Phys.
Rev. Lett. 13, 479 (1964).
29. J. I. Rasmussen and R. Rypdal, Phys. Scr. 33, 481
(1986).
30. Á. Á. Êàäîìöåâ, Â. È. Ïåòâèàøâèëè, ÄÀÍ ÑÑÑÐ
192, 753 (1970).
31. L. A. Bordag, A. R. Its, and W. B. Matveev, Phys.
Lett. 63A, 205 (1977).
32. N. Papanicolaou and P. N. Spathis, Nonlinearity
12, 285 (1999).
33. Ñ. Â. Áèðþêîâ, Þ. Â. Ãóëÿåâ, Â. Â. Êðûëîâ,
Â. Ï. Ïëåññêèé, Ïîâåðõíîñòíûå àêóñòè÷åñêèå
âîëíû â íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ, Ìîñêâà, Íàóêà
(1991).
Many-dimensional and surface solitons
in nonlinear elastic medium
A. S. Kovalev, E. S. Syrkin, and J. A. Maugin
Nonlinear shear waves in two-dimensional
systems (in particular, surface waves) are in-
vestigated under taking into account the spa-
tial dispersion of elastic medium. It is shown
that the dispersion plays an important role in
structural and modulation stability of nonlin-
ear waves and largely governs the directions
of localization of phonons in nonlinear local-
ized waves, in particular, it governs the pos-
sibility of an existence of elastic surface
solitons. With asymptotic procedure the solu-
tions were found for small-amplitude two-di-
mensional elastic shear one-parametrical soli-
ton with stationary profile, envelope solitons
and surface solitons localized near the perfect
surface of elastic half-space. Such localized ex-
citations are possible only in the medium with
«focusing» (soft) nonlinearity and a positive
dispersion � � �2 2 0�/ k where �( )k — disper-
sion relation for linear waves. The procedure
of finding the solutions for envelope surface
solitons localized near the surface coated with
a film of another material is proposed. A com-
parison of a structure of surface shear solitons
near the perfect surface and surface with a
film coating is provided.
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2002, ò. 28, ¹ 6 647
Ìíîãîìåðíûå è ïîâåðõíîñòíûå ñîëèòîíû â íåëèíåéíîé óïðóãîé ñðåäå
|